函数的单调性第一课时
函数解析式时，会确定函数在其定义域内的单调区间．③会利用单调性作图.
Ⅱ．知识拓宽应用函Fra bibliotek的单调性可以求解不等式，求函数的最值等．
Ⅲ．障碍分析
1．若函数f(ｘ)在区间D1、D2上分别为增函数,f(x)一定是D１∪D2上的增函数吗?
单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.若
f(2）＝ ，试求不等式f（x）f(3x２-１）< 的解集.
参考答案：
解：函数f(x）在（-∞，＋∞）上是减函数且满足ｆ（x+y)＝f(x）f(ｙ）
∴f(2)＝ｆ（1＋1)＝f(１)·(1)= ＜ｆ(1)
∴f（1）＝
由f(ｘ)·ｆ（3x2-1）< 得ｆ（x＋3x2-1）＜
而 = × ＝f（１)ｆ（2）=f（3)
∴ｆ（ｘ＋3x2-1）＜ｆ(3)，x＋３x2－１>3
解得x＜－ 或x＞1
故所求不等式的解为{x|x＜－ 或x>1＝
【同步达纲练习】
一、选择题
1．在区间(－∞,０)上为增函数的是
Ａ.ｙ=－(x＋１）２B.y=１＋ｘ2C.ｙ= Ｄ．y=
2.若函数f（x)＝x2＋２（a-１）x+2在区间(－∞,4)上是减函数，那么实数ａ的
不能用特殊值替代．
3.函数的单调性可解决什么样的问题？
已知函数在某区间内的单调性,可以比较两个函数值的大小，也可用来求函数在某区
间内的值域或最大（小)值,这时常结合函数的图象，运用数形结合的思想方法．
［例1］判断函数f（x）=ｘ+ 在区间(０,＋∞）上的单调性，并求出函数的值域.
解：任取ｘ１,x2∈(０,＋∞）,且x1＜ｘ２,
f（ｘ）在区间D1、D2上分别为增函数，但ｆ（x)不一定在区间D1∪Ｄ2上是增函数．例
如y＝- 在(-∞，0）上是增函数，在(0，＋∞）上也是增函数,但在(－∞,0)
∪(0,＋∞)上不是增函数,f（１）＜ｆ（－1）便是一例.
2.函数的单调性定义中的x1,x２能否用特殊值来代替?
单调性是函数在某一区间上的“整体性质”，因此，定义中的x１,ｘ2具有任意性,
(１)ｙ＝－x3+1（x∈R)．
(2)y= －ａx（a∈［1,＋∞），x∈［0，+∞)).
（1）解法一：在（－∞，＋∞）上任取ｘ１、x2,使x1<x2，则f（x1）-f（x2）＝(-x13+1)-（-ｘ２3+1）＝x2３－ｘ13=（x2－x1)(x22＋x1x2＋x12）
∵x1<x2,∴x2-x1>0
些定义的本质特点．
【学习障碍】
1.由于对单调性定义的理解不透，误认为它是一个整体性质,实质上是区间内的性质．
２.利用定义论证单调性时,推理过程不严密不规范.
３．函数单调性的应用意识不强.
【学习策略】
Ⅰ.学习导引
1.预习课本第P5８~59页
2.本课时重点是单调性的概念,难点是判断函数的单调性．
３.对于函数的单调性，要求①会用作差（商）法证明一些简单函数的单调性．②给出
∴f(x1）－f（x2）>0,即f(x1)>ｆ（x2)
∴y＝f(x)=-x３+1在Ｒ上是减函数.
（２）解:任取ｘ1,x2∈[0,+∞），且x1<x2,
f（x１)-ｆ(ｘ２）＝（ －ax1)-（ -aｘ２）
=（ )-a（x1-ｘ2）
＝ -a(x1-x2）
=(ｘ1-x2)（ －a)
∵x１，x２∈［0,+∞]，且x1＜
解:(１)f(ｘ）＝-(ｘ－ )2+
∵f(x）=－（x－ ）2＋ 的图象是开口向下的抛物线,对称轴为ｘ＝
∴f(x）在(-∞， )上是增函数，在[ ,＋∞］上是减函数.
