新人教版八年级数学下册专题训练

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人教版八年级下册数学17章《勾股定理》解答题专项训练(带答案)

人教版八年级下册数学17章勾股定理解答题专题训练1．如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，求∠ABD的度数．2．如图，在∠ABC中，AB=8，AC=6，BC=10，AD∠BC，垂足为D．求AD的长．3．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断裂，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前有多高？（旗杆粗细、断裂磨损忽略不计）4．如图所示，在∠ABC中，AB∠BC∠CA＝3∠4∠5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动．如果点P、Q同时出发，设运动时间为t秒．(1)经过3秒时，∠BPQ的面积为多少？(2)当t为何值时，BP＝1BQ？2(3)当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？5．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得3AB =，4BC =，12CD =，13AD =，90ABC ∠=︒．求阴影部分的面积．6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．(1)画出ABC 关于直线MN 对称的A 1B 1C 1；(2)求AB 1C 的面积；(3)试判断ABC 的形状并说明理由．7．如图，在∠ABC 和∠CDE 中，∠ABC ＝∠CDE ＝90°，且AC ∠CE ，AC ＝CE ．(1)求证：ABC CDE △≌△(2)若AC ＝13，DE ＝5，求DB 的长．8．如图，在∠ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＞AC ，CD ∠AB 于点D ，点E 是AB 的中点，连接CE ．(1)若AC ＝3，BC ＝4，求CD 的长；(2)求证：BC 2﹣AC 2＝2DE •AB ；(3)求证：CE ＝12AB ．9．如图，ABC 中，3AB AC ==，4BC =．(1)求高AD 的长；(2)求ABC 的面积．10．《九章算术》“勾股”章中有一道题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何？”大意是：已知甲、乙二人从同一地点出发，甲的速度与乙的速度之比为7：3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇．这时甲、乙各走了多远？11．如图，△ABC中，△ABC=45°，△BAC=60°，D为BC上一点，△ADC=60°，AE∠BC于点E，CF∠AD于点F，AE、CF相交于点G．(1)求△DAC的度数；(2)求证：DF=FG；(3)若DC=2，求线段EG的长．12．如图，点C在线段BD上，AC∠BD，CA＝CD，点E在线段CA上，且满足DE＝AB，连接DE并延长交AB于点F．(1)求证：DE∠AB；(2)若已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，请借助本题提供的图形，用面积法证明勾股定理．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延长线上一点，连接BD．(1)若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；(2)若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度数．14．如图，在ABC ∆中，6BC =，8AC =，DE AB ⊥，7DE =，ABE ∆的面积为35．(1)求AB 的长；(2)求ACB ∆的面积．15．如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()1,4和()3,0，点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上．(1)求出AB 的长．(2)求出ABC 的周长的最小值？16．如图，CD 是∠ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是∠ACD 和∠BCD 的高．(1)求证CD ∠EF ；(2)若AC ＝6，BC ＝4，S △ABC ＝10，∠ACB ＝60°，求CG 的长．17．如图，在∠ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=4，BC=12，AD=3，若点P在BC上运动．(1)求线段DP的最小值；(2)当DP最小时，求CDP的面积．18．如图，∠ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2－DA2＝AC2．(1)求证：∠A＝90°；(2)若BC2＝56，AD∠BD＝3∠4，求AC的长．于D．19．已知∠ABC中，AB＝AC，CD AB(1)若∠A＝42°，求∠DCB的度数；(2)若BD＝1，CD＝3，M为AC的中点，求DM的长．参考答案：1．解：在直角∠BCD 中，∠C ＝90°，BC ＝3，CD ＝4，∠BD ＝5，在∠ABD 中，AD 2＝132=169，AB 2+BD 2＝122+52=144+25=169，∠AD 2＝AB 2+BD 2，∠∠ABD 是直角三角形，∠∠ABD ＝90°．2．解：在ABC ∆中，8AB =，6AC =，10BC =，2222228610010AB AC BC ∴+=+===，90CAB ∴∠=︒，AD BC ⊥，1122ABC S AC AB BC AD ∆∴==， 4.8AC AB AD BC ∴==． 3．如图，由题意可知ABC 为直角三角形，且90ACB ∠=︒，∠10AB =米，∠10 2.812.8AB BC +=+=米．故这根旗杆被吹断裂前有12.8米高．4(1)设AB 、BC 、CA 分别为3x 、4x 、5x ，由题意得：3x ＋4x ＋5x ＝36，解得：x ＝3，则AB ＝3x ＝9，BC ＝4x ＝12，AC ＝5x ＝15，∠AB 2＋BC 2＝92＋122＝225，AC 2＝152＝225，∠AB 2＋BC 2＝AC 2，∠∠B ＝90°，当t ＝3时，AP ＝3cm ，BQ ＝6cm ，则BP ＝9﹣3＝6cm ，∠S △BPQ ＝12×6×6＝18（cm 2）；(2)由题意得：AP ＝t ，BQ ＝2t ，则BP ＝6﹣t ，当BP ＝12BQ 时，6﹣t ＝12×2t ，解得：t ＝3；(3)当点B 在PQ 的垂直平分线上时，BP ＝BQ ，即6﹣t ＝2t ，解得：t ＝2．5．解：如图，连结AC ．∠90B ∠=︒，3AB =，4BC =，5AC ∴=． 12CD =，13AD =，5AC =，222AC CD AD ∴+=，ACD ∴∆是直角三角形且∠ACD =90°，11512343062422ACD ABC S S S ∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=-=阴影．6．解：∠A1B1C1如图所示；，(2)解：∠AB1C的面积=4×4-12×1×4-12×2×3-12×2×4=16-2-3-4=16-9=7；，(3)解：由勾股定理得，ABBC，AC，∠AB2+AC2=2+）2=25=52，∠AB2+AC2=BC2，∠∠ABC是直角三角形．7．(1)证明：∠AC∠CE，∠ABC=∠CDE=90°，∠∠BCA+∠DCE=90°，∠A+∠BCA=90°∠∠DCE=∠A．∠在∠ABC 和∠CDE 中，90ABC D A DCE AC CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABC ∠∠CDE (AAS)．(2)∠∠ABC ∠∠CDE ，DE ＝5，AC ＝13∠BC ＝DE ＝5，CE ＝13∠在Rt CDE △中，12CD ==∠1257DB CD BC =-=-=．8．解：在∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，由勾股定理得：AB5，∠∠ACB ＝90°，CD ∠AB ，∠S △ABC ＝12AC •BC ＝12AB •DE ，即12×3×4＝12×5×CD ，解得：CD ＝125； (2)证明：∠点E 是AB 的中点，∠AE ＝BE ，∠BD ﹣AD ＝（BE +DE ）﹣（AE ﹣DE ）＝BE ﹣AE +2DE ＝2DE ，∠CD ∠AB ，∠BC 2＝BD 2+CD 2，AC 2＝AD 2+CD 2，∠BC 2﹣AC 2＝（BD 2+CD 2）﹣（AD 2+CD 2）＝BD 2﹣AD 2＝（BD +AD ）（BD ﹣AD ）＝AB •2DE ＝2DE •AB ；(3)证明：延长CE 至点F ，使EF ＝CE ，连结AF ，在∠AEF 和∠BEC 中，AE BE AEF BEC EF EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠AEF ∠∠BEC （SAS ），∠∠B ＝∠EAF ，AF ＝BC ，∠∠ACB ＝90°，∠∠B +∠CAB ＝∠EAF +∠CAB ＝90°，∠∠CAF ＝∠ACB ＝90°，∠AC ＝CA ，∠∠ACF ∠∠CAB （SAS ），∠CF ＝AB ，∠CF ＝2CE ，∠CE ＝12AB ．9．解：∠ ABC 中，3AB AC ==，4BC =，AD 是ABC 的高， ∠2BD DC ==，AD BC ⊥，∠AD ==(2)解：∠4BC =，AD =∠114522S ABC BC AD ==⨯⨯= 10．解：如图设经x 秒二人在B 处相遇，这时乙共行AB =3x ，甲共行AC +BC =7x ，∠AC =10，∠BC =7x -10，又∠∠A =90°，∠BC 2=AC 2+AB 2，∠（7x -10）2=102+（3x ）2，解得：x 1=0（舍去），x 2=3.5，∠AB =3x =10.5，AC +BC =7x =24.5．答：甲行24.5步，乙行10.5步．11．(1)∠60ADC ∠=︒，∠604515DAB ADC B ∠=∠-∠=︒=-︒︒， ∠601545DAC BAC DAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．(2)∠45DAC ∠=︒，且CF AD ⊥，∠90AFC CFD ∠=∠=︒，45ACF DAC ∠=∠=︒， ∠AF CF =．又∠90FAG AGF ∠+∠=︒，90DAE ADE ∠+∠=︒ ∠ADC AGF ∠=∠，∠()AFG CFD AAS ≌△△，∠DF FG =；(3)在Rt CFD △中，90CFD ∠=︒，60CDF ∠=︒， ∠112DF CD ==， ∠1FG DF ==．在Rt CFD △中，CF∠1CG CF FG =-=．在Rt CGE △中，90GEC ∠=︒，9030GCE ADC ∠=︒-∠=︒，∠12EG CG == 12．证明：∠AC ∠BD ，∠∠ABC 和∠DCE 都是直角三角形， ∠CA ＝CD ，DE ＝AB ，∠()Rt ABC Rt DCE HL ≅ ，∠∠BAC =∠CDE ，∠∠BAC +∠ABC =90°，∠∠CDE +∠ABC =90°，∠∠BFD =90°，∠DE ∠AB ；(2)解：∠Rt ABC Rt DCE ≅，∠DE =AB =c ，CE =BC =a ，设EF =x ，则DF =c +x ，∠DE ∠AB ， ∠()1122ABD SAB DF c c x =⋅=+ ，1122ABE S AB EF cx =⋅=， ∠ABD ACD BCE ABE S S S S =++， ∠()2211112222c c x cx a b +=++ ， ∠222+=a b c ．13．解：∠AB ＝AC ，AC =8，∠AB =8，∠AD =17，BD =15，∠22281517+=，即222AB BD AD +=， ∠∠ABD =90°，即AB ∠BD ；(2)∠∠D =28°，∠DBC =121°，∠∠C =180°-28°-121°=31°，∠AB =AC ，∠∠ABC =∠C =31°，∠∠DAB =∠C +∠ABC =62°．14(1) 解：由题意知17352ABE SAB =⨯= 解得10AB =∠AB 的长为10．(2)解：在ABC 中，2210100AB ==，222268100AC BC +=+= ∠222AB AC BC =+∠90C ∠=︒ ∠11682422ABC S AC BC ∆=⨯=⨯⨯=∠ABC 的面积为24．15作AD OB ⊥于D ，如图1所示：则90,1,4,3ADB OD AD OB ∠====︒， ∠312BD =-=，∠AB =(2)解：要使ABC 的周长最小，AB 一定，则AC BC +最小，作A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '交y 轴于点C ，点C 即为使AC BC +最小的点，作A E x '⊥轴于E ，由对称的性质得：AC A C '=，,4,1AC BC A B A E OE ''+===，OB =3， ∠=4BE OE OB +=，由勾股定理得：A B =='∠ABC 的周长的最小值为 16.(1)∠CD 是∠ABC 的角平分线，DE ∠AC ，DF ∠BC ， ∠DE =DF ，∠CDE 和∠CDF 是直角三角形， ∠CD =CD ，∠()Rt CDE Rt CDF HL ≅，∠CE =CF ，∠CD 垂直平分EF ，即CD ∠EF△(2)∠CE =CF ，∠ACB ＝60°，∠∠CEF 是等边三角形，∠EF =CE ，∠ACD =30°，∠CD ∠EF ， ∠1122EG EF CE ==， ∠AC ＝6，BC ＝4，S △ABC ＝10，DE =DF ，ABC ACD BCD S S S =+△△△， ∠ ()11110222DE AC DF BC DE AC BC ⨯+⨯=⨯+=，解得：DE =2，在Rt CDE △ 中，∠ACD =30°，∠CD =2DE =4，∠CE∠1122EG EF CE ===∠3CG ．17解：当DP ∠BC 时，线段DP 的值最小，∠BD 平分∠ABC ，∠A =90°，当DP ∠BC 时，DP =AD ，∠AD =3，∠DP 的最小值是3；(2)解：∠∠A =90°，∠BD ，当DP 最小时，DP =3，DP ∠BC ，则∠DPB =∠DPC =90°，∠PB =4，∠CP =BC -PB =12-4=8，∠∠CDP 的面积=12CP ×DP =12×8×3=12，即当DP 最小时，∠CDP 的面积为12． 18解：连接CD ．∠ DE 垂直平分BC ∠CD ＝BD ．∠ BD2－DA2＝AC2 ，∠ CD2－DA2＝AC2 ．∠∠A＝90°．(2)解：∠ AD∠BD＝3∠4，∠设AD＝3x，BD＝4x．7,AB xBD2－DA2＝AC2 ，∠∠A＝90°，∠AC2＝7x2．∠BC2＝AC2＋AB2＝56x2＝56，∠x＝1．（负根舍去）∠AC=19(1)∠AB＝AC，∠∠B＝∠ACB∠∠A＝42°∠11(180)(18042)69 22ACB A∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒∠CD∠AB，∠∠ACD＝90°-42°=48°∠∠DCB＝69°-48°＝21°；(2)设AC＝AB＝x，∠BD＝1，CD＝3∠AD＝x-1，∠CD∠AB∠222 DC AD CA+=∠222 3(1)x x+-=∠5x=∠M为AC的中点∠1522 MD AC==。

人教版八年级数学下册期末复习专题在直角坐标系中求几何图形的面积(含答案)

