甘肃省天水市甘谷县第四中学2021届高三上学期第二次检测数学(文)试题含答案
2021年高三(上)第二次质量检测数学试卷含解析
2021年高三（上）第二次质量检测数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）（xx•丹东一模）复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，则实数x= ﹣1 ．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：本题是一个概念题，所给的条件是一个复数是纯虚数，根据a+bi是纯虚数所满足的条件是a=0且b≠0，这两个条件要同时成立．只要x2﹣1=0且x﹣1≠0，做出其中的x即可．解答：解：∵复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，∴x2﹣1=0且x﹣1≠0，∴x=±1且x≠1，∴x=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题考查复数的实部和虚部，是一个概念题，在解题时用到复数常见的几种形式，是一个比较好的选择或填空题，可以出现在高考题的前几个题目中．2．（5分）（xx•奉贤区一模）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（1，2]．考点：交集及其运算．专题：阅读型．分析：根据对数函数的单调性求出集合M，解不等式x2≤4求出集合N，再进行交集运算．解答：解：∵lgx＞0⇒x＞1，x2≤4⇒﹣2≤x≤2，∴M∩N=（1，2]．故答案是（1，2]点评：本题考查集合的交集运算．3．（5分）在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P（x，y），则|x|+|y|≤2的概率为．考点：几何概型．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（x，y）对应图形的面积，及满足条件“区域M”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．解答：解：如图所示，满足条件：“|x|+|y|≤2”的区域Ω为图中正方形，∵R=2，∴圆的面积为4π且圆内接正方形的对角线长为2R=4，∴圆内接正方形的边长为2∴圆内接正方形的面积为8，则点落在正方形内的概率P==故答案为．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．4．（5分）（xx•许昌二模）已知cosα=﹣，α∈（，π），则等于．考点：两角和与差的正切函数．专题：综合题．分析：由cosα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，然后把所求的式子利用两角和与差的正切函数公式化简，把tanα的值代入即可求出值．解答：解：∵，∴sinα=，∴tanα==﹣，则tan（+α）===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，学生在求值时注意角度的范围．5．（5分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数，则a=2．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：因已知奇函数，又是填空题，可以用特值法来求解．解答：解：因为所给函数的定义域为R，所以f（﹣1）=，f（1）=，因为所给函数是奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1），所以，解得：a=2，故答案为：2．点评：本题考察函数的奇偶性，在利用函数奇偶性解决选择填空题时，我们常用特值法来求解析式中的参数，但是要先看定义域！6．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是7500．考点：循环结构．专题：图表型．分析：先判断程序框图的结构为直到型循环结构，然后按照程序框图进行循环，直到第50次循环结束时输出S的值即可．解答：解析：根据程序框图分析，本框图为直到型循环结构第1次循环：S=0+3×1=3 k=1+2=3第2次循环：S=3×1+3×3=12 k=3+2=5第3次循环：S=3×1+3×3+3×5=27 k=5+2=7…以此类推，直到第50次循环，执行完毕后k=101时，S=3×1+3×5+3×7+…+3×99=3×=7500此时经过判断满足k≥100，跳出循环故输出S=7500故答案为：7500点评：本题考查程序框图的理解和运算．需要对程序框图进行若干次执行运算，当满足跳出循环条件时输出此时S值，属基础题．7．（5分）（xx•普陀区一模）在△ABC中，若，，则=3．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：两式相减，由向量的运算可得==9，解之即可．解答：解：∵，，∴，∴====9，∴=3故答案为：3点评：本题考查向量的模长的运算，涉及向量的数量积的运算，两式相减是解决问题的关键，属中档题．8．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第五组）的频数为36．考点：频率分布直方图．专题：计算题．分析：设出公差，利用9个小长方形面积和为1，求出公差，然后求解中间一组的频数．解答：解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为1，可得0.18+16d=1 可以求得d=∴中间一组的频数为：160×（0.02+4d）=36．故答案为：36．点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查计算能力．9．（5分）已知B为双曲线（a＞0，b＞0）的左准线与x轴的交点，点A（0，b），若满足=2的点P在双曲线上，则该双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得B（，0），由=2可得B为PA的中点，设P（x0，y0），由中点坐标公式可得，解之，代入双曲线的方程化简可得．解答：解：由题意可得B（，0），由=2可得B为PA的中点，设P（x0，y0），由中点坐标公式可得，解得，代入双曲线的方程可得=1，即，解得故答案为：点评：本题为双曲线的离心率的求解，由已知得出关于a，c的等量关系是解决问题的关键，属基础题．10．（5分）已知变量a，θ∈R，则（a﹣2cosθ）2+（a﹣5﹣2sinθ）2的最小值为9．考点：三角函数的最值；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：直线与圆．分析：设点A（a，a﹣5）、B（2cosθ，2sinθ），易知本题即求|AB|2的最小值．点A在直线L：x﹣y﹣5=0上，点B在圆C：x2+y2=4 上，先求出圆心到直线的距离d，可得|AB|的最小值d﹣r，从而得到|AB|2的最小值．解答：解：可设点A（a，a﹣5）、B（2cosθ，2sinθ），易知本题即求|AB|2的最小值．由于点A在直线L：x﹣y﹣5=0上，点B在圆C：x2+y2=4 上．数形结合可知，由圆心O（0，0）向直线L作垂线，|AB|的最小值就是夹在圆与直线间的部分．由于圆心到直线的距离d==5，|AB|min=d﹣r=3，∴|AB|2的最小值为9，故答案为9．点评：本题主要考查直线和愿的位置关系，点到直线的距离公式、两点间的距离公式的应用，属于中档题．11．（5分）（xx•辽宁）已知等比数列{a n}为递增数列，且，则数列a n的通项公式a n=2n．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：通过，求出等比数列的首项与公比的关系，通过2（a n+a n+2）=5a n+1求出公比，推出数列的通项公式即可．解答：解：∵，∴，∴a1=q，∴，∵2（a n+a n+2）=5a n+1，∴，∴2（1+q2）=5q，解得q=2或q=（等比数列{a n}为递增数列，舍去）∴．故答案为：2n．点评：本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题．12．（5分）将一个长宽分别a，b（0＜a＜b）的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围为．考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；压轴题．分析：设出减去的正方形边长为x，表示出外接球的直径，对直径的平方的表示式求导，使得导函数等于0，得到最小值，根据自变量的范围求出结论．解答：解：设减去的正方形边长为x，其外接球直径的平方R2=（a﹣2x）2+（b﹣2x）2+x2 求导得（R2）'=18x﹣4（a+b）=0∴x=（a+b）因为a＜b有x属于（0，）所以0＜（a+b）＜∴1＜＜故答案为：（1，）．点评：本题考查函数的模型的选择与应用，本题解题的关键是写出直径的平方的表示式，并且对解析式求导做出直径的最小值．13．（5分）（2011•新余二模）在平面直角坐标系x0y中，抛物线y2=2x的焦点为F，若M 是抛物线上的动点，则的最大值为．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：设M 到准线x=﹣的距离等于d，由抛物线的定义可得=，化简为，令m﹣=t，则m=t+，=，利用基本不等式求得最大值．解答：解：焦点F（，0），设M（m，n），则n2=2m，m＞0，设M 到准线x=﹣的距离等于d，则=======．令m﹣=t，t＞﹣，则m=t+，==≤=（当且仅当t= 时，等号成立）．故的最大值为，故答案为．点评：本题考查抛物线的定义、简单性质，基本不等式的应用，体现了换元的思想，把化为，是解题的关键和难点，属于中档题．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的等差数列{a n}及任意的正整数n 都有不等式+≥λa成立，则实数λ的最大值为．考数列与不等式的综合．点：专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列{a n}前n项之和是S n，我们利用等差数列的前n项和公式，可将不等式+≥λ进行变形，配方后，根据实数的性质，易得实数λ的最大值．解答：解：∵S n=•n，∴λ+≥可以变形成：+a1a n+（﹣λ）≥0，即（a n+a1）2+（﹣λ）≥0，若不等式+≥λ对任意{a n}和正整数n恒成立，仅需要λ≤即可，则实数λ的最大值为．故答案为：．点评：数列是一种定义域为正整数的特殊函数，我们可以利用研究函数的方式研究它，特别是等差数列对应的一次函数，等比数列对应的指数型函数，我们要善于通过数列的通项公式、前n项和公式，或数列相关的一些性质，在解数列相关的不等式时，也可以利用配方法、放缩法等解不等式的方法．