工程电磁场原理第2章3倪光正资料
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工程电磁场原理倪光正第一章
工程电磁场数值分析方法简
05
介
有限差分法
差分原理
将电磁场连续域问题离散 化，用差分方程近似代替 微分方程。
求解方法
采用迭代法或直接法求解 差分方程，得到电磁场数 值解。
差分格式
构造差分格式，将微分方 程转化为差分方程。
有限元法
有限元原理
将连续域划分为有限个单元，每个单元内用 插值函数表示未知量。
有限元方程
根据变分原理或加权余量法建立有限元方程。
求解方法
采用迭代法或直接法求解有限元方程，得到 电磁场数值解。
边界元法
边界元原理
将微分方程边值问题转化为边界积分方程问题。
边界元方程
根据格林公式和边界条件建立边界元方程。
求解方法
采用迭代法或直接法求解边界元方程，得到电磁场数值解。
各种数值分析方法的比较与选用
工程电磁场原理倪光 正第一章
目录
• 绪论 • 静电场的基本概念和性质 • 恒定电场的基本概念和性质 • 时变电磁场的基本概念和性质 • 工程电磁场数值分析方法简介
01
绪论
电磁场理论的重要性
01 电磁场是物质存在的基本形式之一
电磁场与物质相互作用，是物质存在的基本形式 之一，对于理解物质的本质和相互作用机制具有 重要意义。
研究任务
工程电磁场的研究任务包括揭示电磁场的本质和 规律，探索新的电磁现象和应用，以及解决工程 实际中的电磁问题。
电磁场理论的发展历史
01
静电学和静磁学阶段
早期人们主要研究静电和静磁现象，建立了库仑定律和安培定律等基本
定律。
02 03
电磁感应和电磁波阶段
19世纪初，法拉第发现了电磁感应现象，揭示了电与磁之间的联系。随 后，麦克斯韦建立了完整的电磁波理论，预言了电磁波的存在，并阐明 了光是一种电磁波。
优选工程电磁场原理倪光正
2.3.2 静电场中的电介质 • 电介质的极化
电介质—— = 0，即理想的绝缘材料。
电介质中的带电粒子被原子内在力、分子内在力或分子间的力所束缚——束 缚电荷（bound charge）。
1.极化现象
➢ 位移极化现象—— 无极分子电介质(H2、N2、O2、CH4、CCl4等) 。
Eo 0
q
Eo
非线性：媒质参数随电场的值而变化。
例 分析理想平板电容器极板间电介质中的电场。
[分析] 设该平板电容器两极板上分布的自由电荷面密度分别为 和 - 。当电极之
间为真空时，电容器内的电场强度
E0 的量值
E0
0
，其方向与电极平面垂直，
且均匀分布。
当在电极间插入均匀且各向同性的电介质 时，则如图所示，电介质中将产生
优选工程电磁场原理倪光正
2.3 导体和电介质 2.3.1 静电场中的导体
静电 感应
外电场 中导体
自由电子 反E 移动
电荷重 新分布
内电场抵 消外电场
导体静 电平衡
自由 电荷
2.3 导体和电介质 2.3.1 静电场中的导体
• 导体内部 E 0 ； • E 0 ， = const等位体； • 导体表面必与其外侧的 E 线正交；
r
1
40
V
P r dV
r r
S
P
r
r dS
r
E
r
1
40
V
P
r
eR R2
dV
P
S
r
eR R2
dS
2.4 电介质中的电场
基本出发点： 电介质中的电场——真空中，自由电荷与极化电荷共同产生的静电场。
工程电磁场倪光正第2章静态电磁场Ⅰ：静电场
电位
电位是描述电场中某点电荷所具有的能量的物理量，单位是焦耳/库仑 （J/C）。
在静电场中，电位与电场强度之间存在一定的关系，即电位等于电场强度 与距离的乘积。
电位具有相对性，其大小与参考点的选择有关，参考点不同，电位值也会 发生变化。
02
静电场的物理量
电场力
库仑定律
描述点电荷之间的相互作用力，公式为F=k*q1*q2/r^2，其中q1 和q2是点电荷的电量，r是两点电荷之间的距离，k是库仑常数。
