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Lagrange中值定理PPT演示课件
拉格朗日中值定理
罗尔定理回顾：
若函数 y f (x) 满足:
y
C
y f (x)
(1) 在闭区间a,b上连续；
(2) 在开区间a,b 内可导； A
(3) f (a) f (b).
o a 1
B D
2 b
x
在 a,b 内至少存在一点 , 使 f ( ) 0.
几何意义：在一段每点都有切线的连续曲线上，若两端 点的高度相同，则在此曲线上至少存在一条水平切线.
连续点,或者是f '( x)的第二类间断点.
证明：假设x0是f
(
x
)的第一类间断点，则
lim
x x0
f
'( x)
f ( x0 0)和
lim
x x0
f
'( x)
f ( x0 0)存在,由拉格朗日中值定理:
f '( x0 )
f(
x0
)
lim
h0
f ( x0 h) h
f ( x0 )
lim h0 0ch h
(
x
a)
(1) F ( x)在[a, b]上连续； y
(2) F ( x)在(a, b)内可导；
(3) F (a) F (b) 0.
A
由罗尔定理，存在 (a, b),使
F ( ) f '( ) f (b) f (a) 0. o a
ba
f ( ) f (b) f (a) .
ba
F(x)
一点 C ,在该点处的切
线平行于弦 AB.
A
D
o a 1
2 b
x
5
拉格朗日中值定理的应用
拉格朗日中值定理的等价形式: f ( ) f (b) f (a) .
罗尔定理回顾：
若函数 y f (x) 满足:
y
C
y f (x)
(1) 在闭区间a,b上连续；
(2) 在开区间a,b 内可导； A
(3) f (a) f (b).
o a 1
B D
2 b
x
在 a,b 内至少存在一点 , 使 f ( ) 0.
几何意义：在一段每点都有切线的连续曲线上，若两端 点的高度相同，则在此曲线上至少存在一条水平切线.
连续点,或者是f '( x)的第二类间断点.
证明：假设x0是f
(
x
)的第一类间断点，则
lim
x x0
f
'( x)
f ( x0 0)和
lim
x x0
f
'( x)
f ( x0 0)存在,由拉格朗日中值定理:
f '( x0 )
f(
x0
)
lim
h0
f ( x0 h) h
f ( x0 )
lim h0 0ch h
(
x
a)
(1) F ( x)在[a, b]上连续； y
(2) F ( x)在(a, b)内可导；
(3) F (a) F (b) 0.
A
由罗尔定理，存在 (a, b),使
F ( ) f '( ) f (b) f (a) 0. o a
ba
f ( ) f (b) f (a) .
ba
F(x)
一点 C ,在该点处的切
线平行于弦 AB.
A
D
o a 1
2 b
x
5
拉格朗日中值定理的应用
拉格朗日中值定理的等价形式: f ( ) f (b) f (a) .
《拉格朗日中值定理》PPT课件
拉格朗日中值定理
罗尔定理
微
拉格朗日中值定理
分
中
值
柯西中值定理
定
理
泰勒中值定理
1
罗尔（Rolle）定理
如果函数 f ( x) 满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导； （3） 且在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b)；
则在(a, b) 内至少有一点(a b),使得函数 f ( x)在 该点的导数等于零，即 f ' () 0
2
Hale Waihona Puke 何解释: yy f (x)
A
B
O
C
a
bx
实际上, C点处的切线与弦 AB 平行.
把上图做一旋转，得到下图：
3
y
y f (x)
B
A
C
a
bx
O
C点处的切线与弦线 AB 平行.
f ( ) f (b) f (a)
ba
4
拉格朗日（Lagrange）中值定理
如果函数 f ( x)满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导；
f ( x1) f ( x2 ) .
10
推论 2
若 f (x) g(x) x I , 则 f (x) g(x) C x I . ( C 为常数 )
证
f (b) f (a) f ( )(b a)
F ( x) ( f ( x) g( x)) f ( x) g( x)
若 f (x) g(x) x I , 则 F(x) ( f (x) g(x)) 0 , x I ,
（3）定理只论证了 的存在性， (a, b) ，不知道
罗尔定理
微
拉格朗日中值定理
分
中
值
柯西中值定理
定
理
泰勒中值定理
1
罗尔（Rolle）定理
如果函数 f ( x) 满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导； （3） 且在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b)；
则在(a, b) 内至少有一点(a b),使得函数 f ( x)在 该点的导数等于零，即 f ' () 0
2
Hale Waihona Puke 何解释: yy f (x)
A
B
O
C
a
bx
实际上, C点处的切线与弦 AB 平行.
