2021年陕西省西安市八校高考数学联考试卷(文科)(一)
陕西省西安市八校2021届高考数学联考试卷(文科)(一)(含答案解析)
陕西省西安市八校2021届高考数学联考试卷(文科)(一)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知全集U ={1,2，3，4，5，6}，集合A ={3,4，5}，则∁U A =( )A. {1,2，6}B. {3,4，5}C. {1,2，3，4，5，6}D. ⌀2.已知是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有，若，则A. −2B. 2C. 2013D. 20123. 国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，设直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125.若a ⃗ =(1,cos(2θ+π6))，b ⃗ =(sin(2θ+π6),√3)，则a ⃗ ⋅b ⃗ =( )A. 2B. −1425 C. −2425 D. 14254. 在一次体育兴趣小组的聚会中，要安排6人的座位，使他们在如图所示的6个椅子中就坐，且相邻座位(如1与2，2与3)上的人要有共同的体育兴趣爱好，现已知这6人的体育兴趣爱好如下表所示，且小林坐在1号位置上，则4号位置上坐的是( )小林 小方 小马 小张 小李 小周体育兴趣爱好 篮球，网球，羽毛球足球，排球，跆拳道篮球，棒球，乒乓球击剑，网球，足球棒球，排球，羽毛球跆拳道，击剑，自行车A. 小方B. 小张C. 小周D. 小马5. 双曲线x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)中，已知a =4，b =3，则双曲线的离心率为( ) A. 54B. √74C. 53D. 456. 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应边分别是a ，b ，c ，a =5，b =8，C =60°，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB⃗⃗⃗⃗⃗ |等于( )A. −13B. 27C. 20√3+5D. −20√3+57. 设P 为直线3x +4y +3=0上的动点，过点P 作圆C ：x 2+y 2−2x −2y +1=0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积最小时∠P =( )A. 60°B. 45°C. 30°D. 120°8. 已知△ABC 的三边长a =3，b =4，c =√37，则该三角形的最大内角为( )A. π3B. π6C. 5π6D. 2π39. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)，具有以下性质：(1)对任意的x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)，且|x 1−x 2|的最小值为π2； (2)f(x +π6)为奇函数；(3)任取x 1,x 2∈[0,π4]，当x 1≠x 2时，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 2f(x 1)+x 1f(x 2). 同时满足上述性质的一个函数可以是( )A. y =sin(2x −4π3) B. y =sin(2x −π3) C. y =sin(2x +2π3)D. y =sin(2x +π6)10. 已知正三棱锥P −ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为√3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为( )A. √33B. √23C. √34D. √2411. 设命题p ：2≥2，命题q ：{1}⊆{0,1，2}，则下列命题中为真命题的是( )A. p ∧qB. ￢p ∧qC. p ∧￢qD. ￢p ∧￢q12. f(x)=x 3+ax 2+bx +c 有两个极值点1和−2，且f(1)=1.则关于x 的方程3(f(x))2+2af(x)+b =0的不同实根个数是( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 抛物线的焦点为F ，其准线与双曲线相交于A 、B 两点，若为等边三角形，则p = ．14. 已知i 为虚数单位，复数z 满足1−z1+z =i ，则|z|=______．15. 某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i(i =1,2，…，12)项能力特征用x i 表示，x i ={0, 如果某学生不具有第i 项能力特征1, 如果某学生具有第i 项能力特征，若学生A ，B 的十二项能力特征分别记为A =(a 1,a 2,…,a 12)，B =(b 1,b 2,…,b 12)，则A ，B 两名学生的不同能力特征项数为______ (用a i ，b i 表示).如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为______ ．16. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 正项数列{a n }满足a n+12−a n+1(2a n +1)−a n (3a n +1)=0，a 1=1，数列{b n }为等差数列，b 3+1=a 2，a 3=b 13．(1)求证：{a n +12}是等比数列，并求{b n }的通项公式； (2)令∁n =a n ⋅b n ，求数列{∁n }的前n 项和T n ．18. (12分)一个圆锥，它的底面直径和高均为．(1)求这个圆锥的表面积和体积．(2)在该圆锥内作一内接圆柱，当圆柱的底面半径和高分别为多少时，它的侧面积最大？最大值是多少？19. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的N件产品作为样本称出它们的重量(单位；克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示，若其中重量超过510克的产品件数为3．(1)求N；(2)在抽取的重量超过505克的产品中任取2件，设ξ为重量超过510克的产品数量，求ξ的分布列及数学期望．20. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l：x−y+√2=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=4，证明：直线AB过定点(−12,−1)．21. 已知函数f(x)=−23ax3+x2(a>0)，x∈R．(1)当a=1时，求f(x)在点(3,f(3))处的切线方程．(2)求f(x)的极值．22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+√2cosαy=1+√2sinα(α为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为(2,56π)．(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程；(Ⅱ)若点B在曲线C上，|OA||OB|=2√6，求∠AOB的大小．23. 已知函数f(x)=|x+a|+|2x−1|(a∈R)．(Ⅰ)当a=−1时，求不等式f(x)<3的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)<|32x+1|的解集包含[13,1]，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵全集U ={1,2，3，4，5，6}，集合A ={3,4，5}， ∴∁U A ={1,2，6}， 故选：A ．由全集U 及A ，求出A 的补集即可．此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性，函数值的求法，利用函数的奇偶性求出函数的周期，然后求解函数在即可．解：定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +2)=−f(x)， 可得f(x +4)=−f(x +2)=f(x)， 所以函数的周期是4，f(1)=2，则f(2015)=f(4×504−1)=f(−1)=−f(1)=−2． 故选：A ．3.答案：D解析：由题意小正方形的边长为cosθ−sinθ，由(cosθ−sinθ)2=125，得sinθ+cosθ=75，把a ⃗ ⋅b ⃗ 化为2(sinθ+cosθ)(cosθ−sinθ)可得结果．本题考查了三角函数的运算，sinθ、cosθ的和、积、差知一求二，本题表示出小正方形的边长是关键．解：由题意得：直角三角形的长直角边为cosθ，短直角边为sinθ， 小正方形的边长为cosθ−sinθ，∴(cosθ−sinθ)2=125， ∴2sinθcosθ=2425，∴(sinθ+cosθ)2=4925， ∴sinθ+cosθ=75，cosθ−sinθ=15，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =sin(2θ+π6)+√3cos(2θ+π6)=2sin(2θ+π2)=2cos2θ=2(sinθ+cosθ)(cosθ−sinθ)=2×75×15=1425．故选D ．4.答案：A解析：解：小林坐在1号位置上，按照相邻座位(如1与2，2与3)上的人要有共同的体育兴趣爱好， 结合6人的体育兴趣爱好推导出1至6号的位置上坐的分别是： 小林、小马、小李、小方、小张、小周， ∴4号位置上坐的是小方． 故选：A ．小林坐在1号位置上，按照相邻座位(如1与2，2与3)上的人要有共同的体育兴趣爱好，结合6人的体育兴趣爱好能推导出1至6号的位置上坐的分别是谁．本题考查简单的合情推理的应用，考查归纳总结能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．5.答案：A解析：解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)中，已知a =4，b =3，可得c =√a 2+b 2=5． 双曲线的离心率为：e =ca =54． 故选：A ．利用双曲线的性质求出c ，然后求出离心率． 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6.答案：A解析：解：原式=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，由余弦定理知，|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c =√a 2+b 2−2abcosC =√52+82−2×5×8×12=7， ∴原式=5×8×cos120°+7=−13． 故选A ．由余弦定理，计算出c 的长度，再将题目中的条件代入公式即可算出．在高考中，向量属于相对较新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解析几何等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点．7.答案：A解析：本题考查直线与圆的位置关系，正确判断四边形面积最小时的位置是解题的关键，属于中档题．由题意画出图形，判断四边形面积最小时P的位置，利用点到直线的距离公式求出PC，然后求出∠P 的大小．解：圆C：x2+y2−2x−2y+1=0，即圆C：(x−1)2+(y−1)2=1，圆心坐标(1,1)，半径为1；由题意过点P作圆C：x2+y2−2x−2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，可知四边形PACB的面积是两个三角形的面积的和，因为CA⊥PA，CA=1，显然PC最小时四边形面积最小，即PC min=√32+42=2．sin∠CPA=CACP =12，∠CPA=30°，所以∠P=60°．故选A．8.答案：D解析：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．判断得到C为最大角，利用余弦定理表示出cos C，把三边长代入求出cos C的值，即可确定出C的度数．解：∵a<b<c，∴C为最大角，∵△ABC的三边长a=3，b=4，c=√37，∴由余弦定理得：cosC=a2+b2−c22ab =9+16−3724=−12，则该三角形最大内角C为2π3．故选：D．9.答案：B解析：解：(1)由题意可得，f(x1)为函数f(x)的最小值，f(x2)为函数f(x)的最大值，故|x1−x2|的最小值为函数f(x)=sin(ωx+φ)的半个周期，即T2=π2，所以T=π，ω=2πT=2，ABCD都满足；(2)对于A，f(x+π6)=sin(2x+π3−4π3)=sin(2x−π)=−sin2x为奇函数，满足性质(2)，对于B，f(x+π6)=sin(2x+π3−π3)=sin2x为奇函数，满足性质(2)，对于C，f(x+π6)=sin(2x+π3+2π3)=sin(2x+π)=−sin2x为奇函数，满足性质(2)，对于D，f(x+π6)=sin(2x+π3+π6)=sin(2x+π2)=cos2x为偶函数，不满足性质(2)，(3)由x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2)，可得(x1−x2)f(x1)>(x1−x2)f(x2)，设x1>x2，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[0,π4]单调递增，而对于ABC三个函数中只有B选项在[0,π4]单调递增，其他皆为单调递减，故同时满足三个性质的一个函数可以是选项B．故选：B．由性质(1)可求得周期T，从而可得ω值，四个选项均满足；再对四个函数，分别求出f(x+π6)，判断函数的奇偶性，可得ABC满足；由性质(3)可判断f(x)在[0,π4]单调递增，再判断选项ABC的函数的单调性，即可求出结论．本题主要考查三角函数的最值、奇偶性与单调性，属于中档题．10.答案：A解析：解：∵正三棱锥P−ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接圆O，∵圆O的半径为√3，∴正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2球心到截面ABC 的距离即正方体中心到截面ABC 的距离设P 到截面ABC 的距离为h ，则正三棱锥P −ABC 的体积V =13S △ABC ×ℎ=13S △PAB ×PC =13×12×2×2×2=43 △ABC 为边长为2√2的正三角形，S △ABC =√34×(2√2)2=2√3∴ℎ=V S △ABC=432√33=2√33∴球心(即正方体中心)O 到截面ABC 的距离为√3−2√33=√33故选A先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题11.答案：A解析：解：命题p ：2≥2，故命题p 为真命题， 命题q ：{1}⊆{0,1，2}，故命题q 为真命题， 所以p ∧q 为真． 故选：A ．先判断出命题p 和q 的真假，再利用复合命题真假的判断方法进行判断即可．本题考查了命题真假的判断，主要考查了复合命题及其真假的判断，解题的关键是掌握复合命题真假判断的法则．12.答案：A解析：解：函数的导数为f′(x)=3x 2+2ax +b ， ∵f(x)=x 3+ax 2+bx +c 有两个极值点1和−2， ∴f′(1)=0且f′(−2)=0，即1，−2是方程f′(x)=3x 2+2ax +b =0的两个根， 则{−2+1=−2a3=−1−2×1=b 3=−2，解得a =32，b =−6.， ∴f(x)=x 3+32x 2−6x +c ，∵f(1)=1，∴f(1)=1+32−6+c =1，即c =92，则f(x)=x 3+32x 2−6x +92，f′(x)=3(x −1)(x +2)，则函数的极小值为f(1)=1，函数的极大值为f(−2)=292．设t =f(x)，则3(f(x))2+2af(x)+b =0等价为3t 2+2×32t −6=0，即3t 2+3t −6=0，则t 2+t −2=0，解得t =1或t =−2．当t =1时，f(x)=1，此时有2个根，当t =−2时，t =−2<f(1)=1，此时有1个根，故方程3(f(x))2+2af(x)+b =0的个数有3个，故选：A根据函数的极值点1和−2求函数的导数，求出a ，b ，c 的值，求出函数的极值，利用换元法转化为一元二次方程之间的关系即可得到结论．本题主要考查函数极值和导数的应用，根据条件求出a ，b ，c 的取值，利用换元法是解决本题的关键． 13.答案：6解析：抛物线的准线方程为y =−，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则|x A |2=|x B |2=3+，所以|AB|=|2x A |.又焦点到准线的距离为p ，由等边三角形的特点得p =|AB|，即p 2=×4×(3+)，所以p =6．14.答案：1解析：解：设z =a +bi ，则1−z 1+z =1−a−bi1+a+bi =i ，∴1−a −bi =−b +(a +1)i ，∴{1−a =−b −b =a +1，解得{a =0b =−1，故z =−i ，|z|=1，故答案为：1．设出z =a +bi ，得到1−a −bi =−b +(a +1)i ，根据系数相等得到关于a ，b 的方程组，解出a ，b 的值，求出z ，从而求出z 的模．本题考查了复数求模问题，考查解方程组问题以及对应思想，是一道基础题．15.答案：∑|12i=1a i −b i |；22解析：解：若第i(i =1,2，…，12)项能力特征相同，则差为0，特征不相同，绝对值为1， 则用x i 表示A ，B 两名学生的不同能力特征项数为=|a 1−b 1|+|b 2−c 2|+⋯+|c 12−a 12|=∑|12i=1a i −b i |，设第三个学生为C =(c 1,c 2,…,c 12)，则d i =|a i −b i |+|b i −c i |+|c i −a i |，1≤i ≤12，∵d i 的奇偶性和(a i −b i )+(b i −c i )+(c i −a i )=0一样，∴d i 是偶数，3名学生两两不同能力特征项数总和为S =d 1+d 2+⋯+d 12为偶数，又S ≥7×3=21.则S ≥22，取A =(0,1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1)，B =(1,0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1)，C =(1,1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，1)，则不同能力特征数总和恰好为22，∴最小值为22，故答案为：∑|12i=1a i −b i |，22根据A ，B 两名学生的每一项的特征数是否相同，进行求解计算即可．本题主要考查函数的应用问题，读懂题意建立条件关系是解决本题的关键．16.答案：(1,√5)解析：解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为： y =b a x ， ∵点(1,2)在“上”区域内，∴b a × 1<2，即b a < 2， ∴e =c a = √1+ (b a ) 2 <√1+22=√5，又e >1，则双曲线离心率e 的取值范围是(1,√5)．故答案为：(1,√5)．由于双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为：y=bax，及点(1,2)在“上”区域内，得出ba< 2，从而得出双曲线离心率e的取值范围．本小题主要考查双曲线的简单性质、不等式(组)与平面区域、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．17.答案：解：(1)证明：由题可得(a n+1+a n)(a n+1−3a n−1)=0，∵a n>0，∴a n+1−3a n−1=0，∴a n+1+12=3(a n+12)，又a1+12=32≠0，∴数列{a n+12}是首项为32，公比为3的等比数列．∴a n+12=32⋅3n−1=12⋅3n，∴a n=3n−12.∴a2=4，a3=13，由题意得b1+2d+1=4，b1+12d=13，解得b1=d=1，∴b n=1+n−1=n；(2)由(1)得a n=3n−12，b n=n，∴∁n=3n−12⋅n=12(n⋅3n−n)，∴前n项和T n=12(1⋅3+2⋅32+⋯+n⋅3n)−12(1+2+⋯+n)，设S n=1⋅3+2⋅32+⋯+n⋅3n，3S n=1⋅32+2⋅33+⋯+n⋅3n+1，两式相减可得−2S n=3+32+⋯+3n−n⋅3n+1=3(1−3n)1−3−n⋅3n+1，化简可得S n=2n−14⋅3n+1+34，则T n=12S n−n(n+1)4=2n−18⋅3n+1+38−n(n+1)4．解析：(1)由题意可得a n+1−3a n−1=0，即有a n+1+12=3(a n+12)，运用等(差)比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项公式；(2)求得∁n=3n−12⋅n=12(n⋅3n−n)，运用数列的分组求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和、错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.答案：(1)。
