第三章 晶格振动与晶体的热学性质
第3章 晶格振动与晶体的热学性质
置是晶格格点,所以称为晶格振动； 晶格振动是原子的热运动，对晶体的热学性能 起主要贡献。
温度较高:
热运动较强——少数原子脱离格点－ 热缺陷； 热运动很强——整个晶体瓦解，溶解。
温度很高:
晶格振动的研究 —— 晶体的热学性质
固体热容量 ——是晶体热运动宏观性质的表现
系统有N个原胞
第2n+1个M原子的方程
第2n个m原子的方程 —— N个原胞，有2N个独立的方程
方程解的形式
—— 两种原子振 动的振幅A和B一 般来说是不同的
第2n+1个M原子
第2n个m原子
方程的解
—— A、B有非零的解，系数行列式为零
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
—— 声学波
—— 光学波
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
平衡位置时，两个原子间的互作用势能 发生相对位移 后，相互作用势能
—— 常数
—— 平衡条件
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
相邻原子间的作用力
dU f d
—— 恢复力常数
原子的运动方程:
—— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
1
声子:晶格振动中格波的能量量子 声子这个名词是模仿光子而来（因为电磁波也 是一种简谐振动）。声子与光子都代表简谐振 动能量的量子。所不同的是光子可存在于介质 或真空中，而声子只能存在于晶体之中，只有 当晶体中的点阵由于热激发而振动时才会有声 子，在绝对零度下，即在OK时，所有的简正模 式都没有被激发，这时晶体中没有声子，称之 为声子真空。声子与光子存在的范围不同，即 寄居区不同。
第三章 晶格的振动
i [ q ( 2 n2 ) at ]Be it Ae it
原胞内的不同原子以相同的振幅和位相做整体运动。
长声学波代表原胞质心的振动。
2）光频支 2 2 cos qaA ( 2 M ) B 0 两种原子的振幅比：
2 A 2 M2 ( )2 B 2 cos qa
玻恩—卡门边界条件： 晶格振动的波矢数等于晶体的原胞数。 晶格振动的频率数等于晶体的自由度数
（振动模式数）
2. 一维单原子链的波矢数
N M x N 1 x1 i q ( N 1) a t i qa t Ae Ae i qna t x Ae n ei qNa 1 Nqa 2l 2l q Na
光学波代表原胞中两个原子的相对运动。
三、玻恩—卡门边界条件 1. 玻恩—卡门假设和主要结果 a. 由N个原子构成的原子链为无限长的原子 链上的一段，这里N=mM m—每个原胞的原子数，M—原胞数。 b. 把这N个原子组成的一维原子链看成一个 闭合环，它包含有限数目的原子，但实际 上第N+1个原子就是第1个原子。 只要N足够大，圆环半径远远大于晶格常数就 局部看仍认为原子排列在一条直线上从而 得出结论。
0
U 1 2U 2 U ( x0 ) U ( x0 ) ( ) x0 x x0 ( 2 ) x0 x x0 ... x 2 x U 1 2U U ( x0 ) ( ) x0 ( 2 ) x0 2 ... x 2 x
2
mM
{(m M ) [m 2 M 2 2m M cos(2qa)] }
1 2
2. 振动方程及其试探解 类似于一维单原子链的讨论
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
第三章晶格振动与晶体的热学性质
第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶体中的格点表示原子的平衡位置，晶格振动便是指原子在格点附近的振动。
晶格振动对晶体的电学、光学、磁学、介电性质、结构相变和超导电性都有重要的作用。
本章的主题用最邻近原子间简谐力模型来讨论劲歌振动的本征频率；并用格波来描述晶体原子的集体运动；再用量子理论来表述格波相应的能量量子、3.1 连续介质中的波波动方程22220u ux Y tρ??-=??对足够长的介质，求行波的解：s v q ω=其中波相速ω=称作色散关系。
3.2 一维晶格振动格波讨论晶格振动时采用了绝热近似，近邻近似和简谐近似。
绝热近似：考虑离子运动时，可以近似认为电子很快适应离子的位置变化。
为简单化，可以将离子的运动看成是近似成中性原子的运动。
近邻近似：在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互作用；简谐近似：在原子的互作用势能展开式中，只取到二阶项。
