人教版九年级上册数学 22.3 第2课时 商品利润最大问题 教学课件
∴ 50k+b=60 70k+b=20
解得： k =－2
b = 160
∴y =－2x +160（50≤x≤70）
∴y =－2x +160（50≤x≤70）
∴Q=(x－30)y =(x－30)(－2x + 160) =－2x2 + 220x－ 4800 =－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70)
知识要点 求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润 ×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函 数的简图，利用简图和性质求出.
2.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件， 价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣 的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式 为 y=2000-5(x-100) .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之 间的函数关系式为 w=[2000-5(x-100)](x-80) .(以上关系 式只列式不化简）.
变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例
题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数
关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店
每月获利最大，最大利润是多少元？
解：Q与x的函数关系式为：
60x－1800
（40≤x≤50 ）
Q = －2(x－55)2 + 1250 （50≤x≤70）
3.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1 档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获 利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增 加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一 角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，
例3：某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件， 经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调
整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总 利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则 此时每月的总利润最多是多少元？
解：由题意得：当40≤x≤50时，
Q = 60(x－30)= 60x－1800
的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大 化是永恒的追求.
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
讲授新课
一 利润问题中的数量关系
探究交流
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出 300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售 额是 18000 元，销售利润 6000 元.
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取 的商品总利润为y元，填空：
单件利润 （元）
正常销售 10 涨价销售 10+x
销售量 每月利润（元） （件）
180
1800
180-10x y=(10+x)(180-10x)
建立函数关系式： y=(10+x)(180-10x),
即：y=-10x2+80x+1800.
60x－1800
（40≤x≤50 ）
Q = －2(x－55)2 + 1250 （50≤x≤70）
②当50≤x≤70时， Q最大= 1250>1218，
令Q = 1218，得
Q 1250
－2(x－55)2 +1250=1218 1218
解得：x1=51，x2=59
由Q = －2(x－55)2 +1250的
数量关系
（1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价.
二 如何定价利润最大 例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出 300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
正常销售
20
300
6000
降价销售
20-x
300+18x y=(20-x)(300+18x)
建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)， 即：y=-18x2+60x+6000.
②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件
利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范 围是0 ≤x ≤20. ③涨价多少元时，利润最大，是多少？
课堂小结
建立函数 关系式
总利润=单件利润×销 售量或总利润=总售价总成本.
最大利 确定自变量 润问题 取 值 范 围
涨价:要保证销售量≥0； 降件：要保证单件利润≥0.
确定最大 利润
利用配方法或公式求最 大值或利用函数简图和 性质求出.
课后作业
见《 》本课时练习
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第二十二章
九年级数学上（RJ） 教学课件
二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 商品利润最大问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大 利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取 值范围. （难点）
导入新课
情境引入 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关
∵a = －2＜0，图象开口向下，
∴当x = 55时，Q最大= 1250 ∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，
最大利润是1250元.
（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商 品售价与当月的销售量各是多少？
解：∵当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218 当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218
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解得：51≤x≤53
∵Q=－2(x－55)2 +1250的顶点 Q
不在51≤x≤53范围内，
又∵a =－2＜0，
1242
∴当51≤x≤53时 ，
Q随x的增大而增大
∴当x最大 = 53时，Q最大= 1242
∴此时售价x应定为53元，
0 51 53 55
x
利润最大，最大利润是1242元.
当堂练习
1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某 段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出 （300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定 为 25 元.
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出 300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元）销售量（件） 每星期利润（元）
即：y=-1由8x(21+)6(20)x的+6讨0论00及，现在的销
当
x
2售6(情018况能) ,使你53利知时润道,最应y大该了1如8吗何(?53)定2 价60Βιβλιοθήκη 5 36000
6050.
即定价57.5元时，最大利润是6050元.
综合可知，应定价65元时，才能使利润最大.