（２）f(x）=
∴由ｆ(ｘ)的图象可知,f(x）在(－∞，0］上是减函数,在[0，＋∞)上是增函数．
Ⅲ．思维拓展
［例3]判定并证明下列函数在指定区间内的单调性
易知y=x+ (x>0）时恒有y>0
且当ｘ=１时，ymiｎ＝２．
从而值域为［2，＋∞)
点评：函数y=x+ （a≠0）是一类经常用到的函数，
当a≠0时，它有两个减区间[- ，0]，（0, ）．同时有两个增区间
[ ,＋∞）,(-∞,－ ].
［例2］判断下列函数的单调性
(1）f（x)=－x2+3x-2;(2)f（x)＝３|x｜.
∴ｘ1＋x2<
从而 <1，又ａ∈[1,+∞］
∴ －a<0
∴f（x1)－f（x2）=（x1-x2）（ －a)＞0
即f(x1）＞f（x２)
∴y＝f（x)= -ax(a∈［１,＋∞)）在区间[0,+∞）上是单调减函数.
点评:证明函数单调性的一般步骤为:①取点②作差③变形④定号.
Ⅴ.探究学习
已知函数f(x）在（-∞,＋∞）上是减函数,且满足ｆ（x+y）=ｆ（x)·f（y),
若ｘ1·ｘ２>0，则ｘ2２＋x1x2+x１2>0，
若x1·x2＝０，由x1≠ｘ2，则x１2＋x2２＞0
也有x22+x１x2＋ｘ1２＞0
若x1·x2＜0,x22＋ｘ1x２＋x12＝（ｘ１＋x2）2-x1x2＞0
∴对于任意的x1＜x2都有x２2＋ｘ１x２＋ｘ12＞０
∴f(x1）-f（ｘ2）=（x2-x1）(x22＋x1x２+x１２）>0即f(x1)＞ｆ(x2）
∴ｙ=f(x)＝-x3＋1在R上是减函数．
解法二：在(-∞,＋∞）上任取x１、ｘ2，使ｘ1＜x2则ｆ（x1)－f(ｘ2)＝x23-x1３=(x2-ｘ1)（x22＋x１x2＋x1２)＝（x2－x1)［(x２+ ）2＋ x12］
∵x1＜x2，∴x2－ｘ１>０,且x1，x2不同时为零,
∴(x２+ )2与 x12不同时为零，即(x2+ )2＋ x1２＞0
f（x1）-f（x2)＝（x１＋ ）-（x2+ )=
∵0<ｘ1<ｘ2,∴ｘ１-ｘ2<０,ｘ1ｘ2＞0．
且当1≤ｘ1＜ｘ2时,x1ｘ2－1>０,
当０＜x1<x2≤1时
x1x2＜1，x1ｘ２-1<0
∴当x１，ｘ２∈［１,＋∞］时，f(x1)-f(x2)<０,即f(ｘ１）＜ｆ（x2）
∴函数y=x+ 在区间(0，1)上是减函数,在区间[1,+∞]上是增函数．
.函数的单调性(第一课时)
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期:
函数的单调性(第一课时）
【学习目标】
1．了解函数单调性的概念,掌握判断一些简单函数单调性的方法．
２.能用文字语言和数学符号正确表达增函数、减函数、单调性等概念,能准确理解这
Ⅱ．知识拓宽应用函Fra bibliotek的单调性可以求解不等式，求函数的最值等．
Ⅲ．障碍分析
1．若函数f(ｘ)在区间D1、D2上分别为增函数,f(x)一定是D１∪D2上的增函数吗?
单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.若
f(2）＝ ，试求不等式f（x）f(3x２-１）< 的解集.
