【人教版】数学八年级下册《期末检测试卷》(带答案)

人教版数学八年级下学期期 末 测 试 卷（时间：120分钟 总分：120分） 学校________ 班级________ 姓名________ 座号________一、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1.若代数式32x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_____．2.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是___________．3.如图，Y ABCD 的周长为36，对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 是CD 的中点，BD=12，则△DOE 的周长为 ．4.小玲要求△ABC 最长边上的高，测得AB ＝8cm ，AC ＝6cm ，BC ＝10cm ，则最长边上的高为_____cm ．5.如图，在MON ∠的两边上分别截取OA 、OB ，使OA OB =，分别以点A 、B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C ；连接AC 、BC 、AB 、OC ．若2AB cm =，四边形OACB 的周长为8cm ，则OC 的长为___________cm ．6.有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为 ．二、选择题(本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分) 7.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）A. 123B. 3，4，5C. 5，12，13D. 2，2，3 8.设191a =，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）A. 1和2B. 2和3C. 3和4D. 4和5 9.已知正比例函数y =kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而减小，则函数y =kx ﹣k 的图象大致是( )A. B. C. D. 10.下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有6个矩形，第②个图形中一共有11个矩形，…，按此规律，第⑥个图形中矩形的个数为()A. 31B. 30C. 28D. 2511.某校九年级体育模拟测试中，六名男生引体向上的成绩如下（单位：个）：10，6，9，11，8，10. 下列关于这组数据描述正确的是 （ ）A. 中位数是10B. 众数是10C. 平均数是9.5D. 方差是1612.如图，函数3y x b =+和3y ax =-的图像交于点(2,5)P --，则根据图像可得不等式33x b ax +>-的解集是（ ）A. 5x >-B. 3x >-C. 2x >-D. 2x <-13.如图，长宽高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A 出发沿着长方体的外表面亮到现点B ，则它爬行的最短路程是( )A. 2652 D. 514.如图，正方形ABCD 的周长是16，P 是对角线AC 上的个动点，E 是CD 的中点，则PE +PD 的最小值为( )A. 25B. 23C. 22D. 4三、解答题(本大题共9个小题，共70分，解答题必须写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明)15.计算（1）12371254823+-+ （2）2(231)(231)(123)-+--16.先化简，再求值：21111x x x ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭，其中x=3+1． 17.已知某实验中学有一块四边形的空地ABCD ，如图所示，学校计划在空地上种植草坪，经测量∠A =90°，AC =3m ，BD =12m ，CB =13m ，DA =4m ，若每平方米草坪需要300元，间学校需要投入多少资金买草坪?18.中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：请你根据图中的信息，解答下列问题：（1）补全条形图；（2）直接写出在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数；（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上(含6个)得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名?.19.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC=15，AB=920.如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是32．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．21.如图，在ABC∆中，9AB AC==，6BC=，AD为BC边上的高，过点A作AE BC∥，过点D作DE ACP，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）求四边形AEBD周长．22.为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．（1）求y与x的函数关系式；（2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．23.