2022年上海市奉贤区中考数学二模试题及答案解析

2022年上海市奉贤区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如果实数a与3互为相反数，那么a是( )A. 13B. −13C. 3D. −32. 化简√12−√3的结果是( )A. 1B. √3C. 3√3D. 33. 据2022年北京冬奥会新闻发言人透露，中国大陆地区约316000000人次收看了冬奥会的开幕式．数据316000000用科学记数法表示为( )A. 316×106B. 31.6×107C. 3.16×108D. 3.16×1094. 小明为了解本班同学一周课外书的阅读量，随机抽取班上20名同学进行调查，调查结果如表，那么这20名同学该周课外书阅读量的平均数是( )A. 2本B. 2.2本C. 3本D. 3.2本5. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，点D在边AB的延长线上，根据图中尺规作图的痕迹，可知∠DBE的度数为( )A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°6. 如果一个矩形经过一个多边形的各顶点，那么我们把这个矩形叫做这个多边形的外接矩形，如图，矩形ABCD是正六边形EFGHPQ的外接矩形，如果正六边形EFGHPQ的边长为2，那么矩形ABCD长边与短边的比是( )A. 2：√3B. 2：√2C. 3：√3D. √3：1二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. −27的立方根是______．8. 如果单项式3x m y与−5x3y n−1是同类项，那么m n的值是______．9. 因式分解：mn−m=______．10. 已知函数f(x)=1，那么f(2)=______．x−111. 有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…6点的标记，掷一次骰子，向上的一画出现的点数是2的倍数的概率是______．12. 某眼镜店假期间开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如下，那么广告牌上填的原价是______元．原价：______元暑假八折优惠现价：160元13. 如果关于x是方程x2−x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值等于______ ．14. 甲、乙两地4月下旬的日平均气温统计图如图所示，那么由图中信息可知甲、乙两地这10天日平均气湿比较稳定的是______(填“甲”或“乙”)⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ，15. 在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD，E是腰BC的中点，联结AE.如果设BC⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗，DC⃗⃗⃗⃗⃗ =______(含a、b⃗的式子表示)．那么AE16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A，若AC=4，cosA=4，5则BD的长度为______．17. 如图，在等边△ABC中，AB=2√3，如果以BC为直径的⊙D和以A为圆心的⊙A相切，那么⊙A的半径r的值是______．18. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点E在边DC上，联结AE，将矩形沿AE所在直线翻折，点D的对应点为P，连接PE，如果∠CEP=30°，那么DE的长度是______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19. 解方程组{x−y=2 ①x2−xy−2y2=0 ②四、解答题（本大题共6小题，共68.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）20. (本小题10.0分)先化简，再求值：(1−1x+2)÷x 2−1x+2，其中x =√2+1．21. (本小题10.0分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的边OA 在x 轴正半轴上，∠OAB =90°，AO =AB =4，C 为斜边OB 的中点，反比例函数y =kx在第一象限内的图象经过点C ，交边AB 于点D ， (1)这个反比例函数的解析式； (2)联结CD 、OD ，求S△BCD S △OAD的值．22. (本小题10.0分)图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆AB 的两端都在圆O 上，A 、B 两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD 的底端C 固定在圆O 上，另一端D 是滑动杆AB 的中点，(即当支架水平放置时直线AB 平行于水平线，支撑杆CD 垂直于水平线)，通过滑动A 、B 可以调节CD 的高度，当AB 经过圆心O 时，它的宽度达到最大值10cm ，在支架水平放置的状态下：(1)当滑动杆AB 的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆CD 的高度． (2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等(AE =AB)，求该手机的宽度．23. (本小题12.0分)已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD的延长线上，DE=DC，联结BE，分别交边DC、对角线AC于点F、G，AD=FD．(1)求证：AC⊥BE；(2)求证：CFDF =ACBE．