2021年陕西省西安市八校高考数学联考试卷(一)(含解析)
2021年陕西省西安市八校高考数学联考试卷(一)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知I 为实数集，P ={x|x 2−2x <0}，Q ={y|y =2x +1,x ∈R}，则P ∩(∁I Q)=( )A. {x|0<x <1}B. {x|0<x ≤1}C. {x|x <1}D. ⌀2. 已知，函数f(x)=x 2−ax +b 在(−∞,1)是单调递减，函数g(x)=log a 1−x1+x ，当x 1，x 2∈(−1,1)且x 1+x 2>0时，g(x 1)+g(x 2)的值为( )A. 正数B. 负数C. 零D. 前面的结果都有可能3. 函数y =3−2sin 22x 的最小正周期为( )A. π2B. πC. 2πD. 4π4. 观察下列等式：√13=1，√13+23=3，√13+23+33=6，√13+23+33+43=10，…… 计算：√13+23+33+43+⋯+93的值为( )A. 37B. 45C. 55D. 665. 已知双曲线C ：x 227−y 29=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为P ，Q ，若△POQ 为直角三角形，则|PQ|=( )A. 2B. 3C. 6D. 96. 已知点A ，B 分别在直线x =1，x =3上，O 为坐标原点，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.当|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取到最小值时，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 67. 若直线y =x +b 与曲线y =√4−x 2有两个交点，则实数b 的取值范围是( )A. (2,2√2)B. [2,2√2)C. (−2,2√2)D. (−2√2,2√2)8. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中c =3，a =3√2，cosB =√24，则sinA =( ) A. 724B. 3√78 C. √24 D. √1449. 函数f(x)=√1−cos2x +cosx ，则f(x)的最大值是( )A. √3B. √2C. 1D. 210. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的十二条棱中，与面对角线AC 垂直且异面的棱的条数是( )A. 2B. 4C. 6D. 811.下列命题中正确的是()A. 若“p∨q”为真命题则“p∧q”为真命题B. .已知a，b，m∈R，命题“若am2<bm2，则a<b”的否命题．C. .l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l//α．D. .命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”12.若函数的图象在上恰有一个极大值和一个极小值，则的取值范围是()A. B. C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知圆C：，圆心在抛物线上，经过点，且与抛物线的准线相切，则圆的方程为．14.已知复数z满足等式|z−1−i|=1，则|z−3|的最大值为______．15.设函数f(x)={x 2−2x+2,x≥0log2(x+2)+1,x<0，则f(f(−1))=______ ，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3)，则x1+x2+x3的取值范围是______ ．16.计算：=．设是纯虚数，其中是虚数单位，则．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为全等的正方形(边长为2)，侧视图为等腰直角三角形(直角边的长为2)，则该几何体的表面积是．已知满足，若目标函数的最小值是，则的值为．平面内两定点和，动点满足，动点的轨迹为曲线E ，给出以下命题： ①，使曲线E 过坐标原点； ②对，曲线E 与轴有三个交点；③曲线E 只关于轴对称，但不关于轴对称； ④曲线E 上与不共线的任意一点关于原点对称的另外一点为，则四边形的面积不大于 其中真命题的序号是 .(填上所有真命题的序号)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设等比数列{a n }的每一项都为正数，且a 1+a 2=12，a 3+a 4=18．(Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设{a n }的前n 项和为S n ，若S n >58，求n 的最小值．18. 已知四棱锥P −ABCD 中底面四边形ABCD 是正方形，各侧面都是边长为2的正三角形，M 是棱PC 的中点．建立空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题： (1)求证：PA//平面BMD ；(2)求二面角M −BD −C 的平面角的大小．19.学校组织学生参加模块测试，测试后随机抽查部分学生的成绩，成绩的频率分布直方图如图5，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，低于60分的人数是6人(1)被抽查的学生有多少人？(2)从被抽查低于60分的6人中随机选取2人，求这2人在同一分数组的概率．20. 已知椭圆W 中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e =√32，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为1．(1)求椭圆W 的标准方程；(2)椭圆上一动点P(x 0,y 0)关于直线y =2x 的对称点为P 1(x 1,y 1)，求3x 1−4y 1的取值范围． (3)设椭圆W 的左右顶点分别为A 、B ，点S 是椭圆W 上位于x 轴上方的动点，直线AS 、BS 与直线l ：x =103分别交于M 、N 两点，求线段MN 的长度的最小值．21. 已知函数f(x)=ax 2−e x (a ∈R)，f′(x)是f(x)的导数(e 为自然对数的底数)．(Ⅰ)当a =1时，求曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (Ⅱ)若当x ≥0时，不等式f(x)≤−x −1恒成立，求实数a 的取值范围22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =sinθ+cosθy =sin2θ(θ为参数)，若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=−√2．(Ⅰ)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)求曲线C1上的动点与曲线C2上动点的最小距离．23.设(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集是非空集合，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵Q={y|y=2x+1,x∈R}，∴y=2x+1>1，∴Q={y|y>1}．∵I为实数集，∴∁I Q={y|y≤1}．∵P={x|x2−2x<0}，∴P={x|0<x<2}．∴P∩(∁I Q)={x|0<x≤1}．故答案为：B．本题可以先对集合化简，再利用补集定义求出相应的补集，最后求出P∩(∁I Q)，得到本题结论．本题考查了集合的补集运算、集合的交集运算，本题难度不大，属于基础题．2.答案：B解析：解：根据题意，函数f(x)=x2−ax+b在(−∞,1)是单调递减，则有a2≥1，即a≥2，函数g(x)=log a1−x1+x ，有1−x1+x>0，解可得−1<x<1，即函数g(x)的定义域为(−1,1)，关于原点对称，又由g(−x)=log a1+x1−x =−loga a1−x1+x=−g(x)，即函数g(x)为奇函数，令t=1−x1+x =2x+1−1，则t为减函数，而y=log a t为增函数，故g(x)=log a1−x1+x定义在(−1,1)上的减函数，当x1，x2∈(−1,1)且x1+x2>0时，即x1>−x2，又由g(x)为减函数，则有g(x1)<g(−x2)=−g(x2)，则有g(x1)+g(x2)<0；故选：B．根据题意，由二次函数的性质分析可得a≥2，分析可得函数g(x)为奇函数，且在(−1,1)上是减函数，分析可得：若x1，x2∈(−1,1)且x1+x2>0时，即x1>−x2，结合g(x)的奇偶性与单调性可得g(x1)<g(−x2)=−g(x2)，变形可得g(x1)+g(x2)<0，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数g(x)=log a1−x1+x的奇偶性与单调性．3.答案：A解析：解：由题意可得：f(x)=2+cos4x，所以周期为T=2π4=π2．故选：A．先将函数运用二倍角公式化简为y=Asin(wx+φ)的形式，再利用正弦函数的性质可得答案．本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．一般都要把三角函数化简为y=Asin(wx+φ)的形式再解题．4.答案：B解析：本题考查归纳推理，属于中档题．由√13=1，√13+23=3，√13+23+33=6，√13+23+33+43=10，……我们发现，等式左边都是从1开始，连续n个正整数的立方和的算术平方根，右边都是从1开始，连续n个正整数的和的形式．故我们可以由此推断出一般性结论．解：由已知中等式：√13=1，√13+23=3，√13+23+33=6，√13+23+33+43=10，……归纳可得：等式左边都是从1开始，连续n个正整数的立方和的算术平方根，右边都是从1开始，连续n个正整数的和的形式．故√13+23+33+43+⋯+93=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，故选：B．解析：解：由对称性，不妨设点P 在第一象限，点Q 在第四象限，∠OPQ =90°， 如图所示： ∵双曲线C ：x 227−y 29=1，∴渐近线方程为：y =√33x ，∴∠POF =30°，又∵|OF|=6，∴|PF|=3，|OP|=3√3， 由对称性可知．∠POQ =60°，∴tan60°=|PQ||OP|，∴|PQ|=3√3×√3=9， 故选：D ．由对称性，不妨设点P 在第一象限，点Q 在第四象限，∠OPQ =90°，画出图形，因为渐近线方程为：y =√33x ，所以∠POF =30°，从而求出|PF|=3，|OP|=3√3，|PQ|=3√3×√3=9．本题主要考查了双曲线的定义，是中档题．6.答案：A解析：解：如图所示， 设A(1,s)，B(3,t)． ∵|OA⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4． ∴|(1,s)−(3,t)|=|(−2,s −t)|=√(−2)2+(s −t)2=4， ∴(s −t)2=12．|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|(4,s +t)|=√16+(s +t)2≥4，当且仅当s +t =0时取等号．因此|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取到最小值4时，s +t =0， ∴(−t −t)2=12，得到t 2=3． ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3+st =3−3=0．利用向量的坐标运算法则，及当|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取到最小值时，可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出． 本题考查了向量的坐标运算法则、向量数量积的性质等基础知识，考查了计算能力，属于中档题．7.答案：B解析：解：曲线y =√4−x 2表示以原点为圆心，2为半径的圆，在x 轴上边的部分，如图所示，当直线与半圆相切时，b =2√2，∴直线y =x +b 与曲线y =√4−x 2有两个交点，实数b 的取值范围是[2,2√2). 故选：B ．曲线y =√4−x 2表示以原点为圆心，2为半径的圆，在x 轴上边的部分，结合图形，即可求出实数b 的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，属于中档题．8.答案：D解析：解：∵在△ABC 中，c =3，a =3√2，cosB =√24，∴b 2=a 2+c 2−2accosB =(3√2)2+32−2×3√2×3×√24=18，解得b =3√2． ∵B ∈(0,π)， ∴sinB =√1−cos 2B =√144． 由正弦定理可得：asinA =bsinB ， 可得：sinA =asinB b=3√2×√1443√2=√144．故选：D．利用余弦定理可得b，再利用正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理与余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：A解析：解：f(x)=√2sin2x+cosx=√2|sinx|+cosx=±√3sin(x+φ)≤√3，时取等号．可得f(x)的最大值是√3，当cosx=√33故选：A．f(x)=√2sin2x+cosx=√2|sinx|+cosx=±√3sin(x+φ)≤√3，即可得出最大值．本题考查了三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：A解析：解：如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1的十二条棱中，与面对角线AC垂直且异面的棱有：BB1和DD1，∴与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是2．故选：A．作出图形，列举出与面对角线AC垂直且异面的棱．本题考查满足条件的棱的条数的求法，考查长方体的结构特征等基础知识，考查数形结合思想，是基础题．11.答案：D解析：解：对于A，若“p∨q”为真命题，可得p，q至少有一个为真命题，则“p∧q”不一定为真命题，故A错；对于B，已知a，b，m∈R，命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为“若a<b，则am2<bm2”为假命题，比如m=0，逆命题不成立，由逆命题和否命题等价，可得否命题也为假命题，故B错；对于C，l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l//α或l⊂α，故C错；对于D，命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”，故D对．故选：D．运用复合命题的真值表，即可判断A；由四种命题和等价命题，即可判断B；运用线面平行和垂直的判定和性质，即可判断C；由全称命题的否定为特称命题，即可判断D．本题考查命题的真假判断，主要是复合命题的真值表和四种命题的真假和关系、命题的否定和线面的位置关系的判断，考查判断能力，属于基础题．12.答案：D解析：试题分析：当且时，则有，且函数在区间上恰有一个极大值和一个极小值，则有且有，解得，故选D．考点：三角函数的极值13.答案：．解析：试题分析：抛物线的准线为，所以；又该圆经过点，所以；圆心在抛物线上，所以，联立解方程组得.所以所求圆的方程为．考点：圆与抛物线．14.答案：√5+1解析：解：|z−1−i|=1的几何意义为复平面内动点到定点(1,1)距离为1的点的轨迹，如图：由图可知，|z−3|的最大值为√(3−1)2+(0−1)2+1=√5+1．故答案为：√5+1．由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．15.答案：1 (1,2)解析：解：函数f(x)={x 2−2x +2,x ≥0log 2(x +2)+1,x <0，所以f(−1)=log 21+1=1，则f(f(−1))=f(1)=1−2+2=1；作出函数f(x)的图象如图所示，因为互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)， 不妨设x 1<x 2<x 3，当x ≥0时，f(x)=x 2−2x +2=(x −1)2+1，图象的对称轴为x =1，所以x 2+x 3=2，当x =1时，f(x)=1，令log 2(x +2)+1=1，解得x =−1， 由图象可知−1<x 1<0，所以则x 1+x 2+x 3的取值范围是(1,2)． 