序列的平稳性及其检验
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时间序列的平稳性和单位根检验解读
0.05 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -3.00 -2.93 -2.89 -2.88 -2.87 -2.86 2.61 2.56 2.54 2.53 2.52 2.52
0.10 -1.60 -1.61 -1.61 -1.61 -1.61 -1.61 -2.62 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -2.57 2.20 2.18 2.17 2.16 2.16 2.16
只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，就可 以认为时间序列是平稳的；
当三个模型的检验结果都不能拒绝零假设时，则认为 时间序列是非平稳的。
20
整理课件
3、例：检验1978-2000年间中国支出法 GDP时间序列的平稳性
例8.1.6检验1978~2006年间中国实际支出法国 内生产总值GDPC时间序列的平稳性。
ADF检验在Eviews中的实现—检验 GDPP
29
整理课件
ADF检验在Eviews中的实现—检验 GDPP
30
整理课件
•从GDPP(-1) 的参数值看， 其t统计量的值 大于临界值， 不能拒绝存在 单位根的零假 设。同时，由 于常数项的t统 计量也小于 ADF分布表中 的临界值，因 此不能拒绝不 存在趋势项的 零假设。需进 一步检验模型 1。
均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； 方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数；
协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关，与时 间t 无关的常数；
则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而
该随机过程是一平稳随机过程（stationary
stochastic process）。
第九章 序列的平稳性及其检验
的估计值， 可以通过最小二乘法得到 γ 的估计值， 并对其进行 显著性检验的方法，构造检验显著性水平的 t 统计量。 统计量。 显著性检验的方法， 但是， 研究了这个t 但是，Dickey-Fuller研究了这个 统计量在原假设下 研究了这个 分布，它依赖于回归的形式 回归的形式( 已经不再服从 t 分布，它依赖于回归的形式(是否引进了 常数项和趋势项) 和样本长度T 常数项和趋势项) 和样本长度T 。
1
1. DF检验 DF检验 为说明DF检验的使用，先考虑 种形式的回归模型 为说明 检验的使用，先考虑3种形式的回归模型 检验的使用
yt = ρ yt−1 + ut
yt = ρ yt−1 + a + ut
(5.3.5) (5.3.6) (5.3.7)
yt = ρ yt−1 + a +δ t + ut
是常数， 是线性趋势函数， 其中 a 是常数，δ t 是线性趋势函数，ut ～ i.i.d. N (0, σ 2) 。
2
(1) 如果 -1< ρ <1，则 yt 平稳（或趋势平稳）。 平稳（或趋势平稳） ， (2) 如果 ρ=1，yt 序列是非平稳序列。(5.3.4)式可写成： 式可写成： ， 序列是非平稳序列。 式可写成
12
的拟差分序列如下： 首先定义序列 yt 的拟差分序列如下：
yt d( yt | a) = yt − ayt−1
并且构造如下回归方程： 并且构造如下回归方程：
if t =1 if t >1
t = 1, 2, …, T
d( yt | a) = d(xt′ | a) δ(a) + ut
t = 1, 2, …, T (5.3.14)
1
1. DF检验 DF检验 为说明DF检验的使用，先考虑 种形式的回归模型 为说明 检验的使用，先考虑3种形式的回归模型 检验的使用
yt = ρ yt−1 + ut
yt = ρ yt−1 + a + ut
(5.3.5) (5.3.6) (5.3.7)
yt = ρ yt−1 + a +δ t + ut
是常数， 是线性趋势函数， 其中 a 是常数，δ t 是线性趋势函数，ut ～ i.i.d. N (0, σ 2) 。
2
(1) 如果 -1< ρ <1，则 yt 平稳（或趋势平稳）。 平稳（或趋势平稳） ， (2) 如果 ρ=1，yt 序列是非平稳序列。(5.3.4)式可写成： 式可写成： ， 序列是非平稳序列。 式可写成
