用勾股定理来表示无理数
人教版八年级下册17.1在数轴上表示无理数教案
⼈教版⼋年级下册17.1在数轴上表⽰⽆理数教案第⼗七章勾股定理第三课时17.1 勾股定理（3）⼀．教学⽬标：1.熟练掌握勾股定理，并能灵活的运⽤勾股定理解决数学中的实际问题。
2.能运⽤勾股定理在数轴上画出表⽰⽆理数的点，进⼀步体会数形结合的思想及数轴上的点与实数⼀⼀对应的理论。
3.通过研究⼀系列富有探究性的问题，培养学⽣与他⼈交流、合作的意识和品质．⼆．重点与难点：重点：运⽤勾股定理解决数学中的问题。
难点：勾股定理的灵活运⽤。
三．学情分析：在此之前，学⽣已学过在数轴上表⽰有理数和勾股定理。
但勾股定理的运⽤不太熟悉。
对于⼀些特殊的⽆理数（带根号的）如何在数轴上准确表⽰它们。
可仿造前⾯有理数表⽰⽅法来学习，所以关键是借助勾股定理来⽤线段表⽰这⼀⽆理数是本节的难点。
四．教学过程：（⼀）回顾复习1．叙述勾股定理的内容？2. 在RT△ABC中，∠C=90°,已知：c=17 b=8 求a已知：c=13 a=5 求 b3.什么是数轴？实数与数轴上的点具有什么关系？4.在数轴上画出表⽰下列各数的点：3、1、0、-2.5、 -4.（⼆）⾃主学习学⽣阅读课本26页练习下和27页，思考并回答:1.在数轴上表⽰5的点到原点的距离为5. 表⽰-3.4的点到原点的距离为3.4，那么表⽰13的点，到原点的距离就是132.在数轴上要画出表⽰⼀个数的点，⾸先要画出表⽰这个数绝对值的线段.3. 如何画出表⽰13的线段。
由勾股定理知，直⾓边为1的等腰Rt△，斜边为2．因此在数轴上能表⽰2那么长为13的线段能否是直⾓边为正整数的直⾓三⾓形的斜边，通过下⾯的⽹格可以知道，两条直⾓边的长是2,3的直⾓三⾓形的斜边长为13。
（三）新知学习在数轴上作出表⽰的点。
作法：（1）在数轴上找到点A ，使OA=3；（2）过点A 作直线垂直于OA ，在上取点B, 使AB=2，那么OB=13；（3）以原点O 为圆⼼，以OB 为半径作弧，弧与数轴交于点C ，则OC=13.如图，在数轴上，点C 为表⽰13 的点。
无理数的常见形式
无理数的常见形式，科学计数法无理数概念：无理数即无限不循环小数。
明确无理数的存在无理数来自实践，无理数并不“无理”，也不是人们臆想出来的，它是实实在在存在的，例如：（1）一个直角三角形，两条直角边长分别为1和2，由勾股定理知，它的斜边长为；（2）任何一个圆，它的周长和直径之比为一常数等等；像这样的数，在我们周围的生活中，不是只有少数几个，而是像有理数一样有无限个。
概念剖析：无限不循环小数叫无理数，这说明无理数是具有两个基本特征的小数：一是小数位数是无限的；二是不循环的。
这对初学者来说有一定难度，因此，我们必须掌握它的表现形式。
无理数的常见形式：在初中阶段，无理数表现形式主要有以下几种：1. 无限不循环的小数，如0.1010010001……（两个1之间依次多一个0）2. 含的数，如：，，等。
3. 开方开不尽而得到的数，如，等。
4. 某些三角函数值：如，等。
无理数与有理数的区别：1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0，4/5=0.8，1/3=0.33333……。
而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………。
根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数；2、无理数不能写成两整数之比。
错误辨析：1. 无限小数都是无理数；2. 无理数包括正无理数、负无理数和零；3.带根号的数是无理数；4. 无理数是用根号形式表示的数；5.无理数是开方开不尽的数；6. 两个无理数的和、差、积、商仍是无理数；7.无理数与有理数的乘积是无理数；8. 有些无理数是分数；9. 无理数比有理数少；10. 一个无理数的平方一定是有理数。
综上，学习无理数应把握住无理数的三个特征：（1）无理数是小数；（2）无理数是无限小数；（3）无理数是不循环小数。
判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个不能少。
另外，还应注意无理数的几种常见的表示形式，才是弄清无理数概念的关键。
