材料力学第六章ppt课件
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材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
材料力学课件 第六章弯 曲 内 力(土木专业)
M
A
0
FRA
A
a
F1
C
F2
D
FRB
B
FRB l F1a F2b 0
MB 0
c
E
F
d
FRAl F1 ( l a ) F2 ( l b) 0
FRA F1 ( l a ) F2 ( l b) l
b l
FRB
F1a F2b l
第六章
记 E 截面处的剪力为
FRA
A
弯曲内力
a F1 C F2 D B
FSE 和弯矩 ME ，且假设
FSE 和弯矩ME 的指向和转 向均为正值.取左段为研究
E
c b l
F
d
对象。
Fy 0 , M 0,
E
FRA FS E 0
M E FRA c 0
FRA
A E
FSE
解得 FSE FRA
ME
M E FRA c
第六章
6.1引言
1.弯曲的概念
弯曲内力
工程实例
第六章
工程实例
弯曲内力
第六章
弯曲内力
车刀轴
第六章
弯曲内力
火车轮轴
第六章
弯曲内力
起重机大梁
第六章
弯曲内力
镗刀杆轴
第六章
基本概念
弯曲内力
1.弯曲变形 （1） 受力特征 外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线. （2） 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线. 2.梁 以弯曲变形为主的杆件 3.平面弯曲 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.
材料力学第6章弯曲变形
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
材料力学-第六章
第15单元第六章 弯曲变形§6-1 引言应用：梁的刚度问题，静不定梁，压杆稳定挠曲轴：变弯后的梁轴(当外力位于梁对称面内时，挠曲线为平面曲线)。
挠度()y x ： 横截面形心的位移 转角()θx ：横截面绕中性轴的转角挠曲轴方程：()y y x = (挠曲轴的解析表达式)()tg dy dxy x θ=='()θθ≈='tg y x(通常θ<︒1=0.01745弧度)§6-2 梁变形基本方程目的：求()y x ，()()[]θx y x =' 途径：建立微分方程求解 一、挠曲轴微分方程1.中性层曲率表示的弯曲变形公式()1ρ=M x EI(其中M 可以通过弯矩方程表示为x 的函数，ρ为曲率半径，它可由'y 和''y 表示) 2.由数学()11232ρ=±''+'y y3.挠曲轴微分方程()()±''+'=y y M x EI1232(1) 4.方程简化，挠曲轴近似微分方程 小变形，()'≈<y θ0.0175(弧度)'<<y 21112+'≈y ((1)式分母等于1)正负号确定——确定坐标系：y 向上''>y 0(从数学) ''<y 0M >0(本书规定) M <⇒选正号()∴''=y M x EI二、积分法计算梁的变形()θ='=+⎰y M x EI dx C()y M x EIdx Cx D =++⎰⎰C 、D 为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。
三、位移边界与连续条件边界条件：固定端 y A A ==00,θ 固定铰，活动铰 0,0==F E y y 自由端：无位移边界条件 连续条件 y y C C C C 左右左右===00θθy y y y B BG G G G 左右左右左右===θθ例1：()M x M =0，()''=y x M EI 0()()θ='=+y x M EI x C 0()y x M EIx Cx D =++022由()()y D y C 00000=='==()()∴==y x M EIxx M EIx022θ例2：求挠曲轴微分方程AB 段： BC 段''=y M EI x l 10 ''=-⎛⎝ ⎫⎭⎪y M EI x l201y M EI x lC xD =++03116 y M EI x l x C x D =-⎛⎝ ⎫⎭⎪++0322262边界和连续条件()y 100= ()y l 20=y l y l 1222⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪(连续条件)'⎛⎝ ⎫⎭⎪='⎛⎝ ⎫⎭⎪y l y l 1222 (光滑条件)四个方程定4个常数()()y x M x lEI x l 1022244=- ()()y x M x l EIl2024=-例3：1.