二、解答题：本大题共9小题，共90分．15．（14分）（xx•崇明县二模）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：（1）将f（x）解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域得出f（x）的最小值，找出ω的值，代入周期公式，即可求出f（x）的最小正周期；（2）由（1）确定的f（x）解析式及f（C）=0，求出sin（2C﹣）=1，由C的范围，求出2x﹣的范围，利用特殊角的三角函数值及正弦函数的图象求出C的度数，由sinB=2sinA，利用正弦定理得到b=2a①，再利用余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，将c与cosC的值代入得到关于a与b的方程，记作②，联立①②即可求出a与b的值．解答：解：（1）f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，∵﹣1≤sin（2x﹣）﹣≤1，∴f（x）的最小值为﹣2，又ω=2，则最小正周期是T==π；（2）由f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，得到sin（2C﹣）=1，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，即C=，∵sinB=2sinA，∴由正弦定理得b=2a①，又c=，∴由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2abcos，即a2+b2﹣ab=3②，联立①②解得：a=1，b=2．点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一点．（Ⅰ）若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．专题：证明题；综合题．分析：（Ⅰ）CD∥平面PBO，推出BO∥CD得到AD=3BC，点O的位置满足AO=2OD．（Ⅱ）要证平面AB⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PABPD 内的两条相交直线AB、PA即可．解答：（Ⅰ）解：因为CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO=BO，所以BO∥CD又BC∥AD，所以四边形BCDO为平行四边形，则BC=DO，而AD=3BC，故点O的位置满足AO=2OD．（Ⅱ）证：因为侧面PAD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥交线AD，所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD又PA⊥PD，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA=A，所以PD⊥平面PAB，PD⊂平面PCD，所以：平面PAB⊥平面PCD．点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，考查逻辑思维能力，是中档题．17．（14分）如图所示，一辆载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶（北偏东α角），其中，在距离O地5a km（a为正数）北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中．现110指挥部紧急征调离O地正东p km的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶载有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当辆车行驶路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时．（1）求S关于p的函数关系；（2）当p为何值时，抢救最及时？考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；应用题．分析：（1）由已知中射线OA行驶（北偏东α角），其中，在距离O地5a km（a为正数）北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中．我们可能建立直角坐标系，分别求出直线的方程和点的坐标，进而可以得到S关于p的函数关系；（2）p为何值时，抢救最及时，可转化为求函数的最小值，根据（1）中的函数解析式，利用基本不等式，可求出函数的最小值，进而得到答案．解答：解：（1）建立如图所示的直角坐标系，∵，∴，，∴N点的坐标为（3a，4a）．又射线OA的方程为y=3x，又B（p，0），∴直线BN的方程为∴．…（4分）当p=3a时，C（3a，9a），．当p≠3a时，方程组，解为∴点C的坐标为．∴．对p=3a也成立．∴．…（8分）（2）由（1）得．令，∴，当且仅当，即，此时，上式取等号，∴当Km时，S有最小值，即抢救最及时．…（14分）点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中解答的关键是建立平面直角坐标系，将题目中的相关直线、点的方程或坐标具体化，进而拟合出函数模型．18．（8分）已知双曲线左右两焦点为F1，F2，P是右支上一点，PF2⊥F1F2，OH⊥PF1于H，．（1）当时，求双曲线的渐近线方程；（2）求双曲线的离心率e的取值范围；（3）当e取最大值时，过F1，F2，P的圆的截y轴的线段长为8，求该圆的方程．考点：双曲线的简单性质；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）由相似三角形得到比例式，找出a、b的关系，把λ值代入求的值，进而得到双曲线的渐近线方程；（2）用λ表示离心率的平方，据λ的范围求出离心率平方得最值，可得离心率的范围，（3）确定圆心位置及直径，进而得到半径，写出圆的标准方程．解答：解：由相似三角形知，，，∴2a2λ+b2λ=b2，2a2λ=b2（1﹣λ），．（1）当时，，∴a=b，y=±x．（2）=，在上单调递增函数．∴时，e2最大3，时，e2最小，∴，∴．（3）当时，，∴b2 =2a2．∵PF2⊥F1F2，∴PF1是圆的直径，圆心是PF1的中点．再由弦的性质可得圆心还在线段F1F2的中垂线（y轴）上，∴在y轴上截得的弦长就是直径，∴PF1=8．又，∴．∴，故圆心C（0，2），半径为4，故所求的圆的方程为x2+（y﹣2）2=16．点评：本题考查圆的标准方程、双曲线的性质、直线和圆锥曲线的关系，属于中档题．19．（8分）（xx•湖北）已知数列{a n}和{b n}满足：a1=λ，，其中λ为实数，n为正整数．（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a n}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{b n}是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a＜b，S n为数列{b n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．考点：等比关系的确定．专题：压轴题．分析：（1）这种证明数列不是等比数列的问题实际上不好表述，我们可以选择反证法来证明，假设存在推出矛盾．（2）用数列a n构造一个新数列，我们写出新数列的第n+1项和第n项之间的关系，发现λ的取值影响数列的性质，所以要对λ进行讨论．（3）根据前面的运算写出数列的前n项和，把不等式写出来观察不等式的特点，构造新函数，根据函数的最值进行验证，注意n的奇偶情况要分类讨论．解答：解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{a n}是等比数列，则有a22=a1a3，即，矛盾．所以{a n}不是等比数列．（Ⅱ）解：因为b n+1=（﹣1）n+1[a n+1﹣3（n+1）+21]=（﹣1）n+1（a n﹣2n+14）=（﹣1）n•（a n﹣3n+21）=﹣b n又b1=﹣（λ+18），所以当λ=﹣18，b n=0（n∈N+），此时{b n}不是等比数列：当λ≠﹣18时，b1=（λ+18）≠0，由上可知b n≠0，∴（n∈N+）．故当λ≠﹣18时，数列{b n}是以﹣（λ+18）为首项，﹣为公比的等比数列．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=﹣18，b n=0，S n=0，不满足题目要求．∴λ≠﹣18，故知b n=﹣（λ+18）•（﹣）n﹣1，于是可得S n=﹣，要使a＜S n＜b对任意正整数n成立，即a＜﹣（λ+18）•[1﹣（﹣）n]＜b（n∈N+）得①当n为正奇数时，1＜f（n）≤；当n为正偶数时，，∴f（n）的最大值为f（1）=，f（n）的最小值为f（2）=，．于是，由①式得a＜﹣（λ+18）＜．当a＜b≤3a时，由﹣b﹣18≥=﹣3a﹣18，不存在实数满足题目要求；当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S n＜b，且λ的取值范围是（﹣b﹣18，﹣3a﹣18）点评：这道题目的难度要高于高考题的难度，若函数题是一套卷的压轴题，可以出到这个难度，否则本题偏难，本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力．20．（8分）（xx•山东）已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=xf'（x），其中f'（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；压轴题；探究型；转化思想．分析：（Ⅰ）由题意，求出函数的导数，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x 轴平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值；（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），利用导数解出函数的单调区间即可；（III）先给出g（x）=xf'（x），考查解析式发现当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e ﹣2一定成立，由此将问题转化为证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立，利用导数求出函数在（0，1）上的最值，与1+e﹣2比较即可得出要证的结论．解答：解：（I）函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），∴=，x∈（0，+∞），由已知，，∴k=1．