新人教版八年级下用勾股定理作出长度为无理数的线段
例如，已知一个直角三角形的两 条直角边长度分别为3和4，可以 利用勾股定理求出斜边长度为5
。
另外，勾股定理还可以用于判断 一个三角形是否为直角三角形， 以及解决一些与距离、速度、时
间等相关的实际问题。
XX
PART 03
无理数概念及性质
REPORTING
无理数定义与分类
无理数定义
无法表示为两个整数之比的实数 ，即不是有理数的实数。
• 利用相似三角形性质构造：通过构造相似三角形，利用相似比关系，可以作出 长度为无理数的线段。例如，可以构造一个直角三角形，其中一个锐角为30° ，那么它的对边与斜边之比就是1:2，斜边长度就是无理数√3。
• 利用圆的性质构造：通过圆的性质也可以构造出长度为无理数的线段。例如， 可以作一个直径为1的圆，然后在圆上取一个点A，使∠AOB=60°，那么线段 AB的长度就是无理数√3/2。
解题过程
首先，构造一个直角三角形，使其两直角边长度分别为1和2。然后，利用勾股定理计算 出斜边长度的平方为5。最后，通过对5开平方得到斜边长度为无理数$sqrt{5}$。
案例二
01
问题描述
已知一个直角三角形，其中一个锐角为30°，且斜边长度为2，求较短直
角边长度。
02 03
解题思路
根据30°-60°-90°特殊直角三角形的性质，较短直角边长度等于斜边长 度的一半乘以$sqrt{3}$。因此，较短直角边长度为$2 times frac{1}{2} times sqrt{3} = sqrt{3}$，为无理数。
XX
PART 04
用勾股定理构造无理数线 段方法
REPORTING
方法一：通过已知有理数边长构造直角三角形
选择两个已知的有理 数作为直角三角形的 两条直角边。
无理数的常见形式
无理数的常见形式，科学计数法无理数概念：无理数即无限不循环小数。
明确无理数的存在无理数来自实践，无理数并不“无理”，也不是人们臆想出来的，它是实实在在存在的，例如：（1）一个直角三角形，两条直角边长分别为1和2，由勾股定理知，它的斜边长为；（2）任何一个圆，它的周长和直径之比为一常数等等；像这样的数，在我们周围的生活中，不是只有少数几个，而是像有理数一样有无限个。
概念剖析：无限不循环小数叫无理数，这说明无理数是具有两个基本特征的小数：一是小数位数是无限的；二是不循环的。
这对初学者来说有一定难度，因此，我们必须掌握它的表现形式。
无理数的常见形式：在初中阶段，无理数表现形式主要有以下几种：1. 无限不循环的小数，如……（两个1之间依次多一个0）2. 含的数，如：，，等。
3. 开方开不尽而得到的数，如，等。
4. 某些三角函数值：如，等。
无理数与有理数的区别：1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=， 4/5=， 1/3=……。
而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=…………。
根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数；2、无理数不能写成两整数之比。
错误辨析：1. 无限小数都是无理数；2. 无理数包括正无理数、负无理数和零；3.带根号的数是无理数；4. 无理数是用根号形式表示的数；5.无理数是开方开不尽的数；6. 两个无理数的和、差、积、商仍是无理数；7.无理数与有理数的乘积是无理数；8. 有些无理数是分数；9. 无理数比有理数少； 10. 一个无理数的平方一定是有理数。
综上，学习无理数应把握住无理数的三个特征：（1）无理数是小数；（2）无理数是无限小数；（3）无理数是不循环小数。
判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个不能少。
另外，还应注意无理数的几种常见的表示形式，才是弄清无理数概念的关键。
口诀快速记忆：√2≈：意思意思而已√3≈：一起生鹅蛋√5≈：两鹅生六蛋(送)六妻舅√7≈：二妞是我，气我一生e≈:粮店吃一把π≈，26535，897，932，384，626：山巅一寺一壶酒,尔乐苦杀吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐尔乐，无理数包括：正无理数和负无理数。