画剪力弯矩图2.列挠曲线的位移和连续条件3.画挠曲线大致形状(注明凹凸性与拐点) 位移与连续条件 A ：()y 100= B:()()()()a y a y a y a y 2121'='=,C:()()020232==a y a y ,()()a y a y 2232'=' D:无挠曲线大致形状的画法 (1)根据弯矩图定凹凸性， +→⋃-→⋂,(2)弯矩图过零点处为拐点 (3)支座限定支座处的位移§6-3 计算梁位移的奇异函数法奇异函数法仍属积分法。
材料力学第六章
§6-1 一、多跨静定梁 3．求解变形：
其它平面弯曲构件的内力与变形
1)宜采用叠加法；
2)先求主梁的变形： 在自身载荷及中间铰处次梁作用力的共同作用 下变形。
3)再求次梁的变形： 主梁变形引起次梁的刚性转动；
简化成简支梁或外伸梁的次梁在自身载荷作用 下的变形；
§6-1
其它平面弯曲构件的内力与变形
a
Fz
B
a
Fy y
10
解：外力沿形心主轴分解： F F y F cosa A点最大拉应力(B点最大压应力) F F sina z F y l | y A | Fz l | z A | sA 60.7 MPa Iz Iy
§6-4
开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心
一、产生平面弯曲的条件
)
F
§6-1
a A
F B
其它平面弯曲构件的内力与变形
y
x Fa A B
b
C
F
C
例6-3 作图示刚架内力图，并求A截面的 转角、水平和铅垂位移(抗弯刚度为EI)。 2)求A点转角、水平和铅垂位移： 再将AB刚化，BC解除刚化，F由 A点简化到B点 Fab q B " ( ) EI 2 在B点产生qB"、 Fab xB"为 x B " ( ) 2 EI BC变形引 q A " q B " Fab ( ) EI 2 起A点刚性 Fab ( ) 转动产生的 x A " x B " 2 EI2 qA"、xA"、 Fa b y A " q B "a ( ) yA " EI
y、z为形心主轴，F平行y轴，通过弯心A； Fx 0 ：FN 2 FN1 t 'tdx 0 * * * * F S M z dMM ( M d M ) S M S d M S z z z z zz z z z z Qy FN 2 y d A s d A y d A t t ' 1 A AA I z I z dx I z t I zII t zz
材料力学第六章静不定
FN2
FN3
（c） F
材料力学
中南大学土木工程学院
13
静不定结构的特点（1）
内力按刚度比分配。 思考：静定结构是否也是这样？
B
C
D
B
刚度较大 内力较大
A
F
材料力学
中南大学土木工程学院
C
刚度增加 内力不变
A
F
14
静不定结构的特点（2） 配应力
——装
B
C
B
D
C
A
静定结构 ——无装配应力
A
中南大学土木工程学院
8
OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，
EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
O
l2 sin 450
2l1
即 l2 2l1
450
①
②
a
A l1
a
l2
B
F
由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联
立求出两杆轴力，再求应力后得结果。
小技巧
l1
FN1
2 3
EA
l ，l2
1F.5NE2lA，l3
FN3
2 3
2EA
l
代入变形协调方程得补充方程
2FN2 2FN1 FN3
联立平衡方程求得
14 2 3 FN1 23 F 0.76F
FN2 3
3 2 F 0.14F 23
求拉压静 不定结构 注意事项
32 2 3 FN3 23 F 1.24F ()
材料力学
未知力：4个 平衡方程：2个 静不定次数 = 4－2 = 2 需要补充2个方程 此结构可称为2次静不定结构
材料力学第六章
EI
在横力弯曲时，梁横截面上除弯矩 M 外还有剪力 FS ，但工程上常用的 梁，当梁的长度大于横截面高度 10 倍时， FS 对梁的位移影响很小，可略去