0020021()()()()......2r r dU d U U r U r dr dr δ+=+++简谐近似——振动很微弱，势能展式中作二级近似：00'''001()()||2r r U r U r U U δ+=++相邻原子间的作用力02222,r Ud U d U f dr dr δβδβδ=-=-=-= ? ??????一维晶格振动格波考虑第n 个例子的受力情况，它只受最近邻粒子的相互作用即分别受到来自第n-1个粒子及第n+1个例子的弹性力11()n n n f u u β--=-- 11()n n n f u u β++=--1111(2)n n n n n n f f f u u u β-++-=-=--- 2112(2)n n n n d uf ma m u u u dtβ+-===---试探解以行波作试探解()i t naq nq u Ae ω-=2()()(2)i t naq i t naq iaq iaq m e e e e ωωωβ----=---利用：222cos()24sin (/2)iaq iaq e e qa qa -+-=-=得224sin (/2)qa m βω=，/2)qa ω=色散关系 s i n (/2)qa ω=长波极限因为色散曲线是周期的且关于原点对称，在0/q a π<<的区间内，频率仅覆盖在0m ωω<<的范围内。
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
1/ 2 4m M 2 4 m M 1 4m M 2 2 sin aq 1 1 2 sin aq 1 sin aq 2 2 m M 2 m M m M
简化
将其代入色散关系式，得到：
2 2 sin qa aq mM mM
1.Einstein模型
1906年，爱因斯坦对晶格振动作了极为简单的假设： ※ 每个原子以相同的频率 0作彼此独立的振动， ※ 能量变化的最小单元是： 0
在低温下：理论能够反映热容随温度↓的趋势， 但在低温范围，爱因斯坦理论值下降很 陡，与实验不相符。
原因：设计模型过于简单,忽略了低温时原子间的相 互作用；频率值不是完全相同的，有一个频率 分布！
布拉伐格矢 Rn 是离子的平衡位置
已知：晶体包含N个原子，平衡位置为 Rn ；
∴原子的瞬时位矢: Rn ' (t ) Rn n t
偏离平衡位置的位移矢量为 n (t )
则晶体的总势能函数在平衡位置展开成泰勒级数：
V 1 3 N 2V V V0 i j 高阶项 i 2 i , j 1 i 1 i 0 i j 0
§3-6 确定晶格振动谱的实验方法
晶格振动的频率和波矢的关系—— 晶格振动 (q ) 的色散关系，称为晶格振动的振动谱。
利用波与格波的相互作用，以实验的方法直接 测定 (q ) 一、格波振动使中子流的非弹性散射
二、（可见光）光子与晶格的非弹性散射 三、X光的非弹性散射 只讨论单声子过程
因而，光散射只能和长波声子，即接近布里渊区 心的声子发生相互作用。 用可见光散射方法只能测定原点附近的很小一
固体物理基础第3章-晶格振动与晶体的热学性质
3-2 一维单原子链模型
格波的色散关系 4 2 2 aq sin ( )
m 2 • ω取正值，则有 (3)
(q)
aq 2 sin( ) m 2 • 频率是波数的偶函数
• 色散关系曲线具有周期性， 仅取简约布里渊区的结果即可 • 由正弦函数的性质可知，只有满足 0 2 / m 的格波 才能在一维单原子链晶体中传播，其它频率的格波将被强
原子n和原子n+1间的距离
非平衡位置
原子n和原子n+1间相对位移
a n1 n
n1 n
3-2 一维单原子链模型
• 忽略高阶项，简谐近似考虑原子 振动，相邻原子间相互作用势能 1 d 2v v(a ) ( 2 ) a 2 2 dr • 相邻原子间作用力 dv d 2v f , ( 2 )a d dr • 只考虑相邻原子的作用，第n个原 子受到的作用力
• 连续介质中的波（如声波）可表示为 Ae ，则可看出 • 格波和连续介质波具有完全类似的形式 • 一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动 • 格波与连续介质波的主要区别在于(2)式中，aq取值任意加减 2π的整数倍对所有原子的振动没有影响，所以可将波数q取值 限制为 q a a
V
O
a
r
• 第n个原子的运动方程
(n1 n ) (n n1 ) (n1 n1 2n )
(1)
平衡位置
d 2 n m 2 ( n1 n 1 2n ) dt
非平衡位置
——牛顿第二定律F=ma
3-2 一维单原子链模型
• 上述(1)式的解（原子振动位移）具有平面波的形式
a
)
第三章_晶格振动和晶体的热力学性质
晶格振动是个很复杂问题， 晶格振动是个很复杂问题，任何一个原子的运动 都会涉及到大量原子的运动. 都会涉及到大量原子的运动.