勾股定理的无理数解与近似计算
勾股定理的无理数解与近似计算勾股定理是数学中的一条重要定理，被广泛应用于几何学和代数学等领域。
它描述了直角三角形中三边关系的基本原理。
本文将探讨勾股定理的无理数解以及近似计算的方法。
一、勾股定理的无理数解勾股定理可表述为：在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
用数学公式表示就是a² + b² = c²，其中a和b分别代表两条直角边的长度，c代表斜边的长度。
然而，对于某些特殊的直角三角形，勾股定理的解并不总是有理数，而是无理数。
无理数是指无法表示为两个整数之间的比值的数。
勾股定理的无理数解可以通过实际计算和证明得出。
一个经典的例子是边长均为1的等腰直角三角形，即一个45度的角。
根据勾股定理，斜边的长度为√2，这是一个无理数。
更一般地，对于任意一个直角三角形，当两条直角边的长度为有理数而斜边的长度为无理数时，都可以满足勾股定理。
二、近似计算的方法尽管无理数的精确计算可能是困难的，但可以使用近似计算的方法来获得较为准确的结果。
以下是两种常见的近似计算方法：1. 小数近似法：将无理数转化为十进制小数进行计算。
以π为例，它是一个无理数且约等于3.14159。
通过将π代入勾股定理的相关式子，可得到边长或斜边的近似值。
2. 分数近似法：将无理数转化为一个分数的近似值。
以√2为例，可以将它近似为1.41，然后化简为分数形式33/23。
这个近似值可以更方便地运用于实际计算和应用中。
需要注意的是，近似计算只是一种对无理数解进行估算的方法，并不能得到其精确值。
因此，在实际问题中，根据具体情况选择适当的计算方法，并理解近似计算的局限性。
三、勾股定理的实际应用勾股定理作为数学中的基础原理，具有广泛的实际应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 三角测量：勾股定理可以用于测量角度和距离，例如在导航系统中计算两个位置之间的直线距离。
2. 建筑与工程：在建筑和工程领域，勾股定理被用于计算角度、边长和斜边的关系。
如何在数轴上表示无理数
3Leabharlann 今天，我们就要利用勾股定理去解决问题。
首先，请大家分别在数轴上表示下列的数： 2 -1 ½
01 2
-1 0 1
0½1 2
根据教材内容，我们需要在数轴上表示以下几个数： √2 √3 √5
下面我们就开始思考， 究竟如何才能在数轴上表 示无理数呢？
方法一：
将无理数都约等于成有理数。例如：√2≈1.4 √3≈1.7 ···这样，就可以在数轴上表示出了。
今天，我们就带领大家去探索数 轴上的无理数。
首先，画一个直角三角形，使它的两条直角边分别是3和4。 用直尺量出斜边的长。 这三条边的平方之间有什么关系？
可以发现斜边的长等于5，并且3²+4²=5² 5
事实上，可以证明对于任意一个
4
直角三角形，都有两条直角边的
平方等于斜边的平方。这就是“勾
股定理”。
这种方法明显是不可取的，数学讲究的是精确， 如果用约等于的方法，在数轴上表示的就是有 理数而不是无理数，偏离了主题。所以这种方 法是错误的。
如果这样的方法都不行的话， 还有什么样的方法呢？
这时，我们突然想起了先前 提到的勾股定理···
注意定理的话，问题就简单多了。
在定理的基础上，仔细观察的 话，就会找到答案。我们发现无理 数是不能用刻度尺量完长度后非常 精确的在数轴上表示出来的。所以， 我们就可以利用其它的方法来表示。
根号5的方法也一样。
以原点为起点画一条边长为1的边设这 条边为a。再画一条直线b垂直于直线a 使直线b=2
这时可以发现1的平方+2的平方=根号 5的平方
这样直线b与数轴的交点就是表示根号 5.
秦豪：思考如何在数轴上表示无理数，制作PPT 蒋思捷：思考如何在数轴上表示无理数，向大人求助
勾股定理的作图及典型计算(课件)八年级数学下册(人教版)
B. 5
C. 7
D. 9
2.如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均
为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交网格线于点D，则CD的长为
( D)
1
A.
2
1
B.