例2 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果 以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售 经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价 每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为 多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75
∵-1<0,对称轴x=10,
y
∴当x=10时，y值最大，最大值为25. 16
即销售单价定为10元时，销售利润最
大，为25元；
O 57
x
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售 利润不低于16元？
(2)由对称性知y=16时，x=7和13. 故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.
由例3可知：
若40≤x≤50， 则当x=50时，Q最大= 1200 若50≤x≤70， 则当x=55时，Q最大= 1250 ∵1200＜1250
∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.
（2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试 确定该商品的售价x的取值范围；
解：①当40≤x≤50时， ∵Q最大= 1200＜1218， ∴此情况不存在.
图象和性质可知: 当51≤x≤59时，Q≥1218
0
51 55 59
x
∴若该商品所获利润不低于1218元，
则售价x的取值范围为51≤x≤59.
（3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品 的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最 大，最大利润是多少元？
解：由题意得：
51≤x≤59
30 (－2 x +160)≥1620
∴售价x应在50~70元之间.
∴令：－2(x－55)2 +1250=1218
解得：x1=51，x2=59
当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件) 当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件)
∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品 售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.
②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售 量就可以，故180-10x ≥0，因此自变量的取值范围是 x ≤18.
解得： k =－2
b = 160
∴y =－2x +160（50≤x≤70）
∴y =－2x +160（50≤x≤70）
∴Q=(x－30)y =(x－30)(－2x + 160) =－2x2 + 220x－ 4800 =－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70)
知识要点 求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润 ×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函 数的简图，利用简图和性质求出.
2.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件， 价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣 的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式 为 y=2000-5(x-100) .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之 间的函数关系式为 w=[2000-5(x-100)](x-80) .(以上关系 式只列式不化简）.
变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例
题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数
关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店
每月获利最大，最大利润是多少元？
解：Q与x的函数关系式为：
60x－1800
（40≤x≤50 ）
Q = －2(x－55)2 + 1250 （50≤x≤70）
3.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1 档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获 利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增 加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一 角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，
例3：某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件， 经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调
整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总 利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则 此时每月的总利润最多是多少元？
解：由题意得：当40≤x≤50时，
Q = 60(x－30)= 60x－1800
的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大 化是永恒的追求.
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
讲授新课
一 利润问题中的数量关系
探究交流
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出 300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售 额是 18000 元，销售利润 6000 元.
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取 的商品总利润为y元，填空：
单件利润 （元）
正常销售 10 涨价销售 10+x
销售量 每月利润（元） （件）
180
1800
180-10x y=(10+x)(180-10x)
建立函数关系式： y=(10+x)(180-10x),
即：y=-10x2+80x+1800.
60x－1800
（40≤x≤50 ）
Q = －2(x－55)2 + 1250 （50≤x≤70）
②当50≤x≤70时， Q最大= 1250>1218，
令Q = 1218，得
Q 1250
－2(x－55)2 +1250=1218 1218
解得：x1=51，x2=59
由Q = －2(x－55)2 +1250的
数量关系
（1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价.
二 如何定价利润最大 例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出 300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
正常销售
20
300
6000
降价销售
20-x
300+18x y=(20-x)(300+18x)
建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)， 即：y=-18x2+60x+6000.
②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件
利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范 围是0 ≤x ≤20. ③涨价多少元时，利润最大，是多少？
课堂小结
建立函数 关系式
总利润=单件利润×销 售量或总利润=总售价总成本.
最大利 确定自变量 润问题 取 值 范 围
涨价:要保证销售量≥0； 降件：要保证单件利润≥0.
确定最大 利润
利用配方法或公式求最 大值或利用函数简图和 性质求出.
课后作业
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第二十二章
九年级数学上（RJ） 教学课件
二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 商品利润最大问题
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课堂小结
学习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大 利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取 值范围. （难点）
导入新课
情境引入 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关
∵a = －2＜0，图象开口向下，
∴当x = 55时，Q最大= 1250 ∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，
最大利润是1250元.