不计，所以上式仍可应用。但此时， M 和 都是 x 的函数。即
M (x)
(x) EI
从高等数学可知，平面曲线的曲率可写成
d2 y
(x)
1
第六节 简单超静定梁的解法
对梁某方向的位移起限制作用的物体称为约束。在超静定梁中，超过了维持 梁的静力平衡所必需的约束，称为多余约束，相应的约束力（包括约束力偶）， 称为多余约束力。
解超静定梁的方法较多，本书介绍变形比较法，步骤如下。 （1）判断超静定次数。梁上未知约束力的个数与独立的平衡方程数之差， 称为超静定次数。对于给定的梁，解题时首先应判断它是静定的，还是超静定的。 如果是超静定的，要确定超静定的次数。 （2）解除超静定梁的多余约束，并代之以多余约束力，所得系统称为静定 基。在多余约束处寻找变形协调条件。 （3）写出变形协调条件和物理条件，得到补充方程。 （4）将补充方程和平衡方程联立，即可求解。
，
FAy
ql
坐标为 x 的截面上的弯矩为
M (x) qlx 1 ql2 1 qx2 22
列挠曲线近似微分方程并积分，有
EI
d2 y dx2
qlx
1 2
ql 2
1 2
qx2
EI
dy dx
EI
ql
x2 2
1 ql2x 2
q 6
x3
C1
（a）
EIy
ql
x3 6
1 4
ql2 x2
1 qx4 24
C1x
该处的挠度 y 0 ，截面转角 0 ；铰支座处的边界条件，挠度 y 0 。
在横力弯曲时，梁横截面上除弯矩 M 外还有剪力 FS ，但工程上常用的 梁，当梁的长度大于横截面高度 10 倍时， FS 对梁的位移影响很小，可略去
不计，所以上式仍可应用。但此时， M 和 都是 x 的函数。即
M (x)
(x) EI
从高等数学可知，平面曲线的曲率可写成
d2 y
(x)
1
第六节 简单超静定梁的解法
对梁某方向的位移起限制作用的物体称为约束。在超静定梁中，超过了维持 梁的静力平衡所必需的约束，称为多余约束，相应的约束力（包括约束力偶）， 称为多余约束力。
解超静定梁的方法较多，本书介绍变形比较法，步骤如下。 （1）判断超静定次数。梁上未知约束力的个数与独立的平衡方程数之差， 称为超静定次数。对于给定的梁，解题时首先应判断它是静定的，还是超静定的。 如果是超静定的，要确定超静定的次数。 （2）解除超静定梁的多余约束，并代之以多余约束力，所得系统称为静定 基。在多余约束处寻找变形协调条件。 （3）写出变形协调条件和物理条件，得到补充方程。 （4）将补充方程和平衡方程联立，即可求解。
，
FAy
ql
坐标为 x 的截面上的弯矩为
M (x) qlx 1 ql2 1 qx2 22
列挠曲线近似微分方程并积分，有
EI
d2 y dx2
qlx
1 2
ql 2
1 2
qx2
EI
dy dx
EI
ql
x2 2
1 ql2x 2
q 6
x3
C1
（a）
EIy
ql
x3 6
1 4
ql2 x2
1 qx4 24
C1x
该处的挠度 y 0 ，截面转角 0 ；铰支座处的边界条件，挠度 y 0 。
材料力学课件第六章1 弯曲变形
代入通解得方程组： F (0) 2 Fl (0) C 0
2 F 1 3 (0) Fl (0) 2 C (0) D 0 6 2 D0
解得： C 0, 6、确定挠曲线方程和转角方程: F EIw ' x 2 Flx 2 F Fl 2 EIw x 3 x 6 2 7、求截面位移
由方程所确定的曲率：
1 3 2 2 ( x) dw 1 dx
d w dx2 dw 1 dx
2 2
d 2w dx2
y
w x
x
3
F
因此有：
2
2
M ( x) EI
dw d 2 w M ( x) 又 1 得： 2 dx EI dx
二、画AB、DE受力图
三、变形协调条件 三、建立补充方程
v AB中 vDE中
( P RC ) L RC L2 48EI1 48EI 2
3 1 3
D
E
3 I 2 L1 P 解得：RC 3 3 I 2 L1 I1 L2 I1 L3 P 2 AB梁负担：P RC 3 3 I 2 L1 I1 L2
ห้องสมุดไป่ตู้
水平位移 2、弯曲变形的度量： （1）截面位移及特点： •横截面形心的竖向线位移 •横截面绕中性轴的角位移。 •横截面形心的水平线位移， 较竖向线位移小许多。
（2）度量变形的基本量： •挠度w： 横截面形心的竖向线位移，向上为正。 •截面转角θ ：横截面绕中性轴的角位移，逆时针为正。