03
静电场的数学模型
静电场的微分方程
01
静电场的基本方程是高斯定理和泊松方程。
02
高斯定理表明，在静电场中，穿过任意闭合曲面的 电场线数等于该闭合曲面所包围的电荷量。
03
泊松方程则描述了电场强度与电荷分布之间的关系。
静电场的边界条件
边界条件是指静电场在物体表面或不同媒质的分 界面上的行为。
电场线在物体表面上必须垂直于物体表面，即电 场切向分量连续。
的疏密程度表示电场强度的大小。
电场是一种物质，具有能量和动量，可以与重力场、磁场等相
03
互转化。
电场强度
01
电场强度是描述电场中电场力作 用强弱的物理量，单位是牛顿/ 库仑（N/C）。
02
电场强度的大小与电场中某点 的电荷量成正比，与该点放置 的试探电荷所受的电场力成正 比。
03
电场强度具有方向，其方向与 正电荷在该点所受的电场力方 向相同。
电容器的应用
在电子电路中广泛应用，如滤波、耦合、去 耦、储能等。
电场能量
01
电场能量的定义
02
电场能量的特点
03
电场能量的应用
电场能量是指静电场中储存的能 量，公式为W=1/2*ε0*E^2，其 中ε0是真空电容率，E是电场强 度。
工程电磁场导论知识梳理复习资料
传导电流 运动电流 位移电流
2
电荷在导电媒质中的定向运动 带电粒子在真空中的定向运动 随时间变化的电场产生的假想电流 电流 I J dS
S
电流面密度 J 导电 媒质 中的
体电荷 以速度 v 作匀速运动形成的电流。 电流密度 J v A m 面电荷 在曲面上以速度 v 运动形成的电流。电流线密度 K v
接地电阻由接地器电阻接地器与土壤之间的接触电阻土壤电阻构成深埋球形接地器解法一通过电流场计算电阻解法二比拟法直立管形接地器非深埋的球形接地器浅埋半球形接地器跨步电压人体的安全电压u040v为危险区半径电源蓄电池化学电源第三章恒定磁场电场力磁场力磁感应强度受力电流磁感应强度单位twbm2线电流体电流面电流毕奥沙伐定律适用于无限大均匀媒质有限长直载流导线产生的磁感应强度圆环轴线上p点的磁感应强度无限大导体平面sinsin连续恒定磁场的可作为判断一个矢量场是否为恒定磁场的必要条件
b R q q d d
q'
镜像电荷放在当前求解的场域外，镜像电荷等于负的感应电荷总量 不接地金属球附近放置点电荷 q 的电场分布 q'
1 2 q 1 2
q' '
2 2 q 1 2
R R2 q, b d d
2bK 圆半径 a 2 K 1
2 2 2
点电荷群 已知电荷求电位
(r )
1 4π 0
r r ' C
i 1 i
N
qi
(r )
1 4π 0
P0 P
V'
dq C r r'
dq dV , dS , dl
线积分 P
与 E 的积分关系 电位参考点 电力线与等位线（面） 电位 函数
工程电磁场_倪光正第2章静态电磁场Ⅰ：静电场
• Ev(rv) 0
上式为真空中高斯定理的微分形式，该式表明，真空中 电场强度在任一场点上的散度等于该点的电荷体密度除 以真空的介电常数ε0
v
• E 0 ( 0)
v
• E 0 ( 0)
v
• E 0 ( 0)
E 0 E 0 E 0
高斯定律的应用
高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对称性场才有 解析解。
得 D 2πL L
D
2π
e
E
D
0
2π 0
e
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例2 哪些区域的电场能用高斯定律直接求解？
球壳外的电场
D dS D 4πr 2 q S
D
q 4πr 2
er
图 q在金属球壳内
球壳内的电场
图±q分别在金属球内外
D dS D 4πr 2 q S
D
q 4πr 2
er
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• 电偶极子远区的特征是：