（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商 品售价与当月的销售量各是多少？
解：∵当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218 当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218
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解得：51≤x≤53
∵Q=－2(x－55)2 +1250的顶点 Q
不在51≤x≤53范围内，
又∵a =－2＜0，
1242
∴当51≤x≤53时 ，
Q随x的增大而增大
∴当x最大 = 53时，Q最大= 1242
∴此时售价x应定为53元，
0 51 53 55
x
利润最大，最大利润是1242元.
当堂练习
1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某 段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出 （300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定 为 25 元.
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出 300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元）销售量（件） 每星期利润（元）
即：y=-1由8x(21+)6(20)x的+6讨0论00及，现在的销
当
x
2售6(情018况能) ,使你53利知时润道,最应y大该了1如8吗何(?53)定2 价60Βιβλιοθήκη 5 36000
6050.
即定价57.5元时，最大利润是6050元.
综合可知，应定价65元时，才能使利润最大.
例2 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果 以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售 经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价 每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为 多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75
∵-1<0,对称轴x=10,
y
∴当x=10时，y值最大，最大值为25. 16
即销售单价定为10元时，销售利润最
大，为25元；
O 57
x
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售 利润不低于16元？
(2)由对称性知y=16时，x=7和13. 故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.
由例3可知：
若40≤x≤50， 则当x=50时，Q最大= 1200 若50≤x≤70， 则当x=55时，Q最大= 1250 ∵1200＜1250
∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.
（2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试 确定该商品的售价x的取值范围；
解：①当40≤x≤50时， ∵Q最大= 1200＜1218， ∴此情况不存在.
图象和性质可知: 当51≤x≤59时，Q≥1218
0
51 55 59
x
∴若该商品所获利润不低于1218元，
则售价x的取值范围为51≤x≤59.
（3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品 的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最 大，最大利润是多少元？
解：由题意得：
51≤x≤59
30 (－2 x +160)≥1620
∴售价x应在50~70元之间.
∴令：－2(x－55)2 +1250=1218
解得：x1=51，x2=59
当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件) 当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件)
∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品 售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.
②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售 量就可以，故180-10x ≥0，因此自变量的取值范围是 x ≤18.
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人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数第二课时课件
500. (1)李明在开始创业的第1个月将销售单价定为20元，那么政府
这个月为他承担的总差价为多少元？ (2)设李明获得的利润为w(元)，当销售单价为多少元时，每月
可获得最大利润？ (3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如
果李明想要每月获得的利润不低于3 000元，那么政府每个月为 他承担的总差价最少为多少元？
7．(12分)在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫 困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课 余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现， 若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29 元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y(件) 与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数．
C．y＝a(1－x)2
D．y＝a(1＋x)2
2．(4分)一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年 后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为( A )
A．y＝60(1－x)2
B．y＝60(1－x2)
C．y＝60－x2
D．y＝60(1＋x)2
3．(4分)喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品， 售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上 涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元 (x为正整数)，每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数 关系式为(A )
资，则 5 年所获利润的最大值是 205万元 ．
9．出售某种文具盒，若每个获利 x 元，一天可售出(6－x)个，则
当 x＝__3__元时，一天出售该种文具盒的总利润最大．
二、解答题(共48分) 10．(14分)某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单 价80元销售，每月可售出300件．调查表明：单价每上涨1元， 该商品每月的销售量就减少10件． (1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)间的 函数关系式； (2)单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利 润为多少？
这个月为他承担的总差价为多少元？ (2)设李明获得的利润为w(元)，当销售单价为多少元时，每月
可获得最大利润？ (3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如
果李明想要每月获得的利润不低于3 000元，那么政府每个月为 他承担的总差价最少为多少元？
7．(12分)在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫 困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课 余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现， 若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29 元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y(件) 与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数．
C．y＝a(1－x)2
D．y＝a(1＋x)2
2．(4分)一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年 后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为( A )
A．y＝60(1－x)2
B．y＝60(1－x2)
C．y＝60－x2
D．y＝60(1＋x)2
3．(4分)喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品， 售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上 涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元 (x为正整数)，每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数 关系式为(A )
资，则 5 年所获利润的最大值是 205万元 ．
9．出售某种文具盒，若每个获利 x 元，一天可售出(6－x)个，则
当 x＝__3__元时，一天出售该种文具盒的总利润最大．
二、解答题(共48分) 10．(14分)某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单 价80元销售，每月可售出300件．调查表明：单价每上涨1元， 该商品每月的销售量就减少10件． (1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)间的 函数关系式； (2)单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利 润为多少？
人教版九年级上册第22章 课时2 最大利润问题1(16页)
随堂练习
4．某种商品每天的销售利润 y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：
y＝ax2＋bx－75．其图象如图．
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ y/元
解：由题中条件可求y＝－x2＋20x－75．
∵－1＜0，对称轴为x＝10， 16
∴当x＝10时，y值最大，最大值为25．
y=(20+x)(300-10x)
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即：y=-10x2+100x+6000.
