陕西省西安地区八校联考2021届高三联考试题 数学【理】试题及答案
2021年高三八省联考数学试卷(含答案)
A． 在 单调递增
B． 有两个零点
C．曲线 在点 处切线的斜率为
D． 是偶函数
10．设 为复数， ．下列命题中正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11．右图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）
A． B． C． D．
12．设函数 ，则（）
A． B． 的最大值为
故渐近线方程为： ，所以 ， ，
又 ， ，
所以
，
因为故 ，
故 .
22.已知函数 ．
（1）证明：当 时， ；
（2）若 ，求 ．
【详解】(1)分类讨论：
①.当 ， ；
②.当 时， ，
，
则函数 在 上单调增，则 ，
则函数 在 上单调减，则 ；
③.当 时，由函数的解析式可知 ，
当 时，令 ，则 ，
故函数 在区间 上单调递增，从而： ，
故 ，
.
故答案为： ； .
15.
【详解】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数 ， ，
满足 ，即是奇函数；
根据最小正周期 ，可得 .
故函数可以是 中任一个，可取 .
故答案为： .
16.
【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差 在 的概率不小于0.9545，
则 且 ， ，
所以 .
故答案为：32.
所以 （ ）
18.在四边形 中， ， ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 ．
【详解】（1）在 中，由余弦定理可得 ，
， ，
在 中，由余弦定理可得 ， ；
（2）设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
《精编》陕西省西安市八校高三数学联考(四)试题 文 新人教A版.doc
2021届高三年级数学(理科)试题第一卷 〔选择题共50分〕一、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1. 复数z 满足3)3i z i ⋅=，那么z 等于〔 〕A.34+ B. 32 C. 34- D. 32 2. 以下函数中，周期为1且是奇函数的是〔 〕A. sin cos y x x ππ=B. 21sin y x π=-C. sin(2)3y x ππ=+D. tan2y x π=3. 设,a b 是非零向量，假设函数()()()f x xa b a xb =+⋅-的图像是一条直线，那么必有〔 〕 A. ||||a b ≠ B. a b ⊥ C. a b ∥ D. ||||a b =4. 在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，546523,23a S a S =+=+，那么此数列的公比q 为〔 〕 A. 5 B. 2 Ｃ. 3 D. 45. 227x y A ==，且112x y+=，那么A 的值是〔 〕A. 98B. 7C. ±6. 函数3()f x x x =+，那么0a b +>是()()0f a f b +>的〔 〕 A. 既非充分也非必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 充分必要条件7. a 、b 均为正数，且满足2a b +=，那么22S a b =++ 〕 A.92 B. 72C. 4D. 58. 假设一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如以下列图，其顶点都在一个球面上，那么该球的外表积为〔 〕A.43π B.163π C.193πD. 1912π 9. “正整数对〞按如下规律排成一列：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2), (4,1),,⋅⋅⋅⋅⋅⋅那么第60个数对是〔 〕A. (10,1)B. (7,5)C.(5,7)D. (2,10)10. 对于(1,3)x ∈. 不等式32236(6)x x x a +≥+恒成立，那么实数a 的取值范围〔 〕A.31 [,)6-+∞ B.22[,)3-+∞ C.31(,]6-∞- D.22(,]3-∞-第二卷〔非选择题共100分〕二、填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕〔一〕必做题〔11~14题〕11.函数32,2(1),2xxx x⎧≥⎪⎨⎪-<⎩假设关于x的方程()f x k=有两个不同的实根，那么数k的取值范围是12.某程序的流程图如以下列图，假设使输出的结果不大于37，那么输入的整数i的最大值为13.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的假设干图案，那么按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖块.14.如果点P在平面区域22020210x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩上，点Q在曲线22(2)1x y++=上，那么||PQ的最小值为 .〔二〕选择题〔考生在A、B、C三小题中选做一题，多做按所做第一题评分〕15. A.〔不等式选讲选做题〕如果存在实数x使不等式|1||2|x x k+--<成立，那么实数k的取值范围B.〔几何证明选讲选做题〕如图，O 是ABC ∆的外接圆，过C 点的切线交AB 的延长线于点D ，27CD =，3AB BC ==，那么AC 的长为 .C.〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系中，曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=-〔0ρ>，02θπ≤<〕的交点的极坐标为三、解答题〔本大题共6小题，共75分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕 16. 〔本小题总分值12分〕在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，不等式2cos 4sin 60x C x C ++≥对一切实数x 恒成立. 〔Ⅰ〕求角C 的最大值；〔Ⅱ〕假设角C 取得最大值，且2a b =，求角B 的大小 17.〔本小题总分值12分〕某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，第五组[17,18].右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.〔Ⅰ〕假设成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数； 〔Ⅱ〕设,m n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且,[13,14)[17,18]m n ∈，求事件“||1m n ->〞的概率.18.〔本小题总分值12分〕多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，D E AB ∥，2AC AD CD DE ====，F 为CD 的中点. 〔Ⅰ〕求证：AF ⊥平面CDE ；〔Ⅱ〕求点A 到平面BCD 的距离的取值范围.19.〔本小题总分值12分〕数列{}n a 有1a a =，2a p =〔常数0p >〕，对任意的正整数n ，12n n S a a a =+++，且n S 满足1().2n n n a a S -=. 〔Ⅰ〕求a 的值； 〔Ⅱ〕试确定数列{}n a 是否是等差数列？假设是，求出其通项公式；假设不是，说明理由.20.〔本小题总分值13分〕椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>经过点A ，且离心率e =〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕问是否存在过点(1,0)B -的直线l ，使l 与椭圆C 交于,M N 两点，且以线段MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？假设存在，求出直线l 的方程；假设不存在，说明理由.21. 〔本小题总分值14分〕 函数2()(1)2ln(1).f x x x =+-+ 〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕假设当1[1,1]x e e∈--时，不等式()f x m <恒成立，求实数m 的取值范围；〔Ⅲ〕假设关于x 的方程2()f x x x a =++在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.参考答案二、填空题11. 〔0,1〕 12.5 13. 100 14. 3215. A.(3,)-+∞3)4π三、解答题〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕 16. 〔Ⅰ〕由条件知，当cos 0C =时，不符合题意； 当cos 0C ≠时，有22cos 0cos 016sin 24cos 02cos 3cos 20C C C C C >>⎧⎧⇒⎨⎨∆=-≤+-≥⎩⎩1cos 2C ≥，角C 的最大值为3π---------------------------------------------------------------6分〔Ⅱ〕2222222cos 3,c a b ab C a b ab b c =+-=+-=∵222222cos2a c b B ac +-=== 又203B π<<∴6B π=-----------------------------------------------------------------------------------------------12分 另：由〔Ⅰ〕得3C π=，所以23A B π+=由2a b =得sin 2sin A B =，所以2sin()2sin ,3B B π-=1sin 2sin 2B B B +=，得tan B =∵2(0,)3B π∈，6B π=17. 解〔Ⅰ〕由直方图知，成绩在[14,16)内的人数为：500.16500.3827⨯+⨯=所以该班成绩良好的人数为27人--------------------------------------------------------------------------------5分 〔Ⅱ〕解：由直方图知，成绩在[13,14)的人数为500.063⨯=人，设为x 、y 、z 成绩在[17,18)的人数为500.084⨯=人，设为A 、B 、C 、D. 假设,[13,14)m n ∈时，有,,xy xz yz 3种情况；假设,[17,18)m n ∈时，有,,,,,AB AC AD BC BD CD 6种情况 假设,[13,14)m n ∈和[17,18)内时，共有12种情况。
2021年陕西省西安市八校高考数学联考试卷(一)(含解析)
