数学分析4.1函数连续性概念(习题)

第四章 函数的连续性 1 连续性概念(练习)1、按定义证明下列函数在其定义域内连续 (1)f(x)=1x ；(2)f(x)=|x|.证：(1)f(x)=1x 的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞) 当x,x 0∈D 时，有 1x −1x 0= x −x 0|x||x 0|由三角不等式可得：|x|≣|x 0|-|x-x 0|，∴ 1x −1x 0≢ x −x 0|x0|2−|x −x 0||X 0|对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x 0|<δ时，有 x −x 0|x 0|2−|x −x 0||X 0|<δ|x 0|2−δ|X 0|∴要使 1x −1x 0<ε，只要使δ|x 0|2−δ|X 0|=ε，即当δ=εx 021+ε|X 0|>0时，就有|f(x)-f(x 0)|<ε∴f(x)在x 0连续. 由x 0的任意性知f(x)在其定义域内连续. (2)f(x)=|x|在R 上都有定义。

任取x, x 0∈R ，有||x|-|x 0||≢|x-x 0|. 对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x 0|<δ时，有||x|-|x 0||<δ ∴只要取δ=ε，就有|f(x)-f(x 0)|<ε∴f(x)在x 0连续. 由x 0的任意性知f(x)在R 连续.2、指出下列函数的间断点并说明其类型(1)f(x)=x +1x ；(2)f(x)=sinx|x|；(3)f(x)=[|cos x|]；(4)f(x)=sgn |x|；(5)f(x)=sgn(cosx)； (6)f(x)= x, x 为有理数−x, x 为无理数；(7)f(x)= 1x+7, x <−7x, −7≤x ≤1 x −1 sin 1x −1, x >1.解：(1)f(x)在x=0间断.∵f(x)在x=0的左右极限都不存在，∴x=0是f(x)的第二类间断点. (2)f(x)在x=0间断. ∵lim x →0+sinx|x|=lim x →0+sinx x=1，lim x →0−sinx|x|=lim x →0−sinx −x= -1，∴x=0是f(x)的跳跃间断点.(3)f(x)在x=n π间断，(n=0,±1,±2,…)∵limx→nπ+[|cos x|]=0，limx→nπ−[|cos x|]=0，∴x=nπ是f(x)的可去间断点.(4)f(x)在x=0间断，∵limx→0+sgn |x|=1，limx→0−sgn |x|=1，∴x=0是f(x)的可去间断点.(5)f(x)在x=2kπ±π2间断，(k=0,±1,±2,…)∵limx→(2kπ+π2)+sgn(cosx)=-1，limx→(2kπ+π2)−sgn(cosx)= 1；limx→(2kπ−π2)+sgn(cosx)= 1，limx→(2kπ+π2)−sgn(cosx)= -1，∴x=2kπ±π2是f(x)的跳跃间断点.(6)f(x)在x≠0的点间断，且当x0≠0时，f(x)的左右极限都不存在，∴所有x≠0的点都是f(x)的第二类间断点.(7)f(x)在x=-7和x=1间断，∵limx→−7+f(x)=-7，limx→−7−f(x)不存在，∴x= -7是f(x)的第二类间断点.又limx→1+f(x)=0，limx→1−f(x)=1，∴x=1是f(x)的跳跃间断点.3、延拓下列函数，使其在R上连续(1)f(x)=x3−8x−2；(2)f(x)=1−cos xx2；(3)f(x)=xcos1x.解：(1)∵f(x)=x 3−8x−2在x=2没有定义，且limx→2x3−8x−2=limx→2(x2+2x+4)=12；∴延拓函数得F(x)=x3−8x−2, x≠212, x=2在R上连续.(2)∵f(x)=1−cos xx2在x=0没有定义，且limx→01−cos xx2=limx→02sin x22x2=limx→0sin x222x22=12；∴延拓函数得F(x)=1−cos xx2, x≠012, x=0在R上连续.(3)∵f(x)=xcos1x 在x=0没有定义，且limx→0xcos1x=0；∴延拓函数得F(x)=xcos1x, x≠00, x=0在R上连续.4、证明：若f在x0连续，则|f|与|f2|也在点x0连续. 又问：|f|或f2也在点I连续，那么f在I是否必连续？证：∵f在x0连续，∴∀ε>0，有δ>0，使当|x-x0|<δ时，都有|f(x)-f(x0)|<ε. 又|f(x)-f(x0)|≣||f(x)|-|f(x0)||，∴当|x-x0|<δ时，都有||f(x)|-|f(x0)||<ε.∴|f|在点x0连续.又∵f在x0连续，由局部有界性知，存在M>0及δ1>0，使|x-x0|<δ1时，有|f(x)|<M2，∀ε>0，有δ2>0，使当|x-x0|<δ2时，都有|f(x)-f(x0)|<εM.取δ’=min{δ1,δ2}，则当|x-x0|<δ’时，有|f2(x)-f2(x0)|= |f(x)-f(x0)||f(x)+f(x0)|≢|f(x)-f(x0)|(|f(x)|+|f(x0)|)<εM·M=ε.∴f2在点x0连续.其逆命题不成立，例如设f(x) =x, x为有理数−x, x为无理数；则|f|,f2均为常数函数，∴|f|,f2均为连续函数，但f(x)在R上的任一点都不连续.5、设当x≠0时，f(x)≡g(x)，而f(0)≠g(0). 证明：f与g两者中至多一个在x=0连续.证：若f与g在x=0都连续，则limx→0f(x)=f(0)；limx→0g(x)=g(0).又当x≠0时，f(x)≡g(x)，∴limx→0f(x)=limx→0g(x)，∴f(0)=g(0)，这与f(0)≠g(0)矛盾，∴f与g两者中至多一个在x=0连续.6、设f为区间I上的单调函数. 证明：若x0∈I为f的间断点，则x0必是f的第一类间断点证：由函数极限的单调有界定理可知，不管f在区间I上单调增还是单调减，f在点x0∈I都有左右极限，∴当f在x0不连续时，x0必是f的第一类间断点。

