控制系统数学模型种类
控制系统的数学模型
[(s
s1 ) m
F (s)]
13
当无重根时：
则：
F(s) C1 C2 Ci
Cn
n
Ci
s s1 s s2
s si
s sn i1 s si
f
(t)
L1[F(s)]
n
L1[
i 1
Ci s si
]
n i1
Ci e si t
其中：
Ci
lim (s
ssi
si ) F(s)
或
B(s)
Ci A' (s) |ssi
例：求F(s)的原函数
F (s)
s2
s
3 2s
2
解：分母多项式的根为： s1 1 j1 ,
s2 1 j1
方法一、F(s)可表示为
F(s)
s3
C1 C2
(s 1 j)(s 1 j) s 1 j s 1 j
其中：
C1
lim (s
s1 j
1
j)
(s
1
s3 j)(s 1
L[eat f (t)] F(s a)
例:
f(t) 1
t1 t2
f (t)=1(t-t1)-1(t-t2)
L[ f (t)] L[1(t t1)] L[1(t t2 )]
t
e t1s 1 e t2s 1
s
s
例:
f (t) e2t cos 3t
L[
f
(t
)]
(s
s2 2)2
9
四、拉氏反变换 拉氏反变换的定义如下
三、拉氏变换基本法则
1. 线性法则： 设：F1(s)=L[f1(t)]， F2(s)=L[f2(t)]，a和b为常数，则
内部控制系统评价定量分析的数学模型
内部控制系统评价定量分析的数学模型随着企业规模的扩大和风险的增加，内部控制系统的评价变得越来越重要。
为了对内部控制系统进行全面、准确的评价，需要借助数学模型来进行定量分析。
本文将介绍内部控制系统评价定量分析的数学模型，并探讨其应用。
一、概述内部控制是指企业为实现经营目标，确保资产的安全、准确记录交易、遵循法规、规范业务流程等各类控制措施的总称。
内部控制系统评价的目的是评估企业内部控制体系的有效性和可行性，为企业管理者提供改进措施。
二、数学模型1. 贝叶斯网络模型贝叶斯网络模型是一种概率图模型，通过描述事物间的相互关系，分析因果关系的强弱，从而评估内部控制系统的有效性。
通过建立各个控制点的贝叶斯网络模型，可以量化各项控制措施对于风险的影响程度，并计算出整体的风险水平。
2. 层次分析模型层次分析模型是一种定量分析方法，通过对内部控制系统的各个要素进行分层次的两两比较和权重分配，来评估内部控制系统的整体性能。
通过构建层次分析模型，可以确定内部控制系统各项要素的重要性，并为改进措施的制定提供数学依据。
3. 控制链模型控制链模型是通过描述内部控制系统中控制要素的依赖关系，评估控制链的强弱程度。
通过量化各个控制要素的控制力度和被控制程度，可以评估控制链的可靠性和有效性，为内部控制系统的改进提供指导。
三、应用案例以某企业的采购管理为例，应用数学模型评价内部控制系统的有效性。
1. 建立贝叶斯网络模型根据采购管理的各项控制措施，建立贝叶斯网络模型，包括供应商审核、采购订单审核、收货检验等多个节点。
通过概率计算和条件推理，评估各个节点的风险水平，并计算出整体的风险水平。
2. 构建层次分析模型将采购管理的各个要素进行层次化比较和权重分配，包括采购流程、内部审核、采购人员素质等。
通过计算各个要素的权重，评估内部控制系统的整体性能，并为改进提供决策支持。
3. 评估控制链的可靠性通过分析采购管理的各个控制要素之间的依赖关系，量化控制链的可靠性。
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
控制 系统的数学模型
Monday, July 27,
J
d
dt
m
mc
2020
8
控制系统的微分方程
La
di dt
Rai
ea
ua
ea Ce
m Cmia
J
d
dt
m
mc
整理得
La J CeCm
d 2 dt 2
Ra J CeCm
d dt
ua Ce
La CeCm
dmc dt
Ra mc CeCm
TaTm
d 2 dt 2
Tm
d dt
这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：kg, N.s / m, N / m
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控制系统的微分方程
[例2-3]电枢控制式直流电动机
Ra La
if
i ua
ea
M
ω
这里输入是电枢电压ua和等效到电机
Mc 转轴上的负载转矩Mc，输出是转速