v
1 r2
E
1 r3
• (r,) E(r, )
2.2.4 电场线和等位面(线)
1. Ev线
E dl 0
z
v
v
EP
dl
P(x, y, z)
v
E
线
evz
evx o evy
y
x
Exevx Eyevy Ezevz dxevx dyevy dzevz Eydz Ezdy evx Ezdx Exdz evy Exdy Eydx evz
积分形式： H • dl J • ds
l
s
c
(2-1a)
E • dl 0
l
B • dS 0
s
(2-1b) (2-1c)
上式为真空中高斯定理的微分形式，该式表明，真空中 电场强度在任一场点上的散度等于该点的电荷体密度除 以真空的介电常数ε0
v
• E 0 ( 0)
v
• E 0 ( 0)
v
• E 0 ( 0)
E 0 E 0 E 0
高斯定律的应用
高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对称性场才有 解析解。
得 D 2πL L
D
2π
e
E
D
0
2π 0
e
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例2 哪些区域的电场能用高斯定律直接求解？
球壳外的电场
D dS D 4πr 2 q S
D
q 4πr 2
er
图 q在金属球壳内
球壳内的电场
图±q分别在金属球内外
D dS D 4πr 2 q S
D
q 4πr 2
er
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• 电偶极子远区的特征是：
v
1 r2
E
1 r3
• (r,) E(r, )
2.2.4 电场线和等位面(线)
1. Ev线
E dl 0
z
v
v
EP
dl
P(x, y, z)
v
E
线
evz
evx o evy
y
x
Exevx Eyevy Ezevz dxevx dyevy dzevz Eydz Ezdy evx Ezdx Exdz evy Exdy Eydx evz
积分形式： H • dl J • ds
l
s
c
(2-1a)
E • dl 0
l
B • dS 0
s
(2-1b) (2-1c)
工程电磁场导论第二章
因此，对闭合环路积分
图2.2.2 电源电动势与局外场强
lE dl l(Ec Ee) dl lEc dl lEe dl
局外场 Ee 是非保守场。
0ee
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第二章
恒定电场
2.3 基本方程•分界面衔接条件• 边值问题
Basic Equations • Boundary Conditions • Boundary Value Problem
E 0
J 0
J E
2 0
I SJ dS
E
E
DJ
ε
q
I
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第二章
两种场可以比拟的条件 微分方程相同；
恒定电场
场域几何形状及边界条件相同；
媒质分界面满足 1 1 2 2
2.4.2 比拟方法的应用（Contrast Method Application)
1. 镜像法的比拟 (I 1 2 I , I 222 I )
恒定电场
1. 接深地埋电球阻形：接由地接器地器电阻、接地器与土壤 解法之一间的通接过触电电流阻场、计土算壤电电阻阻构成。
IJ I 4πr 2
E I
4πr 2
图2.5.3 深埋球形接地器
I
I
U a 4πr 2 dr 4πa
RU 1
I 4πa
解法二 比拟法
C G
C 4πa, G 4πa ,
恒定电场
E 0 E
常数
J 0 ( E) E 0
得
2 0
分界面衔接条件