（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），设h（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，+∞），h'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，h'（x）＜0，可得h（x）在x∈（0，e﹣2）时是增函数，在x∈（e﹣2，1）时是减函数，在（1，+∞）上是减函数，又h（1）=0，h（e﹣2）＞0，又x趋向于0时，h（x）的函数值趋向于1∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0，当x＞1时h（x）＜0，从而f'（x）＜0．综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．（III）由（II）可知，当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2，故只需证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立．当0＜x＜1时，e x＞1，且g（x）＞0，∴．设F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），则F'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，F'（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，F'（x）＜0，所以当x=e﹣2时，F（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2．综上，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．点评：本题考查利用导数研究函数的最值及曲线上某点处的切线方程，解题的关键是灵活利用导数工具进行运算及理解导数与要解决问题的联系，此类题运算量大，易出错，且考查了转化的思想，判断推理的能力，综合性强，是高考常考题型，学习时要严谨认真，注意总结其解题规律．21．（20分）选做题在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．A选修4﹣1：几何证明选讲如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C．求证：∠ACB=∠OAC．B选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵A=，向量．求向量，使得A2=．C选修4﹣3：坐标系与参数方程已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=，焦距为2，求实数a的值．D选修4﹣4：不等式选讲已知函数f（x）=（x﹣a）2+（x﹣b）2+（x﹣c）2+（a，b．c为实数）的最小值为m，若a﹣b+2c=3，求m的最小值．考点：特征值、特征向量的应用；弦切角；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：A连接OE，AE，并过点A作AF⊥DE于点F，由DE是切线，知OE⊥DC，由BC⊥DE，知OE∥AF∥BC，由此能够推导出∠ACB=∠OAC．B由A=，知A2==，设=，则，由此能求出向量，使得A2=．C由椭圆C的极坐标方程得到，由此能求出a．D由f（x）=（x﹣a）2+（x﹣b）2+（x﹣c）2+=3（x﹣）2+a2+b2+c2．知x=时，f（x）取最小值a2+b2+c2，即m=a2+b2+c2，由此利用柯西不等式能求出m的最小值．解答：解：A证明：连接OE，AE，并过点A作AF⊥DE于点F，∵DE是圆的一条切线，E是切点，∴OE⊥DC，又∵BC⊥DE，∴OE∥AF∥BC，∴∠CAF=∠ACB，∠FAE=∠AEO，∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO，∴∠EAO=∠FAE，又∵点A是OB的中点，∴点F是EC的中点，∴AE=AC，∴∠CAF=∠FAE，∴∠EAO=∠FAE=∠CAF，∴∠ACB=∠OAC．B∵A=，∴A2==，设=，则，∴=，∴，解得x=﹣1，y=2，∴．C∵椭圆C的极坐标方程为ρ2=，焦距为2，∴，由=1，得a=12．D∵f（x）=（x﹣a）2+（x﹣b）2+（x﹣c）2+=3x2﹣2（a+b+c）x+a2+b2+c2+=3（x﹣）2+a2+b2+c2．∴x=时，f（x）取最小值a2+b2+c2，即m=a2+b2+c2，∵a﹣b+2c=3，由柯西不等式得[12+（﹣1）2+22]•（a2+b2+c2）≥（a﹣b+2c）2=9，∴m=a2+b2+c2，当且仅当，即a=，b=﹣，c=时等号成立，∴m的最小值为．点评：本题考查与圆有关的比例线段的应用，考查矩阵与变换的应用，考查椭圆的极坐标方程，考查柯西不等式的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，1），P是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足k OP+k OA=k PA．（I）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA=2S△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：向量在几何中的应用；与直线有关的动点轨迹方程；轨迹方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由k OP+k OA=k PA得，，从而就可以得到轨迹C的方程；（Ⅱ）方法一、设，由可知直线PQ∥OA，则k PQ=k OA，可得x2+x1=﹣1，由O、M、P三点共线可知，与共线，从而可得，这样，我们可以求出M的横坐标，由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，从而可求P的坐标；方法二、设，确定直线OP方程、直线QA方程，我们可以得出点M的横坐标为定值，由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，从而可求P的坐标．解答：解：（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由k OP+k OA=k PA得，，整理得轨迹C的方程为y=x2（x≠0且x≠﹣1）．（4分）（Ⅱ）方法一、设，由可知直线PQ∥OA，则k PQ=k OA，故，即x2+x1=﹣1，（6分）由O、M、P三点共线可知，与共线，∴，由（Ⅰ）知x1≠0，故y0=x0x1，（8分）同理，由与共线，∴，即（x2+1）[（x0+1）（x2﹣1）﹣（y0﹣1）]=0，由（Ⅰ）知x1≠﹣1，故（x0+1）（x2﹣1）﹣（y0﹣1）=0，（10分）将y0=x0x1，x2=﹣1﹣x1代入上式得（x0+1）（﹣2﹣x1）﹣（x0x1﹣1）=0，整理得﹣2x0（x1+1）=x1+1，由x≠﹣1得，（12分）由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，由，得x1=1，∴P的坐标为（1，1）．（14分）方法二、设，由可知直线PQ∥OA，则k PQ=k OA，故，即x2=﹣x1﹣1，（6分）∴直线OP方程为：y=x1x①；（8分）直线QA的斜率为：，∴直线QA方程为：y﹣1=（﹣x1﹣2）（x+1），即y=﹣（x1+2）x﹣x1﹣1②；（10分）联立①②，得，∴点M的横坐标为定值．（12分）由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，由，得x1=1，∴P的坐标为（1，1）．（14分）点评：考查向量知识在几何中的运用，实际上就是用坐标表示向量，再进行运算；（Ⅱ）的关键是确定出点M的横坐标为定值．23．（10分）已知（1+）n展开式的各项依次记为a1（x），a2（x），a3（x）…a n（x），a n+1（x）．设F（x）=a1（x）+2a2（x）+2a2（x）+3a3（x）…+na n（x）+（n+1）a n+1（x）．（1）若a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次成等差数列，求n的值；（2）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|≤2n﹣1（n+2）﹣1．考点：二项式定理；等差数列的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得a k（x）=•，求得a1（x），a2（x），a3（x）的系数，根据前三项的系数成等差数列求得n的值．（2）由F（x）的解析式求得F（2）═+2+3+…+（n+1），设S n=+2+3+…+（n+1），利用二项式系数的性质求得S n=（n+2）•2n﹣2．再利用导数可得F（x）在[0，2]上是增函数可得对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|≤F（2）﹣F（0）=2n﹣1（n+2）﹣1．解答：解：（1）由题意可得a k（x）=•，k=1、2、3，…n+1，故a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次为=1，•=，=．再由2×=1+，解得n=8．（2）∵F（x）=a1（x）+2a2（x）+2a2（x）+3a3（x）…+na n（x）+（n+1）a n+1（x）=+2•（）+3•+（n+1）•，∴F（2）=+2+3+…+（n+1）．设S n=+2+3+…+（n+1），则有S n=（n+1）+n+…+3+2+．把以上2个式子相加，并利用= 可得2S n=（n+2）[+++…+]=（n+2）•2n﹣1，∴S n=（n+2）•2n﹣2．当x∈[0，2]时，由于F′（x）＞0，∴F（x）在[0，2]上是增函数，故对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|≤F（2）﹣F（0）=2n﹣1（n+2）﹣1，命题得证．点评：本题主要考查等差数列的性质，二项式定理的应用，二项式系数的性质，利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的值域，属于中档题．|40621 9EAD 麭26417 6731 朱29543 7367 獧21421 53AD 厭N38388 95F4 间#20166 4EC6 仆>^24909 614D 慍24462 5F8E 徎20444 4FDC 俜。
2021年高三上学期第二次调研考试题数学文
