2019-2020年高中数学选修2-1空间向量及其应用

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2019人教版高中数学【选修 2-1】第五章空间向量及其应用

2019人教版精品教学资料·高中选修数学重点列表：重点名称重要指数重点1 空间向量坐标的基本运算 ★★★ 重点2 空间两直线的平行与垂直 ★★★★ 重点3 直线和平面的平行与垂直 ★★★★ 重点4 平面和平面的平行与垂直★★★★1.直线的方向向量与平面的法向量的确定①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.2.用向量证明空间中的平行关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝xv 1＋yv 2.③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2. 1. 用向量证明空间中的垂直关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 2.共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)，a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．重点1：空间向量坐标的基本运算【要点解读】1．空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；②λa＝(λa1，λa2，λa3)；③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．【考向1】平行垂直关系的应用【例题】已知a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)．(1)若(k a＋b)∥(a－3b)，求实数k的值；(2)若(k a＋b)⊥(a－3b)，求实数k的值．【评析】利用向量平行的性质：a∥b(b≠0) ⇔a＝λb⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2可求解第(1)问的k值；利用向量垂直的性质：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0建立方程可求第(2)问的k值．【考向2】向量所成角的应用【例题】已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB→，b＝AC→.(1)若|c|＝3且c∥BC→，求c；(2)求a和b的夹角的余弦值；(3)若k a＋b与k a－2b互相垂直，求k的值．(3)由(2)知|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－1.∴(k a＋b)·(k a－2b)＝k2a2－k a·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，解得k＝2或k＝－52 .重点2：空间两直线的平行与垂直【要点解读】证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明．要证明两线垂直，需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证明两线垂直的基本方法，线线垂直是证明线面垂直，面面垂直的基础．【考向1】平行垂直的判定【例题】设a，b是不相交的两条直线l1，l2的方向向量，试判断下列各条件下两条直线l1，l2的位置关系：(1)a ＝()2，－1，3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，－32；(2)a ＝()5，0，－2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，52；(3)a ＝()－2，1，4，b ＝()3，2，－1.【评析】先考察两个方向向量是否平行或者垂直，将空间几何问题代数化，用直线的方向向量之间的计算代替传统的空间几何推理，这是空间向量的最基本的作用，使用得当非常简便．【考向2】建立坐标系判定直线位置关系【例题】如图所示，正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．与a 值有关解：建立如图所示空间直角坐标系，则D ′(0，0，1)，E (1－a ，1，0)，B ′(1，1，1)，F (0，1－a ，0)，∴D ′E →＝(1－a ，1，－1)，B ′F →＝(－1，－a ，－1)．∴D ′E →·B ′F →＝(1－a )×(－1)＋1×(－a )＋(－1)×(－1)＝a －1－a ＋1＝0.∴D ′E →⊥B ′F →，即D ′E ⊥B ′F .故选B.重点3：直线和平面的平行与垂直【要点解读】证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题．【考向1】判断平行垂直的关系【例题】如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)证明AC ⊥BC 1； (2)证明AC 1∥平面CDB 1.解：∵直三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长分别为AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴△ABC 为直角三角形，AC ⊥BC .∴AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，C 1(0，0，4)，A 1(3，0，4)，B 1(0，4，4)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0.(1)证明：∵AC →＝(－3，0，0)，BC 1→＝(0，－4，4)，∴AC →·BC 1→＝0，AC ⊥BC 1.(2)证法一：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，则E (0，2，2)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，2，AC 1→＝(－3，0，4)，∴DE →＝12AC 1→，DE ∥AC 1. ∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.证法二：易知AC 1→＝(－3，0，4)，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0，CB 1→＝(0，4，4)．设平面CDB 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·CD →＝32x ＋2y ＝0，n ·CB1→＝4y ＋4z ＝0.取y ＝3得x ＝－4，z ＝－3，∴n ＝(－4，3，－3)． ∵AC 1→·n ＝－3×(－4)＋0×3＋4×(－3)＝0.∴AC 1→⊥n . 又AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1.【评析】用向量证明直线与平面平行，可以通过证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，也可以通过证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，当然，直线要在平面外．用向量证明直线和平面垂直，可以通过证明直线的方向向量和平面内的两条相交直线的方向向量分别垂直，也可以通过证明该直线的方向向量和平面的法向量平行．【考向2】寻找合适的直角坐标系【例题】如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，AB ＝2EF ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB . 证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB ⊥BC .又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC . 又EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC . ∴EF ⊥FH ，AB ⊥FH .又BF ＝FC ，H 为BC 的中点， ∴FH ⊥BC .∴FH ⊥平面ABCD .设AC与BD交于点G，以H为坐标原点，HB，GH，HF所在射线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．设BH＝1，则A(1，－2，0)，B(1，0，0)，C(－1，0，0)，D(－1，－2，0)，E(0，－1，1)，F(0，0，1)，G(0，－1，0)．(1)∵HF→＝(0，0，1)，GE→＝(0，0，1)，∴HF→∥GE→.又GE⊂平面EDB，HF⊄面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)∵AC→＝(－2，2，0)，GE→＝(0，0，1)，∴AC→·GE→＝0.∴AC⊥GE.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.重点4：平面和平面的平行与垂直【要点解读】用向量证明两个平面平行与垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量的平行与垂直．【考向1】求二面角【例题】如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12 PD.(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值．解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA，DP，DC为x，y，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.(2)依题意有B (1，0，1)，CB →＝(1，0，0)， BP →＝(－1，2，－1)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PBC 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0，n ·BP →＝0，即⎩⎨⎧x 1＝0，－x 1＋2y 1－z 1＝0.因此可取n ＝(0，－1，－2)．设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面PBQ 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BP →＝0，m ·PQ →＝0，即⎩⎨⎧－x 2＋2y 2－z 2＝0，x 2－y 2＝0.可取m ＝(1，1，1)．所以cos 〈m ，n 〉＝－155.由图可知，二面角Q BP C 为钝角，故二面角Q BP C 的余弦值为－155. 【评析】由于是常见图形，并且有典型的“墙角”结构，所以利用空间直角坐标系求解．建系之后又因为垂直关系明显，所以每个点的坐标都很容易标出，从而给证明与计算带来方便．须注意的是，此二面角是钝二面角，受部分资料为避免“观察”，直接令学生求锐二面角的值这一定势思维的影响，不少学生会写错结果，此题便是一个警示．【考向2】判定平面与平面的位置关系【例题】如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．(1)求证：平面A 1B 1D ⊥平面ABD ； (2)求证：平面EGF ∥平面ABD .(1)∵BA →＝(a ，0，0)，BD →＝(0，2，2)， B 1D →＝(0，2，－2)，∴B 1D →·BA →＝0，B 1D →·BD →＝0.∴B 1D →⊥BA →，B 1D →⊥BD →，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD . 又BA ∩BD ＝B ，∴B 1D ⊥面ABD .∵B 1D ⊂面A 1B 1D ，∴平面A 1B 1D ⊥平面ABD .难点列表：①定义：设a ，b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做a 与b 所成的角．②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是(0,]2π．③向量求法：设直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为φ，则有cos |cos |||||||a ba b θϕ⋅==⋅.直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |.求二面角的大小(1)如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小12,n n θ=<>(或12,n n π-<>)．