人教版八年级数学下册期末复习专题训练——在直角坐标系中求几何图形的面积1.如图，四边形是矩形，点，在坐标轴上，是由绕点顺时针旋转得到的，点在轴上，直线交轴于点，交于点，线段＝2，＝4（1）求直线的解析式．（2）求的面积．2.直线a：y=x+2和直线b：y=﹣x+4相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C，与y轴相交于点D和点E．（1）在同一坐标系中画出函数图象；（2）求△ABC的面积；（3）求四边形ADOC的面积；（4）观察图象直接写出不等式x+2≤﹣x+4的解集和不等式﹣x+4≤0的解集．3.如果两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2满足k1=k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．已知函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y=kx+b 与y=﹣2x+4是“平行一次函数”（1）若函数y=kx+b的图象过点（3，1），求b的值；（2）若函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的面积是△AOB面积的，求y=kx+b的解析式．4.如图，10个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，求该直线l的解析式5.如图1，直线3=xy分别与y轴、x轴交于点A、点B，点C的坐标为(－3，0)，D -3+3为直线AB上一动点，连接CD交y轴于点E(1) 点B的坐标为__________，不等式+-x的解集为___________3>33(2) 若S△COE＝S△ADE，求点D的坐标(3) 如图2，以CD为边作菱形CDFG，且∠CDF＝60°．当点D运动时，点G在一条定直线上运动，请求出这条定直线的解析式.6.在直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（﹣2，a），B（3，﹣3）三点．（1）求a的值；（2）设这条直线与y轴相交于点D，求△OPD的面积．7.如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=10，点A、B的坐标分别为（2，0）、（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=x﹣5上时，求线段BC扫过的面积8.已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=﹣2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接EF，若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；9. 如图,已知直线343+=x y 与坐标轴交于B,C 两点,点A 是x 轴正半轴上一点,并且15=∆ABC S .点F 是线段AB 上一动点(不与端点重合),过点F 作FE ∥x 轴,交BC 于E.(1) 求AB 所在直线的解析式;(2) 若FD ⊥x 轴于D,且点D 的坐标为)0,(m ,请用含m 的代数式,表示DF 与EF 的长;(3) 在x 轴上是否存在一点P,使得△PEF 为等腰直角三角形,若存在,请直接写出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），与x 轴交于点B ．（1）求这条直线的解析式；（2）直线AD 与（1）中所求的直线相交于点D （﹣1，n ），点A 的坐标为（﹣3，0）．①求n 的值及直线AD 的解析式； ②求△ABD 的面积；③点M 是直线y=﹣2x+a 上的一点（不与点B 重合），且点M 的横坐标为m ，求△ABM 的面积S 与m 之间的关系式．11.已知一次函数的图象经过（1，1）和（﹣1，﹣5）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求这个一次函数的图象与x 轴、y 轴的交点坐标，并求出该图象与两坐标轴围成的三角形的面积．12.如图，边长为5的正方形OABC的顶点0在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是0A边上的点(不与点A重合)，EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P．(1)求证：CE=EP；(2)若点E的坐标为(3，O)，在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形?若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由．13.已知一次函数的图象经过（1，1）和（﹣1，﹣5）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求这个一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标，并求出该图象与两坐标轴围成的三角形的面积．14.直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，－2)．(1)求直线AB的解析式；(2)若直线AB上一点C在第一象限且点C的坐标为(2，2)，求△BOC的面积．15.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋4(k≠0)与y轴交于点A.(1)如图，直线y＝－2x＋1与直线y＝kx＋4(k≠0)交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为－1.①求点B的坐标及k的值；②直线y＝－2x＋1、直线y＝kx＋4与y轴所围成的△ABC的面积等于____________；(2)直线y＝kx＋4(k≠0)与x轴交于点E(x0，0)，若－2＜x0＜－1，求k的取值范围．16.如图，己知直线l：y=x+1（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点.（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）若P是x轴上的一个动点，求出当△PAB是等腰三角形时P的坐标；（3）在y轴上有点C（0，3），点D在直线l上.若△ACD面积等于4.请直接写出D的坐标.17.如图①所示，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B →C→D运动，设运动的时间为t(s)，三角形APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：(1)点P在AB上运动的时间为________s，在CD上运动的速度为________cm/s，三角形APD的面积S的最大值为________cm2；(2)求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式；(3)当t为何值时，三角形APD的面积为10 cm2?18.已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=﹣2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF ⊥y轴于点F，连接EF，若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；答案：1. （1）OC=4,BC=2,B(-2,4)，．设解析式为，．（2），．直线，．当，，，．2.（1）依照题意画出图形，如图所示．（2）令y=x+2中y=0，则x+2=0，解得：x=﹣2，∴点B（﹣2，0）；令y=﹣x+4中y=0，则﹣x+4=0，解得：x=4，∴点C（4，0）；联立两直线解析式得：，解得：，∴点A （1，3）．S △ABC =BC•y A =×[4﹣（﹣2）]×3=9．（3）令y=x +2中x=0，则y=2，∴点D （0，2）．S 四边形ADOC =S △ABC ﹣S △DBO =9﹣×2×2=7．（4）观察函数图形，发现：当x ＜1时，直线a 在直线b 的下方，∴不等式x +2≤﹣x +4的解集为x ≤1；当x ＞4时，直线b 在x 轴的下方，∴不等式﹣x +4≤0的解集为x ≥4．3.（1）∵一次函数y=kx +b 与y=﹣2x +4是“平行一次函数”，∴k=﹣2，即y=﹣2x +b ． ∵函数y=kx +b 的图象过点（3，1），∴1=﹣2×3+b ，∴b=7．（2）在y=﹣2x +4中，令x=0，得y=4，令y=0，得x=2，∴A （2，0），B （0，4），∴S △AOB =OA•OB=4．由（1）知k=﹣2，则直线y=﹣2x +b 与两坐标轴交点的坐标为（，0），（0，b ），于是有|b |•||=4×=1，∴b=±2，即y=kx +b 的解析式为y=﹣2x +2或y=﹣2x ﹣2．4.设直线l 和10个正方形的最上面交点为A ，过A 作AB ⊥OB 于B ，过A 作AC ⊥OC 于C ， ∵正方形的边长为1，∴OB=3，∵经过原点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，∴两边分别是5，∴三角形ABO 面积是7，∴OB•AB=7，∴AB=，∴OC=AB=，由此可知直线l 经过（，3），设直线方程为y=kx （k ≠0），则3=k ，解得k=∴直线l 解析式为y=x ．故答案为：y=x ．5.(1) (3，0)、x ＜3(2) ∵S △COE ＝S △ADE ∴S △AOB ＝S △CBD 即33321621⨯⨯=⨯⨯D y ，y D ＝233 当y ＝233时，23233333==+-x x ，∴D (23323，) (3) 连接CF ∵∠CDF ＝60°∴△CDF 为等边三角形连接AC ∵AB ＝AC ＝BC ＝6∴△ABC 为等边三角形∴△CAF ≌△CBD （SAS ）∴∠CAF ＝∠ACB ＝60°∴AF ∥x 轴设D (m ，333+-m )过点D 作DH ⊥x 轴于H ∴BH ＝3－m ，DB ＝6－2m ＝AF∴F (2m －6，33)由平移可知：G (m －9，m 3-)令⎪⎩⎪⎨⎧-=-=m y m x 39∴点G 在直线393--=x y 上6. （1）设直线的解析式为y=kx +b ，把A （﹣1，5），B （3，﹣3）代入，可得：{533=+--=+b k b k ，解得：，所以直线解析式为：y=﹣2x +3，把P （﹣2，a ）代入y=﹣2x +3中，得：a=7；（2）由（1）得点P 的坐标为（﹣2，7），令x=0，则y=3，所以直线与y 轴的交点坐标为（0，3），所以△OPD 的面积=．7.∵点A 、B 的坐标分别为（2，0）、（8，0），∴AB=6，∵∠CAB=90°，BC=10， ∴CA==8，∴C 点纵坐标为：8，∵将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=x ﹣5上时，∴y=8时，8=x ﹣5，解得：x=13，即A 点向右平移13﹣2=11个单位， ∴线段BC 扫过的面积为：11×8=88．故选：B ．8.（1）令x=0，则y=8，∴B （0，8），令y=0，则﹣2x +8=0，∴x=4，∴A （4，0），（2）∵点P （m ，n ）为线段AB 上的一个动点，∴﹣2m +8=n ，∵A （4，0），∴OA=4，∴0＜m ＜4∴S △PAO =OA ×PE=×4×n=2（﹣2m +8）=﹣4m +16，（0＜m ＜4） )3,0(30343)1(,9B y x x y 即时，中，当在==+= ∴OB=3同理OC=4 ∵15)(21=⋅+OB OA OC ,153)4(21=⨯+⨯OA ∴OA=6 即点A 的坐标为(6,0) 设AB 所在直线的解析式为y=kx+b⎩⎨⎧⎩⎨⎧=+=-==213063k b b k b 解得则∴AB 所在直线的解析式为 (2)在中,当,即DF= 在中,当m x m y 32,321-=+-=时 mm m EF 35)32(=--= (3)10.（1）∵直线y=﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），∴a=6，∴该直线解析式为y=﹣2x +6 （2）①∵点D （﹣1，n ）在直线BC 上，∴n=﹣2×（﹣1）+6=8，∴点D （﹣1，8）设直线AD 的解析式为y=kx +b ，将点A （﹣3，0）、D （﹣1，8）代入y=kx +b 中，得：，解得：，∴直线AD 的解析式为y=4x +12．②令y=﹣2x +6中y=0，则﹣2x +6=0，解得：x=3，∴点B （3，0）．∵A （﹣3，0）、D （﹣1，8），∴AB=6．S △ABD =AB•y D =×6×8=24．③∵点M 在直线y=-2x+6上，∴M （m ，-2m+6），时，即S=6m-18．11. （1）设函数解析式为y=kx +b ，由题意将两点代入得：{15=+-=+-b k b k ，解得：{32=-=k b ．∴一次函数的解析式为：y=3x ﹣2；（2）令y=0，得x=32，令x=0，得y=﹣2， 3232221=⨯⨯=∴s 12．（1）在OC 上截取OK =OE .连接EK .∵OC =OA ，∠1=90°，∠OEK =∠OKE =45°，∵AP 为矩形外角平分线，∴∠BAP =45°∴∠EKC =∠PAE =135°.∴CK =EA .∵EC ⊥EP ，∴∠3=∠4.∴△EKC ≌△PAE . ∴EC =EP （2）y 轴上存在点M ，使得四边形BMEP 是平行四边形.如图，过点B 作BM ∥PE 交y 轴于点M ，∴∠5=∠CEP =90°，∴∠6=∠ 4.在△BCM 和△COE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,46C O E B C M OC BC ∴△BCM ≌△COE ，∴BM =CE 而CE =EP ，∴BM =EP .由于BM ∥EP ，∴四边形BMEP是平行四边形由△BCM ≌△COE 可得CM =OE =3，∴OM =CO -CM =2.故点M 的坐标为（0，2）.13.（1）设函数解析式为y=kx +b ，由题意将两点代入得：，解得：．∴一次函数的解析式为：y=3x ﹣2；（2）令y=0，得x=，令x=0，得y=﹣2，∴S=×2×=．14.(1)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)．将A(1，0)，B(0，－2)代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－2.∴直线AB 的解析式为y ＝2x －2.(2)S △BOC ＝12×2×2＝2.15.（1）32 当x ＝－1时，y ＝－2×(－1)＋1＝3，∴B(－1，3)．将B(－1，3)代入y ＝kx ＋4，得k ＝1.(2)y ＝kx ＋4与x 轴的交点为(－4k ，0)，∵－2＜x 0＜－1，∴－2＜－4k＜－1，(1)解得2＜k＜4.16.（1）当y=0时，x+1=0，解得x=﹣2，则A（﹣2，0），当x=0时，y=x+1=1，则B（0，1）；（2）AB==，当AP=AB时，P点坐标为（﹣，0）或（，0）；当BP=BA时，P点坐标为（2，0）；当PA=PB时，作AB的垂直平分线交x轴于P，连结PB，如图1，则PA=PB，设P（t，0），则OA=t+2，OB=t+2，在Rt△OBP中，12+t2=（t+2）2，解得t=﹣，此时P点坐标为（﹣，0）；（3）如图2，设D（x，x+1），当x＞0时，∵S△ABC+S△BCD=S△ACD，∴•2•2+•2•x=4，解得x=2，此时D点坐标为（2，2）；当x＜0时，∵S△BCD﹣S△ABC=S△ACD，∴•2•（﹣x）﹣•2•2=4，解得x=﹣6，此时D点坐标为（﹣6，﹣2），综上所述，D点坐标为（2，2）或（﹣6，﹣2）.故答案为（﹣2，0），（0，1）；（2，2）或（﹣6，﹣2）.17.略18.（1）令x=0，则y=8，∴B（0，8），令y=0，则﹣2x+8=0，∴x=4，∴A（4，0），（2）∵点P（m，n）为线段AB上的一个动点，∴﹣2m+8=n，∵A（4，0），∴OA=4，∴0＜m＜4∴S△PAO=OA×PE=×4×n=2（﹣2m+8）=﹣4m+16，（0＜m＜4）。