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠A=∠C，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为CD的中点，连接EF、BF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）求证：BF平分∠ABC；（3）请判断△BEF的形状，并证明你的结论.答案与解析一、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1.若代数式32x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_____． 【答案】x≤32 【解析】 ∵代数式32x -在实数范围内有意义，∴320x -≥，解得：32x ≤. 故答案为32x ≤. 2.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是___________．【答案】5【解析】【分析】由于20m 是一个正整数，所以根据题意，25m 也是一个正整数，故可得出m 的值.【详解】解：∵20m 是一个正整数， ∴根据题意，25m 是一个最小的完全平方数， ∴m=5，故答案为5.【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，正确对二次根式进行化简并找到被开方数是解答本题的关键. 3.如图，Y ABCD 的周长为36，对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 是CD 的中点，BD=12，则△DOE 的周长为 ．【答案】15．【解析】 ∵ABCD 的周长为36，∴2（BC+CD ）=36，则BC+CD=18．∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 相交于点O ，BD=12，∴OD=OB=BD=6． 又∵点E 是CD 的中点，∴OE 是△BCD 的中位线，DE=CD ．∴OE=BC ．∴△DOE 的周长="OD+OE+DE=" OD +12（BC+CD ）=6+9=15，即△DOE 的周长为15． 4.小玲要求△ABC 最长边上的高，测得AB ＝8cm ，AC ＝6cm ，BC ＝10cm ，则最长边上的高为_____cm ．【答案】4.8【解析】【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据面积法求解．【详解】解：∵22222AB AC 68100BC +=+==，∴该三角形是直角三角形．根据面积法求解：S △ABC ＝12AB •AC ＝12BC •AD （AD 为斜边BC 上的高）， 即AD ＝AB AC BC ⋅ =86 4.810⨯=（cm ）． 故答案为4.8．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理,解题的关键是利用两种求三角形面积的方法列等式求解. 5.如图，在MON ∠的两边上分别截取OA 、OB ，使OA OB =，分别以点A 、B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C ；连接AC 、BC 、AB 、OC ．若2AB cm =，四边形OACB 的周长为8cm ，则OC 的长为___________cm ．【答案】3【解析】【分析】OC 与AB 相交于D ，如图，利用作法得到OA ＝OB ＝AC ＝BC ，则可判断四边形OACB 为菱形，根据菱形的性质得到OC ⊥AB ，AD ＝BD ＝1，OD ＝CD ，然后利用勾股定理计算出OD ，从而得到OC 的长．【详解】解：OC 与AB 相交于D ，如图，由作法得OA ＝OB ＝AC ＝BC ，∴四边形OACB 为菱形，∴OC ⊥AB ，AD ＝BD ＝1，OD ＝CD ，∵四边形OACB 的周长为8cm ，∴OB＝2，在Rt△OBD中，OD＝22213-=，∴OC＝2OD＝23cm．故答案为23．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．6.有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为．【答案】320．【解析】【详解】试题分析：分两种情形讨论①当30度角是等腰三角形的顶角，②当30度角是底角，①当30度角是等腰三角形的顶角时，如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，∴BD=12AB=12a，∴12•a•123∴a23∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为3②当30度角是底角时，如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，∴BD=32a，∴12•a•32a=53，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．考点：正方形的性质；等腰三角形的性质．二、选择题(本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分)7.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A. 123B. 3，4，5C. 5，12，13D. 2，2，3【答案】D【解析】分析：欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．详解：A、12+2）2=3=32，故是直角三角形，故错误；B、42+32=25=52，故是直角三角形，故错误；C、52+122=169=132，故是直角三角形，故错误；D、22+22=8≠32，故不是直角三角形，故正确．故选D．点睛：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．8.设191a=，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）A. 1和2B. 2和3C. 3和4D. 4和5【答案】C【解析】【分析】 首先得出19的取值范围，进而得出19-1的取值范围． 