模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23， cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则||(AB d AB a ==点面距的求法如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |.难点1：空间角度【要点解读】1.求一对异面直线所成角：一是按定义平移转化为两相交直线的夹角；二是在异面直线上各取一向量，转化为两向量的夹角或其补角，无论哪种求法，都应注意角的范围的限定．2. 利用直线的方向向量的夹角求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角． 1.利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．【考向1】求角度【例题】数列{a n}的前n项和S n＝An2＋Bn(A，B是常数)是数列{a n}是等差数列的什么条件？【评析】在证明与探求充要条件时，容易出现如下错误：①张冠李戴，证明过程中把充分性与必要性搞反了；②证明充分性或必要性时，没有把“p”(或“q”)分别作为条件，推出“q”(或“p”)．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形AA1B1B 的中心，AA1＝22，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝ 5.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点，依题意得A(22，0，0)，B(0，0，0)，C(2，－2，5)，A(22，22，0)，B1(0，22，0)，C1(2，2，15)．(1)易得AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0，0)，于是cos 〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →·A 1B 1→||AC →||A 1B1→＝43×22＝23.所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23.(3)由N 为棱B 1C 1的中点，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322，52.设M (a ，b ，0)，则MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－a ，322－b ，52，由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧MN →·A 1B 1→＝0，MN →·A 1C 1→＝0，即()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0525222322202222b a a 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝24.因此BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，24，0.所以线段BM 的长||BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝104.【评析】(1)在空间直角坐标系中，因为两条异面直线的夹角与它们的方向向量的夹角是相等或互补的，所以可以通过求出两方向向量的夹角α(α∈(0，π))来求两异面直线的夹角θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈ ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2；但要注意θ与α的区别与联系，这里cos θ＝||cos α.(2)因为二面角的大小与它们的法向量的夹角是相等或者互补的关系，所以可通过它们的法向量的夹角来求二面角的大小．(3)直线与平面垂直，即直线的方向向量与平面内两相交直线垂直，可以确定点M 的位置，再利用空间向量的模求出线段MN 的长．【考向2】动点问题【例题】如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60°.(1)求证：AC ⊥平面BDE ； (2)求二面角F BE D 的余弦值；(3)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．解：(1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC . 因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，从而AC ⊥平面BDE .则A (3，0，0)，F (3，0，6)，E (0，0，36)，B (3，3，0)，C (0，3，0)，所以BF →＝(0，－3，6)，EF →＝(3，0，－26)．设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BF →＝0，n ·EF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0.令z ＝6，则n ＝(4，2，6)．因为AC ⊥平面BDE ，所以CA →为平面BDE 的法向量，CA →＝(3，－3，0)，所以cos 〈n ，CA →〉＝n ·CA→||n ||CA →＝626×32＝1313. 因为二面角为锐角，所以二面角F BE D 的余弦值为1313. (3)可设M (t ，t ，0)，则AM →＝(t －3，t ，0)．因为AM ∥平面BEF ，所以AM →·n ＝0，即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2.此时，点M 坐标为(2，2，0)，BM ＝13BD ，符合题意．难点2：空间距离【要点解读】点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法，如本题，事实上，作BH ⊥平面CMN 于H .由BH →＝BM →＋MH →及BH →·n ＝n ·BM →，得|BH →·n |＝|n ·BM →|＝|BH →|·|n |，所以|BH →|＝|n ·BM →||n |，即d ＝|n ·BM →||n |.【考向1】点到面的距离【例题】如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为4，动点P 在棱A 1B 1上．(1)当A 1P ＝12A 1B 1时，求CP 与平面D 1DCC 1所成角的正弦值；(2)当A 1P ＝34A 1B 1时，求点C 到平面D 1DP 的距离．解：如图，以D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系D xyz .由题设知正方体棱长为4，则D (0，0，0)，A (4，0，0)，B 1(4，4，4)，A 1(4，0，4)，D 1(0，0，4)，C (0，4，0)．(2)∵DC →＝(0，4，0)，设平面D 1DP 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵P (4，3，4)，DD 1→＝(0，0，4)，DP →＝(4，3，4)．则⎩⎨⎧n ·DD 1→＝0，n ·DP →＝0，即⎩⎨⎧z ＝0，4x ＋3y ＋4z ＝0.令x ＝－3，则y ＝4.∴n 的一个取值为(－3，4，0)．∴点C 到平面D 1DP 的距离为d ＝|n ·DC →||n |＝165.【评析】(1)CP →与平面D 1DCC 1所成角的正弦值等于CP →与平面的法向量DA →所成角的余弦值，这两个角互为余角；(2)求C 到平面D 1DP 的距离转化为求DC →(平面D 1DP 的一条斜线段)在平面的法线上的射影的长．【考向2】二面角问题【例题】如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2 3.(1)求点A到平面MBC的距离；(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．解：取CD中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.以O为原点，直线OC，BO，OM为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．易知OB＝OM＝3，则各点坐标分别为O(0，0，0)，C(1，0，0)，M(0，0，3)，B(0，－3，0)，A(0，－3，23)．(2)设平面ACM 的一个法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)． ∵CM →＝(－1，0，3)，CA →＝(－1，－3，23)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·CM →＝0，n ·CA →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋3z 1＝0，－x 1－3y 1＋23z 1＝0.取z 1＝1，则n ＝(3，1，1)．又AB ⊥平面BCD ，∴AB →是平面BCD 的一个法向量． ∴cos〈n ，AB →〉＝n ·AB→||n ||AB →＝－235×23＝－55.∴sin〈n ，AB →〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－552＝255. ∴平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值为255.1．若{}123,,e e e 是空间的一个基底，123=++a e e e ，123=+-b e e e ，1=-c e 23+e e ，12323=++d e e e ，x y z =++d a b c ，则x ，y ，z 的值分别为（）A ．52，1-，12- B ．52，1，12 C ．52-，1，12- D ．52，1，12- 2．下列各组向量中不平行的是（）A ．(1,2,2)(2,4,4)a b =-=--，B ．(1,0,0)(3,0,0)c d ==-，C ．(2,3,0)(0,0,0)e f ==，D ．(2,3,5)(16,24,40)g h =-=， 3．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且1PA AD ==，求MN 、DC 的坐标．4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，面11ABB A 为矩形，11,AB BC AA D ===为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点1,O BC AB ⊥.（Ⅰ）证明：1CD AB ⊥；（Ⅱ）若OC =，求BC 与平面ACD 所成角的正弦值. 5．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD AD ===，1BC =，CD =．（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若3PM MC =，求二面角M BQ C --的大小．6．如图，在三棱锥P ABC -中，02,3,90PA PB AB BC ABC ====∠=，平面PAB ⊥平面,ABC D 、E 分别为AB 、AC 中点．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）求证：AB PE ⊥；（3）求二面角A PB E --的大小．7．如图1，在45A ∠=︒的平行四边形ABCD 中，DO 垂直平分AB ，且2AB =，现将ADO △沿DO 折起（如图2），使AC（Ⅰ）求证：直线AO ⊥平面OBCD ；（Ⅱ）求平面AOD 与平面ABC 所成的角（锐角）的余弦值．8．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD ＝DC.E 是PC 的中点，作EF⊥PB 交PB 于点F.（1)证明PA∥平面EDB ；（2)证明PB⊥平面EFD ；（3)求二面角C －PB －D 的大小.9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，14AC AA ==，090ABC ∠=．（1）求三棱柱111ABC A B C -的表面积S ；（2）求异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值．10．如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=1，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ，E 为BD 的中点．（1）求证：BM⊥平面ADM；（2）求直线AE与平面ADM所成角的正弦值．。

