第2章控制系统的数学模型
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自动控制理论-第二章 控制系统的数学模型
a y+a
(n) 0 (m) 0 ( n −1 ) 1
y +L+ a y + a y &
n −1 n m −1
=b x+b
( m −1 )
1
Y (s) b s + b s + L + b s + b 两边拉氏变换 G ( s ) = = X (s) a s + a s + L + a s + a x +L+ b x + b x &
4 微分环节 微分环节的传递函数为：
G(s) = C (s) = Ts R( s)
5 二阶环节
二阶环节又称为振荡环节，其的传递函数为
G (s) =
6 延迟环节
G(s) =
C (s) K = R( s) T s + s + 1
2 2
延迟环节的传递函数为：
C ( s) =e R( s)
−τs
第四节 用方块图表示的模型
2
由此可得
X (s) = 1 1 1 1 = = − s + 5s + 4 ( s + 1)( s + 4) 3( s + 1) 3( s + 4)
2
再对 X ( s) 进行逆拉氏变换，可得
e e x(t ) = − 3 3
−t −4 t
第二节 系统输入-输出的传递函数描述
• 传递函数是在控制理论中表示定常系统输入输出关 系的最常用方法，一般只适用于线性定常系统。 • 线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时， 输出量的拉普拉氏变换与输入量的拉普拉氏变换之比。 • 微分方程与传递函数转变关系：
(n) 0 (m) 0 ( n −1 ) 1
y +L+ a y + a y &
n −1 n m −1
=b x+b
( m −1 )
1
Y (s) b s + b s + L + b s + b 两边拉氏变换 G ( s ) = = X (s) a s + a s + L + a s + a x +L+ b x + b x &
4 微分环节 微分环节的传递函数为：
G(s) = C (s) = Ts R( s)
5 二阶环节
二阶环节又称为振荡环节，其的传递函数为
G (s) =
6 延迟环节
G(s) =
C (s) K = R( s) T s + s + 1
2 2
延迟环节的传递函数为：
C ( s) =e R( s)
−τs
第四节 用方块图表示的模型
2
由此可得
X (s) = 1 1 1 1 = = − s + 5s + 4 ( s + 1)( s + 4) 3( s + 1) 3( s + 4)
2
再对 X ( s) 进行逆拉氏变换，可得
e e x(t ) = − 3 3
−t −4 t
第二节 系统输入-输出的传递函数描述
• 传递函数是在控制理论中表示定常系统输入输出关 系的最常用方法，一般只适用于线性定常系统。 • 线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时， 输出量的拉普拉氏变换与输入量的拉普拉氏变换之比。 • 微分方程与传递函数转变关系：
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
第二章_控制系统的数学模型
+
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
第二章控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型§2.1引言●数学模型（1）描述系统输入、输出变量及内部各变量关系的数学表达式。
I—O—内部变量（2）系统中各物理量之间相互作用的关系及各自的变化规律用数学形式表达出来。
（3）是舍弃了各种事物的具体特点而抽象出它们的共同性质（即运动）来加以研究的工具。
●控制理论研究的问题是：（1）一个给定的控制系统，它的运动有何性质和特性—分析* 运动：泛指一切物理量随时间的变化（2）怎样设计一个控制系统，使其运动具有给定的性质和特性—综合和设计●工程角度上：控制理论要解决的问题（进一步解释）（1）不满足于求解方程c(t)=f(r(t) )—数学课程已有（2）提出更深入的问题a.这些曲线有何共同性质；b.系统参数值波动对曲线有何影响？c.如何修改参数甚至结构才能改进这些曲线，使之满足工程要求。
—建立控制系统的数学模型，也是研究和解决这些问题的第一步，故建立描述控制系统运动的数学模型是控制理论的基础。
数学模型的形式不只一种：它们各有特长和最适合的场合；它们彼此之间也有紧密的联系；各种数学描述方法的共同基础是微分方程；一元高次微分方程多元一次微分方程(状态方程)Laplace变换为工具——传函传函阵§ 2.2 基本数学模型例 用数学模型表示下图的RC 无源网络给定r u 为输入量,c u 为输出量解：由克希霍夫定律 ⎰+⋅=idt i R u C r 1 r c c u u dtdu RC =+ ⎰=idt u C c 1 令T RC =（时间参数），则微分方程为：r c c u u dtdu T =+ 线性定常系统在初始条件为零时，传递函数为：£{c(t)}/£{r(t)})()()(s U s U s U s T r c c =+⋅⋅ 1.1)(/)()(+==→s T s U s U s G r c 其形式和参数由系统的结构和参数决定，与r(t)无关。