参考答案：
解：函数f(x）在（-∞，＋∞）上是减函数且满足ｆ（x+y)＝f(x）f(ｙ）
∴f(2)＝ｆ（1＋1)＝f(１)·(1)= ＜ｆ(1)
∴f（1）＝
由f(ｘ)·ｆ（3x2-1）< 得ｆ（x＋3x2-1）＜
而 = × ＝f（１)ｆ（2）=f（3)
∴ｆ（ｘ＋3x2-1）＜ｆ(3)，x＋３x2－１>3
解得x＜－ 或x＞1
故所求不等式的解为{x|x＜－ 或x>1＝
【同步达纲练习】
一、选择题
1．在区间(－∞,０)上为增函数的是
Ａ.ｙ=－(x＋１）２B.y=１＋ｘ2C.ｙ= Ｄ．y=
2.若函数f（x)＝x2＋２（a-１）x+2在区间(－∞,4)上是减函数，那么实数ａ的
不能用特殊值替代．
3.函数的单调性可解决什么样的问题？
已知函数在某区间内的单调性,可以比较两个函数值的大小，也可用来求函数在某区
间内的值域或最大（小)值,这时常结合函数的图象，运用数形结合的思想方法．
［例1］判断函数f（x）=ｘ+ 在区间(０,＋∞）上的单调性，并求出函数的值域.
解：任取ｘ１,x2∈(０,＋∞）,且x1＜ｘ２,
f（ｘ）在区间D1、D2上分别为增函数，但ｆ（x)不一定在区间D1∪Ｄ2上是增函数．例
如y＝- 在(-∞，0）上是增函数，在(0，＋∞）上也是增函数,但在(－∞,0)
∪(0,＋∞)上不是增函数,f（１）＜ｆ（－1）便是一例.
2.函数的单调性定义中的x1,x２能否用特殊值来代替?
单调性是函数在某一区间上的“整体性质”，因此，定义中的x１,ｘ2具有任意性,
(１)ｙ＝－x3+1（x∈R)．
(2)y= －ａx（a∈［1,＋∞），x∈［0，+∞)).
（1）解法一：在（－∞，＋∞）上任取ｘ１、x2,使x1<x2，则f（x1）-f（x2）＝(-x13+1)-（-ｘ２3+1）＝x2３－ｘ13=（x2－x1)(x22＋x1x2＋x12）
∵x1<x2,∴x2-x1>0
些定义的本质特点．
【学习障碍】
1.由于对单调性定义的理解不透，误认为它是一个整体性质,实质上是区间内的性质．
２.利用定义论证单调性时,推理过程不严密不规范.
３．函数单调性的应用意识不强.
【学习策略】
Ⅰ.学习导引
1.预习课本第P5８~59页
2.本课时重点是单调性的概念,难点是判断函数的单调性．
３.对于函数的单调性，要求①会用作差（商）法证明一些简单函数的单调性．②给出
∴f(x1）－f（x2）>0,即f(x1)>ｆ（x2)
∴y＝f(x)=-x３+1在Ｒ上是减函数.
（２）解:任取ｘ1,x2∈[0,+∞），且x1<x2,
f（x１)-ｆ(ｘ２）＝（ －ax1)-（ -aｘ２）
=（ )-a（x1-ｘ2）
＝ -a(x1-x2）
=(ｘ1-x2)（ －a)
∵x１，x２∈［0,+∞]，且x1＜
解:(１)f(ｘ）＝-(ｘ－ )2+
∵f(x）=－（x－ ）2＋ 的图象是开口向下的抛物线,对称轴为ｘ＝
∴f(x）在(-∞， )上是增函数，在[ ,＋∞］上是减函数.
（２）f(x）=
∴由ｆ(ｘ)的图象可知,f(x）在(－∞，0］上是减函数,在[0，＋∞)上是增函数．
Ⅲ．思维拓展
［例3]判定并证明下列函数在指定区间内的单调性
易知y=x+ (x>0）时恒有y>0
且当ｘ=１时，ymiｎ＝２．
从而值域为［2，＋∞)
点评：函数y=x+ （a≠0）是一类经常用到的函数，
当a≠0时，它有两个减区间[- ，0]，（0, ）．同时有两个增区间
[ ,＋∞）,(-∞,－ ].
［例2］判断下列函数的单调性
(1）f（x)=－x2+3x-2;(2)f（x)＝３|x｜.
∴ｘ1＋x2<
从而 <1，又ａ∈[1,+∞］
∴ －a<0
∴f（x1)－f（x2）=（x1-x2）（ －a)＞0
即f(x1）＞f（x２)
∴y＝f（x)= -ax(a∈［１,＋∞)）在区间[0,+∞）上是单调减函数.
点评:证明函数单调性的一般步骤为:①取点②作差③变形④定号.