2019-2020年苏教版高中数学(选修2-1)3.2《空间向量的应用》word教案2篇

2019-2020年苏教版高中数学（选修2-1）3.2《空间向量的应用》word 教案2篇对于空间两个非零向量a ，b 来说，如果它们的夹角，那么我们定义它们的数量积为．特别地，当两向量垂直时，．利用该结论，可以很好地解决立体几何中线线垂直或线面垂直的问题．1．证明直线与直线垂直，可以转化为证明这两条直线上的非零向量的数量积为零．反之亦成立．例1 如图1，已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，且AD ⊥BC ，求证：AC ⊥BD ．证明：设以空间一点O 为起点，A 、B 、C 、D 为终点的向量分别记为a 、b 、c 、d ，由已知，AB ⊥CD ，且AD ⊥BC ，所以()()0()()0--=+=+⎧⎧⇒⎨⎨--=+=+⎩⎩，，．b a d c a c b d a d b c d a c b a c b d a b c d ． ∴，即．因此，AC ⊥BD评述：本题的结论是说，三棱锥中若两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直．它的传统证法是过A 点作平面BCD 的垂线，通过三垂线定理及其逆定理来证明．以上用空间向量数量积作为工具，将几何问题代数化、程序化地解决2．证明直线与平面垂直，可以转化为证明这条直线上的非零向量与平面内两相交直线上的非零向量的数量积都为零．例2 直线l 与平面相交于点O ，求证：若直线l 与平面内的过O 点的三条射线所成的角相等，则直线l ⊥平面证明：如图2，在直线l 上任取一点P （Ｐ点不与Ｏ点重合），在平面内过O 点的三条射线上分别取点A 、B 、C ，使OA =OB =OC ≠０，设∠POA =∠POB =∠POC =，则易得，所以，所以，由于BA 、BC 是平面内的两条相交直线，因此，直线l ⊥平面．3．证明两个平面垂直，可以转化为证明这两个平面的法向量的数量积为零．例3 如图3，在正方体中，E 、F 分别是、CD 的中点，求证：平面AED ⊥平面．证明：设，且则．设是平面AED 的一个法向量，则，即．1111111()022AE x y z x z ⎛⎫=+++=+= ⎪⎝⎭m a b c a c ，即．因此，可以取．于是，．同理，设是平面的一个法向量，则，即．，所以，不防取，从而，所以平面AED ⊥平面．应用求线段长度由空间向量的数量积公式容易得到公式：，应用这个公式可以解决空间问题中两点之间的距离，即空间的距离问题可以转化为求向量的数量积加以解决．事实上公式在计算空间线段长度方面的应用非常广泛，下面举例加以说明．例1 如图1，三棱锥中，PA =PB ，CB ⊥面PAB ，M 、N 分别在PC 、AB 上，且PM =MC ，AN =3NB ，（1）求证：MN ⊥AB ；（2）当∠APB =90°，BC =2，AB =4时，求MN 的长．简解：（1）设，则，且，，，，，113()444PN PB BN =+=+-=+b a b a b ， ∴，∴∴AB ⊥MN ；（2）∵∠APB =90°，BC =2，AB =4，则且，，∴21111(2)4424MN =+-=+-a b c a b c即MN 的长为．例2 如图2，有一长方形的纸片ABCD ，长AB ＝4cm ，宽AD ＝3cm ，现沿它的一条对角线AC 把它折叠成120°的二面角，求折叠后BD 的长．简解：作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，点E 、F 为垂足，则5cm ， cm ，cm ， cm ．折叠后，DE 、EF 、FB 的长度保持不变，且222222BF FE ED BF FE BF ED FE ED =+++++22221271212148125555225⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴cm ．运用向量法求解立体几何探索性问题立体几何探索性问题是近年高考或各地模拟考试中的热点题型．向量作为一种工具，在解决立体几何探索性问题中有着无比的优越性．运用向量法解题，可使几何问题代数化，大大简化思维程序，使解题思路直观明了．下面举例说明向量法在求解两类立体几何探索性问题中的运用．一、条件探索型所谓“条件探索型”是指给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者探求、寻找使结论成立的条件的一类问题，这类问题的常用解法是逆推法，利用结论探求条件．例1 如图1，棱长为１的正方体，E 是BC 的中点，F 是棱CD 上的动点（非C 、D 两点），设二面角的大小为．试确定F 点的位置，使得．解析：以A 为坐标原点，建立如图1所示的直角坐标系，则．设，易知．设是平面的一个法向量，则令，则．又是平面的一个法向量，∴．结合条件知可取，故，解得或（舍）．故当是CD 的中点时，．二、存在型所谓“存在型”是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来；可能不存在，则需要说明理由．解答这一类问题时，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在．例2 已知正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点．在直线上是否存在一点Ｎ，使得？若存在，请你求出它的位置；若不存在，请说明理由．解：假设在直线上存在一点Ｎ，使得．如图2，建立空间直角坐标系，有1313331(000)00(01)2224422A B M N z B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，， ∴．∵，∴1313131220224488AB MN z z ⎛⎫⎛⎫=-=-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，解得，，即时，．用法向量求距离一、求异面直线间的距离如图1，若是异面直线的公垂线段，分别为上的任决两点．令向量，则．分析：，．，．．两异面直线间的距离为（其中与垂直，分别为两异面直线上的任意两点）例1 如图2，在正方体中，为的中点且正方体棱长为2．求异面直线和间的距离．解析：以为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，则．设和公垂线段上的向量为，则即．又，，所以异面直线和间的距离为．二、求点到平面的距离如图3，已知为平面的一条斜线段，为平面的法向量．求证：点到平面的距离．分析：， cos AB AB AC AB AB AB AB ∴===，nnn n n ．例2 如图4，已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点．求点到平面的距离．解析：为正方形，．易得平面平面，面，是平面的一个法向量．设点到平面的距离为，则111()0cos602422AC A BAC A A AB a a d a A B a a ++⨯⨯====．三、求直线到平面的距离例3 如图5，已知边长为的正三角形中，分别为和的中点，面，且，设平面过且与平行．求与平面间的距离．解析：设的单位向量分别为，选取作为空间向量的一个基底．易知，，，，1231()2622PF PA AE EC =++=-++e e e ．设是平面的一个法向量，则，．即解得．直线与平面间的距离113221322223322AP d ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===+e e en n e e ．四、求两平行平面间的距离例4 如图6，在棱长为1的正方体中．求平面与平面间的距离．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，易知平面与平面平行．设平面的一个法向量，则即．平面与平面间的距离．。

人教版数学高二数学选修2-1 3.2《空间向量》的应用空间

《空间向量》的应用空间湖南高明生空间向量的应用空间：1．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线,a b 所成的角θ：cos cos ,a b θ=<>；⑵直线a 与平面α(法向量n )所成的角θ：sin cos ,a n θ=<>； ⑶锐二面角θ：cos cos ,m n θ=<>，其中,m n 为两个面的法向量。

2.用向量法求距离的公式：⑴异面直线,a b 之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,,,n a n b A a B b ⊥⊥∈∈。