拉普拉斯方程
E1t E2t
1 2
由
J1n J2n
得
1
1
n
2
工程电磁场第一章
工程电磁场第一章
63
２．源点与场点 场是由场源产生的。场源所在的空间位置称为源点。空间位置上除了定义场量外，也
可以定义场源。这样，可以把空间的点表示为场点和源点。 源点 Ｐ′用坐标（ｘ′，ｙ′，ｚ′）表示，也可以用位置矢量ｒ′表示；场点 Ｐ 用坐标
（ｘ，ｙ，ｚ）表示，也 可 以 用 位 置 矢 量ｒ 表 示。 由 源 点 到 场 点 的 距 离 矢 量 用 Ｒ 表 示。 根据矢量代数关 系 可 知，Ｒ＝ｒ－ｒ′。 矢 量 Ｒ 的 模 Ｒ ＝｜ｒ－ ｒ′｜，矢 量 Ｒ 对 应 的 单 位 矢 量
A(x,y,z（) 矢量场）；
时变场：物理系统的状态不仅按空间分布，还随时间变化，即场的
分布是动态的；
记为 (x,y,z,t（) 标量场）和 A(x,y,z,t（) 矢量场）；
工程电磁场第一章
61
场中的每一点都对应着一 个 物 理 量----场 量 的 值。 场 量 为 标 量 的 场 称 为 标 量 场，如温度场、能量场、电位场等。 场量为矢量的场 称为 矢 量 场，如 速 度 场、力 场、电 场 和 磁场等。
44
刘鹏程主编《工程电磁场简明手册》
工程电磁场第一章
45
王泽忠、全玉生、卢斌先编著《工程电磁场》
工程电磁场第一章
46
Ansoft Maxwell
Ansoft公司的Maxwell 是一个功能强大、结果精确、易于使用的二 维/三维电磁场有限元分析软件。包括静电场、静磁场、时变电 场，时变磁场，涡流场、瞬态场和温度场计算等，可以用来分 析电机、传感器、变压器、永磁设备、激励器等电磁装置的静 态、稳态、瞬态、正常工况和故障工况的特性。
工程电磁场第一章
绝缘子电位分布图
工程电磁场--第2章--静电场
电荷元在P 点产生的电场强度的各分量为
12
场点坐标 (r , , z) 是不变量，源点坐标 (0, , z ) 中 z 是变量，统一用θ表 示
总的电场强度 若为无限长直导线
13
例2-1-2 如图所示，真空中圆形线电荷半径为a，均匀带电，电
荷线密度为τ，求在其轴线上任一点的电场强度。
设待求的场强为E2，由E1+E2=0可得
E2=-E1=-9×10-2N/C.
1 k= 4 π 0
负号表示E2与E1方向相反，即E2的方向向左，指 向缺口.
2. 2 电位与静电场的环路定理 1. 电位的引出 通过矢量积分直接计算电场强度是比较复杂 的。是否可用标量积分来做呢？ 由矢量分析可知，任意一个标量函数 f 的梯 度的旋度恒等于零。 即有矢量恒等式：
；
电位参考点的具体选择：
当电荷为有限区域分布时，应选无限远为参考点； 有大地存在时，应选大地为参考点。
43
例如：点电荷产生的电场：
r 0
r
q 4 0 r
C
0 C
C 0 q 0 C 4 0 R
0
r R
表达式无意义 q 4 0 r q q 4 0 r 4 0 R
电荷量的单位库仑，C 距离的单位米，m 力的单位牛顿，N 计算时，要用国际单位制。 单位的符号要用正体。 点电荷：只带电荷而没有形状和大小的物体。 库仑定律是静电场的基础，也是电磁场的基础。
4
2. 电场强度
电荷在其周围产生电场，产生电场的电荷称为电场的源。
相对于观察者静止的电荷产生的电场，称为静电场。
22
（1）正、负点电荷
正负点电荷的电场线
12
场点坐标 (r , , z) 是不变量，源点坐标 (0, , z ) 中 z 是变量，统一用θ表 示
总的电场强度 若为无限长直导线
13
例2-1-2 如图所示，真空中圆形线电荷半径为a，均匀带电，电
荷线密度为τ，求在其轴线上任一点的电场强度。
设待求的场强为E2，由E1+E2=0可得
E2=-E1=-9×10-2N/C.
1 k= 4 π 0
负号表示E2与E1方向相反，即E2的方向向左，指 向缺口.