2021年陕西省西安市八校高考数学联考试卷(一)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知I 为实数集，P ={x|x 2−2x <0}，Q ={y|y =2x +1,x ∈R}，则P ∩(∁I Q)=( )A. {x|0<x <1}B. {x|0<x ≤1}C. {x|x <1}D. ⌀2. 已知，函数f(x)=x 2−ax +b 在(−∞,1)是单调递减，函数g(x)=log a 1−x1+x ，当x 1，x 2∈(−1,1)且x 1+x 2>0时，g(x 1)+g(x 2)的值为( )A. 正数B. 负数C. 零D. 前面的结果都有可能3. 函数y =3−2sin 22x 的最小正周期为( )A. π2B. πC. 2πD. 4π4. 观察下列等式：√13=1，√13+23=3，√13+23+33=6，√13+23+33+43=10，…… 计算：√13+23+33+43+⋯+93的值为( )A. 37B. 45C. 55D. 665. 已知双曲线C ：x 227−y 29=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为P ，Q ，若△POQ 为直角三角形，则|PQ|=( )A. 2B. 3C. 6D. 96. 已知点A ，B 分别在直线x =1，x =3上，O 为坐标原点，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.当|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取到最小值时，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 67. 若直线y =x +b 与曲线y =√4−x 2有两个交点，则实数b 的取值范围是( )A. (2,2√2)B. [2,2√2)C. (−2,2√2)D. (−2√2,2√2)8. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中c =3，a =3√2，cosB =√24，则sinA =( ) A. 724B. 3√78 C. √24 D. √1449. 函数f(x)=√1−cos2x +cosx ，则f(x)的最大值是( )A. √3B. √2C. 1D. 210. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的十二条棱中，与面对角线AC 垂直且异面的棱的条数是( )A. 2B. 4C. 6D. 811.下列命题中正确的是()A. 若“p∨q”为真命题则“p∧q”为真命题B. .已知a，b，m∈R，命题“若am2<bm2，则a<b”的否命题．C. .l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l//α．D. .命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”12.若函数的图象在上恰有一个极大值和一个极小值，则的取值范围是()A. B. C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知圆C：，圆心在抛物线上，经过点，且与抛物线的准线相切，则圆的方程为．14.已知复数z满足等式|z−1−i|=1，则|z−3|的最大值为______．15.设函数f(x)={x 2−2x+2,x≥0log2(x+2)+1,x<0，则f(f(−1))=______ ，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3)，则x1+x2+x3的取值范围是______ ．16.计算：=．设是纯虚数，其中是虚数单位，则．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为全等的正方形(边长为2)，侧视图为等腰直角三角形(直角边的长为2)，则该几何体的表面积是．已知满足，若目标函数的最小值是，则的值为．平面内两定点和，动点满足，动点的轨迹为曲线E ，给出以下命题： ①，使曲线E 过坐标原点； ②对，曲线E 与轴有三个交点；③曲线E 只关于轴对称，但不关于轴对称； ④曲线E 上与不共线的任意一点关于原点对称的另外一点为，则四边形的面积不大于 其中真命题的序号是 .(填上所有真命题的序号)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设等比数列{a n }的每一项都为正数，且a 1+a 2=12，a 3+a 4=18．(Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设{a n }的前n 项和为S n ，若S n >58，求n 的最小值．18. 已知四棱锥P −ABCD 中底面四边形ABCD 是正方形，各侧面都是边长为2的正三角形，M 是棱PC 的中点．建立空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题： (1)求证：PA//平面BMD ；(2)求二面角M −BD −C 的平面角的大小．19.学校组织学生参加模块测试，测试后随机抽查部分学生的成绩，成绩的频率分布直方图如图5，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，低于60分的人数是6人(1)被抽查的学生有多少人？(2)从被抽查低于60分的6人中随机选取2人，求这2人在同一分数组的概率．20. 已知椭圆W 中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e =√32，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为1．(1)求椭圆W 的标准方程；(2)椭圆上一动点P(x 0,y 0)关于直线y =2x 的对称点为P 1(x 1,y 1)，求3x 1−4y 1的取值范围． (3)设椭圆W 的左右顶点分别为A 、B ，点S 是椭圆W 上位于x 轴上方的动点，直线AS 、BS 与直线l ：x =103分别交于M 、N 两点，求线段MN 的长度的最小值．21. 已知函数f(x)=ax 2−e x (a ∈R)，f′(x)是f(x)的导数(e 为自然对数的底数)．(Ⅰ)当a =1时，求曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (Ⅱ)若当x ≥0时，不等式f(x)≤−x −1恒成立，求实数a 的取值范围22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =sinθ+cosθy =sin2θ(θ为参数)，若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=−√2．(Ⅰ)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)求曲线C1上的动点与曲线C2上动点的最小距离．23.设(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集是非空集合，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵Q={y|y=2x+1,x∈R}，∴y=2x+1>1，∴Q={y|y>1}．∵I为实数集，∴∁I Q={y|y≤1}．∵P={x|x2−2x<0}，∴P={x|0<x<2}．∴P∩(∁I Q)={x|0<x≤1}．故答案为：B．本题可以先对集合化简，再利用补集定义求出相应的补集，最后求出P∩(∁I Q)，得到本题结论．本题考查了集合的补集运算、集合的交集运算，本题难度不大，属于基础题．2.答案：B解析：解：根据题意，函数f(x)=x2−ax+b在(−∞,1)是单调递减，则有a2≥1，即a≥2，函数g(x)=log a1−x1+x ，有1−x1+x>0，解可得−1<x<1，即函数g(x)的定义域为(−1,1)，关于原点对称，又由g(−x)=log a1+x1−x =−loga a1−x1+x=−g(x)，即函数g(x)为奇函数，令t=1−x1+x =2x+1−1，则t为减函数，而y=log a t为增函数，故g(x)=log a1−x1+x定义在(−1,1)上的减函数，当x1，x2∈(−1,1)且x1+x2>0时，即x1>−x2，又由g(x)为减函数，则有g(x1)<g(−x2)=−g(x2)，则有g(x1)+g(x2)<0；故选：B．根据题意，由二次函数的性质分析可得a≥2，分析可得函数g(x)为奇函数，且在(−1,1)上是减函数，分析可得：若x1，x2∈(−1,1)且x1+x2>0时，即x1>−x2，结合g(x)的奇偶性与单调性可得g(x1)<g(−x2)=−g(x2)，变形可得g(x1)+g(x2)<0，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数g(x)=log a1−x1+x的奇偶性与单调性．3.答案：A解析：解：由题意可得：f(x)=2+cos4x，所以周期为T=2π4=π2．故选：A．先将函数运用二倍角公式化简为y=Asin(wx+φ)的形式，再利用正弦函数的性质可得答案．本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．一般都要把三角函数化简为y=Asin(wx+φ)的形式再解题．4.答案：B解析：本题考查归纳推理，属于中档题．由√13=1，√13+23=3，√13+23+33=6，√13+23+33+43=10，……我们发现，等式左边都是从1开始，连续n个正整数的立方和的算术平方根，右边都是从1开始，连续n个正整数的和的形式．故我们可以由此推断出一般性结论．解：由已知中等式：√13=1，√13+23=3，√13+23+33=6，√13+23+33+43=10，……归纳可得：等式左边都是从1开始，连续n个正整数的立方和的算术平方根，右边都是从1开始，连续n个正整数的和的形式．故√13+23+33+43+⋯+93=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，故选：B．解析：解：由对称性，不妨设点P 在第一象限，点Q 在第四象限，∠OPQ =90°， 如图所示： ∵双曲线C ：x 227−y 29=1，∴渐近线方程为：y =√33x ，∴∠POF =30°，又∵|OF|=6，∴|PF|=3，|OP|=3√3， 由对称性可知．∠POQ =60°，∴tan60°=|PQ||OP|，∴|PQ|=3√3×√3=9， 故选：D ．由对称性，不妨设点P 在第一象限，点Q 在第四象限，∠OPQ =90°，画出图形，因为渐近线方程为：y =√33x ，所以∠POF =30°，从而求出|PF|=3，|OP|=3√3，|PQ|=3√3×√3=9．本题主要考查了双曲线的定义，是中档题．6.答案：A解析：解：如图所示， 设A(1,s)，B(3,t)． ∵|OA⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4． ∴|(1,s)−(3,t)|=|(−2,s −t)|=√(−2)2+(s −t)2=4， ∴(s −t)2=12．|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|(4,s +t)|=√16+(s +t)2≥4，当且仅当s +t =0时取等号．因此|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取到最小值4时，s +t =0， ∴(−t −t)2=12，得到t 2=3． ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3+st =3−3=0．利用向量的坐标运算法则，及当|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取到最小值时，可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出． 本题考查了向量的坐标运算法则、向量数量积的性质等基础知识，考查了计算能力，属于中档题．7.答案：B解析：解：曲线y =√4−x 2表示以原点为圆心，2为半径的圆，在x 轴上边的部分，如图所示，当直线与半圆相切时，b =2√2，∴直线y =x +b 与曲线y =√4−x 2有两个交点，实数b 的取值范围是[2,2√2). 故选：B ．曲线y =√4−x 2表示以原点为圆心，2为半径的圆，在x 轴上边的部分，结合图形，即可求出实数b 的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，属于中档题．8.答案：D解析：解：∵在△ABC 中，c =3，a =3√2，cosB =√24，∴b 2=a 2+c 2−2accosB =(3√2)2+32−2×3√2×3×√24=18，解得b =3√2． ∵B ∈(0,π)， ∴sinB =√1−cos 2B =√144． 由正弦定理可得：asinA =bsinB ， 可得：sinA =asinB b=3√2×√1443√2=√144．故选：D．利用余弦定理可得b，再利用正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理与余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：A解析：解：f(x)=√2sin2x+cosx=√2|sinx|+cosx=±√3sin(x+φ)≤√3，时取等号．