⑵直线a 与平面α之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A a B α∈∈。

n 是平面α的法向量。

⑶两平行平面,αβ之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A B αβ∈∈。

n 是平面α的法向量。

⑷点A 到平面α的距离：||AB n d n ⋅=，其中B α∈，n 是平面α的法向量。

⑸点A 到直线a 的距离：2|||AB d AB a ⎛=- ⎪⎭，其中B a ∈，a 是直线a 的方向向量。

⑹两平行直线,a b 之间的距离：2|||AB d AB a ⎛=- ⎪⎭，其中,A a B b ∈∈，a 是a 的方向向量。

3.用向量法证明例题讲解：类型一：利用空间向量求异面直线所成的角例1．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是( ) A ．515arccosB ．4πC ．510arccosD ．2π解：以D 为原点建立坐标系)1,1,1(),1,0,1(1-=--=GF E A 01=⋅GF E A异面直线A 1E 与GF 所成的角是2π 类型二：利用空间向量求直线与平面 (法向量n )所成的角例2 在正四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，求直线CE 与平面BCD 成的角．解：如图建立以三角形BCD 的中心O 为原点，,OD,OA 依次为y 轴，z 轴X 轴平行于BC设正四面体ABCD 的棱长为a ，则336,,,23a a a a OF FC OD OA ==== ∴ 336(,,0),(0,,0),(0,0,),2a a a a C D A -∵E 为AD 的中点，∴36(0,,)a aE ∴ 36(,,)236a a aCE =-又因为平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =， ∴即CE 与平面BCD 成的角θ满足： 2sin cos ,3||||CE n CE n CE n θ⋅=<>==类型三：利用空间向量求锐二面角例3 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝BB 1＝1，E 为D 1C 1的中点，求二面角E —BD —C 的正切值．解：如图，建立坐标系，则D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)设平面DBE 的方程为：0Ax By Cz ++=（过原点D=0）则202,0A B A B C B B C +=⎧⇒=-=-⎨+=⎩ ABCDEF HoxzyABCDA 1B 1C 1D 1EFMzy∴平面DBE 的一个法向量为(2,1,1)n =- 又因为平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)m = 二面角E —BD —C 的余弦值为：6cos cos ,6m n θ=<>=∴tan θ=类型四：利用空间向量求异面直线之间的距离例4 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线BD 与B 1C 的距离解：建立空间直角坐标系（如图），则B （0，0，0），C （1，0，0），D （1，1，0） B 1（0，0，1），则111(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)BD BC BB ==-= 设与1,BD B C 都垂直的向量为(,,)n x y z =，则由0BD n x y ⋅=+= 和10,BC n x z ⋅=-=1,x =令得1,1y z =-=，(1,1,1)n ∴=- ∴异面直线BD 与B 1C 的距离：111|||cos ,|33BB n d BB BB n n ⋅=<>=== 类型五：利用空间向量求点到平面的距离例5 设A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７），D （－５,－4,8），求D 到平面ABC的距离解法一：∵A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７），D （－５,－4,8），∴(7,7,7)AD =--设平面ABC 的法向量n =（x ，y ，z ），则n ·AB =0，n ·AC =0，∴⎩⎨⎧=⋅=-⋅,0)6,0,4(),,(,0)1,2,2(),,(z y x z y x即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+-.,23064022z y z x z x z y x令z =－2，则n =（3，2，－2）∴由点到平面的距离公式：GFEABCDA 1B 1C 1D 1||AD n d n ⋅===1749∴点D 到平面ABC解法二：设平面ABC 的方程为：Ax By Cz D +++=将A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７）的坐标代入，得3230242063705A B A B C D A B C D C B A B C D D B ⎧=⎪+++=⎧⎪⎪+++=⇒=-⎨⎨⎪⎪+++==-⎩⎪⎩，取B ＝2，则平面ABC 的法向量n =(A,B,C)=（3，2，－2）又因为 (7,7,7)AD =-- ∴由点到平面的距离公式：||AD n dn ⋅===1749∴点D到平面ABC 类型六：用向量法证明例6 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC分析一：选基底，利用向量的计算来证明证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则1111111111()()()222EF EB B F BB B D AA BD AA AD AB =+=+=+=+-＝(－a ＋b ＋c)/211AB AB AA =+＝a ＋b1EF AB ∴⋅＝(－a ＋b ＋c)/2•(a ＋b)＝(b 2－a 2＋c •a ＋c •b)/2＝(|b|2－|a|2＋0＋0)/2＝0，1EF AB ∴⊥，即EF ⊥AB 1，同理EF ⊥B 1C ，又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC分析二：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),B 1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2),EF ∴＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(―1,―1,1)，1AB ＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)AC ＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)1EF AB ∴⋅＝(―1,―1,1)• (0,2,2)＝0EF AC ⋅＝(―1,―1,1)• (－2,2,0)＝0∴EF ⊥AB 1， EF ⊥AC ，又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC例7 已知空间四边形OABC 中，BC OA ⊥，AC OB ⊥．求证：AB OC ⊥证明：·OC AB ＝·()OC OB OA - ＝·OC OB －·OC OA ∵BC OA ⊥，AC OB ⊥，∴·0OA BC =，·0OB AC =， ·()0OA OC OB -=，·()0OB OC OA -= ∴··OA OC OA OB =，··OB OC OB OA = ∴·OC OB ＝·OC OA ，·OC AB ＝0 ∴AB OC ⊥。

