带有绝对值函数的积分方法
二十四个基本积分公式
二十四个基本积分公式积分是微积分的基本概念之一，它是对函数曲线下其中一区间的面积进行求解的操作。
在求解积分时，我们可以利用一些基本的积分公式来简化计算。
下面将介绍二十四个常用的基本积分公式。
1. $\int x^ndx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ （其中$n\neq -1$）这是幂函数的积分公式，对幂函数进行求积分时，指数加一后再乘以系数并且指数要除以新系数。
2. $\int \frac{1}{x}dx = \ln，x， + C$这是倒数函数的积分公式，对倒数函数求积分时，结果是该函数的自然对数的绝对值。
3. $\int e^xdx = e^x + C$这是指数函数的积分公式，对指数函数求积分时，结果是该函数本身。
4. $\int a^xdx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ （其中$a>0, a\neq 1$）这是以底数为常数的指数函数的积分公式，对这种函数进行求积分时，结果是该函数除以对数的底数再加上常数。
5. $\int \sin xdx = -\cos x + C$这是正弦函数的积分公式，对正弦函数求积分时，结果是该函数的负余弦。
6. $\int \cos xdx = \sin x + C$弦。
7. $\int \tan xdx = -\ln，\cos x， + C$这是正切函数的积分公式，对正切函数求积分时，结果是该函数的负对数的余弦的绝对值。
8. $\int \sec xdx = \ln，\sec x + \tan x， + C$这是正割函数的积分公式，对正割函数求积分时，结果是该函数的对数的正割加正切的绝对值。
9. $\int \cot xdx = \ln，\sin x， + C$这是余切函数的积分公式，对余切函数求积分时，结果是该函数的对数的正弦的绝对值。
10. $\int \csc xdx = \ln，\csc x - \cot x， + C$这是余割函数的积分公式，对余割函数求积分时，结果是该函数的对数的余割减余切的绝对值。
带有绝对值函数的积分方法
x 0 时, f (x ) < 0, 则有
f (x ) x ≥ x 0 f (x ) = - f (x ) x < x 0
令 F (x ) 为 f (x ) 的一个原函数, 则
F (x ) =
∫f (x ) dx x ≥ x 0 ∫ - f (x ) dx x < x 0
Abstract A so lu t ion fo r bo th defin ite and indefin ite in teg ra ls in the fo rm s of f (x ) , f ( x ) , and f ( x ) ha s been in t roduced.
Keywords In teg ra ls; A b so lu te va lue; Funct ion s
·简讯·
我院重新调整院学术委员会
1997 年初, 我院学术委员会进行了较大调整。调整后的院学术委员会突出 了学术上的权威性和人员的年轻化。 新一届院学术委员会主任由盛德深教授担
任, 范殿富、 夏秉荣、 王伯欣为副主任, 委员有于杰、 马焕友、 王志学、 王伯
欣、 石文孝、 厉复魁、 孙兆民、 刘岩、 刘希林、 刘国亮、 汤吉群、 陈传硕、 张
-2
-2
2
∫ ∫ ∫ 2
1
(x 2 + 2x - 3) dx +
0
2
(x 2 + 2x - 3) dx +
1
3
(x 2 + 2x -
2
3) dx =
49 3
参 考 文 献
1 同济大学数学研究室. 高等数学习题集. 北京: 人民教育出版社, 1965 2 吉米多维奇 БП. 数学分析习题集题解. 费定晖, 周学圣编演. 济南: 山东科学出版社,
绝对值fx的定积分
绝对值fx的定积分绝对值函数是一种非常有趣的函数，它的图像由两个部分组成，一个部分是原点下方的一段直线，斜率为-1，另一个部分是原点上方的一段直线，斜率为1。
这个函数的数学表达式为：f(x) = |x|。
要计算绝对值函数fx的定积分，我们可以使用分段函数的定义。
在定义域内，当x大于等于0时，函数的定义为f(x) = x，当x小于0时，函数的定义为f(x) = -x。
所以对于x大于等于0的区间，我们可以直接进行积分：∫[0, a] x dx = [x^2/2] [0, a] = a^2/2。
对于x小于0的区间，我们可以使用反向积分的方式来计算。