人教版八年级数学下册专题复习提升训练20

专题复习提升训练卷20.2数据的波动程度-20-21人教版八年级数学下册一、选择题1、数据201，202，198，199，200的方差与极差分别是（）A ．1，4B ．2，2C ．2，4D ．4，22、在统计中，样本的方差可以近似地反映总体的（）A ．平均状态B ．分布规律C ．波动大小D ．极差3、已知A 样本的数据如下：72，73，76，76，77，78，78，78，B 样本的数据恰好是A 样本数据每个都加2，则A 、B 两个样本的下列统计量对应相同的是（） A ．平均数B ．方差C ．中位数D ．众数4、对于两组数据A ，B ，如果20.5A S =，22.1B S =，10B x =，10A x =，则（）A ．这两组数据的波动相同B ．数据B 的波动小一些C ．它们的平均水平不一样D ．数据A 的波动小一些5、已知：一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是2，方差是13，那么另一组数据3x 1﹣2，3x 2﹣2，3x 3﹣2，3x 4﹣2，3x 5﹣2的平均数和方差分别是（） A ．2，13B ．2，1C ．4，23D ．4，36、甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7、一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的鞋销售量如下表：店主决定在下次进货时增加一些23.5cm 尺码的女鞋，影响店主决策的统计量是（） A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差8、已知一组数据：-1，x ，0，1，-2的平均数是0，那么，这组数据的方差是（）A ．1B ．2C ．4D ．109、一组数1、2、2、3、3、a 、b 的众数为2，平均数为2，则这组数据的方差为（）A ．17B ．27C ．37D ．4710、已知：一组数据-1，2，-1，5，3，4，关于这组数据，下列说法错误的是（）A ．平均数是2B ．众数和中位数分别是-1和2.5C ．方差是16 D二、填空题11、需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测，其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数，现抽取8个排球，通过检测所得数据如下（单位：克）：+1，﹣2，+1，0，+2，﹣3，0，+1，则这组数据的方差是． 12、已知求方差的算式()()()()222221 6.8 5.7 3.2 4.34s x x x x ⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦，则其中的x =____13、已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差是s 2，则新的一组数据ax 1＋1，ax 2＋1，…，ax n ＋1(a 为常数，a≠0)的方差是．(用含a ，s 2的代数式表示)14、如果一组数据5、8、a 、7、4的平均数是a ，那么这组数据的方差为． 15、下表是甲，乙两名同学近五次测试成绩统计表：根据上表数据可知，成绩最稳定的同学是____．16、某地农业科技部门积极助力家乡农产品的改良与推广，为了解甲、乙两种新品橙子的质量，进行了抽样调查在相同条件下，随机抽取了甲、乙各25份样品，对大小甜度等各方面进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a ．测评分数（百分制）如下：甲：77，79，80，80，85，86，86，87，88，89，89，90，91，91，91，91，91，92，93，95，95，96，97，98，98乙：69，79，79，79，86，87，87，89，89，90，90，90，90，90，91，92，92，92，94，95，96，96，97，98，98b ．按如下分组整理、描述这两组样本数据：测评分数x 个数品种 60≤x ＜7070≤x ＜8080≤x ＜9090≤x ≤100甲 0 2 9 14 乙13516c ．甲、乙两种橙子测评分数的平均数、众数、中位数如下表所示：品种平均数众数中位数甲89.4m91乙89.490n根据以上信息，回答下列问题（1）写出表中m，n的值（2）记甲种橙子测评分数的方差为s12，乙种橙子测评分数的方差为s22，则s12，s22的大小关系为；（3）根据抽样调查情况，可以推断种橙子的质量较好，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）17、2022年将在北京——张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市.某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示，_____________选手的成绩更稳定.18、2020年新冠疫情来势汹汹，我国采取了有力的防疫措施，控制住了疫情的蔓延．甲，乙两个学校各有400名学生，在复学前期，为了解学生对疫情防控知识的掌握情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．（1）收集数据: 从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行了相关知识的网上测试，测试成绩如下：甲98 98 92 92 92 92 92 89 89 85 84 84 83 83 79 79 78 78 69 58乙99 96 96 96 96 96 96 94 92 89 88 85 80 78 72 72 71 65 58 55（2）整理、描述数据: 根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图：（3）分析数据: 两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：平均数众数中位数方差甲校84.7 92 m 88.91乙校83.7 n 88.5 184.01（说明：成绩80分及以上为优良，60﹣79分为合格，60分以下为不合格）（4）得出结论a．估计甲学校掌握疫情防控知识优良的学生人数约为；b．可以推断出学校的学生掌握疫情防控知识的水平较高，理由为．三、解答题19、从甲、乙两厂生产的同一种零件中各抽取5个，量得它们的尺寸（单位：mm）如下：甲厂生产的零件尺寸9.02 9.01 9 8.98 8.99乙厂生产的零件尺寸9.01 8.97 9.02 8.99 9.01（1）分别计算从甲、乙两厂抽取的5个零件的平均尺寸；（2）分别计算从甲、乙两厂抽取的5个零件的方差，根据计算结果，你认为哪个厂生产的零件更符合规格．（零件的规定尺寸为9mm）20、某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如图统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的初中学生人数为人，扇形统计图中的m＝，条形统计图中的n＝；（2）求统计调查的初中学生每天睡眠时间的平均数和方差．21、甲、乙两名同学进入八年级后某科6次考试成绩如图所示：平均数方差中位数众数甲7575乙33.370（1）请根据图填写上表；（2）从平均数和方差结合看，你认为谁的成绩稳定性更好些？22、某商店1～6周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如表（表Ⅰ）所示（单位：台）：第1周第2周第3周第4周第5周第6周甲9101091210乙1312711107现根据表Ⅰ数据进行统计得到表Ⅱ：平均数中位数众数甲10乙107（1）填空：根据表Ⅰ的数据补全表Ⅱ；（2）老师计算了乙品牌冰箱销量的方差：2＝[（13﹣10）2+（12﹣10）2+（7﹣10）2+（11﹣10）2+（10﹣10）2+（7﹣10）2]＝（台2）．S乙请你计算甲品牌冰箱销量的方差，根据计算结果，建议商家可多采购哪一种品牌冰箱？为什么？23、在发生某公共卫生事件期间，某专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是：“连续14天，每天新增疑似病例不超过7人”．已知在过去14天，甲、乙两地新增疑似病例数据信息如下：甲地：总体平均数为2，方差为2；乙地：中位数为3，众数为4和5．请你运用统计知识对数据分析并判断：甲、乙两地是否会发生大规模群体感染？请说明理由．（方差公式：24、某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名同学进行了8次跳高选拔比赛，他们的原始成绩（单位：cm）如下表：学生/成第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次绩/次数甲169 165 168 169 172 173 169 167乙161 174 172 162 163 172 172 176两名同学的8次跳高成绩数据分析如下表：学生/成绩/名称平均数（单位：cm）中位数（单位：cm）众数（单位：cm）方差（单位：cm2）甲 a b c 5.75乙169 172 172 31.25根据图表信息回答下列问题：（1）a＝，b＝，c＝；（2）这两名同学中，的成绩更为稳定；（填甲或乙）（3）若预测跳高165就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择同学参赛，理由是：；（4）若预测跳高170方可夺得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择同学参赛，班由是：．25、为帮助学生了解“预防新型冠状病毒”的有关知识，学校组织了一次线上知识培训，培训结束后进行测试．试题的满分为20分．为了解学生的成绩情况，从七、八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：抽取的20名七年级学生成绩是：20，20，20，20，19，19，19，19，18，18，18，18，18，18，18，17，16，16，15，14．抽取的40名学生成绩统计表性别七年级八年级平均分18 18众数 a b中位数18 c方差 2.7 2.7根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出表中a，b，c的值：a＝，b＝，c＝．（2）在这次测试中，你认为是七年级学生成绩好，还是八年级学生成绩好？请说明理由．（3）若九年级随机抽取20名学生的成绩的方差为2.5，则年级成绩更稳定（填“七”或“八”或“九”）．专题复习提升训练卷20.3数据的波动程度-20-21人教版八年级数学下册（解析）一、选择题1、数据201，202，198，199，200的方差与极差分别是（）A ．1，4B ．2，2C ．2，4D ．4，2【答案】C【分析】极差=数据最大值-数据最小值，求出数据的平均数，后套用方差公式计算即可. 【详解】∵最大数据为202，最小数据为198，∴极差=202-198=4；∵1200(12210)5x =++--+=200， ∴2222221[(201200)(202200)(198200)(199200)(200200)]5S =-+-+-+-+-=2，故选C.2、在统计中，样本的方差可以近似地反映总体的（）A ．平均状态B ．分布规律C ．波动大小D ．极差【答案】C【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，所以样本的方差可以近似地反映总体的波动大小．【详解】解：根据方差的意义知，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故选C ．3、已知A 样本的数据如下：72，73，76，76，77，78，78，78，B 样本的数据恰好是A 样本数据每个都加2，则A 、B 两个样本的下列统计量对应相同的是（） A ．平均数 B ．方差C ．中位数D ．众数【答案】B【分析】根据样本A ，B 中数据之间的关系，结合众数，平均数，中位数和方差的定义即可得到结论．【详解】设样本A 中的数据为xi ，则样本B 中的数据为yi=xi +2，则样本数据B 中的众数和平均数以及中位数和A 中的众数，平均数，中位数相差2，只有方差没有发生变化．4、对于两组数据A ，B ，如果20.5A S =，22.1B S =，10B x =，10A x =，则（）A ．这两组数据的波动相同B ．数据B 的波动小一些C ．它们的平均水平不一样D ．数据A 的波动小一些【答案】D【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．【详解】解：∵S A 2=0.5＜S B 2=2.1，10A B x x ==, ∴数据A 组的波动小一些．故选：D ．5、已知：一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是2，方差是13，那么另一组数据3x 1﹣2，3x 2﹣2，3x 3﹣2，3x 4﹣2，3x 5﹣2的平均数和方差分别是（） A ．2，13B ．2，1C ．4，23D ．4，3【答案】D【分析】本题可将平均数和方差公式中的x 换成3x-2，再化简进行计算．【详解】解：∵x 1，x 2，…，x 5的平均数是2，则x 1+x 2+…+x 5=2×5=10． ∴数据3x 1-2，3x 2-2，3x 3-2，3x 4-2，3x 5-2的平均数是：15x '=[（3x 1-2）+（3x 2-2）+（3x 3-2）+（3x 4-2）+（3x 5-2）] =15[3×（x 1+x 2+…+x 5）-10] =4，S′2=15×[（3x 1-2-4）2+（3x 2-2-4）2+…+（3x 5-2-4）2]，=15×[（3x 1-6）2+…+（3x 5-6）2] =9×15[（x 1-2）2+（x 2-2）2+…+（x 5-2）2] =3．故选：D ．6、甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【详解】解：∵甲与丁的平均分最高，甲的方差比丁的方差小，最稳定，∴应选甲．故选：A ．7、一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的鞋销售量如下表：店主决定在下次进货时增加一些23.5cm 尺码的女鞋，影响店主决策的统计量是（） A ．平均数 B ．中位数C ．众数D ．方差【答案】C【分析】根据题意，店主最关注的应该是最畅销的尺码，即影响店主决策的统计量是众数．【详解】解：由表格可知：尺码为23.5cm 的女鞋最畅销，即销售量最多∴影响店主决策的统计量是众数故选C ．8、已知一组数据：-1，x ，0，1，-2的平均数是0，那么，这组数据的方差是（）A ．1B ．2C ．4D ．10【答案】B【分析】先根据平均数求出x 的值，再根据方差公式列出算式，进行计算即可求出这组数据的方差．【详解】解：∵数据：-1，x ，0，1，-2的平均数是0，∴（-1+x+0+1-2）÷5=0，解得x=2， ∴这组数据的方差是： S 2=15[（-1-0）2+（2-0）2+（0-0）2+（1-0）2+（-2-0）2]=2；故选：B ．9、一组数1、2、2、3、3、a 、b 的众数为2，平均数为2，则这组数据的方差为（）A ．17B ．27C ．37D ．47【答案】D【分析】利用这组数据的平均数可求出+a b 的值，再利用这组数据的众数是2，可具体确定这组数据，最后即可求出其方差．【详解】∵这组数据的平均数为2，∴1223327a b++++++=，∴3a b +=．又∵这组数据的众数是2， ∴12a b ==，或21a b ==，． ∴这组数据为1、1、2、2、2、3、3．∴这组数据方差为222142(12)3(22)2(32)77⎡⎤⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦．故选：D ．10、已知：一组数据-1，2，-1，5，3，4，关于这组数据，下列说法错误的是（）A ．平均数是2B ．众数和中位数分别是-1和2.5C ．方差是16D ．标准差是433【答案】C【分析】分别求出这组数据的平均数、众数、中位数、方差和标准差即可进行判断．【详解】解：（-1+2+-1+5+3+4）÷6=2，所以平均数是2，故A 选项不符合要求；众数是-1，中位数是（2+3）÷2=2.5，故B 选项不符合要求； ()()()()()()2222222116=12221252324263S ⎡⎤⨯--+-+--+-+-+-=⎣⎦，故C 选项符合要求；43=3S ，故D 选项不符合要求．故选：C二、填空题11、需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测，其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数，现抽取8个排球，通过检测所得数据如下（单位：克）：+1，﹣2，+1，0，+2，﹣3，0，+1，则这组数据的方差是．解：平均数＝，方差＝＝2.5，故答案为：2.512、已知求方差的算式()()()()222221 6.8 5.7 3.2 4.34s x x x x ⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦，则其中的x =____ 【答案】5【分析】由方差公式可得原数据为：6.8,5.7,3.2,4.3，求它们的平均数即可得到答案．【详解】解：由题意得：()116.8 5.7 3.2 4.3205,44x =+++=⨯= 故答案为：5.13、已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差是s 2，则新的一组数据ax 1＋1，ax 2＋1，…，ax n ＋1(a 为常数，a≠0)的方差是．(用含a ，s 2的代数式表示) 【答案】a 2s 2【分析】由于一组数据x 1、x 2、x 3…的方差是s 2，而一组新数据ax 1+1，ax 2+1、ax 3+1…ax n +1中和原来的数据比较可以得到它们之间的联系，由此可以确定一组新数据ax 1+1，ax 2+1、ax 3+1…ax n +1的方差．【详解】解：∵一组数据x 1、x 2、x 3…x n 的方差是s 2，∴一组新数据ax 1+1，ax 2+1、ax 3+1…ax n +1的方差是a 2•s 2．故答案为a 2s 2．14、如果一组数据5、8、a 、7、4的平均数是a ，那么这组数据的方差为．解：根据题意知＝a ，解得a ＝6，所以这组数据为5、8、6、7、4，则这组数据的方差为×[（5﹣6）2+（8﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2]＝2，故答案为：2．15、下表是甲，乙两名同学近五次测试成绩统计表：根据上表数据可知，成绩最稳定的同学是____．【答案】乙【分析】根据平均数的计算公式先求出甲和乙同学的平均数，再代入方差公式求出甲和乙同学的方差，然后根据方差的意义即可得出答案．【详解】解：甲同学的平均数是：15(98+93+96+91+97)=95（分），甲同学的方差是：15[(98-95)2+(93-95)2+(96-95)2+(91-95)2+(97-95)2]=6.8，乙同学的平均数是：15(96+97+93+95+94)=95（分），乙同学的方差是：15[(96-95)2+(97-95)2+(93-95)2+(95-95)2+(94-95)2]=2，∵6.8＞2，∴方差小的为乙，∴成绩比较稳定的同学是乙．故答案为：乙．16、某地农业科技部门积极助力家乡农产品的改良与推广，为了解甲、乙两种新品橙子的质量，进行了抽样调查在相同条件下，随机抽取了甲、乙各25份样品，对大小甜度等各方面进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．测评分数（百分制）如下：甲：77，79，80，80，85，86，86，87，88，89，89，90，91，91，91，91，91，92，93，95，95，96，97，98，98乙：69，79，79，79，86，87，87，89，89，90，90，90，90，90，91，92，92，92，94，95，96，96，97，98，98b．按如下分组整理、描述这两组样本数据：60≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100测评分数x个数品种甲02914乙13516 c．甲、乙两种橙子测评分数的平均数、众数、中位数如下表所示：品种平均数众数中位数甲89.4m91乙89.490n根据以上信息，回答下列问题（1）写出表中m，n的值（2）记甲种橙子测评分数的方差为s12，乙种橙子测评分数的方差为s22，则s12，s22的大小关系为；（3）根据抽样调查情况，可以推断种橙子的质量较好，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）解：（1）甲品种橙子测评成绩出现次数最多的是91分，所以众数是91，即m＝91，将乙品种橙子的测评成绩从小到大排列处在中间位置的一个数是90，因此中位数是90，即n＝90，答：m＝91，n﹣90；（2）由甲、乙两种橙子的测评成绩的大小波动情况，直观可得s12＜s22，故答案为：＜；（3）甲品种较好，理由为：甲品种橙子的中位数、众数均比乙品种的高．故答案为：甲，甲品种橙子的中位数、众数均比乙品种的高．17、2022年将在北京——张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市.某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示，_____________选手的成绩更稳定.【答案】A【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．【详解】解：根据统计图可得出：S A2＜S B2，则A选手的成绩更稳定，故答案为：A．18、2020年新冠疫情来势汹汹，我国采取了有力的防疫措施，控制住了疫情的蔓延．甲，乙两个学校各有400名学生，在复学前期，为了解学生对疫情防控知识的掌握情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．（1）收集数据: 从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行了相关知识的网上测试，测试成绩如下：甲98 98 92 92 92 92 92 89 89 85 84 84 83 83 79 79 78 78 69 58乙99 96 96 96 96 96 96 94 92 89 88 85 80 78 72 72 71 65 58 55（2）整理、描述数据: 根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图：（3）分析数据: 两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：（说明：成绩80分及以上为优良，60﹣79分为合格，60分以下为不合格）（4）得出结论a ．估计甲学校掌握疫情防控知识优良的学生人数约为；b ．可以推断出学校的学生掌握疫情防控知识的水平较高，理由为．【答案】（3）m ＝84.5，n ＝96；（4）a ．280人；b ．乙，乙校的中位数大于甲校的中位数．【分析】（3）根据（1）中的数据，可以得到中位数m 和众数n 的值；（4）a ．根据（1）中的数据和（3）中的说明，由样本估算总体，可以得到甲学校掌握疫情防控知识优良的学生人数；b ．根据（3）中表格中的数据，由中位数可以得到哪所学校的学生掌握疫情防控知识的水平较高，理由见详解．【详解】解：（3）甲校的中位数m ＝（85+84）÷2＝84.5，乙校的众数是n ＝96；故答案为：84.5，96（4）a ．成绩80分及以上为优良，根据样本数据计算甲学校掌握疫情防控知识优良的学生人数约为：400×1420＝280（人），故答案为：280； b ．可以推断出乙学校的学生掌握疫情防控知识的水平较高，理由为乙校的中位数大于甲校的中位数，故答案为：乙，乙校的中位数大于甲校的中位数．三、解答题19、从甲、乙两厂生产的同一种零件中各抽取5个，量得它们的尺寸（单位：mm ）如下：甲厂生产的零件尺寸 9.02 9.01 9 8.98 8.99乙厂生产的零件尺寸 9.01 8.97 9.02 8.99 9.01（1）分别计算从甲、乙两厂抽取的5个零件的平均尺寸；（2）分别计算从甲、乙两厂抽取的5个零件的方差，根据计算结果，你认为哪个厂生产的零件更符合规格．（零件的规定尺寸为9mm ）【答案】（1）甲，乙两厂生产的零件的平均尺寸都为9mm ；（2）20.0002,S =甲20.00032S =乙，甲厂生产的零件更符合规格．【分析】（1）利用平均数公式直接计算即可得到答案；（2）由方差的计算公式直接计算甲，乙的方差，再根据方差越小，零件越符合规格，从而可得答案．【详解】解：（1）()119.029.0198.988.99459,55x =++++=⨯=甲 ()119.018.979.028.999.01459,55x =++++=⨯=乙所以：甲，乙两厂生产的零件的平均尺寸都为9mm（2）()()()()()222222119.0299.019998.9898.9990.0010.0002,55S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⨯=⎣⎦甲 ()()()()()222222119.0198.9799.0298.9999.0190.00160.00032,55S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⨯=⎣⎦乙由0.00032＞0.0002,2S ∴甲＜2,S 乙所以甲厂生产的零件更符合规格．20、某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如图统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的初中学生人数为人，扇形统计图中的m＝，条形统计图中的n＝；（2）求统计调查的初中学生每天睡眠时间的平均数和方差．【答案】（1）40，25，15；（2）平均数：7，方差：1.15【分析】（1）根据5h的人数和所占的百分比，可以求得本次接受调查的初中学生人数，然后即可计算出m和n的值；（2）根据统计图中的数据，可以得到平均数，计算出方差．【详解】解：（1）本次接受调查的初中学生有：4÷10%＝40（人），m%＝10÷40×100%＝25%，即m＝25，n＝40×37.5%＝15，故答案为：40，25，15；（2）由条形统计图可得，x＝140×（5×4+6×8+7×15+8×10+9×3）＝7，s2＝140[（5﹣7）2×4+（6﹣7）2×8+（7﹣7）2×15+（8﹣7）2×10+（9﹣7）2×3]＝1.15．21、甲、乙两名同学进入八年级后某科6次考试成绩如图所示：平均数方差中位数众数甲7575乙33.370（1）请根据图填写上表；（2）从平均数和方差结合看，你认为谁的成绩稳定性更好些？【解答】解：（1）乙的平均数：＝（85+70+70+75+70+80）＝75分，S＝[（60﹣75）2+（65﹣75）2+（75﹣75）2+（75﹣75）2+（80﹣75）2+（95﹣75）2]＝125，乙的中位数为：（70+75）÷2＝72.5，甲的众数75，乙的众数为70，填写表格如下：平均数方差中位数众数甲751257575乙7533.372.570故答案为：75，125，72.5，75；（2）从平均数上看甲、乙两人的成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩比较稳定，单从是否稳定上看，乙的成绩较稳定．22、某商店1～6周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如表（表Ⅰ）所示（单位：台）：第1周第2周第3周第4周第5周第6周甲9101091210乙1312711107现根据表Ⅰ数据进行统计得到表Ⅱ：平均数中位数众数甲10乙107（1）填空：根据表Ⅰ的数据补全表Ⅱ；（2）老师计算了乙品牌冰箱销量的方差：2＝[（13﹣10）2+（12﹣10）2+（7﹣10）2+（11﹣10）2+（10﹣10）2+（7﹣10）2]＝（台2）．S乙请你计算甲品牌冰箱销量的方差，根据计算结果，建议商家可多采购哪一种品牌冰箱？为什么？解：（1）甲品牌销售数量从小到大排列为：9、9、10、10、10、12，所以甲品牌销售数量的平均数为＝10（台），众数为10台，乙品牌销售数量从小到大排列为7、7、10、11、12、13，所以乙品牌销售数量的中位数为＝10.5（台），补全表格如下：平均数中位数众数甲101010乙1010.57故答案为：10、10、10.5；（2）建议商家可多采购甲品牌冰箱，2＝，∵甲品牌冰箱销量的方差＝×[（9﹣10）2×2+（10﹣10）2×3+（12﹣10）2]＝1，S乙2，∴＜S乙∴甲品牌冰箱的销售量比较稳定，建议商家可多采购甲品牌冰箱．23、在发生某公共卫生事件期间，某专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是：“连续14天，每天新增疑似病例不超过7人”．已知在过去14天，甲、乙两地新增疑似病例数据信息如下：甲地：总体平均数为2，方差为2；乙地：中位数为3，众数为4和5．请你运用统计知识对数据分析并判断：甲、乙两地是否会发生大规模群体感染？请说明理由．（方差公式：【解答】解：①甲地不会发生大规模群体感染，理由如下：由题意可知：样本容量n＝14，平均数为2，方差为2，则由方差计算公式得：28＝[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x14﹣2）2]，若甲地14天中存在某一天新增疑似病例不超过7人，则最少为8人，由于（8﹣2）2＝36＞28，所以没有一天新增疑似病例超过7人，故甲地不会发生大规模群体感染；②乙地不会发生大规模群体感染，理由如下：由于样本容量n＝14，所以中位数为中间两个数（即第7，8个数）的平均数，因为中位数为3，众数为4和5．所以第7，8个数可能为2，4或3，3两种情况，且4和5的个数只能都是三个，若中间两个数为2和4，则前面7个数只能取0，1，2这三个数，从而有一个数至少出现三次，于是这个数也是众数，不合题意；若中间两个数都是3，因为众数为4和5，所以较大的六个数恰好是4和5各有三个，故这14个数只能是：0，0，1，1，2，2，3，3，4，4，4，5，5，5，所以乙地不会发生大规模群体感染．24、某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名同学进行了8次跳高选拔比赛，他们的原始成绩（单位：cm）如下表：两名同学的8次跳高成绩数据分析如下表：根据图表信息回答下列问题：（1）a＝，b＝，c＝；（2）这两名同学中，的成绩更为稳定；（填甲或乙）（3）若预测跳高165就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择同学参赛，理由是：；（4）若预测跳高170方可夺得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择同学参赛，班由是：．【答案】（1）169，169，169；（2）甲;（3）甲，成绩在1.65或1.65米以上的次数甲多；（4）乙，成绩在1.70或1.70米以上的次数乙多【分析】（1）利用平均数、众数及中位数的定义分别求得a、b、c的值即可；（2）方差越大，波动性越大，成绩越不稳定，反之也成立；（3）比较一下甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛的成绩，看谁的成绩在1.65或1.65米以上的次数多，就选哪位运动员参赛；若成绩在1.70米可获得冠军，看谁的成绩在1.70或1.70米以上的次数多，就选哪位运动员参赛．【详解】（1）a＝18（169+165+168+169+172+173+169+167）＝169；b＝12（169+169）＝169；∵169出现了3次，最多，∴c＝169, 故答案为169，169，169；（2）∵甲的方差小于乙的方差，∴甲的成绩更稳定，故答案为甲；（3）若跳高1.65米就获得冠军，那么成绩在1.65或1.65米以上的次数甲多，则选择甲；故答案为甲，成绩在1.65或1.65米以上的次数甲多；（4）若跳高1.70米就获得冠军，那么成绩在1.70或1.70米以上的次数乙多，则选择乙．故答案为乙，成绩在1.70或1.70米以上的次数乙多．25、为帮助学生了解“预防新型冠状病毒”的有关知识，学校组织了一次线上知识培训，培训结束后进行测试．试题的满分为20分．为了解学生的成绩情况，从七、八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：抽取的20名七年级学生成绩是：20，20，20，20，19，19，19，19，18，18，18，18，18，18，18，17，16，16，15，14．抽取的40名学生成绩统计表根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出表中a，b，c的值：a＝，b＝，c＝．（2）在这次测试中，你认为是七年级学生成绩好，还是八年级学生成绩好？请说明理由．（3）若九年级随机抽取20名学生的成绩的方差为2.5，则年级成绩更稳定（填“七”或“八”或“九”）．【答案】（1）18，19，18.5；（2）八年级成绩好，见解析；（3）九【分析】（1）根据众数和中位数的定义解决问题；（2）利用两年级成绩的平均数、方差都相同，则通过比较中位数的大小比较成绩；（3）根据方差的意义求解即可．【详解】解：（1）七年级20名学生成绩的众数a＝18，八年级成绩的众数b＝19，中位数c＝18+192＝18.5；（2）八年级的成绩好，∵七年级与八年级成绩的平均分和方差相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，即八年级高分人数稍多，∴八年级的成绩好；（3）∵七、八、九年级成绩的方差分别为2.7、2.7、2.5，∴九年级成绩的方差最小，∴九年级成绩更稳定，故答案为：九．。