2019-2020学年高中数学(人教B版选修2-1)教师用书：第3章空间向量与立体几何 3.1.1

3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算1．熟悉向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．(难点)2．掌握空间向量的加法、减法运算．(重点)3．掌握空间的数乘运算．(重点)[基础·初探]教材整理1 空间向量的概念阅读教材P79“空间向量的概念”部分，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在空间中，单位向量唯一．( )(2)在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( )(3)在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．( )(4)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 教材整理2 空间向量的线性运算阅读教材P 79～P 81，完成下列问题． 1．(1)空间向量的加法、减法运算(如图3-1-1)图3-1-1OB→＝OA →＋AB →＝________；CA →＝OA →－OC →＝________. (2)运算律：①a ＋b ＝________； ②(a ＋b )＋c ＝________.【答案】 (1)a ＋b a －b (2)b ＋a a ＋(b ＋c ) 2．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积________仍然是一个________，称为向量的数乘运算．(2)运算律：①λ(a ＋b )＝______；②λ(μa )＝_______. 【答案】 (1)λa 向量 (2)λa ＋λb (λμ)a给出下列命题：①若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；②若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；③空间中任意两个单位向量必相等．其中正确的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但①中向量a 与b 的方向不一定相同，故①错；命题②显然正确；对于命题③，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故③错．故选D.【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型](1)A ．若|a |<|b |，则a <bB ．若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0C ．空间内两平行向量相等D ．四边形ABCD 中，AB→－AD →＝DB →(2)如图3-1-2所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA′→相等的向量有________；与向量A′B′→相反的向量有_______． (要求写出所有适合条件的向量)图3-1-2【自主解答】 (1)向量的模有大小，但向量不能比较大小，A 错；相反向量的和为0，不是0，B 错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C 错；D 正确．(2)根据相等向量的定义知，与向量AA′→相等的向量有BB′→，CC′→，DD′→.与向量A′B′→相反的向量有B′A′→，BA →，CD →，C′D′→. 【答案】 (1)D (2)BB′→，CC′→，DD′→ B′A′→，BA →，CD →，C′D′→1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同．2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决．3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．[再练一题]1．下列说法中，错误的个数为( )(1)若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； (2)若向量AB→，CD →满足|AB →|＞|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →＞CD →；(3)若两个非零向量AB→与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →，CD →为相反向量；(4)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 (1)错误．两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关．(2)错误．向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．(3)正确.AB→＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →为相反向量．(4)错误．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合．【答案】 CE 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x ，y ，z 的值．图3-1-3(1)BD′→＝x AD →＋y AB →＋z AA′→； (2)AE→＝x AD →＋y AB →＋z AA′→. 【精彩点拨】利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据向量对应系数相等，求出x ，y ，z 的值．【自主解答】 (1)因为BD′→＝BD →＋DD′→＝BA→＋AD →＋DD′→＝－AB →＋AD →＋AA′→，又BD′→＝x AD →＋y AB →＋z AA′→，所以x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)因为AE →＝AA′→＋A′E →＝AA′→＋12A′C′→＝AA′→＋12(A′B′→＋A′D′→) ＝AA′→＋12A′B′→＋12A′D′→＝12AD →＋12AB →＋AA′→，又AE→＝x AD →＋y AB →＋z AA′→，所以x ＝12，y ＝12，z ＝1.用已知向量表示未知向量，是向量线性运算的基础类型，解决这类问题，要注意两个方面：(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律； (2)要注意数形结合思想的运用．[再练一题]2.如图3-1-4，已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，设OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量OG →.图3-1-4【解】 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(MA →＋AB →＋BN →)＝12OA →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12OA →＋OB →－OA →＋12BC→ ＝12OA →＋23错误! ＝16OA →＋13OB →＋13OC →＝16a ＋13b ＋13c . [探究共研型]探究1 已知空间四边形ABCD 中，AB→＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，试用a ，b ，c 表示CD →. 【提示】由空间向量的加法、减法运算可知BD→＝c －a ，CD →＝BD →－BC →＝c －a －b .探究2 如图3-1-5所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB→＝a ，AD→＝b ，AA1→＝c ，试用a ，b ，c 表示BM →.图3-1-5【提示】由图形可知：B1M →＝12B1D1→＝12(b －a )．BB1→＝AA1→＝c ，则BM →＝BB1→＋B1M →＝c ＋12b －12a .已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中点O .Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值：图3-1-6(1)OQ→＝PQ →＋x PC →＋y PA →；(2)PA→＝x PO →＋y PQ →＋PD →. 【精彩点拨】利用空间向量的线性运算法则求解．【自主解答】 (1)∵OQ→＝PQ →－PO →＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →，∴x ＝y ＝－12. (2)∵PA→＋PC →＝2PO →，∴PA →＝2PO →－PC →. 又∵PC→＋PD →＝2PQ →，∴PC →＝2PQ →－PD →.从而有PA →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →.∴x ＝2，y ＝－2.利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握．[再练一题]3．如图3-1-7所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB→＝a ，AD→＝b ，AA1→＝c .M 是C 1D 1的中点，点N 是CA 1上的点，且CN ∶NA 1＝4∶1.用a ，b ，c 表示以下向量：图3-1-7(1)AM→；(2)AN →. 【解】 (1)AM →＝12(AC1→＋AD1→)＝12[(AB →＋AD →＋AA1→)＋(AD →＋AA1→] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA1→)＝12a ＋b ＋c . (2)AN →＝AC →＋CN →＝AC →＋45(AA1→－AC →)＝15AB →＋15AD →＋45AA1→ ＝15a ＋15b ＋45c . [构建·体系]1．下列命题中，假命题是( ) A ．向量AB→与BA →的长度相等 B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C ．只有零向量的模等于0 D ．单位向量都相等【解析】单位向量是模为1的向量，它的方向没有限制．但两个向量相等必须同时满足模相等，且方向相同，故D 错误．【答案】 D2.如图3-1-8所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA→，N 为BC 中点，则MN →等于( )图3-1-8A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.23a ＋23b －12c 【解析】连接ON→(图略)，则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .【答案】 B3．化简12(a ＋2b －3c )＋5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝________.【导学号：15460059】【解析】原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c －3a ＋6b －3c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋103－3a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－52＋6b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32＋103－3c ＝56a ＋92b －76c . 【答案】56a ＋92b －76c4．若把空间内平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置于同一点，则这些向量的终点构成的图形是________．【答案】球面5．如图3-1-9，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋x OB→＋y OA→，求x ，y 的值．图3-1-9【解】 ∵AE→＝AB →＋BC →＋CE →＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC →＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC→) ＝－OA →＋12(OD →＋AB→) ＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA→) ＝－32OA →＋12OD →＋12OB →，∴x ＝12，y ＝－32.我还有这些不足：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG→－AB →＋AD →＝( )A ．2DB → B ．3MG →C ．3GM→ D ．2MG→ 【解析】 MG →－AB →＋AD →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.【答案】 B2．在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，与向量A′B′→的模相等的向量有( )【导学号：15460060】A ．7个B ．3个C ．5个D ．6个【解析】 |D′C′→|＝|DC →|＝|C′D′→|＝|CD →|＝|BA →|＝|AB →|＝|B′A′→|＝|A′B′→|.【答案】 A3．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用向量AB→，AD →，AA1→表示向量BD1→的结果为( )图3-1-10A.BD1→＝AB →－AD →＋AA1→ B.BD1→＝AD →＋AA1→－AB → C.BD1→＝AB →＋AD →－AA1→ D.BD1→＝AB →＋AD →＋AA1→ 【解析】 BD1→＝BA →＋AA1→＋A1D1→＝－AB →＋AA1→＋AD →.故选B.【答案】 B4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为BD1→的是( )①(A1D1→－A1A →)－AB →；②(BC→＋BB1→)－D1C1→； ③(AD→－AB →)－DD1→； ④(B1D1→－A1A →)＋DD1→. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④【解析】 ①(A1D1→－A1A →)－AB →＝AD1→－AB →＝BD1→；②(BC→＋BB1→)－D1C1→＝BC1→－D1C1→＝BD1→； ③(AD→－AB →)－DD1→＝BD →－DD1→≠BD1→； ④(B1D1→－A1A →)＋DD1→＝BD1→＋DD1→. 【答案】 A5．在四面体O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 中点，E 为AD 的中点，则OE →＝( )A.12a －14b ＋14c B ．a －12b ＋12cC.12a ＋14b ＋14c D.14a ＋12b ＋14c【解析】 OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC→) ＝OA →＋14(OB →－OA→＋OC →－OA →) ＝12OA →＋14OB →＋14OC → ＝12a ＋14b ＋14c . 【答案】 C 二、填空题6．下列说法正确的有________(填序号)． ①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④有向线段就是向量，向量就是有向线段．【解析】由平行向量的定义可知①正确；由相等向量定义知②正确；有公共终点的向量的基线不一定平行或重合，故③错误；有向线段是向量的几何表示，有向线段与向量不是同一概念，故④错误．【答案】 ①②7．化简：(AB→－CD →)－(AC →－BD →)＝________. 【解析】 (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →)＝AD →－AD→＝0.【答案】 08．在空间四边形ABCD 中，AB→＝a －2c ，CD→＝5a －5b ＋8c ，对角线AC ，BD 的中点分别是E ，F ，则EF→＝________.【解析】 EF →＝12(ED →＋EB →)＝14(AD →＋CD →)＋14(AB →＋CB →)＝14AB →＋14BD →＋14CD →＋14AB →＋14CD→＋14DB →＝12(AB →＋CD →)＝3a －52b ＋3c . 【答案】 3a －52b ＋3c三、解答题9．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，化简DA →－DB →＋B1C →－B1B →＋A1B1→－A1B →.【解】如图．DA→－DB →＋B1C →－B1B →＋A1B1→－A1B → ＝(DA→－DB →)＋(B1C →－B1B →)＋(A1B1→－A1B →) ＝BA→＋BC →＋BB1→＝BD →＋BB1→＝BD1→. 10．如图3-1-11，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，图3-1-11(1)单位向量共有多少个； (2)试写出模为5的所有向量；(3)试写出与AB→相等的所有向量；(4)试写出AA1→的相反向量．【解】 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA1→，A1A →，BB1→，B1B →，CC1→，C1C →，DD1→，D1D →.共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD1→，D1A →，A1D→，DA1→，BC1→，C1B →，B1C →，CB1→，共8个． (3)与向量AB→相等的所有向量(除它自身之外)共有A1B1→，DC →及D1C1→，共3个．(4)向量AA1→的相反向量为A1A →，B1B →，C1C →，D1D →，共4个．[能力提升]1．已知λ，μ∈R ，给出以下命题： ①λ<0，a ≠0时，λa 与a 的方向一定相反； ②λ≠0，a ≠0时，λa 与a 是共线向量； ③λμ>0，a ≠0时，λa 与μa 的方向一定相同； ④λμ<0，a ≠0时，λa 与μa 的方向一定相反．其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】由数乘的定义及性质可知①②③④均正确．【答案】 D2．已知点M 是△ABC 的重心，并且对空间任意一点O ，有OM →＝x OA →＋13OB →＋13OC→，则x 的值为( )A ．1B ．0C ．3D ．13【解析】因为M 为△ABC 的重心，设BC 的中点为D ，所以OM →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA→) ＝13OA →＋23·12(OB →＋OC →)＝13OA →＋13OB →＋13OC →，故x ＝13.【答案】 D3．在三棱锥A -BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则有AB →＋12BC →－32DE →－AD→化简的结果为________.【导学号：15460061】【解析】延长DE 交边BC 于点F ，则AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD→＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.【答案】 04．如图3-1-12所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，若B1C →＝x OD →＋y OC1→，则x ，y 的值分别为多少？图3-1-12【解】设C1B1→＝a ，C1D1→＝b ，C1C →＝c ， ∵四边形B 1C 1D 1A 1为平行四边形，∴B1C →＝c －a ，又O 是B 1D 1的中点， ∴C1O →＝12(a ＋b )，∴OC1→＝－12(a ＋b )，OD1→＝C1D1→－C1O →＝b －12(a ＋b )＝12(b －a )．∵D 1D 綊C 1C ，∴D1D→＝c ，∴OD →＝OD1→＋D1D →＝12(b －a )＋c .若存在实数x ，y ，使B1C →＝x OD →＋y OC1→(x ，y ∈R )成立，则c －a ＝x 错误!＋y 错误! ＝－12(x ＋y )a ＋12(x －y )b ＋x c .∵a ，b ，c 不共线，∴错误!得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.。

