矩阵与行列式基础知识讲解
矩阵与行列式解析矩阵与行列式的性质与运算规律
矩阵与行列式解析矩阵与行列式的性质与运算规律矩阵和行列式是线性代数中重要的概念和工具。
它们在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将详细解析矩阵与行列式的性质和运算规律。
一、矩阵的性质与运算规律1. 矩阵的定义矩阵是一个按照长方阵列排列的数。
它由m行n列元素组成，记作A=(a_ij),其中1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵的行数和列数分别称为矩阵的阶数或维数。
2. 矩阵的运算规律2.1 矩阵的加法和减法设A=(a_ij)和B=(b_ij)是两个同阶矩阵，则它们的和C=A+B的定义为C=(c_ij)，其中c_ij=a_ij+b_ij。
矩阵的减法定义类似。
2.2 矩阵的数乘设A=(a_ij)是一个矩阵，k是一个数，则kA的定义为kA=(ka_ij)，其中ka_ij=ka_ij。
2.3 矩阵的乘法设A=(a_ij)是一个m行n列的矩阵，B=(b_ij)是一个n行p列的矩阵，则它们的乘积C=AB的定义为C=(c_ij)，其中c_ij=a_i1b_1j+...+a_inb_nj。
3. 矩阵的性质3.1 矩阵的转置设A=(a_ij)是一个m行n列的矩阵，A的转置记作A^T，定义为A^T=(a_ji)是一个n行m列的矩阵。
3.2 矩阵的逆设A是一个n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称矩阵A可逆，B为A的逆矩阵。
若A不可逆，则称为奇异矩阵。
3.3 矩阵的行列式矩阵A的行列式记作|A|，行列式是一个标量，它由矩阵元素按一定规则计算而得。
行列式的性质包括行列式的加法性、数乘性、转置性等。
二、行列式的性质与运算规律1. 行列式的定义行列式是一个方阵的特征值之一。
设A=(a_ij)是一个n阶方阵，行列式的定义为|A|=a_11a_22...a_nn-a_11a_23...a_n(n-1)-...-a_1n-1a_2n...a_n。
2. 行列式的运算规律2.1 行列式的数乘若k是数，A是n阶方阵，则kA的行列式等于k的n次方乘以A 的行列式，即|kA|=k^n|A|。
矩阵与行列式知识点总结
矩阵与行列式知识点总结矩阵和行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将对矩阵和行列式的定义、性质以及相关运算进行总结，以便读者对这两个概念有更深入的了解。
一、矩阵的定义与性质矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，包含m行n列，用记号A[m×n]表示。
其中，每个数字称作矩阵的元素，用aij表示第i行第j列的元素。
矩阵可以是实数矩阵、复数矩阵或其他数域上的矩阵。
矩阵的性质包括以下几点：1. 矩阵的大小由它的行数和列数决定，记作m×n。
2. 矩阵可以进行加法和数乘运算。
3. 矩阵的转置将行和列对换。
4. 矩阵可以相乘，但乘法不满足交换律。
5. 矩阵对应的行向量和列向量也有相应的定义和运算。
二、行列式的定义与性质行列式是一个与矩阵相关的特殊函数，对于方阵A[n×n]，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式是一个标量值，可以用于衡量矩阵的性质。
行列式的性质包括以下几点：1. 行列式的值可以是实数、复数或其他数域上的元素。
2. 行列式的值表示了矩阵所包含的信息，可用于判断矩阵的可逆性、线性相关性等。
3. 行列式满足代数运算的规律，如加法、数乘、转置等。
4. 行列式可以通过对换行或列、倍乘行或列等行列变换来计算。
5. 行列式的值等于其转置矩阵的值。
三、矩阵与行列式的运算矩阵与行列式之间存在着紧密的联系，它们可以进行多种运算。
1. 矩阵的加法和数乘运算：两个矩阵相加（减）时，先确定它们的大小是否一致，然后逐个对应元素相加（减）。
数乘运算即将一个矩阵的每个元素乘以一个常数。
2. 矩阵的乘法运算：两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数要等于第二个矩阵的行数。
将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行对应元素的乘法运算，并求和得到结果矩阵的相应元素。
3. 矩阵的转置运算：矩阵的转置是将其行和列交换得到的新矩阵。
转置后的矩阵行数与原矩阵的列数相等，列数与原矩阵的行数相等。
行列式矩阵知识点
一、行列式
1．行列式的定义