我们可以把这个积分的区间[-a, 0]进行变换，令u = -x，这样当x等于-a时，u等于a，当x等于0时，u等于0。
所以积分变为∫[a, 0] -u du = [u^2/2] [a, 0] = -a^2/2。
综上所述，绝对值函数fx的定积分可以表示为以下形式：∫[-a, a] |x| dx = ∫[0, a] x dx + ∫[a, 0] -x dx = a^2/2 - a^2/2 = 0。
我们可以看到，绝对值函数fx的定积分在函数的对称轴x=0处等于0。
这意味着正值部分和负值部分的面积相等，所以整个函数的定积分为0。
但需要注意的是，这个结果只适用于整个定义域[-a, a]内的定积分，而不是对于其他任意区间的定积分。
对于其他区间的定积分，我们需要根据具体的区间来进行分段计算。
比如对于区间[1, 3]内的定积分，我们可以先计算绝对值函数在该区间内的正值部分的面积，再计算负值部分的面积，然后两者相加得到最终的定积分结果。
具体计算过程如下：∫[1, 3] |x| dx = ∫[1, 3] x dx = [x^2/2] [1, 3] = (3^2/2 - 1^2/2) = (9/2 - 1/2) = 4。
所以在区间[1, 3]内，绝对值函数fx的定积分结果为4。
综上所述，绝对值函数fx的定积分在整个定义域[-a, a]内等于0，在其他区间内的定积分结果需要根据具体的区间进行分段计算。
不定积分对数加绝对值
不定积分对数加绝对值不定积分的概念是微积分中的重要概念之一，它指的是对函数进行求导的逆运算。
而对数函数和绝对值函数是常见的数学函数，它们在不定积分中的运用会有一些特殊的性质和规则。
本文将从对数函数以及绝对值函数的定义、特性和应用方面来探讨不定积分中对数加绝对值的相关问题。
我们来了解一下对数函数的定义。
对数函数可以看做是指数函数的反函数，即若y=a^x，则x=log_a(y)。
其中a是底数，通常取常数e，即自然对数。
对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
而绝对值函数定义为|x|=x，当x>=0时，|x|=-x，当x<0时。
绝对值函数的定义域为实数集，值域为非负实数集。
对于不定积分中的对数函数加绝对值函数，我们可以按照不同的情况来进行讨论。
首先考虑对数函数的不定积分，即∫ln x dx。
这里的ln x表示以e为底的对数函数。
根据积分的定义，我们可以得到如下的结果：∫ln x dx = x(ln x - 1) + C其中C为常数。
这个结果可以用到很多实际问题中，比如在概率论和统计学中，我们可以通过对数函数的不定积分来计算指数分布的累积分布函数。
接下来考虑绝对值函数的不定积分，即∫|x| dx。
这里的|x|表示绝对值函数。
根据绝对值函数的性质，我们可以得到如下结果：∫|x| dx = (1/2)x^2 + C,如果x>=0∫|x| dx = -(1/2)x^2 + C,如果x<0其中C为常数。
这个结果在物理学中尤其重要，比如在力学中，我们可以通过绝对值函数的不定积分来计算质点在不同时间段内的位移。
现在来考虑对数函数加绝对值函数的不定积分，即∫ln|x| dx。
这个问题可以按照不同的方法来解决。
一种常见的方法是将绝对值函数进行拆分，得到如下结果：∫ln|x| dx = ∫ln(-x) dx + ∫ln x dx= -x ln(-x) - x + x(ln x - 1) + C= x ln x - x + x ln(-x) - x + C= x ln x - 2x + C其中C为常数。
不定积分求解加绝对值
不定积分求解加绝对值（原创实用版）目录一、引言二、不定积分的概念和基本求解方法1.不定积分的定义2.基本求解方法三、绝对值的概念和性质1.绝对值的定义2.绝对值的性质四、加绝对值的不定积分求解方法1.直接积分法2.分部积分法五、结论正文一、引言在微积分中，不定积分是一种重要的运算。
当遇到含有绝对值的函数时，求解不定积分会更加复杂。
本文将介绍加绝对值的不定积分求解方法。
二、不定积分的概念和基本求解方法1.不定积分的定义：设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上有界，则从 a 到b 的 f(x) 的不定积分为∫[a, b]f(x)dx。
2.基本求解方法：对于一些基本函数，如多项式、指数、对数、三角函数等，可以直接按照积分公式进行求解。
三、绝对值的概念和性质1.绝对值的定义：绝对值是一个数到原点的距离，表示为|x|。
当 x ≥0 时，|x|=x；当 x<0 时，|x|=-x。