人教版数学高二数学选修2-1 3.1空间向量及其运算教材解读

高中新课标数学选修（2-1）空间向量及其运算教材解读山东尹承利一、空间向量及其运算 1.空间向量及其加减与数乘运算（1）空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.零向量、单位向量、相反向量、相等向量、共线（平行）向量、方向向量等概念与平面向量的概念基本相同.（2）空间向量的加减与数乘运算①空间向量的加法、减法与数乘运算与平面向量的运算基本相同；②首尾相接的若干个向量之和，等于由起始向量的起始点指向末尾向量的终点的向量.如A B B C C D A D++=，A BB C C D D A +++=0等．2．共线向量的充要条件（1）共线向量的充要条件：对空间任意两个向量()≠0，，a b b a b的充要条件是存在实数λ，使abλ=．（2）空间直线的向量表过式：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使O P O A t =+a． ①在l 上取A B=a，则①式可化为O PO A t A B=+． ②①和②都称为空间直线的向量表示式，由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．（3）利用向量之间的关系可以判断空间任意三点共线．其依据是：空间三点P A B ，，共线()P B t P A O P O A t A B t ⇔=⇔=+∈R ．3．共面向量的充要条件（1）共面向理：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．注：空间任意两个向量总是共面的．（2）共面向量的充要条件：如果两个向量，a b 不共线，那么向量p与向量a b ，共面的充要条件是存在惟一的有序实数对()，x y ，使p x =a y +b．（3）空间平面A B C 的向量表示式：空间一点P 位于平面A B C 内的充要条件是存在有序实数对x y ，，使A Px A B y A C=+；或对空间任意一点O ，有O PO A x A B y A C=++． ③③式称为平面A B C 的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量惟一确定．（4）利用向量判断四点共面．其依据是：对于空间任一点O 和不共线的三点A B C ，，，满足向量关系式O Px O A y O B z O C=++，且当且仅当1x y z ++=时，四点P A B C ，，，共面．（即课本第95页思考2） 4．空间向量的数量积运算（1）空间两个向量的夹角：已知两个非零向量，a b 在空间任取一点O ，作O A =a，O B=b，则A O B ∠叫做向量，a b 的夹角，记作，a b．如果，a bπ2=，那么向量，a b 互相垂直，记作ab⊥．注：0πa b ，≤≤．（2）向量的数量积：两个非零向量，a b 的数量积c o s a b a b a b=，，．（3）数量积的性质：①零向量与任何向量的数量积为0，即aa =00··0=；②a aaa==22·，即a =；③c o s a b a b a b=，·；④ab a b ⊥⇔·0=．（4）数量积的运算律： ①()()a ba b λλ=··；②a bb a=··（交换律）；③()a bc a b a c+=+···（分配律）．注：向量的数量积不满足结合律，即对于三个均不为零向量的向量()()a b c a b c a b c ≠，，，··．（5）利用空间两个非零向量的数量积为零，可以推证空间线、面的垂直关系．如证明三垂线定理及逆定理（课本第98页例2）、直线和平面垂直的判定定理（例3）等．二、空间向量的坐标表示 1．空间向量基本定理（1）定理：如果三个向量a b c ，，不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{}，，x y z ，使得p x =+a y b z +c，共中{}，，a b c 叫做空间的一个基底，a b c ，，都叫做基向量．注：①空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基成； ②空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．（2）单位正交基底：如果123e e e ，，是有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量，则称{}123，，e e e 为空间的单位正交基底．2．空间向量运算的坐标表示设a123()=，，a a a ，b123()=，，b b b ，则（1）空间向量的直角坐标运算a b +=112233()+++，，a b a b a b ，ab -=112233()a b a b a b ---，，；λ=a 123()λλλ，，a a a ；a b=·112233++a b a b a b ．（2）两个向量平行、垂直的充要条件的坐标表示 ①λ⇔=∥a b a b 112233()a b a b a b λλλλ⇔===∈R ，，；②ab ⊥1122330⇔++=a b a b a b 。

2019-2020学年同步人教A版高中数学选修2-1素养课件：3.1 3.1.1 空间向量及其加减运

第十七页，编辑于星期六：二十三点四十九分。
(2)①由于长方体的高为 1，所以长方体 4 条高所对应的A→A1， A→1A，B→B1，B→1B，C→C1，C→1C，D→D1，D→1D这 8 个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为 1，故单位向量共有 8 个． ②由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为 5，故模为
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解析：①正确；②正确，因为A→A1与C→1C的大小相等方向相反，即互为相反向量，所以A→A1＝－C→1C；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以 a 与 b 的方向不能确定；④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时，才有A→B＋A→D＝A→C. 综上可知，正确命题为①②. 答案：①②
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■名师点拨平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加(减)法运算．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同．( √ ) (2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × ) (3)在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( √ ) (4)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．( × )
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(4)特殊向量
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■名师点拨 (1)单位向量、零向量都只是规定了向量的模长而没有规定向量的方向．单位向量有无数个，它们的方向不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向任意，但规定所有的零向量都相等． (2)空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同，因此可以进行类比学习．