2021年高三上学期第二次调研考试题数学文本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．设集合，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．2．已知为实数，如果为纯虚数，则实数等于（）A．0 B．－1 C．1 D．－1或03．已知向量，则“”是“”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．若定义在R上的偶函数上单调递减，且，则不等式的解集是（）A．B．C．D．5．设等比数列的公比前项和为，则=（）.A．31 B．15 C．16 D．326．已知变量满足则的最大值是（）A. 6B. 5C. 4D. 37．已知某一空间几何体的正视图与侧视图如图1所示，则在下列①②③④⑤对应图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（）A．①②③⑤B．②③④⑤C．①②④⑤D8．某流程图如图2所示，现分别输入选项所述的四个函数，则可以输出的函数是 ( ) A. B.C. D.9．直线与圆的位置关系是（ ）A.相离 B .相切 C.相交 D.不确定10．一组数据共有7个整数，记得其中有2，2，2，4，5，10，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为（ ） A ．11 B ．3 C ．17 D ．9二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.）（一）必做题（第11至13题为必做题，每道题目考生都必须作答。
2021年高三二模文科数学试题及答案
天水一中XX级XX-XX学年度第二学期5月第二次模拟考试试题2021年高三二模文科数学试题及答案本试卷分第I卷和第II卷两部分，考试时间120分钟，共150分.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第I卷一、选择题：(本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合M ={xl—2vxvl},尸= {xl—2<x<2},则"UP= ( )A.c.2.双曲线的焦距为A. 10B.3.已知向量的值为()A. B. 2 C. D.4.函数图象的对称轴方程可以为A. B.5.若，则“”是”方程表示双曲线”的 A.必要不充分条件C.充要条件.6.已知函数A. B. C.B.D. ()C. 2D. 5( )C. D.()B..充分不必要条件.D.既不充分也不必要条件. ( )7.函数的图像可能是8 .函数在定义域内零点的个数为A. 09 .在正四面体A —BCD 中，棱长为4, M 是BC 的中点, 点P 在线段AM 上运动（P 不与A 、M 重合），过 点P 作直线LL 平面ABC, I 与平面BCD 交于点Q, 给出下列命题： ①BCJL 平面AMD ②Q 点一定在直线DM 上 ③ 其中正确的是A.①②B.①③C.②③10 .已知直线，定点F （0, 1）, P 是直线上的动点，若经过点F 、P 的圆与/相切，则这个圆11 .若椭圆的左右焦点分别为八、F2,线段FF Z 被抛物线的焦点分成5： 3的两段，则此椭圆的离心率为 A.B.C.D.12 .已知定义在R 上的函数y=f （x ）满足下列三个条件：①对任意的x £R 都有②对于任意的，都有③的图象关于y 轴对称，则下列结论中，正确的是 （）A. B.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13 .某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取 200名同学的成绩，成绩全部在50分至100 分之间，将成绩按下方式分成5组；第一组, 成绩大于等于50分且小于60分；第二组， 成绩大于等于60分且小于70分；……第五 组，成绩大于等于90分且小于等于100分。
甘肃省甘谷三中高三第二次检测(数学文).doc
甘甘肃肃省省甘甘谷谷三三中中高高三三第第二二次次检检测测（（数数学学文文））一．选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分） 1. 设集合N M N Z x x x M 则},0,1,2{},,2|||{--=∈<==（ ）A ．MB ．NC ．{－2，－1，0,1}D ．{－2，－1，0，1，2}2.设p ∶22,x x q --＜0∶12xx +-＜0，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数)0(1)1()(2≤+-=x x x f 的反函数为 （ ）A ．)1(11)(1≥--=-x x x f B ．)1(11)(1≥-+=-x x x f C ．)2(11)(1≥--=-x x x fD ．)2(11)(1≥-+=-x x x f4. 已知函数2sin1()log (65)f x x x =-+在(,)a +∞上是减函数，则实数a 的取值范围为 （ ）A. （5，+∞）B. （3，+∞）C. （-∞，3）D. [5,)+∞5.下列四个数中最大的是 （ ）A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C．D ．ln 26.若函数f （x ）=ka x －a －x （a ＞0且a ≠1）既是奇函数，又是增函数， 那么g （x ）=)(log k x a +的图象是（ ）ABCD7已知函数23)(bx ax x f +=是定义域为]2,1[a a -的奇函数，则b a +的值是 （ ）A ．0B ．31C ．1D ．-18．函数a ax x x f +-=22)(在区间),(1-∞上有最小值，则函数xx f x g )()(=在区间),(∞+1上一定 （ ）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数9.设集合M ={}0≤-m x x ，}12|{R ，x y y N x ∈-==，若M∩N =φ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1-≥mB ．1->mC ．1-≤mD ．1-<m10． 设f (x )是定义在R 上的函数，且f (1+x )= f (1-x )恒成立，当x ≥1时，f (x )=lg x ，则下列结论正确的是（ ）A ．3()2f ＜2()3f ＜1()3fB ．2()3f ＜3()2f ＜1()3fC ．2()3f ＜1()3f ＜3()2fD ．1()3f ＜3()2f ＜2()3f11．设函数f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1,f(2)=3a 4a 1-+, 则实数a 的取值范围是 k s 5u （ ） A ．3a 4<B ．3a 4<且a 1≠ C ．3a 4>或a 1<- D ．31a 4-<< 12.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =- 则()()5f f =（ ）A ．5 B.15 C.5- D.15-二、填空题（本题满分每小题5分）13．若函数],[,)2()(2b a x b x a x x f ∈+++=的图象关于直线1=x 对称，则)(x f 的最大值为 . 14．函数)),1((12+∞-∈+=x xxy 图象与其反函数图象的交点坐标为 . 15．已知奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足2)()(+-=+-x x a a x g x f ，且 )(,)(a f a b g 则== .16．设函数c bx x x x f ++=||)(，给出下列四个命题；①c = 0时，f (x )是奇函数；②0,0>=c b 时，方程0)(=x f 只有一个实根；③f (x )的图象关于（0,c ）对称；④方程0)(=x f 至多两个实根. 其中正确的命题是 .三、解答题：(本大题共6小题，共70分。
高考专题甘肃省天水市高三高考信息卷(二)数学(文)试题.docx
高中数学学习材料唐玲出品文科数学（二）1.已知复数121,1z i z i =-=+，则12z z i等于（ ） （A ）2i （B ）2i - （C ）2i + （D ）2i -+2.已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等比数列，则212a ab -等于（ ） （A ）14 （B ）12 （C ）12- （D ）12或12- 3.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( ) （A ）若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥ （B ）若,,m n αα⊥⊥则m n ∥ （C ）若,m n αα∥∥，则m n ∥ （D ）若,,m m αβ∥∥则αβ∥ 4.函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（ ）（A ）向左平移6π个单位长度 （B ）向右平移12π个单位长度（C ）向右平移6π个单位长度 （D ）向左平移12π个单位长度5. 如图，1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，1F O 为半径的圆与该双曲线左支交于A 、B 两点，若2F AB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为 （ ）（A ）3 （B ）2 （C ）31- （D ）31+ 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）（A ）22 （B ）52（C ）62（D ）3 7. 若程序框图如图示，则该程序运行后输出k 的值是（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）88.如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c x a y b x y R =+∈，则x y +=（ ）（A ）0 （B ） 1 （C ）55 （D ）1359.若G 是ABC ∆的重心，a ，b ，c 分别是角C B A ,,的对边，若303aG bG cGC A +B +=，则角=A （ ）（A ）90 （B ）60 （C ）45 （D ）3010.如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x 分钟, 瓶内液面与进气管的距离为h 厘米，已知当0x =时，13h =．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完． 则函数()h f x =的图像为（ ）11 已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若QF PF 3=，则QF =（ ） （A ）25 （B ）38（C ） 3 （D ） 6 12.