可得f(x)的最大值是√3，当cosx=√33故选：A．f(x)=√2sin2x+cosx=√2|sinx|+cosx=±√3sin(x+φ)≤√3，即可得出最大值．本题考查了三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：A解析：解：如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1的十二条棱中，与面对角线AC垂直且异面的棱有：BB1和DD1，∴与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是2．故选：A．作出图形，列举出与面对角线AC垂直且异面的棱．本题考查满足条件的棱的条数的求法，考查长方体的结构特征等基础知识，考查数形结合思想，是基础题．11.答案：D解析：解：对于A，若“p∨q”为真命题，可得p，q至少有一个为真命题，则“p∧q”不一定为真命题，故A错；对于B，已知a，b，m∈R，命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为“若a<b，则am2<bm2”为假命题，比如m=0，逆命题不成立，由逆命题和否命题等价，可得否命题也为假命题，故B错；对于C，l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l//α或l⊂α，故C错；对于D，命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”，故D对．故选：D．运用复合命题的真值表，即可判断A；由四种命题和等价命题，即可判断B；运用线面平行和垂直的判定和性质，即可判断C；由全称命题的否定为特称命题，即可判断D．本题考查命题的真假判断，主要是复合命题的真值表和四种命题的真假和关系、命题的否定和线面的位置关系的判断，考查判断能力，属于基础题．12.答案：D解析：试题分析：当且时，则有，且函数在区间上恰有一个极大值和一个极小值，则有且有，解得，故选D．考点：三角函数的极值13.答案：．解析：试题分析：抛物线的准线为，所以；又该圆经过点，所以；圆心在抛物线上，所以，联立解方程组得.所以所求圆的方程为．考点：圆与抛物线．14.答案：√5+1解析：解：|z−1−i|=1的几何意义为复平面内动点到定点(1,1)距离为1的点的轨迹，如图：由图可知，|z−3|的最大值为√(3−1)2+(0−1)2+1=√5+1．故答案为：√5+1．由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．15.答案：1 (1,2)解析：解：函数f(x)={x 2−2x +2,x ≥0log 2(x +2)+1,x <0，所以f(−1)=log 21+1=1，则f(f(−1))=f(1)=1−2+2=1；作出函数f(x)的图象如图所示，因为互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)， 不妨设x 1<x 2<x 3，当x ≥0时，f(x)=x 2−2x +2=(x −1)2+1，图象的对称轴为x =1，所以x 2+x 3=2，当x =1时，f(x)=1，令log 2(x +2)+1=1，解得x =−1， 由图象可知−1<x 1<0，所以则x 1+x 2+x 3的取值范围是(1,2)． 故答案为：1；(1,2)．先求出f(−1)，再求解f(f(−1))即可；作出函数f(x)的图象，利用二次函数的对称性得到x 2+x 3=2，由对数的运算以及函数图象可得−1<x 1<0，求解即可．本题考查了分段函数的综合应用，分段函数的求值问题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，分段函数问题的一般解题方法是：数形结合法以及分类讨论法，属于中档题．16.答案：【小题1】 6【小题2】1【小题3】 【小题4】【小题5】①④解析： 11、考查的对数运算性质，需熟记公式．解：，故答案为6．12、考查复数的定义，理解纯虚数的定义，需实部为0，虚部不为0．解：由题得：a²−1=0且a+1≠0解得：a=1．故答案为1．13、考查空间几何体的三视图，关键是通过观察与想象还原得出原几何体．解：通过观察得知，原几何体是一个三棱柱，面ADFC⊥面ABED，，且四边形ADFC，ABED均为全等正方形.△ABC，△DEF均为等腰三角形.如图所示：．故答案为．14、考查的线性规划.先根据不等式组作出可行域，由题意分析z=y−x的最小值为4，应该在哪个点取得，求出k．解：作出不等式组表示的可行域如下图中的三角形ABC及其内部(图中阴影部分)：由z=y−x，得y=x+z，做直线l:y=x，平移直线l，可知当l经过点B(，0)时，y=x+z截距最小，z取得最小值．故有：−4=0−().解得．故答案为．15、由平面内两定点M(0,−2)和N(0,2)，动点P(x,y)满足||⋅||=m(m≥4)，得.对选项进行分析，即可得出结论．解：由平面内两定点M(0,−2)和N(0,2)，动点P(x,y)满足||⋅||=m(m≥4)，得①(0,0)代入，可得m =4，∴①正确；②令y =0，可得x2+4=m ，∴对于任意m ，曲线E 与x 轴有三个交点，②不正确； ③曲线E 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称，故③不正确；④曲线E 上与M 、N 不共线的任意一点G 关于原点对称的点为H ，则四边形GMHN 的面积为2S △MNG =|GM||GN|sin∠MGN ≤m ，∴四边形GMHN 的面积最大为不大于m ，④正确． 故答案为①④．21.答案：解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q >0，由题意，得a 1(1+q)=12，a 1q 2(1+q)=18， 联立解得a 1=13，q =12． ∴a n =13×(12)n−1．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：S n =13(1−12n )1−12=23(1−12n )，由23(1−12n )>58，得2n >16，解得n >4． ∴n 的最小值为5．解析：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q >0，由题意，得a 1(1+q)=12，a 1q 2(1+q)=18，联立解得a 1，q.即可得出a n ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：S n =23(1−12n )，由23(1−12n )>58，即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：证明：(1)连结AC 、BD 交于点O ，连结OP ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ∵PA =PC ，∴OP ⊥AC ， 同理OP ⊥BD ，以O 为原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O −xyz ，P(0,0,√2),A(√2,0,0),B(0,√2,0),M(−√22,0,√22)， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,−√2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,0),OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,√22)， 设平面MBD 的法向量为n⃗ =(x,y,1) {√2y =0,−√22x +√22=0,⇒{y =0,x =1, 所以平面BMD 的法向量为n⃗ =(1,0,1)， ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，又PA ⊄平面BMD ， ∴PA//平面BMD ．解：(2)平面ABCD 的法向量为a ⃗ =(0,0,1)， 二面角M −BD −C 的平面角为α， 则cosα=√2=√22，α=45°，∴二面角M −BD −C 的平面角45°．解析：(1)连结AC 、BD 交于点O ，连结OP ，以O 为原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能证明PA//平面BMD ．(2)求出平面ABCD 的法向量和平面MBD 的法向量，利用向量法能求出二面角M −BD −C 的平面角．本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．23.答案：解：(1)由频率分布直方图知低于60分的频率为：0.005×20+0.01×20=0.3，∴被抽查的学生有6÷0.3=20(人)．(2)由(1)知，[20,40)分数组的学生有20×(0.005×20)=2(人)，[40,60)分数组的学生有4人，记这6人分别为a1、a2，b1、b2、b3、b4(a、b表示不同分类组)，从中随机选取2人，不同的选法有a1a2、a1b1、a1b2、a1b3、a1b4、a2b1、a2b2、a2b3、a2b4、b1b2、b1b3、b1b4、b2b3、b2b4、b3b4，共15种，2人在同一分数组的选法有a1a2、b1b2、b1b3、b1b4、b2b3、b2b4、b3b4，共7种，∵不同选法等可能，∴2人在同一分数组的概率P=715．解析：本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题．(1)由频率分布直方图求出低于60分的频率，由此利用已知条件能求出被抽查的学生人数．(2)由(1)知，[20,40)分数组的学生有2人，[40,60)分数组的学生有4人，由此能求从被抽查低于60分的6人中随机选取2人，求这2人在同一分数组的概率．24.答案：解：(1)椭圆W中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=√32，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为1．∴ca =√32，并且2b2a=1，a2=b2+c2，解得a=2，b=1，c=√3，∴椭圆W的标准方程：x24+y2=1(2)∵点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1,∴{y0−y1x0−x1×2=−1y0+y12=2×x0+x12，解得：x1=4y0−3x05，y1=3y0+4x05．∴3x1−4y1=−5x0．∵点P(x0,y0)在椭圆C：x24+y2=1上，∴−2≤x0≤2，则−10≤−5x0≤10．∴3x1−4y1的取值范围为[−10,10]．(3)直线AS 的斜率k 显然存在，且k >0，故可设直线AS 的方程为y =k(x +2)， 从而M(103,163k)．由{y =k(x +2)x 24+y 2=1得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4=0． 设S(x 1,y 1)，则(−2)⋅x 1=16k 2−41+4k2得x 1=2−8k 21+4k2，从而y 1=4k1+4k 2． 即S(2−8k 21+4k 2,4k 1+4k 2)，又B(2,0)由{y =−14k ( )x −2x =103得{x =103y =−13k ，∴N(103,−13k)， 故|MN|=|16k 3+13k|，又k >0，∴|MN|=163k +13k ≥2√16k 3⋅13k =83.当且仅当16k 3=13k，即k =14时等号成立 ∴k =14时，线段MN 的长度取最小值83．解析：(1)依题意知，e =√32，椭圆的通经为1，由此可求出椭圆C 的方程．(2)点P(x 0,y 0)关于直线y =2x 的对称点为P 1(x 1,y 1，由题设条件能推出3x 1−4y 1=−5x 0.再由点P(x 0,y 0)在椭圆W ：x 24+y 2=1上，能够铁推出3x 1−4y 1的取值范围．(3)设直线AS 的方程为y =k(x +2)，从而M(103,163k).由题设条件可以求出N(103,−13k)，所以|MN|=|163k +13k|，再由均值不等式进行求解．