2019-2020学年高中数学(苏教版选修2-1)教师用书：第3章空间向量与立体几何 3.1.5

3.1.5 空间向量的数量积1．理解空间向量的夹角的概念，理解空间向量的数量积的概念、性质和运算律．(重点) 2．掌握空间向量的数量积及应用．(重点、难点) 3．理解向量夹角与直线所成角的区别．(易错点)[基础·初探]教材整理1 空间向量的夹角阅读教材P 91～P 92上半部分，完成下列问题． a ，b 是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作OA→＝a ，OB→＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉，a ，b的范围是[0，π]，如果〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .如图3-1-25，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求向量BC1→与AC →夹角的大小．图3-1-25【解】 ∵AD1→＝BC1→，∴∠CAD 1的大小就等于〈BC1→，AC →〉． ∵△ACD 1为正三角形，∴∠CAD 1＝π3，∴〈BC1→，AC →〉＝π3. ∴向量BC1→与AC →夹角的大小为π3. 教材整理2 空间向量的数量积阅读教材P 92例1以上的部分，完成下列问题． 1．数量积的定义设a ，b 是空间两个非零向量，我们把数量|a ||b |·cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2．数量积的性质 (1)cosa ，b＝a·b|a||b|(a ，b 是两个非零向量)．(2)a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 是两个非零向量)． (3)|a |2＝a·a ＝a 2. 3．数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )(λ∈R )； (3)a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.( ) (2)在△ABC 中，〈AB →，BC →〉＝∠B .( ) (3)两个向量的数量积是数量，而不是向量．( )(4)若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的充要条件．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知|a |＝2，|b |＝22，a·b ＝－22，则a 与b 的夹角为________.【导学号：09390075】【解析】 cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝－222×22＝－22，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝3π4.【答案】 3π4教材整理3 数量积的坐标表示阅读教材P 93～P 94例3以上的部分，完成下列问题． 1．若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则 (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0(a ≠0，b ≠0)． (3)|a |＝a·a ＝x21＋y21＋z21. (4)cos 〈a ，b 〉＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21·x22＋y22＋z22(a ≠0，b ≠0)．2．空间两点间距离公式设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB ＝错误!.1．若a ＝(－1,0,2)，b ＝(x ，y,1)，且a ⊥b ，则x ＝______. 【解析】 ∵a ⊥b ，∴a·b ＝－x ＋2＝0，解得x ＝2. 【答案】 22．与向量a ＝(1,2,2)方向相同的单位向量是________．【解析】 |a |＝12＋22＋22＝3，故与a 方向相同的单位向量是a |a|＝13(1,2,2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，23.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，23[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积．(1)BC →·ED1→； (2)BF →·AB1→.【精彩点拨】法一(基向量法)：BC →与ED1→，BF →与AB1→的夹角不易求，可考虑用向量AB →，AD →，AA1→表示向量BC →，ED1→，BF →，AB1→，再求结论即可．法二(坐标法)：建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积．【自主解答】法一(基向量法)：如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)BC →·ED1→＝BC →·(EA1→＋A1D1→)＝b ·错误!＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB1→＝(BA1→＋A1F →)·(AB →＋AA1→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.法二(坐标法)：以A 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则B (2,0,0)，C (2,4,0)，E (1,0,1)，D 1(0,4,2)，F (0,2,2)，A (0,0,0)，B 1(2,0,2)，∴BC →＝(0,4,0)，ED1→＝(－1,4,1)，BF →＝(－2,2,2)，AB1→＝(2,0,2)， (1)BC →·ED1→＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16. (2)BF →·AB1→＝－2×2＋2×0＋2×2＝0.解决此类问题的常用方法1．基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算．注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量．2．坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法比较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可．[再练一题]1．在上述例1中，求EF →·FC1→.【解】法一：EF →·FC1→＝错误!·错误!＝错误!(－a ＋b ＋c )·错误! ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.法二：以A 为原点建立空间直角坐标系，则E (1,0,1)，F (0,2,2)，C 1(2,4,2)，∴EF →＝(－1,2,1)，FC1→＝(2,2,0)，∴EF →·FC1→＝－1×2＋2×2＋1×0＝2.如图3-1-26所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.(1)求AC ′的长；(2)求AC′→与AC →的夹角的余弦值．图3-1-26【精彩点拨】求线段长，要利用向量的方法求解，关键是找到表示AC ′的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解，求夹角问题则是向量数量积的逆用．【自主解答】 (1)∵AC′→＝AB →＋AD →＋AA′→， ∴|AC′→|2＝(AB →＋AD →＋AA′→)2 ＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA′→|2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA′→＋AD →·AA′→) ＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85. ∴|AC′→|＝85.(2)法一：设AC′→与AC →的夹角为θ，∵ABCD 是矩形，∴|AC →|＝32＋42＝5. 由余弦定理可得cos θ＝AC′2＋AC2－CC′22AC′·AC ＝85＋25－252·85·5＝8510. 法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA′→＝c ，依题意得AC′→·AC →＝(a ＋b ＋c )·(a ＋b ) ＝a 2＋2a ·b ＋b 2＋a ·c ＋b ·c＝16＋0＋9＋4×5×cos 60°＋3×5×cos 60° ＝16＋9＋10＋152＝852，∴cos θ＝AC′→·AC →|AC′→|·|AC →|＝85285×5＝8510.1．求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a |2＝a ·a ，即|a |＝a·a 通过向量运算求|a |.2．对于空间向量a ，b ，有cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|.利用这一结论，可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，故〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，它们相等；而当〈a ，b 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，它们互补．[再练一题]2．如图3-1-27，正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC ，AB 的中点，设AB→＝a ，AC→＝b ，AD →＝c .(1)用a ，b ，c 分别表示向量DM →，CN →； (2)求异面直线DM 与CN 所成角的余弦值．图3-1-27【解】 (1)DM →＝12(DB →＋DC →)＝12[(AB →－AD →)＋(AC →－AD →)] ＝12[(a －c )＋(b －c )]＝12(a ＋b －2c )， CN →＝12(CB →＋CA →)＝12[(AB →－AC →)－AC →] ＝12[(a －b )－b ]＝12(a －2b )．(2)设棱长为1，即|a |＝|b |＝|c |＝1且〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝π3，则|DM →|＝|CN →|＝32. 又DM →·CN →＝14(a ＋b －2c )·(a －2b ) ＝14(a 2＋a ·b －2a ·c －2a ·b －2b 2＋4b ·c ) ＝－18，∴cos 〈DM →，CN →〉＝DM →·CN →|DM →||CN →|＝－1832×32＝－16.∴异面直线DM 与CN 所成角的余弦值为16.已知(1)若a ∥b ，分别求λ与m 的值；(2)若|a |＝5，且与c ＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a .【精彩点拨】利用向量平行、垂直、向量的模列方程组求解．【自主解答】 (1)由a ∥b ，得 (λ＋1,1,2λ)＝k (6,2m －1,2)， ∴错误!解得错误! ∴实数λ＝15，m ＝3.(2)∵|a |＝5，且a ⊥c ， ∴错误!化简，得⎩⎨⎧5λ2＋2λ＝3，2－2λ2＝0，解得λ＝－1.因此，a ＝(0,1，－2)．向量平行与垂直问题主要有两种题型1．平行与垂直的判断2．利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用．[再练一题]3．如图3-1-28所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 是A 1B 1的中点．求证：A 1B ⊥C 1M .图3-1-28【证明】如图所示，以CA →，CB →，CC1→为正交基底，建立空间直角坐标系C -xyz .依题意得B (0,1,0)，A 1(1,0,2)，错误!，2)，B 1(0,1,2)，则M 错误!，错误!，2，于是错误!＝(－1,1，－2)，C1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，∴A1B →·C1M →＝－12＋12＋0＝0，∴A1B →⊥C1M →，故A 1B ⊥C 1M .[探究共研型]探究1 【提示】对于三个不为0的实数a ，b ，c ，若ab ＝ac ，则b ＝c .对于三个非零向量a ，b ，c ，若a ·b ＝a ·c ，不能得出b ＝c ，即向量不能约分．如图，在三棱锥S -ABC 中，SC ⊥平面ABC ，则SC ⊥AC ，SC ⊥BC .设CS →＝a ，CA →＝b ，CB →＝c ，则a ·b ＝a ·c ＝0，但b ≠c .探究2 数量积运算是否有除法？【提示】数量积的运算不满足除法，即对于向量a ，b ，若a ·b ＝k ，不能得到a ＝k b ⎝ ⎛⎭⎪⎫或b ＝k a ，例如当非零向量a ，b 垂直时，a ·b ＝0，但a ＝0b 显然是没有意义的．探究3 数量积运算满足结合律吗？【提示】由定义得(a ·b )c ＝(|a ||b |cos 〈a ，b 〉)c ，即(a ·b )c ＝λ1c ；a (b ·c )＝a (|b ||c |cos 〈b ，c 〉)，即a (b ·c )＝λ2a ，因此，(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立．如图3-1-29，已知正四面体OABC 的棱长为1.求： (1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)； (3)|OA →＋OB →＋OC →|.图3-1-29【精彩点拨】在正四面体OABC 中，OA →，OB →，OC →的模和夹角都已知，因此可以先把相关向量用OA →，OB →，OC →线性表示，再结合空间向量数量积的运算律与运算性质求解即可．【自主解答】在正四面体OABC 中，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，〈OA →，OB →〉＝〈OA →，OC →〉＝〈OB →，OC →〉＝60°.(1)OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12. (2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝OA2→＋2OA →·OB →－2OA →·OC →＋OB →2－2OB →·OC →＝12＋2×12－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60° ＝1＋1－1＋1－1＝1. (3)|OA →＋OB →＋OC →|＝错误! ＝错误!＝错误!. [再练一题]4．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉＝________.【导学号：09390076】【解析】由条件知，(a ＋3b )·(7a －5b )＝7|a |2＋16a·b －15|b |2＝0，及(a －4b )·(7a －2b )＝7|a |2＋8|b |2－30a·b ＝0. 两式相减，得46a·b ＝23|b |2，∴a·b ＝12|b |2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a |＝|b |. ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝12|b|2|b|2＝12.∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝60°. 【答案】 60°[构建·体系]1．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则(a ＋b )·(a －b )的值为________．【解析】 ∵a ＋b ＝(10，－5，－2)，a －b ＝(－2,1，－6)，∴(a ＋b )·(a －b )＝－20－5＋12＝－13.【答案】－132．已知向量a ＝(2，－3,0)，b ＝(k,0,3)．若a ，b 成120°的角，则k ＝________.【解析】 cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝2k 139＋k2＝－12，得k ＝－39. 【答案】－393．如图3-1-30，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．图3-1-30【解析】 AB1→＝AB →＋BB1→，BM →＝BC →＋CM →，设棱长为1.又∵AB1→·BM →＝(AB →＋BB1→)(BC →＋CM →)＝AB →·BC →＋BB1→·BC →＋AB →·CM →＋BB1→·CM →＝－12＋0＋0＋12＝0，∴cos 〈AB1→，BM →〉＝AB1→·BM →|AB1→|·|BM →|＝0，∴AB1→⊥BM →，∴直线AB 1与BM 所成的角为90°.【答案】 90°4．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.【解析】 ∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12AB →，BD →＝AD →－AB →，∴AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝AD →2－AD →·AB →＋12AB →·AD →－12AB →2＝4－0＋0－2＝2.【答案】 25．如图3-1-31所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值．图3-1-31【解】由题意知BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162，∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225，∴OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