设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为（ ）（A ） ]2,2[- （B ） ),2[+∞ （C ） ),0[+∞ （D ）(,2][2,)-∞-+∞13.已知正实数,,x y z 满足112x x yz y z ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则11x x y z ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为 . 14. 如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从M 点测得A 点的俯角30NMA ︒∠=,C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒已知山高200BC m =，则山高MN = m ．15.已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．16.设函数()y f x =的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x D ∈，都有()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“似周期函数”，非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数； ②函数()f x x =是“似周期函数”；③函数-()2xf x =是“似周期函数”；④如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，那么“,k k ωπ=∈Z ”． 其中是真命题的序号是 ．（写出所有．．满足条件的命题序号） 17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，满足1=c ，且()()0cos sin sin cos =+-+B A B a C B . （1）求角C 的大小；（2）求22b a +的最大值，并求取得最大值时角,A B 的值.18. 每年5月17日为国际电信日，某市电信公司在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元电信日当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率(1) 求某人获得优惠金额不低于300元的概率；(2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率19在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点,O EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点.(1)求证：//DE 平面ACF ；(2)若2AB CE =，在线段EO 上是否存在点G ，使CG ⊥平面BDE ？若存在，求出EGEO的值；若不存在，请说明理由.20.已知抛物线21:2C y px =上一点()03M y ，到其焦点F 的距离为4；椭圆()2222210y x C a b a b +=>>：的离心率22e =，且过抛物线的焦点F .（I ）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（II ）过点F 的直线1l 交抛物线1C 于A 、B 两不同点，交y 轴于点N ，已知NA AF NB BF λμ==，，求证：λμ+为定值.（III ）直线2l 交椭圆2C 于P ，Q 两不同点，P ，Q 在x 轴的射影分别为P '，Q '，10OP OQ OP OQ ''⋅+⋅+=，若点S 满足：OS OP OQ =+，证明：点S 在椭圆2C 上.21.已知函数21()ln (1)(0)2f x a x x a x x =+-+>，其中a 为实数. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围. （3）证明，对于任意的正整数,m n ，不等式111ln(1)ln(2)ln()()nm m m n m m n ++>++++恒成立.22． 如图所示，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF ∥CB ，EF交AD 的延长线于点F ，FG 切圆O 于点G .(1)求证：△DEF ∽△EFA ； (2)如果1FG =，求EF 的长．23．已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '．（1）求曲线C '的普通方程； （2）若点A 在曲线C '上，点B (3,0)，当点A 在曲线C '上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程． 24．已知()11f x x x =++-,不等式()4f x <的解集为M . (1)求M ；(2)当,a b M ∈时,证明:24a b ab +<+.1.B 212(1)(1)122z z i i i i i i i i⋅-+-====-. 2.B 因为122,,,8a a --成等差数列，所以218(2)23a a ----==-.又1232,,,,8b b b --成等比数列，所以2228(2)16,4b b =-⨯-==（舍去），24b =-，所以21221.42a ab --==- 3.B A 中,αβ可以是任意关系；B 正确；C 中,m n 平行于同一平面，其位置关系可以为任意．D 中平行于同一直线的平面可以相交或者平行． 4.C 由图可知74123T T πππ=-⇒= 则22πωπ== ，又s i n (2)03πϕ⨯+=，结合2||πϕ<可知3πϕ=，即()s i n 3(2)f x xπ=+，为了得到sin 2y x =的图象，只需把()sin(2)si 3n 26y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫==+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象上所有点向右平移6π个单位长度.5.D 依题213AF AF =，12122c F F AF ==，所以()211231a A F A F A F =-=-，()1123131AF ce aAF ===+-.6.B 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥的高为1，四边形B C D是边长为1的正方形，则111211,12,2222AED ABC ABE S S S =⨯⨯===⨯⨯=151522ACD S =⨯⨯=.7.A 第一次循环运算：3516,1n k =⨯+=；第二次：168,22n k ===；第三次：84,32n k ===；第四次：42,42n k ===；第五次：21,52n k ===，这时符合条件输出5k =.8.D 设方格边长为单位长1.在直角坐标系内，(1,2),(2,1),(3,4)a b c ==-=，由,(,)c x a y b x y R =+∈得，(3,4)(1,2)(2,1),(3,4)(2,2),x y x y x y =+-=+-所以2324x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，x y +=135，选D .9.D 由于G 是ABC ∆的重心，0=++∴GC GB GA ，()GA GB GC +-=∴，代入得()303c aGA bGB GA GB +-+=，整理得33033c c a GA b GB ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，c b a 33==∴ bc a c b A 2cos 222-+=∴2223333323c c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=23=，因此030=A . 10.C 由题意得，每分钟滴下药液的体积为3cm π当134≤≤h 时，),13(42h x -⋅⋅=ππ即,1613xh -=此时1440≤≤x ； 当41<≤h 时，),4(29422h x -⋅⋅+⋅⋅=πππ即,440x h -=此时156144≤<x所以，函数在[]156,0上单调递减，且156144≤<x 时，递减的速度变快，所以应选（C ） 11.B 如下图所示，抛物线C ：x y 82=的焦点为()2,0F ，准线为:2l x =-，准线与x 轴的交点为()2,0N - ，||4FN =过点Q 作准线的垂线，垂足为M ，由抛物线的定义知||||QM QF = 又因为QF PF 3=，所以，||2||2||PQ QF QM ==所以，28433QM PQ QM FN PF =⇒=⨯= 所以，83QF QM ==12.B 设()()212g x f x x =- 因为对任意()()2,x R f x f x x ∈-+= ，所以，()()()()()221122g x g x f x x f x x -+=---+-=()()20f x f x x -+-=所以，函数()()212g x f x x =-为奇函数；又因为，在),0(+∞上x x f <')(，所以，当时0x > ，()()0g x f x x ''=-<即函数()()212g x f x x =-在),0(+∞上为减函数， 因为函数()()212g x f x x =-为奇函数且在R 上存在导数，所以函数()()212g x f x x =-在R 上为减函数，所以，()()()()()221144422g m g m f m m f m m --=----+()()()484f m f m m =----0≥所以，()()442g m g m m m m -≥⇒-≤⇒≥ 所以，实数m 的取值范围为),2[+∞.13.2 由题知112x x yz y z ⎛⎫++= ⎪⎝⎭即22x x yz x y z ++=于是可将给定代数式 化简得2111112222x x yz yz x x x y z y z yz yz yz ⎛⎫⎛⎫++=+++=+≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当2yz =时取等号.14.300 在ABC ∆中, 45,90,200BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=2002002sin 45AC ∴==︒，在AMC ∆中，75,60,MAC MCA ∠=︒∠=︒45,AMC ∴∠=︒由正弦定理可得,sin sin AM ACACM AMC=∠∠即1002,sin 60sin 45AM =︒︒ 解得2003AM =,在Rt AMN ∆中sin MN AM MAN =⋅∠2003sin 60=⨯︒300()m =． 