12
的拟差分序列如下： 首先定义序列 yt 的拟差分序列如下：
yt d( yt | a) = yt − ayt−1
并且构造如下回归方程： 并且构造如下回归方程：
if t =1 if t >1
t = 1, 2, …, T
d( yt | a) = d(xt′ | a) δ(a) + ut
t = 1, 2, …, T (5.3.14)
第九章 序列的平稳性及其检验
可以通过最小二乘法得到 的估计值，并对其进行
显著性检验的方法，构造检验显著性水平的 t 统计量。
但是，Dickey-Fuller研究了这个t 统计量在原假设下 已经不再服从 t 分布，它依赖于回归的形式(是否引进了 常数项和趋势项) 和样本长度T 。
5
Mackinnon进行了大规模的模拟，给出了不同回归模
原假设和备选假设同ADF检验一致，为
H 0 : 0 H1 : 0 Elliott，Rothenberg和Stock (1996)给出了不同置信水
平下的临界值，DFGLS检验同一般的ADF检验一样是左侧
单边检验。
14
EViews软件中单位根检验操作说明： 双击序列名，打开序列窗口，选择View/unit Root Test， 得到下图：
型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值。这样， 就可以根据需要，选择适当的显著性水平，通过 t 统计量 来决定是否接受或拒绝原假设。这一检验被称为 DickeyFuller检验(DF检验)。
上面描述的单位根检验只有当序列为AR(1)时才有效。
如果序列存在高阶滞后相关，这就违背了扰动项是独立同 分布的假设。在这种情况下，可以使用增广的 DF 检验方 法（augmented Dickey-Fuller test ）来检验含有高阶序列 相关的序列的单位根。
19
例5.7 检验居民消费价格指数序列的平稳性
图5.9 中国1983年1月～2007年8月的CPI（上年=100）序列
20
例5.7用AR(1) 模型模拟1983年1月～2007年8月
前，需要设定序列的是否含有 常数项或者时间趋势项。我们可以通过画出原序列 的图形来判断是否要加入常数项或者时间趋势项。 从图5.7的CPI图形可以看出不含有线性趋势项。CPI
显著性检验的方法，构造检验显著性水平的 t 统计量。
但是，Dickey-Fuller研究了这个t 统计量在原假设下 已经不再服从 t 分布，它依赖于回归的形式(是否引进了 常数项和趋势项) 和样本长度T 。
5
Mackinnon进行了大规模的模拟，给出了不同回归模
原假设和备选假设同ADF检验一致，为
H 0 : 0 H1 : 0 Elliott，Rothenberg和Stock (1996)给出了不同置信水
平下的临界值，DFGLS检验同一般的ADF检验一样是左侧
单边检验。
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EViews软件中单位根检验操作说明： 双击序列名，打开序列窗口，选择View/unit Root Test， 得到下图：
型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值。这样， 就可以根据需要，选择适当的显著性水平，通过 t 统计量 来决定是否接受或拒绝原假设。这一检验被称为 DickeyFuller检验(DF检验)。
上面描述的单位根检验只有当序列为AR(1)时才有效。
如果序列存在高阶滞后相关，这就违背了扰动项是独立同 分布的假设。在这种情况下，可以使用增广的 DF 检验方 法（augmented Dickey-Fuller test ）来检验含有高阶序列 相关的序列的单位根。
19
例5.7 检验居民消费价格指数序列的平稳性
图5.9 中国1983年1月～2007年8月的CPI（上年=100）序列
20
例5.7用AR(1) 模型模拟1983年1月～2007年8月
前，需要设定序列的是否含有 常数项或者时间趋势项。我们可以通过画出原序列 的图形来判断是否要加入常数项或者时间趋势项。 从图5.7的CPI图形可以看出不含有线性趋势项。CPI
时间序列的平稳性和单位根检验
ADF检验在Eviews中的实现—检验GDPP
ADF检验在Eviews中的实现—GDPP
•从GDPP(-1) 的参数值看， 其t统计量的 值大于临界 值，不能拒 绝存在单位 根的零假设。 至此，可断 定GDPP时 间序列是非 平稳的。
ADF检验在Eviews中的实现—检验△GDPP
– 分析时间序列之间的结构关系 – 单位根检验、协整检验是核心内容 – 现代宏观计量经济学的主要内容