用n2个元素a ij组成的记号称为n阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；
（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；
2．行列式的计算
一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；
N阶（n =3）行列式的计算：降阶法
定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况
上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；
（2）行列式值为0的几种情况：
行列式某行（列）元素全为0；
行列式某行（列）的对应元素相同；
行列式某行（列）的元素对应成比例；
奇数阶的反对称行列式。
矩阵与行列式知识梳理
矩阵与行列式知识梳理一、矩阵的概念1 将mn 个实数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成m 行n 列的矩形数表(通常用圆括号把数表括起来)：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211称为一个m 行n 列的矩阵，简称n m ⨯矩阵，用______表示.简记为_____.数ij a 称为矩阵的元素.几种特殊类型的矩阵：行矩阵、列矩阵、方阵、单位矩阵、零矩阵. 2 对于关于y x ,的线性方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a ，则矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛2211b ab a 称为该线性方程组的系数矩阵. 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛222111c b a c b a 称为该线性方程组的增广矩阵. 3 矩阵的三种变换：(1) (2) (3)4 矩阵变换的目的是将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，其增广矩阵的最后一列就是方程组的解.二、二阶行列式 1 定义：我们用记号2211b a b a 表示算式1221b a b a -，即12212211b a b a b a b a -=，记号2211b a b a 叫做行列式，因为它只有两行两列，所以把它叫做二阶行列式. 1221b a b a -叫做行列式2211b a b a 的展开式，其计算结果叫做2211b a b a 的值.1a 、2a 、1b 、2b 都叫做行列式2211b a b a 的元素.2 对角线法则：二阶行列式的展开式是主对角线上的两个数的乘积减去副对角线上的两个数的乘积.3作为判别式的二阶行列式：关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a ①其中1a 、2a 、1b 、2b 不全为零，行列式2211b a b a D =叫做方程组①的系数行列式. 设2211b c b c D x =，2211c a c a D y =.则当0≠D 时，方程组①有唯一解. 当0=D 且0==y x D D 时，方程组①有无穷多解. 当0=D ，x D 、y D 中至少有一个不为零时，方程组①无解. 三、三阶行列式1 三阶行列式的定义：把九个数排成三行三列的方阵，用记号333222111c b a c b a c b a ①表示算式 231312123213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++②.我们把记号①叫做三阶行列式，把记号②叫做三阶行列式①的展开式，212121,,,,,c c b b a a 都叫做三阶行列式①的元素. 2 三阶行列式的展开方法：按对角线展开、按某一行(或一列)展开.3行列式333222111c b a c b a c b a 中某元素x 位于第i 行第j 列，其代数余子式等于它的余子式乘上j i +-)1(.4 【结论】三阶行列式等于它的任意一行(或一列)的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积的和.如：111111333222111C c B b A a c b a c b a c b a ++=.其中33221c b c bA =，33221c a c a B -=，33221b a b a C -=【结论】三阶行列式的某一行(或一列)的各元素与另一行(或一列)对应元素的代数余子式的乘积的和等于零.5关于z y x ,,的三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 的系数行列式为333222111c b a c b a c b a D =，当0≠D 时，方程组有唯一解. 当0=D 时，方程组无解或无穷多解.注意：三元一次方程组，当0=D 时，情况复杂，方程组的解不同于二元一次方程组！。