15.13π 设正六棱柱的的底面边长为x ，高为y ，则69x y +=，所以302x <<，正六棱柱的体积223333()6(96)42V x x y x x =⨯=-，2'()273()V x x x =-，令2'()273()0V x xx =->，解得01x <<，令2'()273()0V x x x =-<得312x <<，即函数()V x 在(0,1)是增函数，在3(1,)2是减函数，所以()V x 在1x =时取得最大值，此时3y =.易知正六棱柱的外接球的球心是其上下中心连线的中点，如图所示，外接球的半径为2213(),22y OE x =+=所以外接球的表面积为2413.S R ππ==16.①③④①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为-1，则)()1(x f x f -=-，则)()1()2(x f x f x f =--=-，所以它是周期为2的周期函数；②假设函数()f x x =是“似周期函数”，则存在非零常数T ，使)()(x Tf T x f =+对于R x ∈恒成立，即Tx T x =+，即0)1(=--T x T 恒成立，则1=T 且0=T ,显然不成立；③设x T x T -+-⋅=22)(，即T T =-2,易知存在非零常数T ，使T T =-2成立，所以函数-()2x f x =是“似周期函数”；④如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，则x T T x T x ωωωωcos )cos()(cos =+=+，由诱导公式，得，当1=T 时，Z k k ∈=,2πω,当1-=k 时，Z k k ∈+=,)12(πω,所以“,k k ωπ=∈Z ”； 故选①③④.17解析：（1）由()()0cos sin sin cos =+-+B A B a C B ， 可得()0cos sin sin cos =--C B a C B ，即C a A cos sin =，又1=c ，所以C a A c cos sin =，由正弦定理得C A A C cos sin sin sin =，因为π<<A 0，所以>A sin 0，从而C C cos sin =，即4π=C .（2）由余弦定理222cos 2c C ab b a =-+，得1222=-+ab b a ，又222b a ab +≤，所以()122122≤+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a ，于是2222+≤+b a ， 当π83==B A 时，22b a +取到最大值22+. 18解析：(1) 设事件A =“某人获得优惠金额不低于300元”，则1501005()501501006P A +==++(2) 设事件B =“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人， 分别记为112312,,,,,a b b b c c ，从中选出两人的所有基本事件如下：11a b ，12a b ，13a b ，11a c ，12a c ，12b b ，13b b ，11b c ，12b c ，23b b ，21b c ，22b c ，31b c ，32b c ，12c c ，共15个，其中使得事件B 成立的为12b b ，13b b ，23b b ，12c c ，共4个， 则4()15P B =19.解析：（1）证明：连接OF 由四边形ABCD 是正方形可知，点O 为BD 的中点 又F 为BE 的中点，所以//OF DE 又OF ⊂平面ACF ，DE ⊄平面ACF 所以//DE 平面ACF (2)解法一：若CG ⊥平面BDE ，则必有CG OE ⊥ 于是作CG OE ⊥于点G由EC ⊥底面ABCD ，所以BD EC ⊥，又底面ABCD 是正方形所以BD AC ⊥，又EC AC C ⋂=，所以BD ⊥平面ACE而CG ⊂平面ACE ，所以CG BD ⊥ 又OE BD O ⊥=，所以CG ⊥平面BDE又2AB CE =，所以22CO AB CE == 所以G 为EO 的中点，所以12EG EO = 解法二：取EO 的中点G ，连接CG ，在四棱锥E ABCD -中2AB CE =，22CO AB CE ==，所以CG EO ⊥ 又由EC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以EC BD ⊥ 由四边形ABCD 是正方形可知，AC BD ⊥又AC EC C ⋂= 所以BD ⊥平面ACE 而BD ⊂平面BDE 所以，平面ACE ⊥平面BDE ，且平面ACE ⋂平面BDE EO =因为CG EO ⊥，CG ⊂平面ACE ，所以CG ⊥平面BDE 故在线段EO 上存在点G ，使CG ⊥平面BDE 由G 为EO 的中点，得12EG EO =20解析：（Ⅰ）抛物线21:2C y px =上一点0(3,)M y 到其焦点F 的距离为4；抛物线的准线为2p x =-抛物线上点0(3,)M y 到其焦点F 的距离||MF 等于到准线的距离d 所以342pd =+=,所以2p = 抛物线1C 的方程为24y x = 椭圆22222:1(0)y x C a b a b +=>>的离心率22e =,且过抛物线的焦点(1,0)F所以1b =，22222112c a e a a -===,解得22a =所以椭圆的标准方程为22121y x += (Ⅱ)直线1l 的斜率必存在,设为k ,设直线l 与椭圆2C 交于1122(,),(,)A x y B x y 则直线l 的方程为(1)y k x =-, (0,)N k -联立方程组:24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩ 所以2222(24)0k x k x k -++=216160k ∆=+>,所以212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩ (*)由,NA AF NB BF λμ==得: 1122(1),(1)x x x x λλ-=-= 得: 1212,11x xx x λμ==-- 所以121221121212121212(1)(1)211(1)(1)1()x x x x x x x x x x x x x x x x x x λμ-+-+-+=+==-----++ 将(*)代入上式,得12121212211()x x x x x x x x λμ+-+==--++(Ⅲ)设(,),(,)p p Q Q P x y Q x y 所以(,)p Q p Q S x x y y ++,则''(,0),(,0)P Q P x Q x 由''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=得21P Q P Q x x y y +=-(1)2212P P y x +=,(2) 2212Q Q y x +=(3)(1)+(2)+(3)得:22()()12P Q P Q y y x x +++=即(,)p Q p Q S x x y y ++满足椭圆222:121y x C +=的方程 命题得证 21解：（1）()(1)()(0)x a x f x x x--'=>当0a ≤时，()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增当01a <<时，()f x 在(0,)a ，(1,)+∞上递增，在(,1)a 上递减 当1a =时，()f x 在(0,)+∞上递增当1a >时，()f x 在(0,1)，(,)a +∞上递增，(1,)a 上递减（2）由（1）知当0a ≤时11()(1)0,22f x f a a ≥=--≥∴≤- 当0a >时，1(1)0,()02f a f x =--<∴≥不恒成立 综上：12a ≤-（3）由（2）知12a =-时，()0f x ≥恒成立2111ln 0222x x x -+-≥ ln (1)x x x ∴≤-当且仅当1x =时以“=”1x ∴>时，11ln (1),ln (1)x x x x x x <->- 1111ln(1)(1)1m m m m m ∴>=-+++1111ln(2)(1)(2)12m m m m m >=-+++++……1111ln()()(1)1m n m n m n m n m n >=-+++-+-+11111ln(1)ln(2)ln(1)()nm m m m m n m m n ∴+++>-=+++++22证明：//EF BC DEF EBC DEF BAD DEF BCD BAD ⇒∠=∠⎫⇒∠=∠⇒∆⎬∠=∠⎭∽EFA ∆（2）EFA ∆∽2EFD FE FD FA ∆⇒=⋅又因为FG 为切线，则2FG FD FA =⋅ 所以，1EF FG ==.23、（1）C :3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ ⇒ 22:194x y C +=，将1312x x y y⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ ⇒32x x y y '=⎧⎨'=⎩代入C 的普通方程得221x y ''+=，即22:1C x y '+=； （2）设(,),P x y 00(,)A x y ， 则003,22x yx y +==所以0023,2x x y y =-=，即(23,2)A x y -代入22:1C x y '+=，得22(23)(2)1x y -+=，即2231()24x y -+=AB 中点P 的轨迹方程为2231()24x y -+=.24、（1）解不等式：114x x ++-<124x x ≥⎧⎨<⎩ 或1124x -≤<⎧⎨<⎩ 或124x x <-⎧⎨-<⎩⇒12x ≤<或11x -≤<或21x -<<-， ⇒22x -<<⇒()2,2M =-.（2）需证明：22224(2)816a ab b a b ab ++<++，只需证明222244160a b a b --+>，即需证明22(4)(4)0a b -->。
2021年高三上学期第二次联考数学文 含答案
2021年高三上学期第二次联考数学文含答案本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，20小题，满分150分。
考试用时120分钟。