新课讲授
②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可 以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.
建立函数 关系式
总利润=单件利润×销售量 或总利润=总售价-总成本.
最大利润问题
确定自变量 取值范围
涨价：要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0.
确定最 大利润
利用配方法或公式法求最大值 或利用函数简图和性质求出.
随堂练习
3.某体育馆可容纳四千人同时观看比赛，现C区有座位400个，某赛事试营销售阶 段发现：当票价为80元时，可售出C区票280张，若每降价1元，可多售出6张票， 设降价 x元( x 取正整数)，写出总票价 y 关于 x 的函数关系式及自变量x取值范围.
解：y=(80-x)(280+6x)= -6x2+200x+22400 280+6x ≤ 400，且 x ≥ 0. 所以，0≤ x ≤20 ( x 取正整数).
22.3 实际问题与二次函数 课时2 最大利润问题
学习目标
1.会运用二次函数的性质解决商品销售中的最大利润问题. 2.能弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
22.3.2商品利润最大问题(第2课时)(课件)2024-2025学年九年级数学上册(人教版)
银行家说：“你看你的手指上是不是有油。”
服装厂生产某品牌的 T 恤衫成本是每件 10 元.根据市场调查，
以单价 13 元批发给经销商，经销商愿意经销 5000 件 ，并且表
示单价每降价 0.1 元，愿意多经销 500 件.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多?
总利润 = (销售单价 - 成本单价)×销量 = 单利润×销量
= −4x2 + 140x − 864
∴当
答：当
时，利润 w 有最大值，最大值为 361.
时，利润最大.
某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出
售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导
致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10
件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
13
10
假设批发单价12.8 5000 +
5000
− .
500×
.
3
12.8 - 10
① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量
解：设厂家批发单价是为 x 元，获利 y 元.
② 根据题意，求出自变量的取值范围
还有其他的设未
知数方法吗？
∵ 13 − x≥0，且 x＞10，∴ 10＜x≤13.
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商
品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
有一个这样的故事：
银行家的儿子问爸爸：“爸爸，银行里的钱都是客户和储户的，
那你是怎么赚来房子、奔驰和游艇的呢？”
“儿子，冰箱里有一块肥肉，你把它拿来。”
儿子拿来了。“你再把它放回去。”
服装厂生产某品牌的 T 恤衫成本是每件 10 元.根据市场调查，
以单价 13 元批发给经销商，经销商愿意经销 5000 件 ，并且表
示单价每降价 0.1 元，愿意多经销 500 件.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多?
总利润 = (销售单价 - 成本单价)×销量 = 单利润×销量
= −4x2 + 140x − 864
∴当
答：当
时，利润 w 有最大值，最大值为 361.
时，利润最大.
某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出
售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导
致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10
件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
13
10
假设批发单价12.8 5000 +
5000
− .
500×
.
3
12.8 - 10
① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量
解：设厂家批发单价是为 x 元，获利 y 元.