2. 2 电位与静电场的环路定理 1. 电位的引出 通过矢量积分直接计算电场强度是比较复杂 的。是否可用标量积分来做呢？ 由矢量分析可知，任意一个标量函数 f 的梯 度的旋度恒等于零。 即有矢量恒等式：
；
电位参考点的具体选择：
当电荷为有限区域分布时，应选无限远为参考点； 有大地存在时，应选大地为参考点。
43
例如：点电荷产生的电场：
r 0
r
q 4 0 r
C
0 C
C 0 q 0 C 4 0 R
0
r R
表达式无意义 q 4 0 r q q 4 0 r 4 0 R
电荷量的单位库仑，C 距离的单位米，m 力的单位牛顿，N 计算时，要用国际单位制。 单位的符号要用正体。 点电荷：只带电荷而没有形状和大小的物体。 库仑定律是静电场的基础，也是电磁场的基础。
4
2. 电场强度
电荷在其周围产生电场，产生电场的电荷称为电场的源。
相对于观察者静止的电荷产生的电场，称为静电场。
22
（1）正、负点电荷
正负点电荷的电场线
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镜像法应用的理论基础——静电场解的惟一性定理
镜像法应用的关键点： a. 镜像电荷的确定（位置、个数、电量大小）； b. 等效求解的“有效区域” 。
2.6镜像法
y P(x,y,z)
D
q
h
0
O
x
点电荷—接地导板系统
2.6镜像法
D
0
r P(x, y, z) q
s2
h 21 0
s1
导板
原问题(点电荷—接地导板系统)
2.5.2 直接积分法
当待求场函数 仅是一个坐标变量的函数时， 边值问题即简约为常 微分方程的定解问题，可直接运用积分法求得。
例2-11，例2-12 自学
2.5.4 静电场解的唯一性
泛定方程（数学物理方程）的解应满足：①存在性、 ②稳 定性、 ③唯一性
①存在性 静电场客观存在，因此 有解； ②稳定性 数学上已经证明的解稳定； ③唯一性 ？
1 2
2
2
n
1
1
n
• 当场源分布在离坐标原点的有限距离内，而场域 D 扩展至无限远处 时，则应给定无限远处的 BC为
0 r
直接求解法 边 值 间接求解法 问 题
数值求解法
直接积分法
分离变量法
镜像法 复位函数法 保角变换法 格林函数法 ……
有限差分法(FDM) 有限元法(FEM) 模拟电荷法(CSM) 矩量法(MOM) 边界元法(BEM) ……
(r)
(r )
f3 (r ) n S
f4 (rb )
第三类边界条件
泛定方程与相应的定解条件，将边值问题(BVP) 分类为
第一类边值问题（1st BVP）也称为狄利克雷(Dirichlet)问题； 第二类边值问题（2nd BVP）也称为诺伊曼(Neumann)问题； 第三类边值问题（3rd BVP）也称为柯西(Cauchy)问题。
Ⅰ 给定的是场域边界 S 上的电位值
(r ) S
f1(rb )
第一类边界条件
Ⅱ 给定的是场域边界 S 上电位的法向导数值
(r )
n S
f2 (rb )
第二类边界条件
例：导体表面
Dn
En
n
(r ) 0 齐次第二类边界条件
n S
Ⅲ 给定的是场域边界 S 上的电位及其法向导数的线性组合，即
讨论：
• 通常，当边界S =S1+S2+…，且逐片分别给定为1st BC 与2nd BC时， 则称之为由混合型 BC 构造的边值问题；
• 当场域D中存在多种均匀介质时，务须分域定义：
2i
ri
i ri
i
(i 1, n)
ri Di
D1 D2 … Dn
D
且此时，作为定解条件，尚应引入不同媒质分界面上的BC 为“衔 接条件”，或称之为辅助的BC ，即
1.泛定方程
• D DE • E • E E
均匀介质
E 0 E 代入 • E
•
• 2
(r) 0 2 0
2 —拉普拉斯算子
泊松方程 拉普拉斯方程
共性泛定方程
2.边值问题—— 满足给定边界条件(边值)的泊松或拉氏方程的定解问题。
➢ 泛定方程——泊松方程或拉普拉斯方程
2.6镜像法
q
s2
0
h
22 0
s1
0
h
q
被考察问题(一对正、负电荷的电场问题)
2.6镜像法
设：两者的电位函数解分别为1、2
n
或
1
n
Si
= 2
n
Si
给定值
i 0,1,
n
d
Si
0
或
d
n
Si
=0
2020/10/5
14
2.5.4 静电场解的唯一性
d
Si
0
i 0,1,
n
或 d
n
Si
=0
i 0,1,
n
V
d
2
dV
d
S
d dS =0
n
d 0
2020/10/5
15
2.5.4 静电场解的唯一性
d 0
①对于第一类边界，有d Si 0 i 0,1, n
2
0
(x, y, z) D (domain)
( D域内处处有 =0)
➢ 定解条件——边界条件(边值)