故答案为：1；(1,2)．先求出f(−1)，再求解f(f(−1))即可；作出函数f(x)的图象，利用二次函数的对称性得到x 2+x 3=2，由对数的运算以及函数图象可得−1<x 1<0，求解即可．本题考查了分段函数的综合应用，分段函数的求值问题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，分段函数问题的一般解题方法是：数形结合法以及分类讨论法，属于中档题．16.答案：【小题1】 6【小题2】1【小题3】 【小题4】【小题5】①④解析： 11、考查的对数运算性质，需熟记公式．解：，故答案为6．12、考查复数的定义，理解纯虚数的定义，需实部为0，虚部不为0．解：由题得：a²−1=0且a+1≠0解得：a=1．故答案为1．13、考查空间几何体的三视图，关键是通过观察与想象还原得出原几何体．解：通过观察得知，原几何体是一个三棱柱，面ADFC⊥面ABED，，且四边形ADFC，ABED均为全等正方形.△ABC，△DEF均为等腰三角形.如图所示：．故答案为．14、考查的线性规划.先根据不等式组作出可行域，由题意分析z=y−x的最小值为4，应该在哪个点取得，求出k．解：作出不等式组表示的可行域如下图中的三角形ABC及其内部(图中阴影部分)：由z=y−x，得y=x+z，做直线l:y=x，平移直线l，可知当l经过点B(，0)时，y=x+z截距最小，z取得最小值．故有：−4=0−().解得．故答案为．15、由平面内两定点M(0,−2)和N(0,2)，动点P(x,y)满足||⋅||=m(m≥4)，得.对选项进行分析，即可得出结论．解：由平面内两定点M(0,−2)和N(0,2)，动点P(x,y)满足||⋅||=m(m≥4)，得①(0,0)代入，可得m =4，∴①正确；②令y =0，可得x2+4=m ，∴对于任意m ，曲线E 与x 轴有三个交点，②不正确； ③曲线E 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称，故③不正确；④曲线E 上与M 、N 不共线的任意一点G 关于原点对称的点为H ，则四边形GMHN 的面积为2S △MNG =|GM||GN|sin∠MGN ≤m ，∴四边形GMHN 的面积最大为不大于m ，④正确． 故答案为①④．21.答案：解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q >0，由题意，得a 1(1+q)=12，a 1q 2(1+q)=18， 联立解得a 1=13，q =12． ∴a n =13×(12)n−1．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：S n =13(1−12n )1−12=23(1−12n )，由23(1−12n )>58，得2n >16，解得n >4． ∴n 的最小值为5．解析：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q >0，由题意，得a 1(1+q)=12，a 1q 2(1+q)=18，联立解得a 1，q.即可得出a n ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：S n =23(1−12n )，由23(1−12n )>58，即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：证明：(1)连结AC 、BD 交于点O ，连结OP ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ∵PA =PC ，∴OP ⊥AC ， 同理OP ⊥BD ，以O 为原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O −xyz ，P(0,0,√2),A(√2,0,0),B(0,√2,0),M(−√22,0,√22)， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,−√2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,0),OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,√22)， 设平面MBD 的法向量为n⃗ =(x,y,1) {√2y =0,−√22x +√22=0,⇒{y =0,x =1, 所以平面BMD 的法向量为n⃗ =(1,0,1)， ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，又PA ⊄平面BMD ， ∴PA//平面BMD ．解：(2)平面ABCD 的法向量为a ⃗ =(0,0,1)， 二面角M −BD −C 的平面角为α， 则cosα=√2=√22，α=45°，∴二面角M −BD −C 的平面角45°．解析：(1)连结AC 、BD 交于点O ，连结OP ，以O 为原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能证明PA//平面BMD ．(2)求出平面ABCD 的法向量和平面MBD 的法向量，利用向量法能求出二面角M −BD −C 的平面角．本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．23.答案：解：(1)由频率分布直方图知低于60分的频率为：0.005×20+0.01×20=0.3，∴被抽查的学生有6÷0.3=20(人)．(2)由(1)知，[20,40)分数组的学生有20×(0.005×20)=2(人)，[40,60)分数组的学生有4人，记这6人分别为a1、a2，b1、b2、b3、b4(a、b表示不同分类组)，从中随机选取2人，不同的选法有a1a2、a1b1、a1b2、a1b3、a1b4、a2b1、a2b2、a2b3、a2b4、b1b2、b1b3、b1b4、b2b3、b2b4、b3b4，共15种，2人在同一分数组的选法有a1a2、b1b2、b1b3、b1b4、b2b3、b2b4、b3b4，共7种，∵不同选法等可能，∴2人在同一分数组的概率P=715．解析：本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题．(1)由频率分布直方图求出低于60分的频率，由此利用已知条件能求出被抽查的学生人数．(2)由(1)知，[20,40)分数组的学生有2人，[40,60)分数组的学生有4人，由此能求从被抽查低于60分的6人中随机选取2人，求这2人在同一分数组的概率．24.答案：解：(1)椭圆W中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=√32，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为1．∴ca =√32，并且2b2a=1，a2=b2+c2，解得a=2，b=1，c=√3，∴椭圆W的标准方程：x24+y2=1(2)∵点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1,∴{y0−y1x0−x1×2=−1y0+y12=2×x0+x12，解得：x1=4y0−3x05，y1=3y0+4x05．∴3x1−4y1=−5x0．∵点P(x0,y0)在椭圆C：x24+y2=1上，∴−2≤x0≤2，则−10≤−5x0≤10．∴3x1−4y1的取值范围为[−10,10]．(3)直线AS 的斜率k 显然存在，且k >0，故可设直线AS 的方程为y =k(x +2)， 从而M(103,163k)．由{y =k(x +2)x 24+y 2=1得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4=0． 设S(x 1,y 1)，则(−2)⋅x 1=16k 2−41+4k2得x 1=2−8k 21+4k2，从而y 1=4k1+4k 2． 即S(2−8k 21+4k 2,4k 1+4k 2)，又B(2,0)由{y =−14k ( )x −2x =103得{x =103y =−13k ，∴N(103,−13k)， 故|MN|=|16k 3+13k|，又k >0，∴|MN|=163k +13k ≥2√16k 3⋅13k =83.当且仅当16k 3=13k，即k =14时等号成立 ∴k =14时，线段MN 的长度取最小值83．解析：(1)依题意知，e =√32，椭圆的通经为1，由此可求出椭圆C 的方程．(2)点P(x 0,y 0)关于直线y =2x 的对称点为P 1(x 1,y 1，由题设条件能推出3x 1−4y 1=−5x 0.再由点P(x 0,y 0)在椭圆W ：x 24+y 2=1上，能够铁推出3x 1−4y 1的取值范围．(3)设直线AS 的方程为y =k(x +2)，从而M(103,163k).由题设条件可以求出N(103,−13k)，所以|MN|=|163k +13k|，再由均值不等式进行求解．本题考查椭圆的基本性质及其应用，考查椭圆与直线的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．25.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)=x 2−e x ，f′(x)=2x −e x ，则f(0)=0−e 0=−1，f′(0)=0−e 0=−1，所以切线方程为：y +1=−1(x −0)，即x +y +1=0；(Ⅱ)当x ≥0时，f(x)≤−x −1恒成立，即：ax 2−e x +x +1≤0在[0,+∞)上恒成立， 设g(x)=ax 2−e x +x +1，则g′(x)=2ax −e x +1， 令ℎ(x)=2ax −e x +1，x ≥0， 则ℎ′(x)=2a −e x ． ①当a ≤12时，2a ≤1，此时e x ≥e 0=1，则ℎ′(x)≤0，当且仅当a =12，x =0时等号成立，可知g′(x)在[0,+∞)上单调递减，则g′(x)≤g′(0)=0， 所以g(x)在[0,+∞)上单调递减，所以g(x)≤g(0)=0，即f(x)≤−x −1恒成立， 所以a ≤12满足题意; ②当a >12时，令ℎ′(x)=0，解得：x =ln2a ， 当x ∈(0,ln2a)时，ℎ′(x)>0，则g′(x)单调递增， 此时g′(x)>g′(0)=0，则g(x)在(0,ln2a)上单调递增， 所以g(x)>g(0)=0，即当x ∈(0,ln2a)时，f(x)>−x −1， 即f(x)≤−x −1不恒成立，可知a >12不合题意 综上所述，a ∈(−∞,12]．解析：本题考查了导数的几何意义和导数中的恒成立问题，属于难题．(Ⅰ)对f(x)求导，求出切线的斜率k =f′(0)和f(0)，然后用点斜式写出曲线的切线方程； (Ⅱ)构造函数g(x)=ax 2−e x +x +1，然后对a 进行分类讨论即可求解．26.答案：解：(Ⅰ)∵曲线C 1的参数方程为{x =sinθ+cosθy =sin2θ(θ为参数)，∴x 2=(sinθ+cosθ)2=1+sin2θ=1+y ，∴曲线C 1的普通方程为：y =x 2−1，x ∈[−√2,√2].…………(3分) ∵曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=−√2， ∴√22ρ(sinθ+cosθ)=−√2，∴曲线C 2的直角坐标方程x +y +2=0.………(5分) (Ⅱ)直线C 2：x +y =−2，设C 1(x 0,x 02−1)，|x 0|≤√2，则d =020√2=(x +12)2+34√2≥3√28， 当x 0=−12时取等号，满足|x 0|≤√2，所以曲线C1上的动点与曲线C2上动点的最小距离为3√28.…………(10分)解析：(Ⅰ)曲线C1的参数方程消去参数，能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程转化为√22ρ(sinθ+cosθ)=−√2，由此能求出曲线C2的直角坐标方程．(Ⅱ)直线C2：x+y=−2，设C1(x0,x02−1)，|x0|≤√2，则d=(x+12)2+34√2≥3√28，由此能求出曲线C1上的动点与曲线C2上动点的最小距离．本题考查曲线的普通方程和直角坐标方程的求法，考查两曲线上的动点的距离的最小值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．27.答案：(1)(2)解析：试题分析：(1)转化为时；当时；当时，综上可知解集为(2)函数整理为，函数值域，考点：绝对值不等式与分段函数点评：求解绝对值不等式的通常思路是分情况去掉绝对值符号，将其转化为多个一般不等式，求解一般不等式然后求其交集，。
2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷(文科)(一模)
2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（文科）（一模）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3} 2．（5分）i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i3．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．84．（5分）已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．585．（5分）观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（）A．B．C．D．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．247．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若，则f（x）的单调递增区间是（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．09．（5分）直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．110．（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．311．（5分）天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，辛，壬、癸；地支有十二，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌12．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB、AC、AA1两两垂直，AA1＝2，底面△ABC是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上（）A．8B．10πC．12πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知x，y 满足约束条件，则2x﹣y的最大值为．14．（5分）某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为a，众数为c，则a ，b ．15．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，角A、B 、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．18．（12分）某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y（单位：万元）的数据如表：年份2014201520162017201820192020年份代号t12345672.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9人均纯收入y（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣．19．（12分）如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，△P AD为正三角形，E、F分别是AD、CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；（2）若M是棱PB上一点，三棱锥M﹣P AD与三棱锥P﹣DEF的体积相等，求M点的位置．20．（12分）已知椭圆离心率为，点A，B，D，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．21．（12分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1（x）的极大值为M，求证：M≤．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（文科）（一模）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{﹣2，0，1，6，3，∴A∩B＝{0，7，2，3}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则直接求解．【解答】解：i（2+3i）＝2i+3i2＝﹣3+2i．故选：D．【点评】本题考查复数的求法，考查复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．8【分析】求出抛物线的直线方程，利用已知条件求解p即可．【解答】解：由已知得，抛物线y2＝2px的准线方程为，且过点A（﹣2，故，p＝4．故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，准线方程的求法，是基础题．4．（5分）已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．58【分析】设公差不为零的等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由已知可得a1＝1，再由等比数列的性质列式求得d，则a4的值可求．【解答】解：设公差不为零的等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a2，a12依次成等比数列，∴a82＝a5a12，即（a1+7d）7＝（a1+d）（a1+11d），可得19d6＝﹣a1d，∵d≠0，∴a4＝﹣19d，又由已知可得a1＝1，在，因此，，故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，是基础的计算题．5．（5分）观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（）A．B．C．D．【分析】本题考查的归纳推理，要根据九宫格中的图形变化规律，探究变化趋势，并进行猜测，根据猜想的结论，进行判断．因为图中8个图形中，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，所以不难根据些规律选择正确的答案．【解答】解：观察已知的8个图象，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据这些规律观察四个答案，发现B符合要求．