行列式、矩阵与线性变换
线性代数的历史
线性代数的历史译自Israel Kleiner《A History of Abstract Algebra》线性代数是一个非常有用的学科，它的基本概念产生并被应用在数学和它的应用的各个不同领域，因此这门学科植根于诸如数论（初等数论和代数数论）、几何学、抽象代数（群，环，域和伽罗瓦(Galois)理论）、分析学（微分方程，积分方程和泛函分析）和物理学这些如此丰富多彩的领域就毫不奇怪了。
线性代数的基本概念是线性方程组、矩阵、行列式、线性变换、线性无关、维数、双线性型、二次型和向量空间。
由于这些概念之间是密切关联的，所以有些概念通常会出现在同一段内容中（例如线性方程组和矩阵），从而使得我们往往不能将它们分离开来。
到1880年为止，已经得到许多线性代数的基本结果，但它们还不属于某个一般性的理论。
特别要指出的是，那时还尚未提出向量空间这个构建这种理论的基本观念。
这个观念仅在1888年由皮亚诺(Peano)提出过。
即使如此，它那时也被大大地忽视了（如同格拉斯曼（Grassmann）更早前的开创性工作），直到20世纪早期作为一个完整理论的基本要素这个观念才再次起飞。
因此线性代数这个学科的历史发展顺序与它的逻辑顺序正好相反。
我们将按照下面的顺序来描述线性代数的基本演变史：线性方程组；行列式；矩阵和线性变换；线性无关，基和维数；向量空间。
在这个过程中，我们将评述上面提到的某些其他概念。
5.1线性方程组大约4000年前，巴比伦人就知道如何解两个二元一次线性方程组成的线性方程组（2*2的线性方程组）。
在著名的《九章算术》（大约公元前200年，Nine Chapters of the Mathematical Art）中，中国人解出了3*3的线性方程组，解法中只使用了线性方程组的（数值）系数。
这些做法是矩阵方法的原型，但和高斯（Gauss）以及其他人2000年后提出的“消元法”并不相同。
见[20]。
对线性方程组的现代研究可以说肇始自莱布尼兹（Leibniz），为了研究线性方程组他于1693年提出了行列式的观念。
矩阵与行列式的运算与应用
矩阵与行列式的运算与应用矩阵与行列式是线性代数中的重要概念和工具，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将探讨矩阵与行列式的运算规则及其在实际问题中的应用。
一、矩阵的定义与基本运算矩阵是由m行n列的数按一定顺序排列而成的矩形阵列。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。
矩阵的加法定义为：若A和B是同型矩阵（即行数和列数相等），则它们的和A + B是一个同型矩阵，其元素由对应位置的元素相加得到。
矩阵的乘法定义为：若A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵，则它们的乘积AB是一个m行p列的矩阵，其元素由A的第i行与B的第j列的元素按一定规则相乘再相加得到。
矩阵的转置定义为：若A是一个m行n列的矩阵，其转置记作A^T，即将A 的行变为列，列变为行。
矩阵的逆定义为：若A是一个n阶方阵（即行数等于列数），且存在一个n阶方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵，则称A是可逆的，B为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
二、行列式的定义与性质行列式是一个与方阵相关的数值函数，用于刻画方阵的性质。
一个n阶方阵A 的行列式记作det(A)或|A|。
行列式的定义为：对于2阶方阵A = [[a, b], [c, d]]，其行列式定义为|A| = ad - bc。
对于n阶方阵A，其行列式的计算可以通过代数余子式和代数余子式构成的代数余子式矩阵进行。
行列式的性质包括：1. 行列式的值与方阵的行列互换无关，即|A| = |A^T|。
2. 行列式的值与方阵的某一行（列）成比例，即若方阵的某一行（列）元素都乘以一个常数k，则行列式的值也乘以k。
3. 行列式的值与方阵的两行（列）交换符号相反，即若方阵的两行（列）交换，则行列式的值取相反数。
4. 行列式的值与方阵的某一行（列）的线性组合无关，即若方阵的某一行（列）是另外两行（列）的线性组合，则行列式的值为0。
