2019年高二下学期第一次月考数学(理)试卷
高二数学(理)月考试题
高二下学期数学第一次月考试卷（理）(总分：150分 时间：120分钟)一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知}{R x x y y M ∈-==,42，}{42≤≤=x x P 则M P 与的关系是（ ） A ．P M = B ．P M ∈ C ．φ=P M D ．P M ⊇2、等比数列{}n a 中，已知3231891===q a a n ，，，则n 为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．63、“3x >”是“24x >”的（ ）.A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、在△ABC 中，a ＝，b ＝B ＝45°，则A 等于（ ）.A ． 30°B ． 60°C ． 30°或150°D ．60°或120°5、函数)62sin(π+-=x y 的单调递减区间是（ ）A ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,23,26ππππ B ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,265,26ππππ C ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,3,6ππππ D ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,65,6ππππ 6、不等式1213≥--xx 的解集是 ( ) A ．{x|243≤≤x } B ．{x|243<≤x } C ．{x|x ＞2或43≤x } D ．{x|x ＜2} 7、已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（ ） Ａ．7412⎛⎫- ⎪⎝⎭，， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，，8、“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 9、已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为( )A ．53B ．43 CD 10、已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y p x p =>的准线相切，则p 为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上)11、某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个。
惠来县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学
惠来县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学一、选择题1． 函数f （x ）=sin ωx+acos ωx （a ＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，则ω的一个可能取值是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．92． 过抛物线C ：x 2=2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段|AF|=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43． 某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．13πB ．16πC ．25πD ．27π4． 直径为6的球的表面积和体积分别是（ ）A ．144,144ππB ．144,36ππC ．36,144ππD ．36,36ππ5． 若关于的不等式2043x ax x +>++的解集为31x -<<-或2x >，则的取值为（ ）A ．B ．12C ．12- D ．2-6． 有30袋长富牛奶，编号为1至30，若从中抽取6袋进行检验，则用系统抽样确定所抽的编号为（ ） A ．3，6，9，12，15，18 B ．4，8，12，16，20，24 C ．2，7，12，17，22，27 D ．6，10，14，18，22，267． 12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-28． 已知函数y=x 3+ax 2+（a+6）x ﹣1有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜a ＜2B ．﹣3＜a ＜6C ．a ＜﹣3或a ＞6D ．a ＜﹣1或a ＞29．若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A．B．C ．D．10．下列给出的几个关系中：①{}{},a b ∅⊆；②(){}{},,a b a b =；③{}{},,a b b a ⊆；班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________④{}0∅⊆,正确的有（ ）个A.个B.个C.个D.个11．将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．12．“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要二、填空题13．在中，角、、所对应的边分别为、、，若，则_________14．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x ﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为 ．15．在极坐标系中，O 是极点，设点A ，B 的极坐标分别是（2，），（3，），则O 点到直线AB的距离是 ．16． 设函数()xf x e =，()lng x x m =+．有下列四个命题：①若对任意[1,2]x ∈，关于x 的不等式()()f x g x >恒成立，则m e <； ②若存在0[1,2]x ∈，使得不等式00()()f x g x >成立，则2ln 2m e <-；③若对任意1[1,2]x ∈及任意2[1,2]x ∈，不等式12()()f x g x >恒成立，则ln 22em <-； ④若对任意1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，则m e <．其中所有正确结论的序号为 .【命题意图】本题考查对数函数的性质，函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解，推理论证能力，考查分类整合思想.17．（文科）与直线10x +-=垂直的直线的倾斜角为___________．18．在直角梯形,,DC//AB,AD DC 1,AB 2,E,F ABCD AB AD ⊥===分别为,AB AC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动（如图所示）．若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈， 则2λμ-的取值范围是___________．三、解答题19．已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）e x．（1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）存在极大值，并记为g（m），求g（m）的表达式；（3）当m=0时，求证：f（x）≥x2+x3．20．在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）满足=3，其中=（2x+3，y），=（2x﹣﹣3，3y）．（1）求点P的轨迹方程；（2）过点F（0，1）的直线l交点P的轨迹于A，B两点，若|AB|=，求直线l的方程．21．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点．（Ⅰ）证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；（Ⅱ）证明：B1F∥平面A1BE；（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体A1﹣B1BE的体积．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 外接于圆，AC 是圆周角BAD ∠的角平分线，过点C 的切线与AD 延长线交于点E ，AC 交BD 于点F ． （1）求证：BDCE ；（2）若AB 是圆的直径，4AB =，1DE =，求AD 长23．已知函数()()xf x x k e =-（k R ∈）． （1）求()f x 的单调区间和极值； （2）求()f x 在[]1,2x ∈上的最小值．（3）设()()'()g x f x f x =+，若对35,22k ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦及[]0,1x ∀∈有()g x λ≥恒成立，求实数λ的取值范围．24．化简：（1）．（2）+．25．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1的离心率互为倒数，且直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C交于M、N两点，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围．26．已知过点P（0，2）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，O为坐标原点．（1）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；（2）若线段AB的中垂线交x轴于点Q，求△POQ面积的取值范围．惠来县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，∴sin+acos=﹣=﹣2，∴a=，∴f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）．再根据f（）=2sin（+）=﹣2，可得+=2kπ+，k∈Z，∴ω=12k+7，∴k=0时，ω=7，则ω的可能值为7，故选：C．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．2．【答案】A【解析】解：∵x2=2y，∴y′=x，∴抛物线C在点B处的切线斜率为1，∴B（1，），∵x2=2y的焦点F（0，），准线方程为y=﹣，∴直线l的方程为y=，∴|AF|=1．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查导数知识，正确运用抛物线的定义是关键．3．【答案】C【解析】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故选C．【点评】本题考查了长方体的三视图，长方体与外接球的关系，属于中档题．4．【答案】D【解析】考点：球的表面积和体积． 5． 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，根据不等式与方程的关系可知，不等式解集的端点就是对应的方程的根，可得方程2043x ax x +=++，解得3,1,x x x a =-=-=-，其对应的根分别为3,1,2x x x =-=-=，所以2a =-，故选D.考点：不等式与方程的关系. 6． 【答案】C【解析】解：从30件产品中随机抽取6件进行检验， 采用系统抽样的间隔为30÷6=5， 只有选项C 中编号间隔为5， 故选：C ．7． 【答案】B 【解析】考点：向量共线定理．8． 【答案】C【解析】解：由于f （x ）=x 3+ax 2+（a+6）x ﹣1，有f ′（x ）=3x 2+2ax+（a+6）．若f （x ）有极大值和极小值，则△=4a 2﹣12（a+6）＞0，从而有a ＞6或a ＜﹣3， 故选：C ．【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．9． 【答案】 A【解析】解：∵椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，∴圆的半径，由，得2c ＞b ，再平方，4c 2＞b 2，在椭圆中，a 2=b 2+c 2＜5c 2，∴；由，得b+2c ＜2a ，再平方，b 2+4c 2+4bc ＜4a 2， ∴3c 2+4bc ＜3a 2， ∴4bc ＜3b 2，∴4c ＜3b ，∴16c 2＜9b 2， ∴16c 2＜9a 2﹣9c 2， ∴9a 2＞25c 2，∴，∴．综上所述，．故选A ．10．【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，根据集合之间的关系可知：{}{},,a b b a ⊆和{}0∅⊆是正确的，故选C. 考点：集合间的关系. 11．【答案】B【解析】解：将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数．故选B ．【点评】本题是基础题，考查函数的图象的平移与图象的伸缩变换，注意先平移后伸缩时，初相不变化，考查计算能力．12．【答案】B 【解析】试题分析：因为p 假真时，p q ∨真，此时p ⌝为真，所以，“p q ∨ 真”不能得“p ⌝为假”，而“p ⌝为假”时p 为真，必有“p q ∨ 真”，故选B. 考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用.二、填空题13．【答案】【解析】 因为，所以，所以 ，所以答案：14．【答案】 （x ﹣1）2+（y+1）2=5 ．【解析】解：设所求圆的圆心为（a ，b ），半径为r ， ∵点A （2，1）关于直线x+y=0的对称点A ′仍在这个圆上， ∴圆心（a ，b ）在直线x+y=0上， ∴a+b=0，①且（2﹣a ）2+（1﹣b ）2=r 2；②又直线x ﹣y+1=0截圆所得的弦长为，且圆心（a ，b ）到直线x ﹣y+1=0的距离为d==，根据垂径定理得：r 2﹣d 2=，即r 2﹣（）2=③；由方程①②③组成方程组，解得；∴所求圆的方程为（x ﹣1）2+（y+1）2=5． 故答案为：（x ﹣1）2+（y+1）2=5．15．【答案】 ．【解析】解：根据点A ，B 的极坐标分别是（2，），（3，），可得A 、B 的直角坐标分别是（3，）、（﹣，），故AB 的斜率为﹣，故直线AB 的方程为 y ﹣=﹣（x ﹣3），即x+3y ﹣12=0，所以O 点到直线AB 的距离是=，故答案为：．【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．16．【答案】①②④ 【解析】17．【答案】3π 【解析】3π. 考点：直线方程与倾斜角．18．【答案】[]1,1- 【解析】考点：向量运算．【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）令f（x）=0，得（x2+mx+m）e x=0，所以x2+mx+m=0．因为函数f（x）没有零点，所以△=m2﹣4m＜0，所以0＜m＜4．（2）f'（x）=（2x+m）e x+（x2+mx+m）e x=（x+2）（x+m）e x，令f'（x）=0，得x=﹣2，或x=﹣m，当m＞2时，﹣m＜﹣2．列出下表：x （﹣∞，﹣m）﹣m （﹣m，﹣2）﹣2 （﹣2，+∞）f'（x）+0 ﹣0 +f（x）↗me﹣m↘（4﹣m）e﹣2↗当x=﹣m时，f（x）取得极大值me﹣m．当m=2时，f'（x）=（x+2）2e x≥0，f（x）在R上为增函数，所以f（x）无极大值．当m＜2时，﹣m＞﹣2．列出下表：x （﹣∞，﹣2）﹣2 （﹣2，﹣m）﹣m （﹣m，+∞）f'（x）+0 ﹣0 +f（x）↗（4﹣m）e﹣2↘me﹣m↗当x=﹣2时，f（x）取得极大值（4﹣m）e﹣2，所以（3）当m=0时，f（x）=x2e x，令ϕ（x）=e x﹣1﹣x，则ϕ'（x）=e x﹣1，当x＞0时，φ'（x）＞0，φ（x）为增函数；当x＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）为减函数，所以当x=0时，φ（x）取得最小值0．所以φ（x）≥φ（0）=0，e x﹣1﹣x≥0，所以e x≥1+x，因此x2e x≥x2+x3，即f（x）≥x2+x3．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．20．【答案】【解析】解：（1）由题意，=（2x+3）（2x﹣3）+3y2=3，可化为4x2+3y2=12，即：；∴点P的轨迹方程为；（2）①当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不合要求，舍去；②当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程可得：（4+3k2）x2+6kx﹣9=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴|AB|=•|x1﹣x2|==，∴k=±，∴直线l的方程y=±x+1．【点评】本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了向量的坐标运算，训练了利用数量积，属于中档题．21．