牵一发而动全身
所以,在处理过程中只能采取一些近似模型. 所以,在处理过程中只能采取一些近似模型. ---简谐近似 ---简谐近似 先考虑一维情况，再推广到三维情况。 先考虑一维情况，再推广到三维情况。
ρ
ω=
Y
ρ
q
Y -- 弹性模量
ρ – 介质密度
长波近似下格波
ω= β
m aq
在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质( )， 在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质( λ >> a)，格 波可视为弹性波。 波可视为弹性波。 弹性波
Y = βa
ρ = m/a
其波速为声速,故单原子链中传播的长格波叫声波. 其波速为声速,故单原子链中传播的长格波叫声波. 长格波
a
xn-2
xn-1
xn
xn+1
xn+2
δ = x n + 1 − x n 表示在 时刻第 个和第 个原子的相对位移 表示在t时刻第 个和第n-1个原子的相对位移 时刻第n个和第 个原子的相对位移.
表示序号为n的原子在 时刻偏离平衡位置的位移， 的原子在t时刻偏离平衡位置的位移 用xn表示序号为 的原子在 时刻偏离平衡位置的位移，那么
波矢的数目(个数 晶体原胞的数目 波矢的数目 个数)=晶体原胞的数目 个数
§3.2 一维双原子链 3.2
大多数晶体的晶胞中都包含不止一种原子, 这就是复式格子. 大多数晶体的晶胞中都包含不止一种原子, 这就是复式格子. 最简单的复式格子为一维双原子链. 最简单的复式格子为一维双原子链.
第3章 晶格振动与晶体热学性
晶格周期性使晶格振动具有波的形式——格波。 格波研究 首先，考虑一维，计算原子间相互作用力； 写出原子运动方程，最后求解方程。 推广到三维情况 本章重点： 一维单/双原子链模型及其色散关系的推导； 晶格比热(爱因斯坦模型/德拜模型)； 运用非简谐振动解释热膨胀/热传导；
2/70
§3.1 一维原子链的振动
首先，简谐振子运动方程：
ma f m d 2x kx dt 2
2
一维简单晶格运动方程
2
k m
一维原子链/布喇菲格子每个原子质量 布喇菲格子每个原子质量m，平衡时原子 间距a。第n个原子平衡位置rn=na，相对平衡位置位移 xn(n=1, (n=1, 2, …N)。相邻原子相对位移: xn-xn-1, xn-xn+1
n n+1 n+2
E总 E动 E势
p 1 kx 2 2m 2
2
k
d E势 dx
3/70
n-2
n-1
2
a
xn-2 xn-1
a
xn
a
a
xn+1 xn+2
第一个近似
4/70
力常数==势函数二阶导数
n-2
n-1
n
n+1
n+2
a
xn-2 xn-1
a
xn
a
a
xn+1 xn+2
设方程组有下列形式解(行波解)： 比较行波A A0ei ( kxt ) i ( qna t )
1
纵格波波形
色散关系讨论
(1) 两个特点： 两个特点：
2
m
sin(
qa ) 2
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第三章 晶格振动与晶体的热学性质晶体中的格点表示原子的平衡位置，晶格振动便是指原子在格点附近的振动。
晶格振动对晶体的电学、光学、磁学、介电性质、结构相变和超导电性都有重要的作用。
本章的主题用最邻近原子间简谐力模型来讨论劲歌振动的本征频率； 并用格波来描述晶体原子的集体运动；再用量子理论来表述格波相应的能量量子、3.1 连续介质中的波 波动方程22220u u x Y tρ∂∂-=∂∂对足够长的介质，求行波的解：s v q ω=其中波相速ω=称作色散关系。
3.2 一维晶格振动格波 讨论晶格振动时采用了绝热近似，近邻近似和简谐近似。
绝热近似：考虑离子运动时，可以近似认为电子很快适应离子的位置变化。
为简单化，可以将离子的运动看成是近似成中性原子的运动。
近邻近似：在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互作用； 简谐近似：在原子的互作用势能展开式中，只取到二阶项。