矩阵与行列式知识点
矩阵与行列式知识点矩阵和行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍矩阵和行列式的基本定义与性质，以及它们在实际问题中的应用。
一、矩阵的定义与性质矩阵是由一些数按照矩形排列而成的表格。
我们用$m\timesn$表示一个矩阵，其中$m$代表矩阵的行数，$n$代表矩阵的列数。
一个矩阵的元素通常用小写字母（如$a_{ij}$）表示，其中$i$表示元素所在的行数，$j$表示元素所在的列数。
矩阵的转置是指行和列互换，转置后的矩阵用$A^T$表示。
矩阵可以进行一些基本的运算，如矩阵的加法和数乘。
对于两个相同维数的矩阵$A$和$B$，它们的加法定义为$A+B$，即将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
对于一个矩阵$A$和一个标量$c$，它们的数乘定义为$cA$，即将矩阵$A$中的每个元素都乘以$c$得到新的矩阵。
矩阵的乘法是指两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
对于一个$m\times n$的矩阵$A$和一个$n\times p$的矩阵$B$，它们的乘积$AB$是一个$m\times p$的矩阵。
矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
二、行列式的定义与性质行列式是一个与方阵相关的标量值。
对于一个$n\times n$的方阵$A$，我们用$|A|$表示它的行列式。
行列式的计算主要依靠代数余子式和代数余子式矩阵。
对于方阵$A$的元素$a_{ij}$，它的代数余子式$M_{ij}$是去掉$a_{ij}$所在的行和列后的余下元素的行列式，即由$n-1$阶子方阵组成。
代数余子式矩阵$A^*$是由方阵$A$的每个元素的代数余子式按照一定的规则排布而成的矩阵。
行列式的计算方法有很多，包括拉普拉斯展开法、行列式按行展开法等。
其中，拉普拉斯展开法是最常用的方法，即选择方阵的任意一行或一列展开，并用代数余子式乘以对应元素后进行求和。
行列式具有很多重要的性质，如行列式的性质对换、行列式的性质正交等。
矩阵和行列式知识要点
矩阵和行列式知识要点一、矩阵（Matrix）1.定义矩阵是按照一定规则排列的数（或变量）的矩形阵列。
一般用大写字母表示，如A、B，其元素用小写字母表示并用下标表示元素的位置。
2.类型根据矩阵的元素可以分为实矩阵（元素为实数）、复矩阵（元素为复数）、数值矩阵（元素为纯数值而不是变量）等。
3.运算(1)矩阵的加法：对应元素相加。
(2)矩阵的数乘：矩阵的每个元素乘以相同的数。
(3)矩阵的乘法：矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，A乘以B的结果是一个新的矩阵C，C的第i行第j列的元素是A的第i行与B的第j列元素的乘积之和。
4.逆矩阵如果一个方阵A存在逆矩阵A-1，使得A与A-1相乘等于单位矩阵I，即A·A-1=I，那么称A为可逆矩阵或非奇异矩阵，A-1为A的逆矩阵。
5.矩阵的转置将一个矩阵的行变为同序数的列，列变为同序数的行，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
二、行列式（Determinant）1.定义行列式是一个表示线性变换对坐标的拉伸或者压缩程度的标量值。
一般用竖线“，，”或者方括号“[]”表示。
2.性质(1)行列式的值等于其转置矩阵的值。
(2)行列式对换两行（列）变号。
(3)行列式中如果有两行（列）相同，则行列式的值为0。
(4)行列式其中一行（列）的元素都是两数之和，行列式的值可以分开计算。
3.行列式的计算方法(1)拉普拉斯展开法：取行（列）进行展开，将问题逐步转化为计算较小规模的子行列式。
(2)数学归纳法：将行列式的展开按照第一行（列）来进行，用递归的方法逐步减小行列式的规模。
4.逆矩阵与行列式的关系若矩阵A可逆，则A的逆矩阵A-1的值等于A的行列式的倒数，即A-1=1/，A。