若的取A(某x0,一y0平)。衡A点状附态近为有工点作为点，如下图中y0
例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中 x, F, m, f , k
分别与
q,
ui
,
L,
R,
1 C
为相似量。
[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟
相对复杂的系统，实现仿真研究。
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非线性环节微分方程的线性化
2、非线性元件（环节）微分方程的线性化
在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果 描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系 统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠 加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠 加得到。
控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型2-1 什么是系统的数学模型？大致可以分为哪些类型？答定量地表达系统各变量之间关系的表达式，称工矿企业数学模型。
从不同的角度，可以对数学模型进行大致的分类，例如：用来描述各变量间动态关系的数学模型为动态模型，用来描述各变量间稳态关系有数学模型为静态模型；数学模型中各变量与几何位置无关的称为集中参数模型，反之与几何位置有关的称为分布参数模型；变量间关系表现为线性的称为线性模型，反之非线性模型；模型参数与时间有关的称为时变模型，与时间无关的称为时不变或定常模型；以系统的输入、输出变量这种外部特征来描述系统特性的数学模型称为输入输出模型，而以系统内部状态变量描述的数学模型称为状态空间模型；等等。
2-2 系统数学模型的获取有哪几种方法？答获取系统数学模型的方法主要有机理分析法和实验测试法。
机理分析法是通过对系统内部机理的分析，根据一些基本的物理或化学变化的规律而导出支配系统运动规律的数学模型，这样得到的模型称为机理模型。
实验测试法是通过对实际系统的实验测试，然后根据测试数据，经过一定的数据处理而获得系统的数学模型，这样得到的模型可称为实测模型或经验模型。
如果将上述两种方法结合起来，即通过机理分析的方法预先得到数学模型的结构或函数形式，然后对其中的某些参数用实验辨识的方法来确定，这样得到的数学模型可称为混合模型。
这是介于上述两种方法之间的一种比较切合实际的应用较为普遍的方法。
2-3 通过机理分析法建立对象微分方程数学模型的主要步骤有哪些？答主要步骤有：⑴根据系统的控制方案和对象的特性，确定对象的输入变量和输出变量。
一般来说，对象的输出变量为系统的被控变量，输入变量为作用于对象的操纵变量或干扰变量。
⑵根据对象的工艺机理，进行合理的假设和简化，突出主要因素，忽略次要因素。
⑶根据对象的工艺机理，从基本的物理、化学等定律出了，列写描述对象运动规律的原始微分方程式（或方程式组）。
⑷消去中间变量，推导出描述对象输入变量与输出变量之间关系的方程式。
控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型第章控制系统的数学模2-1 1 数学模型数学模型本书中主要介绍的几种系统模型图型：信号流程图数学模型描述系统行为特性的数学表达式模方块图信号程图数学模型：微分方程传递函数频率特性一、数学模型：描述系统行为特性的数学表达式。
是对实际物理系统的一种数学抽象。
模型各有特点，使用时可灵活掌握。
若分析研究系统的动态特性，取其数学模型比较方便；若分析研究系统的内部结构情况，取其物理模型比较直观；若两者皆有，则取其图模型比较合理。