0020021()()()()......2r r dU d U U r U r dr dr δ+=+++ 简谐近似——振动很微弱，势能展式中作二级近似：00'''001()()||2r r U r U r U U δ+=++ 相邻原子间的作用力02222,r U d U d U f dr dr δβδβδ⎛⎫⎛⎫∂=-=-=-= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭一维晶格振动格波考虑第n 个例子的受力情况，它只受最近邻粒子的相互作用即分别受到来自第n-1个粒子及第n+1个例子的弹性力11()n n n f u u β--=--11()n n n f u u β++=--1111(2)n n n n n n f f f u u u β-++-=-=---2112(2)n n n n d u f ma m u u u dtβ+-===---试探解 以行波作试探解()i t naq nq u Ae ω-=2()()(2)i t naq i t naq iaq iaq m e e e e ωωωβ----=---利用：222cos()24sin (/2)iaq iaq e e qa qa -+-=-=得224sin (/2)qa m βω=，/2)qa ω=色散关系 s i n (/2)qa ω=长波极限因为色散曲线是周期的且关于原点对称，在0/q a π<<的区间内，频率仅覆盖在0m ωω<<的范围内。
类似于机械低通滤波器，仅在这一范围内的频率可以通过。
在长波极限时：2/0q πλ=→；sin x x →，sin(/2)|(/2)m s qa a q v q ωω====(/2),s m m v a ωω==长波极限时为线性关系，连续介质情形。
布里渊区边界在长波极限时：2/0,q a πλλ=→>>，原子同相运动邻近原子产生恢复力小，频率小在/,2q a a πλ==时，相邻原子反相运动，恢复力取极大，此时，频率取极大值。
空间的对称性：第一布里渊区a)色散关系()q ω的周期对称性，其周期为2/a π，(2/)()q a q ωπω+=色散关系：频率与波矢之间的关系晶格中原子振动存在固定位相关系的平面波称为格波。
格波：在晶体中存在着角频率为ω的平面波→简谐平面波2qπλ=格波的波矢：2q n πλ=⋅格波的传播方向：n 波速：p V q ω= 2,2,2v f f T qλωπλλωπλπ==⋅=⋅== '2h q q K q h a π=+=+ 2h K ha π=是一维晶格的倒格矢，h 为任意整数，则 ''()()(2)i t q na i t qna i h n n n u Ae Ae e u ωωπ---⋅===q 可限制在简约布里渊区 q a a ππ-<≤对于简谐波而言，波速是指相位的传播速度，它等同于能量和波形的传播速度，而大多数的媒质是具有色散的，即：波在这种媒质中的速度与其频率有关，各个简谐波分量具有不同的相速，所以对于非简谐波，例如有限长波列来说，“波速”的意义就含糊不清了，此时我们应以群速来描述局限在有限范围的波列——波包的传播速度。
位相和群速度 波速，相速：p v qω=群速：波包（能量）传播速度。
对三维情况：()g v grad q ωω= ()g q v qω∂=∂ 对非连续晶格，在长波极限时，群速等于相速，且它们都等于声速；此时，点阵的行为象一个连续体，没有色散发生。
随着波长的变短，群速减少，到短波极限/q p a =时减至0。
群速为零的物理意义由于邻近原子振动的位相差为qa ，即邻近原子散射的子波的位相差为π，故被B 反射的子波到达A ，与被A 反射的子波时，他们的位相相同（或相差2π的整数倍）。
在/q a π=处，所有的散射子波相长的干涉结果反射取极大值。
这与X 射线中的布拉菲格条件相同，只不过这里是弹性波。
周期性边界条件引入周期性边界条件，即第1个原子和第N+1个原子的振动完全相同：(1)(1)u u N =+，即(1)iqa i N qa Ae Ae --+=或()1i Nqa Ae -= 有：2,0,1,2,...q n n Naπ==±±整数。
在第一布里渊区，//a q a ππ-<≤，对应于/2/2N n N -<≤，故n 只能取N 个值。
每个波矢在第一布里渊区占的线度2q Naπ=第一布里渊区的线度2a π第一布里渊区状态数2//a N a Naπ= 第一布里渊区中的模数：q 的值唯一地描述了所有的晶格振动模式，因此，这些值的数目必须等于晶格的自由度数N 。
3.3 一维双原子晶格写出双原子运动方程2212212122212212222(2)(2)n n n n n n n n d u m u u u dt d u m u u u dtββ+-+++=---=---行波试探解：21122222cos()02cos()2A m aq A aq m ωβββωβ⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ((2))21((21))212i t na q n i t n aq n u Ae u A e ωω--++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上式是一个齐次方程，只有其矩阵行列式为零时才有非零解，于是有久期方程：24222112122222cos()2()4sin ()02cos()2m aq m m m m aq aq m ωββωβωββωβ-=-++=-212ω=1/2221212221212()411sin ()()m m m m aq m m m m ωβω+-⎧⎫⎫⎡⎤+⎪⎪=±-⎬⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎭⎪⎪⎩⎭βμ=±1212m m m m μ=+；12M m m =+讨论有两支色散关系：声学支和光学支声学支处于低频；光学支处于高频：13110s ω-->，处于红外区，它具有吸收，反射等性质；在光学支与声学支之间存在一间隙，即晶格不能传播这样的波，因此，双原子晶格起到带通机械滤波器的作用。