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴B1C1⊥平面ABB1A1；∵A1B⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥A1B．又∵A1B⊥AB1，B1C1∩AB1=B1，∴A1B⊥平面ADC1B1，∵A1B⊂平面A1BE，∴平面ADC1B1⊥平面A1BE；（Ⅱ）证明：连接EF ，EF ∥，且EF=，设AB 1∩A 1B=O ，则B 1O ∥C 1D ，且，∴EF ∥B 1O ，且EF=B 1O ， ∴四边形B 1OEF 为平行四边形． ∴B 1F ∥OE ．又∵B 1F ⊄平面A 1BE ，OE ⊂平面A 1BE ， ∴B 1F ∥平面A 1BE ，（Ⅲ）解：====．22．【答案】【解析】【命题意图】本题主要考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识，意在考查逻辑推证能力、转化能力、识图能力．∴DE DC BC BA =BC AB=，则24BC AB DE =⋅=，∴2BC =． ∴在Rt ABC ∆中，12BC AB =，∴30BAC ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∴在Rt ABD ∆中，30ABD ∠=︒，所以122AD AB ==．23．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(1,)k -+∞，单调递减区间为(,1)k -∞-，1()(1)k f x f k e -=-=-极小值，无极大值；（2）2k ≤时()(1)(1)f x f k e ==-最小值，23k <<时1()(1)k f x f k e -=-=-最小值，3k ≥时，2()(2)(2)f x f k e ==-最小值；（3）2e λ≤-.【解析】（2）当11k -≤，即2k ≤时，()f x 在[]1,2上递增，∴()(1)(1)f x f k e ==-最小值； 当12k -≥，即3k ≥时，()f x 在[]1,2上递减，∴2()(2)(2)f x f k e ==-最小值；当112k <-<，即23k <<时，()f x 在[]1,1k -上递减，在[]1,2k -上递增， ∴1()(1)k f x f k e -=-=-最小值．（3）()(221)xg x x k e =-+，∴'()(223)xg x x k e =-+，由'()0g x =，得32x k =-， 当32x k <-时，'()0g x <； 当32x k >-时，'()0g x >，∴()g x 在3(,)2k -∞-上递减，在3(,)2k -+∞递增，故323()()22k g x g k e -=-=-最小值，又∵35,22k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]30,12k -∈，∴当[]0,1x ∈时，323()()22k g x g k e -=-=-最小值，∴()g x λ≥对[]0,1x ∀∈恒成立等价于32()2k g x e λ-=-≥最小值；又32()2k g x e λ-=-≥最小值对35,22k ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立．∴32min (2)k ek --≥，故2e λ≤-．1考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值；2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题（2）就是根据这种思想讨论函数单调区间的.24．【答案】【解析】解（1）原式=======﹣1．（2）∵tan（﹣α）=﹣tanα，sin（﹣α）=cosα，cos（α﹣π）=cos（π﹣α）=﹣sinα，tan（π+α）=tanα，∴原式=+=+==﹣=﹣1．【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．25．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率，又∵直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点，∴右顶点为（2，0），即a=2，c=，b=1，…∴椭圆方程为：．…（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m•（k≠0，m≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2）联立消去y并整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0…则，于是…又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列．∴…由m≠0得：又由△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，得：0＜m2＜2显然m2≠1（否则：x1x2=0，则x1，x2中至少有一个为0，直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾）…设原点O到直线的距离为d，则∴故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）…【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，弦长公式以及三角形的面积的表式，考查转化思想以及计算能力．26．【答案】【解析】解：（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得k2x2+（4k﹣4）x+4=0，则由△=（4k﹣4）2﹣16k2=﹣32k+16＞0，得k＜，=，，所以y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=，因为以AB为直径的圆经过原点O，所以∠AOB=90°，即，所以，解得k=﹣，即所求直线l的方程为y=﹣．（2）设线段AB的中点坐标为（x0，y0），则由（1）得，，所以线段AB的中垂线方程为，令y=0，得==，又由（1）知k＜，且k≠0，得或，所以，所以=，所以△POQ面积的取值范围为（2，+∞）．【点评】本题考查直线l的方程的求法和求△POQ面积的取值范围．考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．。
贵州省高二下学期第一次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．设集合，集合N 为函数的定义域，则（ ）{}|12M x x =-≤≤()lg 1y x =-M N ⋂=A ． B ． C ． D ． ()12，[]12，[)12，(]12，【答案】D【分析】根据对数的真数为正数化简集合，进而由集合的交运算即可求解. (1,)N =+∞【详解】由，所以， 101x x ->⇒>(1,)N =+∞又，所以， {}|12M x x =-≤≤(]1,2M N = 故选:D2．若，则（ ） 43z i =-zz =A ．1 B ．-1C ．D ．4355i +4355i -【答案】C【分析】根据共轭复数与模长的求解计算即可.【详解】因为,故. 43z i =-4355z i z==+故选：C.3．已知椭圆中，长轴长为10 ）22221(0)x y a b a b +=>>A ．B ．10C ．D ．【答案】A【分析】根据椭圆长轴和离心率的概念即可求解.【详解】，所以；又因为 210a = 5a =c e a ==得c =2c =故选：A.4．设是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） l αβA ．若，，则 //l α//l β//αβB ．若，，则 αβ⊥l α⊥l β⊥C ．若，，则 αβ⊥//l αl β⊥D ．若，，则 //l αl β⊥αβ⊥【答案】D【解析】由线面平行的性质和面面平行的判定可判断选项A ；由面面垂直的性质定理和线面平行的性质可判断选项B ；由面面垂直的性质定理和线面位置关系可判断选项C ；由线面平行的性质和面面垂直的判定定理可判断选项D ；【详解】对于选项A ：若，，则或与相交，故选项A 不正确； //l α//l β//αβαβ对于选项B ：若，，则或，故选项B 不正确；αβ⊥l α⊥//l βl β⊂对于选项C ：若，，则或或与相交，故选项C 不正确；αβ⊥//l α//l βl β⊂l β对于选项D ：若，由线面平行的性质定理可得过的平面，设，则，所以//l αl γm γα= //m l ，再由面面垂直的判定定理可得，故选项D 正确；m β⊥αβ⊥故选：D5．已知{}是等差数列，且，则=（ ） n a 466,4a a ==10a A ．2 B ．0C ．D ．2-4-【答案】B【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.【详解】设等差数列的首项为，公差为，由，即，解得. {}n a 1a d 4664a a =⎧⎨=⎩113654a d a d +=⎧⎨+=⎩191a d =⎧⎨=-⎩所以，所以. 1(1)9(1)10n a a n d n n =+-=--=-+1010100a =-+=故选：B6．已知点P （x ,y ）是曲线上的一动点，则点P （x ,y ）到直线的距离的最小值为2y x =240x y --=（ ） ABCD ．35【答案】C【分析】当曲线在点P 处的切线与已知直线平行时点P 到该直线的距离最小，结合导数的几何意义和点到直线的距离公式计算即可求解.【详解】当曲线在点P 处的切线与直线平行时，点P 到该直线的距离最小，240x y --=，2y x '=由直线的斜率，则， 240x y --=2k =22x =得，有，所以， 1x =21y x ==(1,1)P ∴到直线距离. (1,1)P 240x y --=d ==故选：C.7．如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该函数是（ ）A ．B ．C ．D ．22sin 1xy x =+321x xy x -=+22cos 1x xy x =+3231x xy x -+=+【答案】D【分析】利用赋值法，结合图形和排除法即可判断ABC ；利用导数和零点的存在性定理研究函数的单调性，结合图形即可判断D. 【详解】A ：设，由得， ()22sin 1x f x x =+π3π2<<sin 30>则，结合图形，不符合题意，故A 错误； ()2sin 33010f =>B ：设，则，结合图形，不符合题意，故B 错误；()321x xg x x -=+()10g =C ：设，当时，，，22cos ()1x x h x x =+π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos [0,1]x ∈212x x +≥所以，即， 222cos 20111x x xx x ≤≤≤++0()1h x ≤≤当且仅当时等号成立，结合图形，不符合题意，故C 错误；1x =D ：设，则， 323()1x xu x x -+=+(0)x >422263()(1)x x u x x --+'=+(0)x >设，则，42()63v x x x =--+(0)x >3()4120v x x x '=--<所以函数在上单调递减，且， ()v x (0,)+∞(0)30,(1)40v v =>=-<故存在，使得，0(0,1)x ∈0()0v x =所以当时，即，当时，即，0(0,)x x ∈()0v x >()0u x '>0(,)x x ∈+∞()0v x <()0u x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，结合图形，符合题意，故D 正确. ()u x 0(0,)x 0(,)x +∞故选：D.8．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且满足，则的最大值为222sin 2sin 3sin C A B =-tan B （ ） ABCD ．54【答案】B【分析】利用正弦定理及余弦定理表示，结合基本不等式求得的取值范围，从而求得cos B cos B 的取值范围，即得.tan B 【详解】依题意，222sin 2sin 3sin C A B =-由余弦定理得，， 22223c a b =-2222133b ac =-所以 222222222222114143333cos 2226a c a c a ca cb ac B ac ac ac ac+-+++-+====⋅，当且仅当时等号成立， 1263≥=2a c =即为锐角，，， B 2cos 13B ≤<22419cos 1,19cos 4B B ≤<<≤，222222sin 1cos 15tan 10,cos cos cos 4B B B B B B -⎛⎤===-∈ ⎥⎝⎦所以. tan B 故选：B.二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．直线在y 轴上的截距为2 24y x +=B ．直线必过定点（2,0） ()20R ax y a a --=∈C ．直线的倾斜角为10x +=2π3D ．过点且垂直于直线的直线方程为 ()2,3-230x y -+=210x y ++=【答案】BD【分析】根据直线的截距式方程即可判断A ，根据直线恒过定点的求法即可判断B ，根据直线斜率的定义即可判断C ，根据垂直直线斜率之积为-1，结合直线的点斜式方程即可判断D. 【详解】A ：直线在轴上的截距为，所以A 不正确； 24y x +=y 2-B ：由，得，20ax y a --=(2)0x a y --=令，解得：，所以该直线恒过定点，故B 正确；200x y -=⎧⎨=⎩20x y =⎧⎨=⎩(2,0)C ：设直线的倾斜角为，，斜率为 10x +=α(]0,απ∈由，故C 错误；tan α=56πα=D ：由直线，得该直线的斜率为，230x y -+=12所以过点且垂直于直线的直线斜率为， (2,3)-230x y -+=2故其方程为，即，故D 正确. 32(2)y x -=-+210x y ++=故选：BD.10．斜率为1的直线l 经过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于两点则下24y x =()()1122,,,A x y B x y 列结论正确的有（ ） A ．B ．抛物线的准线方程为 (1,0)F 1y =-C ．D ．3OA OB ⋅=-10AB =【答案】AC【分析】由抛物线的性质判断AB ；联立直线l 和抛物线方程，利用韦达定理，以及数量积公式、抛物线的定义判断CD.【详解】由抛物线知，焦点，准线方程为，所以A 正确，B 不正确.24y x =(1,0)F =1x -由，消去得：，所以， 214y x y x=-⎧⎨=⎩y 2610x x -+=126x x +=121=x x 所以，所以C 正确； 121212121212(1)(1)2()13OA OB x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+--=-++=- 所以，所以D 不正确. 12||28AB x x =++=故选：AC11．已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且函数()()cos (0,2f x x πωϕωϕ=+><π2是奇函数，则下列判断正确的是（ ）π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．函数f （x ）的最小正周期为B ．函数f （x ）的图像关于点（，0）对称 ππ6C ．函数f （x ）在上单调递增D ．函数f （x ）的图像关于直线对称 3ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π12=-x 【答案】ABD【分析】利用函数图像相邻两条对称轴之间的距离为和函数是偶函数，求出π2π()3f x -，从而可判断选项A 正确；再利用余弦函数的图像与性质，可以判断出选项()cos(2π)6=+f x x BCD 的正误.【详解】因为函数图像相邻两条对称轴之间的距离为，则，π2π22T =πT ∴=又，2π,0T ωω=>2ω∴=又函数是偶函数，因为， π()3f x -ππ2π()cos(2())cos(2)333f x x x ϕϕ-=-+=-+所以，即， 2πππ(Z)32k k ϕ-+=+∈7ππ(Z)6k k ϕ=+∈又，，则.π2ϕ<π6ϕ∴=()cos(2π)6=+f x x 函数最小正周期，故选项A 正确； πT =函数图像对称点的横坐标为：，即， ππ2π(Z)62x k k +=+∈ππ(Z)62k x k =+∈令时，，故选项B 正确； 0k =π6x =又由：，得到 ππ2π22π(Z)6k x k k -+≤+≤∈7ππππ(Z)1212k x k k -+≤≤-+∈所以函数的单调增区间为：， ()cos(2π)6=+f x x 7πππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦令时，得到一个增区间为： 1k =-5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选项C 错误；函数图像的对称所在直线方程为；， πππ2π,(Z)6122k x k x k +==-+∈令时，，故选项D 正确. 1k =-7π12=-x 故选：ABD12．将全体正整数按照以下排列的规律排成一个三角形数阵，下列结论正确的是（ ）A ．第8行最右边的数为38B ．第10行从右向左第个5数为51C ．第10行所有数的和为505D ．第64行从左向右第7个数为2023 【答案】BCD【分析】根据三角数阵可知第行共有个数，且第行的最后一个数字是：，即为n n n 123n ++++ .