本题考查椭圆的基本性质及其应用，考查椭圆与直线的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．25.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)=x 2−e x ，f′(x)=2x −e x ，则f(0)=0−e 0=−1，f′(0)=0−e 0=−1，所以切线方程为：y +1=−1(x −0)，即x +y +1=0；(Ⅱ)当x ≥0时，f(x)≤−x −1恒成立，即：ax 2−e x +x +1≤0在[0,+∞)上恒成立， 设g(x)=ax 2−e x +x +1，则g′(x)=2ax −e x +1， 令ℎ(x)=2ax −e x +1，x ≥0， 则ℎ′(x)=2a −e x ． ①当a ≤12时，2a ≤1，此时e x ≥e 0=1，则ℎ′(x)≤0，当且仅当a =12，x =0时等号成立，可知g′(x)在[0,+∞)上单调递减，则g′(x)≤g′(0)=0， 所以g(x)在[0,+∞)上单调递减，所以g(x)≤g(0)=0，即f(x)≤−x −1恒成立， 所以a ≤12满足题意; ②当a >12时，令ℎ′(x)=0，解得：x =ln2a ， 当x ∈(0,ln2a)时，ℎ′(x)>0，则g′(x)单调递增， 此时g′(x)>g′(0)=0，则g(x)在(0,ln2a)上单调递增， 所以g(x)>g(0)=0，即当x ∈(0,ln2a)时，f(x)>−x −1， 即f(x)≤−x −1不恒成立，可知a >12不合题意 综上所述，a ∈(−∞,12]．解析：本题考查了导数的几何意义和导数中的恒成立问题，属于难题．(Ⅰ)对f(x)求导，求出切线的斜率k =f′(0)和f(0)，然后用点斜式写出曲线的切线方程； (Ⅱ)构造函数g(x)=ax 2−e x +x +1，然后对a 进行分类讨论即可求解．26.答案：解：(Ⅰ)∵曲线C 1的参数方程为{x =sinθ+cosθy =sin2θ(θ为参数)，∴x 2=(sinθ+cosθ)2=1+sin2θ=1+y ，∴曲线C 1的普通方程为：y =x 2−1，x ∈[−√2,√2].…………(3分) ∵曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=−√2， ∴√22ρ(sinθ+cosθ)=−√2，∴曲线C 2的直角坐标方程x +y +2=0.………(5分) (Ⅱ)直线C 2：x +y =−2，设C 1(x 0,x 02−1)，|x 0|≤√2，则d =020√2=(x +12)2+34√2≥3√28， 当x 0=−12时取等号，满足|x 0|≤√2，所以曲线C1上的动点与曲线C2上动点的最小距离为3√28.…………(10分)解析：(Ⅰ)曲线C1的参数方程消去参数，能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程转化为√22ρ(sinθ+cosθ)=−√2，由此能求出曲线C2的直角坐标方程．(Ⅱ)直线C2：x+y=−2，设C1(x0,x02−1)，|x0|≤√2，则d=(x+12)2+34√2≥3√28，由此能求出曲线C1上的动点与曲线C2上动点的最小距离．本题考查曲线的普通方程和直角坐标方程的求法，考查两曲线上的动点的距离的最小值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．27.答案：(1)(2)解析：试题分析：(1)转化为时；当时；当时，综上可知解集为(2)函数整理为，函数值域，考点：绝对值不等式与分段函数点评：求解绝对值不等式的通常思路是分情况去掉绝对值符号，将其转化为多个一般不等式，求解一般不等式然后求其交集，。
陕西省部分重点高中2021-2021学年高三上学期12月联考理科数学试题
高三数学试卷（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合()(){}380A x x x =++<，则A Z =∩A . {}83x x -<<-B . {}4,5,6,7C . {}38x x << D .{}7,6,5,4----2.若z =，则A . 2z 的实部为1B . 2z 的实部为1-C . 2z 的虛部为-D . 2z 的虚部为3.某地区7月1日至7月10日白天的平均气温的折线图如图所示，则下列判断错误的是A .从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势B .这10天白天的平均气温的极差大于6℃C .这10天中白天的平均气温为26℃的频率最大D .这10天中白天的平均气温大于26℃的有5天 4.若函数()f x 的图象关于点()1,0对称，则A . ()1f x +为偶函数B . ()1f x -为偶函数C . ()1f x +为奇函数D . ()1f x -为奇函数 5.在平行四边形ABCD 中，7CD ED =，且BE AD DE λμ=+，则λμ+= A . 5- B . 6- C .5 D .6 6.函数()()22sin 2cos sin f x x x x =-的最小正周期为A .4π B . 2πC . πD . 34π7.若随机变量X 的分布列为则DX =A .16B .32C .18D .648.在ABC ∆中，3B π=，且ABC ∆的面积为，则ABC ∆外接圆的半径的最小值是A .B .6C .D .129.若从1，3，5，7中选取两个数，从0，2，4，6，8中选取两个数，将这四个数组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的总个数为A .1296B .1320C .1440D .1524 10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A .12 B .1. C .32D .2 11.已知函数()()3213e 3xf x x x x a =--++，若()0f x >对x ∈R 恒成立，则a 的取值范團是 A . ()3,+∞ B . ()0,+∞ C .22,3e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D . 24,3e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12.已知双曲线C 的方程为2214x y m m+=+，给出下列四个结论： ①m 的取值范围是()4,0-； ②C 的焦距与m 的取值无关；③当C 的离心率不小于2时，m 的最小值为3-；④存在实数m ，使得点()2,m m 在C 上. 其中结论正确的个数为A .1B .2C .3D .4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置. 13.若1tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=- . 14.椭圆22149x y +=上一点到两焦点的距离之和为 . 15.若函数()()991log 2log 4f x x x x ⎛⎫=+->⎪⎝⎭），则()f x 的值域为 . 16.已知底面为矩形的四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上， PA AD ⊥，PA AB =，PB =，且BC =.若球O 的体积为323π，则棱PB 的中点到平面PCD 的距离为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.（12分）在递增的等比数列{}n a 中，39a =，2430a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若32log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18.（12分）（1）根据6至10月份的数据，求出v 关于u 的线性回归方程；（2）该公司销售部门打算11月份对该地区投入广告费15万元，但公司决策部门规定，当纯利润预测不低于35万元时才能对该地区继续投人广告，否则终止投入广告，试判断销售部门对该地区是否继续投入广告.附：回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ni i i nii x y nx yb x nx==-∑=-∑，a y bx =-.19.（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点E ，8BD =，6AC =，将ACD ∆沿AC 折到PAC ∆的位置使得4PD =.（1）证明：PB AC ⊥.（2）求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 20.（12分）已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点,22p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，EF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知过点F 的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点，当E 到l 的距离最大时，求EPQ ∆的面积. 21.（12分） 已知函数()ln xf x x e=-. （1）若曲线()y f x =存在一条切线与直线y ax =垂直，求a 的取值范围. （2）证明：()23ln sin 4f x x x x <--. （二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选-题作答. 如果多做，则按所做的第一个题目计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） x = 4cos a ，在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{4cos 44sin x y αα==-+（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3cos 4sin m ρθρθ+=. （1）求C 的极坐标方程；（2）若l 与C 相交，求m 的取值范围. 23.[选修4- 5：不等式选讲]（10分） 已知函数()3f x x a x a =-+-. （1）求不等式()1f x x a >+-的解集；（2）若()f x >对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.高三数学试卷参考答案（理科）1.D 因为{}83A x x =-<<-，所以{}7,6,5,4A Z =----∩.2.B 因为21z =--，所以2z 的实部与虚部分别为1-，-3.D 从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势这10天白天的平均气温的极差大于6℃.这10天中白天的平均气温为26℃的频率为0. 3，比其他平均气温的频率都要大.这10天中白天的平均气温大于26℃的只有4天.故选D .4.C 因为函数()f x 的图象关于点()1,0对称，所以将()f x 的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称，故选C .5.A 因为7CD ED =，所以6CE DE =-，则6BE BC CE AD DE =+=-，所以165λμ+=-=-.6.A ()1sin 2cos 2sin 42f x x x x ==，因为sin 4y x =的最小正周期为242ππ=，所以()f x 的最小正周期为4π. 7.D ∵100.3200.5300.116EX =⨯+⨯+⨯=，∴2222160.160.340.5140.164DX =⨯+⨯+⨯+⨯=.8.A 由三角形的面积公式可得1sin 2ac B ==36ac =.由余弦定理可得222b a c =+-2cos 236ac B ac ac ac -==≥，即6b ≥，则ABC ∆外接圆的半径2sin 32b R B==⨯（当且仅当6a c ==时，等号成立）.9.A 若0被选中，则不同的四位数的个数211314433C C C A 432N ==；若0不被选中，则不同的四位数的个数2241444C C A 864N ==.