【详解】∵4195<<，∴31914<-<，故34a <<，故选C.【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出19的取值范围是解题关键．9.已知正比例函数y =kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而减小，则函数y =kx ﹣k 的图象大致是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据正比例函数y=kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而减小，判断出k 的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论.【详解】解：正比例函数y=kx 的函数值y 随x 的增大而减小，∴k<0，一k>0，∴一次函数y=kx-k 的图像经过一、二、四象限故选D.【点睛】本题考查的是一次函数的图像与系数的关系，解题时注意：一次函数y=kx+b （k ≠0）中，当k<0，b>0时，函数的图像经过一、二、四象限.10.下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有6个矩形，第②个图形中一共有11个矩形，…，按此规律，第⑥个图形中矩形的个数为( )A. 31B. 30C. 28D. 25【答案】A【解析】【分析】 由于图①有矩形有6个＝5×1+1，图②矩形有11个＝5×2+1，图③矩形有16＝5×3+1，第n 个图形矩形的个数是5n +1把n ＝6代入求出即可．【详解】解：∵图①有矩形有6个＝5×1+1，图②矩形有11个＝5×2+1，图③矩形有16＝5×3+1，∴第n 个图形矩形的个数是5n +1当n ＝6时，5×6+1＝31个．故选：A ．【点睛】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．11.某校九年级体育模拟测试中，六名男生引体向上的成绩如下（单位：个）：10，6，9，11，8，10. 下列关于这组数据描述正确的是 （ ）A. 中位数是10B. 众数是10C. 平均数是9.5D. 方差是16【答案】B【解析】【分析】根据中位数，众数，平均数，方差的意义进行分析.【详解】由大到小排列，得6、8、9、10、10、11，故中位数为(9+10)÷2=9.5，故选项A 错误；由众数的概念可知，10出现次数最多，可得众数为10，故选项B 正确； 1069118106+++++=9，故选项C 错误； 方差S 2=16[(10-9)2+(6-9)2+(9-9)2+(11-9)2+(8-9)2+(10-9)2]= 83，故选项D 错误. 故选B【点睛】本题考核知识点：中位数，众数，平均数，方差. 解题关键点：理解中位数，众数，平均数，方差的意义.12.如图，函数3y x b =+和3y ax =-的图像交于点(2,5)P --，则根据图像可得不等式33x b ax +>-的解集是（ ）A. 5x >-B. 3x >-C. 2x >-D. 2x <-【答案】C【解析】【分析】 根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案【详解】解:从图象得到，当x ＞-2时，3y x b =+的图象在函数y=ax-3的图象上∴不等式3x+b>ax-3的解集是x>-2,故选:C【点睛】此题考查一次函数和一元一次不等式的应用,解题关键在于看懂函数图象13.如图，长宽高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A 出发沿着长方体的外表面亮到现点B ，则它爬行的最短路程是( )26 B. 5 C. 2 D. 5【答案】C【解析】【分析】 将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案.【详解】解：将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，对角线长分别为：2222123(21)32;2(13)25,1(32)26++=++=++=∴从点A出发沿着长方体的表面爬行到达点B的最短路程是32.故选C.【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，解答时根据实际情况进行分类讨论，灵活运用勾股定理是解题的关键.14.如图，正方形ABCD的周长是16，P是对角线AC上的个动点，E是CD的中点，则PE+PD的最小值为( )A. 25B. 23C. 22D. 4【答案】A【解析】【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点.此时PE+PD=BE最小，而BE是直角△CBE 的斜边，利用勾股定理即可得出结果.【详解】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P'，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P'D=P'B，∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，即为BE的长度.∴直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=4，CE=12CD=2，∴BE==故选A.【点睛】本题题考查了轴对称中最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是解决此类问题的重要方法，找出P点位置是解题的关键三、解答题(本大题共9个小题，共70分，解答题必须写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明)15.计算（1）+（2）21)(1+--【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．