结合等差数列前n 项求和公式计算，依次判断选项即可. (1)2n n +【详解】由三角形数阵可知， ①第行共有个数；n n ②第行的最后一个数字是：，即为. n 123n ++++ (1)2n n +A ：因为，故A 错误； 1234567836+++++++=B ：因为，1234567891055+++++++++=所以第行中的个数字依次为.故B 正确； 101046,47,48,49,50,51,52,53,54,55C ：由，故C 正确；()5545104655464748495051525354555052S S ⨯+-=+++++++++==D ：由，知第行最后的一个数为；()6316312346320162⨯++++++== 632016所以第行中的数字从左到右依次为642017,2018,2019,2020,2021,2022,2023,2024，，第7个数为2023，故D 正确. L 故选：BCD.三、填空题13．已知函数的最小正周期为，则___________. ()()sin 0f x x ωω=>πω=【答案】2【分析】利用正弦型函数的周期公式可求得的值.ω【详解】因为函数的最小正周期为，则. ()()sin 0f x x ωω=>π2π2πω==故答案为：.214．已知直线和圆相交于、两点，则弦长:210l x y --=22:210C x y y +--=A B AB =__________．【详解】由圆方可知其圆心坐标为，半径∴C (0,1)r =d. AB ===点睛：本题主要考查了直线与圆相交求截得弦长问题，属于基础题；求直线被圆所截得的弦长时，根据圆的性质通常考虑由弦心距，弦长的一般作为直角边，圆的半径作为斜边，利用勾股定理来解决问题，通常还会用到点到直线的距离公式.15．已知双曲线，若过右焦点F 且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个22221(0,0)x y a b a b-=>>30 交点，则此双曲线离心率的取值范围是___________.【答案】【分析】根据题意可知双曲线的渐近线方程的斜率需小于直线的斜率，得，结合b y x a =b <.b =【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为， by x a=±要使直线与双曲线的右支有两个交点， 需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率， by x a=即，即，由tan 30b a ︒<=b <b =，整理得，所以 <2234c a <c e a =<因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是， 1e >故答案为：． 16．已知三棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径若平面平面S ABC -.SCA ⊥SCB ，，，三棱锥的体积为9，则球O 的表面积为______． SA AC =SB BC =S ABC -【答案】36π【详解】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S−ABC 的体积为9， 可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ， 可得 ，解得r=3. 112932r r r ⨯⨯⨯⨯=球O 的表面积为： .2436r ππ=点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.四、解答题17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足，. 13a =123n n S a ++=（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若等差数列{b n }的前n 项和为T n ，且，，求数列的前n 项和Q n ．11T a =33T a =11{}n n b b +【答案】（1）（2）3nn a =9(21)nn +【分析】（1）根据数列的通项与的关系，化简求得，得到数列是首项为n a n S 13()n n a a n N ++=∈{}n a 3、公比为3的等比数列，即求解通项公式； （2）由（1）可得，得到，利用裂项法，3(21)n b n =-()()11111192n 12n 1182n 12n 1n n b b +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭即可求解．【详解】（1）当时，得， 1n =29a =由，得，123n n S a ++=123(2)n n S a n -+=≥两式相减得，又，∴，112()n n n n S S a a -+-=-1n n n S S a --=13(2)n n a a n +=≥又，∴，显然， 213a a =13()n n a a n N ++=∈10,3n n na a a +≠=即数列是首项为3、公比为3的等比数列，∴；{}n a 1333n nn a -=⨯=（2）设数列的公差为，则有，{}n b d 13b =由得，解得，∴，33T a =13327b d +=6d =3(1)63(21)n b n n =+-⨯=-又， ()()11111192n 12n 1182n 12n 1n n b b +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭∴==． n 111111Q 1183352n 12n 1⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111182n 1⎛⎫- ⎪+⎝⎭()n 92n 1+【点睛】本题主要考查等比数列的定义及通项公式、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项法”之后求和时，弄错项数导致错解，能较好的考查逻辑思维能力及基本计算能力等.18．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足.222sin sin sin sin sin A B C B C --=(1)求角A ；(2)若，求△ABC 周长的取值范围. 6a =【答案】(1) 2π3A =(2)(12,6+【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得，由余弦定理即可求解，222a b c bc --=（2）根据正弦定理得，由内角和关系以及和差角公式可得b B=1sin 2c B B ⎫=-⎪⎪⎭，进而由三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由正弦定理可得：，222a b c bc --=，， 2221cos 22c b a A bc +-∴==-()0,πA ∈ 2π3A ∴=（2）因为，，所以，故πA B C ++=2π3A =π3B C +=ππ(0)33C BB =-<<由正弦定理得： 62πsin sin sin sin3a bc A B C====所以，b B=π1sin 32c C B B B ⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以周长 ABCA 1π6sin 623a b cB B B B ⎫⎛⎫=++=++-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭因为，则π03B <<ππ2π<333B <+πsin 13B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭故π12663B ⎛⎫<++≤+ ⎪⎝⎭求周长的取值范围为.ABC A (12,6+19．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备9.810.3 10.0 10.29.99.810.0 10.1 10.29.7新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．x y 21s 22s（1）求，，，；x y 21s 22s（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）． 【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设221210,10.3,0.036,0.04x y s s ====备有显著提高.【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断. 【详解】（1）， 9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==， 10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==， 22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610s +++++++++==. 222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410s +++++++++==（2）依题意，， 0.320.15y x -==⨯===，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. y x -≥20．设函数，其中.22()3ln 1f x a x ax x =+-+0a >（1）讨论的单调性；()f x （2）若的图象与轴没有公共点，求a 的取值范围.()y f x =x 【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）. ()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭1a e >【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a 的取值范围.()10f >()min 0f x >【详解】（1）函数的定义域为，()0,∞+又， ()23(1)()ax ax f x x+-'=因为，故，0,0a x >>230ax +>当时，；当时，； 10x a<<()0f x '<1x a >()0f x '>所以的减区间为，增区间为. ()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭（2）因为且的图与轴没有公共点，()2110f a a =++>()y f x =x 所以的图象在轴的上方，()y f x =x 由（1）中函数的单调性可得， ()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭故即. 33ln 0a +>1a e>【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化. 21．如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点.(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正切值.M ABC -【答案】(1)证明见解析；(2)2.【分析】（1）证得平面，结合面面垂直的判定定理即可证出结论；DM ⊥BMC （2）当在的中点位置时体积最大，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即M A AB 可求出结果.【详解】（1）由题设知，平面平面，交线为.CMD ⊥ABCD CD 因为，平面，BC CD ⊥BC ⊂ABCD 所以平面，平面，BC ⊥CMD DM ⊂CMD 故,因为是上异于，的点，且为直径， BC DM ⊥M A CDC D DC 所以，又，平面，DM CM ⊥BC CM C =I ,BC CM ⊂BMC 所以平面，而平面，DM ⊥BMC DM ⊂AMD故平面平面；AMD ⊥BMC （2）以D 为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间DA x DC y 直角坐标系.D xyz -当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为的中点.CD 由题设得，()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,1D A B C M()()()2,1,1,0,2,0,2,0,0AM AB DA =-==设是平面MAB 的法向量，则(),,n x y z = 即，可取， 00n AM n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020x y z y -++=⎧⎨=⎩()1,0,2n = 又是平面的一个法向量，因此 DAMCD， cos ,n DA n DA n DA ⋅=== []0π,,n DA ∈ 得， sin ,n DA = tan ,2n DA = 所以面与面所成二面角的正切值是.MAB MCD 222．已知椭圆的左，右焦点分别为、，离心率为，直线l 经过点2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F 122F 且与椭圆C 交于不同两点A ，B ，当A 是椭圆C 上顶点时，l 与圆相切.223x y +=(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求的取值范围.11F A F B ⋅ 【答案】(1) 2211612x y +=(2)[]12.7-【分析】（1）根据题意列出方程组，解之即可；22212bc c e a c a b⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎩（2）当直线的斜率不存在时，易得；当直线的斜率存在时，设直线方程为l 117F A F B ⋅= l ，，，联立椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示可得(2)y k x =-11(,)A x y 22(,)B x y ，令得，结合不等式的性质计算即可求解. 11F A F B ⋅= 22283634k k -+2343t k =+≥11577F A F B t ⋅=- 【详解】（1）当A 为椭圆的上顶点时，直线l 与圆相切， 则圆心到直线l ，a =有，得，1122bc a =bc =则，解得22212bc c e a c a b⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎩4,a b ==所以椭圆的标准方程是； C 2211612x y +=（2）由（1）知，则椭圆的左焦点，当直线的斜率不存在时，2c =1(2,0)F -l 易求得，，则；(2,3)A (2,3)B -11443(3)7F A F B ⋅=⨯+⨯-= 当直线的斜率存在时，设直线方程为，，. l (2)y k x =-11(,)A x y 22(,)B x y 由，消得，， ()22211612y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y 2222(34)1616480k x k x k +-+-=， 21221634k x x k ∴+=+2122164834k x x k-=+ 21112121212(2)(2)(2)(2)(2)(2)F A F B x x y y x x k x x ⋅=+++=+++--2221212(1)2(1)()4(1)k x x k x x k =++-+++， 2222222221648162836(1)2(1)4(1)343434k k k k k k k k k --=+⨯+-⨯++=+++令，则， 2343t k =+≥2112283675757734k t F A F B k t t--⋅===-+ ，，， 3t ≥ 1103t <≤571277t -≤-<综上可知，的取值范围是. 11F A F B ⋅ []12,7-。
2019年华二高二第一学期月考数学试卷
