高一数学_等比数列综合练习_精心整理_含答案版本

考点1等比数列的通项与前n 项和 题型1已知等比数列的某些项，求某项【例1】已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a【解题思路】可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质【解析】方法1： 811622451612=⇒⎩⎨⎧====q q a a q a a ∴1312281162469110=⨯===q a q a a方法2： 812162264===a a q，∴13122811624610=⨯==q a a 方法3：{}n a 为等比数列∴13122216222261026102===⇒=⋅a a a a a a【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.题型2 已知前n 项和n S 及其某项，求项数.【例2】⑴已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，93=nS ，48=n a ，公比2=q ，则项数=n .⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. 【解题思路】⑴利用等比数列的通项公式11-=n nqa a 及qq a S n n --=1)1(1求出1a 及q ，代入n S 可求项数n ；⑵利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数.【解析】⑴由93=n S ，48=n a ，公比2=q ，得532248293)12(111=⇒=⇒⎩⎨⎧=⋅=--n a a nn n . ⑵方法1：设这四个数分别为d c b a ,,,，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=363722c b b a bd c c a b ；方法2：设前2个数分别为b a ,，则第43、个数分别为a b --3736，，则 ⎩⎨⎧-=-+-=)37()36()36(22a b b a b b ，解得⎩⎨⎧==1612b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==481499b a ； 方法3：设第32、个数分别为c b ，，则第1个数为c b -2，第1个数为bc 2，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-20163622c b c b b c c b 或⎪⎩⎪⎨⎧==463481c b ； 方法4：设第32、个数分别为c b ，，设第4,1个数分别为ca c c a ++22,2；方法5：设第43、个数分别为d c ,，则设第2,1个数分别为c d --36,37，则⎩⎨⎧===⇒⎩⎨⎧-=+-=-251620)36()37()36(22d c c d c c d c 或.449,463==d c 【名师指引】平时解题时，应注意多方位、多角度思考问题，加强一题多解的练习，这对提高我们的解题能力大有裨益.题型3 求等比数列前n 项和【例3】等比数列 ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和. 【解题思路】可以先求出10S ，再求出4S ，利用410S S -求解；也可以先求出5a 及10a ，由10765,,,,a a a a 成等比数列求解.【解析】由2,121==a a ，得2=q ，∴102321)21(11010=--=S ，1521)21(144=--=S ，∴.1008410=-S S 【例4】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，13233331-+++++=n na ，求n S【解题思路】可以先求出n a ，再根据n a 的形式特点求解.【解析】 212331)31(133331132-=--=+++++=-n n n na ，∴n n S n nn 2131)31(32121)3333(2132---⨯=-++++= 即.432143--=n S n n 【例5】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，n n n a 3)12(⋅-=，求n S .【解题思路】分析数列通项形式特点，结合等比数列前n 项和公式的推导，采用错位相减法求和. 【解析】 n nn a 3)12(⋅-=∴n n n S 3)12(35333132⋅-++⋅+⋅+⋅= ，----------------①14323)12(3)32(3533313+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n nn n S -------------②①—②，得14323)12()3333(232+⋅--+++++=-n n n n S63)22(3)12(31)31(923111-⋅-=⋅----⨯+=++-n n n n n∴.33)1(1+⋅-=+n n n S【名师指引】根据数列通项的形式特点，等比数列求和的常用方法有：公式法、性质法、分解重组法、错位相减法，即数列求和从“通项”入手.【新题导练】 1.已知{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，求131211a a a ++的值.【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，6,3876321=++=++a a a a a a ，∴23216545=++++=a a a a a a q ，∴131211a a a ++；2.如果将100,50,20依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 .【解析】设这个常数为x ，则x x x +++100,50,20成等比数列，∴)100)(20()50(2x x x ++=+，解得45=x ，∴17418520545204550==++=q . 