24. (本小题12.0分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−12x+2与x轴、y轴分别交于点A、B.抛物线y=−12x2+bx+c经过点A、B，顶点为C．(1)求该抛物线的表达式；(2)将抛物线沿y轴向上平移，平移后所得新抛物线顶点为D，如果∠BDC=∠OAB，求平移的距离；(3)设抛物线上点M的横坐标为m，将抛物线向左平移三个单位，如果点M的对应点Q落在△OAB内，求m的取值范围．25. (本小题14.0分)如图，已知△ABC，点E在边AC上，且∠BAC=∠CBE，过点A作BC的平行线，与射线BE交于点D，联结CD．(1)求证：AB2=BE⋅BD；(2)如果AB=4，cos∠ABC=1．4①当BE=BC，求CE的长；②当AB=DC时，求∠BAC的正弦值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵3的相反数是−3，∴a=−3．故选：D．根据相反数的定义可得结论．本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：√12−√3，=2√3−√3，=√3．故选：B．首先进行二次根式化简，再进行合并同类项，即可得出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算，正确地进行化简二次根式是解决问题的关键．3.【答案】C【解析】解：316000000=3.16×108．故选：C．根据科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a<10，n为正整数．】本题主要考查了科学记数法−表示较大的数，熟练掌握科学记数法−表示较大的数的方法进行求解是解决本题的关键．4.【答案】B(0×2+1×5+2×4+3×5+4×4)=2.2．【解析】解：平均数为：120故选：B．利用加权平均数求解．本题考查加权平均数的计算，因此掌握计算公式时解题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∴∠CBD=180°−40°=140°，根据作图可知BE平分∠CBD，∴∠DBE=12∠CBD=70°，故选：C．根据等腰三角形的性质可得∠ABC=40°，进一步可得∠CBD的度数，根据作图可知BE平分∠CBD，即可求出∠DBE的度数．本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵正六边形EFGHPQ，∴∠EFG=120°，∴∠AFE=180°−120°=60°，在Rt△AEF中，∠AFE=60°，EF=2，∴AF=12EF=1，AE=√32EF=√3，由对称性可知，AE=DE=√3，AF=BG=1，∴AD=2√3，AB=1+2+1=4，∴矩形ABCD长边与短边的比是4：2√3=2：√3，故选：A．根据正六边形、矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出矩形ABCD的长边与短边，进而求出答案．本题考查正多边形与圆，矩形的性质以及直角三角形的边角关系，掌握正六边形的性质、矩形的性质以及直角三角形的边角关系是解决问题的前提．7.【答案】−3【解析】解：∵(−3)3=−27，3=−3∴√−27故答案为：−3．根据立方根的定义求解即可．此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．8.【答案】9【解析】解：根据题意可得，m=3，n−1=1，解得：n=2，∴m n=32=9．故答案为：9．先根据同类项的定义可求出m，n的值，再根据有理数的乘方法则进行计算即可得出答案．本题主要考查了同类项及有理数的乘方，熟练掌握同类项及有理数的乘方进行求解是解决本题的关键．9.【答案】m(n−1)【解析】解：原式=m(n−1)．故答案为：m(n−1)．原式提取公因式m即可．此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．10.【答案】1【解析】解：把x=2代入函数f(x)=1x−1中，得f(2)=12−1=1．故答案为：1．把x=2代入函数f(x)=1x−1中计算即可得出答案．本题主要考查了函数值，熟练掌握函数值的计算方法进行求解是解决本题的关键．11.【答案】12【解析】解：一共有6个可能的结果，出现2的倍数的有3个结果，所以向上一面出现的点数是2的倍数的概率是36=12．故答案为：12利用简单事件的概率公式求解．本题考查的是简单事件的概率，所以掌握简单事件的概率公式是解题的关键．12.【答案】200【解析】解：设广告牌上填的原价是x元，由题意得：0.8x=160，解得：x=200，故答案为：200．设广告牌上填的原价是x元，根据相等关系列出一元一次方程，解方程即可得出答案．本题考查了一元一次方程的应用，根据相等关系，正确列出一元一次方程是解决问题的关键．13.【答案】14【解析】解：∵方程x2−x+m=0有两个相等的实数根，∴△=b2−4ac=(−1)2−4m=0，解得m=14，故答案为：14．一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=b2−4ac=0，即可求m值．此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△=b 2−4ac =0时，方程有两个相等的实根，当△=b 2−4ac >0时，方程有两个不相等的实根，当△=b 2−4ac <0时，方程无实数根．14.【答案】乙【解析】解：观察图象．可以看出：甲的波动较大，乙的波动较小，所以乙比较稳定． 故填：乙．利用方差可以判定稳定性，也可以直接看图象．本题考查方差的意义，方差越小，越稳定．15.【答案】2b ⃗ +12a ⃗ 【解析】解：∵AB//CD ，AB =2CD ，DC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b ⃗ ，∵E 是腰BC 的中点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b ⃗ +12a ⃗ ． 