把上图做一旋转，得到下图：
3
y
y f (x)
B
A
C
a
bx
O
C点处的切线与弦线 AB 平行.
f ( ) f (b) f (a)
ba
4
拉格朗日（Lagrange）中值定理
如果函数 f ( x)满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导；
f ( x1) f ( x2 ) .
10
推论 2
若 f (x) g(x) x I , 则 f (x) g(x) C x I . ( C 为常数 )
证
f (b) f (a) f ( )(b a)
F ( x) ( f ( x) g( x)) f ( x) g( x)
若 f (x) g(x) x I , 则 F(x) ( f (x) g(x)) 0 , x I ,
（3）定理只论证了 的存在性， (a, b) ，不知道
课件：15-第15讲 罗尔、拉格朗日中值定理
证 f (x) C( [a, b],[b, c],[c, d ] ) ,
又 f (a) f (b) f (c) f (d ) 0 ,
f (x) 是四次多项式 , 在 (,) 内可微 , 在 [a, b] ,[b, c] ,[c, d ] 上运用罗尔中值定理 , 得
f (1) f (2) f (3) 0 . 其中, 1 (a, b) , 2 (b, c) , 3 (c, d) .
由罗尔中值定理 , 至少存在一点 1 (a,c), 使得 (1) 0.
同理, 至少存在一点 2 (c,b), 使得 (2) 0. 在 [1,2] 上对函数 (x) 再运用罗尔中值定理 , 则
至少存在一点 (1,2) (a,b), 使得 (( )) ( ) 0,
即 f ( ) g( ). 29
22
例2
设 f (x) C([a, b]) , 在 (a, b)内可导, 证明
2x ( f (b) f (a)) (b2 a2) f (x)
在 (a, b) 内至少有一根 .
证 令 F(x) x2( f (b) f (a)) (b2 a2) f (x)
则由 f (x) 的连续性和可导性 , 得
O x1
x0 x2 x
8
将割线作平行移动, 那么它至少有一次会 达到这样的位置：
在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成 为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合.
也就是说, 至少存在一点 (x1 , x2) , 使得 f ( ) f (x2 ) f (x1)
x2 x1 该命题就是微分中值定理.
9
极值的定义
设 f (x) 在 U(x0) 内有定义 , 若
f (x) f (x0 ) x Uˆ (x0 ) ,
又 f (a) f (b) f (c) f (d ) 0 ,
f (x) 是四次多项式 , 在 (,) 内可微 , 在 [a, b] ,[b, c] ,[c, d ] 上运用罗尔中值定理 , 得
f (1) f (2) f (3) 0 . 其中, 1 (a, b) , 2 (b, c) , 3 (c, d) .
由罗尔中值定理 , 至少存在一点 1 (a,c), 使得 (1) 0.
同理, 至少存在一点 2 (c,b), 使得 (2) 0. 在 [1,2] 上对函数 (x) 再运用罗尔中值定理 , 则
至少存在一点 (1,2) (a,b), 使得 (( )) ( ) 0,
即 f ( ) g( ). 29
22
例2
设 f (x) C([a, b]) , 在 (a, b)内可导, 证明
2x ( f (b) f (a)) (b2 a2) f (x)
在 (a, b) 内至少有一根 .
证 令 F(x) x2( f (b) f (a)) (b2 a2) f (x)
则由 f (x) 的连续性和可导性 , 得
O x1
x0 x2 x
8
将割线作平行移动, 那么它至少有一次会 达到这样的位置：
在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成 为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合.
也就是说, 至少存在一点 (x1 , x2) , 使得 f ( ) f (x2 ) f (x1)
x2 x1 该命题就是微分中值定理.