3、弯曲变形简化计算 （1）简化： 认为截面只有竖向位移。 y （2）简化后问题的特点： •挠曲线方程为挠度方程：
2 F 1 3 (0) Fl (0) 2 C (0) D 0 6 2 D0
解得： C 0, 6、确定挠曲线方程和转角方程: F EIw ' x 2 Flx 2 F Fl 2 EIw x 3 x 6 2 7、求截面位移
由方程所确定的曲率：
1 3 2 2 ( x) dw 1 dx
d w dx2 dw 1 dx
2 2
d 2w dx2
y
w x
x
3
F
因此有：
2
2
M ( x) EI
dw d 2 w M ( x) 又 1 得： 2 dx EI dx
二、画AB、DE受力图
三、变形协调条件 三、建立补充方程
v AB中 vDE中
( P RC ) L RC L2 48EI1 48EI 2
3 1 3
D
E
3 I 2 L1 P 解得：RC 3 3 I 2 L1 I1 L2 I1 L3 P 2 AB梁负担：P RC 3 3 I 2 L1 I1 L2
ห้องสมุดไป่ตู้
水平位移 2、弯曲变形的度量： （1）截面位移及特点： •横截面形心的竖向线位移 •横截面绕中性轴的角位移。 •横截面形心的水平线位移， 较竖向线位移小许多。
（2）度量变形的基本量： •挠度w： 横截面形心的竖向线位移，向上为正。 •截面转角θ ：横截面绕中性轴的角位移，逆时针为正。
3、弯曲变形简化计算 （1）简化： 认为截面只有竖向位移。 y （2）简化后问题的特点： •挠曲线方程为挠度方程：
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杆的E=210GPa，工程规定C点的[f/L]=0.00001,B点的]=0.001
弧度,试核此杆的刚度。
=+ =+
L=400mm a=0.1mP
A
D
B
C
A
D
B
200mm P1=1kN
A
D
B
C P2=2kN
C
P2
a
B
C
P2
P1=1kN
P2 M
A
D
B
C
A
D
B
C
.
P2=2kN
L=400mm a=0.1mP
a
P
L
x
fmax f(L)6PE2aI3La
f
.
第三节 用叠加法求弯曲变形
一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
( P 1 P 2 P n ) 1 ( P 1 ) 2 ( P 2 ) n ( P n )
PA
Pa 2 4 EI
f PC
Pa 3 6 EI
q
A
B
qA
qa 3 3 EI
5 q L4 f qC 24 EI
.
P
q
A
B
C
a
a
PA
Pa 2 4 EI
qA
qa 3 3 EI
f PC
Pa 3 6 EI
f
qC
5 q L4 24 EI
=
P 叠加
A
B
APAqA
+
a2 (3P4qa) 12EI
q
A
P(xa) (0xa)
M (x) 0
(axL)
a
P
L
x
f 写出微分方程的积分并积分
EfI 0 P(ax)
(0xa) (axL)
EIfΒιβλιοθήκη 1 2P(ax)2
C1
D1
EIf16P(ax)3 C1xC2 D1xD2
.
应用位移边界条件求积分常数
EI(f0)1 6P3 aC20
EI(0)1 2P2aC10
a
. dx
(1
第二节 挠曲线的微分方程及用积分法求弯曲变形
一、挠曲线近似微分方程
x M>0 f(x)0 f
1 M z (x)
EI z
1(1ff(x2))32小变形 f(x)
M<0
f
f(x)0
x
f (x) Mz(x) EIz
f(x ) M (x ) … … （ 2 ）
E I
式（2）就是挠曲线近似微分方程。 .
P
L
x
f
(a)(a) C1 D1
f(a)f(a)
C 1aC 2D 1aD 2
C 1D 11 2P2a ;C 2D 21 6P3a .
写出弹性曲线方程并画出曲线
f(x)66P P E EII3(aa2xx)3a33a2xa3
(0xa) (axL)
最大挠度及最大转角
max(a)
Pa2 2EI
件）确定。
④优点：使用范围广，直接求.出较精确； 缺点：计算较繁。
例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：
P L
建立坐标系并写出弯矩方程
x
M (x)P(xL)
f
写出微分方程的积分并积分 应用位移边界条件求积分常数
E f I M (x ) P (L x ) EfI1 2P(Lx)2C1 EIf1 6P(Lx)3C1xC2 .
