几何证明——角平分线模型(高级)

几何证明——角平分线模型(高级)
【经典例题】
例1、已知如图，ABC ∆中，BC AC =，AD 平分CAB ∠，若
100=∠C ，求证：CD AD AB +=。

例2、如图，已知在ABC ∆中，
60=∠B ，ABC ∆的角平分线CE AD ,相交于点O ，求证：AC CD AE =+。

E
D
O
B
C
A
例3、如图，BD 平分ABC ∠，︒=∠45ADB ，BC AE ⊥，求AED ∠.
E
A
B
C
D
例4、已知，如图ABC ∆中，AD 为ABC ∆的角平分线，求证：BD AC DC AB ⋅=⋅．
例5、如图，已知P 为锐角△ABC 内一点，过P 分别作AB AC BC ，，的垂线，垂足分别为F E D ，，，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ；如果PF PE PD +=，求证：CN 是ACB ∠的平分线。

B
C
D
例6、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，DC AB =，︒=∠80ABC ，E 是腰CD 上一点，连接BE 、AC 、
AE ，若︒=∠60ACB ，︒=∠50EBC ，求EAC ∠的度数．
B
C
例7、已知：ABC ∆中，BC AB <，AC 的中点为M ，AC MN ⊥交ABC ∠的角平分线于N ．
（1）如图1，若︒=∠60ABC ，求证：BN BC BA 3=
+；
（2）如图2，若︒=∠120ABC ，则BA 、BC 、BN 之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明．
A
C
【提升训练】
1、在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．
B
2、如图，在ABC ∆中，A ∠等于
60，BE 平分CD ABC ,∠平分ACB ∠，求证：EH DH =。

3、如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证：2AB AC AM +=。

4、已知I 是ABC ∆内角平分线的交点，AI 交对应边于D 。

求证：
BC
AC AB ID AI +=。

B
5、（1）如图，BD 、CE 分别是ABC ∆的外角平分线，过点A 作BD AF ⊥，CE AG ⊥，垂足分别为F 、
G ，连接FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，求证：()AC BC AB FG ++=
2
1。

（2）若BD 、CE 分别是ABC ∆的内角平分线（如图（2）），过点A 作BD AF ⊥，CE AG ⊥，垂足分别为F 、G ，连接FG ，线段FG 与ABC ∆三边有怎样的数量关系？；
（3）若BD 为ABC ∠的内角平分线，CE 为ABC ∆的外角平分线（如图（3）），过点A 作BD AF ⊥，CE AG ⊥，垂足分别为F 、G ，连接FG ，则线段FG 与ABC ∆三边又有怎样的数量关系？
（3）
(2)
(1)
6、如图，已知BD ，CE 为ABC ∆的角平分钱，F 为DE 的中点，点F 到AC ，AB ，BC 的距离分别为
a FG =，
b FH =，
c FM =，若025
221222=+-+--m m ab c c 。

（1）求a ，b ，c ，
m 的值；（2）求证：)(4
1
CD BC DG -=。

A B
C
M
7．已知如图，CD 是ABC Rt ∆斜边上的高，A ∠的平分线交CD 于H ，交BCD ∠的平分线于G ， 求证：BC HF //．
8．如图，BD 、CE 为△ABC 的两条内角平分线，K 为ED 的中点，KF ⊥AB 于F ，KG ⊥AC 于G ，KH ⊥BC 于H ，求证：KF+KG=KH ．
9．已知BC AC =，︒=∠90ACB ，︒=∠15DCB ，CD BD =，AD CE ⊥
于点E ，求证：CE BC 2=．
10．（1）如图1，BP 为△ABC 的角平分线，PM ⊥AB 于M ，PN ⊥BC 于N ，AB=30，BC=23，请补全图形，并求△ABP 与△BPC 的面积的比值；
（2）如图2，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边向外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，CD 与BE 相交于点O ，判断∠AOD 与∠AOE 的数量关系，并证明；
（3）在四边形ABCD 中，已知BC=DC ，且AB≠AD ，对角线AC 平分∠BAD ，请直接写出∠B 和∠D 的数量关系．
11．（1）已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，CD平分∠ACB，点E为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，猜想：∠PAC+∠PBC=°（直接写出结论，不需证明）．
（2）已知：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC≠45°，CD平分∠ACB，点E为AB中点，PE⊥AB交CD 的延长线于P，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．
12．如图1，分别过线段AB的端点A、B作直线AM、BN，且AM∥BN，∠MAB、∠NBA的角平分线交于点C，过点C的直线l分别交AM、BN于点D、E．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）在图1中，当直线l⊥AM时，线段AD、BE、AB之间有怎样的数量关系？证明你的猜想；
（3）当直线l绕点C旋转到与AM不垂直时，在如图2、3两种情况下，（2）中的三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE，求证：FK∥AB．
14．在ABC ∆中，AD 是∠BAC 的平分线． （1）如图①，求证：
AC
AB
S S ACD ABD =∆∆； （2）如图②，若BD=CD ，求证：AB=AC ；
（3）如图③，若AB=5，AC=4，BC=6．求BD 的长．
15．如图，在ABC ∆中，∠ABC=90°，D 为BC 上一点，在△ADE 中，∠E=∠C ，∠1=90°﹣∠EDC ．求证： （1）∠1=∠2； （2）ED=BC+BD ．
16．如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM 于点A．∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点．
（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由．
（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？
（3）若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，只写出结果即可．不用证明．
17．定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内点．
（1）如图2，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P．求证：点P是四边形ABCD的准内点．
（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）
（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．
①任意凸四边形一定存在准内点．（）
②任意凸四边形一定只有一个准内点．（）
③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．（）
18．如图，已知平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交DC 于E ，DF ⊥BC 于F ，交AE 于G ，且AD=DF ．过点D 作DC 的垂线，分别交AE 、AB 于点M 、N ． （1）若M 为AG 中点，且DM=2，求DE 的长； （2）求证：AB=CF+DM ．
19．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 、∠ABC 的平分线AF 、BG 分别与线段CD 交于点F 、G ， AF 与BG 交于点E ．
（1）求证：AF ⊥BG ，DF=CG ；
（2）若AB=10，AD=6，AF=8，求FG 和BG 的长度．
20、平行四边形ABCD 中，
4
3
=BC AB ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，BCD ∠ 的平分线交AD 于点F ，BE 、CF 交于点G ，若BC FG 4
1
=。

求证：223CF BE =。

G
C
B
21、如图，在ABC ∆中，D 是BAC ∠外角平分线上一点，求证：DC DB AC AB +<+。

B
C
A
D
22．在▱ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ． （1）在图1中证明CE=CF ；
（2）若∠ABC=90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG ∥CE ，FG=CE ，分别连接DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数．。