泊松方程和拉普拉斯方程都属一元二次线性偏微分方程。这类 偏微分方程的定解条件是在方程定义域（场域）的边界上给定的边 界条件（边值）。
场域V 边界S 上的边界条件，也称为该边界S 上的边值，可给定为 以下三种类型：
第2章 静电场
2.5 边值问题 Boundary Value Problem
• 偏微分方程的定解问题 • 数学物理方程的定解问题
2.5.1 数学模型——边值问题
以电位函数 为待求场函数，对应的边值问题 • 泛定方程——基于r的场的规律性的描述；
• 定解条件——由给定工程物理问题所决定的场域边界 上的边界条件。
2.5.4 静电场解的唯一性
若1, 2为V空间中两个位函数
1-2 =d
21
,
22
=
2d 0
P357式5，令 =，A
• 2 + •
里边有n 个导体
en
S0
en S1 S2 en
Sn en
,V
2.5.4 静电场解的唯一性
P357式5，令 =，A
• 2 + •
• dV 2 + • dV
V
V
S
dS
S
• endS
S
dS
n
P357式13，
V
2 + •
dV
S
n
dS
2020/10/5
13
2.5.4 静电场解的唯一性
P357式13，
V
2 + •
dVLeabharlann SndS由于2d
0，若令
=
=
，则
d
V
d 2dV
d
S
d dS
n
如果第一或第二类边界相同，即：
1
Si
2
Si
给定值
i 0,1,
2.6 镜像法
Method of Images
点电荷 -
++ + + 导体，自由电荷 ++ + +
++ + + ++介+质+ ，束缚电荷
不清楚自由电荷（束缚电荷）的分布，无法应用叠加方法求取电场
但当界面开关比较规则（如平面、球面等）时，基于唯一性定理， 可以采用镜像法求解。
2.6镜像法
镜像法：用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代 该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的 非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析 计算过程得以明显简化的一种间接求解法。
由d 0 场中各点d =d Si 0
故1
=
，即唯一
2
②对于第二类边界，有
Si
= Dn
Si
=
1,2
n
已知
Si
i 0,1,
n
由d 0 d =C,C为任意常数，但不一定为零
故1=2 +C
而E
故E1 E2，即唯一
2020/10/5
16
2.5.4 静电场解的唯一性
唯一性的意义在于：求解位场时，不论采用哪一种解法，只 要所求的场域内场源分布不变，给定的边界条件不变，就可 确信解答是正确的。 唯一性是镜像法的理论基础。
镜像法应用的关键点： a. 镜像电荷的确定（位置、个数、电量大小）； b. 等效求解的“有效区域” 。
2.6镜像法
y P(x,y,z)
D
q
h
0
O
x
点电荷—接地导板系统
2.6镜像法
D
0
r P(x, y, z) q
s2
h 21 0
s1
导板
原问题(点电荷—接地导板系统)
2.5.2 直接积分法
当待求场函数 仅是一个坐标变量的函数时， 边值问题即简约为常 微分方程的定解问题，可直接运用积分法求得。
例2-11，例2-12 自学
2.5.4 静电场解的唯一性
泛定方程（数学物理方程）的解应满足：①存在性、 ②稳 定性、 ③唯一性
①存在性 静电场客观存在，因此 有解； ②稳定性 数学上已经证明的解稳定； ③唯一性 ？
1 2
2
2
n
1
1
n
• 当场源分布在离坐标原点的有限距离内，而场域 D 扩展至无限远处 时，则应给定无限远处的 BC为
0 r
直接求解法 边 值 间接求解法 问 题
数值求解法
直接积分法
分离变量法
镜像法 复位函数法 保角变换法 格林函数法 ……
有限差分法(FDM) 有限元法(FEM) 模拟电荷法(CSM) 矩量法(MOM) 边界元法(BEM) ……
(r)
(r )
f3 (r ) n S
f4 (rb )
第三类边界条件
泛定方程与相应的定解条件，将边值问题(BVP) 分类为
第一类边值问题（1st BVP）也称为狄利克雷(Dirichlet)问题； 第二类边值问题（2nd BVP）也称为诺伊曼(Neumann)问题； 第三类边值问题（3rd BVP）也称为柯西(Cauchy)问题。
Ⅰ 给定的是场域边界 S 上的电位值
(r ) S
f1(rb )
第一类边界条件
Ⅱ 给定的是场域边界 S 上电位的法向导数值
(r )
n S
f2 (rb )
第二类边界条件
例：导体表面
Dn
En
n
(r ) 0 齐次第二类边界条件
n S
Ⅲ 给定的是场域边界 S 上的电位及其法向导数的线性组合，即
