三角形基础知识及习题

三角形的三线一、定义三角形三条中线的交点叫做三角形重心。

三角形的中线平分三角形的面积。

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

三角形三条高线的交点叫做三角形垂心。

三角形三条角平分线线的交点叫做三角形内心。

注意：三角形的中线，角平分线，高线均为线段二、灵活运用中线篇1.如图7-11所示，在△ABC中，∠1=∠2，点G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断中正确的是( )（1）AD是△ABE的角平分线；(2)BE是△ABD边AD上的中线；(3)CH是△ACD边AD上的高.A.0个B.1个C.2个D.3个2.如图，BM是△ABC的中线，若AB=5 cm，BC=13cm，那么△BCM的周长与△ABM的周长差是多少?3.能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是（）A．中线B．高C．角平分线D．以上三种情况都正确4.如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则这个三角形是__________5.如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为B C、AD、CE的中点，且S△ABC=4c m2，则S阴影=__________.6.如图，BD=12BC，则BC边上的中线为______，△ABD的面积=_____的面积.7.在△ABC中,D是BC上的点,且BD:DC=2:1,S△ACD=12,那么S△ABC等于( )A.30B.36C.72D.248.如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE．9.探索在如图7-23至图7-25中，△ABC的面积为a.(1)如图7-23，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA.若△ACD的面积为S1，则S1=__________(用含a的代数式表示)；图7-23 图7-24 图7-25(2)如图7-24，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE.若△DEC的面积为S2，则S2=________(用含a的代数式表示)，并写出理由；(3)在图7-25的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF(如图7-25).若阴影部分的面积为S3,则S3=__________(用含a的代数式表示).（4）像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF(如图7-25)，此时，我们称△ABC向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的__________倍.应用去年在面积为10 m2的△ABC空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH(如图7-26).求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少平方米?10. 在数学活动中，小明为了求23411112222++++ (1)2n +的值（结果用n 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求23411112222++++ (1)2n +的值.垂线篇1. 如图，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，且CD 、BE 交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC 的度数是( )A.150°B.130°C.120°D.100°2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定3. 如图，已知AD ，AE 分别为△ABC 的中线、高，且AB=5cm ，AC=3cm ，则△ABD与△ACD 的周长之差为 cm ，△ABD 与△ACD 的面积关系为 ．4. 如图,在ABC ∆中,2,3AC cm BC cm ==,ABC ∆的高AD 与BE 的比是多少?5. 如图，在△ABC 中，∠C 是钝角，画出∠C 的两边AC 、BC 边上的高BE 、AD ．6. 如图7-13，△ABC 的边BC 上的高为AF ，AC 边上的高为BG ，中线为AD ，已知AF=6，BC=10,BG=5.(1)求△ABC 的面积；(2)求AC 的长；(3)说明△ABC 和△ACD 的面积的关系.B C ADE角平分线篇1. 在△ABC 中,∠B=60°,∠C=40°,AD 、AE 分别是△ABC 的高线和角平分线, 则∠DAE 的度数为______2. 下列四个命题中是真命题的有（ ）个（1）D 是△ABC 中BC 边上的一个点，且BD =CD ，则AD 是△ABC 的中线 （2）D 是△ABC 中BC 边上的一个点，且∠ADC =90°，则AD 是△ABC 的高 （3）D 是△ABC 中BC 边上的一个点，且∠BAD=21∠BAC ，则AD 是△ABC 的角平线 （4）三角形的中线、高、角平分线都是线段 A.1 B.2 C.3 D.43. 如图BD 、AE 分别是△ABC 的中线、角平分线，AC=10cm ，∠BAC=700，则AD=_____，∠BAE=____4. 如图DE ∥BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB =60°，那么∠EDC =______度5. 以下说法错误的是（ ）A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D ．三角形的三条高可能相交于外部一点6. 如图,ABC ∆中,90,6,ACB AB CD ∠==为中线,CE 平分ACB ∠,则DB = ,ACE ∠=_______________7. 如图，BD 、CD 分别是△ABC 的两个外角∠CBE 、∠BCF•的平分线，试探索∠D 与∠A 之间的数量关系．8. 如图，BD 为△ABC 的角平分线，CD 为△ABC 的外角∠ACE 的平分线，它们相交于点D ，试探索∠BDC与∠A 之间的数量关系．D EABC4第题FBD三角形基础知识练习1、如果点G是△ABC的重心，联结AG并延长，交对边BC于点D，那么AG：AD是（）A．2：3 B．1：2 C．1：3 D．3：42、如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（）A．110°B．115°C．120°D．130°3、将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°4、如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，错误的是（）A．△ABC中，AD是边BC上的高B．△ABC中，GC是边BC上的高C．△GBC中，GC是边BC上的高D．△GBC中，CF是边BG上的高第2题图第3题图第4题图5、如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．40°B．35°C．30°D．25°6、AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE的度数为（）A．20°B．18°C．38°D．40°7、在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点D，∠D=40°，则∠A等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°8、将一副直角三角板，按如图叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．90°9、如图，EA⊥AB，BC⊥AB EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：（1）DE=AC（2）DE⊥AC（3）∠CAB=30°（4）∠EAF=∠ADE，其中结论正确的是（）A．