2022-2023学年人教版八年级数学下册《17-1勾股定理》解答题专题训练(附答案)

2022-2023学年人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》解答题专题训练（附答案）1．如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整：∵S1＝，S2＝，S3＝，∴S1+S2＝S3．即2+2＝2．2．在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请你用该图验证勾股定理．3．2000多年来，人们对直角三角形三边之间的关系的探究颇感兴趣，古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探究它，研究它的证明，新的证法不断出现．下面给出几种探究方法（由若干个全等的直角三角形拼成如图图形），试用面积法选择其中一种推导直角三角形的三边a、b、c之间的数量关系（1）三边a、b、c之间的数量关系为；（2）理由：．4．计算：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，求c（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝4，求c（3）一个直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，求这个三角形的第三边长．5．如图，阴影部分是一个长方形，求它的面积．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于点D．求：（1）CD的长；（2）BD的长．7．如图，求等腰三角形ABC的面积．8．如图．你能计算出各直角三角形中未知边x的长度吗？9．细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题：（）2+1＝2，S1＝（）2+1＝3，S2＝（）2+1＝4，S3＝．（1）用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S1+S2+S3+…+S n的值．10．如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．（1）图①中正方形ABCD的边长为；（2）在图②的4×4方格中画一个面积为8的正方形；（3）把图②中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数和﹣．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N，求证：AN2﹣BN2＝AC2．12．写出图中3个三角形的面积S1、S2、S3之间的关系，并给出证明．13．（1）如图1，∠ACB＝90°，图中有阴影的三个半圆的面积S1，S2，S3有什么关系？（2）如图2，∠ACB＝90°，△ABC的面积为20，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为．14．设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，求证：．15．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．若AC＝8，BC＝4，求AE的长．17．如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，∠A＝90°，点D在AB上，且BD＝CD．（1）求BC和BD的长．（2）求△BDC的面积．18．在△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC＝21，求高AD（画图作答）．19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．20．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长．参考答案1．解：∵S1＝4，S2＝9，S3＝13，∴S1+S2＝S3．即AC2+BC2＝AB2．故答案为：4，9，13，AC，BC，AB．2．解：梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，∴a2+2ab+b2＝ab+ab+c2，∴a2+b2＝c2．3．解：（1）由勾股定理得：a2+b2＝c2．故答案为：a2+b2＝c2．（2）选择图1．∵大正方形的面积＝4个直角三角形的面积+小正方形的面积，∴（a+b）2＝4×ab+c2，即a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．故答案为：（a+b）2＝4×ab+c2．4．解：（1）利用勾股定理，得c＝＝＝17，即c＝17；（2）利用勾股定理，得c＝＝＝5，即c＝5；（3）5cm是直角边时，第三边＝＝cm，5cm是斜边时，第三边＝＝4cm，所以，第三边长为cm或4cm．5．解：由勾股定理得（cm），∴长方形的面积为5×1＝5（cm2）．6．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，由勾股定理可得，AB＝＝＝25，∴AB的长是25；∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，∴AC•BC＝AB•CD，∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，∴20×15＝25CD，∴CD＝12，∴CD的长是12．（2）∵CD⊥AB于点D，∴∠CDB＝90°，在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，BC＝15，CD＝12，由勾股定理可得，BD＝＝＝9，∴BD的长为9．7．解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝BC，DC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝3cm，∵BC＝5cm，∴DC＝＝4（cm），∴等腰三角形ABC的面积为：×4×6＝12（cm2）．8．解：如图1中，∵∠A＝∠B＝45°，∴∠C＝90°，AC＝BC＝1，∴AB＝＝＝．∴x＝，如图2中，∵∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°∴AB＝2AC＝6，∴x＝BC＝＝＝3．9．解：（1）结合已知数据，可得：OA n2＝n；S n＝；（2）∵OA n2＝n，∴OA10＝．（3）S1+S2+S3+…+S n＝++++…+．10．解：（1）图①中正方形ABCD的边长为＝；故答案为：；（2）如图所示：（3）如图所示：11．证明：∵MN⊥AB于N，∴BN2＝BM2﹣MN2，AN2＝AM2﹣MN2∴BN2﹣AN2＝BM2﹣AM2，又∵∠C＝90°，∴AM2＝AC2+CM2∴BN2﹣AN2＝BM2﹣AC2﹣CM2，又∵BM＝CM，∴BN2﹣AN2＝﹣AC2，即AN2﹣BN2＝AC2．12．解：如图①：设三个半圆的直径分别为：d1、d2、d3，S1＝×π×（）2＝π，S2＝×π×（）2＝π，S3＝×π×（）2＝π．由勾股定理可得：d12＝d22+d32，∴S3+S2＝（d32+d22）＝π＝S1，所以，S1、S2、S3的关系是：S3+S2＝S1．如图②：设AC＝b，BC＝a，AB＝c，则S2＝a2，S3＝b2，S1＝c2，又∵a2+b2＝c2，∴S1、S2、S3的关系是：S3+S2＝S1．如图③：设AC＝b，BC＝a，AB＝c，则S2＝×a×a＝a2，S3＝×b×b＝b2，S1＝×c×c＝c2，又∵a2+b2＝c2，∴S1、S2、S3的关系是：S3+S2＝S1．13．解：（1）S1＝π（）2＝，同理S2＝，S3＝，∵BC2+AC2＝AB2，∴S1+S2＝S3；（2）S阴影＝S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC，则S阴影＝S△ABC＝20．故答案为：20．14．证明：设斜边为c，根据勾股定理即可得出c＝，∵ab＝ch，∴ab＝h，即a2b2＝a2h2+b2h2，∴＝+，即．15．解：（1）在Rt△ABC中由面积的两种算法可得：解得：CD＝（2）在Rt△ABD中AD2＝42﹣x2＝16﹣x2在Rt△ADC中AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2…（9分）解得＝（10分）16．解：连接BE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2，∴42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴AE＝5．17．解：（1）∵AB＝8cm，AC＝6cm，∠A＝90°，∴BC＝＝＝10（cm），设BD＝CD＝xcm，则AD＝（8﹣x）cm，∵∠A＝90°，∴AD2+AC2＝CD2，∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，即BD＝cm，由上可得，BC＝10cm，BD＝cm；（2）由（1）知BD＝cm，AC＝6cm，∠A＝90°，∴S△BDC＝＝＝（cm2），即△BDC的面积是cm2．18．解：设DC＝x，则BD＝21﹣x，∵在△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC＝21，AD⊥BC，∵AD2＝AB2﹣BD2＝CA2﹣CD2，∴102﹣（21﹣x）2＝172﹣x2，∴x＝15，∴AD2＝172﹣152＝64，∴AD＝8．19．解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，∴BC＝8（cm），由题意知BP＝2tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝62+（2t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，解得：t＝，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；（2）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．20．解：（1）点M、N是线段AB的勾股分割点．理由如下：∵AM2+BN2＝2.52+62＝42.25，MN2＝6.52＝42.25，∴AM2+NB2＝MN2，∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，∴点M、N是线段AB的勾股分割点；（2）设BN＝x，则MN＝14﹣AM﹣BN＝10﹣x，①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，即（10﹣x）2＝x2+16，解得x＝4.2；②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．即x2＝16+（10﹣x）2，解得x＝5.8．综上所述，BN＝4.2或5.8．。