3
C. 3
D.2- 3
3.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(-4,3),以点B(-1，0)为圆心，
三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+ 3; 将位置
②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3， 此时AP3=3+ 3;
.......按此规律继续旋转，直至得到点P2050为止，则AP2050等于( C )
A.2049+683 3
B.2050+683 3
C.2051+683 3
AD=4, AB=8，则DE的长为_______.
5
7.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三
角形的长分别为 2， 3， 17.
解:如图所示，△ABC为所求.
8.在数轴上作出表示 5， 10的点.
解:如图所示，点C表示 5，点D表示 10.
9.如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点 ′ 处，
是斜边长.
1.如图，点A表示的实数是（ D ）
A. 3
B. 5
C.- 3
D.- 5
2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对
角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ C ）
A.2
B. 5 − 1
C. 10 − 1
“无理数”的由来
“无理数”的由来
“无理数”的概念最早出现在古希腊数学中。
在公元前5世纪，古
希腊数学家毕达哥拉斯创立了著名的毕达哥拉斯学派，该学派提
出了“一切可以表示为两个整数之比的数称为有理数”的思想。
然而，毕达哥拉斯学派追求数学的完美和对整数有严格的崇拜，因
此对于无法用两个整数之比来表示的数，他们认为是不合逻辑的，甚至是“无理”的。
然而，毕达哥拉斯学派的成员之一海伦（Hippasus）做了一个重要的发现，即勾股定理中的两条腿长度和斜边长度的关系无法用有
理数来表示。
具体而言，当直角三角形的两条腿长度为1时，斜
边长度不能用有理数来表示，这就意味着根号2是一个无理数。
这个发现打破了毕达哥拉斯学派的理论基础，因为根号2无法用
两个整数之比来表示，被他们认为是“无理”的。
这引起了毕达哥
拉斯学派内部的争议，因为这与他们追求完美数学和整数的思想
相悖。
为了保护自己的学派和思想，毕达哥拉斯学派决定对此事保密，
但海伦却违背了誓言将这个发现传播出去。
这引起了学派内部的
愤怒，据说他们甚至将海伦推下海中溺死，这在一定程度上也反
映了无理数这一概念的由来。
从此以后，人们开始接受和研究无理数，并逐渐认识到数学中不
仅仅有有理数，还有无限不循环小数，例如自然常数e和圆周率π等。
通过无理数的研究，人们逐渐开拓了数学的新领域，推动了
数学的发展。
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课题 勾股定理的应用2 学科 数学 课型
新授 主备人 审核人
课时设置
1
使用时间
2014.3.5
学习 目标
1.
学习重点：利用勾股定理表示无理数
学习难点：勾股定理在推理证明以及表示无理数时的应用
学习过程
【预习导学 探究质疑】 一、复习引入
1、 实数包括__________和_____________
2、 什么是有理数？
3、 什么是数轴？实数与数轴上的点具有什么关系？
4、勾股定理的内容： 二、探究
探究1：利用勾股定理证明HL 定理
回忆HL 定理内容，根据定理写出已知、求证、证明。
已知： 求证： 证明：
分析：勾股定理表达的是直角三角形的三边关系，所以可以通过SSS 判定定理证明这一结论
探究二：同学们还记得怎么在数轴上表示特殊的无理数吗？
我们知道2是长为1的等腰直角三角形的斜边长（或边长为1的正方形的对角线长），在七年级也知道了怎么在数轴上表示2，那如何表示3呢？ 在思考了上面的问题之后请试着在数轴上表示出13.
提示：要在数轴上表示13的点，只要画出长为13的线段。
利用勾股定理有
()
222
3213+=
作法：
总结：类似以上作法可以在数轴上表示其他任何无理数，也与我们所学的实数与数轴上的点一一对应的理论相符，在表示无理数的过程中，勾股定理起到了重要作用。
【分组合作 互动释疑】
例一、
教师修改及学生笔记
例二阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．
【反思总结，质疑求学】
1、本节课你有什么收获？还想知道什么？
2、组长评价本组表现情况 【分层作业 异步达标】 1. 课本27页练习1、2
2.在数轴上作出表示5-的点。
3.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为有理数的边数有 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
4. 如图是一种“牛头形”图案，其作法是：从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，以此类推，若正方形1的边长为64cm ，则正方形7的边长为_________cm ．
5.思考：如何在数轴上画出表示13-，22-的点？
4
4
3
3
2
2
1。