声学支与光学支声学支与单原子晶格的结果相似，在长波极限时为连续介质中的情况；而在布里渊区边界/2a π处达到极大值1/22(2/)m β，它对应于质量大的原子振动（而质量小的不动）模式；对光学支，色散关系在布里渊区边界/2a π处达到极小值1/21(2/)m β，它对应于质量小的原子振动（而质量大的不动）模式；在0q =处取极大值1/2(2/)βμ，它对应于邻近两原子的反向运动模式。
长波极限的声学支和光学支长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。
{长波极限时,,0a q λ>>→,ω+→22111222cos A m m A aq m ωββ++⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭,在0q →时，两种原子振动有完全相反的位相，长光学波的极限实际上是相邻两种格子的相对振动，且振动中保持它们的质心不变}长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率低，它包含了晶格振动频率最低的振动频率，波速是一常数，任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。
讨论对12m m =，过渡到一维简单格子；布里渊区与模数：【注意实际点阵的周期是2a 而不是a ，第一布里渊区在/2/2a q a ππ-<<之间。
】由周期性边界条件得：(2)2N aq n π=，n =整数，2/22/q n N a n L ππ==(2L N a =)，2/222n N a a a πππ-<≤，22N N n -<≤，n 共取N 个值；共两支格波，故频率的数目（模数）2N ==自由度数。
由此可推： 格波波矢的数目=晶体原胞数格波频率的数目=晶体的自由度数（模数）当基元有s 个原子时，模数有sN 个=自由度数。
态密度在k 空间中，由周期性边界条件可知，3(2/)L π体积内允许存在一个态，即关于q 的态密度为：33()(/2)/8q L V ρππ==()()dq d dS q d d ωρωωρωω=⎰⎰ 一般形式：3()(2)g VdS v ωρωπ=⎰⎰ ，/g v d dq ω= 课堂练习11.什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？2.在三维晶体中，格波波矢的数目或格波独立的q点数，声学波支数，光学波支数，格波总支数分别等于多少？3.长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？4.长光学纵波，长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化？晶格振动的量子化晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体地在作振动，其结果表现为晶格中的格波，一般而言，格波不是简谐的，但可以展为正交归一的简谐平面波的线性叠加。
当振动微弱时，格波可近似为简谐波，这时，各格波间的相互作用可以忽略，这就是格波的独立模式。
晶格的周期性及平移对称性是的独立的模式亦即独立的振动是分立的。
因此，我们可以用独立简谐振子的振动来表述格波的独立模式，这就是声子。
声子声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子。
[()1/2]()n q q εω=+声子是一种集体激发的振动形式：其能量为()j q ω ； 对非简谐振动系统，则声子与声子之间就存在着相互作用。
声子的性质声子的粒子性光子——电磁波的能量量子。
电磁波可以认为是光子流，光子携带电磁波的能量和动量，随着光子的运动，有物质的迁移。
声子——声子代表原子的振动状态，不与物质的迁移相联系，因而不携带动量。
声子不是实际存在的实物粒子，通常称为准粒子。
声子虽不携带物理动量，但由德布罗意关系，可以假设它具有准动量，其量值由下式给出：2/s s sshhP q q λπ=== 式中，s q 是声子的波矢值。