故答案为：2b ⃗ +12a ⃗ ．由题可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b ⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ ，再根据AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得出答案． 本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的运算是解答本题的关键．16.【答案】154【解析】解：∵∠C =90°，AC =4，cosA =45，∴AC AB =4AB =45，∴AB =5，∴BC =√AB 2−AC 2=√52−42=3，∵∠DBC =∠A ．∴cos∠DBC =cos∠A =BC BD =45，∴BD=345=3×54=154，故答案为：154．在△ABC中，由锐角三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由锐角三角函数求得BD．本题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键．17.【答案】3−√3或3+√3【解析】解：连接AD，如图，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=AC=√3，∠B=60°．∵D为BC的中点，∴BD=CD=√3，AD⊥BC，∴⊙D的半径为√3，AD=AB⋅sin60°=3．①以BC为直径的⊙D和以A为圆心的⊙A相外切时，∴r+√3=AD=3，∴r=3−√3．②以BC为直径的⊙D和以A为圆心的⊙A相内切时，∴r−√3=AD=3，∴r=3+√3．综上，如果以BC为直径的⊙D和以A为圆心的⊙A相切，那么⊙A的半径r的值是3−√3或3+√3．故答案为：3−√3或3+√3．分两圆外切和两圆内切两种情形讨论解答：利用相切时圆心距与利用半径的关系列出方程即可求解．本题主要考查了等边三角形的性质，两圆相切的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．18.【答案】8−4√3【解析】解：如图，过点P 作MN//AD ，交AB 于点N ，交CD 于点M ，由题意得：MN ⊥CD ，MN =AD =4，根据折叠的性质得：DE =EP ，AP =AD =4，∠EPA =∠EDA =90°，∵∠CEP =30°，∴∠EPM =60°，∵∠APN +∠APE +∠EPM =180°，∴∠APN =30°，∴AN =AP ⋅sin30°=2，PN =AP ⋅cos30°=2√3=2√3，∴MP =MN −PN =4−2√3，∴DE =EP =MPsin30∘=8−4√3，故答案为：8−4√3．过点P 作MN//AD ，交AB 于点N ，交CD 于点M ，利用含30°角的直角三角形的性质知AN 、PN 的长，从而得出MP 的长，进而解决问题．本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．19.【答案】解：由②得(x +y)(x −2y)=0，则x +y =0或x −2y =0，所以方程组可变形为{x −y =2x +y =0或{x −y =2x −2y =0， 解得{x =1y =−1或{x =4y =2．【解析】由方程②可得x+y=0或x−2y=0，据此可得两个关于x、y的方程组，再分别求解可得．本题主要考查高次方程，解高次方程的关键是利用合适的方法将方程中未知数的次数降低．20.【答案】解：原式=x+2−1x+2·x+2(x2−1)=x+1x+2·x+2(x+1)(x−1)=1x−1，当x=√2+1时，原式=1√2+1−1=√22．【解析】先把括号内通分，再计算括号内的减法运算和把除法运算化为乘法运算，然后把分母因式分解后进行约分得到原式=1x−1，再把x的值代入计算即可．本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．21.【答案】解：(1)∵∠OAB=90°，AO=AB=4，C为斜边OB的中点，∴A(4,0)，B(4,4)，C(2,2)，∵反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点C，∴k=2×2=4，即反比例函数的解析式为y=4x；(2)由(1)知，反比例函数的解析式为y=4x，当x=4时，y=1，∴D(4,1)，∴BD=AB−AD=4−1=3，∴S△BCD=12BD(x B−x C)=12×(4−2)=1，S△OAD=12OA⋅AD=12×4×1=2，∴S△BCD S△OAD =12．【解析】(1)根据题意确定C点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式即可；(2)根据函数解析式求出D点的坐标，根据各点的坐标求出三角形的面积即可得出比值．本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．22.【答案】解：(1)如图2，连接OA，∵CD⊥AB，AB=6厘米，∴AD=12AB=3厘米，∴OD=√OA2−AD2=√52−32=4(厘米)，∴CD=OC+OD=9(厘米)，答：支撑杆CD的高度为9厘米；(2)连接OB，设AE=AB=2x厘米，则OD=(2x−5)厘米，∵CD⊥AB，AB=2x厘米，∴AD=12AB=x厘米，在Rt△ODB中，OB2=OD2+BD2，即52=(2x−5)2+x2，解得：x1=0(舍去)，x2=4，则2x=8，答：手机的宽度为8厘米．【解析】(1)连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，进而求出CD；(2)连接OB，设AE=AB=2x厘米，根据垂径定理求出BD，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．