人教版八年级下册数学解答题专题训练50题含答案

人教版八年级下册数学解答题专题训练50题含答案51．如图所示，//AD BC ，90BAD ∠=︒，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，与射线AD 相交于点E ，连接BE ，过C 作CF BE ⊥于点F .（1）线段BF 与图中哪条线段相等？写出来并加以证明；（2）若12AB =，13BC =，P 从E 沿ED 方向运动，Q 从C 出发向B 运动，两点同时出发且速度均为每秒1个单位.①当t =_____秒时，四边形EPCQ 是矩形；①当t =_____秒时，四边形EPCQ 是菱形.=90，①当CP AD ⊥时，90CPE ∠=︒，则平行四边形EPCQ 为矩形，如图所示，此时13AP BC ==，即513t +=，解得8t =，即当8t =时，四边形EPCQ 是矩形； ①作CH AD ⊥于H ，如图，当CP CQ EP t ===，平行四边形EPCQ 为菱形，而5138=+-=-PH t t ，在∆Rt PCH 中，()222128+-=t t ，解得13t =，即当13t =，四边形EPCQ 是菱形.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及矩形和菱形的性质，熟练掌握特殊平行四边形的性质，从而建立方程求解是关键.52．如图1，若四边形ABCD 、四边形GFED 都是正方形，显然图中有AG CE =，AG CE ⊥； ()1当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG CE =是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；()2当正方形GFED 绕D 旋转到如图3的位置时，延长CE 交AG 于H ，交AD 于M ． ①求证：AG CH ⊥；②当4AD =，DG =CH 的长．90．90ADE -∠=∠∴AGD CED ≅．AG CE =．)2①类似()1可得AGD CED ≅，12∠=∠．又∵HMA DMC ∠=∠，90=，AD 于P ，连接CG ，为底边的CDG 的高为AGD ACD ACG CGD ACDG S S S S S +==+四边形41441041CH ⨯+⨯=⨯+⨯53．如图，在Rt ABC 中，90B ，60AC cm =，60A ∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以4/cm 秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2/cm 秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是t 秒（015t <≤）．过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：DF AE =；（2）当10t =时，四边形AEFD 是什么四边形？请说明理由（3）在运动过程中，四边形BEDF 能否为正方形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．中，90B ，A ∠=︒，4CD t =，54．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD，AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH①AE于点H，并延长交AB于点F，连接DH，求线段DH的长．55．如图，在△ABC中，AC=BC，△ACB=90°，△O（圆心O在△ABC内部）经过B、C两点，交AB于点E，过点E作△O的切线交AC于点F．延长CO交AB于点G，作ED△AC交CG于点D（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）若BC=3，tan△DEF=2，求BG的值．①MB=GM，①四边形CDEF是平行四边形，①①FCD=①FED，①①ACD+①GCB=①GCB+①CGM=90°，①①CGM=①ACD，①①CGM=①DEF，①tan①DEF=2，①tan①CGM==2，①CM=2GM，①CM+BM=2GM+GM=3，①GM=1，①BG=GM=．考点：切线的性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形．56．如图，在Rt①ABC中，①ACB＝90°，E为AC上一点，且AE＝BC，过点A作AD①CA，垂足为A，且AD＝AC，AB、DE交于点F（1）判断线段AB与DE的数量关系和位置关系，并说明理由（2）连接BD、BE，若设BC＝a，AC＝b，AB＝c，请利用四边形ADBE 的面积证明勾股定理．【答案】（1）AB=DE，AB①DE.理由见解析；（2）证明见解析.【详解】试题分析：（1）根据垂直的定义可证得①DAE=①ACB=90°，然后根据ASA可证①ABC①①DEA，从而得证AB=DE，且①3=①1，然后根据直角三角形的内角和等量代换可证得AB①DE；（2）根据三角形的面积和四边形的面积，可知S四边形ADBE= S△ADE+ S△BDE，S四边形=S△ABE+S△ADB=a2＋b2可得证符合勾股定理的逆定理．ADBE试题解析：（1）解：AB=DE，AB①DE．如图2，①AD①CA，①①DAE=①ACB=90°，①AE=BC，①DAE=①ACB，AD=AC，①①ABC①①DEA，①AB=DE，①3=①1，①①DAE=90°，①①1+①2=90°，①①3+①2=90°，①①AFE=90°，①AB①DE．（2）如图2，①S四边形ADBE= S△ADE+ S△BDE=DE·AF+DE·BF=DE·AB =c2，S四边形ADBE=S△ABE+S△ADB=a2＋b2，①a2＋b2=c2，①a2＋b2=c2．考点：三角形全等的判定与性质，面积的拆分，勾股定理的逆定理57．某地区在一次九年级数学做了检测中，有一道满分8分的解答题，按评分标准，所有考生的得分只有四种：0分，3分，5分，8分．老师为了了解学生的得分情况与题目的难易情况，从全区4500名考生的试卷中随机抽取一部分，通过分析与整理，绘制了如下两幅图不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：（1）填空：a=，b=，并把条形统计图补全；（2）请估计该地区此题得满分（即8分）的学生人数；（3）已知难度系数的计算公式为L=XW，其中L为难度系数，X为样本平均得分，W为试题满分值．一般来说，根据试题的难度系数可将试题分为以下三类：当0＜L≤0.4时，此题为难题；当0.4＜L≤0.7时，此题为中等难度试题；当0.7＜L＜1时，此题为容易题．试问此题对于该地区的九年级学生来说属于哪一类？铅笔与用400元购进水笔的数量相同，且每支铅笔比每支水笔进价高1元．(1)求这两种笔每支的进价分别是多少元？(2)该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超过360支，售价见店内海报（如图所示）．该商店应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)每支铅笔3元，每支水笔2元．(2)商店购进铅笔100支，水笔260支时，能使利润最大，最大利润为230元．59．如图1, 2,4OA OB ==，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC △.（1）求C 点的坐标；（2）如图2,在平面内是否存在一点H ,使得以A C B H 、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写出H 点坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）点C 的坐标为()6,2--；（2）（-4，-6）或（-8，2）或（4，-2）.（2）解方程组34620 x yx y+=⎧⎨+=⎩61．甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩统计如下表，他们5次考试的总成绩相同，请同学们完成下列问题：(1)统计表中，=a ______，甲同学成绩的极差为______；(2)小颖计算了甲同学的成绩平均数为60，方差是2200s =甲．请你求出乙同学成绩的平均数和方差；(3)从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定．和方差的意义．62．秦椒，是辣椒中的佳品，素有“椒中之王”的美称，它具有颜色鲜红、辣味浓郁、体形纤长、肉厚油大、表面皱纹均匀等特点．是陕西一项大宗出口商品，畅销国际市场．某超市的秦椒标价为80元/千克．同时规定：如果一次性购买5千克以上，超过部分可以打8折．若在该超市一次性购买x （千克）秦椒，付款金额为y （元）．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)宁宁妈妈在该超市一次性购买秦椒共花了720元，求宁宁妈妈购买了多少千克秦椒？【答案】(1)y 与x 之间的函数关系式为()()800564805x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩(2)宁宁妈妈购买了10千克秦椒【分析】（1）分两种情况，利用付款金额等于单价乘以数量可得函数关系式；（2）先判断付款720元属于两种情况当中的哪种情况，再把720y =代入符合题意的函数解析式求解即可.(1)解：当05x ≤≤时，80y x =；当5x >时，()805800.856480y x x =⨯+⨯-=+.①y 与x 之间的函数关系式为()()800564805x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩(2)①805400⨯=（元），400720<，①宁宁妈妈购买的秦椒超过5千克．将720y =代入6480y x =+，得10x =，①宁宁妈妈购买了10千克秦椒．【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，根据函数值求解自变量的值，理解题意，列出正确的函数关系式与方程是解本题的关键.63．如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ︒∠=∠=，对角线AC 与BD 相交于点O ，M N 、分别是边AC 、BD 的中点.（1）求证：MN BD ⊥；（2）当15,10,BCA AC cm OB OM ︒∠===时，求MN 的长.64．甲、乙两校的学生人数基本相同，为了解这两所学校学生的数学学业水平，在某次测试中，从两校各随机抽取了30名学生的测试成绩进行调查分析，其中甲校已经绘制好了条形统计图，乙校只完成了一部分.（1）请根据乙校的数据补全条形统计图：（2）两组样本数据的平均数.中位数众数如下表所示，写出m、n的值：（3）两所学校的同学都想依据抽样的数据说明自己学校学生的数学学业水平更好些，请为他们各写出条可以使用的理由；甲校：____.乙校：________.（4）综合来看，可以推断出________校学生的数学学业水平更好些，理由为________.【答案】（1）见解析；（2）86m =；92n =；（3）答案不唯一，理由需包含数据提供的信息；（4）综合来看，甲校学生的数学学业水平更好一些，理由：甲校的平均分高于乙校，说明总成绩甲校好于乙校，中位数甲校高于乙校，说明甲校一半以上的学生成绩较好【点睛】本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．65．如图，在ABC 中，CA CB =，D 是BC 上的一点，10AB =，6BD =，8AD =．求ABC 的面积．【详解】解：在ABC 中，2AB ，，则CD=x －中，①2CD AD +①ABC 的面积【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键．66．表示汽车性能的参数有很多，例如：长宽高.轴距.排量.功率.扭矩.转速.百公里油耗等等.为了了解某种车的耗油量，某专业检测人员对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：①根据上表可知，每小时耗油升；①根据上表的数据，写出用Q 与t 的关系式：； ①汽车油箱中剩余油量为55L ，则汽车行驶了小时. 【答案】（1）6 (2)Q=100-6t (3)7.5 【分析】①根据表中数据即可得到结论；①由表格可知，开始油箱中的油为100L ，每行驶1小时，油量减少6L ，据此可得t 与Q 的关系式；①求汽车油箱中剩余油量为55L ，则汽车行驶了多少小时即是求当Q=55时，t 的值；【详解】①据上表可知，每小时耗油100-94=6 升； ①Q=100-6t ；①当Q=55时，55=100-6t ， 6t=45， t=7.5．答：汽车行驶了7.5小时；【点睛】此题考查常量与变量，函数的表示方法，整式的加减，解答本题的关键是列出表达式．67．（1b ，求()4b b +的值；（2）已知1x =，1y =，求22x y +的值．68．某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过14吨（含14吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨时，超过部分每吨按市场调节价收费．小英家1月份用水20吨，交水费29元；2月份用水18吨，交水费24元．（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少；（2）设每月用水量为x 吨，应交水费为y 元，写出y 与x 之间的函数关系式；（3）小英家3月份用水24吨，她家应交水费多少元．【答案】（1）每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元；（2）()()0142.52114x x y x x ⎪≤≤=>⎧⎪⎨⎩-；（3）39元【分析】（1）设每吨水的政府补贴优惠价为x 元，市场调节价为y 元，根据题意列出方程组，求解此方程组即可；（2）根据用水量分别求出在两个不同的范围内y 与x 之间的函数关系，注意自变量的取值范围；（3）根据小英家的用水量判断其再哪个范围内，代入相应的函数关系式求值即可．【详解】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为x 元，市场调节价为y 元． ()()1420142914181424x y x y ⎪+-⎧-+=⎪⎨⎩= 解得12.5x y ==⎧⎨⎩ 答：每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元．（2）当0≤x≤14时，y x =；当x ＞14时，()1414 2.5 2.521y x x =+-⨯=-，所求函数关系式为：()()0142.52114x x y x x ⎪≤≤=>⎧⎪⎨⎩- （3）2414x =>，把x=24代入 2.521y x =- 2.5242139y =⨯-=答：小英家三月份应交水费39元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，题目还考查了二元一次方程组的解法，特别是在求一次函数的解析式时，此函数是一个分段函数，同时应注意自变量的取值范围． 69．先化简，后求值：22321113x x x x x -++⋅---，其中1x =．70．如图，在①ABC 中，①BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，P 是①ABC 内一点，求P A ＋PB ＋PC 的最小值．71．4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：一、数据收集，从全校随机抽取20学生，进行每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min）：二、整理数据，按如下分段整理样本数据并补全表格：三、分析数据，补全下列表格中的统计量：四、得出结论：a，b=，c=；①表格中的数据：=①用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为；①如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有人；①假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟，请你用样本平均数估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读本课外书．第72．如图，点A，B，P是5×5的网格上的格点，连接点A，B得到线段AB，请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图（画图时保留画图痕迹）(1)在图①中，画以点A，B为顶点，以点P为对称中心的平行四边形ABCD．(2)在图①中，利用图①所做的平行四边形，在AB和AD边上确定点M、N，使MN + PN的值最小，这个最小值为____________【答案】(1)见解析(2)画图见解析，2【分析】（1）取格点C、D则四边形ABCD即为所求；（2）如图所示，取格点E、M，连接EM交AD于N，点M、N即为所求；(1)解：如图所示，四边形ABCD即为所求；①AB CD AB CD∥，，=①四边形ABCD是平行四边形，①点P是AC与BD的交点，①点P是平行四边形ABCD的对中心；(2)解：如图所示，取格点E、M，连接EM交AD于N，点M、N即为所求；①四边形ENPD是正方形，①点E、P关于AD对称，①PN=EN，①PN+MN=EN+MN，①当E、M、N三点共线且垂直于AB时，EN+MN有最小值，即PN+MN有最小值，最小值为2；【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，轴对称最短路径问题，正方形的性质，垂线段最短等等，熟知相关知识是解题的关键．73．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF．求证：BE=AF．【答案】见解析．【分析】根据正方形的性质得出AD=AB，①D=EAB=90°，然后结合AE=DF得出①ADF和①BAE 全等，得到BE=AF．【详解】解：①四边形ABCD是正方形，①AD=AB，①D=①EAB=90°，在①EAB和①FDA中，①AE=DF，①EAB=①D，AB=AD，①①EAB①①FDA，①BE=AF．74．我市某医药公司要把药品运往外地,现有两种运输方式可供选择：方式一：使用快递公司的邮车运输,装卸收费400元,另外每千米再加收4元；方式二：使用铁路运输公司的火车运输,装卸收费820元,另外每千米再加收2元．(1) 请分别写出邮车、火车运输的总费用y 1 (元)、y 2 (元)与运输路程x(千米)之间的关系式；(2)若医药公司现有1600元将一批药品运输到同一个地方，最远可运输多少千米?【答案】解：(1)由题意得：y1＝4x＋400；y2＝2x＋820．(2)令4x＋400＝2x＋820，解得x＝210．①当运输路程小于210千米时，y1＜y2，，选择邮车运输较好；当运输路程小于210千米时，y1＝y2，，两种方式一样；当运输路程大于210千米时，y1＞y2，选择火车运输较好．【详解】一次函数的应用．(1)根据方式一、二的收费标准即可得出y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式．(2)比较两种方式的收费多少与x的变化之间的关系，从而根据x的不同，选择合适的运输方式．75．如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ①BC 于E ，AF ①CD 于F ，且BE ＝DF ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)连接EF ，若①CEF ＝30°，BE ＝2，直接写出四边形ABCD 的周长．【答案】(1)见解析 (2)16【分析】（1）根据平行四边形的性质可得①B ＝①D ，进而易证△ABE ≌△ADF （ASA ），即得出AB =AD ，进而即可求证结论：▱ABCD 是菱形；（2）由菱形的性质可知BC =CD ，进而可得CE =CF ，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出①ECF =120°，即求出①B =60°，最后利用含30°角的直角三角形的性质即可求出AB 的长，进而即可求出菱形的周长．（1）证明：①四边形ABCD 是平行四边形 ①①B ＝①D ， ①AE ①BC ，AF ①CD ， ①①AEB ＝①AFD ＝90°，在①AEB 和①AFD 中， B D BE DFAEB AFD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①①AEB ①①AFD （ASA ）， ①AB ＝AD ，①四边形ABCD 是菱形．（2）如图，由（1）可知BC =CD ，①BE =DF ， ①CE =CF ，①①CFE =①CEF =30°， ①①ECF =180°−2①CEF =120°， ①①B =180°−①ECF =60°，在Rt①ABE 中，①BAE =30°， ①24AB BE ==，①菱形ABCD 的周长为4416⨯=．【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识．利用数形结合的思想是解答本题的关键．76．已知一次函数的图象与正比例函数23y x =-的图象平行，且经过点()04，．（1）求一次函数的解析式；（2）若点()8M m -，和()5N n ，在一次函数的图象上，求m ，n 的值．77．计算：（1）（﹣（2）（﹣2﹣（2．78．计算：（1×（（2）（1－1+1x）÷21xx-．79．某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45︒的角，将该纸条从右往左平移．当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)求菱形ABCD的面积．①ABCD 是菱形．（2）根据勾股定理，ABCD S AD =【点睛】本题主要考查菱形的性质及判定，勾股定理，掌握相关知识是解本题的关键．80．将正方形ABCD 放置在平面直角坐标系中，B 与原点重合，点A 的坐标为()0,a ，点E的坐标为(),0b ，并且实数a ，b 使式子3b =成立，(1)直接写出点D 、E 的坐标：D ______，E ______． (2)①AEF ＝90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ， ①如图①，求证AE ＝EF ；①如图①，连接AF 交DC 于点G ，作GM AD 交AE 于点M ，作EN AB 交AF 于点N ，连接MN ，求四边形MNGE 的面积；(3)如图①，连接正方形ABCD 的对角线AC ，若点P 在AC 上，点Q 在CD 上，且AP ＝CQ ，求()2BP BQ +的最小值．①OC =CD =OA =6， ①D （6，6），故答案为：（6，6），（3，0）；（2）解：①如图①，取OA 的中点K ，连接KE ，①①AEF =90°，①①FEC +①AEO =①AEO +①OAE =90°， ①①FEC =①OAE ，①OE =EC =3，K 为OA 的中点，OA =OC ， ①AK =EC ，OK =OE ， ①①OKE =45°， ①①AKE =135°，①CF 是正方形外角的平分线， ①①DCF =45°， ①①ECF =135°， ①①AKE =①ECF ，在△AKE 和△ECF 中，AKE ECF AK ECKAE FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①①AKE ①①ECF （ASA ）， ①AE =EF ；①如图①，延长CD ，并在延长线上截取DH =OE ，连接AH ，①四边形AOCD是正方形，①AO=AD，①AOE=①ADH=90°，①△AOE①△ADH（SAS），①①OAE=①DAH，AE=AH，①AEO=①AHD，由①知AE=EF，①①AEF为等腰直角三角形，①①EAF=45°，①①OAE+①DAG=①DAH+①DAG=①GAH=45°，①①GAH=①GAE，①①AEG①①AHG（SAS），①EG=GH=DG+OE，①AGE=①AGH，①AEG=①AHD，①①AEO=①AEG，①EN CD，①①AGH=①GNE=①AGE，①EN=EG，同理可得GM=GE，①GM=EN，又①GM①EN，设DG=x，则CG=6-x，①OE=CE=3，①EG=x+3，在Rt△ECG中，32+（6-x）2=（x+3）2，解得x=2，①EG=EN=GM=5，81．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）①请叙述勾股定理；①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则1S ，2S ，3S 满足的关系是______．（3）如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为______．【答案】（1）①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222+=a b c ）；①证明见解析；（2）123S S S +=；（3）7.5．【分析】（1）①根据勾股定理的内容即可得；①图1和图2：利用四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和等于大正方形的面积即可得；图3：利用三个直角三角形的面积之和等于直角梯形的面积即可得；（2）根据勾股定理、圆的面积公式即可得；（3）根据阴影部分的面积等于以两直角边为直径的两个半圆面积与直角三角形的面积之和减去以斜边为直径的半圆面积即可得．【详解】（1）①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222+=a b c ）； ①图1：大正方形的面积为2c ，82．如图，ABC 中，BA BC =，CO AB ⊥于点O ，6AO =，9BO =．(1)求BC ，AC 的长；(2)若点D 是射线OB 上的一个动点，作DE AC ⊥于点E ，连接OE ．①当点D 在线段OB 上时，若AOE △是以AO 为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD 的长；①设直线DE 交直线BC 于点F ，连接OF ，CD ，若:1:4OBF OCF S S =△△，则CD 的长为______（直接写出结果）．DE AC⊥ON DE∴∥ON∴是ADE的中位线，6OD AO∴==；)ii当6AO AE==和DAE中，90AED=︒(DAE ASA△65=，ΔΔ:OBF OCF S S ∴14BF CF =∴13BF CB =15CB =，=5BF ∴，EF AC ⊥BG AC ∴∥GBF ∴∠BG AE ∵∥A ∴∠=∠AB BC =A ACB ∴∠=∠DBG ∴∠BG DF ⊥BDF ∴是等腰三角形，BD BF ∴=OD OB ∴=BF1BC=15∴=，BF3同理得：BDF是等腰三角形，∴==，BD BF3∴=+=9OD BO BDRt COD中，CD=综上所述，CD的长为故答案为：【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理、分类讨论等知识；证明BDF是等腰三角形83．一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写自变量x的取值范围）（2）已知当油箱中的剩余油量为10升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了482千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？84．以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：五个边长为1的小正方形如图①放置，用两条线段把它们分割成三部分(如图①)，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的新正方形(如图①)．小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等，若设新的正方形的边长为x （x ＞0），可得x 2=5，由此可知新正方形边长等于两个小正方形组成的矩形的对角线长．参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：五个边长为1的小正方形（如图①放置），用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形，且所得矩形的邻边之比为1：2．具体要求如下：（1）设拼接后的长方形的长为a，宽为b，则a的长度为；（2）在图①中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）；（3）在图①中，画出拼接后符合题意的长方形（只要画出一种即可）（2）如图（画出其中一种情况即可）：考点：1.作图—应用与设计作图；2.勾股定理.85．如图，在平面直角坐标系中，已知点(4,4)A ，C ，B 两点分别是x ，y 轴正半轴上的动点，且满足90BAC ∠=︒．(1)写出BOA ∠的度数；(2)求BO OC +的值；(3)若BP 平分OBC ∠，交OA 于点P ，PN y ⊥轴于点N ，AQ 平分BAC ∠，交BC 于点Q ，随着C ，B 位置的变化，NP AQ +的值是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．【答案】(1)45BOA ︒∠=；(2)8BO OC +=；(3)NP AQ +的值为4，不变，见解析【分析】（1）过点A 作AE x ⊥轴于E ，AF y ⊥轴于F ，由点(4,4)A ，得到OA 是BOC ∠的角平分线，由此得到45BOA ︒∠=；（2）由（1）得四边形AEOF 为正方形，证明①BAF ①①CAE ，得到BF=CE ，根据BO OC OF OE +=+求出结果；（3）过点A 作AE x ⊥轴于E ，AF y ⊥轴于F ，延长NP 交AE 于K ，则四边形OEKN 为矩形，由OBP BOA CBP ABC ∠+∠=∠+∠推出AB=AP ，证明ΔΔAQB AKP ≅，得到AQ AK =，证明ΔAKP 是等腰直角三角形，得到AK=PK ，由此得到AQ PK =，依据NP AQ NP PK NK +=+=求出结果．(1)解：过点A 作AE x ⊥轴于E ，AF y ⊥轴于F ，如图1所示：点(4,4)A ，4AE AF ∴==，OA ∴是BOC ∠的角平分线，90BOC ∠=︒，45BOA ∴∠=︒；(2)解：由（1）得：四边形AEOF 为矩形，4AE AF ==，∴四边形AEOF 为正方形，4AE AF OE OF ∴====，90EAF ∠=︒，90BAC ∠=︒，90BAF FAC FAC CAE ∴∠+∠=∠+∠=︒，BAF CAE ∴∠=∠，AE x ⊥轴，AF y ⊥轴，90BFA CEA ∴∠=∠=︒，在ΔBAF 和CAE ∆中，BAF CAE AF AEBFA CEA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ΔΔBAF CAE ASA ∴≅，BF CE ∴=，448BO OC OF BF OC OF CE OC OF OE ∴+=++=++=+=+=；(3)解：随着C ，B 位置的变化，NP AQ +的值为4，不变，理由如下：过点A 作AE x ⊥轴于E ，AF y ⊥轴于F ，延长NP 交AE 于K ，如图2所示：则四边形OEKN 为矩形，90AKP ∴∠=︒，4NK OE ==，由（2）得：ΔΔBAF CAE ≅，AB AC ∴=，90BAC ∠=︒，ΔBAC ∴是等腰直角三角形，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，BP 平分OBC ∠，OBP CBP ∴∠=∠，45BOA ABC ∠=∠=︒，OBP BOA CBP ABC ABP ∴∠+∠=∠+∠=∠，BPA OBP BOA ∠=∠+∠，BPA ABP ∴∠=∠，AB AP =∴，PN y ⊥轴，45BOA ∠=︒，ΔONP ∴是等腰直角三角形，45NPO ∴∠=︒，45APK NPO ∴∠=∠=︒，AQ 平分BAC ∠，BAC ∆是等腰直角三角形，AQ BC ∴⊥，90AQB AKP ∴∠=∠=︒，在ΔAQB 和ΔAKP 中，45AQB AKP AB AP ABQ APK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()ΔΔAQB AKP ASA ∴≅，AQ AK ∴=，90AKP ∠=︒，45APK ∠=︒，ΔAKP ∴是等腰直角三角形，AK PK ∴=，AQ PK ∴=，4NP AQ NP PK NK ∴+=+==．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．86．学校准备购进一批节能灯，已知1只A 型节能灯和3只B 型节能灯共需26元；3只A 型节能灯和2只B 型节能灯共需29元．（1）求1只A 型节能灯和1只B 型节能灯的售价各是多少元？（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共80只，并且A 型节能灯的数量不多于B 型节能灯的3倍，问如何购买最省钱，说明理由．【答案】（1）1只A 型节能灯的售价为5元，1只B 型节能灯的售价为7元；（2）购买60只A 型节能灯，20只B 型节能灯最省钱,理由见解析【分析】（1）设一只A 型节能灯的售价是x 元，一只B 型节能灯的售价y 元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可；（2）设A 型节能灯买了a 只，则B 型节能灯买了（80-a ）只，共花费w 元，根据题意列出不等式组，求出不等式组的解集即可.【详解】解（1）设1只A 型节能灯的售价为x 元，1只B 型节能灯的售价为y 元由题意得：3263229x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：57x y =⎧⎨=⎩ 答：1只A 型节能灯的售价为5元，1只B 型节能灯的售价为7元（2）设购买A 型节能灯a 个，则购买B 型节能灯（80-a ）个，总费用为w 元由题意得：a≤3（80-a ）解得a≤60又①w=5a+7（80-a ）=-2a+560①w 随a 的增大而减小①当a 取最大值60时，w 有最小值w=-2×60+560=440即购买60只A 型节能灯，20只B 型节能灯最省钱【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，能根据题意列出方程组或不等式组是解此题的关键.87．思维启迪：(1)如图1，点P 是线段AB ，CD 的中点，则AC 与BD 的数量关系为 ___________，位置关系为 ___________；思维探索：(2)①如图2，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使CE CD =，连接AE ，若BD AE ⊥，请用等式表示AB ，BD ，AE 之间的数量关系，并说明理由；①如图3，在ABC 中，90ACB ∠=︒，=AC BC ，点D 为AB 中点，点E 在线段BD 上（点E。