华二附中高二月考数学卷2019.12一. 填空题1. 已知一个关于x 、y 的线性方程组的增广矩阵为112012⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -的值为 2. 已知直线l 的倾斜角为α，若4cos 5α=-，则直线l 的斜率为 3. 椭圆22:431C x y +=的长轴长为4. 已知非零向量a r 、b r 满足||2||a b =r r ，且()a b b -⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角为5. 经过原点(0,0)O 和点(1,1)P 且圆心在直线2310x y ++=上的圆的方程为6. 已知点1(2,3)P ，2(4,5)P -，则过点(1,2)A -且与点1P 、2P 距离相等的直线方程为7. 若方程0x y m +-=表示一条直线，则m 的取值范围是8. 已知过焦点且倾斜角为arctan2的直线l 与椭圆22:14x C y +=相交于A 、B 两点，则弦 长||AB 的值为9. 已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，斜率为32的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点 且满足||||4AF BF +=，则直线l 的方程为10. 已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中 点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是11. 已知圆22:4C x y +=，斜率为k 的直线l 过点(0,1)F 与x 轴交于点E ，与圆C 交于点M 、N ，若EM pFM =uuu r uuu r ，EN qFN =uuu r uuu r ，则p q +的取值集合为12. 已知以(0,1)A 为圆心的圆与椭圆2221x y a+=（1a >）至多有3个公共点，则实数a 的取值范围为二. 选择题13. 点(3,4)A -关于直线20x y +-=的对称点是：（ ）A. (3,4)-B. (2,1)-C. (2,5)-D. (5,2)-14. 设点A 、B 、C 不共线，则“AB uu u r 与AC uuu r 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>uu u r uuu r uu u r ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件15. 已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A 、B 两点，若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（ ） A. 2212x y += B. 22132x y += C. 22143x y += D. 22154x y += 16. 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影，由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则||AB =（ ）A. B. 4C. D. 6三. 解答题17. 已知直线:38240l x y --=.（1）写出直线的截距式方程；（2）若直线21:0l x a y --=与直线l 平行，求a 的值.18. 已知圆22:(2)1C x y ++=，(,)P x y 为圆上任一点.（1）求21y x --的最大值；（2）求2x y -的最小值.19. 已知三条直线1:20l x y a -+=（0a >），2:4210l x y -++=，和3:10l x y +-=， 且1l 与2l（1）求a 的值及1l 和3l 夹角. （2）能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：① P 是第一象限的点；② P 点 到1l 的距离是P 点到2l 的距离的12；③ P 点到1l 的距离与P 点到3l； 若能，求P 点坐标，若不能，说明理由.20. 如图，设F 是椭圆22134x y +=的下焦点，直线4y kx =-（0k >）与椭圆相交于A 、B 两点，与y 轴交于点P .（1）若PA AB =uu r uu u r ，求k 的值；（2）求证：AFP BFO ∠=∠；（3）求△ABF 面积的最大值.21. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的右焦点为F ，长轴长为4，O 为坐标原 点，A 为椭圆Γ上一点，M 为线段OA 上的动点，过M 的直线与椭圆Γ交于P 、Q 两点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若PM MQ =uuu r uuu r ，证明：直线OA 的斜率与直线PQ 的斜率之积为定值；（3）若2PM MQ =uuu r uuu r ，求四边形OPAQ 面积的最大值.参考答案一. 填空题1. 2-2. 34- 3. 4. 3π 5. 22(4)(3)25x y -++= 6. 350x y +-=或1x =- 7. [0,1]8. 2017 9. 31123y x =+10.11. 8{}3 12.二. 选择题13. C 14. C 15. B16. C三. 解答题17.（1）183x y -=；（2）3-.18.（1；（2）2-19.（1）3a =，arctan3π-；（2）137(,)918P .20.（1）k =（2）证明略：（3.21.（1）2214x y +=；（2）14-；（3）32.。
吉林省吉林市舒兰一中2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析
吉林省吉林市舒兰一中2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=3x﹣4 B．y=﹣3x+2 C．y=﹣4x+3 D．y=4x﹣52．下列求导结果正确的是（）A．（1﹣x2）′=1﹣2x B．（cos30°）′=﹣sin30°C．[ln（2x）]′=D．（）′=3．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等．在以上三段论的推理中（）A．推理形式错误B．结论错误C．小前提错误 D．大前提错误4．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为05．由曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．2 D．6．一质点运动时速度与时间的关系为v（t）=t2﹣t+2，质点作直线运动，则此物体在时间[1，2]内的位移为（）A．B．C．D．7．设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数8．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或19．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C． D．10．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．11．若函数f（x）=x+（b∈R）的导函数在区间（1，2）上有零点，则f（x）在下列区间单调递增的是（）A．（﹣2，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）13．（x+cos2x）dx= ．14．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则．”15．已知函数f（x）=﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是．16．已知函数y=f（x）的导函数为f′（x）且f（x）=x2f′（）+sin x，则f′（）= ．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x=时，y=f（x）有极值．（1）求a、b、c的值；（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．18．已知函数f（x）=x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．19．已知函数f（x）=xlnx（e为无理数，e≈2.718）（1）求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（2）设实数，求函数f（x）在[a，2a]上的最小值．20．已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．21．已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx，（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围．22．已知函数f（x）=（1﹣x）e x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设，x＞﹣1且x≠0，证明：g（x）＜1．吉林省吉林市舒兰一中2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=3x﹣4 B．y=﹣3x+2 C．y=﹣4x+3 D．y=4x﹣5【考点】导数的几何意义．【分析】首先判断该点是否在曲线上，①若在曲线上，对该点处求导就是切线斜率，利用点斜式求出切线方程；②若不在曲线上，想法求出切点坐标或斜率．【解答】解：∵点（1，﹣1）在曲线上，y′=3x2﹣6x，=﹣3，即切线斜率为﹣3．∴y′|x=1∴利用点斜式，切线方程为y+1=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+2．故选B．2．下列求导结果正确的是（）A．（1﹣x2）′=1﹣2x B．（cos30°）′=﹣sin30°C．[ln（2x）]′=D．（）′=【考点】导数的运算．【分析】按照基本初等函数的求导法则，求出A、B、C、D选项中正确的结果即可．【解答】解：对于A，（1﹣x2）′=﹣2x，∴A式错误；对于B，（cos30°）′=0，∴B式错误；对于C，[ln（2x）]′=×（2x）′=，∴C式错误；对于D， ===，∴D式正确．故选：D．3．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等．在以上三段论的推理中（）A．推理形式错误B．结论错误C．小前提错误 D．大前提错误【考点】演绎推理的基本方法．【分析】根据演绎推理的方法进行判断，首先根据判断大前提的正确与否，若正确则一步一步往下推，若错误，则无需往下推；【解答】解：∵菱形四条边相等，对角线垂直，但对角线不一定相等，∴对于菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等这段推理，首先大前提错误，故选D．4．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为0【考点】反证法与放缩法．【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设．【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选 A．5．由曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．2 D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积，即可求得结论．【解答】解：由，可得或∴曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积为：（﹣x+）dx=（﹣x2+x）=．故选B．6．一质点运动时速度与时间的关系为v（t）=t2﹣t+2，质点作直线运动，则此物体在时间[1，2]内的位移为（）A．B．C．D．【考点】定积分的简单应用．【分析】对速度求定积分求出的是物体的运动位移；利用微积分基本定理求出定积分值即位移．【解答】解：s=（t2﹣t+2）dt===．故选A7．设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．8．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x 轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0．∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故选：A．9．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C． D．【考点】点到直线的距离公式．【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x﹣2的最小距离．【解答】解：过点P作y=x﹣2的平行直线，且与曲线y=x2﹣lnx相切，设P（x0，x2﹣lnx）则有k=y′|x=x0=2x﹣．∴2x0﹣=1，∴x=1或x=﹣（舍去）．∴P（1，1），∴d==．故选B．10．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象．【分析】由题设条件知：当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．由此观察四个选项能够得到正确结果．【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0；当x=﹣2时，f′（x）=0；当x＜﹣2时，f′（x）＜0．∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．故选A．11．若函数f（x）=x+（b∈R）的导函数在区间（1，2）上有零点，则f（x）在下列区间单调递增的是（）A．（﹣2，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】本题先根据导函数在区间（1，2）上有零点，得到b的取值范围，再利用b的取值范围，求出函数的单调增区间，结合b的取值范围，选择符合题意的选项．【解答】解：∵函数∴∵函数的导函数在区间（1，2）上有零点∴当时，b=x2，x∈（1，2）∴b∈（1，4）令f'（x）＞0 得到即f（x）的单调增区间为（﹣∞，），（）∵b∈（1，4）∴（﹣∞，﹣2）适合题意故选D12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）【考点】导数的运算．【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，即[x2f（x）]′＜x3＜0，令F（x）=x2f（x），则当x＜0时，得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2），即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，x+2014＜﹣2，即x ＜﹣2016，故选：C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）13．（x+cos2x ）dx= 0 ．【考点】定积分．【分析】方法一：由（x+cos2x ）dx=（x 2+sin2x ）=sin π=0；方法二：（x+cos2x ）dx=xdx+cos2xdx ，由y=x 为奇函数，y=cos2x 为偶函数，由定积分的性质， xdx=0， cos2xdx=2cos2x=2sin π=0．【解答】解：方法一：由（x+cos2x ）dx=（x 2+sin2x ）=（）2+sin2（）﹣[（﹣）2+sin2（﹣）]=sin π=0，（x+cos2x ）dx=0，故答案为：0；方法二：（x+cos2x ）dx=xdx+cos2xdx ，由y=x 为奇函数，y=cos2x 为偶函数，∴由定积分的性质，xdx=0， cos2xdx=2cos2x=2（sin2x ）=2sin π=0，∴（x+cos2x ）dx=xdx+cos2xdx=0，14．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．”【考点】类比推理．【分析】从平面图形到空间图形的类比【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．故答案为：S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．15．已知函数f（x）=﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是0＜t＜1或2＜t＜3 ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先由函数求f′（x）=﹣x+4﹣，再由“函数在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）=﹣x+4﹣=0在区间[t，t+1]上有解”从而有在[t，t+1]上有解，进而转化为：g（x）=x2﹣4x+3=0在[t，t+1]上有解，用二次函数的性质研究．【解答】解：∵函数∴f′（x）=﹣x+4﹣∵函数在[t，t+1]上不单调，∴f′（x）=﹣x+4﹣=0在[t，t+1]上有解∴在[t，t+1]上有解∴g（x）=x2﹣4x+3=0在[t，t+1]上有解∴g（t）g（t+1）≤0或∴0＜t＜1或2＜t＜3．故答案为：0＜t＜1或2＜t＜3．16．已知函数y=f（x）的导函数为f′（x）且f（x）=x2f′（）+sin x，则f′（）=．【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，令x=，先求出f′（）的值即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x2f′（）+sin x，∴f′（x）=2xf'（）+cosx令x=，则f′（）=2×f'（）+cos则f′（）=，故答案为：三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x=时，y=f（x）有极值．（1）求a、b、c的值；（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（1）=3，f′=0，f（1）=4可求出a，b，c的值，得到答案．（2）由（1）可知函数f（x）的解析式，然后求导数后令导函数等于0，再根据导函数的正负判断函数在[﹣3，1]上的单调性，最后可求出最值．【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c，得f′（x）=3x2+2ax+b当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．①当x=时，y=f（x）有极值，则f′=0，可得4a+3b+4=0．②由①、②解得a=2，b=﹣4．由于l上的切点的横坐标为x=1，∴f（1）=4．∴1+a+b+c=4．∴c=5．（2）由（1）可得f（x）=x3+2x2﹣4x+5，∴f′（x）=3x2+4x﹣4．令f′（x）=0，得x=﹣2，或x=．∴f（x）在x=﹣2处取得极大值f（﹣2）=13．在x=处取得极小值f=．