第2章 控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
第二章 控制系统的数学模型
= Ur (s)
传递函数为: di + u ur= R · + L i c dt Uc (s) 1 = duc G (s) = i = C dt Ur (s) LCs2 + RCs + 1
电气系统三要素：电阻、电容、电感
+ ί(t) R –
u(t)= ί(t)· R
u (t )
ί(t) C
–
u(t) ί(t)= R
图2-9 速度控制系统
+
R1 R2 R2 R1 k2
ui
R1
k1 u 1
c
u2
功 ua 放
m
SM
ω
负 载
ut
TG
运算放大器
uu+ ii+
_ +
+
Add
uo
差模输入电压等于零
u+= u-
运放同相输入端与反向输入端两点的电压相等，如同该 两点短路一样，称为虚短。
i+=i-=0
运放同相输入端与反向输入端的电流都等于零，如同该 两点被断开一样，称为虚断。
Tm s m ( s ) m (t ) K1U a ( s )
Tm s 1 m ( s) K1U a ( s)
m ( s) K1 G ( s) U a ( s) Tm s 1
m ( s) K2 G ( s) M c ( s) Tm s 1
传递函数的性质（续）
（5）传递函数与微分方程有相通性;
b1s b2 C (s) G ( s) R( s ) a0 s 2 a1s a2
对角线相乘
a0 s 2 a1s a2 C ( s ) b1s b2 R ( s )
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
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R1 R2
R2
2020/6/2
自动控制理论
传递函数的性质
❖适用于线性定常系统
▪ 与线性常系数微分方程一一对应 ▪ 与系统的动态特性一一对应。
❖不能反映系统或元件的学科属性和物理性质
▪ 物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全 相同的传递函数
▪ 研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函 数的各种系统。
单位抛物线函数：
正弦函数：
f
f
(t
f(t()t )t,1Ft(2s, )F(ss)12 2
) sint, F(s)
1 s3
s
2
2
其他函数可以查阅相关表格获得。
2020/6/2
自动控制理论
2.2.4 线性方程的求解
➢研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况 ➢经典法，拉氏变换法和数字求解
m
G(s)
Y (s) X (s)
bm an
Q(s) P(s)
Kg
(s zi )
i 1 n
(s pj )
Kg
(s z1)(s (s p1)(s
z2 )...( s zm ) p2 )...( s pn )
j 1
式中： zi 称为传递函数的零点， p j 称为传递函数的极点。
零点、极点可为实数，也可为共轭复数。
与例2-3为力－－电荷相似系统。
2020/6/2
自动控制理论
思考题：给出双RC电路的微分方程
i1 ui
R1 ic
C1
R2 i2 u C2
解答
uo
C1C2 R1R2
d 2u0 dt 2
(R1C1
R1C2
R2C2
)
du0 dt
u0
ui
2020/6/2
自动控制理论
2.2.3 拉普拉斯变换
❖ 连续时间对应的复频域是用直角坐标 s j 表示的复
❖忽略了初始条件的影响。
2020/6/2
自动控制理论
传递函数的性质
❖仅与系统的结构和参数有关，与系统输入无关
▪ 只反映了输入和输出之间的关系
▪ 不反映中间变量的关系。
❖主要适用于单输入单输出系统
▪ 若系统有多个输入信号，求传递函数时，除了一个 有关的输入外，其它的输入量一概视为零。
❖ 是复变量s的有理分式，对实际系统，传递函数的 分母阶次n总是大于或等于分子阶次m，此时称为n 阶系统。
▪ 基尔霍夫电流定律：对于任意一个集中参数电路中的任意一个结点或闭 合面，在任何时刻，通过该结点或闭合面的所有支路电流代数和等于零
∑i=0
2020/6/2
自动控制理论
2.2.1 电气系统
[例2-1]：写出RLC串联电路的微分方程
[解]：据基尔霍夫电压定理：
L
di dt
Ri1 Cidtui①ui
i 1 n
(τis 1) (Tj s 1)
K
(τ1s 1)(τ2s 1)...(τms (T1s 1)(T2s 1)...(Tns
1) 1)
j 1
Kg
(s (s
z1)(s p1)(s
z2 )...(s zm ) p2 )...(s pn )
Kg
z1
z2
...zm
(
1 z1
s
1)(
2020/6/2
自动控制理论
[传递函数的几种表达形式]：
有理分式形式：
G(s)
Y (s) X (s)
bm s m an s n
bm1sm1 b0 an1sn1 a0
式中：ai , bj —为实常数，一般n≥m
上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。
2020/6/2
自动控制理论
零点、极点形式：
数平面，简称为S平面或连续时间复频域（s域）。
e ❖ S平面上的每一个点s都代表一个复指数信号 st,整个S平面上