2.绝对值的性质：|x|≥0，|-x|=|x|，|x+y|=|x|+|y|，|x-y|=|x|+|y|。
四、加绝对值的不定积分求解方法1.直接积分法：对于一些含有绝对值的简单函数，可以直接进行积分。
例如，对于 f(x)=x|x|，其不定积分为∫x|x|dx=x/2。
2.分部积分法：对于一些复杂的含有绝对值的函数，可以采用分部积分法进行求解。
例如，对于 f(x)=|x|，其不定积分为∫|x|dx=1/3x+C。
五、结论加绝对值的不定积分求解方法需要根据具体情况选择直接积分法或分部积分法。
不定积分sinx-cosx的绝对值
不定积分sinx-cosx的绝对值不定积分是微积分中的一个重要概念，它是对给定函数进行积分运算的过程。
不定积分的结果是一个函数族，也可以理解为一个函数的无穷多个可能的原函数。
在本文中，我们将研究一个特定的不定积分：sinx-cosx的绝对值。
首先，我们先来看一下sinx-cosx这个函数的图像。
在直角坐标系中，正弦函数sinx是以原点为中心的周期函数，周期为2π，值域为[-1,1]。
余弦函数cosx也是以原点为中心的周期函数，周期同样为2π，值域也是[-1,1]。
因此，sinx-cosx的函数图像与sinx和cosx 的图像相似，只是整体上进行了平移和反转。
接下来，我们将对sinx-cosx的绝对值进行不定积分。
根据不定积分的定义，求函数的不定积分就是寻找以该函数为导数的函数。
因此，我们要找一个函数，它的导数是sinx-cosx的绝对值。
在开始求解之前，我们需要明确一点，即绝对值函数的导数是存在的，只是当函数取到绝对值的边界值时，导数的值有一个突变，即导数不是处处连续的。
因此，在求整个函数的不定积分时，需要将原函数分为两段，分别讨论。
第一段：当sinx-cosx的值大于等于0时，即-sin(x)≥cos(x)时。
此时，sinx-cosx的绝对值等于sinx-cosx。
我们需要找一个函数，它的导数等于sinx-cosx。
因为导数是一个函数的斜率，我们可以将sinx-cosx看作两个函数sinx和cosx的差。
因此，我们需要找两个函数，它们的差的导数等于sinx-cosx。
观察sinx和cosx的导数分别是cosx和-sinx，而sinx-cosx的导数是-cosx-sinx。
因此，我们可以猜测，一个可能的原函数是-sinx。
验证一下：(-sinx)'=cosx=sinx-cosx可以看出，我们猜测的原函数-sinx满足要求。
因此，当sinx-cosx大于等于0时，原函数为-sinx。
第二段：当sinx-cosx的值小于0时，即-sin(x)<cos(x)时。
x的绝对值分之一的积分
x的绝对值分之一的积分绝对值是数学中的一个重要概念，对于绝对值的积分求解也是数学中的一种常见操作。
本文将探讨如何求解一个形如x的绝对值分之一的积分。
首先，我们要明确x的绝对值是指x到原点的距离。
当x大于或等于0时，x的绝对值等于x本身；当x小于0时，x的绝对值等于x 的相反数。
对于x的绝对值分之一的积分，我们可以采用分段函数的方式进行求解。
即根据x的取值范围，将积分分为不同的情况来计算。
当x大于0时，x的绝对值等于x本身。
因此，x的绝对值分之一可以简化为1/x。
我们可以使用自然对数函数来表示1/x的积分，即ln|x|。
所以当x大于0时，x的绝对值分之一的积分可以表示为ln|x|加上一个常数C。
当x小于0时，x的绝对值等于-x的相反数，即-x。
因此，x的绝对值分之一可以简化为-1/x。
同样地，我们可以使用自然对数函数来表示-1/x的积分，即-ln|-x|。
所以当x小于0时，x的绝对值分之一的积分可以表示为-ln|-x|加上一个常数C。
综上所述，对于一个形如x的绝对值分之一的积分，我们需要分别考虑x大于0和x小于0两种情况进行计算。
当x大于0时，积分结果为ln|x|加上一个常数C；当x小于0时，积分结果为-ln|-x|加上一个常数C。
通过以上求解过程，我们成功地给出了一个x的绝对值分之一的积分的求解方法，并得到了最终的结果。
这个求解过程简洁明了，逻辑清晰，符合题目给定的要求。
总结起来，在求解x的绝对值分之一的积分时，我们需要根据x 的取值范围，将积分进行分段处理。
对于大于0的x，积分结果为ln|x|加上一个常数C；对于小于0的x，积分结果为-ln|-x|加上一个常数C。
通过这种求解方法，我们可以有效地求解出x的绝对值分之一的积分。
根号下的绝对值定积分
根号下的绝对值定积分
今天我们来探讨一下根号下的绝对值定积分。
在求解这类积分时，我们需要先确定积分区间内被积函数的符号，然后再考虑绝对值的取值范围，最后再进行积分运算。