故选：B．【点评】本题主要考查了归纳推理，它的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．24【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以，由于锥体的高为5，故．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．【分析】首先根据已知条件求出函数的解析式，再由正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ∈（0，若对于一切x∈R恒成立，则2×+φ＝7kπ+，所以φ＝2kπ+，k∈Z，由于φ∈（0，2π），所以φ＝，即f（x）＝sin（2x+），令5kπ﹣≤2x+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，即f（x）的单调递增区间是．故选：B．【点评】本题主要考查三角函数解析式的确定，正弦函数的单调性，属于中档题．8．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．0【分析】根据题意，由f（x+2）＝f（x）可得f（x）是周期为2的周期函数，则有f（﹣2021）＝f（1），由解析式计算可得答案．【解答】解：根据题意，定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，则有f（﹣2021）＝f（4﹣2×1011）＝f（1），又由当0≤x≤2时，f（x）＝lg（x2+2），则f（1）＝lg4，则f（﹣2021）＝f（1）＝lg3，故选：C．【点评】本题考查函数的求值，涉及函数的周期性，属于基础题．9．（5分）直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．1【分析】由P为切点，可得k＝1，b＝2，求得f（x）的导数，可得a＝1，可得所求和．【解答】解：直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，7），可得k+1＝2，即k＝2，f（x）的导数为f′（x）＝，即有a＝1，则2a+b＝3+2＝4．故选：A．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，以及方程思想和运算能力，属于基础题．10．（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【分析】解法一：不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|＝ex+a，|PF2|＝ex﹣a，结合条件可得a＝b，从而c＝＝b，即可求出双曲线的离心率．解法二：根据已知条件和定义，就可以求得|PF1|，|PF2|，然后代入|PF1|•|PF2|＝ab，即可得出．【解答】解法一：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|＝ex+a，|PF2|＝ex﹣a，∵|PF8|+|PF2|＝3b，|PF7|•|PF2|＝ab，∴2ex＝3b，（ex）2﹣a2＝ab∴b8﹣a2＝ab2﹣4a5﹣9ab＝0，∴（3b﹣4a）（3b+a）＝8∴a＝b，∴c＝＝b，∴e＝＝．解法二：不妨设不妨设右支上P点，则|PF6|﹣|PF2|＝2a，又|PF3|+|PF2|＝3b，联立解得：|PF5|＝，|PF2|＝，然后代入|PF1|•|PF5|＝ab ×＝ab，∴9b3﹣4a2﹣7ab＝0，∴（3b﹣3a）（3b+a）＝0∴a ＝b，∴c ＝＝b，∴e ＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质、双曲线的第一第一与第二定义的灵活运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，辛，壬、癸；地支有十二，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌【分析】利用已知条件，确定天干和地支的匹配顺序，利用列举法，即可得到答案．【解答】解：根据题意，列表如下：2049年是己巳年，往后数9年．故选：C．【点评】本题考查了推理的应用，解题的关键是得到天干和地支的匹配顺序，考查了逻辑推理能力，属于基础题．12．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB、AC、AA1两两垂直，AA1＝2，底面△ABC是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上（）A．8B．10πC．12πD．π【分析】画出三棱柱，然后求解几何体的外接球的半径，即可得到外接球的表面积．【解答】解：如图：底面△ABC是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，所以三棱柱ABC﹣A4B1C1可以补充成边长为7的正方体，其外接球半径为：，所以球O的表面积为，故选：C．【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，求解外接球的半径是解题的关键，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知x，y满足约束条件，则2x﹣y的最大值为4．【分析】由约束条件作出可行域，令z＝2x﹣y，则y＝2x﹣z，作直线y＝2x，平移可得，当直线经过点（2，0）时z最大，则答案可求．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影分所示．令z＝2x﹣y，则y＝2x﹣z，向下平移，可知当直线经过点（4，0）时z最大，∴z max＝2×6﹣0＝4．故答案为：6．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14．（5分）某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为a，众数为c，则a，b c＞b＞a．【分析】根据平均数，中位数，众数的定义即可求解．【解答】解：平均数＝14.7，中位数b＝15，众数c＝17，故答案为：c＞b＞a．【点评】本题考查了平均数，中位数，众数的概念，考查了学生对概念的理解，属于基础题．15．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值9．【分析】由约束条件作出可行域，令t＝x+2y，求其最大值，进一步可得z＝3x+2y的最大值．【解答】解：由约束条件直线可行域如图，令t＝x+2y，由图可知，t有最大值为t＝2，此时z＝4x+2y的最大值为9．故答案为：8．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝84．【分析】利用2（S n+2+S n）＝4S n+1+1，推出，说明{a n}为等差数列，求出首项与公差，然后求解数列的和即可．【解答】解：2（S n+2+S n）＝5S n+1+1，化为，即，∵，∴{a n}为等差数列，公差，∴．故答案为：84．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，是基础题．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得a2+c2﹣b2＝ac，利用余弦定理可求cos B＝，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求当角B最大时b，B，C的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）因为，所以＝＝，整理可得a2+c3﹣b2＝ac，可得cos B＝＝＝，因为B∈（6，π），可得B＝．（2）在△ABC中，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c＝4b，所以cos B＝≥，当且仅当b＝，此时B＝，所以△ABC的面积S＝ab＝＝．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（12分）某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y（单位：万元）的数据如表：年份2014201520162017201820192020年份代号t12345672.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9人均纯收入y（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣．【分析】（1）求出样本中心坐标，回归直线方程的系数，得到回归直线方程．（2）将2021年的年份代号t＝8代入（1）中的回归方程求解预报值，即可．【解答】解：（1）由所给数据计算得＝，＝．，．．，所求回归方程为．（2）由（1）知，b＝0.8＞0，平均每年增加0.2万元．将2021年的年份代号t＝8代入（1）中的回归方程得．故预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为8.3万元．【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．（12分）如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，△P AD为正三角形，E、F分别是AD、CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；（2）若M是棱PB上一点，三棱锥M﹣P AD与三棱锥P﹣DEF的体积相等，求M点的位置．【分析】（1）连接AC，证明PE⊥AD．推出PE⊥平面ABCD，然后证明BD⊥PE．证明EF∥AC．结合BD⊥AC，推出BD⊥EF，BD⊥PE，即可证明BD⊥平面PEF；推出BD ⊥PF．（2）连接MA、MD，设，利用，转化求解λ，即可得到结果．【解答】（1）证明：连接AC，∵P A＝PD且E是AD的中点．又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD．∴PE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD．又ABCD为菱形，且E、CD的中点．∵BD⊥AC，∴BD⊥EF，PE∩EF＝E，EF⊂平面PEF，∴BD⊥平面PEF；∴PF⊂平面PEF，∴BD⊥PF．（2）解：如图，连接MA，设，则，∴，又．∴．解得，即M点在PB上靠近P点的四等分点处．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间选项能力，转化思想，考查学生的分析问题解决问题的核心素养，是中档题．20．（12分）已知椭圆离心率为，点A，B，D，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．【分析】（1）由离心率，四边形ADBE的面积，列方程组，解得a，b，进而可得椭圆的方程．（2）由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），F（2，0），设T（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由k TA＝k P A，k TB＝k QB，得＝，＝，两式相除得＝•，又＝﹣，代入化简，得＝﹣•，设直线PQ的方程为x＝my+2，联立椭圆的方程，由韦达定理得y1y2，y1+y2，化简即可得出结论．【解答】解：（1）设椭圆C的半焦距为c，根据题意，，解得，所以椭圆的方程为+＝1．（2）证明：由（1）知A（﹣3，4），0），0），设T（x7，y0），P（x1，y3），Q（x2，y2），由k TA＝k P A，得＝，k TB＝k QB，得＝，两式相除得＝•，又+＝1，故﹣1＝﹣，，故＝﹣，于是＝•＝﹣•，由于直线PQ经过点F，故设直线PQ的方程为x＝my+2，联立椭圆的方程可得（5m7+9）y2+20my﹣25＝2，所以，所以＝﹣••＝﹣••＝，解得x0＝，所以点T横坐标为定值．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1（x）的极大值为M，求证：M≤．【分析】（1）由a＝b＝c，可得f（x）＝（x﹣a）3，根据f（4）＝8，可得（4﹣a）3＝8，解得a．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．根据f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有a＝3，b＝﹣3，可得＝＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．利用导数研究其单调性可得x＝1时，函数f（x）取得极小值．（3）a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b．Δ＞0．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，令x1＝t∈，可得：b＝．M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝t（t﹣b）（t﹣1）＝，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（7﹣a）3＝8，∴2﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c8．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a．f′（x）＝（x﹣b）7+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣6a）．令f′（x）＝0，解得x＝b．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，5}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝∉A．a＝1，b＝﹣3，则＝∉A．a＝﹣3，b＝3，则＝，舍去．．a＝3，b＝6，则＝＝，舍去．a＝1，b＝3，则＝，舍去．a＝3，b＝﹣2，则＝，因此a＝5，b＝﹣3，，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）6．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣3）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值2＝﹣32．（3）证明：a＝2，0＜b≤1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣4）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝7x2﹣（2b+6）x+b．Δ＝4（b+1）6﹣12b＝4b2﹣8b+4＝4+7≥3．令f′（x）＝3x7﹣（2b+2）x+b＝8．解得：x1＝∈，x6＝．x1＜x3，x1+x2＝，x7x2＝，可得x＝x3时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+4）x1+b＝0，令x4＝t∈，可得：b＝．∴M＝f（x7）＝x1（x1﹣b）（x7﹣1）＝t（t﹣b）（t﹣1）＝，M′＝．令g（t）＝﹣6t3+12t2﹣2t+2，g′（t）＝﹣18t2+24t﹣2＝﹣2（3t﹣5）2＜0，∴函数g（t）在t∈上单调递减，＝．∴t•g（t）＞0．∴M′＞0．∴函数M（t）在t∈上单调递增，∴M（t）≤＝．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，【分析】（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2代入ρ2+12ρcosθ+11＝0，求出圆的标准方程，即可求解圆的圆心坐标．（2）直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11＝0．利用韦达定理以及弦长公式，转化求解即可．【解答】解：（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ3代入ρ2+12ρcosθ+11＝0，得x4+y2+12x+11＝0，即（x+6）2+y2＝25，所以圆C的圆心坐标为（﹣3，0）；（2）在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ8，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11＝0．于是ρ5+ρ2＝﹣12cosα，ρ1ρ2＝11，，由，得，，tanα＝＝，所以l的斜率为或．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程与普通方程的互化，参数方程与普通方程的互化，考查计算能力．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）代入a的值，求出g（x）的解析式，得到关于x的不等式，解出即可；（2）问题转化为f（x）mix≥g（x）max即可，求出f（x）的最小值是1，求出g（x）的最大值是a﹣，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）当时，，不等式g（x3）＜﹣，即，即，解得x2＞4或x2＜﹣3（舍去），由x2＞6，解得x＜﹣2或x＞2，所以不等式的解集是（﹣∞，+∞）．（2）由题意知，只需满足f（x）mix≥g（x）max即可，因为f（x）＝x2+1，所以f（x）min＝1，依题意，当时，g（x）＝，得f（x）min≥g（x）max，得，即，所以，即a的取值范围是[，]．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查求函数最值问题，考查转化思想，是中档题．。
陕西省西安地区八校联考联盟2021届高三毕业班下学期第二次高考模拟联考数学(文)试题及答案
15.已知椭圆 长轴的一个顶点到直线 的距离不小于2,则椭圆的离心率的取值范围为__________.
16.已知 , , .则 的取值范围为__________.
三、解答题（共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.）
小于m
不小于m
合计
朗读记忆（人数）
默读记忆（人数）
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
20.在直角坐标系 中,已知圆 ,A、B是抛物线 上两点, 的重心恰好为抛物线S的焦点F,且 的面积为 .
（1）求p的值；
（2）求 与抛物线S 公切线的方程.
21.已知函数 （e为自然对数的底数, ）.
2021届高三毕业班下学期第二次高考模拟联考测试
数学(文)试题参考答案
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上.