2023-2024人教版八年级数学下册第16章二次根式专题训练二次根式的运算与化简求值(含答案)

第16章二次根式专题训练二次根式的运算与化简求值类型1 二次根式的加减运算 1．计算：|2－5|＋|4－5|＝ . 2．计算： (1)24＋0.5－⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋6. (2)248－1813＋318－818；(3)32－212－418＋348. (4)239x ＋6x 4－2x 1x. (5)a 2b ＋ab a －b a b－ab 2. (6)－12 046＋⎝⎛⎭⎫12－2－|4－12|＋(π－3)0－27.类型2 二次根式的乘除运算 3．计算： (1)112×23＝；(2)（－14）×（－112）＝； (3)－0.45－0.5＝； (4)59÷127＝ . 4．计算：2318÷(－3)×1327.类型3 二次根式的混合运算 5．计算：12⎝ ⎛⎭⎪⎫75＋313－48＝ . 6．计算：(1)50－(－2)＋8× 2. (2)12－1＋3(3－6)＋8. (3)15×3520÷⎝⎛⎭⎫－13 6.(4)（－3）2＋18－6×22； (5)⎝ ⎛⎭⎪⎫72－412＋32÷8. (6)⎝⎛⎭⎫318＋15 50－40.5÷32.类型4 巧用乘法公式计算 7．计算： (1)(5＋3)2.(2)(32＋12)(18－23)． (3)(3＋2)2－(3－2)2. (4)(2－3)2024×(2＋3)2023；(5)(2＋3－5)2－(2－3＋5)2； (6)(3＋2)2(3－2)－(3－2)2(3＋2)．类型5 先化简，再求值8．先化简，再求值：(a ＋2)(a －2)＋a (1－a )，其中a ＝5＋4.9．【2023福建】先化简，再求值：÷，其中x ＝－1.10．先化简，再求值：(x －1－3x ＋1)÷x －2x 2＋x ，其中x ＝3－2.类型6 巧用二次根式的定义和性质求值 11．若x －3－3－x ＝(x ＋y )2，求x －y 的值．12．当x 取何值时，5x －1＋4的值最小？最小值是多少？类型7 巧用乘法公式求值13．已知x ＝2－3，求代数式(7＋43)x 2＋(2＋3)x ＋3的值．类型8 巧用整体代入法求值14．已知a ＝3＋22，b ＝3－22，求a 2b －ab 2的值．15．已知x ＋y ＝－7，xy ＝12，求yx y ＋x yx的值．16．已知x＝1－，y＝1＋，求x2＋y2－xy－2x＋2y的值.17．【2023长沙南雅中学期末】已知x＝3＋，y＝3－，求下列各式的值.(1)x2－y2；(2)＋.参考答案类型1 二次根式的加减运算 1．计算：|2－5|＋|4－5|＝ . 【答案】2 2．计算： (1)24＋0.5－⎝⎛⎭⎪⎫18＋6. 解：原式＝6＋14 2. (2)248－1813＋318－818；解：原式＝83－63＋92－2 2 ＝23＋7 2. (3)32－212－418＋348. 解：原式＝83＋2 2. (4)239x ＋6x 4－2x 1x . 解：原式＝3x . (5)a 2b ＋ab a －ba b－ab 2. 解：原式＝a b －b a . (6)－12 046＋⎝⎛⎭⎫12－2－|4－12|＋(π－3)0－27.解：原式＝－1＋4－4＋23＋1－3 3 ＝－ 3.类型2 二次根式的乘除运算 3．计算： (1)112×23＝；(2)（－14）×（－112）＝； (3)－0.45－0.5＝； (4)59÷127＝ .【答案】1 28 2 31010 15 4．计算：2318÷(－3)×1327.解：原式＝⎝⎛⎭⎫－23×1318×13×27＝－29×9 2 ＝－2 2.类型3 二次根式的混合运算 5．计算：12⎝ ⎛⎭⎪⎫75＋313－48＝ . 【答案】12 6．计算：(1)50－(－2)＋8× 2. 解：原式＝1＋2＋4＝7. (2)12－1＋3(3－6)＋8. 解：原式＝4.(3)15×3520÷⎝⎛⎭⎫－13 6.解：原式＝－9 2.(4)（－3）2＋18－6×22；解：原式＝3＋32－32＝3. (5)⎝ ⎛⎭⎪⎫72－412＋32÷8. 解：原式＝(62－22＋42)÷2 2 ＝82÷2 2 ＝4.(6)⎝⎛⎭⎫318＋15 50－40.5÷32.解：原式＝2.类型4 巧用乘法公式计算 7．计算： (1)(5＋3)2. 解：原式＝8＋215. (2)(32＋12)(18－23)．解：原式＝6.(3)(3＋2)2－(3－2)2. 解：原式＝4 6. (4)(2－3)2024×(2＋3)2023；解：原式＝（2－3）2023×（2＋3）2023×（2－3）＝[（2－3）×（2＋3）]2023×（2－3）＝－1×（2－3）＝－2＋3.(5)(2＋3－5)2－(2－3＋5)2；解：原式＝(2＋3－5＋2－3＋5)× (2＋3－5－2＋3－5) ＝22×(23－25) ＝46－410.(6)(3＋2)2(3－2)－(3－2)2(3＋2)．解：原式＝(3＋2)(3－2)[]（3＋2）－（3－2）＝(9－2)×2 2 ＝14 2.类型5 先化简，再求值8．先化简，再求值：(a ＋2)(a －2)＋a (1－a )，其中a ＝5＋4. 解：原式＝a 2－4＋a －a 2 ＝a －4.当a ＝5＋4时，原式＝5＋4－4＝ 5. 9．【2023福建】先化简，再求值：÷，其中x ＝－1.【解】原式＝·＝－·＝－.当x ＝－1时，原式＝－＝－.10．先化简，再求值：(x －1－3x ＋1)÷x －2x 2＋x ，其中x ＝3－2.解：原式＝x 2－1－3x ＋1×x （x ＋1）x －2＝（x ＋2）（x －2）x ＋1×x （x ＋1）x －2＝x (x ＋2)．把x ＝3－2代入，原式＝(3－2)(3－2＋2)＝3－2 3. 类型6 巧用二次根式的定义和性质求值 11．若x －3－3－x ＝(x ＋y )2，求x －y 的值．解：∵x －3≥0，3－x ≥0， ∴x ＝3，∴y ＝－3， ∴x －y ＝6.12．当x 取何值时，5x －1＋4的值最小？最小值是多少？解：当x ＝15时，5x －1＋4的最小值为4.类型7 巧用乘法公式求值13．已知x ＝2－3，求代数式(7＋43)x 2＋(2＋3)x ＋3的值．解：原式＝(7＋43)(7－43)＋(2＋3)(2－3)＋ 3 ＝2＋ 3.类型8 巧用整体代入法求值14．已知a ＝3＋22，b ＝3－22，求a 2b －ab 2的值．解：原式＝ab (a －b ) ＝4 2.15．已知x ＋y ＝－7，xy ＝12，求y xy ＋xyx 的值．解：∵x ＋y <0，xy >0，∴x <0，y <0， ∴原式＝y ·xy －y ＋x ·xy－x＝－2xy ＝－4 3. 16．已知x ＝1－，y ＝1＋，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值. 【解】∵x ＝1－，y ＝1＋，∴x －y ＝(1－)－(1＋)＝－2， xy ＝(1－)(1＋)＝－1.∴x 2＋y 2－xy －2x ＋2y ＝(x －y )2－2(x －y )＋xy ＝(－2)2－2×(－2)＋(－1)＝7＋4.17．【2023长沙南雅中学期末】已知x ＝3＋，y ＝3－，求下列各式的值.(1)x 2－y 2；【解】∵x ＝3＋，y ＝3－，∴x ＋y ＝3＋＋3－＝6， x －y ＝3＋－(3－)＝2， ∴x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝6×2＝12.(2)＋.【解】∵x＝3＋，y＝3－，∴x＋y＝3＋＋3－＝6，xy＝(3＋)×(3－)＝4，∴＋＝＝＝＝＝7.。

人教版八年级数学下册第18章平行四边形专项训练2(含答案)