一、时间序列的平稳性 Stationary Time Series
⒈问题的提出
• 经典计量经济模型常用到的数据有：
– 时间序列数据（time-series data)； – 截面数据(cross-sectional data)
m
模型3
零假设 H0：=0 备择假设 H1：<0
• 检验过程
–实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。 –何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为 平稳序列，何时停止检验。 –否则，就要继续检验，直到检验完模型1为止。
• 检验原理与DF检验相同，只是对模型1、2、3 进行检验时，有各自相应的临界值表。
ADF检验在Eviews中的实现—检验GDPP
ADF检验在Eviews中的实现—检验GDPP
•从GDPP(-1) 的参数值看， 其t统计量的 值大于临界值， 不能拒绝存在 单位根的零假 设。同时，由 于常数项的t 统计量也小于 ADF分布表中 的临界值，因 此不能拒绝不 存在趋势项的 零假设。需进 一步检验模型 1。
0.05 -3.60 -3.50 -3.45 -3.43 -3.42 -3.41 3.20 3.14 3.11 3.09 3.08 3.08 2.85 2.81 2.79 2.79 2.78 2.78
时间序列的预处理(平稳性检验和纯随机性检验)
自相关图、白噪声检验等。
1、时序图的绘制
在SAS系统中，使用GPLOT程序可以绘 制多种精美的时序图。
可以设置坐标轴、图形颜色、观察值点 的形状及点之间的连线方式等
例2-1
data example2_1;
input price1 price2;
time=intnx('month','01jul2004'd,_n_-1);
format time date.;
cards;
12.85 15.21
13.29 14.23
12.41 14.69
15.21 13.27
14.23 16.75
13.56 15.33
;
proc gplot data= example2_1; \\绘图过程开始
plot price1*time=1 price2*time=2/overlay; //确定纵横轴，按两种
时间序列分析之
试验二
时间序列的预处理 （平稳性检验和纯随机性检验）
一、平稳性检验
时序图检验
根据平稳时间序列的均值、方差
及周期特征。
自相关图检验
根据平稳时间序列的短期相关性， 其自相关图中随着延迟期数 的增加，自相关系数会很快 地衰减向零。
cards;
97 154 137.7 149 164 157 188 204 179 210 202 218 209
204 211 206 214 217 210 217 219 211 233 316 221 239
215 228 219 239 224 234 227 298 332 245 357 301 389
平稳时间序列的时序图与自相关图
1、时序图的绘制
在SAS系统中，使用GPLOT程序可以绘 制多种精美的时序图。
可以设置坐标轴、图形颜色、观察值点 的形状及点之间的连线方式等
例2-1
data example2_1;
input price1 price2;
time=intnx('month','01jul2004'd,_n_-1);
format time date.;
cards;
12.85 15.21
13.29 14.23
12.41 14.69
15.21 13.27
14.23 16.75
13.56 15.33
;
proc gplot data= example2_1; \\绘图过程开始
plot price1*time=1 price2*time=2/overlay; //确定纵横轴，按两种
时间序列分析之
试验二
时间序列的预处理 （平稳性检验和纯随机性检验）
一、平稳性检验
时序图检验
根据平稳时间序列的均值、方差
及周期特征。
自相关图检验
根据平稳时间序列的短期相关性， 其自相关图中随着延迟期数 的增加，自相关系数会很快 地衰减向零。
cards;
97 154 137.7 149 164 157 188 204 179 210 202 218 209
204 211 206 214 217 210 217 219 211 233 316 221 239
215 228 219 239 224 234 227 298 332 245 357 301 389
平稳时间序列的时序图与自相关图
时间序列分析中的平稳性与非平稳性
