浅谈一类含两个绝对值的函数的最值求法
浅谈求函数值域的几种常用方法
浅谈求函数值域的几种常用方法在函数的三要素中，对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用．本文就函数值域求法归纳如下.一、观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1：求函数y= 的值域。
解：由算术平方根的性质知≥0，故≥3。
∴函数的值域为y≥3.小结：本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
二、反函数法利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
形如的函数的值域，均可使用反函数法。
此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解。
例2：求函数的值域解法一：（反函数法）解法二：（分离常数法）由，可得值域小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。
三、配方法配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如的函数的值域问题，均可使用配方法。
例3、求函数的值域解：由四、换元法利用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域，形如的函数均可使用换元法。
例4、求函数的值域解：（换元法）设，则五、判别式法把函数转化成关于x的二次方程，通过方程有实根，判别式，从而求得原函数的值域，形如均可用判别式法.例5、求函数的值域解：（判别式法）原函数可化为（1）时不成立（2）时，综合（1）、（2）值域六、单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例6、求函数y=4x－(x≤1/3)的值域。
解：设f(x)=4x,g(x)= －(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
浅谈含绝对值不等式解题技巧
JIETI JIQIAO YU FANGFA
129
浅谈含绝对值不等式解题技巧
◎贺 敬 （ 江西省井冈山中学，江西 井冈山 343600）
【摘要】含绝对值不等式的题型是高考物理中比较常见 的一类题型，这类 题 型 由 于 难 度 不 高，属 于 送 分 题 型，需 要 确保解题的准确 率 以 及 保 证 一 定 的 解 题 速 度 ，这 需 要 学 生 掌握一定的解题方法以及特定的解题技巧． 本文简单地阐 述了常见绝对值 不 等 式 的 一 些 解 题 技 巧，希 望 能 给 广 大 学 生的学习带来帮助．
对值不等式的解题步骤是：
（ 1） 假设每个具有绝对值的等式代数和为零，并求出相
对应的解；
（ 2） 将这些所有的解按从小到大排序，并把这些解分为
若干个区间（ 类似于几何法） ；
（ 3） 由所分区间去掉绝对值符号后，所组成若干个不等
式，解这些不等式，求出所有可能的解；
（ 4） 取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集．
同理，当 x 在 － 1 的左边时，取 x = － 2． 5，有 x 到 1 的距离及
到 － 1 的距离之和为 5，即 | x － 1 | + | x + 1 | = 5，因此，当 x≤
－ 3 时，有 | x － 1 | + | x + 1 | ≥5．
综合以上可得 x∈（ － ∞ ，－ 2． 5］∪［2． 5，+ ∞ ） 为所
例3
不 等 式 | x + 3 | － | 2x － 1 |
＜
x 2
+ 1 的解集
为
．
解 ① 当 x ＜ － 3 时，原不等式化为 － （ x + 3） － （ 1 －
53.怎样快速求含绝对值的二次函数最值---刘培杰 代数