人教版八年级数学下册第18章平行四边形专项训练2（含答案）专训1.矩形性质与判定的灵活运用名师点金：矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质．它的性质可归结为三个方面：(1)从边看：矩形的对边平行且相等；(2)从角看：矩形的四个角都是直角；(3)从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等．判定一个四边形是矩形可从两个角度考虑：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等．利用矩形的性质与判定求线段的长(转化思想)1．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3 cm，EF＝4 cm，求AD的长．(第1题)利用矩形的性质与判定判断线段的数量关系2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AC上的一点，BD＝DC，P是BC 上的任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F为垂足．试判断线段PE，PF，AB之间的数量关系，并说明理由．(第2题)利用矩形的性质与判定证明角相等3．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.(第3题)利用矩形的性质与判定求面积4．如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形；(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC 的面积．(第4题)专训2.菱形性质与判定的灵活运用名师点金：菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等．利用菱形的性质与判定求菱形的高1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB.(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．(计算结果保留根号)(第1题)利用菱形的性质与判定求菱形对角线长2．如图，在矩形AFCG中，BD垂直平分对角线AC，交CG于D，交AF 于B，交AC于O.连接AD，BC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若E为AB的中点，DE⊥AB，求∠BDC的度数；(3)在(2)的条件下，若AB＝1，求菱形ABCD的对角线AC，BD的长．(第2题)利用菱形的性质与判定解决周长问题3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°，得到△CFE，连接AF.(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．(第3题)利用菱形的性质与判定解决面积问题4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.(1)求证：△AEF≌△DEB；(2)证明四边形ADCF是菱形；(3)若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．(第4题)专训3.正方形性质与判定的灵活运用名师点金：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形﹨菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可．利用正方形的性质解决线段和差倍分问题1．已知：在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．(第1题)利用正方形的性质证明线段位置关系2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.(第2题)正方形性质与判定的综合运用3．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.(1)不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？(3)四边形PQRS在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理由．(第3题)专训4.特殊平行四边形性质与判定的灵活运用名师点金：特殊平行四边形的性质区别主要从边﹨角及对角线三个方面进行区分；而判定主要从建立在其他特殊四边形的基础上再附加什么条件方面进行判定．矩形的综合性问题a．矩形性质的应用1．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.(1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；(2)若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于点G，PH⊥EC 于点H，试求PG＋PH的值．(第1题)b．矩形判定的应用2．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：(1)四边形OCED是矩形；(2)OE＝BC.(第2题)c．矩形性质和判定的应用3．如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点(不与B，C重合)，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC.垂足分别为E，F，D.(1)求证：BD＝PE＋PF.(2)当点P在BC的延长线上时，其他条件不变．如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若不成立，请说明理由．(第3题)菱形的综合性问题a．菱形性质的应用4．已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC.(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？并说明理由．(第4题)b．菱形判定的应用5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝53，∠C＝30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(t>0)．过点D作DF⊥BC 于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF.(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．(第5题)c．菱形性质和判定的应用6．(1)如图①，纸片▱ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15.过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为()A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形(2)如图②，在(1)中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D.①求证：四边形AFF′D是菱形；②求四边形AFF′D的两条对角线的长．(第6题)正方形的综合性问题a．正方形性质的应用7．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG 于E，BF∥DE交AG于点F，探究线段AF，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由．(第7题)b．正方形判定的应用8．两个长为2 cm，宽为1 cm的矩形摆放在直线l上(如图①)，CE＝2 cm，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将矩形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．(1)当旋转到顶点D，H重合时(如图②)，连接AE，CG，求证：△AED≌△GCD；(2)当α＝45°时(如图③)，求证：四边形MHND为正方形．(第8题)答案专训11．解：由折叠的性质知∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，∴∠HEF＝∠HEM＋∠FEM＝12×180°＝90°.同理可得∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，∴四边形EFGH为矩形．∴HG∥EF，HG＝EF.∴∠GHN＝∠EFM.又∵∠HNG＝∠FME＝90°，∴△HNG≌△FME.∴HN＝MF.又∵HN＝HD，∴HD＝MF.∴AD ＝AH＋HD＝HM＋MF＝HF.∵HF＝EH2＋EF2＝32＋42＝5(cm)，∴AD＝5 cm.点拨：此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形EFGH为矩形，然后利用三角形全等来证明HN＝MF，进而证明HD＝MF，从而将AD转化为直角三角形EFH的斜边HF，进而得解，体现了转化思想．(第2题)2．解：PE＋PF＝AB.理由：过点P作PG⊥AB于G，交BD于O，如图所示．∵PG ⊥AB ，PF ⊥AC ，∠A ＝90°，∴∠A ＝∠AGP ＝∠PFA ＝90°.∴四边形AGPF 是矩形．∴AG ＝PF ，PG ∥AC.∴∠C ＝∠GPB.又∵BD ＝DC ，∴∠C ＝∠DBP.∴∠GPB ＝∠DBP.∴OB ＝OP.∵PG ⊥AB ，PE ⊥BD ，∴∠BGO ＝∠PEO ＝90°. 在△BGO 和△PEO 中，⎩⎨⎧∠BGO ＝∠PEO ，∠GOB ＝∠EOP ，OB ＝OP ，∴△BGO ≌△PEO.∴BG ＝PE. ∵AB ＝BG ＋AG ＝PE ＋PF.3．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD. ∴BE ∥DF.又∵BE ＝DF ， ∴四边形BFDE 是平行四边形． ∵DE ⊥AB ， ∴∠DEB ＝90°.∴四边形BFDE 是矩形．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC ，AD ＝BC. ∴∠DFA ＝∠FAB.由(1)易得△BCF 为直角三角形，在Rt △BCF 中，由勾股定理，得 BC ＝CF2＋BF2＝32＋42＝5， ∴AD ＝BC ＝DF ＝5. ∴∠DAF ＝∠DFA. ∴∠DAF ＝∠FAB ，即AF 平分∠DAB.4．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥DC.∴∠ABE ＝∠ECF. 又∵点E 为BC 的中点，∴BE ＝CE. 在△ABE 和△FCE 中，∵⎩⎨⎧∠ABE ＝∠FCE ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠FEC ，∴△ABE ≌△FCE.∴AB ＝CF.又AB∥CF，∴四边形ABFC为平行四边形．∴AE＝EF.∵∠AEC为△ABE 的外角，∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE.∴AE＋EF＝BE＋EC，即AF＝BC.∴四边形ABFC为矩形．(2)解：∵四边形ABFC是矩形，∴AC⊥DF.又∵△AFD是等边三角形，∴CF＝CD＝DF2＝2.∴AC＝42－22＝2 3.∴S四边形ABFC＝23×2＝4 3.专训21．(1)证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ACB ＝90°，D是AB的中点，∴CD＝BD＝AD，∴平行四边形ADCE是菱形．(2)解：如图，过点D作DF⊥CE，垂足为点F，则DF即为菱形ADCE的高，∵∠B＝60°，CD＝BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD＝60°.∵CE∥AB，∴∠BCE＝180°－∠B＝120°，∴∠DCE＝60°，又∵CD＝BC＝6，∴在Rt△CDF中，易求得DF＝33，即菱形ADCE的高为3 3.(第1题)2．(1)证明：∵BD垂直平分AC，∴OA＝OC，AD＝CD，AB＝BC.∵四边形AFCG是矩形，∴CG∥AF.∴∠CDO＝∠ABO，∠DCO＝∠BAO.∴△COD≌△AOB(AAS)．∴CD＝AB.∴AB＝BC＝CD＝DA.∴四边形ABCD是菱形．(2)解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB.∴AD＝DB.又∵AD＝AB，∴△ADB为等边三角形，∴∠DBA ＝60°.∵CD ∥AB ，∴∠BDC ＝∠DBA ＝60°.(3)解：由菱形性质知，∠OAB ＝12∠BAD ＝30°.在Rt △OAB 中，AB ＝1，∴OB ＝12，∴OA ＝32.∴BD ＝1，AC ＝ 3.3．(1)证明：∵将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE ，∴AE ＝CE ，DE ＝FE.∴四边形ADCF 是平行四边形．∵D ，E 分别为AB ，AC 边的中点，∴DE 是△ABC 的中位线．∴DE ∥BC.∵∠ACB ＝90°，∴∠AED ＝90°.∴DF ⊥AC.∴四边形ADCF 是菱形．(2)解：在Rt △ABC 中，BC ＝8，AC ＝6，∴AB ＝10.∵点D 是AB 边的中点，∴AD ＝5.∵四边形ADCF 是菱形，∴AF ＝FC ＝AD ＝5.∴四边形ABCF 的周长为8＋10＋5＋5＝28.4．(1)证明：∵E 是AD 中点，∴AE ＝DE. ∵AF ∥BC ，∴∠FAE ＝∠BDE ，又∵∠AEF ＝∠DEB ，∴△AEF ≌△DEB(ASA )．(2)证明：由(1)知，△AEF ≌△DEB ，则AF ＝DB ，∵D 是BC 的中点，∴DB ＝DC ，∴AF ＝CD ，又∵AF ∥BC ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，∴AD ＝DC ＝12BC ，∴四边形ADCF 是菱形．(3)解：设菱形ADCF 的DC 边上的高为h ，则Rt △ABC 斜边BC 上的高也为h ，∵BC ＝52＋42＝41，∴DC ＝12BC ＝412，h ＝4×541＝2041，∴菱形ADCF的面积为：DC·h ＝412×2041＝10.专训31．解：(1)仍有BM ＋DN ＝MN 成立．证明如下：如图(1)，过点A 作AE ⊥AN ，交CB 的延长线于点E, 易证△ABE ≌△ADN ，∴DN ＝BE ，AE ＝AN. 又∵∠MAN ＝45°，∴∠EAM ＝∠NAM ＝45°，AM ＝AM ，∴△EAM ≌△NAM.∴ME ＝MN.∵ME ＝BE ＋BM ＝DN ＋BM ，∴BM ＋DN ＝MN .(2)DN －BM ＝MN.证明如下：如图(2)，在DN 上截取DE ＝BM ，连接AE.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABM ＝∠D ＝90°，AB ＝AD. 又∵BM ＝DE ，∴△ABM ≌△ADE.∴AM ＝AE ，∠BAM ＝∠DAE.∵∠DAB ＝90°，∴∠MAE ＝90°. ∵∠MAN ＝45°，∴∠EAN ＝45°＝∠MAN.又∵AM ＝AE ，AN ＝AN ， ∴△AMN ≌△AEN.∴MN ＝EN. ∴DN ＝DE ＋EN ＝BM ＋MN. ∴DN －BM ＝MN.(1)(2)(第1题)2．证明：∵AC ，BD 是正方形ABCD 的两条对角线，∴AC ⊥BD ，OA ＝OD ＝OC ＝OB.∵DE ＝CF ，∴OE ＝OF.在Rt △AOE 与Rt △DOF 中，⎩⎨⎧OA ＝OD ，∠AOE ＝∠DOF ＝90°，OE ＝OF ，∴Rt △AOE ≌Rt △DOF.∴∠OAE ＝∠ODF.∵∠DOF ＝90°，∴∠DFO ＋∠FDO ＝90°.∴∠DFO ＋∠FAE ＝90°.∴∠AMF ＝90°，即AM ⊥DF.3．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA.又∵不管滚动多长时间，AP ＝BQ ＝CR ＝DS ，∴SA ＝PB ＝QC ＝RD.∴△ASP ≌△BPQ ≌△CQR ≌△DRS.∴PS ＝QP ＝RQ ＝SR ，∠ASP ＝∠BPQ.∴不管滚动多长时间，四边形PQRS 是菱形．又∵∠APS ＋∠ASP ＝90°，∴∠APS ＋∠BPQ ＝90°.∴∠QPS ＝180°－(∠APS ＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴不管滚动多长时间，四边形PQRS 总是正方形．(2)解：当P ，Q ，R ，S 在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形ABCD 的面积．(3)解：当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形四边中点时，四边形PQRS 的面积是原正方形ABCD 面积的一半．理由：设原正方形ABCD 的边长为a.当PS 2＝12a 2时，在Rt △APS 中，AS ＝a －SD ＝a －AP. 由勾股定理，得AS 2＋AP 2＝PS 2，即(a －AP)2＋AP 2＝12a 2，解得AP ＝12a.同理可得BQ ＝CR ＝SD ＝12a.∴当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形ABCD 各边中点时，四边形PQRS 的面积为原正方形面积的一半．专训41．解：(1)△AED ≌△CEB′.证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝DA ，∠B ＝∠D. 由折叠的性质，知BC ＝B′C ，∠B ＝∠B′， ∴B′C ＝DA ，∠B′＝∠D. 在△AED 和△CEB′中，⎩⎨⎧∠DEA ＝∠B′EC ，∠D ＝∠B′，DA ＝B′C ，∴△AED ≌△CEB′.(第1题)(2)如图，延长HP 交AB 于点M ，则PM ⊥AB. ∵∠1＝∠2，PG ⊥AB′，∴PM ＝PG. ∵CD ∥AB ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝CE＝8－3＝5.在Rt△ADE中，DE＝3，AE＝5，∴AD＝52－32＝4.∵PH＋PM＝AD，∴PG＋PH＝AD＝4.2．证明：(1)∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠DOC＝90°.∴四边形OCED是矩形．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD.∵四边形OCED是矩形，∴OE＝CD，∴OE＝BC.(第3题)3．(1)证明：如图，过点B作BH⊥FP交FP的延长线于点H.∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF，∴四边形BDFH是矩形．∴BD＝HF.∵AB＝AC，∴∠ABC ＝∠C.∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEB＝∠PFC＝90°.∴∠EPB＝∠FPC.又∵∠HPB＝∠FPC，∴∠EPB＝∠HPB.∵PE⊥AB，PH⊥BH，∴∠PEB＝∠PHB ＝90°.又∵PB＝PB，∴△PEB≌△PHB.∴PE＝PH，∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE.即BD＝PE＋PF.(2)解：不成立，此时PE＝BD＋PF.理由：过点B作BH⊥PF交PF的延长线于点H.与(1)同理可得PE＝PH，BD ＝HF.∴PE＝FH＋FP＝BD＋PF.(第4题)4．(1)证明：连接AC，如图．∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD是线段AC的垂直平分线，∴AE ＝EC.(2)解：点F 是线段BC 的中点．理由：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝CB. 又∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC ＝60°. ∵AE ＝EC ， ∴∠EAC ＝∠ACE. ∵∠CEF ＝60°， ∴∠EAC ＝30°， ∴∠EAC ＝∠EAB.∴AF 是△ABC 的角平分线． ∴BF ＝CF.∴点F 是线段BC 的中点．5．(1)证明：在△DFC 中，∠DFC ＝90°，∠C ＝30°，DC ＝2t ， ∴DF ＝t ，又∵AE ＝t ，∴AE ＝DF.(2)解：能．理由如下：∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF. 又∵AE ＝DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形．在Rt △ABC 中，设AB ＝x ，则由∠C ＝30°，得AC ＝2x ，由勾股定理，得AB 2＋BC 2＝AC 2，即x 2＋(53)2＝4x 2，解得x ＝5(负根舍去)， ∴AB ＝5. ∴AC ＝2AB ＝10. ∴AD ＝AC －DC ＝10－2t.由已知得点D 从点C 运动到点A 的时间为10÷2＝5(s )，点E 从点A 运动到点B 的时间为5÷1＝5(s )．若使▱AEFD 为菱形，则需AE ＝AD ，即t ＝10－2t ，解得t ＝103.符合题意．故当t ＝103 s 时，四边形AEFD 为菱形．(3)解：①当∠EDF ＝90°时，四边形EBFD 为矩形．在Rt △AED 中，∠ADE ＝∠C ＝30°，∴AD ＝2AE ，即10－2t ＝2t ，解得t ＝52.符合题意． ②当∠DEF ＝90°时，由(2)知EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°.∵∠A＝90°－∠C＝60°，∴∠AED＝30°.∴AE＝2AD，即t＝2(10－2t)，解得t＝4.符合题意．③当∠EFD＝90°时，△DEF不存在．综上所述，当t＝52s或4 s时，△DEF为直角三角形．6．(1)C(2)①证明：∵AF綊DF′，∴四边形AFF′D是平行四边形．∵S▱ABCD＝AD·AE＝15，AD＝5，∴AE＝3.∵AE＝3，EF＝4，∠E＝90°，∴AF＝AE2＋EF2＝32＋42＝5.∵AD＝5，∴AD＝AF，∴四边形AFF′D是菱形．②解：如图，连接AF′，DF，在Rt△AEF′中，AE＝3，EF′＝EF＋FF′＝4＋5＝9，∴由勾股定理可得AF′＝310.在Rt△DFE′中，FE′＝EE′－EF＝5－4＝1，DE′＝AE＝3，∴由勾股定理得DF＝10，∴四边形AFF′D的两条对角线的长分别是310和10.(第6题)7．解：线段AF，BF，EF三者之间的数量关系是AF＝BF＋EF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°.∴∠DAE＋∠BAF＝90°.∵DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，∴∠AFB＝∠DEF＝∠AED＝90°，∴∠ADE＋∠DAE＝90°，∴∠ADE ＝∠BAF. 在△ABF 和△DAE 中，⎩⎨⎧∠BAF ＝∠ADE ，∠AFB ＝∠DEA ，AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE. ∴BF ＝AE.∵AF ＝AE ＋EF ，∴AF ＝BF ＋EF. 8．证明：(1)∵CD ＝CE ＝DE ＝2 cm ， ∴∠CDE ＝60°.又∵四边形ABCD 和四边形EHGF 是矩形， ∴∠ADC ＝∠GDE ＝90°，∴∠ADE ＝∠GDC ＝150°.在△AED 和△GCD 中，⎩⎨⎧AD ＝GD ，∠ADE ＝∠GDC ，DE ＝DC ，∴△AED ≌△GCD. (2)∵α＝45°，∴∠NCE ＝∠NEC ＝45°， ∴∠CNE ＝90°，CN ＝NE ， ∴∠HND ＝90°.∴∠H ＝∠D ＝∠HND ＝90°， ∴四边形MHND 是矩形．又∵CD ＝HE ，CN ＝NE ，∴HN ＝ND. ∴四边形MHND 是正方形．。

人教版八年级下册数学平行四边形证明题专题训(带答案)