时间序列分析中的平稳性与非平稳性时间序列分析是一种用来研究时间数据的统计方法，它可以揭示出时间序列数据的模式和趋势，并预测未来的发展。
在进行时间序列分析时，我们经常会遇到平稳性和非平稳性的问题，本文将重点讨论这两个概念及其在时间序列分析中的重要性。
1. 什么是平稳性？平稳性是指时间序列在统计特性上具有不变性，即其均值和方差不随时间的推移而发生改变。
具体而言，平稳时间序列的均值在时间维度上是稳定的，方差也不会随时间变化而增加或减小。
此外，平稳时间序列的自协方差只与时间间隔有关，而与特定时间点无关。
2. 平稳性的判断方法为了判断一个时间序列是否具有平稳性，我们可以使用一些统计检验方法。
常见的方法有ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）、KPSS检验（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test）等。
ADF检验通常用于检验平稳性，其原假设是时间序列具有单位根（非平稳），如果检验结果拒绝了原假设，则可以得出时间序列是平稳的结论。
3. 非平稳性的表现形式非平稳性的时间序列可能会呈现出明显的趋势、季节性或周期性变化。
趋势是时间序列长期的、持续的上升或下降，季节性是指时间序列在特定时间点上出现的周期性波动，周期性是指时间序列存在长期的、不规则的上升或下降。
4. 非平稳性的处理方法如果时间序列是非平稳的，我们需要对其进行处理，以使其具备平稳性。
常见的处理方法有差分法、对数变换等。
差分法可以通过计算相邻时间点的差值来消除趋势和季节性，对数变换则可以通过对时间序列取对数来减少其波动性。
5. 平稳性的重要性平稳性在时间序列分析中非常重要，具有以下几个方面的意义： - 简化模型：平稳时间序列的统计特性稳定，可以简化模型的建立和预测。
- 降低误差：平稳时间序列的随机误差具有恒定的方差，使得模型的预测更准确。
- 提高可靠性：基于平稳时间序列建立的模型具有更好的可靠性和稳定性，可以更好地应对未来的变化。
第六讲时间序列的平稳性及其检验 ppt课件
1.000 0.480 0.018 -0.069 0.028 -0.016 -0.219 -0.063 0.126 0.024 -0.249 -0.404 -0.284 -0.088 -0.066 0.037 0.105 0.093
5.116 5.123 5.241 5.261 5.269 6.745 6.876 7.454 7.477 10.229 18.389 22.994 23.514 23.866 24.004 25.483 27.198
1）均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数； 3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关， 与时间t 无关的常数；
则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随 机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。
nk Xt X Xtk X
rk t1
n
Xt X 2
t1
k1,2,3,
随着k的增加，样本自相关函数下降且趋 于零。但从下降速度来看，平稳序列要比非 平稳序列快得多。
2020/12/15
15
rk
rk
1
1
0
k
0
k
(a)
(b)
图9.1.2 平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图
2020/12/15
下表给出了三个模型所使用的adf分布临352202182172162162162612562542532522522972892862842832833413283223193183182550100250500500262260258257257257300293289288287286333322317314313312375358351346344343255010025050050016016116116116116119519519519519519522622522422322322326626226025825825825501002505005000100050025001样本容统计量模型丌同模型使用的adf分布临界值表362392382382382382382852812792792782783253183143123113113743603533493483462550100250500500277275273273272272320314311309308308359342342339338338405387378374372371255010025050050032431831531331331236035034534334234139538037336936836643841540439939839625501002505005000100050025001样本容统计量模型丌同模型使用的adf分布临界值表37同时估计出上述三个模型的适当形式然后通过adf临界值表检验零假设h1只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设就可以认为时间序列是平稳的