第一部分选择题(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，，则为A． B． C. D．2．已知命题，则A．B．C．D．3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是A．B．C．D．4. 在各项都为正数的等比数列中，首项为3，前3项和为21，则等于A．15 B．12 C．9 D．65.已知函数则函数的零点个数为A．B．C．D．6. 函数在区间的简图是Ａ. Ｂ.7. 如果等差数列中，，那么等于A．21 B．30 C．35 D．408. 的三个内角的对边分别为，已知，向量，，若，则角的大小为Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.9．已知定义在上的函数满足，为的导函数，且导函数的图象如Array右图所示．则不等式的解集是（）A．B．C．D．10. 设是边长为的正的边及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，若点，则的最大值为Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．第二部分非选择题(共100 分)二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11.已知函数，则________.12. 已知向量，若，则_________ .13．某住宅小区计划植树不少于60棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数等于_____________.14.定义在上的函数满足.若当时.,则当时,=________________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分）已知函数,.(1) 求的值；(2) 若,,求.16．（本小题满分12分）已知向量，，设函数，.（1）求的最小正周期与最大值；（2）在中，分别是角的对边，若的面积为，求的值.17．（本小题满分14分）设数列满足：，，．（1）求的通项公式及前项和；（2）已知是等差数列，为前项和，且，.求的通项公式，并证明：．18．（本小题满分14分）已知函数，.（1）当，时，求的单调区间；（2）当，且时，求在区间上的最大值．19.（本小题满分14分）已知数列的前项和为，，是与的等差中项（）.（1）证明数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在正整数，使不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分14分）已知函数(是常数)在处的切线方程为，且.（1）求常数的值；（2）若函数()在区间内不是单调函数，求实数的取值范围；（3）证明:.xx 届高三六校第二次联考文科数学参考答案第Ⅰ卷选择题（满分50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（C ） 2．（A ） 3．（A ） 4．（B ） 5．（C ） 6．（A ） 7．（C ） 8．（A ） 9．（B ） 10．（C ）第Ⅱ卷非选择题（满分100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11． 12． 13． 14．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分12分） 解：(1)1sin sin sin 4412662f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；……………… ……4分(2))2sin 2sin 2sin 2cos 2331242f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………… ……7分因为,,所以, ……………… ……9分所以,……………… 11分所以.…………12分16．（本小题满分12分）解：(1) ……………… ……2分……………… ……4分∴ 的最小正周期为＝， ………………………5分的最大值为5. ……………………6分 (2)由得，，即 ，∵ , ∴，∴ ………………………8分 又, 即,∴ ………………………10分 由余弦定理得，32121241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a∴ …………………………………12分17．（本小题满分14分） 解：（1）因为，又，所以，因此是首项为1，公比为3的等比数列， ……………2分 所以，. ……………6分 （2）设等差数列的公差为， 依题意，所以，即，故. ……………8分由此得，. （资料苏元高考吧 ） …………10分 所以，()()1223111111113352121n n b b b b b b n n ++++=+++⨯⨯-+1111111112323522121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分 .因此所证不等式成立. ……………14分18．（本小题满分14分）解：（1）当，时，， (1)分则 ……………………………2分 令，解得，，当或时，有； 当时，有，………… 5分 所以的单调递增区间和，的单调递减区间．……………………………7分（2）当，且 时，，.则， 令，得或． …………………8分 ①当，即时，此时当时，有，所以在上为减函数， 当时，有，所以在上为增函数， ………9分 又，，所以的最大值为； …………………………10分 ②当，即时，此时当时，；当时，；当时，；所以在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数. ……………………12分3231111()()()3266f m m m m m -=-+-=<， ，所以的最大值为， …………………13分 综上，在区间上的最大值为 . …………………14分19.（本小题满分14分） 解:（1）因为是与的等差中项，所以（），即，（） ……………2分 由此得)23(31213123)131(231-=-=-+=-+n n n n S S S S （）， …………4分 又，所以 （），所以数列是以为首项，为公比的等比数列. ……………6分 （2）由（1）得，即（），……………7分 所以，当时，121131])31(2123[])31(2123[----=---=-=n n n n n n S S a ，…9分 又时，也适合上式，所以. ……………10分 （3） 原问题等价于（）恒成立.当为奇数时，对任意正整数不等式恒成立； ……………11分 当为偶数时，等价于恒成立， 令，，则等价于恒成立， 因为为正整数，故只须，解得，，所以存在符合要求的正整数，且其最大值为11. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（1）由题设知，的定义域为,, ……………1分 因为在处的切线方程为，所以,且，即,且 …………3分又解得，，. …………4分 （2）由(1)知，因此，22()()ln (0)g x x mf x x mx m x m x =+=-++>，所以)0)(2(12)(2'>+-=+-=x m mx x xx m m x x g . …………5分 令.（ⅰ）当函数在内有一个极值时，在内有且仅有一个根，即在内有且仅有一个根，又因为，当，即时，在内有且仅有一个根，当时，应有，即，解得，所以有. ………7分（ⅱ）当函数在内有两个极值时，在内有两个根，即二次函 数在内有两个不等根，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>+-⨯=>+-=>⨯⨯-=∆,341,0332)3(,02)1(,02422m m m d m m d m m解得. …………8分 综上，实数的取值范围是. …………9分 （3）因为，所以当时，有，所以在上为减函数，因此当时, ， 即，即当时, ，所以对一切都成立， …………11分 所以， ， ， … ，所以ln2ln3ln4ln20121232012 23420122342013⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯，所以. …………14分6,j20298 4F4A 佊40222 9D1E 鴞30121 75A9 疩29675 73EB 珫JM27804 6C9C 沜28420 6F04 漄31014 7926 礦Xhb。
【高三】2021高三数学二诊文科试题(甘肃含答案)
【高三】2021高三数学二诊文科试题(甘肃含答案)甘肃省2022年第二次高考诊断试卷数学（文）试题注意事项：1．本试卷分第1卷（）和第ⅱ卷（非）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．2.回答第一卷时，在选择每个小问题的答案后，用铅笔在答题卡上涂黑相应问题的答案号。
如果需要更改，请使用橡皮擦清洁，然后选择绘制其他答案。
在这张试卷上写字是无效的3．回答第ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4.考试结束后，将试卷和答题纸一起交回第ⅰ卷（选择题，共60分）一、多项选择题：这道主题共有12个子题，每个子题得5分。
在每个子问题给出的四个选项中。
只有一项符合主题的要求1．已知集合a={0，1}，b={}，则ab=a、 {0,1}B.{0,1,1}c．{0，1，一1，}d．{0，l，一1，一}2.如果是复数，Z是a．ib．一ic．2id．1+i3.假设回归线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点（4,5），回归线方程为a．y=1．23x+4b．y=1．23x+5c、 y=1.23x+0.08d.y=0.08x+1,2,34．抛物线的准线的方程是y=l，且抛物线恒过点p(1，一1)，则抛物线焦点弦pq的另一个端点q的轨迹方程是a、（x-1）2=-8（Y-1）B.（x-1）2=-8（Y-1）（x1）c．(y一1)2=8(x一1)d．(y一1)2=8(x一1)(x1．)5.让变量X和Y相遇，则X+2Y的最大值和最小值分别为a．1，-1b．2，一2c．1，一2d．2，一16.执行右图所示程序，输出结果为48，判断框中填写人员的条件为a．i≥4?b、 i>4？c．i≥6?d、 i>6？7．已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸，可这个几何体的体积是a．b．c、 d。
8．各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是a．16b．20c．24d．329.给定函数y=2sin2（那么函数的最小正周期）t和它的图象的一条对称轴方程是a、 T=2，对称轴方程为b．t=2，一条对称轴方程为c、 T=，对称轴方程为d．t=，一条对称轴方程为10.已知点F是双曲线的左焦点，点E是双曲线的右顶点，穿过F并垂直于X轴的直线在两点a和B与双曲线相交，并且△ Abe是一个锐角三角形，则双曲线的偏心率e的取值范围为a．（1，+∞）b．（1，2）c．（1，1+）d．（2，1+）11.[1,2,2]中的已知功能和图像如下图所示。
甘肃省2021届第二次高考诊断文科数学试卷及答案
3．A
分析各选项中函数的奇偶性、及各函数在 处的函数值，结合排除法可得出合适的选项.