又f（﹣3）=8，f（1）=4．∴f（x）在[﹣3，1]上的最大值为13，最小值为．18．已知函数f（x）=x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数f′（x），易判断x＞1时f′（x）的符号，从而可知f（x）的单调性，根据单调性可得函数的最值；（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，则只需证明F（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为F（x）的最大值小于0，利用导数可求得F（x）的最大值．【解答】（1）解：∵f（x）=x2+lnx，∴f′（x）=2x+，∵x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上是增函数，∴f（x）的最小值是f（1）=1，最大值是f（e）=1+e2；（2）证明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，则F′（x）=x﹣2x2+===，∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是减函数，∴F（x）＜F（1）==﹣＜0，即f（x）＜g（x），∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象下方．19．已知函数f（x）=xlnx（e为无理数，e≈2.718）（1）求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（2）设实数，求函数f（x）在[a，2a]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（e），f′（e）的值，从而求出切线方程即可；（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．【解答】解：（1）∵f（x）定义域为（0，+∞），f'（x）=lnx+1，f（e）=e又f'（e）=2，∴函数y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为：y=2（x﹣e）+e，即y=2x﹣e﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵f'（x）=lnx+1，令f'（x）=0，，时，F'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，F'（x）＞0，f（x）单调递增．当，…..20．已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f （x）的单调区间与极值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，∴f′（x）=﹣﹣，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，解得：a=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，f′（x）=﹣﹣=（x＞0），令f′（x）=0，解得x=5，或x=﹣1（舍），∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值﹣ln5．21．已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx，（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（2）由已知，求得f（x）=x2+x﹣xlnx．将不等式f（x）≥bx2+2x恒成立转化为恒成立．构造函数，只需b≤g（x）min即可，因此又需求g（x）min．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=x﹣xlnx，函数定义域为（0，+∞）．f'（x）=﹣lnx，由﹣lnx=0，得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数．x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上是减函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由f（1）=2，得a+1=2，∴a=1，∴f（x）=x2+x﹣xlnx，由f（x）≥bx2+2x，得（1﹣b）x﹣1≥lnx，又∵x＞0，∴恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令，可得，∴g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增．=g（1）=0∴g（x）min即b≤0，即b的取值范围是（﹣∞，0]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22．已知函数f（x）=（1﹣x）e x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设，x＞﹣1且x≠0，证明：g（x）＜1．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用函数的导数和最值之间的关系，即可求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）利用函数的单调性，证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣xe x．当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴f（x）的最大值为f（0）=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＞0时，f（x）＜0，g（x）＜0＜1．当﹣1＜x＜0时，g（x）＜1等价于设f（x）＞x．设h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=﹣xe x﹣1．当x∈（﹣1，0）时，0＜﹣x＜1，＜e x＜1，则0＜﹣xe x＜1，从而当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）在（﹣1，0]单调递减．当﹣1＜x＜0时，h（x）＞h（0）=0，即g（x）＜1．综上，总有g（x）＜1．。
安徽省高二下学期第一次月考数学试题(解析版)
高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知数列的前4项为：l ，，，，则数列的通项公式可能为{}n a 12-1314-{}n a A ． B ．1n a n=1n a n=-C ．D ．(1)nn a n -=1(1)n n a n--=【答案】D【分析】分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式【详解】正负相间用表示，∴．1(1)n --1(1)n n a n--=故选D ．【点睛】本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律． 2．若为数列的前项和，且，则（ ）n S {}n a n 1n nS n =+51a =A ．B ．C ．D ．305665130【答案】D【分析】根据公式直接求出，进一步求出答案. 1n n n a S S -=-5a 【详解】∵ 5545454151416530=-=-=-=++a S S ∴. 5130a =故选：D.【点睛】本题考查数列前项和与通项公式的关系，属于基础题. n 3．已知数列满足，，则（ ）{}n a 13a =()111n n a a n n +=++n a =A ．B ．C ．D ．14n +14n -12n +12n-【答案】B【分析】由，利用累加法得出. 1111n n a a n n +-=-+n a 【详解】由题意可得，()111111n n a a n n n n +-==-++所以，，…，， 21112a a -=-321123a a -=-1111n n a a n n--=--上式累加可得()()()121321--=-+-++- n n n a a a a a a a a，111111112231=-+-++-=-- n n n 又，所以.13a =14=-n a n故选：B .4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个“九儿问甲歌”问题：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则 n n a 3456719a a a a a a a ++++--=A ． B ． C ． D ．466992138【答案】B【详解】由题意得数列成等差数列，公差为-3，所以9111998(3)20735;2S a a =+⨯⨯⨯-=∴= 选B.3456719a a a a a a a ++++--=131269.a d +=5．已知在数列中，且，设为的前项和，若，则{}n a *11(n n a a n N -=+∈2)n ≥n S {}n a n 972S =9a =（ ） A ． B ． C ． D ．8121636【答案】B【分析】由题意得到数列是以公差为的等差数列，根据，求得的值，{}n a 1()9195992S a a a =+=5a 然后利用，即可求解．954a a d =+【详解】因为在数列中，且，{}n a *11(n n a a n N -=+∈2)n ≥可得且，所以数列是以为公差的等差数列，*11(n n a a n N --=∈2)n ≥{}n a 1d =又因为为的前项和，且， n S {}n a n 972S =所以，解得， ()919599722S a a a =+==58a =又由，所以． 9544a a d -==95412a a =+=故选：B ．6．已知数列的前项和为，，且，，则当取得最大值时，{}n a n n S 212n n n a a a +++=113a =211a =n Sn =A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】由题意，可得数列为等差数列，求得数列的通项公式为，进而得到当{}n a {}n a 152n a n =-时，，当时，，即可得到答案. 17,n n N +≤≤∈0n a >8,n n N +≥∈0n a <【详解】由题意，数列满足，即， {}n a 212n n n a a a +++=211n n n n a a a a +++-=-所以数列为等差数列，{}n a 设等差数列的公差为，则，{}n a d 222d a a =-=-所以数列的通项公式为， {}n a 2(1)13(1)(2)152n a a n d n n =+-=+-⨯-=-令，即，解得， 0n a ≥1520n -≥152n ≤所以当时，，当时，， 17,n n N +≤≤∈0n a >8,n n N +≥∈0n a <所以数列中前项的和最大，故选C.{}n a 77S 【点睛】本题主要考查了等差数列的中项公式的应用，以及前n 项和的最值问题，其中解答中根据等差数列的中项公式，得出数列为等差数列，得出等差数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7．根据全球摩天大楼的统计，至2019年，安徽省合肥市的摩天大楼已经有95座在中国城市中排名第10位，全球排名第15位，目前合肥恒大中心建设中的最高楼，外形设计成了“竹节”的形态，既体现了力量超凡，又象征着向上生长的强烈意志，更预示了未来的繁荣和兴旺.它与传承千年的“微文化”相得益彰，建成后将跻身世界十大摩天大楼之列，若大楼由9节“竹节”组成，最上部分的4节高228米，最下部分3节高204米，且每一节高度变化均匀（即每节高度自上而下成等差数列），则该摩天大楼的总高度为（ ） A ．518米 B ．558米C ．588米D ．668米【答案】B【分析】根据题意，构造等差数列，求出数列的基本量，即可用公式求得其前项和. 9【详解】设大楼自上而下每一节高度构成等差数列， {}n a 设数列的首项为，公差为， 1a d 由题可知，496228,204S S S =-=，； 146228a d +=1321204a d +=联立方程组解得.154,2a d ==故可得. 91936549362558S a d =+=⨯+⨯=故选：B.【点睛】本题考查等差数列通项公式的基本量的计算，属基础题；本题的难点是要根据题意提取信息.8．设是等比数列，且，，则（ ） {}n a 1231a a a ++=234+2a a a +=678a a a ++=A ．12 B ．24 C ．30 D ．32【答案】D【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.q ()5678123a a a q a a a ++=++【详解】设等比数列的公比为，则， {}n a q ()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==因此，.()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．二、多选题9．数列的前项和为，且满足，，则下列说法正确的有（ ）{}n a n n S 11a =121n n n a n a n a +⎧⎪=⎨⎪⎩，是奇数，是偶数A ． B ．是周期数列 C ．D ．42a ={}n a 20222a =1820S =【答案】BC【分析】根据题意，分别求得，得到数列构成以为周期的周期数列，12345,,,,,a a a a a {}n a 11,2,,12逐项判定，即可求解.【详解】由题意，数列满足 {}n a 11211n n n a n a a n a +⎧⎪==⎨⎪⎩，为奇数，，，为偶数当时，； 1n =2122a a ==当时，； 2n =32112a a ==当时，；3n =4321a a ==当时，； 4n =5411a a ==当时，； 5n =6522a a ==当时，；， 6n =76112a a == 归纳可得数列构成以为周期的周期数列，所以A 不正确，B 正确；{}n a 11,2,,12又由，所以C 正确； 20225054222a a a ⨯+===因为，所以，所以D 错误．12341912122a a a a +++=+++=189412212S =⨯++=故选：BC ．10．已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ） {}n a n n S 110a =-13n n a a +=+A ．是递增数列B ．是数列中的项{}n a 10{}n a C ．数列中的最小项为 D ．数列是等差数列{}n S 4S n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】ACD【分析】利用数列的单调性可判断A 选项；求出数列的通项公式，解方程，可判断B{}n a 10n a =选项；解不等式，可判断C 选项；求出数列的通项公式，利用等差数列的定义可判断0n a ≤n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D 选项.【详解】由已知，，所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 110a =-13n n a a +-={}n a 10-3所以，.()1031313n a n n =-+-=-对于A 选项，因为，所以，是递增数列，A 对； 13n n a a +-={}n a 对于B 选项，令，可得，B 错； 31310n a n =-=233n *=∉N 对于C 选项，令可得，所以，数列中的最小项为，C 对； 3130n a n =-≤133n ≤{}n S 4S 对于D 选项，，则， ()()2110313323222n n n a a n n n nS +-+--===3232n S n n -=所以，，()1312332331222n n n S Sn n n ++---=-=+故数列为等差数列，D 对.n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭故选：ACD.11．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）{}n aA ．数列是等比数列 2{}n a B ．若则4123,27,a a ==89a =±C ．若则数列是递增数列 123,a a a <<{}n a D ．若数列的前n 和则r =-1 {}n a 13,n n S r -=+【答案】AC【解析】根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D.【详解】设等比数列公比为{}n a ,(0)q q ≠则，即数列是等比数列；即A 正确； 222112(n n n na a q a a ++==2{}n a 因为等比数列中同号，而 所以，即B 错误；{}n a 4812,,a a a 40,a >80a >若则或，即数列是递增数列，C 正确； 123,a a a <<1211101a a a q a q q >⎧<<∴⎨>⎩1001a q <⎧⎨<<⎩{}n a 若数列的前n 和则{}n a 13,n n S r -=+111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-=所以，即D 错误32211323(1),3a a q r r a a ===∴=+=-故选：AC【点睛】等比数列的判定方法 (1)定义法：若为非零常数)，则是等比数列； 1(n na q q a +={}n a (2)等比中项法：在数列中，且，则数列是等比数列；{}n a 0n a ≠212n n a a a a ++={}n a (3)通项公式法：若数列通项公式可写成均是不为0的常数)，则是等比数列；(,nn a cq c q ={}n a (4)前项和公式法：若数列的前项和为非零常数)，则是等比数n {}n a n (0,1,nn S kq k q q k =-≠≠{}n a 列.12．