故不同的四位数的总个数为4328641296+=.10.B 由三视图可知，该三棱锥的两个顶点为正方体的顶点，另外两个顶点是正方体棱的中点，其直观图如图所示.正视图的面积为1132222111222⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=，故该三棱锥的体积为一132132⨯⨯=.11.D ()()()()22222x f x x e x e x x x '=--+---，设函数()()1x x g x e x g x e =-+'=-，易证()()010g x g =>≥.令()0f x '>，得2x >；令()0f x '<，得2x <.所以()2min 403f x e a =-+>，故243a e >-. 12.C 由题意得()40m m +<，则40m -<<，故①正确.因为40m -<<，所以24a m =+，2b m =-，2224c a b =+=，则2c =，从而C 的焦距为4，与m 的取值无关，故②正确.若C的离心率不小于2，则2e ==，解得3m -≤，故③不正确.假设存在实数m ，使得点()2,m m 在C 上，则4214m m m m+=+，则42340m m m ++-=.设函数()4234f m m m m =++-，因为()2100f -=>，()150f -=-<，从而存在()2,1m ∈--，使得()0f m =，故④正确. 13. 13 1sin cos tan 1123sin 2cos tan 232αααααα---===---14.6 因为49<，所以29a =，所以椭圆22149x y +=上一点到两焦点的距离之和为26a =. 15.()0,1 因为()9922log log 1x f x x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以()f x 在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，又2119x <+<，所以()f x 的值域为()0,1.16.3∵PA AB =，PB =，∴PA AB ⊥，又PA AD ⊥，AD AB A =∩， ∴PA ⊥平面ABCD .∵底面ABCD 为矩形，∴侧棱PC 为球O 的直径.设球O 的半径为R ，则343233R ππ=，即2R =，又22R ==，解得2AB =.如图，过A 作AG PD ⊥于G ，取棱PA 的中点F ，连接EF .易证CD ⊥平面APD ，则CD AG ⊥，从而AG ⊥平面PCD .由等面积法可得3AG ==，则F 到平面PCD PCD的距离为12AG =∵EF AB CD ∥∥，∴EF CD ∥，则E 到平面PCD PCD 的距离等于F 到平面PCD 的距离， 故棱PB 的中点到平面PCD17.解：（1）由题意可得231324113301a a q a a a q a q q ⎧==⎪+=+=⎨>⎪⎩，解得11a =，3q =.故1113n n n a a q --==.（2）由（1）可得2123n n a -=，则32log 21n n b a n ==-，故()2121135212n n n S n n +-=++++-==.18.解：（1）由表中数据可得()1101113129115u =⨯++++=， ()12325302616245v =⨯++++=，515222151********3.16155115i i i i i u v uvb u u==-∑-⨯⨯===-⨯-∑， 24 3.11110.1a v bu =-=-⨯=-，故v 关于u 的线性回归方程为 3.110.1v u =-. （2）当15u =时， 3.11510.136.435v =⨯-=>， 所以该公司销售部门将对该地区继续投入广告. 19.（1）证明：因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 则BE AC ⊥，PE AC ⊥.因为BE ⊂平面PBE ，PE ⊂平面PBE ，且BE PE E =∩，所以AC ⊥平面PBE . 因为PB ⊂平面PBE ，所以PB AC ⊥.（2）解：取DE 的中点O ，连接OP ，取CD 的中点F ，连接OF . 因为8BD =，所以4DE PE ==.因为4PD =，所以PD PE =，所以PO DE ⊥.由（1）可知AC ⊥平面PBE ，所以平面PBD ⊥平面ABCD ，则PO ⊥平面ABCD .故以O 为坐标原点，OF ，OD ，OP 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题中数据可得()3,2,0A --，()0,6,0B-，()3,2,0C -，()0,2,0D ，(0,0,P，则()3,4,0AB DC ==-，(BP =，(0,DP =-.设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z =，则11134060m AB x y m BP y ⎧⎪⋅=-=⎨⋅=+=⎪⎩，令4x =，得(4,3,m =-. 设平面PCD 的法向量为()222,,n x y z =，则22234020n DC x y n DP y ⎧⎪⋅=-=⎨⋅=-+=⎪⎩，令4x =，得(n =.n . DP =-2y2+2/3z2=0，设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ，则cos 91m nm nθ⋅===. 20.解：（1）因为,22p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，EF =，=解得4p =，故抛物线C 的方程为28y x =. （2）由题意知，()2,0F ，因为直线l 过点F ， 所以当EF l ⊥时，点E 到l 的距离最大. 因为201222EF k -==---，所以直线l 的斜率为2，联立方程组()2228y x y x⎧=-⎨=⎩，消去y 得2640x x -+=. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则126x x +=， 所以126410PQ x x p =++=+=.因为EF =，所以EPQ ∆的面积为1102⨯⨯=21.（1）解：()11f x x e'=-.因为()f x 的定义域为()0,+∞，所以111x e e->-. 因为曲线()y f x =存在一条切线与直线y ax =垂直，所以11a e->-， 解得0a <或a e >，则a 的取值范围为()(),0,e -∞+∞∪. （2）证明： ()11e xx e x f x e'-=-=. 当()0,x e ∈时，()0f x '>；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<. 所以()()max ln 0ef x f e e e==-=. 设函数()2ln g x x x =-，则()21212x g x x x x-'=-=.当x ⎛∈ ⎝⎭时， ()0g x '<；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0g x '>.所以()min 11111ln ln 2222222g x g ⎛==-=+⎝⎭.因为1ln 22>=， ()min 34g x >. 因为333sin ,444x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以23ln sin 04x x x -->. 又()()max 0f x f x =≤，所以()23ln sin 4f x x x x <--. 22.解：（1）由{4cos 44sin x y αα==-+，得()22416x y ++=，即2280x y y ++=，则C 的极坐标方程为28sin 0ρρθ+=， 即8sin 0ρθ+=（或8sin ρθ=-）. （2）因为l 的极坐标方程为340x y m +-=，所以l 的直角坐标方程为340x y m +-=.由（1）知，曲线C 表示圆心()0,4C -，半径为4的圆， 则C 到l 的距离1645m d +=<， 解得364m -<<，即m 的取值范围为()36,4-.23.解：（1）由()1||f x x a >+-，得31x a ->，则31x a -<-或31x a ->，即31x a <-或31x a >+，故不等式()1f x x a >+-的解集为()(),3131,a a -∞-++∞∪.（2）因为()()1332f x x a x a x a a >+----=≥， 所以()f x 的最小值为2a .因为()f x >x ∈R 2a <， 又180a +≥，所以[)918,2,4a ⎛⎤∈--⋃+∞ ⎥⎝⎦.。
陕西省八校联考2021届高三联考(三)试题 理综试题及答案
陕西省2021届高三下学期联考（三）理综试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分300分，考试时间150分钟．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持纸面清洁，不折叠，不破损．5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写．第I卷（选择题共126分）可能用到的相对原子质量：H -1 C-12 N-14 O-16 S-32 Mn-55 Fe-56一、选择题（本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列关于细胞结构和功能的叙述，正确的是A．核糖体是噬菌体、细菌、酵母菌唯一共有的细胞器B．细胞骨架和中心体都木含有磷脂C．细胞器之间都能通过囊泡进行物质运输D．当细胞衰老时，其细胞膜表面的糖蛋白物质会减少，导致粘着性降低2．下列关于豌豆的叙述，正确的是A．将高茎豌豆和矮茎豌豆间行种植，个体间可杂交B．及时排涝，能防止根细胞受乳酸毒害C．豌豆叶片黄化，叶绿体对红光的吸收减少D．成熟季节，豌豆种子通过光合作用制造大量有机物导致干重明显增加3．甲、乙、丙是某二倍体动物的3个正常细胞，其染色单体数分别为0、2N、4N，下列说法不正确的是A．甲细胞中的染色体数目可能最多B．乙细胞中染色体可能正向细胞两极移动C．丙细胞中可能有四个染色体组D．甲、乙、丙可能都在进行有丝分裂4．下表所列实验中，操作过程及主要目的对应合理的是5．某研究者对新生儿感染的细菌进行了耐药性实验，结果显示70%的致病菌具有耐药性，下列相关叙述正确的是A．细菌由于基因突变和染色体变异，形成了多种变异类型B．70%的致病菌具有耐药性，与新生儿是否接触过抗生素无关C．新生儿出生时接种疫苗，可预防各种细菌感染D．新生儿通过从母体获取的免疫球蛋白，对细菌发生的免疫反应属于非特异性免疫6．右图甲表示人体中体液中物质交换过程示意图，其中A、B、C表示三种细胞外液，D表示组织细胞，图乙表示生态系统中的物质循环示意图，其中A、B、C、D分别表示生态系统的四种组成成分．下列相关说法正确的是A．若图甲中的D为肌肉细胞，则其无氧呼吸产生的二氧化碳释放到A中，可导致A的pH下降B．图甲的C中含量最多的化合物是蛋白质C．图乙中的D可表示大气中的二氧化碳库，B可表示消费者D．图乙中的A表示的一定是自养生物7．有两组物质：①组CH4、聚乙烯、邻二甲苯②组2-丁烯、乙炔、苯乙烯下列有关上述有机物说法正确的是A．①组物质都不能使酸性高锰酸钾褪色，②组物质都能使酸性高锰酸钾褪色B．①组物质都不能使溴的四氯化碳褪色，②组物质都能使溴的四氯化碳褪色C．②组物质所有原子可以在同一平面内D．邻二甲苯的一氯代物只有两种8．右图是部分短周期元素原子（用字母表示）最外压A子数与原子序数的关系图．下列说法正确的是A．该图体现出原子核外电子层呈现周期性变化B．简单离子半径：C．R、Z形成的化合物中可能含有共价键D．由酸性：可证明非金属性：9．下列陈述I、II正确并且有因果关系的是10．实验室从含溴化氢的废液中提取溴单质，下列说法中能达到实验目的的是A．用装置甲氧化废液中的溴化氢B．用装置乙分离CCl4层和水层C．用装置丙分离CCl4和液溴D．用仪器丁长期贮存液溴11．下列表示对应化学反应的离子方程式．其中正确的是12．25℃时，醋酸、次氯酸、亚硝酸的电离常数如下表，下列叙述不正确的是13．用酸性氢氧燃料电池（甲池）为电源进行电解的实验装置（乙池，一定条件下可实现有机物的电化学储氢）如下图所示．甲池中C为含苯的物质的量分数为10%的混合气体，D为l0mol混合气体其中苯的物质的量分数为24 010（杂质不参与反应），E为标准状况下2．8mol气体（忽略水蒸汽），下列说法正确的是A．甲池中A处通入H2，E处有O2放出B．甲池中H+由F极移向G极C．乙池中阴极区只有苯被还原D．导线中共传导11.2mol电子二、选择题（本题共8小题，每小题6分．在每小题给出的四个选项中，第14~18题只有一项符合题目要求，第19~21题有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得3分。