【详解】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝121(112)---1113=-+2=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．16.先化简，再求值：21111xx x⎛⎫÷-⎪-+⎝⎭，其中．【答案】11x-，3【解析】试题分析：根据分式混合运算的法则先算括号里面的，再算除法，最后把x 的值代入进行计算即可． 试题解析：原式=()()111x x x x x ÷-++=()()1•11x x x x x +-+=11x -， 当x=3+1时，原式=3． 17.已知某实验中学有一块四边形的空地ABCD ，如图所示，学校计划在空地上种植草坪，经测量∠A =90°，AC =3m ，BD =12m ，CB =13m ，DA =4m ，若每平方米草坪需要300元，间学校需要投入多少资金买草坪?【答案】学校需要投入10800元买草坪【解析】【分析】连接CD ，在直角三角形ACD 中可求得CD 的长，由BD 、CB 、CD 的长度关系可得三角形DBC 为一直角三角形，BC 为斜边；由此看，四边形ABCD 由Rt △ACD 和Rt △DBC 构成,然后求直角三角形的面积之和即可.【详解】解：连接CD ，在RtΔACD 中，222222345CD AC AD =+=+=在ΔCBD 中，225CD =，2212BD =而22212513+=即222DC BD CB +=所以∠BDC =90°则CAD DBC ABCD S S S ∆∆=+四边形1122AD AC DB DC =⋅⋅+⋅ 114312522=⨯⨯+⨯⨯=5所以需費用36×300=10800(元).答：学校需要投入10800元买草坪..【点睛】本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理判定三角形直角三角形，是解答本题的关键.18.中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：请你根据图中的信息，解答下列问题：（1）补全条形图；（2）直接写出在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数；（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上(含6个)得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名?【答案】（1）见解析；（2）众数：5，中位数:5；（3）该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有810名.【解析】【分析】（1）用1减去其他天数所占的百分比即可得到a的值，用360°乘以它所占的百分比，即可求出该扇形所对圆心角的度数确定a的值，再补全条形图即可；（2）根据众数与中位数的定义求解即可；（3）先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以1800即可.【详解】解：(1)设引体向上6个的学生有x人，由题意得2025%10%x，解得x=50.条形统计图补充如下：(2)由条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5；共200名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，故中位数为（5+5）÷2=5;(3)50401800810200+⨯=(名)答：估计该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有810名.【点睛】本题为统计题，考查众数与中位数的意义.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数.也考查了条形统计图、扇形统计图与用样本估计总体.19.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC=15，AB=9.求：（1）FC的长；（2）EF的长．【答案】（1）FC=3；（2）EF的长为5.【解析】【分析】（1）由折叠性质可得AF=AD，由勾股定理可求出BF的值，再由FC=BC-BF求解即可；（2）由题意得EF=DE，设DE的长为x，则EC的长为（9-x）cm，在Rt△EFC中，由勾股定理即可求得EF的值.【详解】解：(1)∵矩形对边相等，∴AD=BC=15∵折叠长方形的一边AD，点D落在BC边上的点F处∴AF=AD=15，在Rt△ABF中，由勾股定理得，222215912BF AF AB=-=-=∴FC=BC·BF=15-12=3(2)折叠长方形的一边AD，点D落在BC边上的点F处∴EF=DE设DE =x ，则EC =9·x ，在Rt △EFC 中，由勾股定理得，222+=EC FC EF即222(9)3x x -+=解得x =5即EF 的长为5．【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是熟记折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.20.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC 与∠BAD 的度数比为1：2，周长是32．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．【答案】（1）AC =8，BD =3（2）323ABCD S =【解析】【分析】（1）首先证明△ABC 是等边三角形，解直角三角形OAB 即可解决问题；（2）菱形的面积等于对角线乘积的一半；【详解】解：(1)菱形ABCD 的周长为32，∴菱形的边长为32÷4=8∵∠ABC ：∠BAD =1：2，∠ABC +∠BAD =180°∠ABC =60°，∠BCD =120°△ABC 是等边三角形∴AC =AB =8∵菱形ABCD 对角线AC 、BD 相交于点O∴AC ⊥BD ，∠ABO =12∠ABC =30° ∴OA =12AB =4 ∴BO 228443-=∴BD =83(2)1188332322ABCD S AC BD =⋅=⨯⨯= 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是证明△ABC 是等边三角形，属于中考常考题型.21.