什么是平稳性假设如何进行平稳性的检验
什么是平稳性假设如何进行平稳性的检验平稳性假设及其检验方法平稳性假设是时间序列分析中的一个重要假设，它要求时间序列的均值和方差在不同时间段之间保持不变。
平稳性的检验可以帮助我们确定时间序列是否适合应用特定的统计模型，从而更好地进行预测和分析。
一、平稳性假设的含义和重要性平稳性假设是指时间序列在不同时间段内的统计特性保持不变，即其均值和方差不随时间变化而改变。
如果时间序列不满足平稳性假设，那么我们在建立模型和进行预测时可能会产生误差，导致不准确的结果。
平稳性在时间序列分析中具有重要意义，它是许多经典模型的前提条件，如ARMA（自回归滑动平均模型）、ARIMA（差分自回归滑动平均模型）等。
只有当时间序列满足平稳性假设时，才能应用这些模型进行预测和分析。
二、平稳性的检验方法为了判断时间序列是否满足平稳性假设，我们可以采用多种检验方法，下面介绍两种常见的方法：单位根检验和ADF检验。
1. 单位根检验（Unit Root Test）单位根检验是平稳性检验的一种方法，其中最常用的检验统计量是DF检验（Dickey-Fuller test），通过检验序列存在是否单位根来判断平稳性。
如果序列存在单位根，则说明序列不满足平稳性假设。
DF检验的原假设是序列存在单位根，即不满足平稳性。
通过计算检验统计量的p值，如果p值小于设定的显著水平（通常为0.05），则可以拒绝原假设，认为序列具有平稳性。
2. ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Test）ADF检验是对单位根检验的改进，它通过引入更多滞后项来减小检验的误差。
ADF检验将序列进行差分，然后对差分后的序列进行单位根检验，判断序列是否平稳。
ADF检验也是通过计算检验统计量的p值来进行判断，如果p值小于设定的显著水平，则可以拒绝原假设，认为序列平稳。
三、平稳性检验的实例应用为了更好地理解平稳性检验的应用，我们以股票价格为例进行说明。
假设我们想要分析某只股票的价格是否满足平稳性假设。
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p
yt yt1 iyti ut i 1
(5.3.11)
p
yt yt1 a iyti ut i 1
(5.3.12)
p
yt yt1 a t iyti ut i 1
(5.3.13)
8
扩展定义将检验
HH10
: :
0 0
(5.3.14)
原假设为：至少存在一个单位根；备选假设为：序列
上面描述的单位根检验只有当序列为AR(1)时才有效。 如果序列存在高阶滞后相关，这就违背了扰动项是独立同 分布的假设。在这种情况下，可以使用增广的DF检验方 法（augmented Dickey-Fuller test ）来检验含有高阶序列 相关的序列的单位根。
6
2. ADF检验
考虑 yt 存在p阶序列相关，用p阶自回归过程来修正，
下判断高阶自相关序列是否存在单位根。
9
但是，在进行ADF检验时，必须注意以下两个实际 问题：
（1）必须为回归定义合理的滞后阶数，通常采用 AIC准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际 应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模 型的拟合优度等。
（2）可以选择常数和线性时间趋势，选择哪种形 式很重要，因为检验显著性水平的 t 统计量在原假设下 的渐近分布依赖于关于这些项的定义。
不存在单位根。序列 yt可能还包含常数项和时间趋势项。
判断 的估计值 ˆ 是接受原假设或者接受备选假设，进而
判断一个高阶自相关序列AR(p) 过程是否存在单位根。
类似于DF检验，Mackinnon通过模拟也得出在不同回
归模型及不同样本容量下检验 ˆ 不同显著性水平的 t 统计
量的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平