陕西省西安中学2021届高三12月月考数学(理)试题 含答案
西安中学高2021届高三12月月考理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合A ={(x,y)|x +y =1}，B ={x|x −y =1}，则A ∩B 等于 ( )A. {(1,0)}B. {1}C. (1,0)D. ∅2. 已知平面内有三点A(−1,7)，B(2,3)，C(3,5)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( )A. −1B. 1C. −√5D. √53. 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 到y 轴的距离为2，则|AB|=( ) A. 8B. 6C. 5D. 44. 中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再发生，科技专业人才就成了决胜的关键．为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼状图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是( )A. 芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50％B. 芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的25％C. 芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多D. 芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多 5. 如图,某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( ) A. 32πB. √3πC.√32D. 3π6.在(x3−1)(x−1√x)6的展开式中，常数项等于（）A. 15B.16C. −16D. −147.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，MF⊥x轴，若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则p=( )A. 2B. 2√2C. 4D. 4√28.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这三种题型进行改编，则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为()A. 150B. 180C. 200D. 2809.设复数z满足|z−i|+|z+i|=4，z在复平面内对应的点为(x,y)，则()A. x24−y23=1 B. x24+y23=1 C. y24−x23=1 D. y24+x23=110.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有255个正方形，且其最大的正方形的边长为√22，则其最小正方形的边长为()A. 116B. √232C. 132D. 16411.已知直线l:y=k(x+4)与圆(x+2)2+y2=4相交于A、B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线3x−4y−6=0的距离的最大值为()A. 5B. 4C. 3D. 212.设椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0)，点A(−1,1)为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=9，则椭圆E的离心率的取值范围是()A. [12,1) B.[13,12] C. [15,14] D. [12,23]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知变量x，y满足2402020x yxx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则12yx++的取值范围是_________．14.设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a7=−2a1，则S9S5+a4=________．15.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|<π2,ω>0)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后，所得图象关于直线x=3π4对称，则a的最小值为______．16.已知a⃗，b⃗ ，c⃗是同一平面内的三个向量，其中a⃗，b⃗ 是相互垂直的单位向量，且(a⃗−c⃗ )⋅(√3b⃗ −c⃗ )=1，|c⃗|的最大值为______．三、解答题（共70分。
2021年陕西省西安市梦圆中学高三数学理联考试卷含解析
2020-2021学年陕西省西安市梦圆中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知实数x, y满足条件，则目标函数A．有最小值0，有最大值6 B．有最小值，有最大值3C．有最小值3，有最大值6 D．有最小值，有最大值6参考答案：D画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示。
当目标函数过直线与直线的交点(3, 0)，目标函数取得最大值6；当目标函数过直线与直线的交点(0, 2)时，目标函数取得最小值。
故选D。
2. 在数列中，若对任意的均有为定值（），且，则数列的前100项的和A．B．C．D．参考答案：3. 已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+8）函数为偶函数，则（）A．f（6）＞f（7）B．f（6）＞f（9）C．f（7）＞f（9）D．f（7）＞f（10）参考答案：D【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】压轴题．【分析】根据y=f（x+8）为偶函数，则f（x+8）=f（﹣x+8），即y=f（x）关于直线x=8对称．又f （x）在（8，+∞）上为减函数，故在（﹣∞，8）上为增函数，故可得答案．【解答】解：∵y=f（x+8）为偶函数，∴f（x+8）=f（﹣x+8），即y=f（x）关于直线x=8对称．又∵f（x）在（8，+∞）上为减函数，∴f（x）在（﹣∞，8）上为增函数．由f（8+2）=f（8﹣2），即f（10）=f（6），又由6＜7＜8，则有f（6）＜f（7），即f（7）＞f（10）．故选D．【点评】本题主要考查偶函数的性质．对偶函数要知道f（﹣x）=f（x）．4. 已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB=6，BC=，且四棱锥O-ABCD 的体积为，则R等于（）A．4 B．C．D．参考答案：A由题意可知球心到平面ABCD的距离2，矩形ABCD所在圆的半径为，从而球的半径.故选A.5. 设a=log32，b=log2，c=，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b参考答案：D【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log32∈（0，1），b=log2＜0，c=＞1，则c＞a＞b，故选：D．6. 设全集，集合，则A．{2，4} B．C． D．参考答案：C7. 在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的中点，点F在线段AD上并且AF=2DF，设=，=，则=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的加减的几何意义和向量的三角形法则计算即可．【解答】解：，故选D．【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和向量的三角形法则，属于基础题．8. 已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a参考答案：C【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．9. 已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法错误的是（）A．函数是周期函数；B．函数为R上的偶函数；C．函数为上的单调函数；D．的图象关于点对称．参考答案：C对于，函数，是周期为的函数，故正确；对于，，即又的周期为，又是奇函数，,令，则是偶函数，即是偶函数，故正确，对于，由知是偶函数，在和上的单调性相反，在上不单调，故错误对于,函数为奇函数，的图象关于点对称，的函数图象是由的图象向右平移个单位得到的，的函数图象关于点对称，故正确。
2021年陕西省西安地区八校联考高考数学押题试卷(理科)(解析版)
2021年陕西省西安地区八校联考高考数学押题试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A、集合B＝{2，3，a，b}，且A∩B＝{3，4}，则下列结论正确的是（）A．有可能a+b＝8B．a+b≠8C．a+b＜8D．a+b＞82．在复平面上，若点Z1、Z2对应的复数分别为z1＝1﹣i、，则|Z1Z2|＝（）A．1B．C．2D．3．不透明袋子里有大小完全相同的10只小球，其中4只蓝色6只红色，小朋友花花想从袋子里取到一只红色小球．第一次从袋子里随机取出一只小球，却是蓝色，不放回，再取第二次．则小朋友花花第二次取到红色小球的概率是（）A．B．C．D．4．一个空间几何体的三视图外轮廓均为边长是3的正方形，如图所示，则其表面积为（）A．B．C．D．5．已知T n＝1+2+3+⋅⋅⋅+n（n∈N*）．则下面算法框图输出的结果是（）A．47B．48C．49D．506．已知3a﹣1+3a﹣2+3a﹣3＝117，则（a+1）（a+2）（a+3）＝（）A．120B．210C．336D．5047．在△ABC中，已知，，若，则λ﹣μ＝（）A．B．C．D．8．已知椭圆：）．则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．9．有下列命题：p1：幂函数g（x）＝xα（α∈R）的定义域为实数集R；p2：已知数据x1，x2，…，x20的平均数为，方差s2＝0.25，则（x i）2＝5；p3：若f（x）函数的导函数为f'（x），f'（x）＝0的解为x i，则x i为函数f（x）的极值点；p4：变量x i，y i负相关，相关系数为r，则r越大相关性越弱，越小相关性越强．则真命题为（）A．p1∧p2B．p2∧p4C．￢p2∨p3D．p3∨￢p410．为了解某电子产品的使用寿命，从中随机抽取了100件产品进行测试，得到图示统计图．依据统计图，估计这100件产品使用寿命的中位数为（）A．218.25B．232.5C．231.25D．241.2511．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（）在闭区间[﹣，]上的最小值和最大值依次为（）A．﹣，2B．﹣2，﹣C．﹣，0D．0，212．已知展开式的常数项的取值范围为[135，240]，且x2+alnx≥（a+2）x恒成立．则a的取值范围为（）A．[﹣4，﹣3]∪[3，4]B．[﹣4，﹣1]∪[3，4]C．[1，4]D．[﹣4，﹣3]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上）. 