9
极值的定义
设 f (x) 在 U(x0) 内有定义 , 若
f (x) f (x0 ) x Uˆ (x0 ) ,
拉格朗日（Lagrange）中值定理讲义
拉格朗日（Lagrange ）中值定理教学目的：1.熟练掌握中值定理及其几何意义2.能应用拉格朗日中值定理证明不等式3.了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2教学重点：1.拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2.拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3.利用导数证明不等式的技巧。
教学难点：中值定理的应用技巧 教学内容：1．罗尔定理的回顾与拉格朗日中值定理的引入我们简单回顾一下罗尔定理的内容：若函数满足下列条件： )(x f ①在闭区间[连续； ②在开区间]b a ,()b a ,可导； ③)()(b f a f = 则在(内至少存在一点)b a ,ξ，使得'()0f ξ=图1 图2罗尔定理的几何意义大家都清楚了如图1，现在我们把坐标系统绕原点在平面内的旋转α角，使在新坐标系如图2，大家看看有什么不同？2．拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理如果函数满足（1）在闭区间上连续, （2）在开区间内可导, 那么在内至少有一点)(x f (a <],[b a ),(b a ),(b a )b <ξξ, 使得等式成立。
)a )(()('b f a f −=−ξ)(b f 注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
b 、若加上，则)()(b f a f =()()'()0f b f a f b a b aξ−===−−，即：，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
'()0f ξ=拉格朗日（微分）中值定理几何意义我们从几何的角度看一个问题，如下：设连续函数()y f x =，a 与是它定义区间内的两点（a b b <），假定此函数在(,上处处可导，也就是在(,内的函数图形上处处有不垂直于)a b )a b x 轴的切线，那么我们从图2上容易看到，差商()y f x b =(f a)a b Δ−Δ−就是割线的斜率，若我们把割线作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点AB AB ()C x ξ=处成为曲线的切线，而切线的斜率为()f ξ′，由于切线与割线是平行的，因此()()()f b f a f b aξ−′=−成立。
数学分析上册课件：6-1拉格朗日定理和函数的单调性
推论3 (导数极限定理) 设函数 f 在点 x0的某邻域
U( x0 )内连续,在U
(
x0
)内可导,且极限
lim
x x0
f ( x)
存在,则 f 在点 x0 可导,且
f ( x0 )
lim
x x0
f ( x)
证 分别按左右极限来证明.
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(1) 任取 x U ( x0 ), f ( x) 在 [x0, x] 上满足拉格朗日
等于零,此时可在 (a, b) 内随意取一点 , 就有 f () = 0 .
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情形2 m < M. 既然最大、最小值不等,从而最大 值与最小值至少有一个不在端点取到.不妨设最
大值不在端点取到,故存在 (a, b), 使得 f ( ) M .
因为在区间内部取到的最大值一定是极大值,所以
f ( x2 ) f ( x1) f ( )( x2 x1) 0 , ( x1 , x2 ).
这就是说, f ( x)在区间I上的任何两个值都相等, 所 以为常值函数. 推论2 若函数 f 和 g 均在区间 I 上可导,且
前页 后页 返回
f ( x) g( x), x I ,
则在区间 I 上 f ( x) 与 g( x) 只差某一常数,即 f ( x) g( x) c (c为某一常数).
2 2
(a)
b
a.