所有的点代表了整个复指数信号集。
j
S平面
j0
s0 0 j0
2020/6/2
0
自动控制理论
①定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定 义域 t>0，那么下式即是拉氏变换式：
2020/6/2
自动控制理论
建立微分方程的一般步骤：
１、根据系统情况，确定输入和输出量； ２、从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所 遵循的物理定律，列写出各元器件的动态方程，一般为微 分方程组； ３、消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； ４、微分方程标准化。
2020/6/2
自动控制理论
L
R
i
C
uo
ui 输入
i C duo dt
②
uo 输出
将②代入①得：
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
2020/6/2
自动控制理论
[例2-2]：求理想运算放大器电路的微分方程
[解]：理想放大器正、反相输
入端的电位相同，且输入电流
R
为零。据基尔霍夫电流定理： Ui(t)
➢在自动控制系统理论中主要使用拉氏变换法。
拉氏变换求微分方程解的步骤： ①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代 数方程。 ②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。
2020/6/2
自动控制理论
例2-4 已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v,
i 1(t) R1
ur(t)=1(t)，求 uc(t)
Kg
bm an
2020/6/2
－－－ 传递系数
自动控制理论
• 零、极点分布图
• 零点，在s平面上用“O”表示 • 极点，在s平面上用“×”表示
❖ 例 H(s) s 1 (s 1)(s 2)
Im s-plane
x
-1
x
2
Re
s=j
2020/6/2
自动控制理论
[例2-6]:
已知传递函数
G(s)
(s
m d 2 y(t) f dy(t) ky(t) F(t)
dt 2
dt
这也是一个两阶定常微分方程。y为输出量，F为输入量。
2020/6/2
自动控制理论
同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统 也可以有相同形式的数学模型。
相似系统： 具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1
t 0
s
⑹终值定理：lim f (t) lim sF (s)
t
s0
⑺卷积定理：
L[
t 0
f1(t
)
f2 (
)d ]
F1(s)F2 (s)
2020/6/2
自动控制理论
③常用函数的拉氏变换：
单位阶跃函数： f (t) 1(t),F(s) 1
s
单位脉冲函数： F(s) L[ (t)] 1
单位斜坡函数：
2020/6/2
Uc (s)
1
Ur (s) R1C1s 1
自动控制理论
uc(t)
2.3 传递函数
一定形式的传递函数对应于一定的微分方程。有了传递函 数，在许多情况下，可以不用解微分方程，而直接研究传递函 数，就可以了解系统的重要特性。
2.3.1 传递函数的定义
在 初始条件为零时 ，线性定常系统元件输出信号的拉氏
-
ui(t) C du0(t) 0
R
dt
+ R
整理后得，
RC
du0 (t) dt
ui
(t)
这是一阶系统。
2020/6/2
自动控制理论
C Uo(t)
2.2.2 机械系统
机械系统：存在机械运动的装置，遵循物理学的力学定律。
根据运动的方式，包括牛顿第二定律和牛顿转动定律等。
牛顿第二定律：
F
ma
m
dv dt
解：
R1C1
duc dt
uc
ur
ur(t)
C1
R1C1sUc (s) R1C1uc (0) Uc (s) Ur (s)
sUc (s) 0.1 Uc (s) Ur (s)
1
0.1
Uc (s) s(s 1) s 1
uc (t ) 1 et 0.1et
零初始条件下取拉氏变换：R1C1sUc (s) Uc (s) Ur (s)
(2)微分定理：L[ df (t) ] sF (s) f (0)
dt
L[
d
2f dt
(t
2
)
]
s2 F (s) sf
(0)
f
（0）
L
d
nf dt
(t
n
)
snF (s)
n k 1
s nk
f
(k 1) (0)
⑶积分定理：（设初值为零）
L[
f
(t)dt]
F (s) s
2020/6/2
L[ f (t)(dt)n自]动控F制s(理ns)论
θ为角位移。
2020/6/2
自动控制理论
[例2-3] 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输
入量为外力F，输出量为位移y(t)。
[解]：图1和图2分别为系统原理结 F
k
构图和质量块受力分析图。图中，
m
F mg
m
m为质量，f为粘性阻尼系数，k为 弹性系数。
f y(t)
fk
FB
图1
图2
根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：
m
d2x dt 2
牛顿转动定律：