已知有一段路共有米，有一人从第二天起每天走的路程减半，天恰好走完了这段路则下1865.列说法正确的是（ ）A ．第一天走的路程比后四天走的路程多米B ．第二天走了米648C ．第三天走了全程的D ．后三天共走了米18144【答案】AB【分析】设此人第天走米，根据已知条件，结合等比数列的前项和公式，推出，即可依次n n a n n a 求解判断各项正误．【详解】设此人第天走米， n n a 则数列是首项为，公比为的等比数列， {}n a 1a 12q =因为，5186S =所以，解得，155112186112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-196a = ，11962n n a -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭对于A ，因为第一天走的路程为米， 96所以后四天走的路程为， 1869690-=因为，96906-=所以此人第一天走的路程比后四天走的路程多米，所以 A 正确； 6对于B ，由于，所以B 正确； 2196482a =⨯=对于C ，由于，，所以C 不正确； 3196244a =⨯=2411868>对于D ，由于，， 12144a a +=18614442-=所以后三天一共走了米，所以D 不正确． 42故选：AB ．三、填空题13．数列的前项和为，，则通项公式______．{}n a n n S 21nn S =+n a =【答案】 13122n n n -=⎧⎨≥⎩，，【分析】利用公式进行求解.1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，，【详解】由题知，当时，，1n =111213a S ==+=当时， ①2n ≥1121n n S --=+又 ②21nn S =+由②减去①有：，12n n a -=当不满足上式，所以. 1n =13122n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，，故答案为：. 13122n n n -=⎧⎨≥⎩，，14．《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与弩马发长安至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里．日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．”意思是：今有良马与弩马从长安出发到齐国，齐国与长安相距3000里，良马第一日走193里，以后逐日增加13里，弩马第一日走97里，以后逐日减少0.5里．则8天后两马之间的距离为___________里． 【答案】1146【分析】由题意，良马与驽马日行里数分别构成等差数列，由等差数列通项公式可得.【详解】良马日行里数构成以193为首项，13为公差的等差数列；驽马日行里数则构成以97为首项，-0.5为公差的等差数列，则两马同时出发后第8日，良马日行里数里)， 871938131908 (2⨯⨯+⨯=而驽马日行里数(里)， ()879780.57622⨯⨯+⨯-=所以良马较驽马日行里数多1908-762=1146里． 故答案为：1146.【点睛】本题考查等差数列的应用，涉及等差数列的通项公式，属于基础题，理解题意是解题的关键.15．设等比数列的公比为，其前项和为，若，，则{}n a q n n S 2232S a =+4432S a =+q =__________． 【答案】或1-32【分析】根据已知条件，由首项和公比列方程组求解．【详解】等比数列的公比为，若，，则， {}n a q 2232S a =+4432S a =+1q ≠则有，①，()11132a q a q +=+② 4311(1)32,1a q a q q-=+-②-①，化简可得：，解得或 2230q q --=1q =-32q =故答案为： 或1-3216．已知数列的前项积为，，，，，则___． {}n a n n T 0n a ≠212n n n a a a ++=213a =59a =5T =【答案】1【分析】由已知得数列为等比数列，利用通项即可求得首项和公比，从而求得. {}n a 5T 【详解】由已知可得数列为等比数列，设等比数列公比为q,212n n n a a a ++={}n a 即9=，解得q=3,则，352,a a q =313q 119a =前项积 5123451010511111151319T a a q a q a q a q a q =⨯⨯⨯⨯==⨯=故答案为1【点睛】本题考查等比数列通项的应用，考查学生计算能力，属于基础题.四、解答题17．给出一个三角数阵： 第一行 1第二行 23第三行4567第四行 89101112131415若等差数列的前项和为，，比数阵第八行所有数的个数多．{}()*N n a n ∈n n S 23a =12S 16(1)求数列的通项公式；{}n a (2)求数列的前项和．11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1)； 21n a n =-(2). 21n n T n =+【分析】（1）由等比数列通项公式求数阵第八行的数的的个数，设的的公差为，由条件列方{}n a d程求，由此可得数列的通项公式；d {}n a （2）利用裂项相消法求数列的前项和．11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【详解】（1）由数阵可知各行数的个数构成一个首项为，公比为的等比数列， 12所以数阵第行所有数的个数为． 872128=因为比数阵第行所有数的个数多， 12S 816所以，即． 1212816S -=12144S =设的的公差为， {}n a d 则，1211266144S a d =+=，解得，， 213a a d =+=2d =11a =所以 ()1121n a a n d n =+-=-；（2）因为，()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+所以． 11111111112335212122121n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭L 18．已知等差数列{an }的所有项和为150，且该数列前10项和为10，最后10项的和为50. (1)求数列{an }的项数； (2)求a 21+a 22+…+a 30的值. 【答案】(1)50 (2)30【分析】（1）推导出（a 1+an ）+（a 2+an ﹣1）+（a 3+an ﹣2）+…+（a 10+an ﹣9）＝60，由等差数列性质知，a 1+an ＝a 2+an ﹣1＝a 3+an ﹣2＝…＝a 10+an ﹣9，从而10（a 1+an ）＝60，由此能求出数列{an }的项数.（2）推导出，由此能求出，从而能求出结果.112496292a d a d +=⎧⎨+=⎩()212223302130102a a a a a a ++++=+ 【详解】（1）据题意，得a 1+a 2+a 3+…+a 10＝10，an +an ﹣1+an ﹣2+…+an ﹣9＝50， ∴（a 1+an ）+（a 2+an ﹣1）+（a 3+an ﹣2）+…+（a 10+an ﹣9）＝60， 又据等差数列性质知，a 1+an ＝a 2+an ﹣1＝a 3+an ﹣2＝…＝a 10+an ﹣9， ∴10（a 1+an ）＝60，∴a 1+an ＝6， 又，()11502n n a a +=∴n ＝50，即数列{an }的项数为50.（2）据（1）求解知，， 1501610910102a a a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩即， 112496292a d a d +=⎧⎨+=⎩∴， 11120110a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴5（2a 1+49d ）30. ()212223302130102a a a a a a ++++=+= 11152492010⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭19．已知等比数列{an }中，an > 0，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{an }的通项公式；(2)设bn ＝log 2an ，求数列{bn }的前n 项和Sn .【答案】（1）an ＝．（2）Sn ＝．52n -()92n n -【分析】（1）利用等比数列通项公式、等比中项得到a 3a 5＝4，a 3+a 5＝5，从而a 3，a 5是方程x 2﹣5x +4＝0的两个根，且a 3＞a 5，由此能求出数列{an }的通项公式．（2）推导出bn ＝log 2an 5﹣n ，由此能求出数列{bn }的前n 项和．52log 2n -==【详解】解：（1）∵在等比数列{an }中，，公比q ∈（0，1）， ()*0n a n N∈＞且a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8＝25，a 3与a 5的等比中项为2，∴(a 3+a 5)2＝25，， 2233552a a a a ++=23544a a a ==∴a 3a 5＝4，a 3+a 5＝5，即a 3，a 5是方程x 2﹣5x +4＝0的两个根，且a 3＞a 5，解方程x 2﹣5x +4＝0，得a 3＝4，a 5＝1，,,, 25314a q a ==12q =31216a a q ==∴数列{an }的通项公式an ＝16×＝． 11()2n -52n -（2）∵bn ＝log 2an 5﹣n ，52log 2n -==∴数列{bn }的前n 项和：Sn ＝5n ﹣（1+2+3+…+n ）＝5n ． ()()1922n n n n +--=20．年月日，小刘从各个渠道融资万元，在某大学投资一个咖啡店，年月日正20199125202011式开业，已知开业第一年运营成本为万元，由于工人工资不断增加及设备维修等，以后每年成本6增加万元，若每年的销售额为万元，用数列表示前年的纯收入注：前年的纯收入231{}n a n .(n =前年的总收入前年的总支出投资额n -n -)(1)试求年平均利润最大时的年份年份取正整数，并求出最大值；()(2)若前年的收入达到最大值时，小刘计划用前年纯收入的对咖啡店进行重新装修，请问：小n n 13刘最早从哪一年对咖啡店进行重新装修？并求小刘计划装修的费用．【答案】(1)年，万元；202516(2)年，万元.203348【分析】（1）每年的运营成本构成一个等差数列，每年的销售额是一个常数列，根据题意，列出等式年平均利润为，之后应用基本不等式，结合求得结果； 2256n a n n n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭*N n ∈（2）由（1）知，利用二次函数的性质以及的条件，得到当时，22625n a n n =-+-*N n ∈13n =na 取得最大值，进而得到结果.144【详解】（1）由条件可知，每年的运营成本构成首项为，公差为的等差数列，62， ()2131622526252n n n a n n n n ⎡⎤-∴=-+⨯-=-+-⎢⎥⎣⎦()*N n ∈则年平均利润为， 2256n a n n n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由，当且仅当，即时取等号． 2510n n +≥25n n=5n =此时，取最大值． n a n 16到年，年平均利润最大，最大值为万元；∴202516（2）由Ⅰ可得， ()()()22*262513144N n a n n n n =-+-=--+∈当时，取得最大值．13n =n a 144万元144348(÷=).故小刘最早从年对咖啡店进行重新装修，计划装修费用为万元．20334821．Sn 为等比数列{an }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q ＞0.（1）求an 及Sn ；（2）是否存在常数λ，使得数列{Sn ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明现由.【答案】（1）an ＝3n －1，Sn ＝；（2）存在，. 312n -12【分析】（1）根据等比数列的通项公式前n 项和公式，通过解方程组求出等比数列的首项和公比，进而求出通项公式和前n 项和；（2）运用假设法，结合等比数列的通项公式和等比数列的性质和定义进行求解即可.【详解】（1）由题意可得，解得a 1＝1，q ＝3， ()31131911310a q a q a q q q ⎧=⎪-⎪=⎨-⎪⎪>⎩所以an ＝3n －1，Sn ＝＝. 1313n--312n -（2）假设存在常数λ，使得数列{Sn ＋λ}是等比数列，因为S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，此时Sn ＋＝×3n ，则＝3， 12121211212n n S S +++故存在常数λ＝，使得数列是等比数列. 1212n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了等比数列通项公式和前n 项和公式的应用，考查了等比数列的定义和性质的应用，考查了数学运算能力.22．已知无穷数列的前项中的最大项为，最小项为，设.{}n a n n A n B n n n b A B =+（1）若，求数列的通项公式；21n a n =-{}n b （2）若，求数列的前项和； 212n n n a -={}n b n n S （3）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列.{}n b {}n a 【答案】（1）；（2），当时，；2n n n b A B n =+=11,s =29,4s =372s =4n ≥19323842n n n n S +=+-（3）证明见解析【分析】（1）利用数列的通项公式判断其增减性，从而确定，的表达式，进而求出数列{}n a n A n B 的通项公式；{}n b（2）由计算，时，数列单调递减，所以当时，212n nn a -=11322n n n n a a ++--=2n ≥4n ≥32142n n n b -=+，利用分组求和和错位相减法求和计算即可得到答案；（3）设数列的公差为，则，讨论，三种情{}n b d 111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=0,d >0d <0d =况，分别证明数列为等差数列即可.{}n a 【详解】（1）由得是递增数列，21n a n =-{}n a 所以，21,n n A a n ==-11n B a ==所以.2n n n b A B n =+=（2）由得， 212n n n a -=111212132222n n n n n n n n a a ++++---=-=当，，即；1n =10n n a a +->12a a <当，，即.2n ≥10n n a a +-<2341a a a a >>>又， 11,2a =23,4a =315,8a a =>41716a a =<所以，当时，， 11,b =25,4b =354b =4n ≥32142n n n b -=+所以， 11,=S 29,4=S 372S =当时，令， 4n ≥13213(1)42422n n n n n k n b kn b b ---++=+=+-则，即. 2,k =3b =13213212342422n n n n n n n b --++=+=+-所以 344517391111132123(3)24222222-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n S n n . 373923(3)2422n n n +=+-+-19323842n n n +=+-综上所述，，当时，. 11,=S 29,4=S 372S =4n ≥19323842n n n n S +=+-（3）设数列的公差为，{}n b d 则，111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=由题意，11,n n n n A A B B ++≥≤①，对任意都成立，0,d >1n n A A +>*n ∈N 即，所以是递增数列.11++=>=n n n n A a A a {}n a所以，,n n A a =1n B a =所以，111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=-所以数列是公差为的等差数列；{}n a d ②当时，对任意都成立，0d <1n n B B +<*n ∈N 进面，11n n n n B a B a ++=<=所以是递减数列.，{}n a 1,n A a =n n B a =所以111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=-所以数列是公差为的等差数列；{}n a d ③当时，，0d =110n n n n A A B B ++-+-=因为与中至少有一个为0，1n n A A +-1n n B B +-所以二者都为0，进而可得数列为常数列，{}n a 综上所述，数列为等差数列.{}n a 【点睛】本题考查数列的通项公式、前n 项和公式、利用等差数列的定义证明等差数列、利用分组求和和错位相减进行数列求和；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握等差数列的定义和数列求和的方法是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.。