13．已知随机变量ξ的期望为15，则E（3ξ+5）＝．14．已知在△ABC中，sin2A+sin2B﹣sin2C＝，则cos2C＝．15．已知直线x＝a与双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线围成的三角形的面积为2，则双曲线C的焦距的最小值为．16．现在有红豆、白豆各若干粒．甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩10粒；第二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩n （n∈N*，16＜n＜20）粒．则红豆和白豆共有粒．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分. 17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log2S n，设c n＝b n•S n，求数列{c n}的前n项和为T n．18．某中学高一（1）班在接种了“新冠疫苗”之后，举行了“疫情防控，接种疫苗”知识竞赛．这次竞赛前21名同学成绩的茎叶图如图所示，已知前7名女生的平均得分为221分．（Ⅰ）①求茎叶图中x的值；②如果在竞赛成绩高于205分且按男生和女生分层抽样抽取6人，再从这6人中任选3人作为后期举行的“接种疫苗，感恩祖国”主题班会中心发言人，求这3人中有女生的概率．（Ⅱ）如果在竞赛成绩高于220分的学生中任选4人参加学校座谈会，用ξ表示4人中成绩超过235分的人数，求ξ的分布列和期望．19．已知圆O：x2+y2＝12与抛物线S：y2＝2px（p＞0）交于A、B两点（A在第一象限），．（Ⅰ）求抛物线S的方程；（Ⅱ）设过A点的两条直线l1与l2关于直线x＝2对称，直线l1与l2与抛物线S都有两个不同交点，且另交点分别为M、N，求直线MN的斜率．20．在正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，AB＝2，AA1＝4，M为侧棱DD1的中点，P 为棱C1D1上一点，O为下底面ABCDEF的中心．（Ⅰ）求证：MO∥平面ABD1E1；（Ⅱ）若直线DP与平面ABB1A1所成角的正弦值为，求tan∠DPD1的值．21．已知函数f（x）＝）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论f（x）的零点的个数，并确定每个零点的取值范围（不要求范围“最小”）．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．在极坐标系中，曲线，点．在直角坐标系中，，，直线l的参数方程为（t为参数）（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并判|PM|+|PN|与4的大小关系；（Ⅱ）直线l与曲线C交于A、B两点，Q为曲线C的右顶点，求△ABQ的面积．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝x|x﹣1|﹣a|x+1|．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）≤3x﹣2的解集；（Ⅱ）当a＝﹣x，x≥1时，f（x+1）≥mx恒成立，求m的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A、集合B＝{2，3，a，b}，且A∩B＝{3，4}，则下列结论正确的是（）A．有可能a+b＝8B．a+b≠8C．a+b＜8D．a+b＞8解：∵B＝{2，3，a，b}，A∩B＝{3，4}，∴a，b中只有一个为4，∴a+b≠8．故选：B．2．在复平面上，若点Z1、Z2对应的复数分别为z1＝1﹣i、，则|Z1Z2|＝（）A．1B．C．2D．解：因为z1＝1﹣i、＝＝2，则|Z1Z2|＝|2﹣2i|＝2．故选：D．3．不透明袋子里有大小完全相同的10只小球，其中4只蓝色6只红色，小朋友花花想从袋子里取到一只红色小球．第一次从袋子里随机取出一只小球，却是蓝色，不放回，再取第二次．则小朋友花花第二次取到红色小球的概率是（）A．B．C．D．解：不透明袋子里有大小完全相同的10只小球，其中4只蓝色6只红色，小朋友花花想从袋子里取到一只红色小球．第一次从袋子里随机取出一只小球，却是蓝色，不放回，再取第二次．此时不透明袋子里有大小完全相同的9只小球，其中3只蓝色6只红色，则小朋友花花第二次取到红色小球的概率为：P＝＝．故选：C．4．一个空间几何体的三视图外轮廓均为边长是3的正方形，如图所示，则其表面积为（）A．B．C．D．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为正方体AC1截去两个三棱锥A﹣A1BD，C﹣C1BD，∴几何体的表面积S＝+++++＝＝．故选：A．5．已知T n＝1+2+3+⋅⋅⋅+n（n∈N*）．则下面算法框图输出的结果是（）A．47B．48C．49D．50解：T n＝，＝＝2（﹣），再由程序框图的作用可求数列{T n}的前n项和，当和为时，输出n的值，则2[（1﹣）+（）+（）+...+（）]＝2（1﹣）＝＝，解得n＝49．故选：C．6．已知3a﹣1+3a﹣2+3a﹣3＝117，则（a+1）（a+2）（a+3）＝（）A．120B．210C．336D．504解：∵3a﹣1+3a﹣2+3a﹣3＝117，∴++＝117，∴9•3a+3•3a+3a＝117×27，∴13•3a＝117×27，∴3a＝9×27，∴a＝5，∴（a+1）（a+2）（a+3）＝6×7×8＝336．故选：C．7．在△ABC中，已知，，若，则λ﹣μ＝（）A．B．C．D．解：因为，则，＝＝＝（）﹣＝﹣＝，所以，则，故选：B．8．已知椭圆：）．则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解：椭圆：）．则椭圆的离心率e＝＝∈（0，]．故选：C．9．有下列命题：p1：幂函数g（x）＝xα（α∈R）的定义域为实数集R；p2：已知数据x1，x2，…，x20的平均数为，方差s2＝0.25，则（x i）2＝5；p3：若f（x）函数的导函数为f'（x），f'（x）＝0的解为x i，则x i为函数f（x）的极值点；p4：变量x i，y i负相关，相关系数为r，则r越大相关性越弱，越小相关性越强．则真命题为（）A．p1∧p2B．p2∧p4C．￢p2∨p3D．p3∨￢p4解：p1：幂函数g（x）＝xα（α∈R）的定义域为实数集R，是假命题，比如g（x）＝的定义域是{x|x≥0}；p2：已知数据x1，x2，…，x20的平均数为，方差s2＝0.25，则（x i）2＝ns2＝20×0.25＝5，是真命题；p3：若f（x）函数的导函数为f'（x），f'（x）＝0的解为x i，则x i为函数f（x）的极值点，是假命题，比如f（x）＝x3，f′（x）＝3x2＝0，x＝0不是函数f（x）的极值点；p4：变量x i，y i负相关，相关系数为r＜0，|r|越大，相关性越强，则r越大相关性越弱，越小相关性越强，是真命题，故p2∧p4是真命题，故选：B．10．为了解某电子产品的使用寿命，从中随机抽取了100件产品进行测试，得到图示统计图．依据统计图，估计这100件产品使用寿命的中位数为（）A．218.25B．232.5C．231.25D．241.25解：设中位数为x，前2组的频数之和为25，前3组的频数之和为65，故，解得x＝231.25，所以这100件产品使用寿命的中位数为231.25．故选：C．11．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（）在闭区间[﹣，]上的最小值和最大值依次为（）A．﹣，2B．﹣2，﹣C．﹣，0D．0，2解：由图可知，T＝﹣＝，可得T＝＝π，可得ω＝2，由函数图像可得：2×+φ＝+2kπ，可得φ＝+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，可得φ＝，可得f（x）＝A sin（2x+），将（，1）代入y＝A sin（2x+），A sin（+）＝1，可得A＝2，所以f（x）＝2sin（2x+），f（）＝f（+）＝2sin（3x+）＝g（x），因为x∈[﹣，]，可得3x+∈[0，]，g（x）max＝2sin＝2，g（x）min＝2sin＝﹣，则f（）在闭区间[﹣，]上的最小值和最大值依次为﹣，2．故选：A．12．已知展开式的常数项的取值范围为[135，240]，且x2+alnx≥（a+2）x恒成立．则a的取值范围为（）A．[﹣4，﹣3]∪[3，4]B．[﹣4，﹣1]∪[3，4]C．[1，4]D．[﹣4，﹣3]解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝•a r•x6﹣3r，令6﹣3r＝0，得r＝2，所以展开式的常数项为T3＝a2•＝15a2∈[135，240]，解得9≤a2≤16，所以﹣4≤a≤﹣3或3≤a≤4，又x2+alnx≥（a+2）x（x＞0）恒成立，即x2+alnx﹣（a+2）x≥0对x＞0恒成立，令g（x）＝x2+alnx﹣（a+2）x，则g'（x）＝，当a≥0时，当a→0时，g（x）＜0，不符合题意；当﹣4≤a≤﹣3时，g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝﹣1﹣a≥0，解得a≤﹣1．综上所述，a的取值范围为[﹣4，﹣3]．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上）. 13．已知随机变量ξ的期望为15，则E（3ξ+5）＝50．解：因为随机变量ξ的期望为15，即E（ξ）＝15，所以E（3ξ+5）＝E（3ξ）+5＝3E（ξ）+5＝3×15+5＝50．故答案为：50．14．已知在△ABC中，sin2A+sin2B﹣sin2C＝，则cos2C＝﹣1．解：因为sin2A+sin2B﹣sin2C＝，所以a2+b2﹣c2＝，可得2ab cos C＝，可得cos2C＝，则cos2C＝2cos2C﹣1＝﹣1．故答案为：﹣1．15．已知直线x＝a与双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线围成的三角形的面积为2，则双曲线C的焦距的最小值为4．解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，分别将x＝a，代入可得y＝±b，即D（a，b），E（a，﹣b），则S△ODE＝×a×2b＝ab＝2，∴c2＝a2+b2≥2ab＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴C的焦距的最小值为2×2＝4，故答案为：4．16．现在有红豆、白豆各若干粒．甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩10粒；第二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩n （n∈N*，16＜n＜20）粒．则红豆和白豆共有58粒．解：设红豆为x粒，白豆为y粒由题意可知，第一轮取豆的次数为，故x为4的倍数，y﹣2×＝10，第二轮取豆的次数为，故y为2的倍数，x﹣2×＝n．联立可得x＝，又因16＜n＜20，n＝17时，x＝，不合题意舍去；n＝18时，x＝，不合题意舍去；n＝19时，x＝32，此时y＝26，∴x+y＝58，故答案为：58．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分. 17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log2S n，设c n＝b n•S n，求数列{c n}的前n项和为T n．解：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n，当n≥2时，a n＝S n﹣2n﹣1．①，故，②，①﹣②得：，整理得：，故，当n＝1时，a1＝1（首项符合通项），所以．故b n＝log2S n＝n，则，故T n＝c1+c2+...+c n＝1×21+2×22+...+n•2n①，②，①﹣②得：＝，故，当n＝1时，T1＝0，所以．18．某中学高一（1）班在接种了“新冠疫苗”之后，举行了“疫情防控，接种疫苗”知识竞赛．这次竞赛前21名同学成绩的茎叶图如图所示，已知前7名女生的平均得分为221分．