三、矩阵与行列式的应用矩阵与行列式作为线性代数的基本工具，在实际问题中有着广泛的应用。
矩阵练习题线性变换和行列式
矩阵练习题线性变换和行列式线性变换和行列式是线性代数中的重要概念，也是矩阵练习题中经常涉及到的内容。
本文将针对线性变换和行列式进行详细的讲解和练习题的解答，以帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
一、线性变换线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间，并且保持向量之间的线性运算。
它可以用矩阵表示，通过矩阵与向量的乘法来实现线性变换。
在矩阵练习题中，常见的线性变换包括平移、旋转、缩放等。
对于线性变换的练习题，首先需要确定线性变换的矩阵表示形式，然后通过给定的向量或矩阵进行计算。
例如，给定线性变换T:R^2->R^2，将向量(2,3)映射到新的向量。
首先，我们需要确定线性变换的矩阵表示形式，假设矩阵表示形式为A。
然后，将向量(2,3)与矩阵A相乘，即可得到映射后的向量。
二、行列式行列式是一个与矩阵相关的数值，它只存在于方阵中。
行列式可以用来判断一个矩阵的性质，比如矩阵是否可逆、是否为奇异矩阵等。
在矩阵练习题中，常见的行列式计算包括求矩阵的行列式、求逆矩阵等。
对于行列式的计算，可以利用定义公式或者直接应用性质来进行求解。
例如，给定一个3阶矩阵A，求其行列式的值。
首先，可以利用定义公式进行计算，按照对角线元素乘积之和减去反对角线元素乘积之和的方式求得行列式的值。
三、线性变换和行列式的关系线性变换和行列式之间存在着密切的关系。
对于一个线性变换T，其矩阵表示形式的行列式即为这个线性变换的缩放因子。
具体来说，如果一个矩阵A表示一个线性变换T，那么A的行列式|A|表示了T对向量的缩放比例。
当|A|=0时，说明线性变换T将向量映射到了一个零向量或者线性相关的向量空间，即T存在奇异性。
在线性变换和行列式的练习题中，常常需要通过求解行列式的值或者分析行列式的性质来研究线性变换的特性。
练习题：1. 给定一个线性变换T:R^2->R^2，其矩阵表示形式为A=[2 1; 3 4]，求向量(1,2)在变换后的结果。
线性变换与矩阵的关系
线性变换与矩阵的关系线性代数是数学中的一个分支学科，它是整个数学的一个基础。
线性代数的核心概念是线性变换和矩阵。
线性变换可以被视为线性代数中最基本的概念，矩阵则是线性变换最常用的工具。
本文将探讨线性变换与矩阵之间的关系。
一、线性变换的定义线性变换是一种把向量空间V中的每一个元素映射到向量空间W中的一种映射。
如果对于每个向量x和每个标量c，我们都有T(x + cy) = T(x) + cT(y)，则此映射为线性变换。
其中，T为线性变换的运算符，y是向量空间V中的元素。
线性变换的一个重要性质是它保持线性运算。
这意味着，对于向量空间V中的任何两个向量x和y，以及标量c，都有：T(x + y) = T(x) + T(y)T(cx) = cT(x)这些性质使得线性变换在数学中扮演着重要的角色。
二、矩阵的定义矩阵是一个有限的、有序的、由数构成的矩形表。
我们通常用大写字母表示矩阵，例如A。
矩阵可以用来表示线性变换，而线性变换可以用矩阵来描述。
我们可以将矩阵视为一种数字表示，它包含了一个线性变换所以可能的操作。
三、线性变换和矩阵的关系线性变换和矩阵是密不可分的。
每个线性变换都可以表示为一个矩阵，而每个矩阵也可以表示为一个线性变换。
矩阵的第i行和第j列上的元素用a(i,j)表示。
我们可以用以下公式将一个向量空间中的向量转换成矩阵的形式：⎡ a(1,1) a(1,2) ... a(1,n)⎤⎢ a(2,1) a(2,2) ... a(2,n)⎥A = ⎢ ... ... ... ... ... ⎥⎢ a(n,1) a(n,2) ... a(n,n)⎥⎣⎦对于一个给定的矩阵A，我们可以将它作为线性变换T的矩阵表示。
这个线性变换对一个向量进行变换的方式为 T(x) = Ax，其中x为向量，Ax表示矩阵A和向量x的乘积。
矩阵乘法的目的是用一个矩阵描述一种线性变换。
在矩阵乘法中，行列式中每个元素都表示了一种特定的线性变换。
行列式在中学数学中的应用