Ⅴ.探究学习
已知函数f(x）在（-∞,＋∞）上是减函数,且满足ｆ（x+y）=ｆ（x)·f（y),
若ｘ1·ｘ２>0，则ｘ2２＋x1x2+x１2>0，
若x1·x2＝０，由x1≠ｘ2，则x１2＋x2２＞0
也有x22+x１x2＋ｘ1２＞0
若x1·x2＜0,x22＋ｘ1x２＋x12＝（ｘ１＋x2）2-x1x2＞0
∴对于任意的x1＜x2都有x２2＋ｘ１x２＋ｘ12＞０
∴f(x1）-f（ｘ2）=（x2-x1）(x22＋x1x２+x１２）>0即f(x1)＞ｆ(x2）
∴ｙ=f(x)＝-x3＋1在R上是减函数．
解法二：在(-∞,＋∞）上任取x１、ｘ2，使ｘ1＜x2则ｆ（x1)－f(ｘ2)＝x23-x1３=(x2-ｘ1)（x22＋x１x2＋x1２)＝（x2－x1)［(x２+ ）2＋ x12］
∵x1＜x2，∴x2－ｘ１>０,且x1，x2不同时为零,
∴(x２+ )2与 x12不同时为零，即(x2+ )2＋ x1２＞0
f（x1）-f（x2)＝（x１＋ ）-（x2+ )=
∵0<ｘ1<ｘ2,∴ｘ１-ｘ2<０,ｘ1ｘ2＞0．
且当1≤ｘ1＜ｘ2时,x1ｘ2－1>０,
当０＜x1<x2≤1时
x1x2＜1，x1ｘ２-1<0
∴当x１，ｘ２∈［１,＋∞］时，f(x1)-f(x2)<０,即f(ｘ１）＜ｆ（x2）
∴函数y=x+ 在区间(0，1)上是减函数,在区间[1,+∞]上是增函数．
.函数的单调性(第一课时)
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期:
函数的单调性(第一课时）
【学习目标】
1．了解函数单调性的概念,掌握判断一些简单函数单调性的方法．
２.能用文字语言和数学符号正确表达增函数、减函数、单调性等概念,能准确理解这
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1 第1课时 函数的单调性(共44张PPT)
提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体 概念.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.
(×)
(2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单调递减区间是
[1，3].
(×)
(3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3).
解：由题意，确定函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的单调递增区间，即寻找图象呈上 升趋势的一段图象. 由题图(1)可知，在[1，4)和[4，6)内，y＝f(x)是单调递增的. 由题图(2)可知，在(－4.5，0)和(4.5，7.5)内，y＝g(x)是单调递增的.
()
3.设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调递增区间，且 x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，
则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为
()
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)＝f(x2)
D.不能确定
解析：选 D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区 间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中 的 x1，x2 不在同一单调区间内，故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定.
4.若函数 f(x)在 R 上是单调递减的，且 f(x－2)<f(3)，则 x 的取值范围是 ______________. 解析：函数的定义域为 R.由条件可知，x－2>3，解得 x>5. 答案：(5，＋∞)
5.如图分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，试写出函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的 单调递增区间.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.
(×)
(2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单调递减区间是
[1，3].
(×)
(3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3).
解：由题意，确定函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的单调递增区间，即寻找图象呈上 升趋势的一段图象. 由题图(1)可知，在[1，4)和[4，6)内，y＝f(x)是单调递增的. 由题图(2)可知，在(－4.5，0)和(4.5，7.5)内，y＝g(x)是单调递增的.
()
3.设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调递增区间，且 x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，
则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为
()
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)＝f(x2)
D.不能确定
解析：选 D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区 间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中 的 x1，x2 不在同一单调区间内，故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定.
4.若函数 f(x)在 R 上是单调递减的，且 f(x－2)<f(3)，则 x 的取值范围是 ______________. 解析：函数的定义域为 R.由条件可知，x－2>3，解得 x>5. 答案：(5，＋∞)
5.如图分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，试写出函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的 单调递增区间.