2019-2020年新版高中数学人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何本章整合3

综合应用专题一专题二专题三
应用1如图所示的多面体是由三棱锥A-BDE与四棱锥D-BCFE拼接而成的,其中EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF∥BC,
BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点.
(1)求异面直线BD与EG所成的角; (2)求平面DEG与平面AEFD所成的钝二面角的正弦值. 提示:求解空间角有两种常见思路,若直接能确定或易作出空间角,则直接求解;若不易作出,则考虑采用空间向量的方法,这也是空间向量应用的优势所在.
�� + �� = 0, �� + �� = 0,
令 x=1,得 n=(1,-1,1).
设平面 DEG 与平面 AEFD 所成锐二面角的大小为 θ,
则
cos
θ=��
>
|
=
|��·��| |��||��|
若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.
提示:建立恰当的空间直角坐标系,求出所涉及的点及向量的坐标,求证两条直线的方向向量数量积为零,则两条直线垂直;二面角求解,可转化为求法向量的夹角;由平面的法向量垂直于直线的方向向量来证明线面平行.
综合应用
专题一专题二专题三
(1)证明:连接 BD,设 AC 交 BD 于点 O,由题意知 SO⊥平面 ABCD.
(1)用向量法证明:平面A1BD∥平面B1CD1; (2)用向量法证明:MN⊥平面A1BD. 提示:(1)面面平行应转化为证明线面平行;(2)线面垂直应转化为线线垂直,最终结合面面平行与线面垂直的判定定理证明;此外本题也可建立空间直角坐标系转化为向量的坐标运算去求解.

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2019-2020年高中数学选修2-1空间向量及其应用一．课标要求：（1）空间向量及其运算① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用① 理解直线的方向向量与平面的法向量；② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

二．命题走向本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。

本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测07年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

三．要点精讲1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

如位移、速度、力等。

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

2．向量运算和运算率加法交换率：加法结合率：数乘分配率：说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

平行于记作∥。

注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。

共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的充要条件是存在实数使＝注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若∥（≠0），则有＝，其中是唯一确定的实数。

②判断定理：若存在唯一实数，使＝（≠0），则有∥（若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不在（或）上）。

⑵对于确定的和，＝表示空间与平行或共线，长度为 ||，当>0时与同向，当<0时与反向的所有向量。

⑶若直线l ∥，，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。

推论：如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式①其中向量叫做直线l 的方向向量。

在l 上取，则①式可化为 ② 当时，点P 是线段AB 的中点，则 ③①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。

⑶结合三角形法则记忆方程。

4．向量与平面平行：如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作∥。

注意：向量∥与直线a ∥的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x 、y ，使①注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使 ④或对空间任一定点O ，有.y x ++=⑤在平面MAB 内，点P 对应的实数对（x, y ）是唯一的。

①式叫做平面MAB 的向量表示式。

又∵代入⑤，整理得.)1(y x y x ++--= ⑥由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件。

5．空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x , y , z , 使说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{}R z y x c z b y a x p p ∈++=、、,|，这个集合可看作由向量、、生成的，所以我们把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于可视为与任意非零向量共线。

与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是。

推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组，使.OC z OB y OA x OP ++=6．数量积（1）夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O ，作，，则角∠AOB 叫做向量与的夹角，记作说明：⑴规定0≤≤,因而=； ⑵如果=，则称与互相垂直，记作⊥； ⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同，图（3）中∠AOB =，图（4）中∠AOB =, 从而有==.（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

（3）向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作。

即=，向量:B A e a e a ''=〉〈=⋅,cos ||（4）性质与运算率⑴。

⑴ ⑵⊥=0 ⑵= ⑶ ⑶四．典例解析题型1：空间向量的概念及性质例1．有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）①② ①③ ②③ ①②③解析：对于①“如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系一定共线”；所以①错误。

②③正确。

点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系。

例2．下列命题正确的是（）若与共线，与共线，则与共线；A B O （1） OA B （2）向量共面就是它们所在的直线共面；零向量没有确定的方向；若，则存在唯一的实数使得；解析：A 中向量为零向量时要注意，B 中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D 中需保证不为零向量。

答案C 。

点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。

像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾。

题型2：空间向量的基本运算例3．如图：在平行六面体中，为与的交点。

若，，，则下列向量中与相等的向量是（）解析：显然=+-=+=111)(21AA AB AD M B BB BM ；答案为A 。

点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。

用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。

例4．已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a+++=≠--=且不共面.若∥,求的值.解：∥,,且即.42328)1(p n m p y n m xλλλ--=+++又不共面,.8,13,422831=-=∴-=-=+∴y x yx 点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。

题型3：空间向量的坐标例5．（1）已知两个非零向量=（a 1，a 2，a 3），=（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（） A. ：||=：|| B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3 C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0 D.存在非零实数k ，使=k（2）已知向量=（2，4，x ），=（2，y ，2），若||=6，⊥，则x+y 的值是（） A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1 （3）下列各组向量共面的是（） A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5) B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1) C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1) D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1) 解析：（1）D ；点拨：由共线向量定线易知；（2）A 点拨：由题知或；（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。

点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况。

例6．已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。

设=，=，（1）求和的夹角；（2）若向量k+与k－2互相垂直，求k的值.思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，=，=，∴=(1，1，0)，=（－1，0，2）.(1)cos==－，∴和的夹角为－。

(2)∵k+=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），k－2=（k+2，k，－4），且(k+)⊥（k－2），∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。

则k=－或k=2。

点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。

（+）(k－2)=k22－k·－22=2k2+k－10=0，解得k=－，或k=2。

题型4：数量积例7．(xx江西、山西、天津理，4)设、、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（·）－（·）= ②||－||<|－| ③（·）－（·）不与垂直④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（）A.①②B.②③C.③④D.②④答案：D解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；②由向量的减法运算可知||、||、|－|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［（·）－（·）］·=（·）·－（·）·=0，所以垂直.故③假；④（3+2）（3－2）=9··－4·=9||2－4||2成立.故④真.点评：本题考查平面向量的数量积及运算律。