前页 后页 返回
例4 设f ( x)在区间 [a , )上可微, 且 f ( x) c 0,
求证: lim f ( x) . x
证 任取 x a , 由中值定理,
f ( x) f (a) f ( )(x a) c( x a),
从而
高数课件3-1拉格朗日中值定理与函数单调性判别法
,
拉格朗日中值定理与函数单调性判别法
目录
Part One
添加目录标题
Part Two
拉格朗日中值定理的介绍
Part Three
函数单调性的判别法
Part Four
拉格朗日中值定理与函数单调性的关系
Part Five
拉格朗日中值定理与函数单调性判别法的实际应用
Part Six
拉格朗日中值定理与函数单调性判别法的练习题及解析
添加章节标题
PART ONE
拉格朗日中值定理的介绍
PART TWO
定理的起源和背景
拉格朗日中值定理是法国数学家拉格朗日于1797年提出的
拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，用于证明函数在某点处的导数等于该点处的函数值
拉格朗日中值定理是微积分中的基本定理之一，也是微积分中的重要工具之一
拉格朗日中值定理在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用
单调性的判别方法
导数法：通过求导数来判断函数的单调性
极限法：通过求极限来判断函数的单调性
差分法：通过比较函数值的差来判断函数的单调性
图像法：通过观察函数的图像来判断函数的单调性
单调性在数学和实际应用中的意义
经济意义：在经济学中，函数单调性可以用于研究价格、需求、供给等经济变量之间的关系，如价格与需求之间的关系、供给与需求之间的关系等。
数学意义：函数单调性是函数性质的重要方面，是研究函数性质的基础。
实际应用：函数单调性在物理、化学、生物等自然科学中具有广泛的应用，如物理中的能量守恒、化学中的反应速率、生物中的种群增长等。
社会意义：在社会科学中，函数单调性可以用于研究社会现象之间的关系，如人口增长与社会发展之间的关系、教育水平与经济发展之间的关系等。
拉格朗日中值定理与函数单调性判别法
目录
Part One
添加目录标题
Part Two
拉格朗日中值定理的介绍
Part Three
函数单调性的判别法
Part Four
拉格朗日中值定理与函数单调性的关系
Part Five
拉格朗日中值定理与函数单调性判别法的实际应用
Part Six
拉格朗日中值定理与函数单调性判别法的练习题及解析
添加章节标题
PART ONE
拉格朗日中值定理的介绍
PART TWO
定理的起源和背景
拉格朗日中值定理是法国数学家拉格朗日于1797年提出的
拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，用于证明函数在某点处的导数等于该点处的函数值
拉格朗日中值定理是微积分中的基本定理之一，也是微积分中的重要工具之一
拉格朗日中值定理在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用
单调性的判别方法
导数法：通过求导数来判断函数的单调性
极限法：通过求极限来判断函数的单调性
差分法：通过比较函数值的差来判断函数的单调性
图像法：通过观察函数的图像来判断函数的单调性
单调性在数学和实际应用中的意义
经济意义：在经济学中，函数单调性可以用于研究价格、需求、供给等经济变量之间的关系，如价格与需求之间的关系、供给与需求之间的关系等。
数学意义：函数单调性是函数性质的重要方面，是研究函数性质的基础。
实际应用：函数单调性在物理、化学、生物等自然科学中具有广泛的应用，如物理中的能量守恒、化学中的反应速率、生物中的种群增长等。
社会意义：在社会科学中，函数单调性可以用于研究社会现象之间的关系，如人口增长与社会发展之间的关系、教育水平与经济发展之间的关系等。
第一节拉格朗日中值定理
x I.
推论 3（ 导数极限定理）设 函数 f 在点 x0 的某 邻域 U（ x0 ）内 连续，在 U°（ x0 ）内可
导，且极限
lim
x x0
f
(x) 存在，则
f
在点
x0 可导，且
f
( x0 )
lim
x x0
f (x)
证明：分别按左右导数来证明上式成立
（1）
任取
x u0
(x 0Biblioteka )，f(x) 在[ xo , x
第一节拉格朗日中值定理
2、拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数 ƒ满足如下条件：
（i）ƒ在闭区间[a,b ]上连续；
（ii）ƒ在开区间(a,b )内可导；
y
则在（a，b）内至少存在一点ξ，
使得
f ( ) f (b) f (a)
ba
（分析）罗尔定理是拉格朗日
A o
中值定理：ƒ（a）=ƒ(b)时的特殊情况，应用
可 导 可 以 推 出 f 在 （ a， b） 连 续 ， 但 反 之 不 成 立 。 把 这 两 个 条 件 的 “ 重 叠 ” 部 分 去 掉 ，
改 成 “ 函 数 f (x) 在 （ a， b） 可 导 且 f (x) 在 a 右 连 续 在 b 左 连 续 ” 这 样 ， 两 个 条 件 互 相
助 函 数 F ( x) ， 正 是 曲线 y f (x) 与直 线 AB y f (a ) f (b) f (a ) ( x a) ba
之 差 ，事 实 上 ，这 个 辅 助 函 数 的 引 入 相 当 于 坐 标 系 统 原 点 在 平 面 内 的 旋 转 ，使 在 新 坐 标 系 下 ， 线 段 AB 平 行于 新 х轴 （F（a）=F（ b） ） 。
第三章中值定理
xa F(x) lim f (x) lim f (x) xa F (x) xa F(x)
(洛必达法则)
三、其他未定式:
解决方法:
型
f
g
1 g
1 f
1 g
1 f
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
令 y fg
取对数
0 型
f
g
f
1
g
习题
1）
1
6
分析:
f (k) (x) ( 1)( k 1)(1 x)k
f (k) (0) ( 1)( k 1) (k 1,2,)
(1 x) 1 x ( 1) x2
2!