高中数学课件-函数的单调性(示范课课件)
思考4：如何用数学符号语言定义函 数的单调性？
y
图象在区间D逐渐上升
区间D内随着x的增大，y也增大
22
1
0 12
x
方案A：在区间（0,＋∞ )上取自变量1，2,∵1<2, f(1)<f(2) ∴f(x)在 (0,+∞ )上, 图象逐渐 上升
方案B：
函数f (x)在区间(a,b)上有无数个自变量x， 使得当a x1 x2 b时，有f (a) f (x1) f (x2) f (b), 由此能否说明该函数f (x)在(a,b)上的图象一直保持上升趋势？ 请你说明理由（举例或者画图）
说明:1.区间端点处若有定义写开写闭均可.无定义只能写开区间；
2.图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况
练习1 根据下图说出函数的单调区间，以及在每 一单调区间上，函数是增函数还是减函数.
y 4 3
2
1
-1 O
2 4 5x
解:函数y=f(x)的单调区间有[－1,0）,[0,2) ，[2，4), [4，5]
（1） 函数单调性是针对某个区间D而言的，显然D是定义域 I的一部分，因此单调性是函数局部性质;
x1、x2的三大特征： （2）（（11））任x1、意x性2同属于一个单调区间
（2）x1、x2不相等，通常取 x1＜x2
（3）不是所有的函数都有单调性;
例1. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)的
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 ) ， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 ) ，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调
函数的单调性第1课时
新课标 ·数学
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究
必修1
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
1．3 1．3.1
函数的基本性质 单调性与最大(小)值 函数的单调性
第பைடு நூலகம்1 课时
1 .理解单调函数的定义，理解增函数、减 课 函数的定义．(重点) 标 2 .掌握定义法判断函数单调性的步骤． (重 解 点) 读 3 .掌握求函数单调区间的方法(定义法、 图 象法)．(难点)
菜 单
2
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
新课标 ·数学
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单
必修1
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
如图 1－3－1 是定义在区间[－4，7]上的函数 y＝f(x)的
[－1.5，3)，[5，6) 图象， 则函数 f(x)的单调增区间是______________________ ，
2 2 f(fx (1 x)1＝ )＝ x2 x， f(fx (2 x)2＝ )＝ x2 x， 当 当 x1 x< x2 x2 时 时 ， ， 有 有 f(fx (1 x)< f(fx (2 x)2． )． 1 1， 2 2， 1< 1)<
菜 单
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教 学 教 法 分 析
f(x)在区间 D 上是减函数
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菜
单
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1．3 1．3.1
函数的基本性质 单调性与最大(小)值 函数的单调性
第பைடு நூலகம்1 课时
1 .理解单调函数的定义，理解增函数、减 课 函数的定义．(重点) 标 2 .掌握定义法判断函数单调性的步骤． (重 解 点) 读 3 .掌握求函数单调区间的方法(定义法、 图 象法)．(难点)
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易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
如图 1－3－1 是定义在区间[－4，7]上的函数 y＝f(x)的
[－1.5，3)，[5，6) 图象， 则函数 f(x)的单调增区间是______________________ ，
2 2 f(fx (1 x)1＝ )＝ x2 x， f(fx (2 x)2＝ )＝ x2 x， 当 当 x1 x< x2 x2 时 时 ， ， 有 有 f(fx (1 x)< f(fx (2 x)2． )． 1 1， 2 2， 1< 1)<
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f(x)在区间 D 上是减函数
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菜
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函数的单调性第一课时
y 1-
0
2
1 -
-
3 2
2
x
（1）根据函数说出函数的单调区间以及 函数在各单调区间内的单调性；
（2）写出函数的定义域和值域
2.研究一次函数y=kx+b的图像，指出 当k取何值时函数是减函数。
3.2.1 函数的单调性
课堂小结：
一、函数单调性的定义 二、判断函数单调性的两种方法：
（1）图像法 （2）定义法：4个步骤
下列有两个生活案例，用图像法简单来表示其中 的含义
（1）上午吃过上学， 每个同学都有感触，早 读课还感觉很饱，随着 时间的变化，大家的饥 饿感越来越强烈，尤其 是到了第四节课。
（2）现在每个同学都 会用手机，当手机充满 电后使用，随着时间的 变化，电池的电量逐渐 的消耗用完。
饥饿感h O
上升 趋势
观察函数图像
.
解:由图像可以看出，函数的增区间为（0,40），减区间为（40，60).