53怎样快速求含绝对值的二次函数最值我们介绍如下的含绝对值的二次函数，即形如①c bx d c b a y i i n i ++++⋅+⋅=∑=ωμμ||21 或 ②c bx ax L c b x a y i l ni +++⋅+⋅+=∑=21|.|)((其中c b a n i d c b a i i i i ,,,,,2,1,,,, =均为常数，且①中的②,i i b a 中的i i c a 不全为零，),,2,1n i = 的极值的一种快速求法，其方法与步骤为：(1)找出函数的零点，将函数写成分段函数；(2)找出分段函数中每个抛物线顶点的横坐标在相应分段区间上的点；(3)列表，表中第一横行x 列函数的零点值及抛物线顶点横坐标在相应分段区间上的值将(一∞，+∞)分成若干区间；表中第二横行Y 列出第一横行中相应点的Y 值，再根据相邻两点处Y 值的大小，画出抛物线段上升(记作7↗)或下降(记作↘)的方向；(4)表中相邻两箭头相反处，即是函数的极值点及极值．例1求函数|6|22---+=x x x y 的极值．解 (1)令,062=--x x 解得函数的零点一2，3，将所给函数写成分段函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧>++-≤≤---<++-=3,8232,42,82222x x x x x x x x y (2) )2,(1,122--∞∉=-- ]3,2[0,020-∈=- ),3(1,12+∞∉=- (4)由表明显看出：当x=一2时，函数y 取极大值0；当x=0时，函数y 取极小值一4；当x=3时，函数y 取极大值5．例2 求函数1|1||4|2++--=x x y 的极值．解 令04,012=-=+x x 得函数的零点为一2，一l ，2，所给函数写成分段函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+---<≤-++--<-+=2,421,42,62,22222x x x x x x I x x x x x x y 而)2,(21--∞∉- ].1,2[2121--∉=-- ]2,1[2121-∈-=--- ),2(2121+∞∉=-- 列表[注：a ，b 表示(a ，b)区间]：由上表明显看出：当x=一2时，函数Y 取极小值0；当21-=x 时，函数y 取极大值;417 当x=2时，函数Y 取极小值一2．。
初中函数最值的常用求法
小值
解 因为函数 y = － 2x + 3 在 － 1 ≤ x ≤ 2 时，y 随 x 增
大而减小，所以当 x = － 1 时，y最大值 = － 2 × ( － 1) + 3 = 5 ．
当 x = 2 时，y最小值 = － 2 × ( － 1) + 3 = － 1．
1． 2
反比例函数 y =
k x
．
连结 CD 交 AB 于 P，过 D 作 DN ⊥ CA 于 N，则 ∠CND = 90°，ND = AB = 4，CN = CA + AN = 1 + 2 = 3，
所 以 CD = 槡CN2 + ND2 = 槡32 + 42 = 5，所以 y 的最小
值为 5．
游戏中的数学知识
浙江省象山县鹤浦中学 315733 奚喜兵
概率”这一原理． 用抓阄的方法给新生编班，是因为该新生被
编入五个班级中的 其 中 一 个 班 的 机 会 是 均 等 的，即 都 是
1 5
，
而五个班 主 任 抓 阄 时，取 到 该 新 生 的 概 率 也 每 人 相 等，都 是
1 5
，所以说用抓阄的方式给新生编班的方法是比较公平合理
( 2) 当 m ≤ x ≤ n 时，比较对称轴直线 x = k，与区间［m，
n］之间的位置关系，充分结合图形，根据函数的增减性确定
函数的最值．
① 若 k ≥ n，则函数在 m ≤ x ≤ n y 随 x 增大而减小． 当 x
= m 时，y 有最大值． 当 x = n 时，y 有最小值．
② 若 k ＜ m，则函数在 m ≤ x ≤ n; y 随 x 增大而减小，当
中学数学杂志 总第 272 期
既有绝对值又有字母的函数的最值的求法
姨 2
