功和能习题

4-1 判断正误（1）质点系的总动量为零，总角动量也一定为零。

错 （2）一质点做直线运动，质点的角动量一定为零。

错 （3）一质点做直线运动，质点的角动量一定不变。

错（4）一质点做匀速率圆周运动，其动量方向在不断改变，所以角动量的方向也随之不断改变。

错4-2 两个自由质点，其质量分别为m 1和m 2，它们之间的相互作用符合万有引力定律，开始时，两质点间的距离为l ，它们都处于静止状态，试求当它们的距离变为l 21时，两质点的速度各为多少？解：把两个质点当一个系统考虑，没有外力作用，动量和机械能守恒。

:2211=+v m v m 动量守恒2222112121212120v m v m L m m G L m m G++-=+-机械能守恒解得：)(2,)(221122121m m L Gm v m m L G m v +-=+= 4-3 如附图所示，一根线密度为λ的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。

现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离y 时对桌面的瞬时作用力。

解：在落到桌面前，链条个部分为自由落体，当链条下落y 时，下落部分速率满足：gy v mgy mv 2212=⇒=d t 时刻内将会有d y 长度的链条落到桌面上，此时桌面上的链条受到支持力N 和重力G 的作用，二者的合力改变了链条的动量，若指定向上为正，则)](d [0d )(v y t G N --=-λ即2v dtdyvyg N λλλ==- 所以gy gy gy yg v N λλλλλ322=+=+=4-4 作用在质量为10kg 的物体上的力为F =（10+2t ）N ，式中t 的单位为s 。

（1）求4s 后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量。

（2）为了使这力的冲量为200Ns ，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度-6m/s 的物体，回答这两个问题。

解：（1）根据动量定理，m /s kg 56)10()()()210(40240⋅=+=∆=⇒∆=+=⎰t t mv I mv t t I x xm/s 6.51056m/s kg 56==∆⇒⋅=∆=∆v v m mv （2）当物体原来静止时，在x 方向s 10020010200)210(02=⇒=-+⇒=+=⎰t t t dt t I tx当初速度为m/s 60v -=时，tt v m t t v m p p v m p ttd )210(]d )210([,0000100⎰⎰+=-++=-==由于y 方向无力作用，y 方向动量为恒矢量，故仍为10s 。

4-5 一颗子弹由枪口射出时速率为v 0m/s ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为F =（a -bt ）N （a ，b 为常数），其中t 以s 为单位：（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；（2）求子弹所受的冲量；（3）求子弹的质量。

解：（1）子弹到枪口时，有bat bt a F =⇒=-=0)( （2）子弹受的冲量2021)(bt at dt bt a I t⎰-=-=，将bat =带入得b a I 22=（3）由动量定理，得0202bv a v I m == 4-6 求实验室内观察到相距很远的一个质子（质量为m p ）和一个氦核（质量为4m p ），沿一直线相向运动，速率都是v 0，求二者能达到的最近距离R 。

解：如图当质子和氦核相距最近时，它们的速度一定同方向且相等，由动量守恒得00053)4(4v V V m m v m v m p p p p =⇒+=-质子带电量为e ，氦核带电量为2e ，它们相距为r 时具有的势能为rke r e e k E p 222=⋅=，其中k 为静电力常量。

由能量守恒得min 2220202)4(2121421r ke V m m v m v m p p p p ++=+⋅得：22min45v m ke r p = 4-7 F x =30+4t （式中F x 的单位为N ，t 的单位为s ）的合外力作用在质量为m =10kg 的物体上，试求：（1）在开始2s 内此力的冲量；（2）若冲量I =300Ns ，此力作用的时间；（3）若物体的初速度v 1=10m/s ，方向与F x 相同，在t =时，此物体的速度v 2。

解：（1）0-2s 内此力的冲量s N 68)302(d )430(d 20222⋅=+=+==⎰⎰t t t t t F I x（2）s N 300⋅=I 时，3003022=+t t ，解得 s 86.6=t （3）0300mv mv I -==，解得 m/s 40=v4-8 如附图所示，在水平地面上，有一横截面S =的直角弯管，管中有流速为v =s 的水通过，求弯管所受力的大小和方向。

解：水在竖直方向和水平方向分别利用冲量定理求冲力分量，弯管所受力大小为水所受的冲力合力。

在竖直方向：tv Sv mv t F d )(d d 1ρ-==在水平方向：tv Sv t F d d 2ρ= 水所受的冲力合力大小为：N 105.2N 0.320.0101223232221⨯=⨯⨯⨯⨯==+=Sv F F F ρ，方向沿直角平分线指向弯管内侧。