3.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，364,243,362===n S a a ，则=n ；【解析】3,12433151612==⎩⎨⎧⇒====q a q a a q a a 或3,11-=-=q a ， 当3,11==q a 时，636431)31(1=⇒=--=n S n n ； 当3,11-=-=q a 时，[]n S nn ⇒=+---=36431)3(11无整数解. 4.已知等比数列{}n a 中，21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 .【解析】∵等比数列()n a 中21a = ∴312321111S a a a a q q q q⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当公比0q>时，31113S q q =++≥+=； 当公比0q<时，31111S q q ⎛⎫=---≤-=- ⎪⎝⎭， ∴(][)3,13,S ∈-∞-+∞5.已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，0>n a ，80=nS ，65602=n S ，前n 项中的数值最大的项为54，求100S .【解析】由0>na ，80=n S ，65602=n S ，知1≠q ，∴.65601)1(,801)1(2121=--==--=qq a S q q a S n n n n∴81821122=⇒=--=n n nn n q q q S S ，∴1>q ,又 前n 项中的数值最大的项为: 5411==-n n q a a ，∴321=q a ，∴.133,21001001-=⇒==S q a 考点2 证明数列是等比数列【例6】已知数列{}n a 和{}n b 满足：λ=1a ，4321-+=+n a a n n ，)213()1(+--=n a b n n n ，其中λ为实数，+∈N n . ⑴ 对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列；⑵ 试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.【解题思路】⑴证明数列{}n a 不是等比数列，只需举一个反例；⑵证明数列{}n b 是等比数列，常用：①定义法；②中项法.【解析】⑴ 证明：假设存在一个实数λ，使{}n a 是等比数列，则有3122a a a ⋅=，即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以{}n a 不是等比数列.⑵ 解：因为[]21)1(3)1()213()1(11++--=+--=++n a n a b n n n n n[])14232()1(183)1(111+--=+--=+++n a n a n n n nn n n b n a 32)213()1(321-=+--=+又)18(11+-=λb ，所以当)(0,18+∈=-=N n b n λ，此时{}n b 不是等比数列； 当)8(,181+-=-≠λλb 时，由上可知)(32,01++∈-=∴≠N n b b b n n n ，此时{}n b 是等比数列.【名师指引】等比数列的判定方法： ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.【新题导练】6.已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．证明：数列1{1}n a -是等比数列；【解析】 121n n n a a a +=+，∴ 111111222n n n na a a a ++==+⋅，∴11111(1)2n n a a +-=-，又123a =，∴11112a -=， ∴数列1{1}n a -是以12为首项，12为公比的等比数列.考点3 等比数列的性质【例7】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=nS ，602=n S ，则=n S 3 .【解题思路】结合题意考虑利用等比数列前n 项和的性质求解. 【解析】{}n a 是等比数列，∴n n n n n S S S S S 232,,--为等比数列，∴318236)60(5433=⇒=-n n S S .【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.【新题导练】 7.已知等比数列{}n a 中，36)2(,04624=++>a a a a a n ，则=+53a a .【解析】{}n a 是等比数列，0>n a∴⇒=+⇒=++36)(36)2(2534624a a a a a a 653=+a a .考点4 等比数列与其它知识的综合【例8】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()21n n n ba b S -=-⑴证明：当2b =时，{}12n na n --⋅是等比数列；⑵求{}n a 的通项公式【解题思路】由递推公式{}0,,=n a S n n 求数列的通项公式)(n f a n=，主要利用：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn ，同时注意分类讨论思想.【解析】由题意知12a =，且 ()21n n n ba b S -=-，()11121n n n ba b S +++-=-两式相减，得()()1121n n n n ba ab a ++--=-，即 12n n n a ba +=+ ①⑴当2b =时，由①知 122n n n a a +=+于是 ()()1122212n n n n n a n a n +-+⋅=+-+⋅()122n n a n -=-⋅又111210n a --⋅=≠，所以{}12n n a n --⋅是首项为1，公比为2=q 的等比数列。