解：
对于A选项，设 ，该函数的定义域为 ，
，该函数为奇函数，
且 ，满足条件；
对于B选项，设 ，该函数的定义域为 ，
，该函数为偶函数，不满足条件；
对于C选项，设 ，该函数的定义域为 ，
，该函数为偶函数，不满足条件；
对于D选项，设 ，该函数的定义域为 ，
，该函数为奇函数，
，不满足条件.
故选：A.
点评：
思路点评：：函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；
（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．
（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.
16．三棱锥 的底面是边长为3的正三角形，面 垂直底面 ，且 ，则三棱锥 体积的最大值是___________.
三、解答题
17．如图，在直四棱柱 中，底面 是边长为 的菱形，且 ， 、 分别为 、 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求点 到 的距离．
18．起源于汉代的“踢键子”运动，虽有两千多年历史，但由于简便易行，至今仍很流行．某校为丰富课外活动、增强学生体质，在高一年级进行了“踢键子”比赛，以学生每分钟踢毯子的个数记录分值，一个记一分．参赛学生踢键子的分值均在 分之间，从中随机抽取了100个样本学生踢键子的成绩进行统计分析，绘制了如图所示的频率分布直方图，并称得分在 之间为“踢毽健将”，90分以上为“踢建达人”．
4．B
按三分损一和三分益一的顺序交替进行计算可得结果
解：
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甘谷四中2020—2021学年第一学期高三第二次检测数学试题（文科）考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题（本题共12小题，共60分）1．已知集合{}230A x x x =-<，(){}ln 2B x y x ==-，则AB =（ ）A ．()2,+∞B ．()2,3C ．()3,+∞D ．(),2-∞2．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，（f （x 1）﹣f （x 2））（x 1﹣x 2）≥0，则¬p 是（ ） A ．∃x 1，x 2∈R ，（f （x 1）﹣f （x 2））（x 1﹣x 2）≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，（f （x 1）﹣f （x 2））（x 1﹣x 2）≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，（f （x 1）﹣f （x 2））（x 1﹣x 2）＜0 D ．∀x 1，x 2∈R ，（f （x 1）﹣f （x 2））（x 1﹣x 2）＜03．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数f (x )＝ax －1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．0或15.已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于点(1，0)，则f (x )的( )A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极小值为－427，极大值为0D ．极小值为0，极大值为－4276.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥=1,2)24(1,)(x x ax a x f x ，若对任意的x 1，x 2，且x 1≠x 2都有()()2121x x x f x f -->0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[1,8)C ．(4,8)D ．[4,8)7．定义在R 上的可导函数f (x )＝x 2＋2xf ′(2)＋15， 在闭区间[0，m ]上有最大值15，最小值－1，则m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．2≤m ≤4C ．m ≥4D ．4≤m ≤88．若αtan ＝2，则ααα2sin 2sin 32cos 2-+的值为( )A.25 B ．－25C ．5D ．－ 5 9．已知f ′(x )是函数f (x )在R 上的导函数，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )10．若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2B ．32C ．1D ．1211．若定义在R 上的偶函数y ＝f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，函数g （x ）＝，则∀x ∈[﹣4，4]，方程f （x ）＝g （x ）不同解的个数为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．712．设函数()f x '是偶函数()f x 的导函数，当),0(+∞∈x 时()f x 有唯一零点为2，并且满足()()0xf x f x +<'，则使得0)(<xx f 成立的x 的取值范围是（ ） A ．()22-，B ．()()22-∞-+∞，，C ．()11-，D ．()()2002-，， 二．填空题（本题共4小题，共20分） 13．若角α的终边经过点()1,23-，则an 3πt α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．14．如右图，定义在[﹣1，+∞）上的函数f （x ）的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f （x ）的解析式为 ． 15．函数f (x )＝ax 3－3x 在区间(－1，1)上为单调减函数，则a 的取值范围是________．16．关于函数)62cos()32cos()(ππ++-=x x x f ，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合． 其中正确说法的序号是 ．(把你认为正确的说法的序号都填上)三．解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知p ：－x 2＋6x ＋16≥0，q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0(m >0)．(1)若p 为真命题，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18. (本题满分12分)已知A(cosα，sin α)，B(cosβ，sin β)，其中α，β为锐角，且|AB|＝105. (1)求cos(α－β)的值； (2)若cosα＝35，求cosβ的值．19．(本题满分12分)已知函数())32(log 24++=x ax x f(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝)6(sin sin 22π--x x ，x ∈R.(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值．21．(本题满分12分)已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx ﹣1为偶函数，且f （﹣1）＝0． （1）求函数f （x）的解析式；（2）若对∀x ∈（0，1），不等式f （x ﹣2）≥（2+k ）x 恒成立，求实数k 的取值范围．22．(本题满分12分)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.(1)讨论f (x )的单调性；(2)当0<a <2时，记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围．甘谷四中2020—2021学年第一学期高三第二次检测数学参考答案（文）一．选择题1．B 2．C 3．A ． 4． D 5A 6.D ．7 D 8．A 9．C ． 10．A ．11．C ．12．B二．填空题（本题共4小题，共20分）13．73- 14．⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+=0,4101,1)(2x x x x x x f15．a ≤1． 16．①②③三．解答题17．(本题满分10分)[解析] (1)由－x 2＋6x ＋16≥0，解得－2≤x ≤8， 所以当p 为真命题时，实数x 的取值范围为－2≤x ≤8.(2)若q 为真，可由x 2－4x ＋4－m 2≤0(m >0)，解得2－m ≤x ≤2＋m (m >0)， 若p 是q 成立的充分不必要条件，则[－2,8]是[2－m,2＋m ]的真子集， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，2－m ≤－22＋m ≥8，(两等号不同时成立)，得m ≥6.所以实数m 的取值范围是m ≥6. 18．(本题满分12分) [解析](1)由|AB |＝105， 得(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝105， ∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝25，∴cos(α－β)＝45.(2)∵cos α＝35，cos(α－β)＝45，α，β为锐角， ∴sin α＝45，sin(α－β)＝±35.当sin(α－β)＝35时，cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝2425.当sin(α－β)＝－35时，cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝0.∵β为锐角，∴cos β＝2425.19．(本题满分12分)[解析](1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3，函数f (x )的定义域为(－1,3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3， 则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎨⎧a ＞0，3a －1a ＝1，解得a ＝12. 故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.20．(本题满分12分)[解析](1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos2x ＋32sin 2x －12cos2x ＝34sin 2x －14cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 21．(本题满分12分)[解析]解：（1）∵二次函数f （x ）＝ax 2+bx ﹣1为偶函数， ∴f （﹣x ）＝f （x ），即ax 2﹣bx ﹣1＝ax 2+bx ﹣1，解得b ＝0； 又f （﹣1）＝a ﹣1＝0，∴a ＝1，∴f （x ）＝x 2﹣1．（2）∵对∀x ∈（0，1），不等式f （x ﹣2）≥（2+k ）x 恒成立，∴（x ﹣2）2﹣1≥（2+k ）x 在x ∈（0，1）时恒成立，∴k ≤x +﹣6恒成立，x ∈（0，1）． ∵y ＝x +﹣6在（0，1）上单调递减，∴x →1时，y ＝x +﹣6→﹣2，∴k ≤﹣2． 22．(本题满分12分)[解析] (1)解：f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a3.若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a3时，f ′(x )<0， 故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a3单调递减； 若a ＝0，f (x )在(－∞，＋∞)单调递增；若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫a3，0时，f ′(x )<0， 故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝⎛⎭⎫a3，0单调递减． (2)解：当0<a <3时，由(1)知，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a 3单调递减，在⎝⎛⎭⎫a3，1单调递增，所以f (x )在[0,1]的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a327＋2，最大值为f (0)＝2或f (1)＝4－a . ∵f (1)>f (0) 所以m ＝－a 327＋2，M ＝a -4 所以M －m ＝2723a a +-∵0<a <2，可知2－a ＋a 327单调递减， 所以M －m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫827，2.。