11——1.1. 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程r(t)——输入量c(t)c(t)a dc(t)a c(t)d a d a ++++L L dr(t)r(t)d r(t)db 其中，(i =0,1,2,…….n; j =0,1,2…….m) 均为实数，b a r(t)b b ++++=L L b (,,,;j ,,)实,j i2——定定常条输的变2.2.控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型传递函数A. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数：L[c(t)]G()式中C()L[(t)])s (C G(s)==式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式那么：C(s)=R(s)G(s)[R()G()][C()]()11[R(s)G(s)]L [C(s)]c(t)-1-1==推广到一般情况，系统时域数学模型——推广到般情况，系统时域数学模型微分方程：L L c(t)a a a a 011-n 1-n n n ++++r(t)b d b d d b -++++=L L b ()dt dtdt 011-m 1m m m L L R(s)b sR(s)b R(s)sb R(s)s b 01-1m m +++=a. 控制系统传递函数的一般表达形式:s −L L 传式011n n a s a s a a R(s)+++−b.b.表示成典型环节表达形式：111+++−s T s T s T s s R L )))()(21n υ∏∏i C )(s ωω；==11j l pnpnωωm 系统的稳态增益K =——系统的稳态增益；2m m m+=2n n nν++=c 零极点表达形式K C +++++L c. 表示成零、极点表达形式：)())(()(21m r z s z s z s s =−——νjp 系统的极点，个零极点。
控制系统数学模型
控制系统数学模型
控制系统数学模型是指用数学方法对控制系统进行建模和分析
的过程。
控制系统是指对一些物理过程进行控制的系统，包括机电控制系统、化工控制系统、航空航天控制系统等。
数学模型是指对一个系统或过程进行描述的数学式子或方程组。
建立控制系统的数学模型是控制工程的重要基础之一。
通过建立数学模型，可以更加深入地理解系统的特性，优化控制策略，提高系统的效率和稳定性。
在建立控制系统数学模型时，需要先对被控系统进行分析，确定系统的物理特性和运动规律。
然后，根据控制对象的特性，选择适当的数学模型进行建立。
常用的控制系统数学模型包括线性时不变系统模型、非线性系统模型、时变系统模型等。
线性时不变系统模型是指系统的输出与输入之间满足线性关系，且系统的特性不随时间变化。
非线性系统模型是指系统的输出与输入之间不满足线性关系。
时变系统模型是指系统的特性随时间变化。
除了建立数学模型外，还需要对模型进行分析和仿真。
常用的分析方法包括传递函数法、状态空间法等。
仿真可以通过计算机模拟系统运动过程，验证控制策略的有效性。
总之，控制系统数学模型是控制工程的重要基础之一，对于提高控制系统的性能和稳定性具有重要意义。
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第二节
微分方程的建立
课后练习一
一、微分方程的建立
1、无源电网络模型实例 2、机械位移实例 3、机械旋转实例 4、直流电动机系统实例
二、非线性模型的线性化
1、线性模型的特征—齐次性和叠加性 2、非线性模型线性化问题的提出—理论研究和工程应用的需要 3、线性化的基本方法—静态工作点附近线性化（级数展开） 4、液位系统线性化模型求取应用实例
系统微分方程的求取
RC
d h (t ) h ( t ) R q 1( t ) dt
RC
d q2 ( t ) q 2 ( t ) q1( t ) dt
课后练习一
L
R2
习题1
建立图示电网络输入电压和输 出电压之间的微分方程。
ur u1 R1
C
uc
_
_
_
c (t ) ( R1R2C L)u c (t ) R1uc (t ) R1ur (t ) ( R1 R2 ) LCu
三、控制系统数学模型特征
1、微分方程的阶数等于整个系统中蓄能元件的个数； 2、同一个系统，选择不同输入或输出信号，微分方程的形式则不同； 3、数学模型存在的共性是系统性能仿真研究的理论依据。
无源电网络模型实例
解题步骤及求取过程
确定图示无源的网络的输入ur(t)和输出uc(t) ； 依据回路电压定律，设置中间变量回路电流i(t)，从输入到输出建立原 始微分方程组；
输出响应象函数为： C(s ) G(s ) R(s )
传递函数的特征及性质 传递函数的求取方法
传递函数的特征及性质