如图，在ABC ∆中，9AB AC ==，6BC =，AD 为BC 边上的高，过点A 作AE BC ∥，过点D 作DE AC P ，AE 与DE 交于点E ，AB 与DE 交于点F ，连结BE ．（1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）求四边形AEBD 的周长．【答案】（1）见详解；（2）6122+【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD 是矩形．（2）在Rt △ADC 中，由勾股定理可以求得AD 的长度，由等腰三角形的性质求得BD 的长度，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵AE ∥BC ，DE ∥AC ，∴四边形AEDC 是平行四边形．∴AE ＝CD ．在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的高，∴∠ADB ＝90°，BD ＝CD ．∴BD ＝AE ．∴四边形AEBD 是矩形．（2）解：在Rt △ADC 中，∠ADB ＝90°，AC ＝9，BD ＝CD ＝12BC ＝3， ∴AD 229362-=∴四边形AEBD 的周长＝6122+．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质和勾股定理，根据“等腰三角形的性质和有一内角为直角的平行四边形为矩形”推知平行四边形AEBD是矩形是解题的难点．22.为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．（1）求y与x的函数关系式；（2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．【答案】（1）y=8x（0≤x<20）或y=6.4x+32（x≥20）；（2）当购买数量x=35时，W总费用最低，W最低=326元．【解析】【分析】（1）根据函数图象找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组求出x的取值范围，再根据“所需费用为W=A种树苗的费用+B种树苗的费用”可得出W关于x的函数关系式，根据一次函数的性质即可解决最值问题．【详解】（1）当0≤x<20时，设y与x的函数关系式为：y=mx，把（20，160）代入y=mx，得160=mx，解得m=8,故当0≤x<20时，y与x的函数关系式为：y=8x；当x≥20时，设y与x的函数关系式为：y=kx+b，把（20，160），（40，288）代入y=kx+b得：2016040288k b k b +=⎧⎨+=⎩解得： 6.432k b =⎧⎨=⎩ ∴y=6.4x+32．∴y 与x 的函数关系式为y=8x （0≤x<20）或y=6.4x+32（x≥20）；（2）∵B 种苗的数量不超过35棵，但不少于A 种苗的数量，∴3545x x x ≤⎧⎨≥-⎩， ∴22.5≤x≤35，设总费用为W 元，则W=6.4x+32+7（45﹣x ）=﹣0.6x+347，∵k=﹣0.6，∴y 随x 的增大而减小，∴当x=35时，W 总费用最低，W 最低=﹣0.6×35+347=326（元）．【点睛】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及解一元一次不等式组，解决该题型题目时，根据函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．23.如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，∠A =∠C ，CD =2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为CD 的中点，连接EF 、BF ．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）求证：BF 平分∠ABC ；（3）请判断△BEF 的形状，并证明你的结论.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）ΔBEF 为等腰三角形，见解析.【解析】【分析】（1）由平行线的性质得出∠A+∠ABC=180°，由已知得出∠C+∠ABC=180°，证出AB//BC ，即可得出四边形ABCD 是平行四边形；（2）由平行四边形的性质得出BC=AD ，AB//CD ，得出∠CFB=∠ABF ，由已知得出CF=BC ，得出∠CFB=∠CBF，证出∠ABF=∠CBF即可；（3）作FG⊥BE于G，证出FG/AD//BC，得出EG=BG，由线段垂直平分线的性质得出EF=BF即可. 【详解】解：(1)证明：∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°：∵∠A=∠C∴∠C+∠ABC=180°∴AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形（2）证明：∵F点为CD中点∴CD=2CF∴CD=2AD∴CF=AD=BC∴∠CFB=∠CBF∴CD∥AB∴∠CFB=∠FBA∴∠FBA=∠CBF∴BF平分∠ABC(3)ΔBEF为等腰三角形理由：如图，延长EF交B延长线于点G∴DA∥BG∴∠G=∠DEF∵F为DC中点∴DF=CF又∵∠DFE=∠CFG∴ΔDFE≌ΔCFG(AAS)∴FE=FG∵AD∥BC，BE⊥AD∴BE⊥CD∴∠EBG=90°在RtΔEBG中，F BG中点∴BF=1EG=EF2∴ΔBEF为等腰三角形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键。