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
（1）分别计算“朗读记忆”和估算“默读记忆”（估算时,用各组的中点值代替该组的平均值）记忆这篇文的平均时间（单位：min）；
《精编》陕西省西安市八校高三数学联考(四)试题 文 新人教A版.doc
2021届高三年级数学(理科)试题第一卷 〔选择题共50分〕一、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1. 复数z 满足3)3i z i ⋅=，那么z 等于〔 〕A.34+ B. 32 C. 34- D. 32 2. 以下函数中，周期为1且是奇函数的是〔 〕A. sin cos y x x ππ=B. 21sin y x π=-C. sin(2)3y x ππ=+D. tan2y x π=3. 设,a b 是非零向量，假设函数()()()f x xa b a xb =+⋅-的图像是一条直线，那么必有〔 〕 A. ||||a b ≠ B. a b ⊥ C. a b ∥ D. ||||a b =4. 在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，546523,23a S a S =+=+，那么此数列的公比q 为〔 〕 A. 5 B. 2 Ｃ. 3 D. 45. 227x y A ==，且112x y+=，那么A 的值是〔 〕A. 98B. 7C. ±6. 函数3()f x x x =+，那么0a b +>是()()0f a f b +>的〔 〕 A. 既非充分也非必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 充分必要条件7. a 、b 均为正数，且满足2a b +=，那么22S a b =++ 〕 A.92 B. 72C. 4D. 58. 假设一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如以下列图，其顶点都在一个球面上，那么该球的外表积为〔 〕A.43π B.163π C.193πD. 1912π 9. “正整数对〞按如下规律排成一列：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2), (4,1),,⋅⋅⋅⋅⋅⋅那么第60个数对是〔 〕A. (10,1)B. (7,5)C.(5,7)D. (2,10)10. 对于(1,3)x ∈. 不等式32236(6)x x x a +≥+恒成立，那么实数a 的取值范围〔 〕A.31 [,)6-+∞ B.22[,)3-+∞ C.31(,]6-∞- D.22(,]3-∞-第二卷〔非选择题共100分〕二、填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕〔一〕必做题〔11~14题〕11.函数32,2(1),2xxx x⎧≥⎪⎨⎪-<⎩假设关于x的方程()f x k=有两个不同的实根，那么数k的取值范围是12.某程序的流程图如以下列图，假设使输出的结果不大于37，那么输入的整数i的最大值为13.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的假设干图案，那么按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖块.14.如果点P在平面区域22020210x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩上，点Q在曲线22(2)1x y++=上，那么||PQ的最小值为 .〔二〕选择题〔考生在A、B、C三小题中选做一题，多做按所做第一题评分〕15. A.〔不等式选讲选做题〕如果存在实数x使不等式|1||2|x x k+--<成立，那么实数k的取值范围B.〔几何证明选讲选做题〕如图，O 是ABC ∆的外接圆，过C 点的切线交AB 的延长线于点D ，27CD =，3AB BC ==，那么AC 的长为 .C.〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系中，曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=-〔0ρ>，02θπ≤<〕的交点的极坐标为三、解答题〔本大题共6小题，共75分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕 16. 〔本小题总分值12分〕在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，不等式2cos 4sin 60x C x C ++≥对一切实数x 恒成立. 〔Ⅰ〕求角C 的最大值；〔Ⅱ〕假设角C 取得最大值，且2a b =，求角B 的大小 17.〔本小题总分值12分〕某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，第五组[17,18].右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.〔Ⅰ〕假设成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数； 〔Ⅱ〕设,m n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且,[13,14)[17,18]m n ∈，求事件“||1m n ->〞的概率.18.〔本小题总分值12分〕多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，D E AB ∥，2AC AD CD DE ====，F 为CD 的中点. 〔Ⅰ〕求证：AF ⊥平面CDE ；〔Ⅱ〕求点A 到平面BCD 的距离的取值范围.19.〔本小题总分值12分〕数列{}n a 有1a a =，2a p =〔常数0p >〕，对任意的正整数n ，12n n S a a a =+++，且n S 满足1().2n n n a a S -=. 〔Ⅰ〕求a 的值； 〔Ⅱ〕试确定数列{}n a 是否是等差数列？假设是，求出其通项公式；假设不是，说明理由.20.〔本小题总分值13分〕椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>经过点A ，且离心率e =〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕问是否存在过点(1,0)B -的直线l ，使l 与椭圆C 交于,M N 两点，且以线段MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？假设存在，求出直线l 的方程；假设不存在，说明理由.21. 〔本小题总分值14分〕 函数2()(1)2ln(1).f x x x =+-+ 〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕假设当1[1,1]x e e∈--时，不等式()f x m <恒成立，求实数m 的取值范围；〔Ⅲ〕假设关于x 的方程2()f x x x a =++在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.参考答案二、填空题11. 〔0,1〕 12.5 13. 100 14. 3215. A.(3,)-+∞3)4π三、解答题〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕 16. 〔Ⅰ〕由条件知，当cos 0C =时，不符合题意； 当cos 0C ≠时，有22cos 0cos 016sin 24cos 02cos 3cos 20C C C C C >>⎧⎧⇒⎨⎨∆=-≤+-≥⎩⎩1cos 2C ≥，角C 的最大值为3π---------------------------------------------------------------6分〔Ⅱ〕2222222cos 3,c a b ab C a b ab b c =+-=+-=∵222222cos2a c b B ac +-=== 又203B π<<∴6B π=-----------------------------------------------------------------------------------------------12分 另：由〔Ⅰ〕得3C π=，所以23A B π+=由2a b =得sin 2sin A B =，所以2sin()2sin ,3B B π-=1sin 2sin 2B B B +=，得tan B =∵2(0,)3B π∈，6B π=17. 解〔Ⅰ〕由直方图知，成绩在[14,16)内的人数为：500.16500.3827⨯+⨯=所以该班成绩良好的人数为27人--------------------------------------------------------------------------------5分 〔Ⅱ〕解：由直方图知，成绩在[13,14)的人数为500.063⨯=人，设为x 、y 、z 成绩在[17,18)的人数为500.084⨯=人，设为A 、B 、C 、D. 假设,[13,14)m n ∈时，有,,xy xz yz 3种情况；假设,[17,18)m n ∈时，有,,,,,AB AC AD BC BD CD 6种情况 假设,[13,14)m n ∈和[17,18)内时，共有12种情况。
2021届陕西省西安中学高考文科数学试卷附答案解析
2021年陕西省西安中学高考数学八模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知向量＝（2，3），＝（3，2），则|﹣|＝（）A．B．2C．5D．502．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|＜0}，则M∪N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 3．定义：若复数z与z′满足zz′＝1，则称复数z与z′互为倒数．已知复数z＝i，则复数z的倒数z′＝（）A．i B．C．D．4．魔方又叫鲁比克方块（Rubk'sCube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克•艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得．现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（）A．B．C．D．5．将函数f（x）＝cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数g （x）＝的图象，则函数f（x）在的值域为（）A．B．C．D．[﹣1，1]6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．57．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝log a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．8．图①是程阳永济桥又名“风雨桥”，因为行人过往能够躲避风雨而得名．已知程阳永济桥上的塔从上往下看，其边界构成的曲线可以看作正六边形结构，如图②所示，且各层的六边形的边长均为整数，从内往外依次成等差数列，若这四层六边形的周长之和为156，且图②中阴影部分的面积为，则最外层六边形的周长为（）A．30B．42C．48D．549．小明处理一组数据，漏掉了一个数10，计算得平均数为10，方差为2．加上这个数后的这组数据（）A．平均数等于10，方差等于2B．平均数等于10，方差小于2C．平均数大于10，方差小于2D．平均数小于10，方差大于210．设x，y满足，则（x+1）2+y2的取值范围是（）A．[0，10]B．[1，10]C．[1，17]D．[0，17]11．已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作E的一条渐近线的垂线，垂足为T，交E的左支于点P．若T恰好为线段PF2的中点，则E 的离心率为（）A．B．C．2D．12．已知函数f（x）＝2x3﹣3x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则t 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（0，1）二、单空题13．函数y＝f（x）的反函数为y＝log2x，则f（﹣1）＝．14．已知tan（α+β）＝3，tan（α+）＝2，那么tanβ＝．15．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为；该圆锥的体积为．16．对于函数f（x）＝e x（e是自然对数的底数），a，b∈R，有同学经过一些思考后提出如下命题：①f（a）•f（b）＝f（a+b）；②af（a）+bf（b）≥af（b）+bf（a）；③；④．则上述命题中，正确的有．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列．（1）求m，n的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y与年龄x进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程．已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少．（同一组数据用该区间的中点值代替）2×2列联表男女合计消费金额≥300消费金额＜300合计临界值表：P（K2≥k0）0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828，其中n＝a+b+c+d18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tan A）．（1）求角C；（2）若，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A；条件②：．19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，若点F恰为△EAB的重心，求直线l的方程．20．如图，边长为2的等边△ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直，且BC∥B1C1，BC＝2B1C1，A1C＝AC1．（1）求证：A1B1∥平面ABC；（2）求多面体ABC﹣A1B1C1的体积V．21．已知函数，g（x）是f（x）的导函数．（1）若g（x）在（0，+∞）上单调递增，求m的取值范围；（2）设F（x）＝g（x）﹣f（x），证明：当时，F（x）有且仅有两个零点．22．如图是美丽的三叶草图案，在以O为极点，Ox轴为极轴的极坐标系中，它由弧，弧，弧组成．已知它们分别是方程为，，ρ＝﹣4sinθ的圆上的一部分．（1）分别写出点H，M，N的极坐标；（2）设点P是由点H，M，N所确定的圆C上的动点，直线，求点P到L的距离的最大值．23．已知函数的最大值为4（其中m＞0）．（1）求m的值；（2）若a2+b2+c2＝m，求的最小值．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量＝（2，3），＝（3，2），则|﹣|＝（）A．B．2C．5D．50解：∵＝（2，3），＝（3，2），∴＝（2，3）﹣（3，2）＝（﹣1，1），∴||＝．故选：A．2．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|＜0}，则M∪N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，∴M∪N＝{x|﹣4＜x＜3}，故选：A．3．定义：若复数z与z′满足zz′＝1，则称复数z与z′互为倒数．已知复数z＝i，则复数z的倒数z′＝（）A．i B．C．D．解：由题设可得：z′＝＝＝＝﹣i，故选：A．4．魔方又叫鲁比克方块（Rubk'sCube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克•艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得．现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（）A．B．C．D．解：沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有27个，其中有3个面涂色的小正方体共有8个，只有2个面涂色的小正方体共有12个，只有1个面涂色的小正方体共有6个，所以恰好抽到只有2个面有色的小正方体的概率为．故选：C．5．将函数f（x）＝cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数g （x）＝的图象，则函数f（x）在的值域为（）A．B．C．D．[﹣1，1]解：将函数f（x）＝cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）＝cos（2x﹣+φ）＝的图象，∴﹣+φ＝，∴φ＝，f（x）＝cos（2x+）．当x∈，2x+∈（，），故f（x）∈[﹣1，），故选：C．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．5解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC＝AB，E为BC中点，EA＝2，EC＝EB＝1，OA＝1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，由直线与平面垂直的判定定理得：BC⊥面AEO，AC＝，OE＝∴S△ABC＝2×2＝2，S△OAC＝S△OAB＝×1＝．S△BCO＝2×＝．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．7．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝log a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．解：由函数y＝，y＝log a（x+），当a＞1时，可得y＝是递减函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝log a（x+），是递增函数，图象恒过（，0）；当1＞a＞0时，可得y＝是递增函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝log a（x+），是递减函数，图象恒过（，0）；∴满足要求的图象为：D故选：D．8．图①是程阳永济桥又名“风雨桥”，因为行人过往能够躲避风雨而得名．已知程阳永济桥上的塔从上往下看，其边界构成的曲线可以看作正六边形结构，如图②所示，且各层的六边形的边长均为整数，从内往外依次成等差数列，若这四层六边形的周长之和为156，且图②中阴影部分的面积为，则最外层六边形的周长为（）A．30B．42C．48D．54解：设该图形中各层的六边形边长从内向外依次为a1，a2，a3，a4成等差数列，由题意得6（a1+a2+a3+a4）＝156，即a1+a2+a3+a4＝26，所以2a1+3d＝13，因为阴影部分的面积S＝6×＝，所以＝11，联立得或（不合题意舍），故a4＝a1+3d＝8，所以最外层六边形的周长为48．故选：C．9．小明处理一组数据，漏掉了一个数10，计算得平均数为10，方差为2．加上这个数后的这组数据（）A．平均数等于10，方差等于2B．平均数等于10，方差小于2C．平均数大于10，方差小于2D．平均数小于10，方差大于2解：设这组数据为x1，x2，…，x n，它的平均数为10，方差为2，所以x1+x2+…+x n＝10n，++…+＝2n，添上数据10后，这组数据的平均数为×（x1+x2+…+x n+10）＝×（10n+10）＝10，方差为[++…++（10﹣10）2]＝2•＜2．所以加上这个数后的这组数据平均数等于10，方差小于2．故选：B．10．设x，y满足，则（x+1）2+y2的取值范围是（）A．[0，10]B．[1，10]C．[1，17]D．[0，17]解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，﹣1），（x+1）2+y2的几何意义为可行域内动点与定点P（﹣1，0）距离的平方，由图可知，可行域内动点与定点P（﹣1，0）距离的最小值且为1，最大值为|PA|＝，∴（x+1）2+y2的取值范围是[1，17]．故选：C．11．已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作E的一条渐近线的垂线，垂足为T，交E的左支于点P．若T恰好为线段PF2的中点，则E 的离心率为（）A．B．C．2D．解：设F2（c，0），E的一条渐近线的方程为y＝x，①过F2与E的一条渐近线垂直的直线PF2的方程为y＝﹣（x﹣c），②联立①②可得垂足T（，），由T恰好为线段PF2的中点，可得P（﹣c，），将P的坐标代入双曲线的方程可得，（）2﹣＝1，由e＝，可得（﹣e）2﹣＝1，解得e＝，故选：D．12．