行列式在中学数学中的应用行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一种对于方阵的特殊函数，用于描述和计算矩阵的各种性质。
在中学数学中，我们常常遇到一些看似与行列式无关的问题，但实际上，巧妙地运用行列式能够简化解题过程，提高解题效率。
本文将介绍行列式的基本概念及其在中学数学中的应用，旨在帮助读者更好地理解行列式的意义和作用。
在介绍行列式的应用之前，我们需要先了解一下行列式的定义和性质。
行列式是由矩阵的行和列构成的，表示为一个标量，记作D。
对于一个n阶方阵A，其行列式可以定义为：D = a11 * a22 *... * ann其中aij表示矩阵A中的元素。
行列式具有以下基本性质：行列式与矩阵的阶数有关，即D(A) = D(n)；行列式是唯一确定的，即对于同一个矩阵A，其行列式D(A)是唯一值；行列式的值与矩阵中的元素有关，元素不同则行列式的值也不同。
在中学数学中，行列式可以应用于解线性方程组、求逆矩阵、证明定理等方面。
以下是一些具体应用示例：线性方程组是中学数学中的重要内容，使用行列式可以简化解题过程。
例如，对于以下线性方程组：a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c.. anx + bny = cn我们可以将其系数构成一个n阶矩阵A，将其右侧的常数项构成一个列向量b，则该方程组可以表示为Ax = b。
使用克莱姆法则，我们可以求解出x的值，其中行列式D(A)起到了关键作用。
在中学数学中，我们学习了逆矩阵的概念及其求法。
对于一个n阶方阵A，其逆矩阵A-1满足AA-1 = I，其中I是单位矩阵。
利用行列式，我们可以快速求解逆矩阵。
由D(A) = 0以及D(I) = 1，可得D(AA-1) = D(A)D(A-1) = 0，因此有D(A-1) = 1/D(A)。
在一些定理的证明过程中，行列式也能够发挥重要作用。
例如，对于一个n阶方阵A，如果D(A) ≠ 0，则A可逆。
这个定理的证明就涉及到行列式。
线性变换与矩阵的相似性
线性变换与矩阵的相似性在数学中，线性变换和矩阵是两个非常重要的概念。
线性变换是指一个向量空间内的元素进行的一种操作，而矩阵则是线性变换在选择基准下的具体表示。
本文将讨论线性变换和矩阵之间的相似性。
一、线性变换简介线性变换可以将一个向量空间的元素映射为同一向量空间中的另一个元素，保持向量空间的线性结构。
具体而言，设V和W是两个向量空间，如果对于任意的向量x，y∈V和标量a，b∈F（其中F是一个指定的域），满足以下两个条件：1. T(x+y) = T(x) + T(y) （线性性）2. T(ax) = aT(x) （齐次性）则称T:V→W为一个线性变换。
二、矩阵简介矩阵是线性变换在选定的基下的具体表达。
设V和W是两个有限维向量空间，分别选定它们的基v1, v2, ..., vn和w1, w2, ..., wm。
对于线性变换T:V→W，我们可以将T在这两个基下的表达表示为一个矩阵。
具体而言，设x∈V是一个向量，T(x)∈W是T对应的向量，若T(x)在基w1, w2, ..., wm下的坐标是(y1, y2, ..., ym)，则称(y1, y2, ..., ym)为x在基v1, v2, ..., vn下的坐标。
我们可以将所有x在这两个基下的坐标组成一个矩阵，这就是线性变换T在选定基下的矩阵表示。
三、线性变换与矩阵之间存在着一种特殊的关系，即相似性。
对于同一个线性变换T，在不同的基下，其对应的矩阵表示可能是不同的。
然而，这些矩阵之间存在一种特殊的关系，即相似矩阵。
定义：如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，其中A和B是n×n矩阵，那么我们称A与B相似。
换句话说，一对相似的矩阵表示的是同一个线性变换在不同基下的具体表达。
相似矩阵之间具有如下性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值和特征向量。
设A和B是相似矩阵，且v是A的一个特征向量，那么有Av = λv, 其中λ是A的一个特征值。
此时，对于B，也有B(Pv) = P(Av) = λ(Pv)，即Pv是B的特征向量，λ是B的特征值。
线性代数—矩阵
k k En
E n.