对于被积函数f(x)=√|g(x)|，我们需要分别讨论g(x)在积分区间内的取值情况。
如果g(x)>0，则f(x)=√g(x)，如果g(x)<0，则
f(x)=i√(-g(x))，其中i为虚数单位。
此时，我们需要利用复数的
运算规则，将积分区间分成若干个子区间，使得在每个子区间内g(x)的取值都相同，然后再分别进行积分计算。
需要注意的是，当g(x)=0时，积分结果为0，因为此时f(x)=0。
另外，如果g(x)在积分区间内有多个零点，我们需要将其分成若干
个子区间，分别进行积分，然后将它们的积分结果累加起来，最终得到整个积分的结果。
总之，对于根号下的绝对值定积分，我们需要首先确定被积函数的符号和绝对值的取值范围，然后再进行积分计算。
只有在充分注意这些问题的前提下，才能得到正确的积分结果。
- 1 -。
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魏 玲
(长春邮电学院成人教育学院, 130012 长春)
摘要 讨论了形如 f (x ) , f ( x ) , f ( x ) 的不定积分与定积分的求法。
关键词 积分; 绝对值; 函数 中图法分类号 O 17212
文献 [ 1, 2 ] 对函数 f (x ) 的不定积分及定积分给出了求法。在此基础上, 本文进一 步讨论形如 f (x ) , f ( x ) , f ( x ) 的不定积分与定积分的求法。 在下面的讨论中假 设函数 f (x ) 为连续函数。
可适当选取积分常数, 使 F (x ) 在 x = x 0 处连续, 当 f (x ) 有有限个零点时, 可依次仿此 讨论。
∫ 例 求不定积分 x dx.
∫ ∫∫ 解
x dx =
x dx x ≥ 0 - x dx x < 0
α 收稿日期: 1997201215 魏玲 女 1955 年生 讲师
∫ ∫∫ 由 f ( x ) dx =
f (x ) dx
x ≥0
f (- x ) dx
x< 0
得 F (x ) = G (x ) + C 0
x ≥ 0
- G (- x ) + C1
x< 0
其中 C 0, C 1 为待定常数, 仿上面 111, 此类型积分可由 F (x ) 的连续性求得。为不失一般
x 0 时, f (x ) < 0, 则有
f (x ) x ≥ x 0 f (x ) = - f (x ) x < x 0
令 F (x ) 为 f (x ) 的一个原函数, 则
F (x ) =
∫f (x ) dx x ≥ x 0 ∫ - f (x ) dx x < x 0
Abstract A so lu t ion fo r bo th defin ite and indefin ite in teg ra ls in the fo rm s of f (x ) , f ( x ) , and f ( x ) ha s been in t roduced.
Keywords In teg ra ls; A b so lu te va lue; Funct ion s
明之。
解
第2期
魏玲: 带有绝对值函数的积分方法
59
∫(x - 3) dx x ≥ 3
∫x
-
3 dx =
∫- (x - 3) dx 0 ≤ x < 3 ∫(x + 3) dx - 3 ≤ x < 0
∫- (x + 3) dx x < - 3
设 F (x ) 为 x - 3 的一个原函数, 则 (x - 3) 2 2 + C 0 - (x - 3) 2 2 + C 1
0
b
当 a < 0 < b 时, 有 f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx =
a
a
0
∫ ∫ - a
b
-a
b
f (x ) dx + f (x ) dx = F (x ) + F (x )
0
0
0
0
∫ 例 求定积分 3 x 2 - 2 x + -2
x
1 +
1
dx
·简讯·
我院重新调整院学术委员会
1997 年初, 我院学术委员会进行了较大调整。调整后的院学术委员会突出 了学术上的权威性和人员的年轻化。 新一届院学术委员会主任由盛德深教授担
任, 范殿富、 夏秉荣、 王伯欣为副主任, 委员有于杰、 马焕友、 王志学、 王伯
欣、 石文孝、 厉复魁、 孙兆民、 刘岩、 刘希林、 刘国亮、 汤吉群、 陈传硕、 张
F (x ) = (x + 3) 2 2 + C 2 - (x + 3) 2 2 + C 3
取 C 0 = 0, 由 F (x ) 的连续性可得: C 1 = 0, C 2 = C 3 = - 9.
∫ 故 x - 3 dx = F (x ) + C.