浙江省台州市书生中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试题
台州市书生中学 2018学年第二学期 第一次月考高二数学试卷命题人：骆兆文 （满分：150分 考试时间：150 分钟） 2019.3 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 直线y=x+1的倾斜角是（ ）A.B.C.D.2. 抛物线y=x 2的准线方程是（ ）A.y=-B.y=-C.y=D.y=3. 若直线3x+y+a=0过圆x 2+y 2+2x-4y=0的圆心，则a 的值为（ ）A.-1B.1C.3D.-34. 已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（ ）A. m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB. m∥α，n∥β且α⊥β，则m⊥nC. α∩β=m ，n⊥β且α⊥β，则n⊥αD. m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n 5. 已知直线()()()12:120,:1430l mx m y l m x m y +++=+++-=，则“2m =-”是“12l l ⊥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件直线l 的斜率为（ ）7. 已知三次函数在x ∈（-∞，+∞）是增函数，则m 的取值范围是（ ） A. m ＜2或m ＞4B. -4＜m ＜-2C. 2＜m ＜4D. 以上皆不正确8. 如图，正四棱锥P-ABCD ．记异面直线PA 与CD 所成角为α，直线PA 与面ABCD 所成角为β，二面角P-BC-A 的平面角为γ，则（ ）A.β＜α＜γB.γ＜α＜βC.β＜γ＜αD.α＜β＜γ诚信考试 谨慎作答 书生阶段性考试第 - 2 - 页 共 4 页9. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与函数)0y x =≥的图像交于点P ，若函数y =在点P 处的切线过双曲线左焦点F (-1,0)，则双曲线的离心率为（ ）D.3210. 已知函数f （x ）的导函数为f '‘（x ），且f '‘x ）＜f （x ）对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是（ ）A. f （ln2）＞2f （0），f （2）＞e 2f （0）B.f （ln2）＜2f （0），f （2）＜e 2f （0）C. f （ln2）＜2f （0），f （2）＞e 2f （0）D. f （ln2）＞2f （0），f （2）＜e 2f （0）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）11. 双曲线22154x y -=的离心率为______，渐近线方程为______． 12. 已知函数()2ln f x x x =-，则()f x 在x=1处的切线方程为_________；单调递增区间是_______．的面积为______，△F 1PF 2内切圆半径为______．14. 某几何体的三视图如图（单位：cm ），则该几何体的体积 为______cm 3，表面积为______cm 3．15. 已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足NF =，则∠NMF =______．16. 若函数()ln f x x x mx =--在区间[1，e 2]内有唯一的零点，则实数m 的取值范围是______．诚信考试 谨慎作答 书生阶段性考试 第2 页 共 4 页三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. 已知函数()32f x x ax bx c =+++，当1x =-时，()f x 的极大值为7；当3x =时，()f x 有极小值。
高二数学下学期第一次月考试卷(含解析)-人教版高二全册数学试题
某某市奉贤区奉城中学2014-2015学年高二（下）第一次月考数学试卷一、选择题（每个小题5分，共12个小题）1．设命题p：∀x＞0，2x＞log2x，则¬p为（）A．∀x＞0，2x＜log2x B．∃x＞0，2x≤log2xC．∃x＞0，2x＜log2x D．∃x＞0，2x≥log2x2．已知命题p：∃x0∈R，sinx0≥，则￢p是（）A．∃x0∈R，sinx0≤B．∃x0∈R，sinx0＜C．∀x∈R，sinx≤D．∀x∈R，sinx＜3．在△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么（）A．命题p、q都是真命题B．命题p、q都是假命题C．命题p、q至少有一个是真命题D．命题p、q只有一个真命题5．设命题p和命题q，“p∨q”的否定是真命题，则必有（）A． p真q真B． p假q假C． p真q假D． p假q真6．下列说法中正确的是（）A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程7．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在（）A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错8．下列几种推理过程是演绎推理的是（）A．某校高三1班55人，2班54人，3班52人，由此得高三所有班级的人数超过50人B．由圆的周长C=πd推测球的表面积S=πd2C．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°D．在数列{a n}中，a1=1，a n=（a n﹣1+）（n≥2），由此归纳数列{a n}的通项公式9．已知i是虚数单位，则复数z=的虚部是（）A． 0 B． i C．﹣i D． 110．已知z+5﹣6i=3+4i，则复数z为（）A．﹣4+20i B．﹣2+10i C．﹣8+20i D．﹣2+20i 11．=（）A．B．C． i D．﹣i12．i是虚数单位，复数=（）A． 2﹣i B． 2+i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i二、填空题（每个小题5分，共4个小题）13．命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是．14．已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数n是9的倍数”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是．15．已知复数z=2﹣i（i是虚数单位），则|z|=．16．若复数z=（m2﹣1）+（m+1）i为纯虚数，则实数m的值等于．三、解答题（共计6个小题，其中17小题10分，其他小题各12分）17．计算：（1+2i）÷（3﹣4i）．18．写出命题“若a＜b，则ac2＜bc2”的逆命题，否命题，逆否命题．19．判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题．（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；（2）三角函数都是周期函数吗？（3）有一个实数x，x不能取倒数；（4）有的三角形内角和不等于180°．20．在数列{a n}中，a1=1，，试猜想这个数列的通项公式．21．实数m取什么值时，复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．22．m取何实数时，复数．（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？某某市奉贤区奉城中学2014-2015学年高二（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每个小题5分，共12个小题）1．设命题p：∀x＞0，2x＞log2x，则¬p为（）A．∀x＞0，2x＜log2x B．∃x＞0，2x≤log2xC．∃x＞0，2x＜log2x D．∃x＞0，2x≥log2x考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x＞0，2x＞log2x，则¬p为∃x＞0，2x≤log2x．故选：B．点评：本题考查命题的否定同学明天与全称命题的否定关系，是基础题．2．已知命题p：∃x0∈R，sinx0≥，则￢p是（）A．∃x0∈R，sinx0≤B．∃x0∈R，sinx0＜C．∀x∈R，sinx≤D．∀x∈R，sinx＜考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题所以，命题p：∃x0∈R，sinx0≥，则￢p是∀x∈R，sinx＜．故选：D．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3．在△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合正弦定理进行判断即可．解答：解：在△ABC中中，若A=B，则a=b，由正弦定理得sinA=sinB，即充分性成立，若sinA=sinB，则由正弦定理得a=b，即A=B，即必要性成立，故，“A=B”是“sinA=sinB”的充要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合正弦定理是解决本题的关键．4．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么（）A．命题p、q都是真命题B．命题p、q都是假命题C．命题p、q至少有一个是真命题D．命题p、q只有一个真命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系即可判断出p，q的真假情况．解答：解：由p∨q为真命题，p∧q为假命题知，p，q一真一假；即p，q中只有一个真命题；∴D正确．故选D．点评：考查“∨”“∧”两个符号的含义，以及p∧q，p∨q真假和p，q真假的关系．5．设命题p和命题q，“p∨q”的否定是真命题，则必有（）A． p真q真B． p假q假C． p真q假D． p假q真考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由于“p∨q”的否定是真命题，可得p∨q是假命题，即可判断出p与q的真假．解答：解：∵“p∨q”的否定是真命题，∴p∨q是假命题，因此p与q都是假命题．故选：B．点评：本题考查了复合命题的真假判断方法，属于基础题．6．下列说法中正确的是（）A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程考点：合情推理的含义与作用．专题：阅读型．分析：合情推理的结论不一定正确可判定选项A，合情推理包含归纳推理与类比推理可判定选项B，归纳推理是从特殊到一般的推理过程可判定选项C，类比推理是从特殊到特殊的推理过程可判定选项D．解答：解：合情推理的结论不一定正确，有待证明，而演绎推理的结论是一定正确的，故选项A不正确；合情推理包含归纳推理与类比推理，故选项B不正确；所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理，是从特殊到一般的推理过程，故选项C不正确；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，是从特殊到特殊的推理过程．故选项D正确．故选D．点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．7．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在（）A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错考点：演绎推理的基本方法．专题：阅读型．分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．解答：解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方大于0是不正确的，故选A．点评：本题考查演绎推理的基本方法，考查实数的性质，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识，判断这种说法是否正确即可，是一个基础题．8．下列几种推理过程是演绎推理的是（）A．某校高三1班55人，2班54人，3班52人，由此得高三所有班级的人数超过50人B．由圆的周长C=πd推测球的表面积S=πd2C．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°D．在数列{a n}中，a1=1，a n=（a n﹣1+）（n≥2），由此归纳数列{a n}的通项公式考点：演绎推理的意义．专题：探究型．分析：分别根据归纳推理，类比推理以及演绎推理的定义进行判断．解答：解：A．由高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人，属于归纳推理．B．由圆的周长C=πd推测球的表面积S=πd2，属于类比推理．C．直线平行的性质得到结论为演绎推理．D．根据条件推出数列的通项公式为归纳推理．故选C．点评：本题主要考查归纳推理，类比推理和演绎推理的判断，要求熟练掌握它们的区别和联系．9．已知i是虚数单位，则复数z=的虚部是（）A． 0 B． i C．﹣i D． 1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：复数z====i的虚部是1．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．10．已知z+5﹣6i=3+4i，则复数z为（）A．﹣4+20i B．﹣2+10i C．﹣8+20i D．﹣2+20i考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的代数形式的混合运算，求出复数z即可．解答：解：∵z+5﹣6i=3+4i，∴z=3+4i﹣5+6i=﹣2+10i．故选：B．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．11．=（）A．B．C． i D．﹣i考点：复数代数形式的混合运算．分析：化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．解答：解：故选A．点评：本题考查的知识点复数的运算，（乘法和除法），比较简单．12．i是虚数单位，复数=（）A． 2﹣i B． 2+i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．解答：解：复数=故选A点评：本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，注意分母实数化，考查计算能力，常考题型．二、填空题（每个小题5分，共4个小题）13．命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是∃x∈R，x2+x+1＜0 ．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+x+1＜0；故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜0．点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．14．已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数n是9的倍数”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是自然数n是3的倍数．考点：演绎推理的基本方法．专题：规律型．分析：三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“自然数n是9的倍数”叫小前提．另外一个是结论．解答：解：由演绎推理三段论可得“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：“自然数n是3的倍数”．故答案为：自然数n是3的倍数．点评：三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理．它包含两个性质判断构成的前提，和一个性质判断构成的结论．一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联系大小前提的词项叫中项；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项．15．已知复数z=2﹣i（i是虚数单位），则|z|=．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数模长的定义直接进行计算即可．解答：解：∵复数z=2﹣i，∴|z|===．故答案为：．点评：本题主要考查复数的长度的计算，比较基础．16．若复数z=（m2﹣1）+（m+1）i为纯虚数，则实数m的值等于 1 ．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：由复数z的是不等于0，虚部不等于0列式计算m的值．解答：解：复数z=（m2﹣1）+（m+1）i当z是纯虚数时，必有：m2﹣1=0且m+1≠0解得，m=1．故答案为1．点评：本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件，复数为纯虚数，当且仅当实部等于0而虚部不等于0，是基础题．三、解答题（共计6个小题，其中17小题10分，其他小题各12分）17．