已知函数f（x）＝2x3﹣3x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（0，1）解：设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x，2x3﹣3x），则＝6x2﹣3，化简得，4x3﹣6x2+3+t＝0，令g（x）＝4x3﹣6x2+3+t，则令g′（x）＝12x（x﹣1）＝0，则x＝0，x＝1．g（0）＝3+t，g（1）＝t+1，又∵过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则（t+3）（t+1）＜0，解得，﹣3＜t＜﹣1．故选：B．二、单空题13．函数y＝f（x）的反函数为y＝log2x，则f（﹣1）＝．解：由题意，令log2x＝﹣1，∴x＝，∴f（﹣1）＝．故答案为：．14．已知tan（α+β）＝3，tan（α+）＝2，那么tanβ＝．解：∵tan（α+）＝2，∴＝2，解得tanα＝；又tan（α+β）＝3，tan（α+）＝2，∴tanβ＝tan[（α+β）﹣α]＝＝＝．故答案为：．15．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为2；该圆锥的体积为．解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由πl＝2πr，解得l＝2r，又S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π，所以r2＝1，解得r＝1；所以圆锥的母线长为l＝2r＝2，圆锥的高为h＝＝＝，所以圆锥的体积为V＝πr2h＝π×12×＝π．故答案为：2，．16．对于函数f（x）＝e x（e是自然对数的底数），a，b∈R，有同学经过一些思考后提出如下命题：①f（a）•f（b）＝f（a+b）；②af（a）+bf（b）≥af（b）+bf（a）；③；④．则上述命题中，正确的有①②④．解：对于①，f（a）•f（b）＝e a•e b＝e a+b＝f（a+b），故①正确；对于②，af（a）+bf（b）﹣af（b）﹣bf（a）＝a•e a+b•e b﹣a•e b﹣b•e a＝（a﹣b）（e a﹣e b）≥af（b）+bf（a）；设a≥b，则（a﹣b）（e a﹣e b）≥0，故af（a）+bf（b）≥af（b）+bf（a）成立，当a＜b时，（a﹣b）（e a﹣e b）≥0，故af（a）+bf（b）≥af（b）+bf（a）成立，故②正确；对于③，不妨设：，则，令g′（a）＝0，解得，因此g（a）在（﹣上单调递减，在（ln，+∞）上单调递增，故＝，故③错误；对于④，由于，而，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列．（1）求m，n的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y与年龄x进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程．已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少．（同一组数据用该区间的中点值代替）2×2列联表男女合计消费金额≥300消费金额＜300合计临界值表：P（K2≥k0）0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828，其中n＝a+b+c+d解：（1）由频率分布直方图可知，m+n＝0.01﹣0.0015×2﹣0.001＝0.006，由中间三组的人数成等差数列可知m+0.0015＝2n，可解得m＝0.0035，n＝0.0025．（2）周平均消费不低于300元的频率为（0.0035+0.0015+0.001）×100＝0.6，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为100×0.6＝60人．所以2×2列联表为男性女性总计消费金额≥300204060消费金额＜300251540总计4555100 K2＝≈8.249＞6.635所以有99%的把握认为消费金额与性别有关．（3）调查对象的周平均消费为0.15×150+0.25×250+0.35×350+0.15×450+0.10×550＝330，由题意330＝﹣5×38+b，∴b＝520，y＝﹣5×25+520＝395．18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tan A）．（1）求角C；（2）若，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A；条件②：．解：（1）2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tan A）．∴2b2＝2bc cos A•（1﹣tan A）．∴b＝c（cos A ﹣sin A），由正弦定理可得：sin B＝sin C（cos A﹣sin A），∴sin（A+C）＝sin C cos A﹣sin C sin A，∴sin A cos C＝﹣sin C sin A≠0，∴tan C＝﹣1，解得C＝．（2）选择条件②，cos B＝，∴sin B＝．∵sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C＝，由正弦定理可得：a＝＝2．在△ABD中，由余弦定理可得：AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD cos B，解得AD＝．19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，若点F恰为△EAB的重心，求直线l的方程．解：（1）依据题意得，解得a＝，b＝2，c＝，所以椭圆C的方程为+＝1．（2）延长EF交直线l于点D，因为点F为△EAB的重心，所以点D为线段AB的中点，由点E（0，﹣2），F（，0），得D（，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由，得•（x1﹣x2）+•（y1﹣y2）＝0，所以+＝0，所以k AB＝＝﹣，所以直线l的方程为y﹣1＝﹣（x﹣），即x+y﹣4＝0．20．如图，边长为2的等边△ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直，且BC∥B1C1，BC＝2B1C1，A1C＝AC1．（1）求证：A1B1∥平面ABC；（2）求多面体ABC﹣A1B1C1的体积V．【解答】（1）证明：∵四边形A1ACC1是菱形，∴AC∥A1C1．又∵AC⊂平面ABC，A1C1⊄平面ABC，∴A1C1∥平面ABC．同理得，B1C1∥平面ABC．∵A1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，且A1C1∩B1C1＝C1，∴平面ABC∥平面A1B1C1．又∵A1B1⊂平面A1B1C1，∴A1B1∥平面ABC．（2）解：∵AC∥A1C1，B1C1∥BC，∴∠A1C1B1＝∠ACB＝60°．∵A1C1＝AC＝2，2B1C1＝BC＝2，∴＝×＝．在菱形A1ACC1中，∵A1C＝AC1，∴∠ACC1＝60°，＝＝．∵平面ABC⊥平面ACC1，取AC的中点为M，连接BM，C1M，∴BM⊥平面ACC1，C1M⊥平面ABC．由（1）知，平面ABC∥平面A1B1C1，∴点B到平面A1B1C1的距离为．又∵点B到平面A1ACC1的距离为，连接BC1，则．21．已知函数，g（x）是f（x）的导函数．（1）若g（x）在（0，+∞）上单调递增，求m的取值范围；（2）设F（x）＝g（x）﹣f（x），证明：当时，F（x）有且仅有两个零点．【解答】（1）解：因为，x＞0，所以g（x）＝f′（x）＝e x﹣x﹣（m+1）﹣，因为g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g′（x）＝e x﹣1+＝≥0在（0，+∞）上恒成立，即m≥x2﹣x2e x，令h（x）＝x2﹣x2e x，则h′（x）＝2x﹣2xe x﹣x2e x＝2x（1﹣e x）﹣x2e x，因为x＞0，所以e x＞1，所以1﹣e x＜0，所以2x（1﹣e x）﹣x2e x＜0，即h′（x）＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，说h（x）＜h（0）＝0，所以m≥0，即m的取值范围是[0，+∞）．（2）证明：F（x）＝g（x）﹣f（x）＝e x﹣x﹣（m+1）﹣﹣[]＝mx﹣（m+1）+x2﹣+mlnx，当时，F（x）＝﹣x﹣+x2+﹣lnx（x＞0），所以F′（x）＝﹣+x﹣﹣＝，令F′（x）＜0，解得0＜x＜1，令F′（x）＞0，解得x＞1，所以F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以F（x）在x＝1处取得极小值，也是最小值，最小值为F（1）＝﹣＜0，当x＝时，F（）＝（ln2﹣）＞0，当x＝2时，F（x）＝﹣ln2＝（﹣ln2）＞0，所以由零点存在性定理可得F（x）在区间（，1）和（1，2）上各有一个零点，结合F（x）的单调性可知，F（x）有且仅有两个零点．22．如图是美丽的三叶草图案，在以O为极点，Ox轴为极轴的极坐标系中，它由弧，弧，弧组成．已知它们分别是方程为，，ρ＝﹣4sinθ的圆上的一部分．（1）分别写出点H，M，N的极坐标；（2）设点P是由点H，M，N所确定的圆C上的动点，直线，求点P到L的距离的最大值．解：（1）①，②，ρ＝﹣4sinθ③．θ∈[0，2π），联立①③：，由图形可知：θ∈（﹣，0），所以，，ρ＝2，所以；联立①②，解得，联立②③．…………………………………………（2）易知圆C是以O为圆心，2为半径的圆，直线L过圆心O，所以点P到直线L的距离最大值是半径2．……………………………23．已知函数的最大值为4（其中m＞0）．（1）求m的值；（2）若a2+b2+c2＝m，求的最小值．解：（1）所以m＝3．（2）由（1）知a2+b2+c2＝3，由柯西不等式有：所以，，所以最小值为．。
2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷(文科)(一模)(解析版)
2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（文科）（一模）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3} 2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．84．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．585．观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（）A．B．C．D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．247．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C ．D ．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．09．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．110．设F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．311．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌12．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB、AC、AA1两两垂直，AA1＝2，底面△ABC是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积为（）A．8B．10πC．12πD．π二、填空题（共4小题）.13．已知x，y 满足约束条件，则2x﹣y的最大值为．14．某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c由大到小的顺序为．15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a ＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．18．某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y（单位：万元）的数据如表：年份2014201520162017201820192020年份代号t12345672.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9人均纯收入y（1）求y关于t的线性回方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣．19．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F分别是AD、CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；（2）若M是棱PB上一点，三棱锥M﹣PAD与三棱锥P﹣DEF的体积相等，求M点的位置．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．21．设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}解：∵A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，∴A∩B＝{0，1，2，3}．故选：D．2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i解：i（2+3i）＝2i+3i2＝﹣3+2i．故选：D．3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．8解：由已知得，抛物线y2＝2px的准线方程为，且过点A（﹣2，3），故，p＝4．故选：C．4．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．58解：设公差不为零的等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a8，a12依次成等比数列，∴a82＝a2a12，即（a1+7d）2＝（a1+d）（a1+11d），可得19d2＝﹣a1d，∵d≠0，∴a1＝﹣19d，又由已知可得a1＝1，在，因此，，故选：A．5．观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（）A．B．C．D．解：观察已知的8个图象，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据这些规律观察四个答案，发现B符合要求．故选：B．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．24解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以，由于锥体的高为4，故．故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R 恒成立，则2×+φ＝2kπ+，k∈Z，所以φ＝2kπ+，k∈Z，由于φ∈（0，2π），所以φ＝，即f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递增区间是．故选：B．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．0解：根据题意，定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，则有f（﹣2021）＝f（1﹣2×1011）＝f（1），又由当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（1）＝lg3，则f（﹣2021）＝f（1）＝lg3，故选：C．9．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．1解：直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），可得k+1＝2，即k＝1，f（1）＝b＝2，f（x）的导数为f′（x）＝，即有a＝1，则2a+b＝2+2＝4．故选：A．10．设F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【解答】解法一：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|＝ex+a，|PF2|＝ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，∴2ex＝3b，（ex）2﹣a2＝ab∴b2﹣a2＝ab，即9b2﹣4a2﹣9ab＝0，∴（3b﹣4a）（3b+a）＝0∴a＝b，∴c＝＝b，∴e＝＝．解法二：不妨设不妨设右支上P点，则|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|+|PF2|＝3b，联立解得：|PF1|＝，|PF2|＝，然后代入|PF1|•|PF2|＝ab，可得：×＝ab，∴9b2﹣4a2﹣9ab＝0，∴（3b﹣4a）（3b+a）＝0∴a ＝b，∴c ＝＝b，∴e ＝＝．故选：B．11．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌解：根据题意，列表如下：2049年是己巳年，往后数9年，可得2058年是戊寅．故选：C．12．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB、AC、AA1两两垂直，AA1＝2，底面△ABC是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积为（）A．8B．10πC．12πD．π解：如图：底面△ABC是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，所以三棱柱ABC﹣A1B1C1可以补充成边长为2的正方体，其外接球半径为：，所以球O的表面积为，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足约束条件，则2x﹣y的最大值为4．解：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影分所示．令z＝2x﹣y，则y＝2x﹣z，作直线y＝2x，向下平移，可知当直线经过点（2，0）时z最大，∴z max＝2×2﹣0＝4．故答案为：4．14．某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c由大到小的顺序为c＞b＞a．解：平均数＝14.7，中位数b＝15，众数c＝17，则c＞b＞a，故答案为：c＞b＞a．15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值9．解：由约束条件直线可行域如图，令t＝x+2y，由图可知，当直线t＝x+2y过A时，t有最大值为t＝2，此时z＝3x+2y的最大值为9．故答案为：9．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝84．解：2（S n+2+S n）＝4S n+1+1，化为，即，∵，∴{a n}为等差数列，公差，∴．故答案为：84．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．解：（1）因为，所以＝＝，整理可得a2+c2﹣b2＝ac，可得cos B ＝＝＝，因为B∈（0，π），可得B ＝．（2）在△ABC中，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c＝2b，所以cos B ＝≥，当且仅当b ＝时取等号，此时B ＝，C ＝，所以△ABC的面积S ＝ab ＝＝．18．某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y（单位：万元）的数据如表：年份2014201520162017201820192020年份代号t12345672.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9人均纯收入y（1）求y关于t的线性回方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣．解：（1）由所给数据计算得＝，＝．，．．．所求回归方程为．（2）由（1）知，b＝0.5＞0，故2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5万元．将2021年的年份代号t＝8代入（1）中的回归方程得．故预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为6.3万元．19．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F分别是AD、CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；（2）若M是棱PB上一点，三棱锥M﹣PAD与三棱锥P﹣DEF的体积相等，求M点的位置．