② 根据题意，求出自变量的取值范围
还有其他的设未
知数方法吗？
∵ 13 − x≥0，且 x＞10，∴ 10＜x≤13.
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商
品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
有一个这样的故事：
银行家的儿子问爸爸：“爸爸，银行里的钱都是客户和储户的，
那你是怎么赚来房子、奔驰和游艇的呢？”
“儿子，冰箱里有一块肥肉，你把它拿来。”
儿子拿来了。“你再把它放回去。”
22.3.2二次函数与商品利润问题课件 2024-2025学年人教版数学九上
最大利润是多少？
知识讲解
知识点1 二次函数的最值在销售问题中的应用
【例 1】某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，
这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的
变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx
＋n，其变化趋势如图②所示．
(2) 当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时
当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润
是1250元.
随堂练习
1. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试
销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售
(2) 当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时
当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
(3) 若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销
售量各是多少？
随堂练习
1. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试
【例 1】某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这
种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变
化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，
其变化趋势如图②所示．
(1)求y2的解析式；
(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？
销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售
知识讲解
知识点1 二次函数的最值在销售问题中的应用
【例 1】某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，
这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的
变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx
＋n，其变化趋势如图②所示．
(2) 当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时
当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润
是1250元.
随堂练习
1. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试
销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售
(2) 当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时
当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
(3) 若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销
售量各是多少？
随堂练习
1. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试
【例 1】某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这
种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变
化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，
其变化趋势如图②所示．
(1)求y2的解析式；
(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？
销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售
22.3 第2课时 二次函数与商品利润问题 课件(共20张PPT)数学人教版九年级上册
二.在商品销售中，通常采用哪些方法增加利润？
某商店经营衬衫，已知获利（元）与销售单价（元）之间满
足关系式 = − + + ，则销售单价定为多少元时，
获利最多？最多获利为多少元？
自主探究
请同学们阅读课本50页探究2. 请同学们思考：
(1)调价包括哪几种情况? (涨价和降价两种)
典型精讲
【题型】二次函数与商品利润问题
例1 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可
以自行定价．若每件商品售价为 x 元，则可卖出（350-10x）件
商品，那么卖出商品所赚钱数y（元）与每件售价x（元）之间
的函数解析式为( B )
A.y=-10x²-560x+7 350
C.y=-10x²+350x
元时，利润最大，最大利润是6 125元.
（4）根据上述结论，该如何定价才能使所获利润最大？
定价65元，所获利润最大.
（5）实际销售时，如果两种调价方案所获得的最大利润相差不大时，你会
怎么选择？请联系实际谈一谈.
我会想尽快将商品库存清空，从而选择降价销售.
小组讨论
1.针对课本50页探究2核对答案，展开讨论。
每天的销售利润最大，最大利润是4 500元.
(3)解－5x²+800x－27 500=4 000, 得x₁=70, x₂=90,∴易得
70≤x≤90,即销售单价应控制在70元～90元.
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
教师讲评
知识点．二次函数与商品利润（重、难点）
1.销售问题中的数量关系：
盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数
某商店经营衬衫，已知获利（元）与销售单价（元）之间满
足关系式 = − + + ，则销售单价定为多少元时，
获利最多？最多获利为多少元？
自主探究
请同学们阅读课本50页探究2. 请同学们思考：
(1)调价包括哪几种情况? (涨价和降价两种)
典型精讲
【题型】二次函数与商品利润问题
例1 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可
以自行定价．若每件商品售价为 x 元，则可卖出（350-10x）件
商品，那么卖出商品所赚钱数y（元）与每件售价x（元）之间
的函数解析式为( B )
A.y=-10x²-560x+7 350
C.y=-10x²+350x
元时，利润最大，最大利润是6 125元.
（4）根据上述结论，该如何定价才能使所获利润最大？
定价65元，所获利润最大.
（5）实际销售时，如果两种调价方案所获得的最大利润相差不大时，你会
怎么选择？请联系实际谈一谈.
我会想尽快将商品库存清空，从而选择降价销售.