（1），（3）B．（2），（3）C．（3），（4）D．（1），（2），（4）第5题第6题第7题第8题第9题10、下列说法中错误的是（）A．三角形三条角平分线都在三角形的内部B．三角形三条中线都在三角形的内部C．三角形三条高都在三角形的内部D．三角形三条高至少有一条在三角形的内部11、在如图中，正确画出AC边上高的是（）A．B．C．D．12、一个三角形的底边增加10%，高减少10%，则这个三角形的面积（）A．增大0.5% B．减少1% C．增大1% D．不改变13、如图，△ABC的两条中线AM、BN相交于点O，已知△ABO的面积为4，△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为（）A．4 B．3 C．4.5 D．3.514、如图，BD、CE是△ABC的两条高，AB=4，AC=3，则BD与CE比值是（）A．3：4 B．4：3 C．6：8 D．不能确定15、如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（）A．100°B．110°C．115°D．120°16、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（）A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对17、如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠D1BC与∠D1CB的角平分线交于点D2，…依此类推∠D2BC与∠D2CB的角平分线交于点D3，则∠BD3C的度数是（）A．100°B．120°C．140°D．160°18、如图，点P是△ABC中，∠B、∠C对角线的交点，∠A=102°，则∠BPC的度数为（）A．39°B．78°C．102°D．141°第13题第14题第15题第17题第18题19、如果三角形的三边长分别为a、a﹣1、a+1，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＞2 C．a＜2 D．0＜a＜220、小亮截了四根长分别为5cm，6cm，10cm，13cm的木条，任选其中三条组成一个三角形，这样拼成的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个21、如图，BD，CE分别是△ABC的两条高、它们相交于点H，那么下列式子中正确的有（）个．（1）∠DHC=∠A；（2）∠EBH+∠A=90°；（3）∠ACE=∠ABD；（4）∠ECB=∠ABC．A．1B．2 C．3D．422、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的外角平分线交于D，已知∠A=80°，则∠D=（）A．40°B．160°C．120°D．100°23、如图，已知BE，CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC为（）A．160°B．150°C．140°D．130°24、如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（）A．90°B．180°C．270°D．360°25、如图，射线AD、BE、CF构成∠1，∠2，∠3，则你发现，∠1+∠2+∠3的度数是（）A．90°B．180°C．270°D．360°第21题第22题第23题第24题第25题26、如图，△ABC中，E为边BC延长线上一点，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点B，若∠A=46°，则∠D的度数为（）A．46°B．92°C．23°D．44°27、如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠BOC=α，则∠A等于（）A．90°﹣2αB．90°﹣C．180°﹣2αD．180°﹣28、已知如图，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于（）A．120°B．115°C．110°D．105°29、如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（）A．19.2°B．8°C．6°D．3°第26题第27题第28题第29题30、如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是A2BD∠的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2013为（）A、B、C 、D 、31、如图：（1）在△ABC中，BC 边上的高是；（2）在△AEC中，CE边上的高是；（3）在△BCF中，BC边上的高是．32、如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为18cm2，则△BEF的面积= cm2．33、如图，对面积为1的△ABC进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S，则S= ．34、如图，直角三角形ABC，AC=3，BC=4，BA=5，CD是斜边AB上的高线，则CD= ．35、已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别为三边中点，S△BGD=8，那么△ABC的面积是．36、如图，AD，CE是△ABC的高，已知AD=10，CE=9，AB=12，则BC= ．37、△ABC中，AD为中线，且△ABD的面积为3，则△ACD的面积为．38、如图，O为△ABC的重心，若OD=2，则AO= ．39、已知：如图，在△ABC中，∠A=55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC= 度．40、如图，点D、E为△ABC边BC、AC上的两点，将△ABC沿线段DE折叠，点C落在BD上的C′处，若∠C=30°，则∠AEC′= ．41、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，两个锐角的平分线相交于点D，则∠ADE= ．42、如图，△ABC，CP、BP分别平分三角形的外角∠ECB，∠DBC，若∠A=50°，那么∠P等于°．43、已知△ABC，（1）如图，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=；（2）如图，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°﹣∠A；（3）如图，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=．其中结论一定正确的序号数是．44、如图，∠B=∠ADE，∠1=32°，则∠2= ．45、如图，△ABC中，∠A=80°，剪去∠A后，得到四边形BCDE，则∠1+∠2= ．46、如图，△ABC中，D在AC上，E在BD上，∠1=20°，∠2=50°，∠C=20°，则∠ADB=∠DBC= ．47、如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD=158°，则∠EDF等于度．48、如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，则∠C=度．49、已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠DAE、∠BOE的度数．50、在△ABC中．（1）若∠A=60°，AB、AC边上的高CE、BD交于点O．求∠BOC的度数．（如图）（2）若∠A为钝角，AB、AC边上的高CE、BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量∠BAC+∠BOC= °，再用你已学过的数学知识加以说明．（3）由（1）（2）可以得到，无论∠A为锐角还是钝角，总有∠BAC+∠BOC= °．51、如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．52、已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．。