②当1≤x＜e时，f（x）=x -alnx+1，f′（x）=2x-
a
=
2
（x+
%
a
）
xx
2
姨%
（x-
a ）（1≤x＜e）。
2
姨%
（i）当
a ≤1，即0＜a≤2时，f′（x）在x∈（1，e）时为正数，所以f
2
（x）在区间［1，e）上为增函数。 故当x=1时，ymin=1+a，且此时f（1）＜f（e）。
ln
a 2
，且此时f（
%
a ）＜f（e） 2
姨%
（iii）当
a
2
≥e；即a≥2e 时，f′（x）在x∈（1，e）时 为 负 数 ，
2
2
所以f（x）在区间［1，e］上为减函数，故当x=e时，ymin=f（e）=e 。
2
综 述 ：①当a≥2e 时 ，f（x）在x≥e时 和1≤x≤e时 的 最 小 值
2
2
（1）若 f（0）≥1，求 a的 取 值 范 围 ；
（2）求 f（x）的 最 小 值 ；
（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），直接写出（不需 给 出 演
算 步 骤 ）不 等 式 h（x）≥1的 解 集 。
····
解 析 ：（1）解 答 略 。
2
2
（2）（ⅰ）当x≥a时，即在x∈［a，+∞）上，f（x）=3x -2ax+a ，
（2）用 上 面 只 含 有 字 母 的 函 数 求 最 小 值 的 方 法 ， 对 字 母 进 行分类，求每种情况下的最小值；
（3）最 后 按 字 母 的 分 类 ， 对 每 一 种 情 况 的 最 小 （ 或 最 大 ） 值 进行比较，取其中的最小（或最大）值，并进行综合表述，用比 较简单的形式表示即可。
函数最值的解法小结20160622
函数最值的解法小结摘要：最值是中学数学中的一个重要知识点，但教材中没有系统地介绍极值的求法。
本文从11个方面探讨了求初等函数最值的一些常用有效的方法。
关键词：函数，最值，初等函数，常用解法前言中学数学的最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何，在生产实践中也有广泛的应用。
中学数学的最值知识又是进一步学习高等数学中最值问题的基础。
因此，最值问题历来是各类考试的热点。
但教材只是零散地介绍几种求最值的方法，本文作者旨在归纳与总结，并系统地介绍几种求最值的方法。
1．配方法对于解析式中主体部分为二次三项式的函数，一般都可以用此法，中学大部分求极值的问题都是用此法求解。
例1-1．求函数y =分析：欲求min y ，只需使被开方数2615x x ++的值最小，222615(69)6(3)6x x x x x ++=+++=++而2(3)6x ++是一个非负数。
取最小值的充要条件是2(3)0x +=，故当x=-3时，min y =例1-2．求函数2cos 2cos 3y x x =-+的最大值和最小值分析：不难看出函数y 的解析式是以cos x 为主元的二次三项式，考虑将其配方，则22cos 2cos 113(cos 1)2y x x x =-+-+=-+min max (cos 1)2(cos 1)6y y x y y x =====-=2．平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．例2-1.已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为 。
【思路】 本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进而可以利用二次函数的最值解决．【解析】 由题意，得⎩⎨⎧ 1－x ≥0，x ＋3≥0，所以函数的定义域为{x |－3≤x ≤1}．又两边平方，得y 2＝4＋21－x ·x ＋3＝4＋2 1－x x ＋3 .所以当x ＝－1时，y 取得最大值M ＝22；当x ＝－3或1时，y 取得最小值m ＝2【讲评】 对于形如y ＝a －cx ＋cx ＋b 的无理函数的最值问题，可以利用平方法将问题化为函数y 2＝(a ＋b )＋2 a －cx cx ＋b 的最值问题，这只需利用二次函数的最值即可求得．3. 换元法此类最值问题，往往是已知两个或两个以上变量的一个关系，求这些变量的另一个关系的最值，用函数极值法处理这一类最值时，须利用已知条件，将几个变量通过换元化为一个变量的关系，再来求其最值，但换元过程中必须注意对元的取值范围的确定。