小组讨论
1.针对课本50页探究2核对答案，展开讨论。
每天的销售利润最大，最大利润是4 500元.
(3)解－5x²+800x－27 500=4 000, 得x₁=70, x₂=90,∴易得
70≤x≤90,即销售单价应控制在70元～90元.
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
教师讲评
知识点．二次函数与商品利润（重、难点）
1.销售问题中的数量关系：
盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数
九年级数学上册(人教版)课件：22章22.3第二课时
6. (10分)用长为32 m的篱笆转一个矩形养鸡场，设 围成的矩形一边长为x m，面积为y m2.
(1)求y关于x的函数关系式；
解：(1)设围成的矩形一边长为x米，则 矩形的邻边长为：32÷2－x. 依题意得y＝x(32÷2－x)＝－x2＋16x.
(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60 m2？
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间 的函数关系式；
(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最 大？最大利润是多少？
解析 (1)根据“利润＝(售价－成本)×销售量”列 出方程；
(2)把(1)中的二次函数解析式转化为顶点式方程， 利用二次函数图象的性质进行解答.
解 (1)y＝(x－50)[50＋5(100－x)] ∴y＝－5x2＋800x－27 500(50≤x≤100)； (2)y＝－5x2＋800x－27 500＝－5(x－80)2＋4 500 ∵a＝－5＜0，∴抛物线开口向下. ∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80， ∴当x＝80时，y最大值＝4 500. 答：当销售单价为80元时，每天的销售利润最大， 为4 500元.
(1)总价＝单价×数量； (2)单件利润＝售价－进价； (3)总利润＝单件利润×数量.
当利润为变量时，问题通过函数关系求解.
例题精讲
【例2】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50元，为了合理定价，投放市场进行试销. 据市场调 查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而 销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求 销售单价不得低于成本.
举一反三
1. 某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段 时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件， 而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件. 当每 件的定价为 22 元时，该服装店平均每天的销售利 润最大.
新人教版初中数学九年级上册精品课件22.3 第2课时 商品利润最大问题
∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大 ∴当x最大= 50时，Q最大= 1200 答：此时每月的总利润最多是1200元.
（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如 图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月 获利最大，最大利润是多少元？
解：当50≤x≤70时， 设y与x函数关系式为y=kx+b, ∵线段过(50，60)和(70，20).
∴ 50k+b=60 70k+b=20
解得： k =－2
b = 160 ∴y =－2x +160（50≤x≤70）
∴y =－2x +160（50≤x≤70）
∴Q=(x－30)y =(x－30)(－2x + 160) =－2x2 + 220x－ 4800 =－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70)
（1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价.
二 如何定价利润最大 例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出 300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出 10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品 的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
由例3可知：
若40≤x≤50， 则当x=50时，Q最大= 1200
若50≤x≤70， 则当x=55时，Q最大= 1250
∵1200＜1250
∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.
（2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试 确定该商品的售价x的取值范围；
解：①当40≤x≤50时， ∵Q最大= 1200＜1218， ∴此情况不存在.
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出
（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如 图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月 获利最大，最大利润是多少元？
解：当50≤x≤70时， 设y与x函数关系式为y=kx+b, ∵线段过(50，60)和(70，20).
∴ 50k+b=60 70k+b=20
解得： k =－2
b = 160 ∴y =－2x +160（50≤x≤70）
∴y =－2x +160（50≤x≤70）
∴Q=(x－30)y =(x－30)(－2x + 160) =－2x2 + 220x－ 4800 =－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70)
（1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价.
二 如何定价利润最大 例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出 300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出 10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品 的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
由例3可知：
若40≤x≤50， 则当x=50时，Q最大= 1200
若50≤x≤70， 则当x=55时，Q最大= 1250
∵1200＜1250
∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.
（2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试 确定该商品的售价x的取值范围；
解：①当40≤x≤50时， ∵Q最大= 1200＜1218， ∴此情况不存在.
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出