三、矩阵和行列式的应用1.线性方程组2.线性变换矩阵可以表示线性变换，通过矩阵与向量的乘法，可以实现向量的旋转、缩放等操作。
3.特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性变换下的固有性质，通过计算矩阵的特征值和特征向量，可以得到矩阵的重要信息，如对称矩阵的主对角线元素就是其特征值。
矩阵与行列式
矩阵与行列式矩阵与行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、经济等多个领域。
本文将介绍矩阵和行列式的定义、性质以及它们之间的关系。
一、矩阵的定义与性质1.1 矩阵的定义矩阵是一个二维的数组，由 m 行 n 列元素组成。
通常我们用大写字母表示矩阵，如 A = [a_ij]。
其中，a_ij 表示矩阵 A 的第 i 行第 j 列的元素。
1.2 矩阵的运算矩阵可以进行加法、减法和数乘等运算。
设 A 和 B 是同型矩阵，即具有相同的行数和列数，则有以下运算规则：- 矩阵加法：A + B = [a_ij] + [b_ij] = [a_ij + b_ij]- 矩阵减法：A - B = [a_ij] - [b_ij] = [a_ij - b_ij]- 数乘：kA = k[a_ij] = [ka_ij]，其中 k 是标量。
1.3 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的重要部分。
设 A 是 m × n 的矩阵，B 是n × p 的矩阵，则它们的乘积 C = AB 是一个 m × p 的矩阵，且满足以下定义：- C 的第 i 行第 j 列元素 c_ij 可通过将 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应位置的元素进行乘法运算，并求和得到。
二、行列式的定义与性质2.1 行列式的定义行列式是一个多项式，用于表示一个方阵的性质。
一个 n × n 的方阵 A 的行列式记作 |A| 或 det(A)。
对于 2 × 2 的方阵 A = [[a, b], [c, d]]，其行列式为 |A| = ad - bc。
对于n > 2 的方阵，行列式的计算可以使用代数余子式或按行（列）展开法进行。
2.2 行列式的性质- 行列式是一个线性运算：对于任意一个 n × n 的方阵 A，如果将某一行（列）的元素按比例加（减）到另一行（列），则行列式的值也会按相同比例变换。
- 互换行（列）会改变行列式的符号：如果交换方阵 A 的两行（列），行列式的值会变为原值的相反数。
线性代数讲义1矩阵与行列式
逆矩阵的求法
01
02
03
高斯-约旦消元法
通过行变换将矩阵变为行 阶梯形，然后回代求解。
伴随矩阵法
先求出矩阵的伴随矩阵， 然后利用公式$A^{-1} = frac{1}{|A|} * adj(A)$求出 逆矩阵。
分解法
将矩阵分解为若干个简单 的矩阵的乘积，然后利用 这些简单的矩阵求逆，最 后再求出原矩阵的逆。
CHAPTER
高斯消元法的原理与步骤
高斯消元法的原理是通过一系列行变 换将增广矩阵转换为上三角矩阵，从 而求解线性方程组。
步骤包括：将增广矩阵的系数矩阵进 行初等行变换，将其化为行阶梯形矩 阵，然后继续进行行变换，将其化为 上三角矩阵，最后求解未知数。
高斯消元法的应用场景
解决线性方程组
高斯消元法是解决线性方程组的 一种常用方法，适用于系数矩阵 为方阵且系数矩阵可逆的情况。
数。
01
1. r(A) ≤ min(m, n)， 其中m和n分别是矩阵A
的行数和列数。
03
3. r(A) = r(AA^T)，即 矩阵的秩等于其与自身 转置相乘后的矩阵的秩。
05
性质：矩阵的秩是唯一 的，且满足以下性质
02
2. r(A) = r(A^T)，即矩 阵的秩等于其转置矩阵
的秩。
04
秩的计算方法与性质
高斯消元法的优缺点分析
优点
高斯消元法是一种稳定可靠的方法，能够得到线性方程组的精确解。它具有较高的数值 稳定性，适用于大规模问题。此外，高斯消元法还可以用于求解特征值和特征向量等问
题。
缺点
高斯消元法需要手动操作，对于大规模问题需要消耗大量的计算资源和时间。同时，对 于病态问题或者系数矩阵接近奇异的情况，高斯消元法可能会失去数值稳定性，导致求
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3. 矩阵的数乘
设有一个矩阵 A (aij ) ， 是一个数，那么矩阵
a11
a21
am1
a12 a22
am 2
a1n
a2 n
amn
称为矩阵A 与数 的乘积（简称矩阵的数乘），记作A ．
矩阵的线性运算律：加法、数乘.
矩阵A也记作 Amn
m=n时，称A为n阶矩阵（n阶方阵）.