追根溯源,挖掘本质——对一类含绝对值的最值问题的探究
追根溯源,挖掘本质——对一类含绝对值的最值问题的探究蒋志飞【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2017(000)005【总页数】2页(P88-89)【作者】蒋志飞【作者单位】江苏省丹阳市吕叔湘中学【正文语种】中文最近，在高三的一轮复习课堂上接连出现含绝对值的函数最值问题，笔者在教学中发现很有规律可循，现整理成文，与同行探讨．求函数f（x）=|x-1|+|2x-1|+…+|2011x-1|的最小值．（2011年高校自主招生联盟之一“北约”试题）众所周知，函数f（x）=|x-a|+|x-b|（a＜b）的最小值为ba，此时x∈［a，b］．这不仅可以利用函数图像求得，也可以用绝对值不等式的性质很快得出结果．这类问题可以推广为n元的情况，同样可以结合这类函数的图像特征，求出相应的最小值，并且发现有规律可循．但是，“北约”将这道题继续推广：当绝对值内x的系数不全为1时，函数的最小值问题．那么这类问题该如何求出，是否具有一般性的规律呢？下面就借助首先给出函数的最小值的求法．先给出引理：函数f（x）=|x-b1|+|x-b2|+…+|x-bn|（b1＜b2＜…＜bn，n∈N+）一定有最小值．（1）若n=2k-1（k∈N+），则当x=bk时，f（x）有最小值f（bk），f（bk）=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k-1）|；（2）若n=2k（k∈N+），则当x∈［bk，bk+1］时，f（x）有最小值f（bk），f（bk）=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k）|．引理证明：（1）当n=2k-1（k∈N+）时，f（x）=|x-b1|+|x-b2|+…+|x-bk|+…+|x-b2k-1|（b1＜b2＜…＜bk＜…＜b2k-1）．由绝对值不等式的性质得|x-b1|+|x-b2k-1|≥b2k-1-b1，当且仅当x∈［b1，b2k-1］时，等号成立；|x-b2|+|x-b2k-2|≥b2k-2-b2，当且仅当x∈［b2，b2k-2］时，等号成立；……|x-bk-1|+|x-bk+1|≥bk+1-bk-1，当且仅当x∈［bk-1，bk+1］时，等号成立；|x-bk|≥0,当且仅当x=bk时等号．又bk∈［bk-1，bk+1］⊆［bk-2，bk+2］…⊆…⊆［b1，b2k-1］，所以当且仅当x=bk时，以上各式等号同时成立．故f（x）≥f（bk）=b2k-1-b1+b2k-2-b2+…+bk+1-bk-1=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k-1）|．（2）当n=2k（k∈N+）时，同理可得|x-b1|+|x-b2k|≥b2k-b1，当且仅当x∈［b1，b2k］时，等号成立；|x-b2|+|x-b2k-1|≥b2k-1-b2，当且仅当x∈［b2，b2k-1］时，等号成立；……|x-bk|+|x-bk+1|≥bk+1-bk，当且仅当x∈［bk，bk+1］时，等号成立．又［bk，bk+1］⊆［bk-1，bk+2］⊆…⊆［b1，b2k］，所以当且仅当x∈［bk，bk+1］时，以上各式等号同时成立．故f（x）≥f（bk）=b2k-b1+b2k-1-b2+…+bk+1-bk=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k）|．从以上证明的过程可知，如果函数的常数bi（i=1，2，···，n）有相等量，只需对bi从小到大排序，同样可以按照上述方法求出其最小值及相应的x值．