1、传递函数表征了系统对输入信号的传递能力，是系统的 固有特性，与输入信号类型及大小无关。 2、传递函数只适用于线性连续定常系统。 3、传递函数仅描述系统的输入/输出特性。不同的物理系统 可以有相同的传递函数。同一系统中，不同物理量之间对 应的传递函数也不相同。 4、初始条件为零时，系统单位脉冲响应的拉氏变换为系统 的传递函数。 5、实际系统中有n≥m，n称为系统的阶数； 6、传递函数是系统性能分析的最简形式之一。
FB ( t ) f
d y( t ) dt
Fk ( t ) k y ( t )
d2y (t ) d y (t ) m f k y (t ) F(t ) 2 d t dt
机械旋转实例
解题依据
运动学定律： 作用力矩=反作用力矩 ; ∑M = J a
求取过程
输入动力矩Mf；输出物体旋转角度θ 或角速度ω 。
1 d i (t ) L R i ( t ) dt C 1 i (t )d t uc ( t ) C t u (t ) i (t )d
r
R
L
u r (t )
_
i (t )
C
u c (t )
_
代入消元，获仅含输入输出变量的线性连续微分方程。
消除中间变量i(t)，化微分方程为规范结构形式
传递函数
问题的提出 传递函数的定义及表示形式
零初始条件下输出象函数与输入象函数的比值。 有理真分式多项式
(t ) a0c (t ) (t ) b0r(t ) (n m ) anc ( n)(t ) a1c bmr ( m ) (t ) b1r
C (s) bms m bm 1s m 1 b1s b 0 N (s) G(s) R (s) ans n an 1s n 1 a1s a 0 M (s)
qr
习题2
建立图示初箱输入流量和末 箱水位之间的微分方程。（两个 水箱的横截面积分别为C1和C2）
h1
R1 q0
h2
R2
qc
(t ) ( R C R C R C )h R1R2C1C2h 2 1 1 2 2 2 1 2 (t ) h2 (t ) R2qr (t )
第三节
J d2 θ (t) dθ Mf f dt d t2
d2θ dθ 角位移方程：J f Mf 2 d t dt
dω 角速度方程：J f ω M f dt
Mf
f
直流电动机系统实例
解题依据
Ra
La Ia Ma Ea
Ja ML
基尔霍夫定律； Ua 运动学定律； 直流发电机相关定律。
d 2 u c(t) duc(t) LC RC u c(t) u r(t) dt2 dt
机械位移实例
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解题依据
运动学定律： 作用力=反作用力 ; ∑F = m a。
F (t )
k
求取过程
输入外力F(t)；输出质量模块m的位移y(t)。
f
m
y (t )
d2 y ( t ) m F( t ) F B ( t ) F k (t ) 2 dt
第二章 控制系统的数学模型
（本章五次课）
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节
基本概念 单元内容总结 微分方程的建立 传递函数 动态结构图（方框图） 动态结构图的等效变换求传递函数 信号流图和梅逊增益公式 控制系统的典型传递函数 典型环节的传递函数
第一节 基本概念
一、控制系统数学模型的定义 描述系统输入与输出动态关系的数学表达式。 二、建立控制系统数学模型的意义 数学模型是进行控制系统性能分析的前提条件。 三、建立控制系统数学模型的方法 1、理论建模* 2、试验建模 3、系统辨识 四、控制系统数学模型的几种形式 1、微分方程 2、传递函数* 3、频率特性*
Uf
if
求取过程
电网络平衡方程 电动势平衡方程 机械平衡方程 转矩平衡方程
d Ia R aIa E a Ua dt Ea K e ω dω Ja Ma ML dt Ma K CIa La
JaLa d2ω JaR a d ω K eω Ua K C d t2 KC d t
（空载Ml=0）
液位系统线性化模型求取应用实例
求取过程
确定系统的输入和输出 建立原始方程组
d h (t ) q1( t ) q 2 ( t ) ; dt
q1 (t )
C
q2(t)α
h(t) ; h(t )
q2 (t )
非线性模型线性化
q 2 ( t ) α h ( t ) d q2 ( t ) [h ( t ) h0 ( t ) ] q2 0( t ) dt 1 1 q2 ( t ) q2 0( t ) [ h (t ) h0 ( t ) ] q 2 ( t ) h (t ) R R q2 ( t ) q2 0( t )