矩阵概念的引入
5xx11
2x2 3x2
4x3
3x4 7 x4
1 0
x1 6x2
8x4Байду номын сангаас 3
1 2 0 3
引入矩阵形式： A 5 3 4
7
1 6 0 8
x1
a22
diag(a11,
a22
,...,
ann
)
ann
aii 称为对角元.
如
A
2 0
0 1
diag(2,
1)
单位矩阵：
1
I
1
diag(1,1,...,1)
1
方程组的矩阵和向量表示形式
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
① AB B A ③ AO A
② (A B) C A (B C) ④ A ( A) O
⑤ 1A A
4. 矩阵的乘法
我们把矩阵C称为矩阵A与B的乘积，记作 C AB．
1. 乘法的定义：A (aij )ms 和 B (bij )sn ，如果 AB C
注：矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，
AB BA
4. 矩阵的转置
1. 定义（转置）
a11
设
A
a21
am1
a11
称
AT
a12
X
x2
x3 x4
1
b
0
3
AX b
类比
ax b
xb
a
怎样求解矩阵方程？
AX b ？
因此，有必要了解和学习矩阵和行列 式的相关知识，以便方便的求解矩阵方程。
矩阵的相关概念
相等矩阵
A (aij )与B (bij )同型，且
am1
am2
amn
xn
0
矩阵的运算
1. 矩阵的加法运算
加法定义：有 。
矩阵
mn
Cij
C=
a11 b11 记作：C=A+aB21 b21
: am1 bm2
a12 b12 a22 b22
: am2 bm2
， 那么 矩阵 为A和B的和
A (aij ) 和 B (bij )
... a1n b1n
...
a2n
b2n
... :
...
amn
bmn
注意： (1) 同型矩阵才能相加、减； (2) 相加、减结果为同型矩阵;
2. 减法运算
负矩阵：
A (aij )
A (A) O 减法：
A B A (B) (对应元素相减)
1 6 0 8 3
矩阵的概念
一. 矩阵的定义：由 m n个数排成的m行n列数表， 称为m行n列矩阵。aij 表示矩阵A的第i行第j列的元 素。矩阵表示如下：
a11 a12 ... a1n
A=
a21
a 22
...
a2n
: : : :
am1
am2
...
amn
1 0
x1 6x2
8x4 3
把方程组系数抽取出来，形成一个数字方块，取名为系数矩阵，记为A
1 2 0 3
A 5 3 4
7
1 6 0 8
在系数矩阵最后一列添加方程右端的常数列，称之为增广矩阵，记为B
1 2 0 3 1 B 5 3 4 7 0
矩阵与行列式基础知识 介绍
我们常常会碰到一些求解方程的问题：
5xx11
2x2 3x2
4x3
3x4 7 x4
1 0
x1 6x2
8x4 3
能否如一元一次方程一样求解?
ax b xb
a
矩阵概念的引入
5xx11
2x2 3x2
4x3
3x4 7 x4
•
m个方程n个未知量的线性方程组：
a21x1
a22
x2
a2n
xn
b2
am1x1 am2 x2 amnxn bm
• 向量形式
• 矩阵形式
a11 a12 a1n x1 b1
a21
a22
a2n
x2
b2
则矩阵C中每个元素都是A的行，B的列对应元素之积的和。
即
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj k 1
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
0 2 0
C
AB
2
3
1 0
1
2
1 1
1 5
1
即Ax
am1
am2
amn
xn
bm
a11 a12 a1n x1 0
• 若右端向量 0
则
a
21
a22
a2n
x2
0即Ax
0为齐次线性方程组.
aij bij , i 1,..., m; j 1,..., n
记为A=B.
特殊矩阵 零矩阵: 如
0 0
0
O22
0
0
,
O21
0
.
行矩阵、列矩阵：
6
（1
0
1
2）,
4
3
行矩阵、列矩阵也称为向量
对角矩阵：
a11
A
1
20 11 (1)1 22 11 (1)5 20 11 (1)(1)
30 01 21
32 01 25
30 01 2(1)
0 2
0 16
2
2
矩阵乘法的运算规律：
(AB)C = A(BC) k (AB) = (kA)B = A(kB) A(B+C) = AB + AC (B + C)A = BA +CA