由牛顿第三定律，弯管所受力大小为N 105.23⨯，方向沿直角平分线指向弯管外侧。

4-9 如附图所示，一做斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为。

爆炸后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为×102m 。

问第二块落在距抛出点多远的地面上（设空气的阻力不计）。

解：物体在最高点处爆炸的过程，由于爆炸内力远大于重力，重力的冲量可或略，物体爆照过程动量守恒。

设作斜抛物体的初速率为v 0，到最高点所需时间为t 0，则由000=-gt v y ，200021gt t v h y -=，得到 gh t 20= hgx t x v x 21010==（1） 物体爆炸后，第一块碎片竖直落下的运动方程为21121gt t v h y --=，当该碎片落地时，有s 00.1,011===t t y ，则得到第一块碎片抛出的速率1v121121t gt h v -=（2） 再根据动量守恒定律，在最高点处有x x mv mv 2021=（3）;y mv mv 2121210+-= （4） 联解式（1）——（4），得m/s 100222102===hgx v v x x ;m/s 7.142112112=-==t gt h v v y 爆炸后，第二块碎片作斜抛运动，其运动方程为2212t v x x x += （5） 2222221gt t v h y y -+= （6） 落地时，02=y ，由式（5）和（6）可解得m 5002=x4-10 如附图所示，质量为×10-23kg ，速率为×107m/s 的粒子A ，与另一质量为其一半而静止的粒子B 发生二维弹性碰撞，碰撞后粒子A 的速率为×107m/s.求：（1）粒子B 的速率及相对粒子A 原来速度方向的偏转角； （2）粒子A 的偏转角。

解：由动量守恒B B A A A A v m v m v m +='，即βαcos cos 'B B AA A A v m v m v m +=（1）;βαsin sin 'B B AA v m v m = （2）; 弹性碰撞，动能不变22221'2121BB A A A A v m v m v m += （3） ; 把 kg 102.723-⨯=A m ，kg 106.3223-⨯==AB m m ，m /s 100.67⨯=A v ，m /s 100.57'⨯=A v 代入式（1）-（3），得m /s 1069.47⨯=B v ，'2022ο=α，'654ο=β4-11 如附图所示，一个质量为m 的小球，从内壁为半球形的容器边缘点A 滑下。

设容器质量为'm ，半径为R ，内壁光滑，并放置在摩擦可以或略的水平桌面上，开始时小球和容器都处于静止状态。

当小球沿内壁滑到容器底部的点B 时，受到向上的支持力为多大？解：水平方向系统动量守恒，下滑过程中系统机械能守恒0''=-m m v m mv ;2'2'2121m m v m mv mgR +=其中m v 、'm v 分别表示小球到达B 点时小球、容器相对于桌面的速度，得''2m m gR m v m +=，''2''m m gRm m m v m +=以容器为参考系，求在B 点小球相对容器的速度'm v 由于 )(''m m m v v v -+=，得 ')'(2''m m m gR v v v m m m +=+=容器参考系中，小球圆周运动的向心力为)'23(')'(2'2m m mg mg R m m m mgR F R mv mg F N m N +=++=⇒=-4-12 如附图所示,质量为m ,速度为v 的钢球,射向质量为m ′的靶，靶中心有一小孔,内有劲度系数为k 的弹簧，此靶最初处于静止状态,，但可在水平面上做无摩擦滑动，求钢球射入靶内弹簧后, 弹簧的最大压缩距离。

分析 这也是一种碰撞问题．碰撞的全过程是指小球刚与弹簧接触直至弹簧被压缩到最大,小球与靶刚好到达共同速度为止,在这过程中,小球和靶组成的系统在水平方向不受外力作用,外力的冲量为零,因此,在此方向动量守恒．但是,仅靠动量守恒定律还不能求出结果来．又考虑到无外力对系统作功,系统无非保守内力作功,故系统的机械能也守恒．应用上述两个守恒定律,并考虑到球与靶具有相同速度时,弹簧被压缩量最大这一条件,即可求解．应用守恒定律求解,可免除碰撞中的许多细节问题．解 设弹簧的最大压缩量为x 0 ．小球与靶共同运动的速度为v 1 ．由动量守恒定律,有()1'mv =m+m v (1)又由机械能守恒定律,有()22210111222m kx '+v =m+m v (2) 由式(1)、(2)可得0x =4-13 自动步枪连发时每分钟可射出120发子弹，每颗子弹质量为，出口速率为735m/s ，求射击时所需的平均力。

解：枪射出每发子弹所需时间：Δt=60/120=，对子弹应用动量定理：3//7.910735/0.511.6F t p F p t mv tN-∆=∆⇒=∆∆=∆=⨯⨯=4-14水力采煤,是用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层。