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。
与 f 同向为正，反之为负。
C
P x 2.转角：横截面绕其中性轴转
v
动的角度。用 表示，顺时
f
C1
针转动为正，反之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为：
v =f (x)
小变形
三、转角与挠曲线的关系： tg df f
B
.
fC25q4Ea4I6PEa3I
例6 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。
L1
L2
P
A
C
f
Bx f
f f1f2
=
L1 A 刚化AC段C
L1
+
L2
P 等价
B
L2
P 等价
L2
P
C
Bx
f1
f
L1
P L2
A
C
B
A
C
M Bx
刚化BC段
f
.
f2
第四节 梁的刚度校核
fm La x L f (对土 : L f建 (2 1 工 5 ~1 0 程 1 0)0 )
第六章 弯曲变形
➢工程中的弯曲变形问题 ➢挠曲线的微分方程及用积分法求弯曲变形 ➢用叠加法求弯曲变形 ➢梁的刚度校核 ➢弯曲超静定
.
第一节 工程中的弯曲变形问题
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变. 形几何条件提供补充方程）。
一、度量梁变形的两个基本位移量
f ( P 1 P 2 P n ) f 1 ( P 1 ) f 2 ( P 2 ) f n ( P n )
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
.
P
q 例4 按叠加原理求A点转角和C点
A
B
挠度。
C
a
a
P
=
解、载荷分解如图 由梁的简单载荷变形表，
A
B
查简单载荷引起的变形。
+
EI(f0)1 6P3LC20
E(I0)Ef(I0)1 2P2L C 10
C11 2P2L;C21 6P3L
P L
x
f
写出弹性曲线方程并画出曲线
f(x)P(Lx)33L 2xL 3 6EI
最大挠度及最大转角
max(L)
PL2 2EI
PL3
fmax
f
(L)
3EI
.
解：建立坐标系并写出弯矩方程
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
EfI (x) M (x)
二、求挠曲线方程（弹性曲线） 1.微分方程的积分
EfI(x)M (x) Ef(Ix)( M (x)d )x C 1
E ( x ) I f( ( M ( x )d x ) ) d x C 1 x C 2
2.位移边界条件
P
A
C
B
D
P
.
支点位移条件：
fA 0 fB 0
连续条件：
fC fC
光滑条件：
C
C
fD 0 D 0
或写 fC 左成 fC 右
或 写 C 左 成C 右
讨论：
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条
max
其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条件
进行如下三种刚度计算：
、校核刚度：
fmax L
f L
max
、设计截面尺寸； (但：对于土建工程，强度常处于主要地位，
、设计载荷。
刚度常处于从属地位。特殊构件例外） .
例7 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，
x
A
D
B
C
f 200mm P1=1kN P2=2kN
=+ +
A
D
B
图1
P1=1kN B
图2
C
a C
P2
P2 M
A
D
B
C
图3
叠加求复杂载荷下的变形
B1P61LE2IP32ELIa
fC1P1L6E2aIP 32Ea3IP32aE2LI
I (D 4d 4) 64
3.14 (80 4 40 4 )10 12 64
弧度,试核此杆的刚度。
=+ =+
L=400mm a=0.1mP
A
D
B
C
A
D
B
200mm P1=1kN
A
D
B
C P2=2kN
C
P2
a
B
C
P2
P1=1kN
P2 M
A
D
B
C
A
D
B
C
.
P2=2kN
L=400mm a=0.1mP
a
P
L
x
fmax f(L)6PE2aI3La
f
.
第三节 用叠加法求弯曲变形
一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
( P 1 P 2 P n ) 1 ( P 1 ) 2 ( P 2 ) n ( P n )
PA
Pa 2 4 EI
f PC
Pa 3 6 EI
q
A
B
qA
qa 3 3 EI
5 q L4 f qC 24 EI
.
P
q
A
B
C
a
a
PA
Pa 2 4 EI
qA
qa 3 3 EI
f PC
Pa 3 6 EI
f
qC
5 q L4 24 EI
=
P 叠加
A
B
APAqA
+
a2 (3P4qa) 12EI
q
A
P(xa) (0xa)
M (x) 0
(axL)
a
P
L
x
f 写出微分方程的积分并积分
EfI 0 P(ax)
(0xa) (axL)
EIfΒιβλιοθήκη 1 2P(ax)2
C1
D1
EIf16P(ax)3 C1xC2 D1xD2
.