人教版八年级下册数学平行四边形证明题专题训练1．ABCD 中，点E 、F 是AC 上的两点，并且AE CF =．求证：四边形BFDE 是平行四边形．2．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且//,//DE AC CE BD ．求证：四边形OCED 是菱形．3．如图，在ABC 中，90CAB ∠=︒，DE ，DF 是ABC 的中位线，连接EF ，AD ．求证：EF AD =．4．如图，将▱AECF 的对角线EF 向两端延长，分别至点B 和点D ，且使EB ＝FD ．求证：四边形ABCD 为平行四边形．5．如图，在四边形ABCD 中，AB CD =，BE DF =；AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为E ，F ．（1）求证：ABE △≌CDF ；（2）若AC 与BD 交于点O ，求证：AO CO =．6．如图，在ABCD中，点E，F分别在AD、BC上，且AE CF=，连接EF，AC交于点O．求证：OE OF=．7．已知：如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别相交于点E、F．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形？并给出证明．8．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF ＝BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．AC，连接CE、OE，连接AE交9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝12OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在边CD上，连接AE，将四边形ABCE沿直线AE折叠，得''，且B C''恰好经过点D．到多边形AB C E（1）线段DC′的长度；（2）求ADE的面积．11．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．12．如图将矩形ABCD沿对角线AC对折,使△ABC落在△ACE的位置,且CE与AD相交于点F,求证:EF=DF.13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．14．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF，（1）证明：∠BAC=∠DAC．（2）若∠BEC=∠ABE，试证明四边形ABCD是菱形．15．如图，在ABCD中，过点D作DE AB=，连接AF，BF．⊥于点E，点F在边CD上，CF AE（1）求证：四边形BFDE是矩形；AD=，求DC的长度．（2）已知60∠=︒，AF是DABDAB∠的平分线，若316．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．17．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F，使EF＝DE，连接BF．（1）求证：四边形ABFD是平行四边形；（2）求证：BF＝DC．18．如图，在□ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF 是平行四边形．19．如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形（2）线段AB ，BF ，AC 之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论20．如图，在矩形ABCD 中，8AB cm =，16BC cm =，点P 从点D 出发向点A 运动，运动到点A 停止，同时，点Q 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停止，点P 、Q 的速度都是1/cm s ．连接PQ 、AQ 、CP ．设点P 、Q 运动的时间为ts ．（1）当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形；（2）当t 为何值时，四边形AQCP 是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP 的周长和面积．参考答案：1．证明：如图，连接,BD 交AC 于,OABCD ,,,OA OC OB OD ∴==,AE CF =,OA AE OC CF ∴-=-,OE OF ∴=∴四边形BFDE 是平行四边形．2．∵////DE AC CE BD ，，∴四边形OCED 是平行四边形．∵矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∴OC=OD ，∴四边形OCED 是菱形．3．证明：∵DE 、DF 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，DF ∥AC ，∴四边形DEAF 是平行四边形，∵∠CAB ＝90°，∴四边形DEAF 是矩形，∴EF ＝AD ．4．解：连接AC 交EF 于点O∵四边形AECF 为平行四边形∴OF OE =，OA OC =∵EB FD =∴OF FD OE EB +=+∴OD OB =∴四边形ABCD 为平行四边形5．【详解】（1）证明：∵AE BD ⊥，CF BD ⊥，∴90AEB CFD ∠=∠=︒，∵AB CD =，BE DF =，∴ABE △≌CDF ．（2）由（1）ABE △≌CDF ，∴AE CF =，∵AE BD ⊥，CF BD ⊥，∴90AEO CFO ∠=∠=︒，∵AOE COF ∠=∠，∴()AEO CFO AAS ≌∴AO CO =．6．证明：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，AEO CFO在AOE △和COF 中AOE COF AEO CFO AE CF ∠=∠⎧⎪∴∠=∠⎨⎪=⎩AOE COF ∴≅OE OF ∴=．7．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB =OD ，∵AE //CF ，∴∠E =∠F ，∠OBE =∠ODF ，在△BOE 与△DOF 中，E F OBE ODF OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE ≌△DOF （AAS ）；（2）当EF ⊥AC 时，四边形AECF 是菱形．证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴OE =OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形．8．证明：（1）∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DCE ，∵E 是AD 的中点，∴AE =DE ，∵∠AFE ＝∠DCE ， ∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=DC，∵AF=BD，∴BD=CD，∴D是BC的中点；（2）四边形AFBD是矩形．理由：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵AF=BD，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形，又∵∠ADB=90°，∴四边形AFBD是矩形．9．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴OC＝1AC，AC⊥BD，2AC，∵DE＝12∴DE＝OC，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2，AC=1，AC⊥BD，AD=2，∵OA=12∴OD=∴在矩形OCED 中，CE ＝OD∴在Rt △ACE 中，AE10．解：（1）∵四边形ABCD 是矩形∴AD=BC=10，AB=CD=6，∠B=∠C=90°∵将四边形ABCE 沿直线AE 折叠，得到多边形AB′C′E ， ∴AB=AB'=6，CE=C'E ，B'C'=BC=10，∠B'=∠B=90°，∠C=∠C'=90°∵8∴C'D=B'C'-B'D=2，（2）设DE=x ，则EC′=6-x ，由（1）可知∠C'=90°，C'D=2∴在Rt △C′DE 中，222(6)2x x -+=，解得：103x =∴ADE 的面积为111050102233AD DE ⋅=⨯⨯= 11．证明：（1）∵BF=DE ，∴BF EF DE EF -=-，即BE=DF ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB=∠CFD=90°，在Rt △ABE 与Rt △CDF 中，AB CD BE DF=⎧⎨=⎩, ∴Rt ABE Rt CDF ∆∆≌（HL ）；（2）如图，连接AC 交BD 于O ，∵Rt ABE Rt CDF ∆∆≌，∴ABE CDF ∠=∠，∴//D AB C ，∵=D AB C ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AO CO =．12．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =∠E ，AE =CD ，又∵∠AFE =∠CFD ，在△AEF 和△CDF 中，E D AFE CFD AE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△CDF (AAS )，∴EF =DF .13．(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，AB AD CB CD AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADC(SSS)，∴∠BAC=∠DAC ，在△ABF 和△ADF 中,AB AD BAF DAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△ADF(SAS)，∴∠AFB=∠AFD ，∵∠CFE=∠AFB ，∴∠AFD=∠CFE ，∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；(3)BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∵CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD=∠EFD.14．（1）在△ABC和△ADC中，∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中，∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AF=AF，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB=∠AFD．（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC ，∴∠ACD=∠CAD ，∴AD=CD ，∵AB=AD ，CB=CD ，∴AB=CB=CD=AD ，∴四边形ABCD 是菱形．15．解：（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形， //DC AB ∴，DC AB =，CF AE =，DF BE ∴=且//DC AB ，∴四边形DFBE 是平行四边形，又DE AB ⊥，∴四边形DFBE 是矩形；（2）60DAB ∠=︒，3AD =，DE AB ⊥，32AE ∴=，DE =四边形DFBE 是矩形，BF DE ∴==AF 平分DAB ∠，1302FAB DAB ∴∠=∠=︒，且BF AB ⊥， 92AB ∴==， 92CD ∴=． 16．证明：（1）∵▱ABCD ，∴AO ＝OC ，∵△ACE 是等边三角形，∴EO ⊥AC （三线合一）即 BD ⊥AC ，∴▱ABCD是菱形；（2）∵△ACE是等边三角形，∠EAC＝60°由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形∴∠EAO＝60°，∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，∵▱ABCD是菱形，∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，∴菱形ABCD是正方形．17．（1）∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，AB=2DE，AD=CD，∵EF=DE，∴DF=2DE，∴AB=DF，且AB∥DF，∴四边形ABFD是平行四边形；（2）∵四边形ABFD是平行四边形，∴AD=BF，且AD=CD，∴BF=DC．18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD，又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，∴DE=BF，AE=CF，∠DAE=∠BCF=60°，∴∠BCD-∠BCF=∠DAB-∠DAE，即∠DCF=∠BAE，∴△DCF≌△BAE（SAS），∴DF=BE，∴四边形BEDF是平行四边形.19．（1）证明：延长CE 交AB 于点G∵AE ⊥CE∴90AEG AEC ︒∠=∠=在AEG ∆和AEC ∆GAE CAE AE AEAEG AEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AEG ∆≅AEC ∆∴GE=EC∵BD=CD∴DE 为CGB ∆的中位线∴DE //AB∵DE=BF∴四边形BDEF 是平行四边形（2）1()2BF AB AC =- 理由如下：∵四边形BDEF 是平行四边形∴BF=DE∵D ，E 分别是BC ，GC 的中点∴BF=DE=12BG∵AEG ∆≅AEC ∆∴AG=AC BF=12（AB-AG ）=12（AB-AC ）．20．解：（1）在矩形ABCD 中，8AB cm =，16BC cm =， 16BC AD cm ∴==，8AB CD cm ==，由已知可得，BQ DP tcm ==，(16)AP CQ t cm ==-，在矩形ABCD 中，90B ∠=︒，//AD BC ，当BQ AP =时，四边形ABQP 为矩形，16t t ∴=-，得8t =，故当8t s =时，四边形ABQP 为矩形；（2）AP CQ =，//AP CQ ，∴四边形AQCP 为平行四边形，∴当AQ CQ =时，四边形AQCP 为菱形16t -时，四边形AQCP 为菱形，解得6t =，故当6t s =时，四边形AQCP 为菱形；（3）当6t s =时，16610AQ CQ CP AP cm ====-=，则周长为41040cm cm ⨯=；面积为210880cm cm cm ⨯=．。

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屯脚中学2015-2016学年度第2学期期末专题试卷八年级数学专题一（二次根式）一、选择题（每题3分，共30分） 1、1、若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（） A ．x ≥B ．x ＞C ．x ≥D ．x ＞2. 在函数y=1x-3 中，自变量x 的取值范围是（）A ．3x ≠B ．0x ≠C ．3x >D ．3x =3、若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（） A ．x ≥B ．x ＞C ．x ≥D ．x ＞4、在函数y=1x-3 中，自变量x 的取值范围是（）A ．3x ≠B ．0x ≠C ．3x >D ．3x =5、下列计算结果正确的是：（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）6、下列计算结果正确的是：（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）7、下列二次根式中不能再化简的二次根式的是（） A ．B ．C ．D ．8、下列式子中，属于最简二次根式的是（） A.9 B. 7 C. 20 D.319、下列式子中，属于最简二次根式的是（）A. 9B. 7C. 20D.31二、计算题－()2+－+4、1021128-⎪⎭⎫⎝⎛+--+π，(83)6(4236)22+⨯--÷5、先化简，后计算：11()b a b b a a b ++++，其中512a +=，512b -=6、化简并求值：(x-1x+1 +2x x 2-1 )÷ 1x 2-1 ，其中x=0。

7、化简求值：，其中．8、先化简后求值．9、已知的值是．三、（二次根式非负性）1、若为实数，且，则的值为（）A ．1B ．C ．2D ．2、若三角形ABC 的三边a 、b 、c 满足0，则△ABC 的面积为____．3、已知，那么的值为( ) A ．一l B ．1 C ．32007D ．4、若实数a 、b 满足042=-++b a ，则ba=专题二（勾股定理）一、选择题或填空题1、有一个三角形两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（）A、3 B 、 C、3或 D、3或2、如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A．7，24，25 B ．，， C．3，4，5 D．4，，3、在△ABC中AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或334、△ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是( )A.42B.32C.42或32D.37或335、以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（）（1）3，4，5；（2），，；（3）32，42，52；（4）0.03，0.04，0.05．A．1个B．2个C．3个D．4个6、直角三角形的两条直角边长分别为、，则这个直角三角形的斜边长为________，面积为________ .7、已知a，b，c为三角形的三边，则= .8、如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下滑了__________米．9、直角三角形的两边为3和4，则该三角形的第三边为 .二、综合体1、在长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝cm.2、如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，，，求：（1）的长；（2）的长.3、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A.12B. 24C.D. 3164、如图，中，于D，若求的长。

专题三（平行四边形）一、填空题或选择题1、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长________.2、如图所示：在正方形ABCD的边BC延长线上取一点E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC为度．3、如图，在菱形中，对角线、相交于点O，E为BC的中点，则下列式子中，一定成立的是________.4、如图，在□ABCD的面积是12，点E，F在AC上，且AE＝EF＝FC，则△BEF的面积为（）A. 6B. 4C. 3D. 25、如下图，在中，分别是边的中点，已知，则的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6EFD CBA二、综合体（平行四边形）1、(本题10分)如图，在□ABCD 中，F E 、分别是边BC 和AD 上的点.请你补充一个条件，使CDF ABE ∆∆≌，并给予证明.2、.如图，在□ABCD 中，F 是AD 的中点，延长BC 到点E ，使CE=21BC ，连结DE ，CF 。

（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE 的长。

3、如图，点E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE=DF ．（1）试判断四边形AECF 的形状；（2）若AE=BE ，∠BAC ＝90°，求证：四边形AECF 是菱形．4、如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的对角线AC 、BD 上两点，且AE DF =．求证：（1）BOE ∆≌COF ∆；（2）四边形BCFE 是等腰梯形．5、如图，在四边形ABCD 中，AB =BC ，对角线BD 平分 ∠ABC ，P 是BD 上一点，过点P 作PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，垂足分别为M 、N 。

(1) 求证：∠ADB =∠CDB ； (2) 若∠ADC =90︒，求证：四边形MPND 是正方形。

专题四（一次函数）一、选择题或填空题1、已知点（-2，y 1），（-1，y 2），（1，y 3）都在直线y=－3x ＋b 上，则y 1，y 2，y 3的值的大小关系是（）A ．y 1>y 2>y 3B ．y 1<y 2<y 3C ．y 3>y 1>y 2D ．y 3<y 1<y 2 2、一次函数与的图像如下图，则下列结论：①k<0；②>0；③当<3时，中，正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33、函数y=(m+1)x-(4m-3)的图象在第一、二、四象限，那么m 的取值范围是( )（A ）（B ）（C ）（D ）4、一次函数y=mx+n 与y=mnx （mn ≠0），在同一平面直角坐标系的图像是……（）A. B. C. D.5、如图，已知函数和的图象交点为，则不等式的解集为．6、如图,函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则不等式2x<ax+4的解集为( )A.x<B.x<3C.x>D.x>3FEOD CBAA B CD N M Pyx o yxoyxoyxo7、与直线y=2x+1关于x轴对称的直线是（）A．y=-2x+1 B．y=-2x-1 C112y x=-- D112y x=-+8、将直线y=3x向下平移2个单位，得到直线．9、从A地向B地打长途电话，通话3分钟以内（含3分钟）收费2.4元，3分钟后每增加通话时间1分钟加收1元（不足1分钟的通话时间按1分钟计费），某人如果有12元话费打一次电话最多可以通话分钟．二、根据图像回答问题1、小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车的速度继续匀速行驶，下面是行使路程s （米）关于时间t（分）的函数图象，那么符合这个同学行驶情况的图像大致是（）A ．B． C ．D．2、小明、小宇从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小明步行一段时间后，小宇骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s（米）与小明出发时间t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法：①小宇先到达青少年宫；②小宇的速度是小明速度的3倍；③a=20；④b=600．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④3、李老师开车从甲地到相距240km的乙地,如果油箱剩余油量y(L)与行驶里程x(km)之间是一次函数关系,其图象如图所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是 L.4、某商店试销一种成本单价为100元/件的运动服，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于180元/件，经市场调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系满足一次函数y=kx+b（k≠0），其图象如图。

（1）根据图象，求一次函数的解析式；（2）当销售单价x在什么范围内取值时，销售量y不低于80件。

5、某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务。

甲种使用者每月需缴18元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.2元；乙种使用者不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元。

若一个月内通话时间为分钟，甲、乙两种的费用分别为和元。

（1）试分别写出、与之间的函数关系式；（2）在如图所示的坐标系中画出、的图像；（3）根据一个月通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？6、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1) 求两直线与y轴交点A，B的坐标;(2) 求两直线交点C的坐标;(3) 求△ABC的面积.三、设计方案，求最值7、我市某化工厂现有甲种原料290kg，乙种原料212kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共80件．生产一件A产品需要甲种原料5kg，•乙种原料1.5kg，生产成本是120元；生产一件B产品，需要甲种原料2.5kg，乙种原料3.5kg，•生产成本是200元．（1）该化工厂现有的原料能否保证生产？若能的话，有几种生产方案，请你设计出来；（2）设生产A，B两种产品的总成本为y元，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案总成本最低？•最低生产总成本是多少？xy140120100120140801608、某服装厂现有A 种布料70m ，B 种布料52m ，现计划用这两种布料生产M 、N 两种型号的时装80套.已知做一套M 型号的时装需要A 种布料0.6m ，B 种布料O.9m ，可获利45元，做一套N 型号的时装需要A 种布料1.1m ，B 种布料0.4m ，可获利50元.若设生产N 型号的时装套数为x ，用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y 元. (1)求y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；(2)该服装厂在生产这批时装中，当生产N 型号的时装多少套时，所获利润最大?最大利润是多少?专题五（数据的波动）一、选择题或填空题1、已知样本x ， 99，100，101，y 的平均数为100，方差是2，则x = ，y = . 2、刘翔为了迎战2008年北京奥运会刻苦进行110米拦训练，教练对他的10次训练成绩进行统计分析，若要判断他的成绩是否稳定，则教练需要知道刘翔这10次成绩的（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差3、一组有三个不同的数:3、8、7,它们的频数分别是3、5、2,这组数据的平均数是_______.4、若一组数据的平均数是，方差是，则的平均数是，方差是 .5、某班第一小组7名同学的毕业升学体育测试成绩(满分30分)依次为：25,23,25,23,27,30,25，这组数据的中位数和众数分别是（）A ．23,25B ．23,23C ．25,23D ．25,256、某公司10名职工的5月份工资统计如下,该公司10名职工5月份工资的众数和中位数分别是( )A.2400元、2400元B.2400元、2300元C.2200元、2200元D.2200元、2300元7、在方差公式()()()[]2222121x x x x x x nS n -++-+-= 中，下列说法不正确的是（） A. n 是样本的容量 B. n x 是样本个体C. x 是样本平均数 D. S 是样本方差8、多多班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是（）（A ）极差是47（B ）众数是42（C ）中位数是58（D ）每月阅读数量超过40的有4个月9、某老师计算学生的学期总评成绩时按照如下的标准：平时成绩占20%，期中成绩占30%，期末成绩占50%．小东和小华的成绩如下表所示：请你通过计算回答：小东和小华的学期总评成绩谁较高？某中学对“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形高度之比为2:8:5:4:3，又知此次调查中捐15元和20元得人数共39人.（1）他们一共抽查了多少人？（2）这组数据的众数、中位数各是多少？（3）若该校共有1500名学生，请估算全校学生共捐款多少元？工资(元) 2 000 2 200 2 400 2 600 人数(人)13 42学生平时成绩期中成绩期末成绩小东 70 80 90小华 90 70 80 010203040506070809012345678某班学生1～8月课外阅读数量折线统计图3670585842287583本数月份（第8题）12345678专题六：最值问题1、如图，没有上盖的圆柱盒高为10cm,周长为32cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处．则蚂蚁需要爬行的最短路程的长为cm如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为【】A．54B．52C．53D．65专题七：找规律1、如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为．2、如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 .专题八：动点问题1、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm. 射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s).（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）填空：①当t为_________s时，四边形ACFE是菱形；②当t为_________s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形.2、如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．MPFECBA。