练习：下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图 象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调 区间上， y=f(x)是增函数还是减函数。
正确答案： 增区间为：[-2，1]，[3，5] 减区间为：[-5，-2]，[1，3]
单调区间的说明：
如果函数f(x)在区间(a,b)内是增函数（或减 函数），那么称函数f(x)在区间(a,b)内具有 单调性。区间(a,b)叫做函数f(x)的单调区间。
注意一点：函数f(x)的单调区间不仅是开区 间，也可以是闭区间、半开半闭区间。
3.2.1 函数的单调性 动脑思考 探索新知
函数单调性的判定方法
其图像为一条直线
列表：
1
x01 y -2 2
函数的单调性
思考 在下表
y f(x)=x2
4
中对任(－取一∞些, 0自)上
变量任的意值x，1, x比2
较 函它 数当们 值x1对的<x应大2时的小,
f ( x1) 3 f ( x2 )
2
对(0, +∞)上
任意 x1, x2
当x1<x2时,
都，有你f能(x1发) >现f什(x2),
么结论？
f ( x2 )1 f ( x1)
步骤：
【变式】证明y 1 在（0， ）上是减函数。 x
◆ 3.变形（通常是因式分解和配方）;
情景引入
概念生成
【知识】
概念辨析
例题巩固
归纳小结
【方法】
1.函数单调性的定义 2.证明函数单调性的步骤
主要步骤:
1、图像法判断函数单调性 2、定义法证明函数单调性
a. 任取x1，x2∈I，且x1<x2；
解：
局部性
??? 不可以 函数 f (x) 1 在（-，0）（0，）上为减函数 x
（或者用逗号连接）
总结：（1）单调性是一个局部概念，局部单调，整体未必单调。 （2）同类区间用逗号隔开，不写并集。
情景引入
概念生成
概念辨析
例题巩固
你认为下列说法是否正确，请说明理由.
辨析1：若定义在区间[1,2]上 的函数f (x)满足 f(2) > f (1),则 函数 f (x)在该区间上是增函数.
辨析1：若定义在区间[1,2]上 的函数f (x)满足 f(2) > f (1),则 函数 f (x)在该区间上是增函数.
辨析2：若函数在区间(1,3)和 区间[3,5]上都是增函数，则 在区间(1,5] 上也是增函数.
5.3.1函数的单调性(第一课时)课件(人教版)
利用导数判断含参函数的单调性
例
2：函数
f
(
x
)
1 ＝ ax
2－(
a＋1)
x
＋lnx
，a>0，试讨论函数
f(
x
)
的单调性．
2
解：函数的定义域为(0，＋∞),
1 ax2－(a＋1)x＋1 (ax－1)(x－1)
f′(x)＝ax－(a＋1)＋ ＝
＝
，
x
x
x
1
1
1
1，
①当 0<a<1 时， >1，∴x∈(0,1)和( ，＋∞)时，f′(x)>0；x∈ a 时，f′(x)<0，
a
a
1
1
0，
，1
∴函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减，
利用导数判断含参函数的单调性
综上所述，
1
1
，＋∞
1，
当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0,1)和 a
上单调递增，在 a 上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
1
1
0，
，1
当 a>1 时，函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减．
RART 02
函数的单调性与导数
函数的单调性
思考：视察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
y y＝x
O
x
(1)
y
y＝x2
O
x
(2)
y
y＝x3
O
x
y y＝x-1
O
x
(3)
【课件】函数单调性第一课时课件
置上，虽然使得f(x1)<(fx2)，但显然此图
象表示的函数不是一个单调函数.
x0
例1:下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象， 根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区 间上， y=f（x）是增函数还是减函数?
解： y＝f（x）的单调区间有 [－5，－2），[－2，1）
[1，3），[3，5]. 其中y＝f（x）在[－5，－2）， [1，3）上 是减函数，在[－2，1）， [3，5）上是增函数.
<x 1
x 2
2.作差变形 （一般地） 即作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解
、配方法、有理化等方法化为积商形式，向有利于判断
差的符号的方向变形，直到可以判断符号为止。
3.判定正负 确定f(x1)-f(x2)的正负
4.判断 根据定义作出结论
即“取值-作差-定号-判断”
例3：证明函数f(x)= x3在R上是增函数.