( 1)( n 1)
n!
xn Rn (x)
故
三、柯西(Cauchy)中值定理
及 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内
至少存在一点
使 f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F( )
习题 设 f (x) C[0, ], 且在 (0, )内可导, 证明至少存 在一点 (0, ), 使 f ( ) f ( )cot .
(1) f (x) “左正右负” ,则 f (x)在 x0 取极大值. (2) f (x) “左负右正” ,则 f (x)在 x0 取极小值 ;
定理4.4(极值第二判别法) 二阶导数 , 且
则 在点 取极大值 ;
则 在点 取极小值 .
例. 求函数
的极值 .
解:
1) 2)
2
求导数 f (x) x3
(洛必达法则)
三、其他未定式:
解决方法:
型
f
g
1 g
1 f
1 g
1 f
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
令 y fg
取对数
0 型
f
g
f
1
g
习题
1）
1
6
分析:
f (k) (x) ( 1)( k 1)(1 x)k
f (k) (0) ( 1)( k 1) (k 1,2,)
(1 x) 1 x ( 1) x2
2!
( 1)( n 1)
n!
xn Rn (x)
故
三、柯西(Cauchy)中值定理
及 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内
至少存在一点
使 f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F( )
习题 设 f (x) C[0, ], 且在 (0, )内可导, 证明至少存 在一点 (0, ), 使 f ( ) f ( )cot .
(1) f (x) “左正右负” ,则 f (x)在 x0 取极大值. (2) f (x) “左负右正” ,则 f (x)在 x0 取极小值 ;
定理4.4(极值第二判别法) 二阶导数 , 且
则 在点 取极大值 ;
则 在点 取极小值 .
例. 求函数
的极值 .
解:
1) 2)
2
求导数 f (x) x3
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推论1 若 f (x)在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必
为某常数.
事实上，对于(a,b)内的任意两点 x1, x2 ，由拉格朗
日中值定理可得
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1) 0,
位于x1， x2之间，故有f(x1)= f(x2).由x1， x2的任意性
使(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由'( ) 0 能导出 f ( ) f (b) f (a) ，则问题可解决.
ba
证 令 (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a).
ba
由于f(x)在[a,b]上连续，因此 (x) 在[a,b]上连续.
由于f(x)在(a,b)内可导，因此 (x) 在(a,b)内可导. 又由于 (a) 0 (b), 因此(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，所以至少 存在一点 (a,b)，使 ( ) 0 ，即
1,3]上满足
由拉格朗日定理可知，必定存在 (1,3),使
f ( ) f (b) f (a) .
ba
由于f(b)=f(3)=16, f(a)=f(－1)=4,而f ( ) 4 1 .
4 1 16 4 3.
3 (1)
可解得 1 ，因此本例应选D.
例2
当x>0时,试证不等式
1
x
可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.
推论2 若在(a,b)内恒有 f (x) g(x) ，则有
f(x)=g(x)+C, 其中C为某常数.
事实上，由已知条件及导数运算性质可得
[ f (x) g(x)] f (x) g(x) 0.
由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.
1 t
1
ln(1 x) ln1 1 [(1 x) 1] x ,
1
1
由于0 x，因此
进而知 即
1 1 1,
1 x 1
x x x,
1 x 1
x ln(1 x) x . 1 x
说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利
用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明 不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是唯一的.
x
ln(1
x)
x
.
分析 ln(1 x) ln(1 x) ln1
取f(t)=ln(1+t) ，a=0，b=x.
则f(t)=ln(1+t) 在区间[0,x]上满足拉格朗日中值
定理，因此必有一点 (0, x) 使得.
f (x) f (0) f '( )x.
f (t) ln(1 t)，f '(t) 1 ，f '( ) 1 ,
二、拉格朗日中值定理的应用
例1 函数 f (x) 2x2 x 1在区间[－1,3]上满足拉格
朗日中值定理的 =( ).