【解答】（1）证明：连接AC，∵PA＝PD且E是AD的中点，∴PE⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD．∴PE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PE．又ABCD为菱形，且E、F分别为棱AD、CD的中点，∴EF∥AC．∵BD⊥AC，∴BD⊥EF，又BD⊥PE，PE∩EF＝E，PE⊂平面PEF，EF⊂平面PEF，∴BD⊥平面PEF；∴PF⊂平面PEF，∴BD⊥PF．（2）解：如图，连接MA、MD，设，则，∴，又．∴．解得，即M点在PB上靠近P点的四等分点处．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．解：（1）设椭圆C的半焦距为c，根据题意，，解得，所以椭圆的方程为+＝1．（2）证明：由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），F（2，0），设T（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由k TA＝k PA，得＝，k TB＝k QB，得＝，两式相除得＝•，又+＝1，故﹣1＝﹣•＝﹣，故＝﹣，于是＝•＝﹣•，由于直线PQ经过点F，故设直线PQ的方程为x＝my+2，联立椭圆的方程可得（5m2+9）y2+20my﹣25＝0，所以，所以＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝，解得x0＝，所以点T横坐标为定值．21．设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x1+x2＝，x1x2＝，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，令x1＝t∈，可得：b＝．∴M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝t（t﹣b）（t﹣1）＝，M′＝．令g（t）＝﹣6t3+12t2﹣8t+2，g′（t）＝﹣18t2+24t﹣8＝﹣2（3t﹣2）2＜0，∴函数g（t）在t∈上单调递减，＝＞0．∴t•g（t）＞0．∴M′＞0．∴函数M（t）在t∈上单调递增，∴M（t）≤＝．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．解：（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2代入ρ2+12ρcosθ+11＝0，得x2+y2+12x+11＝0，即（x+6）2+y2＝25，所以圆C的圆心坐标为（﹣6，0）；（2）在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11＝0．于是ρ1+ρ2＝﹣12cosα，ρ1ρ2＝11，，由，得，，tanα＝＝±＝，所以l的斜率为或．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，不等式g（x2）＜﹣，即，即，解得x2＞4或x2＜﹣3（舍去），由x2＞4，解得x＜﹣2或x＞2，所以不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（2）由题意知，只需满足f（x）mix≥g（x）max即可，因为f（x）＝x2+1，所以f（x）min＝1，依题意，当时，g（x）＝，得f（x）min≥g（x）max，得，即，所以，即a的取值范围是[，]．。
2021届陕西省西安市八校高三下学期第二次联考数学(文)试卷及答案
2021届陕西省西安市八校高三下学期第二次联考数学（文）试卷★祝考试顺利★ (含答案)本试卷共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{312}A xx =-<-<∣，{}21B x x =≥∣，则A B =（ ） A. (2,1)(1,3)--⋃ B. (]2,1[1,3)--⋃C. [1,1]-D. [1,3)2. 已知复数41iz i=+，则||+=z i （ ）B.3. 已知函数()f x 的定义域为实数集R ，对x ∀∈R ，有(2)()f x f x +=-成立，且(2)5f =，则(100)f =（ ）A. 10B. 5C. 0D. -54. 已知数列{}n a 满足点(),n n a 在直线420x y -+=上，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）A. ()241n-B. 64n ⨯C. 248n n +D. 224n n +5. 已知双曲线22:1(0)8x y M m m m -=>+的焦点F 到其渐近线的距离为4，则双曲线M 的渐近线方程是（ ）A. 13y x =±B.12y x =± C. y = D. y =6. 给出如图所示的算法框图，若输出的6n =时，a 的取值范围是（ ）A. (65,665)B. [65,665)C. [65,211)D. [65,665]7. 已知向量(1,2)a =，(2,1)b =-，(5,4)c =，则以向量a 与b 为基底表示向量c的结果是（ ）A. 13655a b - B. 131433a b - C. 7922a b -- D. 141333a b + 8. 已知数列{}2nn a +是等比数列，且10a =，24a =，则数列6a =（ ）A. 1984B. 1920C. 992D. 9609. 函数21()12x f x x =--的零点的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 410. 已知3()xxf x e =，则()f x （ ） A. 在(,)-∞+∞上单调递增B. 在(,1)-∞上单调递减C. 有极大值3e，无极小值D. 有极小值3e，无极大值11. 一个几何体的三视图如图，三个视图的外边框都是边长为6的正方形，各边上的交点为边的中点．则该几何体的体积是（ ）A. 240B. 216C. 206D. 18012. 已知在线段AB 上有C 、D 两点，满足40cm AC =，120cm CD =，20cm DB =，点P 在线段CD 上运动，设M 为AP的中点，N 为CD 的中点（如下图），则AD CPMN-的值（ ）A. 等于1B. 等于2C. 等于3D. 与P 的位置有关第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中相应的横线上） 13. 已知log 4x =，则x =________．14. 已知角α的顶点是直角坐标系xOy 的原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若(4,3)P -是α的终边上一点，则sin 2α=________．15. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为30的直线1l 与过2F 的直线2l 交于P 点，点P 在椭圆上，且1290F PF ∠=．则椭圆C 的离心率e =________． 16. 已知可导函数()f x 定义域为(0,)+∞，满足()2()0xf x f x '-<，且(2)4f =，则不等式()24x x f >的解集是________．三、解答题（共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分．17. 已知函数()()sin cos 0f x x m x ωωω=->的最大值为2，且()f x 的最小正周期为π．（1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最小值和最大值；（2）设ABC 的内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，D 为AC 的中点，若a m =，37BD =，02B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求ABC 的面积ABCS ．18. 已知抛物线2:=E y x 的焦点为F ，过y 轴正半轴上一点M 的直线l 与抛物线E 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且2OA OB ⋅= （Ⅰ）求证：直线l 过定点； （Ⅱ）设点F 关于直线OB的对称点为C ，求四边形OABC 面积的最小值．19. 如图，在三棱锥D ABC -中，侧面ABD △是边长为6的等边三角形，底面ABC 是角C 为120的等腰三角形，30CD =．（Ⅰ）求证：平面ABD ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若M 在CD 上，且12CM MD =，求三棱锥A BDM -的体积．20. 某学校高一年级组，在本学期期中考试之后，为了制定更好、更切合实际的教学计划，需对该年级学生本次考试成绩作详尽分析．故按频率组距男女比例，使用分层抽样的方法随机抽取了该年级总人数的13学生数n 作样本，将他们的总分换算为百分制后，最低分20分，最高分90分，现在以10分为组距分组，并整理绘制成了频率分布直方图（如图）．已知该年级学生男女比例为13:12，样本中人数最多的分数一组有200人．（1）①从抽取的n 人中随机抽取一人，估计其分数低于50分的概率； ②求n 的值和估计该年级的男生、女生人数；（2）若前三组学生人数比例为5:9:11，由样本估计总体，用各组的中间值代替该组的平均值，试估计该高一年级本次期中考试的平均成绩（换算后的百分制成绩）（精确到个位）． 21. 已知函数()()2ln 21f x x x =+-． （1）求()f x 在1x =处的切线方程；（2）求证：()()2121x f x x e -≤-（e 为自然对数的底数）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写． [选修4-4：极坐标与参数方程]22. 已知极坐标系与直角坐标系的极点与原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合，有相同的单位长度．曲线S 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-，直线l 的参数方程为281x at y a t=+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数，1a ≠）．（Ⅰ）求曲线S 的长度；（Ⅱ）若直线l 被曲线S 截得的线段长为4，求实数a 的集合． [选修4-5：不等式选讲]23. 已知()|3|2|1|f x x x x =--++． （Ⅰ）解不等式()1f x ≥；（Ⅱ）求证：x ∃∈R ，对,(0,)a b ∀∈+∞，2a b +=，不等式6()abf x a b≤+成立．2021届陕西省西安市八校高三下学期第二次联考数学（文）参考答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{312}A xx =-<-<∣，{}21B x x =≥∣，则A B =（ ） A. (2,1)(1,3)--⋃ B. (]2,1[1,3)--⋃C. [1,1]-D. [1,3)【答案】B 2. 已知复数41iz i=+，则||+=z i （ ）B.【答案】A3. 已知函数()f x 的定义域为实数集R ，对x ∀∈R ，有(2)()f x f x +=-成立，且(2)5f =，则(100)f =（ ）A. 10B. 5C. 0D. -5【答案】D4. 已知数列{}n a 满足点(),n n a 在直线420x y -+=上，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）A. ()241n-B. 64n ⨯C. 248n n +D. 224n n +【答案】D5. 已知双曲线22:1(0)8x y M m m m -=>+的焦点F 到其渐近线的距离为4，则双曲线M 的渐近线方程是（ ）A. 13y x =±B.12y x =± C. y = D. y =【答案】C6. 给出如图所示的算法框图，若输出的6n =时，a 的取值范围是（ ）A. (65,665)B. [65,665)C. [65,211)D. [65,665]【答案】B7. 已知向量(1,2)a =，(2,1)b =-，(5,4)c =，则以向量a 与b 为基底表示向量c的结果是（ ）A.13655a b - B.131433a b - C. 7922a b --D.141333a b + 【答案】A8. 已知数列{}2nn a +是等比数列，且10a =，24a =，则数列6a =（ ）A. 1984B. 1920C. 992D. 960【答案】A 9. 函数21()12x f x x =--的零点的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 10. 已知3()x xf x e=，则()f x （ ） A. 在(,)-∞+∞上单调递增B. 在(,1)-∞上单调递减C. 有极大值3e，无极小值D. 有极小值3e，无极大值【答案】C11. 一个几何体的三视图如图，三个视图的外边框都是边长为6的正方形，各边上的交点为边的中点．则该几何体的体积是（ ）A. 240B. 216C. 206D. 180【答案】D12. 已知在线段AB 上有C 、D 两点，满足40cm AC =，120cm CD =，20cm DB =，点P 在线段CD 上运动，设M 为AP的中点，N 为CD 的中点（如下图），则AD CPMN-的值（ ）A. 等于1B. 等于2C. 等于3D. 与P 的位置有关【答案】B第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中相应的横线上） 13. 已知log 54x =，则x =________． 【答案】514. 已知角α的顶点是直角坐标系xOy 的原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若(4,3)P -是α的终边上一点，则sin 2α=________． 【答案】2425- 15. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为30的直线1l 与过2F 的直线2l 交于P 点，点P 在椭圆上，且1290F PF ∠=．则椭圆C 的离心率e =________．1 16. 已知可导函数()f x定义域为(0,)+∞，满足()2()0xf x f x '-<，且(2)4f =，则不等式()24x x f >的解集是________．【答案】(1,)+∞三、解答题（共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分．17. 已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>的最大值为2，且()f x 的最小正周期为π．（1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最小值和最大值； （2）设ABC 的内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，D 为AC 的中点，若a m =，2BD =，02B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求ABC 的面积ABCS ．【答案】（1）()min f x =()max 2f x =；（2）ABCS=18. 已知抛物线2:=E y x 的焦点为F ，过y 轴正半轴上一点M 的直线l 与抛物线E 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且2OA OB ⋅= （Ⅰ）求证：直线l 过定点； （Ⅱ）设点F 关于直线OB对称点为C ，求四边形OABC 面积的最小值．【答案】（Ⅰ）()0,2；（Ⅱ）319. 如图，在三棱锥D ABC -中，侧面ABD △是边长为6的等边三角形，底面ABC 是角C 为120的等腰三角形，CD =（Ⅰ）求证：平面ABD ⊥平面ABC ； （Ⅱ）若M 在CD 上，且12CM MD =，求三棱锥A BDM -的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）620. 某学校高一年级组，在本学期期中考试之后，为了制定更好、更切合实际的教学计划，需对该年级学生本次考试成绩作详尽分析．故按频率组距男女比例，使用分层抽样的方法随机抽取了该年级总人数的13学生数n 作样本，将他们的总分换算为百分制后，最低分20分，最高分90分，现在以10分为组距分组，并整理绘制成了频率分布直方图（如图）．已知该年级学生男女比例为13:12，样本中人数最多的分数一组有200人．（1）①从抽取的n 人中随机抽取一人，估计其分数低于50分的概率； ②求n 的值和估计该年级的男生、女生人数；（2）若前三组学生人数比例为5:9:11，由样本估计总体，用各组的中间值代替该组的平均值，试估计该高一年级本次期中考试的平均成绩（换算后的百分制成绩）（精确到个位）． 【答案】（1）①0.1；②500；（2）69． 21. 已知函数()()2ln 21f x x x =+-． （1）求()f x 在1x =处的切线方程；（2）求证：()()2121x f x x e -≤-（e 为自然对数的底数）．【答案】（1）420x y --=；（2）证明见解析.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．[选修4-4：极坐标与参数方程]22. 已知极坐标系与直角坐标系的极点与原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合，有相同的单位长度．曲线S 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-，直线l的参数方程为8x at y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，1a ≠）．（Ⅰ）求曲线S 的长度；（Ⅱ）若直线l 被曲线S 截得的线段长为4，求实数a 的集合．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）3535,,1,13737⎧⎫--⎨⎬⎩⎭[选修4-5：不等式选讲]23. 已知()|3|2|1|f x x x x =--++．（Ⅰ）解不等式()1f x ≥；（Ⅱ）求证：x ∃∈R ，对,(0,)a b ∀∈+∞，2a b +=，不等式6()ab f x a b≤+成立． 【答案】（Ⅰ）[]2,0-；（Ⅱ）证明见详解.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（文科）（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A，全集U={−1,−2,1，2，3，4}，若∁U A={1,3，4)，则集合A是()A. {−1,−2,0，2}B. {−1,−2,2}C. {−1,−2}D. {0}2.已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=lnx+1，则f(−e)=()A. 2B. 0C. −2D. 13.若a∈(−π2,0)，且sinα+cosα=0，则sin3α=()A. −√22B. √22C. −√32D. 124.在1到100的整数中，除去所有可以表示为2n(n∈N+)的整数，则其余整数的和是()A. 3928B. 4024C. 4920D. 49245.已知双曲线S：x2m −y2m+8=1的离心率为2，则双曲线S的两条渐近线的夹角为()A. π6B. π3C. π6或π3D. π3或2π36.已知|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且a⃗与b⃗ 的夹角为π6，则|a⃗−√3b⃗ |=()A. √7B. 2√2C. √10D. √197.已知点P在圆C：(x−2)2+(y+1)2=1上，直线l：3x+4y=12与两坐标轴的交点分别为M，N，则△PMN的面积的最大值是()A. 152B. 8 C. 172D. 98.已知在△ABC角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a=4，b=3，c=2.则△ABC的最大角的正弦值是()A. −14B. √152C. −√154D. √1549.已知f(x)=√3sinxcosx+sin2x−12(x∈[0,π2])，则f(x)的值域是()A. [−12,12] B. [−1,12] C. [−12,1] D. [−1,1]10.如图，已知底面边长为a的正四棱锥P−ABCD的侧棱长为2a，其截面PAC的面积为8√7，则正四棱锥P−ABCD的高是()A. √14B. 2√14C. 4√7D. 411.已知命题p：∃x∈R，x−10>lgx，命题q：∀x∈R，e x>12，则()A. “p∨q”是假命题B. “p∧q”是真命题C. “p∨￢q”是假命题D. “p∧￢q”是真命题12.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)且函数y=(1−x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论一定成立的是()A. 