讨论：
• 通常，当边界S =S1+S2+…，且逐片分别给定为1st BC 与2nd BC时， 则称之为由混合型 BC 构造的边值问题；
• 当场域D中存在多种均匀介质时，务须分域定义：
2i
ri
i ri
i
(i 1, n)
ri Di
D1 D2 … Dn
D
且此时，作为定解条件，尚应引入不同媒质分界面上的BC 为“衔 接条件”，或称之为辅助的BC ，即
1.泛定方程
• D DE • E • E E
均匀介质
E 0 E 代入 • E
•
• 2
(r) 0 2 0
2 —拉普拉斯算子
泊松方程 拉普拉斯方程
共性泛定方程
2.边值问题—— 满足给定边界条件(边值)的泊松或拉氏方程的定解问题。
➢ 泛定方程——泊松方程或拉普拉斯方程
2.6镜像法
q
s2
0
h
22 0
s1
0
h
q
被考察问题(一对正、负电荷的电场问题)
2.6镜像法
设：两者的电位函数解分别为1、2
n
或
1
n
Si
= 2
n
Si
给定值
i 0,1,
n
d
Si
0
或
d
n
Si
=0
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2.5.4 静电场解的唯一性
d
Si
0
i 0,1,
n
或 d
n
Si
=0
i 0,1,
n
V
d
2
dV
d
S
d dS =0
n
d 0
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2.5.4 静电场解的唯一性
d 0
①对于第一类边界，有d Si 0 i 0,1, n
2
0
(x, y, z) D (domain)
( D域内处处有 =0)
➢ 定解条件——边界条件(边值)
泊松方程和拉普拉斯方程都属一元二次线性偏微分方程。这类 偏微分方程的定解条件是在方程定义域（场域）的边界上给定的边 界条件（边值）。
场域V 边界S 上的边界条件，也称为该边界S 上的边值，可给定为 以下三种类型：
第2章 静电场
2.5 边值问题 Boundary Value Problem
• 偏微分方程的定解问题 • 数学物理方程的定解问题
2.5.1 数学模型——边值问题
以电位函数 为待求场函数，对应的边值问题 • 泛定方程——基于r的场的规律性的描述；
• 定解条件——由给定工程物理问题所决定的场域边界 上的边界条件。
2.5.4 静电场解的唯一性
若1, 2为V空间中两个位函数
1-2 =d
21
,
22
=
2d 0
P357式5，令 =，A
• 2 + •
里边有n 个导体
en
S0
en S1 S2 en
Sn en
,V
2.5.4 静电场解的唯一性
P357式5，令 =，A
• 2 + •
• dV 2 + • dV
V
V
S
dS
S
• endS
S
dS
n
P357式13，
V
2 + •
dV
S
n
dS
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2.5.4 静电场解的唯一性
P357式13，
V
2 + •
dVLeabharlann SndS由于2d
0，若令
=
=
，则
d
V
d 2dV
d
S
d dS
n
如果第一或第二类边界相同，即：
1
Si
2
Si
给定值
i 0,1,
2.6 镜像法
Method of Images
点电荷 -
++ + + 导体，自由电荷 ++ + +
++ + + ++介+质+ ，束缚电荷
不清楚自由电荷（束缚电荷）的分布，无法应用叠加方法求取电场
但当界面开关比较规则（如平面、球面等）时，基于唯一性定理， 可以采用镜像法求解。
2.6镜像法
镜像法：用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代 该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的 非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析 计算过程得以明显简化的一种间接求解法。
由d 0 场中各点d =d Si 0
故1
=
，即唯一
2
②对于第二类边界，有
Si
= Dn
Si
=
1,2
n
已知
Si
i 0,1,
n
由d 0 d =C,C为任意常数，但不一定为零
故1=2 +C
而E
故E1 E2，即唯一
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2.5.4 静电场解的唯一性
唯一性的意义在于：求解位场时，不论采用哪一种解法，只 要所求的场域内场源分布不变，给定的边界条件不变，就可 确信解答是正确的。 唯一性是镜像法的理论基础。