计算：（1+2i）÷（3﹣4i）．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数除法的运算法则进行化简即可．解答：解：（1+2i）÷（3﹣4i）====+i．点评：本题主要考查复数的基本运算，根据复数除法的运算法则是解决本题的关键．18．写出命题“若a＜b，则ac2＜bc2”的逆命题，否命题，逆否命题．考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：把原命题的题设和结论互换，得到原命题的逆命题；同时否定原命题的题设和结论，得到原命题的否命题；否定原命题的题设作结论，否定原命题的结论作题设，得到原命题的逆否命题．解答：解：命题“若a＜b，则ac2＜bc2”的逆命题：若ac2＜bc2，则a＜b；否命题：若a≥b，则ac2≥bc2；逆否命题：若ac2≥bc2，则a≥b．点评：本题考查四种命题的相互转化，解题时要注意四种命题的变换方法．19．判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题．（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；（2）三角函数都是周期函数吗？（3）有一个实数x，x不能取倒数；（4）有的三角形内角和不等于180°．考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：根据命题的定义以及特称命题与全称命题的定义，对题目中的语句进行判断即可．解答：解：对于（1），任何一个实数除以1，仍等于这个数，是命题，且是全称命题；对于（2），三角函数都是周期函数吗？不是命题；对于（3），有一个实数x，x不能取倒数，是命题，是特称命题；对于（4），有的三角形内角和不等于180°，是命题，是特称命题．点评：本题考查了命题的概念以及特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．20．在数列{a n}中，a1=1，，试猜想这个数列的通项公式．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：根据已知的递推关系，可以构造出我们熟悉的等差数列．再用等差数列的性质进行求解．解答：解：根据，得2a n+1+a n+1a n=2a n，两边同时除以a n+1a n，得到，所以数列是公差为1的等差数列，且，所以，所以．点评：构造数列是对已知数列的递推关系式变形后发现规律，创造一个等差或等比数列，借此求原数列的通项公式，是考查的重要内容．21．实数m取什么值时，复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：（1）当复数的虚部等于零，复数为实数，由此求得m的值．（2）当复数的虚部不等于零，复数为虚数，由此求得m的值．（3）当复数的实部等于零且虚部不等于零时，复数为纯虚数，即，由此求得m的值．解答：解：（1）当复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i的虚部等于零，即m2﹣3m=0，求得m=0，或 m=3，即m=0，或 m=3时，复数为实数．（2）当复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i的虚部不等于零，即m2﹣3m≠0，求得m≠0，且m≠3，即m≠0，且m≠3时，复数为虚数．（3）当复数的实部等于零且虚部不等于零时，复数为纯虚数，由，求得 m=2，即当 m=2时，复数为纯虚数．点评：本题主要考查复数的基本概念，属于基础题．22．m取何实数时，复数．（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：（1）由虚部等于0且实部分母不等于0列式求解m的值；（2）由虚部不等于0且实部分母不等于0列式求解m的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m的值．word解答：解：（1）当，即，即m=5时，z的虚部等于0，实部有意义，∴m=5时，z是实数．（2）当，即时，z的虚部不等于0，实部有意义，∴当m≠5且m≠﹣3时，z是虚数．（3）当，即时，z为纯虚数，∴当m=3或m=﹣2时，z是纯虚数．点评：本题考查了复数的基本概念，考查了复数是实数、虚数、纯虚数的条件，关键是注意实部的分母不等于0，此题是基础的计算题．11 / 11。
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第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求)1．函数f (x )＝sin x ＋cos x 在点(0，f (0))处的切线方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0 2.与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( )A.13，1，1 B.(－1，－3,2)C.－12，32，－1D.()2，－3，－223．函数f (x )＝x 2－ln 2x 的单调递减区间是( )A.0，22B.22，＋∞C.－∞，－22，0，22D.－22，0，0，224．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°5．已知点P 是曲线3335y xx上的任意一点，设点P 处的切线的倾斜角为，则的取值范围为()A ．2[0,]3 B ．2[0,)[,)23C ．2(,]23D ．2[,]336.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝aAB→＋2bAD →＋3cA 1A →，则abc 的值等于( )A.16B.56C.76D.－167．设函数在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数的图象可能是8．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有：OM -→＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为()A ．1B ．0C ．13 D. 39．已知棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是上底面A 1B 1C 1D 1的中心,则O 到平面ABC 1D 1的距离为( ) A ．12B ．24 C ．22 D ．3210.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f ，当0x时，有2'()()xf x f x x恒成立，则不等式()0xf x 的解集为（）A ．(－2,0)∪(2,+∞)B ． (－∞,－2)∪(0,2) C. (－∞,－2)∪(2,+∞) D ． (－2,0)∪(0,2)11.若向量a ＝(x,4,5)，b ＝(1，－2,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为26，则x ＝( )A.3B.－3 C.－11 D.3或－1112．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，)13．已知曲线y ＝13x 3＋43.求曲线过点P (2，4)的切线方程________14. 非零向量e 1，e 2不共线，使ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线的k 的值是________．15.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于________16.对于三次函数32()f x axbxcxd (0)a，给出定义：设'()f x 是()y f x 的导数，''()f x 是'()f x 的导数，若方程''()0f x 有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x 的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数32115()33212g x xxx，则1220192019gg20182019g。
三、解答题(共7小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本题满分10分)如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点.(1)求证：直线BC ⊥平面PAC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，PA ＝1，求二面角C -PB -A 的余弦值.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)＋12x 2－ax ＋1 (a >1)．(1)求函数y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当a >1时，求函数y ＝f (x )的极值．19. (本小题满分12分)四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为一直角梯形，其中BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD＝AD ＝2AB ，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点. (1)求证：BE ∥平面PAD ；(2)若BE ⊥平面PCD ，求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值；20.已知函数)(x f 满足C x xf xx f 2332')(（其中32'f 为)(x f 在点32x处的导数，C 为常数）．（1）求32'f 的值；（2）设函数xe x xf xg ])([)(3，若函数)(x g 在]2,3[x 上单调，求实数C 的取值范围．21．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成的角为60°. (1)求二面角F-BE-D的余弦值；(2)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．22. (本小题满分12分)已知函数()f x=e x(e x﹣a)﹣a2x．（1）讨论()f x的单调性；（2）若()0f x，求a的取值范围．理科数学试卷答案一、选择题1---6 ACADBD 7---12ACBDAB二、填空题13．4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. 14．±１ 1523. 16.2018 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分). 【解】(1)证明：由AB 是圆的直径，得AC⊥BC ，由PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，得PA ⊥BC .又PA ∩AC ＝A ，PA ?平面PAC ，AC ?平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .(2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝3.又因为PA ＝1，所以A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,1,1).故CB →＝(3，0,0)，CP →＝(0,1,1).设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则CB→·n 1＝0，CP →·n 1＝0，所以3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0,1，－1).因为AP →＝(0,0,1)，AB→＝(3，－1,0)，设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则AP →·n 2＝0，AB→·n 2＝0，所以z 2＝0，3x 2－y 2＝0，不妨令x 2＝1，则n 2＝(1,3，0).于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64.由图知二面角C -PB -A 为锐角，故二面角C -PB -A 的余弦值为64.18．解：(1)f (0)＝1，f ′(x )＝ax ＋1＋x －a ＝x （x －a ＋1）x ＋1，f ′(0)＝0，所以函数y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，令f ′（x )＝0，即x （x －a ＋1）x＋1＝0.解得x ＝0或x ＝a －1.当a >1时，f (x )，f ′(x )随x 变化的情况如下：x (－1，0)0(0，a －1)a －1(a －1，＋∞）f ′（x )＋0－0＋f (x )↗极大值↘极小值↗可知f (x )的单调减区间是(0，a －1)，增区间是(－1，0)和(a －1，＋∞)，极大值为f (0)＝1，极小值为f (a －1)＝a ln a －12a 2＋32.19. 【解】设AB ＝a ，PA ＝b ，建立如图的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (a,0,0)，P (0,0，b )，C (2a,2a,0)，D (0,2a,0)，E a ，a ，b2.(1)证明：BE →＝0，a ，b2，AD →＝(0,2a,0)，AP →＝(0,0，b )，所以BE →＝12AD →＋12AP →，因为BE ?平面PAD ，所以BE ∥平面PAD .(2)因为BE ⊥平面PCD ，所以BE ⊥PC ，即BE →·PC →＝0，PC →＝(2a,2a ，－b )，所以BE →·PC →＝2a 2－b22＝0，则b ＝2a .PD →＝(0,2a ，－2a )，BC →＝(a,2a,0)，cos 〈PD →，BC →〉＝4a222a ·5a＝105，所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为105.20．【解析】（1）由C xxf xx f 2332')(，得132'23)('2x f xx f ．取32x，得13232'232332'2f f ，解之，得132'f ，（2）函数xxe C xx e x x f x g )())(()(23，有xxe C xxex x g )()12()2/（=（–x 2– 3 x+C –1）e x，当函数在区间]2,3[x上为单调递增时，等价于h（x ）= –x 2–3 x+C –在]2,3[x 上恒成立, 只要h （2），解得，当函数在区间]2,3[x 上为单调递减时，等价于h （x ）= –x 2–3 x+C –在]2,3[x 上恒成立, 即=0)1(49c ，解得–45，所以c 的取值范围是或–45．21．(1)解：因为DE ⊥平面ABCD ，所以∠EBD 就是BE 与平面ABCD 所成的角，即∠EBD ＝60°，所以ED BD＝ 3.由AD ＝3，得DE ＝36，AF ＝6.如图，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (3，0，0)，F (3，0，6)，E (0，0，36)，B (3，3，0)，C (0，3，0)，所以BF →＝(0，－3，6)，EF →＝(3，0，－26)．设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BF→＝0，n ·EF →＝0，即－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0.令z ＝6，则n ＝(4，2，6)．因为AC ⊥平面BDE ，所以CA →＝(3，－3，0)为平面BDE 的一个法向量，]所以cos 〈n ，CA →〉＝n ·CA→|n ||CA →|＝626×32＝1313.故二面角F -BE -D 的余弦值为1313.(2)解：依题意，设M (t ，t ，0)(t ＞0)，则AM →＝(t －3，t ，0)，因为AM ∥平面BEF ，所以AM →·n＝0即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2.[所以点M 的坐标为(2，2，0)，此时DM →＝23DB →，所以点M 是线段BD 上靠近点B 的三等分点．22.解：（1）函数()f x 的定义域为22(,),()2(2)()xxxxf x eaeaea ea ①若0a ，则2()xf x e ，在(,)单调递增②若0a ，则由()0f x 得ln xa当(,ln )xa 时，()0f x ；当(ln ,)x a 时，()0f x ；故()f x 在(,ln )a 单调递减，在(ln ,)a 单调递增③若0a ，则由()0f x 得ln()2a x当(,ln())2a x时，()0f x ；当(ln(),)2a x时，()0f x ；故()f x 在(,ln())2a 单调递减，在(ln(),)2a 单调递增（2）①若0a，则2()xf x e ，所以()0f x ②若0a ，则由（1）得，当ln xa 时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a ，从而当且仅当2ln 0a a，即1a时，()f x ③若0a，则由（1）得，当ln()2a x 时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a a f a ，从而当且仅当23[ln()]042a a ，即342a e 时，()f x 综上，a 的取值范围是34[2,1]e。