7、设函数f只有可去间断点，定义g(x)= limy→xf(y). 证明g为连续函数.证1：设f 的定义域为区间I ，则g(x)在I 上处处有定义 又f 只有可去间断点，∴f,g 在I 处处存在极限 任取x 0∈I ，由g(x 0)= lim y →x 0f(y)且g(x)= lim y →xf(y)(x ∈I)，从而对任给的正数ε，存在正数δ，当0<|y-x 0|<δ时，有g(x 0)−ε2<f(y)<g(x 0)+ε2 任取x ∈U 0(x 0,δ)，则必存在U(x,η) ⊂U 0(x 0,δ)，于是当y ∈U(x,η)时上式成立 由极限的不等式性质知：g(x 0)−ε2≢g(x)= lim y →xf(y)≢g(x 0)+ε2∴当x ∈U 0(x 0,δ)时，有|g(x)-g(x 0)|<ε. ∴g(x)在x 0处连续. 证2：∵f 只有可去间断点，∴f 在其定义域上任意点或没有定义的间断点x 0上极限都存在 又g(x)= lim y →xf(y)，∴lim x →x 0g(x)=lim x →x 0 lim y →xf(y) =lim y →x 0f(y)=g(x 0)由x 0的任意性可知，g 为连续函数.8、设f 为R 上的单调函数，定义g(x)=f(x+0)，证明g 在R 上每一点都右连续. 证：∵f 为R 上的单调函数，∴f 只有第一类间断点，故右极限处处存在. ∴g(x)处处有定义，任取x 0∈R ，则g(x 0)=f(x 0+0)=lim y →x 0+f(y)，证1：又g(x)=f(x+0)=lim y →x+f(y)，从而对任给的正数ε，存在正数δ，当0<x-x 0<δ时，有g(x 0)−ε2<f(y)<g(x 0)+ε2任取x ∈U +0(x 0,δ)，则必存在U +0(x,η) ⊂U +0(x 0,δ)，于是当y ∈U +0(x,η)时上式成立 由极限的不等式性质知：g(x 0)−ε2≢g(x)= lim y →x+f(y)≢g(x 0)+ε2∴当x ∈U +0(x 0,δ)时，有|g(x)-g(x 0)|<ε. ∴g(x)在x 0处右连续.证2：又g(x)=f(x+0)=lim y →x+f(y)，∴lim x →x 0+g(x)=lim x →x 0+ lim y →x+f(y) =lim y →x 0+f(y)；∴lim x →x 0+g(x)=g(x 0)，由x 0的任意性可知，g 在R 上每一点都右连续.9、举出定义在[0,1]上符合下述要求的函数： (1)只在12,13和14三点不连续的函数； (2)只在12,13和14三点连续的函数；(3)只在1n(n=1,2,3,…)上间断的函数；(4)只在x=0右连续，而在其他点都不连续的函数.解：(1)f(x)=12x−1+13x−1+14x−1；(2)f(x)=0, x为0,1中的有理数2x−13x−14x−1, x是0,1中的无理数；(3)f(x)=1x；(4)f(x)=−x, x是0,1中的无理数x, x是0,1中的有理数.。