k k
单位矩阵是指 k 1的数量矩阵．记作 E 或
矩阵应用实例
例１（系数矩阵）由n个未知量m个方程组成的方程组为
a11x1 a12x2 a1n xn b 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1x1 am2 x2 amnxn bn
1 2 4 0 7 5 3 0
1 4 7 3 2 0 5 0
5 3 8 1 0 0 2 1 1 1 4 0
1 1 8 0 4 0 1 2 5 5 3 0
, Bsj的 其中A i 1， A i2， B1j ， , Ais的列数等于 B 2 j ， 行数，那末 C1 1 C1 2 C1 t
C2 2 C2 t C AB 2 1 C C r1 Cr2 Crt
s k1
1 , 2 , , r ;j 1 , 2 , , t 其中 Cij AikBkj （ i ）
注 分块矩阵转置时，不仅整个分块矩阵按块 转置，而且其中每一块都要同时转置．
B 11 B 12 B 13 例如 B B B B ， 则 23 21 22
T B 11 T T B B 12 BT 13
(5) 分块对角矩阵 设n 阶矩阵 A 适当分块后得分块矩阵
5 3 8 1 0 0 2 1 1 1 4 0
分块矩阵的运算
（1）分块矩阵的加法． A [ A ] B [B ] 设分块矩阵 A 与B kl s t ， kl s t ，如果 对应的子块 A kl与 B kl都是同型矩阵，则
矩阵有关知识点
矩阵是数学中一种重要的数学工具，它在多个学科领域中都有广泛的应用。
从线性代数到计算机图形学，从数据分析到量子力学，矩阵都扮演着重要的角色。
在本文中，我们将逐步介绍矩阵的相关知识点，帮助读者更好地理解和应用矩阵。
1.矩阵的定义：矩阵是一个由数值按照一定顺序排列成的矩形阵列。
它由行和列组成，每个元素可以用行号和列号唯一标识。
一个矩阵通常表示为一个大写字母，并用小写字母表示其元素。
2.矩阵的运算：矩阵的加法和减法是按元素进行的，即将对应位置的元素相加或相减。
矩阵乘法是将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行内积，得到的结果矩阵的元素是相应行列内积的结果。
矩阵乘法具有结合律但不满足交换律。
3.矩阵的特殊类型：•方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。
方阵在线性代数中有很多重要的性质和应用，比如求逆矩阵和特征值等。
•单位矩阵：对角线上的元素为1，其它位置的元素都为0的方阵称为单位矩阵。
单位矩阵在矩阵运算中起到类似于数字1的作用。
•零矩阵：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵。
零矩阵在矩阵运算中起到类似于数字0的作用。
•对称矩阵：如果一个矩阵与其转置矩阵相等，即A = A^T，那么这个矩阵就是对称矩阵。
对称矩阵在很多领域中都有应用，比如正定矩阵在优化问题中的应用。
4.矩阵的转置：矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
转置矩阵的行数等于原矩阵的列数，列数等于原矩阵的行数。
转置矩阵的主对角线元素与原矩阵相同。
5.矩阵的行列式：矩阵的行列式是一个标量值，用于描述矩阵线性变换的性质。
它可以通过对矩阵的元素进行运算得到，具体的计算方法可以使用拉普拉斯展开式或高斯消元法等。
6.矩阵的逆矩阵：对于方阵A，如果存在一个矩阵B，使得A乘以B得到单位矩阵，那么B就是A的逆矩阵。
逆矩阵在求解线性方程组和矩阵运算中有重要的应用。
7.矩阵的特征值和特征向量：对于一个方阵A，如果存在标量λ和非零向量v，使得A乘以v等于λ乘以v，那么λ就是A的特征值，v就是对应的特征向量。
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正交变换迭代生成向量分布图
v=rand(3,1) v= 0.2028 0.1987 0.6038
v=[0.2028 0.1987 0.6063]' T =[-0.8574 0.4377 -0.2706; -0.4095 -0.8988 -0.1565; -0.3117 -0.0234 0.9499] tv=v n=100 for k=1:n v=T*v tv=[tv,v] end plot3(tv(1,:),tv(2,:),tv(3,:),'*')