进而得到推论：对于函数（x1≤x2≤…≤xn，M，n∈N+）的形式．（1）若n=2k-1（k∈N+），则当x=xk时，f（x）取最小值；（2）若n=2k（k∈N+），则当x∈［xk，xk+1］时，f（x）取最小值．例1求函数y=|2x-1|+|x-1|+|x-2|的最小值，并求相应x的值．解故当x∈例2若不等式恒成立，求实数m的取值范围．解：不等式可化为|2x|+|x-2|+|2（x-1）|＞2m，即|x|+|x|+ |x-1|+|x-1|+|x-2|＞2m恒成立．又函数y=|x|+|x|+|x-1|+|x-1|+|x-2|最小值为f（1）=3，于是只需3＞2m，得故实数m的取值范围为用此推论，易得“北约”考题解答：f（x）min通过对函数i∈N+）的最小值的探究，使我们掌握了一种简捷的求解方法，它回避了描点画图和烦琐的运算，为研究相关的绝对值不等式问题提供了有力的工具，在实际中也具有一定的应用价值．1．注重发散思维，拓展解题方法高中数学是一门重逻辑、重思维的学科，除了涉及到众多理论内容之外，针对不同类型的数学题目也有诸多求解的方法，所以为了更好地解决有关的高中数学问题，需要在明确解题思路的基础上，合理选择一些适宜的解题方法来达到快速求解数学问题的目的，这就要求高中数学教师在平时的解题教学中要注重拓展学生的发散性思维，比如通过“一题多解”或者“多题一解”的变式解题训练可以更好地锻炼学生的解题思维，从而可以为提升学生的高中数学求解能力奠定扎实基础．而高中数学求解中常用的解题法有构建函数法、数形结合法、反证法以及类比法等多种方法．但是无论采用何种解题法，都需要结合题干信息及已求解出的条件来合理选用求解的方法，从而最终达到求解的目的．2．把握解题的适度性，提升解题能力教学中注重把握解题教学训练的适度性，避免陷入题海求解训练，更重要的是要把握解题训练的精炼特性，以便学生解题训练的效果最大化．比如，针对不同类型的高中数学知识，教师可以专门为学生制定一些专项解题训练题目来进行求解训练；引导学生在平时的解题过程中要注重及时反思解题过程中的差误，归纳和总结解题的一些小技巧、小窍门等解题经验，从而逐步借助高效的解题训练和解题知识的积累来逐步提升学生的数学解题能力．总之，教无定法，贵在得法，高中数学解题教学也不例外．传统解题训练过于重视“就题论题”和“题海训练”，却忽视了学生在解题训练中的自主能动性和思维的灵活性，影响了学生的解题效果．若能注意解题中的一题多解、多题一解等解题思想，注意解题的效率，就能提高学生的解题能力，教师的教学效益．。
一类高次函数最值的求法
ｓ＝剁＋２戍＋２∥＝列＋警＋半． Ｉ酗ｘｙ＞Ｏ，警＞０＇２Ｖｚ＞ｏ，
Ｒ
最大的亮度？
（注：Ｑ点亮度Ｙ与ｓｉｎ ａ成 正比，与ｒ２成反比）．
‘、，
／０
｜
．、
文｝
ｘｙ・孚・警＝４俨（定值）． 由定理２知，当冽：１＝学。１＝学．１＇
Ｑ／
即在ｚ＝Ｙ＝河时，
Ｓ最小一３渖，此时ｚ＝丢汛
即无盖长方体水箱的底面为正方形，且高为
１
１ １
２２，…，２一．所以要使１＋去＋告＋…＋土＞１０，
厶
。
咒
１
可以选择从去开始的２０＋２１＋２２＋…＋２１７项，
厶
即一共需要２１８（２６１ ２４４）项，就一定能够保证１＋
１ １ １
专＋专＋…＋去＞１０．当然可以选择一个很大
的数如１０５，即要找自然数咒，使１＋去＋去＋…＋
６ １ ｏ
１
问题２专＋啬＋…＋击是否为一个无限大
宁２鼎２裹‰一．．＝
庀 尼
所以原式在旦壬堡一垒｛盈＝…＝
ｚｌｚ；＋雹 ｚ２ｚ；＋ｚ； 川 嘞
—‰＝ｉ岳ｊ，即ｚ。＝ｚ：＝…＝磊
，．．Ｔｒｒ－－１Ｘ：＋磊 ｚ属ｉ
从以上几例可以看出，解决问题的关键在于构 造出符合条件的相应函数，只要细心观察，很多种类
的函数最值问颢都可转化到这—形式而得蛰Ｉ懈泱．
ＡＢ＝ｚ，高ＢＣ＝Ｙ，直径ＡＣ＝
ｄ，设强度为Ｆ，忌是与梁的强度
有关的常数．依题意得Ｆ＝
图１
ｋｘｙ２．因为Ｆ与Ｆ２同时取最大值，故先考虑Ｐ＝ 龙２２２（，）２，其中惫２为一常数，≯，扩是两个正数， 且≯＋扩＝扩（定值），由定理１知，当≯：１＝，
明书写较繁，故从略）．利用这一结论求最值，有它