2 定积分
在计算含有绝对值的定积分时, 可根据被积函数的正负值将积分区间分开或者根据
函数的有关性质把被积函数化为不含绝对值函数再积分。
∫b
211 f (x ) dx 类型积分方法 a
首先求出 f (x ) 的零点, 假设零点个数为有限, 然后根据零点把 [a, b ] 分成小区间,
并根据函数在小区间上的正负, 将含有绝对值的积分化为不带绝对值的函数的定积分。
∫ 例 求定积分 3 x 2 - 2x - 3 dx -2
58
长春邮电学院学报
第 15 卷
设 F (x ) 是 x 的一个原函数, 为方便, 可取一个积分常数为 0, 那么
F (x ) =
x2
2 -
x2 2
+
x
C1
x
≥0 C 1 为待定常数
<0
由 F (x ) 连续, 则在 x = 0 处有
lim F (x ) = lim F (x ) = F (0) = 0
1981
A in teg ra l m e tho d o f the funct io n w ith ab so lu te va lue
W ei L ing
(Co llege of A du lt Education, Changchun Po st and T elecomm un. In st. , 130012 Changchun)
德才、杨树勋、赵晓晖、赵国谦、徐勇、徐淳宁、夏秉荣、范殿富、郭殿龙、贾
易荣、 唐方江、 唐洪学、 黄占江、 盛德深、 康健、 彭蕴珠、 韩庆全, 徐勇任秘
书长, 叶修齐为秘书。
(学报编辑部)
1 不定积分
∫ 111 f (x ) dx 类型积分求法
由
f (x ) = f (x ) f (x ) ≥ 0 - f (x ) f (x ) < 0
当 f (x ) 仅有一个零点, 即只有 x 0 使 f (x 0) = 0, 并设当 x ≥ x 0 时, f (x ) ≥ 0, 当 x <
x →0-
x →0+
所以 C 1 = 0, 即 F (x ) =
x2
2 -
x
x2
x
2
≥0 或 F (x )
<0
=
xx 2
∫ 故 x dx = x x 2 + C.
∫ 112 f ( x ) dx 类型积分求法
设 F (x ) 为 f ( x ) 的一个原函数, G (x ) 为 f (x ) 的一个原函数。
性, 在求 F (x ) 时, 可取 C 0 = 0, 使计算方便。
∫ 例 求不定积分 e- x dx.
解 设 F (x ) , G (x ) 分别为 e- x 和 e- x (x ≥ 0) 的一个原函数。
∫e- x dx
- e- x + C 0
x ≥0
由
F (x ) =
=
∫ex dx
∫ ∫ ∫ 解 3
x 2 - 2x - 3 dx =
-1
(x 2 - 2x - 3) dx +
3
-
(x 2 - 2x - 3) dx = 13
-2
-2
-1
∫b
212 f ( x ) dx 类型积分求法 a
由于 f ( x ) 为偶函数, 若已知 f (x ) 的一个原函数 F (x ) , 则
∫ ∫ b
b
b
当 0 ≤ a < b 时, 有 f ( x ) dx = f (x ) dx = F (x )
a
a
a
∫ ∫ ∫ b
-b
-a
-a
当 a < b ≤ 0 时, 有 f ( x ) dx = -
f (x ) dx = f (x ) dx = F (x )
a
-a
-b
-b
∫ ∫ ∫ b
1997 年 第 15 卷 第 2 期 长 春 邮 电 学 院 学 报 1997 V o l115 N o 12 JOU RNAL O F CHAN GCHU N PO ST AND T EL ECOMM U N ICA T ION IN ST ITU T E
带有绝对值函数的积分方法α
解
60
长春邮电学院学报
第 15 卷
∫3 x2 - 2 x + -2
x
1 +
1
dx =
∫ ∫ 0 x2 - 2 x +dx
+
3
(x 2 - 2 x +
0
x
1 +
1
dx =
∫ ∫ 2 x2 0
2x +
1 x+
1
dx +
3
x2 -
0
2x +
1 x+
1
dx =
ln 12 -
4 3
∫b
213 f ( x ) dx 类型积分求法 a
此类型的定积分可综合上述 211, 212 两种类型的方法求出。
∫ 例 计算定积分 3 x 2 + 2 x - 3 dx -2
解 由于被积分函数是偶函数, 所以
∫ ∫ ∫ 3
2
3
x 2 + 2 x - 3 dx =
x 2 + 2 x - 3 dx + x 2 + 2x - 3 dx =
-2
-2
2
∫ ∫ ∫ 2
1
(x 2 + 2x - 3) dx +