（Ⅰ）①求茎叶图中x的值；②如果在竞赛成绩高于205分且按男生和女生分层抽样抽取6人，再从这6人中任选3人作为后期举行的“接种疫苗，感恩祖国”主题班会中心发言人，求这3人中有女生的概率．（Ⅱ）如果在竞赛成绩高于220分的学生中任选4人参加学校座谈会，用ξ表示4人中成绩超过235分的人数，求ξ的分布列和期望．解：（Ⅰ）①由茎叶图可知，前7名女生的平均得分为（200+x+212+216+221+228+230+236）＝221，所以x＝4；②竞赛成绩高于205分的女生有6人，男生有12人，按男生和女生分层抽样抽取6人，则样本中的男生人数为6×，女生的人数为，记时间A为“从6人中任选3人作为后期举行的“接种疫苗，感恩祖国”主题班会中心发言人，这3人中有女生”，则P（A）＝1﹣＝；（Ⅱ）竞赛成绩高于220分的学生共有11人，成绩高于235分的学生共有3人，由题意可知，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，则P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，所以随机变量ξ的分布列为：ξ0123P则E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．19．已知圆O：x2+y2＝12与抛物线S：y2＝2px（p＞0）交于A、B两点（A在第一象限），．（Ⅰ）求抛物线S的方程；（Ⅱ）设过A点的两条直线l1与l2关于直线x＝2对称，直线l1与l2与抛物线S都有两个不同交点，且另交点分别为M、N，求直线MN的斜率．解：（Ⅰ）由题意可得，A，B关于x轴对称，又|AB|＝，∴A，B纵坐标为，代入圆的方程，可得横坐标为2，把点A（2，）代入y2＝2px（p＞0），得p＝2，可得抛物线S的方程为y2＝4x；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），A（2，2），由题意可知，l1与l2的斜率存在，设AM：，则AN：，联立，得．∴，得；同理求得．∴＝．即直线MN的斜率为．20．在正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，AB＝2，AA1＝4，M为侧棱DD1的中点，P 为棱C1D1上一点，O为下底面ABCDEF的中心．（Ⅰ）求证：MO∥平面ABD1E1；（Ⅱ）若直线DP与平面ABB1A1所成角的正弦值为，求tan∠DPD1的值．【解答】（Ⅰ）证明：连结AD1，AD，因为O为AD的中点，M为DD1的中点，所以OM为△ADD1的中位线，则OM∥AD1，因为OM⊄平面ABD1E，AD1⊂平面ADD1，故OM∥ABD1E；（Ⅱ）解：平面ABB1A1至平面PP1P2P3，过D作DH⊥P1P2交P1P2于点H，则DH⊥平面PP1P2P3，因为ABCDEF为正六边形，所以△OCD为等边三角形，因为AB∥IP3∥OC，所以∠DIP3＝∠DOC＝60°，∠DP3I＝∠DCO＝60°，所以△DP3I为等比三角形，DH⊥IP3，所以DH为△DP3I的中垂线，则∠DPH即为直线DP与平面ABB1A1所成的角，则sin∠DPH＝，设D1P＝x，则DH＝，DP＝，所以，解得x＝2，所以＝．21．已知函数f（x）＝）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论f（x）的零点的个数，并确定每个零点的取值范围（不要求范围“最小”）．解：（Ⅰ）a＝0时，f（x）＝，函数f（x）的定义域是（0，2）∪（2，+∞），f′（x）＝，令g（x）＝1﹣﹣ln2x，g′（x）＝，当x∈（0，2）时，g′（x）＞0，g（x）递增，当x∈（2，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）递减，故g（x）＜g（2）＝﹣ln4＜0，故f′（x）＜0，故f（x）在（0，2），（2，+∞）递减，无递增区间；（Ⅱ）f（x）的零点个数等价于h（x）＝与H（x）＝ax2交点的个数，①a＝0时，h（x）＝＝0，解得：x1＝，h（x）和H（x）1个交点，故a＝0时，f（x）只有1个零点x1＝，②a＜0时，由①知：x∈（0，2）时，h（x）递减，x→0时，h（x）→+∞，x→2时，h（x）→﹣∞，x∈（2，+∞）时，h（x）递减，x→2时，h（x）→+∞，x→+∞时，f（x）→0且f（x）＞0，H（x）为开口向下的二次函数，与h（x）的图像有1个交点，故a＜0时，f（x）只有1个零点x2，由f（）＞0，f（2）＜0，故x2∈（，2），③a＞0时，H（x）为开口向上的二次函数，由②对h（x）的分析可知：H（x）与h（x）的图像在（0，2）和（2，+∞）内的图像上各有1个交点，故a＞0时，f（x）有2个零点x3∈（0，），x4∈（2，+∞），综上：a＝0时，f（x）只有1个零点x1＝，a＜0时，f（x）只有1个零点x2∈（，2），a＞0时，f（x）有2个零点x3∈（0，），x4∈（2，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．在极坐标系中，曲线，点．在直角坐标系中，，，直线l的参数方程为（t为参数）（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并判|PM|+|PN|与4的大小关系；（Ⅱ）直线l与曲线C交于A、B两点，Q为曲线C的右顶点，求△ABQ的面积．解：（Ⅰ）由曲线，得ρ2+3ρ2sin2θ＝4，∵ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ，∴x2+4y2＝4，即曲线C的直角坐标方程为．点，由x＝，y＝．∴点P的直角坐标为（，），又，是椭圆的两个焦点，而P（，）代入椭圆方程得成立，∴P在椭圆上，则|PM|+|PN|＝4；（Ⅱ）由（t为参数），消去参数t，得y＝x+1．联立，解得或，不妨设A（0，1），B（），由题意Q（2，0），设直线l与x轴的交点为P，则P（﹣1，0）．则S△ABQ＝S△APQ+S△BPQ＝．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝x|x﹣1|﹣a|x+1|．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）≤3x﹣2的解集；（Ⅱ）当a＝﹣x，x≥1时，f（x+1）≥mx恒成立，求m的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）≤3x﹣2即为x|x﹣1|﹣2|x+1|≤3x﹣2等价为或或，解得x≤﹣2或0≤x＜1或1≤x≤6，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[0，6]；（Ⅱ）当a＝﹣x，x≥1时，f（x+1）≥mx恒成立，即为（x+1）|x|+（x+1）|x+2|≥mx恒成立，当x≥1时，m≤x+1+＝2x++4恒成立，由y＝2x+在[1，+∞）递增，可得y＝2x+的最小值为4，所以m≤4，即m的取值范围是（﹣∞，4]．。
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陕西省八校联考2021届高三下学期联考（三）
数学理试题
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟，
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持纸面清洁，不折叠，不破损．
5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题纸上把所选题目对应的题号涂黑．
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．设集合，则实数a的值为A．0 B．1 C．2 D．4
2．已知复数在夏平面上对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知数列的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．对于任意向量a、b、c，下列命题中正确的是
5．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是
A．870 B．30
C．6 D．3
6．设的展开式的各项系数之和为肘，二项式系数之和为N．函数
f（x）的图像如图所示，下列数值排序正确的是
A．4 B．6
C．8 D．10
7．一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为
8．已知实数的取值范围是
9．定义行列式运算的图象向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则n的最小值为
10．已知两点A（0，2）、B（2，0），若点C在函数的图像上，则使得的面积为2的点C
的个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
11．函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是
12．已知双曲线的右焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若线段FH的中点肘在双曲线C上，则双曲线C的离心率为
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知数列的值为。
14．若指数函数在其定义域内是减函数，则口的取值范围是_______j
15．由1，4，5，x可组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各位数字之和为288，则x 的值为________
16．已知函数有解，则实数m的取值范围为____．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题满分12分）
△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，且a，b，c 也成等差数列，求证：△ABC为等边三角形．
18．（本小题满分12分）
19．（本小题满分12分）
现有4人去旅游，旅游地点有A、B两个地方可以选择．但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里琨，掷出能被3整除的数时去A地，掷出其他的则去B地．
（I）求这4个人中恰好有1个人去B地的概率；
（Ⅱ）求这4个人中去A地的人数大于去B地的人数的概率；
（Ⅲ）用X、Y分别表示这4个人中去A、B两地的人数，记求随机变量亭的分布列与数学期望．
20．（本小题满分12分）
设P为椭圆离心率为
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）符直线与椭圆交于A、B两点，若线段AB的中点C在直线上，D
为坐标原点，求△OAB面积S的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知函数
（I）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若的图像上存在P1、P2两点，其横坐标满足，且
g（x）的图像在此两点处的切线互相垂直，求a的取值范围．
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，过圆O外一点P分别作圆D的切线PA和割线PBC，其中A为切点．过点A作PC的平行线交圆O于点D，BD的延长线交直线PA于点Q．
（I）求证：
（Ⅱ）若求PC的长．
23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C和直线l的极坐标方程分别为
（I）求圆C和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C和直线l相交于点A和B，求以AB为直径的圆D的参数方程．
24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
已知函数
（I）当a=3时，求不等式f（x）≤4的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集为空集，求实数a的取值范围，。