② 若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择 含有常数和趋势，意味着所检验的序列具有线性趋势；若 原序列中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数和趋 势，意味着所检验的序列具有二次趋势。同样，决定是否 在检验中添加时间趋势项，也可以通过画出原序列的曲线 图来观察。如果图形中大致显示了被检验序列的波动趋势 呈非线性变化，那么便可以添加时间趋势项。
yt yt1 yt ut
显然 yt 的差分序列是平稳的。
(3) 如果 的绝对值大于1，序列发散，且其差分序列
是非平稳的。
yt ( 1) yt ut
3
因此，判断一个序列是否平稳，可以通过检验 是
否严格小于1来实现。也就是说：
原假设H0： =1，备选假设H1： < 1
从方程两边同时减去 yt-1 得，
yt a 1 yt1 2 yt2 p yt p ut
在上式两端减去 yt-1，通过添项和减项的方法，可得
其中
p1
Δ yt a yt1 i Δ yti ut i1
p
i 1 i 1
p
i j j i 1
7
ADF检验方法通过在回归方程右边加入因变量 yt 的滞 后差分项来控制高阶序列相关
10
① 若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择 含有常数，意味着所检验的序列的均值不为0；若原序列 中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数，意味着所 检验的序列具有线性趋势，一个简单易行的办法是画出检 验序列的曲线图，通过图形观察原序列是否在一个偏离 0 的位置随机变动或具有一个线性趋势，进而决定是否在检 验时添加常数项。
但是，Dickey-Fuller研究了这个t 统计量在原假设下 已经不再服从 t 分布，它依赖于回归的形式(是否引进了 常进行了大规模的模拟，给出了不同回归模 型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值。这样， 就可以根据需要，选择适当的显著性水平，通过 t 统计量 来决定是否接受或拒绝原假设。这一检验被称为DickeyFuller检验(DF检验)。
12
首先定义序列 yt 的拟差分序列如下：
d ( yt
|
a)
yt
yt
ayt1
if t 1 if t 1
并且构造如下回归方程：
t = 1, 2, , T
d( yt | a) d(xt | a) δ(a) ut t = 1, 2, , T (5.3.14)
11
3. DFGLS检验
在经验研究中，尽管DF检验的DF 统计量是应用最广泛 的单位根检验，但是它的检验功效偏低，尤其是在小样本 条件下，数据的生成过程为高度自相关时，检验的功效非 常不理想。另外，DF检验和ADF检验对于含有时间趋势的 退势平稳序列的检验是失效的。因此，为了改进DF和ADF 检验的效能，Elliott，Rothenberg和Stock (1996) 基于GLS 方法的退势DF检验，简称为DFGLS检验，其基本原理如下：
1
1. DF检验 为说明DF检验的使用，先考虑3种形式的回归模型
yt yt1 ut
(5.3.5)
yt yt1 a ut
(5.3.6)
yt yt1 a t ut
(5.3.7)
其中 a 是常数， t 是线性趋势函数，ut ～ i.i.d. N (0, 2) 。
2
(1) 如果 -1< <1，则 yt 平稳（或趋势平稳）。 (2) 如果 =1，yt 序列是非平稳序列。(5.3.4)式可写成：
第九章 序列的平稳性及其检验
检查序列平稳性的标准方法是单位根检验。有6种单 位 根 检 验 方 法 ： ADF 检 验 、 DFGLS 检 验 、 PP 检 验 、 KPSS检验、ERS检验和NP检验，本节将介绍DF检验、 ADF检验。
ADF检验和PP检验方法出现的比较早，在实际应用 中较为常见，但是，由于这2种方法均需要对被检验序列 作可能包含常数项和趋势变量项的假设，因此，应用起 来带有一定的不便；其它几种方法克服了前2种方法带来 的不便，在剔除原序列趋势的基础上，构造统计量检验 序列是否存在单位根，应用起来较为方便。
yt yt1 ut
(5.3.8)
yt yt1 a ut
(5.3.9)
yt yt1 a t ut
其中： = -1。
(5.3.10)
4
其中： = -1，所以原假设和备选假设可以改写为
HH10
: :
0 0
可以通过最小二乘法得到 的估计值，并对其进行
显著性检验的方法，构造检验显著性水平的 t 统计量。