A. 3; B. 0; C. 3; D. 1 . 4
分析 由于 f (x) 2x2 x 1在[－1,3]上连续，在(－1,3)
内可导，因此f(x拉格朗日中值定理条件.(b) f (a) 0,
ba
从而有f ( ) f (b) f (a)
ba
几何解释:
y
在曲线弧 AB 上至少有
C
y f (x)
M
B
一点 C , 在该点处的切
线平行于弦 AB.
A
N
D
o a 1 x
2 b
x
如果f(x)在(a,b)内可导，x0 (a,b), x0 x (a,b), 则 在以 x0与x0 x为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日
拉格朗日中值定理及其应用
一、拉格朗日中值定理
定理1. 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
则至少存在一点 (a,b)，使f ( ) f (b) f (a) .
ba 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 ( x),
中值定理，即
f (x0 x) f (x0 ) f ( )x, 其中为x0与x0 x 为之间的点.也可以记为
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 x)x, 0 1
或
y f (x0 x)x, 0 1,
因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.
由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论：
为某常数.
事实上，对于(a,b)内的任意两点 x1, x2 ，由拉格朗
日中值定理可得
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1) 0,
位于x1， x2之间，故有f(x1)= f(x2).由x1， x2的任意性
使(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由'( ) 0 能导出 f ( ) f (b) f (a) ，则问题可解决.
ba
证 令 (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a).
ba
由于f(x)在[a,b]上连续，因此 (x) 在[a,b]上连续.
由于f(x)在(a,b)内可导，因此 (x) 在(a,b)内可导. 又由于 (a) 0 (b), 因此(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，所以至少 存在一点 (a,b)，使 ( ) 0 ，即
1,3]上满足
由拉格朗日定理可知，必定存在 (1,3),使
f ( ) f (b) f (a) .
ba
由于f(b)=f(3)=16, f(a)=f(－1)=4,而f ( ) 4 1 .
4 1 16 4 3.
3 (1)
可解得 1 ，因此本例应选D.
例2
当x>0时,试证不等式
1
x
可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.
推论2 若在(a,b)内恒有 f (x) g(x) ，则有
f(x)=g(x)+C, 其中C为某常数.
事实上，由已知条件及导数运算性质可得
[ f (x) g(x)] f (x) g(x) 0.
由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.
1 t
1
ln(1 x) ln1 1 [(1 x) 1] x ,
1
1
由于0 x，因此
进而知 即
1 1 1,
1 x 1
x x x,
1 x 1
x ln(1 x) x . 1 x
说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利
用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明 不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是唯一的.
x
ln(1
x)
x
.
分析 ln(1 x) ln(1 x) ln1
取f(t)=ln(1+t) ，a=0，b=x.
则f(t)=ln(1+t) 在区间[0,x]上满足拉格朗日中值
定理，因此必有一点 (0, x) 使得.
f (x) f (0) f '( )x.
f (t) ln(1 t)，f '(t) 1 ，f '( ) 1 ,
二、拉格朗日中值定理的应用
例1 函数 f (x) 2x2 x 1在区间[－1,3]上满足拉格
朗日中值定理的 =( ).
A. 3; B. 0; C. 3; D. 1 . 4
分析 由于 f (x) 2x2 x 1在[－1,3]上连续，在(－1,3)
内可导，因此f(x拉格朗日中值定理条件.(b) f (a) 0,
ba
从而有f ( ) f (b) f (a)
ba
几何解释:
y
在曲线弧 AB 上至少有
C
y f (x)
M
B
一点 C , 在该点处的切
线平行于弦 AB.
A
N
D
o a 1 x
2 b
x
如果f(x)在(a,b)内可导，x0 (a,b), x0 x (a,b), 则 在以 x0与x0 x为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日
拉格朗日中值定理及其应用
一、拉格朗日中值定理
定理1. 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
则至少存在一点 (a,b)，使f ( ) f (b) f (a) .
ba 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 ( x),
中值定理，即
f (x0 x) f (x0 ) f ( )x, 其中为x0与x0 x 为之间的点.也可以记为
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 x)x, 0 1
或
y f (x0 x)x, 0 1,
因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.
由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论：