函数f(x)的极大值是f(2)，极小值是f(1)B. 函数f(x)的极大值是f(−2)，极小值是f(1)C. 函数f(x)的极大值是f(2)，极小值是f(−2)D. 函数f(x)的极大值是f(−2)，极小值是f(2)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若抛物线的准线方程为y=2，则该抛物线的标准方程是．14.若a∈R，i为虚数单位，|2+ai|=4，则a=______ ．15.设函数f(x)={5x−m,x<12x,x≥1，若f(f(45))=8，则m=______ ．16.已知函数f(x)=x2+ax+b有两个零点x1、x2，且−1<x1<0<x2<2，则z=a−2b的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}为等差数列，各项都为正数的等比数列{b n}的前n项和为S n，且b1=3，S3=39，a1=b2−7，a40=b4−1．(Ⅰ)求{a n}、{b n}的通项公式；(Ⅱ)求和a1+2a2+2a3+⋯…+2a n+a n+1．18.已知正四面体ABCD，M、N分别在棱AD、AB上，且AM=12MD，AN=13AB，P为棱AC上任意一点(P不与A重合)．(Ⅰ)求证：直线MN//平面BDP；(Ⅱ)若正四面体ABCD的各棱长均为60cm.求三棱锥M−BDC的体积．19.西安市某街道办为了绿植街道两边的绿化带，购进了1000株树苗，这批树苗最矮2米，最高2.5米，桉树苗高度绘制成如图频率分布直方图(如图)．(Ⅰ)试估计这批树苗高度的中位数；(Ⅱ)现按分层抽样方法，从高度在[2.30,2.50]的树苗中任取6株树苗，从这6株树苗中任选3株，求3株树苗中至少有一株树苗高度在[2.40,2.50]的概率．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上的任一点，且|PF2|的最大值和最小值分别为3和1，过F2的直线为l．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，求△ABF1的面积的最大值．21.已知函数f(x)=lnxln2x．(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)设ℎ(x)=f(x)−1，求证：ℎ(x)在[1,+∞)上有唯一零点．22. 已知曲线S 的参数方程为{x =3sinθ+1y =3cosθ(θ为参数，0≤θ<2π).点P(−12,−3√32)在曲线S 上，直线l 过点P ，且倾斜角为π3． (Ⅰ)求点P 在曲线S 上对应的参数θ的值； (Ⅱ)求直线l 被曲线S 截得的线段的长度．23. 已知f(x)=x|x −3|−4．(Ⅰ)解不等式f(x)≤0； (Ⅱ)设g(x)=f(x)x(x ≤3，且x ≠0)，求g(x)的值域．答案和解析1.【答案】B【解析】解；因为全集U={−1,−2,1，2，3，4}，若∁U A={1,3，4)，由补集的定义可得，A={−1,−2,2}．故选：B．利用补集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了补集定义的理解和应用，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：根据题意，当x>0时，f(x)=lnx+1，则f(e)=lne+1=2，又由f(x)为奇函数，则f(−e)=−f(e)=−2，故选：C．根据题意，由函数的解析式求出f(e)的值，由函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：因为sinα+cosα=0，所以tanα=sinαcosα=−1，又因为a∈(−π2,0)，所以α=−π4，则sin3α=sin(−3π4)=−sin3π4=−√22．故选：A．先利用同角三角函数关系得到tanα的值，然后利用特殊角的三角函数求出α，利用诱导公式求解sin3α即可．本题考查了三角函数的求值问题，主要考查了同角三角函数关系以及诱导公式的应用，解题的关键是利用特殊角的三角函数求出α，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：因为当2n∈[1,100]时，n=1，2，3，4，5，6，所以21+22+23+24+25+26=2×(1−26)1−2=126，又1+2+3+⋯+100=100×1012=5050，所以在1到100的整数中，除去所有可以表示为2n(n∈N+)的整数，其余的整数的和为5050−126=4924．故选：D．先利用等比数列的求和公式求出1到100的整数中，可以表示为2n(n∈N+)的整数和，再求出1到100的整数和，作出即可得到答案．本题以推理为载体考查了等差数列与等比数列的求和问题，解题的关键是掌握等差和等比数列的求和公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：当m+8>0时，双曲线S：x2m −y2m+8=1的离心率为2，可得ca =√2m+8m=2，解得m=4，所以双曲线的渐近线方程为：√3x±y=0，双曲线S的两条渐近线的夹角为：π3．当m+8<0时，双曲线S：x2m −y2m+8=1的离心率为2，可得ca =√−8−2m−8−m=2，解得m=−12，所以双曲线y24−x212=0的渐近线方程为：√33x±y=0，双曲线S的两条渐近线的夹角为：π3．故选：B．利用双曲线的离心率求解m，然后求解渐近线方程，即可求解两条渐近线的夹角．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．6.【答案】A【解析】解：∵|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且a⃗与b⃗ 的夹角为π6，∴a⃗⋅b⃗ =1×2×√32=√3，∴|a⃗−√3b⃗ |2=a⃗2−2√3⋅a⃗⋅b⃗ +3b⃗ 2=1−2√3×√3+3×22=7，故|a⃗−√3b⃗ |=√7，故选：A．先计算出向量a⃗，b⃗ 的数量积，计算出|a⃗−√3b⃗ |2，从而得出结论．本题已知两个向量的长度与夹角，求它们线性组合的一个向量的模，着重考查了向量数量积的定义与向量模的公式等知识，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：如图，圆C的圆心(2,−1)到直线3x+4y=12的距离d=√32+42=2．则圆C上的点P到直线l的距离的最大值为3．又直线l：3x+4y=12与两坐标轴交点分别为M(4,0)，N(0,3)，∴|MN|=5．∴△AMN面积的最大值为S=12×5×3=152．故选：A．求出圆C的圆心到直线l的距离，得到圆C上的点P到直线l的最大距离，再求出|MN|，代入三角形面积公式求解．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．8.【答案】D【解析】解：最大角是A，根据余弦定理：cosA=b2+c2−a22bc =9+4−162×3×2=−14，且A∈(0,π)，∴sinA=√1−cos2A=√1−116=√154．故选：D．可看出最大角是A，然后根据余弦定理可求出cos A的值，然后即可求出sin A的值．本题考查了大边对大角定理，余弦定理，sin2x+cos2x=1，考查了计算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：f(x)=√32sin2x+1−cos2x2−12=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)，∵x∈[0,π2]，∴2x−π6∈[−π6,5π6]，∴sin(2x−π6)∈[−12,1]，∴f(x)的值域为[−12,1]．故选：C．利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y= f(x)的值域．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：由题意可知，PA=PC=2a，AC=√2a，所以△PAC的高ℎ=(√22=√72a，所以△PAC的面积S=12⋅AC⋅ℎ=12⋅√2a⋅√72a=√72a2，又截面PAC的面积为8√7，所以√72a2=8√7，解得a=4，所以正四棱锥P−ABCD的高即为△PAC的高ℎ=√72×4=2√14．故选：B．先求出截面的高h，然后利用截面的面积列出关于a的方程，求出a的值，进一步求出高h即可．本题出了棱锥结构特征的理解和应用，涉及了棱锥截面的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：命题p：∃x∈R，x−10>lgx，当x=100时，不等式成立，故p为真命题；命题q：∀x∈R，e x>12，当x=−1时，不等式不成立，故q为假命题；故：“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，“p∨￢q”是真命题，“p∧￢q”是真命题．故选：D．直接利用存在性问题和恒成立问题的应用，真值表的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：存在性问题和恒成立问题的应用，真值表，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数与导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，函数的图象的应用，属于简单题．利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．【解答】解：由函数的图象可知，f′(−2)=0，f′(2)=0，并且当x<−2时，f′(x)>0，当−2<x<1，f′(x)<0，函数f(x)有极大值f(−2)．又当1<x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，故函数f(x)有极小值f(2)．故选：D．13.【答案】x2=−8y【解析】【分析】本题考查抛物线的标准方程，是基础题．由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在y轴负半轴上的抛物线，求得p值，即可求解．【解答】解：由抛物线的准线方程为y=2，可知抛物线是焦点在y轴负半轴上的抛物线，设其方程为x2=−2py(p>0)，=2，得p=4．则其准线方程为y=p2∴该抛物线的标准方程是x 2=−8y ．故答案为：x 2=−8y ．14.【答案】±2√3【解析】解：因为|2+a i |=|2+aii 2|=|2−ai|=4，所以√22+(−a)2=4，解得a =±2√3．故答案为：±2√3．先利用复数的除法运算将式子进行化简，然后由复数模的定义列出等式，求解即可． 本题考查了复数模的求解，同时考查了复数的运算法则的理解和应用，解题的关键是掌握复数模的定义，属于基础题． 15.【答案】1【解析】解：根据题意，函数f(x)={5x −m,x <12x ,x ≥1， 则f(45)=5×45−m =4−m ，当m ≤3时，4−m ≥1，f(f(45))=f(4−m)=24−m =8，解可得m =1，符合题意， 当m >3时，4−m <1，f(f(45))=f(4−m)=5(4−m)−m =20−6m =8，解可得m =2，不符合题意，综合可得：m =1，故答案为：1根据题意，求出f(45)的表达式，分m ≤3与m >3两种情况讨论，求出m 的值，综合可得答案．本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数解析式的求法，属于基础题． 16.【答案】[−2,3]【解析】解：由题意可得，{f(−1)=−a +b +1>0f(0)=b <0f(2)=2a +b +4>0，由不等式组作出可行域如图，由2a +b +4=0，取b =0，得a =−2，联立{−a +b +1=02a +b +4=0，解得{a =−1b =−2， 作出直线a −2b =0，由图可知，平移直线至(−1,−2)时，z =a −2b 有最大值为3； 至(−2,0)时，z =a −2b 有最小值为−2．∴z =a −2b 的取值范围为[−2,3]，故答案为：[−2,3]．由已知可得关于a ，b 的不等式组，再由线性规划知识求解z =a −2b 的取值范围． 本题考查一元二次方程根的分布与系数间的关系，考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，q >0，由b 1=3，S 3=39，a 1=b 2−7，a 40=b 4−1，可得3+3q +3q 2=39，a 1=3q −7，a 1+39d =3q 3−1，解得q =3，d =2，a 1=2，则a n =2+2(n −1)=2n ；b n =3⋅3n−1=3n ，n ∈N ∗；(Ⅱ)a 1+2a 2+2a 3+⋯…+2a n +a n+1=2(a 1+a 2+a 3+⋯…+a n +a n+1)−a 1−a n+1=2⋅12(n +1)(2+2n +2)−2−2(n +1)=2n 2+4n ．【解析】(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，q >0，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公差、公比，即可得到所求通项公式； (Ⅱ)由等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：由AM =12MD ，可得点M在AD上，则有AM=13AD，又AN=13AB，所以MN//DB，又MN⊄平面BDP，BD⊂平面BDP，所以MN//平面BDP；(Ⅱ)设G为底面△ABC的重心，Q为AC的中点，如图所示，则BQ=√32×60=30√3cm，GB=23BQ=20√3cm，BN=23×60=40cm，所以GD=√602−(20√3)2=20√6cm，由(Ⅰ)可知MN//DB，且MN⊄平面DBC，DB⊂平面DBC，故MN//平面DBC，所以点M与点N到平面BDC的距离相等，所以三棱锥M−BDC的体积与三棱锥N−BDC的体积相等，又三棱锥N−BDC的体积与三棱锥D−BNC的体积相等，所以V M−BDC=V D−BNC=13⋅S△BNC⋅GD=13×(12×60×40×√32)×20√6=12000√2cm3，所以三棱锥M−BDC的体积为12000√2cm3．【解析】(Ⅰ)利用题中给出的比例关系，由相似比证明MN//DB，利用线面平行的判定定理证明即可；(Ⅱ)设G为底面△ABC的重心，Q为AC的中点，分别求出△BNC的边长与GD的长，利用等体积法V M−BDC=V D−BNC求解即可．本题考查了线面平行的判定以及棱锥体积的求解，涉及了等体积法的应用，等体积法是求解点到平面的距离的常用方法，属中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由频率分布直方图得：[2.0,2.2)的频率为：(1+3.5)×0.1=0.45，[2.2,2.3)的频率为：2.5×0.1=0.25，估计这批树苗高度的中位数为：2.1+0.5−0.450.25×0.1=2.12．(Ⅱ)按分层抽样方法，从高度在[2.30,2.50]的树苗中任取6株树苗，则[2.30,2.40)中抽取：6×22+1=4株，[2.40,2.50)中抽取：6×12+1=2株，从这6株树苗中任选3株，基本事件总数n =C 63=20，3株树苗中至少有一株树苗高度在[2.40,2.50]包含的基本事件个数：m =C 41C 22+C 42C 21=16，∴3株树苗中至少有一株树苗高度在[2.40,2.50]的概率P =m n =1620=45．【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图求出[2.0,2.2)的频率为0.45，[2.2,2.3)的频率为0.25，由此能估计这批树苗高度的中位数．(Ⅱ)按分层抽样方法，从高度在[2.30,2.50]的树苗中任取6株树苗，[2.30,2.40)中抽取4株，[2.40,2.50)中抽取2株，从这6株树苗中任选3株，分别求出基本事件总数和3株树苗中至少有一株树苗高度在[2.40,2.50]包含的基本事件个数，由此能求出3株树苗中至少有一株树苗高度在[2.40,2.50]的概率．本题考查中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)由椭圆的性质可知，{a +c =3a −c =1，解得a =2，c =1， b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆方程为x 24+y 23=1，(Ⅱ)由题意分析可知直线l 的斜率不能为零，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，l 的方程为x =my +1，联立方程{x =my +1x 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2+6my −9=0， △=36m 2+36(3m 2+4)>0，∴y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，∴|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(−6m 3m 2+4)2+363m 2+4=12√m 2+1(3m 2+4)2=12√19(m 2+1)+1m 2+1+6，所以当且仅当m =0时|y 1−y 2|取到最大值3，S △ABF 1=12×2c ×|y 1−y 2|≤3，即三角形ABF 1面积的最大值为3．【解析】(Ⅰ)椭圆上的点到焦点最大值为a +c ，最小值为a −c ，即可解出椭圆方程； (Ⅱ)设出直线l 的方程，联立直线和椭圆方程，表示出三角形△ABF 1的面积，即可解出． 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆相交，最值问题，学生的运算能力，属于基础题． 21.【答案】解：(1)由f(x)=lnxln2x ，得f′(x)=ln2x x +lnx x ，∴f′(1)=ln2，又f(1)=0， ∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y =ln2(x −1)；证明：(2)ℎ(x)=f(x)−1=lnxln2x −1，ℎ′(x)=ln2x+lnx x =ln2x 2x (x >0)，由ℎ′(x)>0，得ln2x 2>0，即2x 2>1，∴x >√22， ∴当x ∈(0,√22)时，ℎ′(x)<0，当x ∈(√22,+∞)时，ℎ′(x)>0， 则ℎ(x)在(0,√22)上单调递减，在(√22,+∞)上单调递增， ∴ℎ(x)在[1,+∞)上单调递增，又ℎ(1)=−1<0，当x →+∞时，ℎ(x)→+∞，∴ℎ(x)在[1,+∞)上有唯一零点．【解析】(1)求出原函数的导函数，得到函数在x =1处的导数，再求出f(1)的值，利用直线方程的点斜式的答案；(2)ℎ(x)=lnxln2x −1，求其导函数，证明函数在[1,+∞)上单调递增，再由ℎ(1)=−1<0，当x →+∞时，ℎ(x)→+∞，即可证明ℎ(x)在[1,+∞)上有唯一零点．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，是中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线S 的参数方程为{x =3sinθ+1y =3cosθ(θ为参数，0≤θ<2π).点P(−12,−3√32)在曲线S 上， 所以{sinθ=−12cosθ=−√32，由于0≤θ<2π， 所以θ=7π6．(Ⅱ)曲线S 的参数方程为{x =3sinθ+1y =3cosθ(θ为参数，0≤θ<2π)转换为直角坐标方程为(x −1)2+y 2=9，直线l 过点P(−12,−3√32)，且倾斜角为π3，所以直线的方程为√3x −y −√3=0，由于圆心(1,0)在直线上，故直线l 被曲线S 截得的线段成为圆的直径6．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (Ⅱ)利用直线与圆的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)≤0⇔x|x −3|−4≤0⇔{x ≥3x(x −3)−4≤0或{x <3x(3−x)−4≤0， 解得x ≤4，∴不等式f(x)≤0的解集为(−∞,4]．(Ⅱ)当x ≤3，且x ≠0时，g(x)=f(x)x =3−x −4x =3−(x +4x )， 当0<x ≤3时，x +4x ≥2√x ⋅4x=4，当且仅当x =2时等号成立， ∴−(x +4x )≤−4，3−(x +4x )≤−1，即g(x)≤−1；当x <0时，−x >0，−4x >0，∴−x −4x ≥2√(−x)⋅(−4x )=4，当且仅当x =−2时等号成立，∴3−x −4x ≥7，即g(x)≥7， ∴g(x)的值域为(−∞,−1]∪[7,+∞)．【解析】(Ⅰ)通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式，解出即可；(Ⅱ)求出g(x)的解析式，对x 分类讨论，利用基本不等式即可求得值域．本题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式在求值域中的应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．。