[tzxl,tzz]=eig(A) tzxl = -0.7412 -0.3955 -0.4062 -0.3595 -0.2729 - 0.1338i -0.2729 + 0.1338i -0.5413 -0.2609 - 0.4421i -0.2609 + 0.4421i 0.5416 -0.0833 + 0.4672i -0.0833 - 0.4672i 0.4276 0.6472 0.6472 -0.ank ( A) r = norm( A) n p 1/ p r = norm(V , P ) = (∑ | xi | )
i =1
矩阵的范数: 向量的范数:
norm(V ) = norm(V ,2)
矩阵的特征值、 矩阵的特征值、特征向量基本操 作
矩阵A的特征多项式: Poly(A) 矩阵A的逆矩阵: inv(A) 矩阵A的特征值: eig(A) 矩阵A的特征值与特征向量: [V,D]=eig(A) 矩阵A的主对角线元素构成矩阵
程序
syms a b c d f=[1 1 1 1;a b c d;a^2 b^2 c^2 d^2;a^3 b^3 c^3 d^3] det(f) inv(f)
空间中的正交变换
正交变换具有保持距离不变的性质，即：
x1 − x2 = Tx1 − Tx2
迭代序列验证正交变换的性质
p=rand(3,3) p= 0.9355 0.9169 0.4103 0.8936 0.0579 0.3529 0.8132 0.0099 0.1389 det(p) ans = 0.1379 >> T=orth(p) T= -0.8574 0.4377 -0.2706 -0.4095 -0.8988 -0.1565 -0.3117 -0.0234 0.9499
det(A) ans =
inv(A) 0.1155 ans = 2.2631 -2.3495 -0.4696 -0.6631 -0.7620 1.2122 1.7041 -1.2146 -2.0408 1.4228 1.5538 1.3730 1.3075 -0.0183 -2.5483 0.6344
zzs = 0.9501 0.5181 0.0733 0.1155
求解线性方程组
x1 + x 2 − 3 x 3 − x 4 = 1 例： 3 x 1 − x 2 - 3 x 3 + 4 x 4 = 4 x + 5x -9x -8x = 0 2 3 4 1
程序: ab=[1 1 -3 -1 1;3 -1 -3 4 4;1 5 -9 -8 0] jtx_matrix=rref(ab) jtx_matrix = 1.0000 0 -1.5000 0 1.0000 -1.5000 0 0 0 0.7500 1.2500 -1.7500 -0.2500 0 0
根据方程组的解的表示有:
, k1 , k 2 ∈ R
1.5 1.5 x = k1 1 0
− 0.75 1.75 + k2 0 1
1.25 − 0.25 + 0 0
计算符号矩阵、行列式
diag(diag(A)) 矩阵A的下三角线元素构成矩阵: tril(A) tril(A,-1)主对角线以下的元素构成矩阵 triu(A)主对角以上元素构成矩阵.
实验过程
A=rand(4) A= 0.9501 0.8913 0.8214 0.9218 0.2311 0.7621 0.4447 0.7382 0.6068 0.4565 0.6154 0.1763 0.4860 0.0185 0.7919 0.4057
tzz = 2.3230 0 0 0 0 0 0 0.0914 + 0.4586i 0 0 0 0.0914 - 0.4586i 0 0 0 0.2275
计算阶梯型:
jtx=rref(A) jtx = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
顺序主子式:
zzs=[] for i=1:4 zzs=[zzs,det(A(1:i,1:i))] end zzs
行列式、矩阵与线性变换
实验目的 (1) 学会Matlab软件对矩阵进行一些数值计算. (2) 学会用Matlab软件解线性方程组. (3) 熟悉三维空间中的线性变换,加深对正交变 换保持距离不变性的理解.
Matlab中矩阵的基本操作 中矩阵的基本操作
行列式: 矩阵的迹: 矩阵的秩:
d = det( A )