本题考查的是圆的知识的综合运用，掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键．23.【答案】证明：(1)∵DE=DC，AD=FD，∠EDF=∠CDA=90°，∴△CDA≌△EDF(SAS)，∴∠AEG=∠ACD，∵∠ACD +∠DAC =90°，∴∠AEG +∠DAC =90°，∴∠AGE =90°，∴AC ⊥BE ．(2)在矩形ABCD 中，BC//AD ，∴BC//DE ，∴△BCF∽△EDF ，∴CF DF =BC DE ，∵BC =AD ，DE =CD ，∴CF DF =AD CD ，由(1)得∠AGE =90°=∠CDA ，∠AEG =∠ACD ，∴△CDA∽△EAB ，∴AC BE =AD AB， ∵AB =CD ，∴AC BE =AD CD ，∴CF DF =AC BE ．【解析】(1)先证明△CDA≌△EDF ，可得∠AEG =∠ACD ，从而证得AC ⊥BE ；(2)先证明△BCF∽△EDF ，可得CF DF =BC DE =AD CD ，再由△CDA∽△EAB ，可得AC BE =AD AB =AD CD，从而得证．本题考查了三角形相似的判定及全等的证明，由多组边相等想到证全等是证明题的常见思路，同时第一问的结论往往会衔接到第二问，所以在证第二问时要联系到第一问，这样子思路才会更顺畅！利用已知条件结合相似判定方法是本题解题的关键．24.【答案】解：(1)∵直线y =−12x +2与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，∴A(4,0)，B(0,2)，抛物线y =−12x 2+bx +c 经过A 、B 两点，可得 {−8+4b +c =0c =2，解得{b =32c =2，∴抛物线解析式为y=−12x2+32x+2；(2)∵y=−12x2+32x+2=−12(x−32)2+258，∴抛物线的顶点坐标为(2；−9)；(2)y=−12x2+32x+2=−12(x−32)2+258，∴C(32,258)，对称轴为x=32，过点B作BH⊥CD于H，由题意得，平移后所得新抛物线的顶点D在抛物线的对称轴上，CD的长即平移的距离，∵∠BDC=∠OAB，∴tan∠BDC=tan∠OAB，∴BH DH =OBOA=24=12，∴DH=2BH，∵BH⊥CD，对称轴为x=32，∴BH=32，∴DH=3，∵B(0,2)，∴H(32,2)，∴D(32,5)，∵C(32,258)，∴CD=5−258=158，∴平移的距离为158；(3)如图，∵B(0,2)，对称轴为x=32，∴点B关于对称轴对称的点M′的坐标为(3,2)，∴将抛物线向左平移三个单位，点M′的对应点和点B重合，∵将抛物线向左平移三个单位，点A(4,0)的对应点为(1,0)，∴3<m<4时，点M的对应点Q落在△OAB内，∴m的取值范围为3<m<4．【解析】(1)首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式即可；(2)求出定点C的坐标，过点B作BH⊥CD于H，由题意得，平移后所得新抛物线的顶点D在抛物线的对称轴上，CD的长即平移的距离，根据∠BDC=∠OAB，利用正切函数求出DH，可得D(32,5)，可求出CD的长，即可求解；(3)由抛物线的对称轴可得点B关于对称轴对称的点M′的坐标为(3,2)，则将抛物线向左平移三个单位，点M′的对应点和点B重合，点A的对应点为(1,0)，即可得出m的取值范围．本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，配方法求顶点式，抛物线的平移，锐角三角函数等知识，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．25.【答案】(1)证明：∵AD//BC，∴∠ADB=∠CBD，∵∠BAC=∠CBE，∴∠BAE=∠ADB，∴△BAE∽△BDA，∴AB BD =BEAB，∴AB2=BE⋅BD；(2)解：①∵∠CBE=∠BAC，∠BCE=∠ACB，∴△CBE∽△CAB，∴BC AC =CEBC，∵BE=BC，∴AB=AC，过A作AH⊥BC于H，∵AB=4，cos∠ABC=14．∴BH=1，∴BC=2BH=2，∴2 4=CE2，∴CE=1；②∵AD//BC，当AB=CD时，四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，当四边形ABCD是平行四边形时，∵AB2=BE⋅BD，∴AB2=12BD2，∴BD=4√2，过D作DH⊥BC，交BC的延长线于H，∴CH=1，∴DH=√15，∴sin∠DBC=DHDB =√154√2=√308，∴∠BAC的正弦值为√308，当四边形ABCD是等腰梯形时，∵AD//BC，∴BE BD =CEAC，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠BAC=∠CBE，∴∠BAC=∠ECB，∴AB=BC=4，过点D作DF⊥BC于F，∴cos∠ABC=cos∠DCF=14，∴CF=1，∴DF=√15，∴BD=√BF2+DF2=2√6，∴sin∠DBF=DFDB =√152√6=√104，第21页，共21页∴∠BAC 的正弦值为√104． 综上：∠BAC 的正弦值为√308或√104． 【解析】(1)利用△BAE∽△BDA ，得AB BD =BE AB ，可得结论； (2)①利用△CBE∽△CAB ，得AB =AC ，过A 作AH ⊥BC 于H ，可得BC =2BH =2，从而解决问题；②AD//BC ，当AB =CD 时，四边形ABCD 是平行四边形或等腰梯形，分两种情形分别解答即可．本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰梯形的性质，三角函数等知识，运用分类讨论思想分别画出图形是解题的关键．。