应用位移边界条件求积分常数
EI(f0)1 6P3 aC20
EI(0)1 2P2aC10
a
. dx
(1
第二节 挠曲线的微分方程及用积分法求弯曲变形
一、挠曲线近似微分方程
x M>0 f(x)0 f
1 M z (x)
EI z
1(1ff(x2))32小变形 f(x)
M<0
f
f(x)0
x
f (x) Mz(x) EIz
f(x ) M (x ) … … （ 2 ）
E I
式（2）就是挠曲线近似微分方程。 .
P
L
x
f
(a)(a) C1 D1
f(a)f(a)
C 1aC 2D 1aD 2
C 1D 11 2P2a ;C 2D 21 6P3a .
写出弹性曲线方程并画出曲线
f(x)66P P E EII3(aa2xx)3a33a2xa3
(0xa) (axL)
最大挠度及最大转角
max(a)
Pa2 2EI
件）确定。
④优点：使用范围广，直接求.出较精确； 缺点：计算较繁。
例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：
P L
建立坐标系并写出弯矩方程
x
M (x)P(xL)
f
写出微分方程的积分并积分 应用位移边界条件求积分常数
E f I M (x ) P (L x ) EfI1 2P(Lx)2C1 EIf1 6P(Lx)3C1xC2 .
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。
与 f 同向为正，反之为负。
C
P x 2.转角：横截面绕其中性轴转
v
动的角度。用 表示，顺时
f
C1
针转动为正，反之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为：
v =f (x)
小变形
三、转角与挠曲线的关系： tg df f
B
.
fC25q4Ea4I6PEa3I
例6 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。
L1
L2
P
A
C
f
Bx f
f f1f2
=
L1 A 刚化AC段C
L1
+
L2
P 等价
B
L2
P 等价
L2
P
C
Bx
f1
f
L1
P L2
A
C
B
A
C
M Bx
刚化BC段
f
.
f2
第四节 梁的刚度校核
fm La x L f (对土 : L f建 (2 1 工 5 ~1 0 程 1 0)0 )
第六章 弯曲变形
➢工程中的弯曲变形问题 ➢挠曲线的微分方程及用积分法求弯曲变形 ➢用叠加法求弯曲变形 ➢梁的刚度校核 ➢弯曲超静定
.
第一节 工程中的弯曲变形问题
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变. 形几何条件提供补充方程）。
一、度量梁变形的两个基本位移量
f ( P 1 P 2 P n ) f 1 ( P 1 ) f 2 ( P 2 ) f n ( P n )
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
.
P
q 例4 按叠加原理求A点转角和C点
A
B
挠度。
C
a
a
P
=
解、载荷分解如图 由梁的简单载荷变形表，
A
B
查简单载荷引起的变形。
+
EI(f0)1 6P3LC20
E(I0)Ef(I0)1 2P2L C 10
C11 2P2L;C21 6P3L
P L
x
f
写出弹性曲线方程并画出曲线
f(x)P(Lx)33L 2xL 3 6EI
最大挠度及最大转角
max(L)
PL2 2EI
PL3
fmax
f
(L)
3EI
.
解：建立坐标系并写出弯矩方程
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
EfI (x) M (x)
二、求挠曲线方程（弹性曲线） 1.微分方程的积分
EfI(x)M (x) Ef(Ix)( M (x)d )x C 1
E ( x ) I f( ( M ( x )d x ) ) d x C 1 x C 2
2.位移边界条件
P
A
C
B
D
P
.
支点位移条件：
fA 0 fB 0
连续条件：
fC fC
光滑条件：
C
C
fD 0 D 0
或写 fC 左成 fC 右
或 写 C 左 成C 右
讨论：
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条
max
其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条件
进行如下三种刚度计算：
、校核刚度：
fmax L
f L
max
、设计截面尺寸； (但：对于土建工程，强度常处于主要地位，
、设计载荷。
刚度常处于从属地位。特殊构件例外） .
例7 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，
x
A
D
B
C
f 200mm P1=1kN P2=2kN
=+ +
A
D
B
图1
P1=1kN B
图2
C
a C
P2
P2 M
A
D
B
C
图3
叠加求复杂载荷下的变形
B1P61LE2IP32ELIa
fC1P1L6E2aIP 32Ea3IP32aE2LI
I (D 4d 4) 64
3.14 (80 4 40 4 )10 12 64