三、练习
(1)判断函数f (x) 1 在(,0)上是增函数还是减函
x
数 ? 并证明你的结论.
减函数
证明:设x1, x2是(,0)上任意的两个实数,且x1 x2
则：f (x1) f (x2 由x1, x2 (,0),
11
)
得x1xx12
x2 0
x2 x1 x1x2
又由x x ,得x x 0
g(x)在区间[ ,
),[
,
2 22 ]上是减函数，
2
22
在区间[ , ]上是增函数。
22
例2：证明函数f (x) 1 在(0,)上是减函数 x
证明:
设x 1
,
x 是(0, 2
)上任意的两个实数,
象表示的函数不是一个单调函数.
x0
例1:下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象， 根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区 间上， y=f（x）是增函数还是减函数?
解： y＝f（x）的单调区间有 [－5，－2），[－2，1）
[1，3），[3，5]. 其中y＝f（x）在[－5，－2）， [1，3）上 是减函数，在[－2，1）， [3，5）上是增函数.
<x 1
x 2
2.作差变形 （一般地） 即作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解
、配方法、有理化等方法化为积商形式，向有利于判断
差的符号的方向变形，直到可以判断符号为止。
3.判定正负 确定f(x1)-f(x2)的正负
4.判断 根据定义作出结论
即“取值-作差-定号-判断”
例3：证明函数f(x)= x3在R上是增函数.
三、练习
(1)判断函数f (x) 1 在(,0)上是增函数还是减函
x
数 ? 并证明你的结论.
减函数
证明:设x1, x2是(,0)上任意的两个实数,且x1 x2
则：f (x1) f (x2 由x1, x2 (,0),
11
)
得x1xx12
x2 0
x2 x1 x1x2
又由x x ,得x x 0
g(x)在区间[ ,
),[
,
2 22 ]上是减函数，
2
22
在区间[ , ]上是增函数。
22
例2：证明函数f (x) 1 在(0,)上是减函数 x
证明:
设x 1
,
x 是(0, 2
)上任意的两个实数,
高中数学必修一(人教版)《3.2.1 第一课时 函数的单调性》课件
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]且为增函数，若f(m)＞f(n)，则m，n满足什么
关系？
a≤m≤b， 提示：a≤n≤b，
m＞n
⇔f(m)＞f(n)．
(2)影响二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性的因素有哪些？ 提示：a 的正负及－2ba的大小．
【学透用活】 [典例3] (1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3. ①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________； ②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________． (2) 若 函数 f(x) ＝ x2 ＋ ax ＋ b 在 区间 [1,2] 上不 单 调 ， 则 实 数 a 的取 值 范 围为 ________．
答案：(－∞，1)，(1，＋∞)
2．将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？ 解：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．
由图象可知其单调递增区间为[－1,1]，[3，＋∞)；单调递减区间为 (－∞，－1)，(1,3)．
题型三 函数单调性的应用
[探究发现]
(3)若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2)．
()
(4)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1,3)上也单
调递增．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是 A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 解析：由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C. 答案：C
[方法技巧] 1．图象法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图象． (2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间． 2．常见函数的单调区间 (1)y＝ax＋b，a>0 时，单调递增区间为(－∞，＋∞)；a<0 时，单调递减区 间为(－∞，＋∞)． (2)y＝ax，a>0 时，单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；a<0 时，单调递 增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (3)y＝a(x－m)2＋n，a>0 时，单调递减区间为(－∞，m]，单调递增区间为 (m，＋∞)；a<0 时，单调递增区间为(－∞，m]，单调递减区间为(m，＋∞)．
5.3.1函数的单调性第一课时
函 数 的 单 调 性
学 习 目 标
01
通过具体函数的图象，发现函数的单调性与导数
的正负之间的关系，体会数形结合思想；（直观
想象）
02
能根据函数导数的正负判断函数的单调性，并会
求函数的单调区间，体会算法思想（数学运算）
单调性是函数的重要性质，它不仅反映了函数变化的趋势，还是研究函数极值与
最大(小)值的基础性问题。虽然可以通过函数图象的升降观察函数的单调性，但
当 ∈ 0, 时，ℎ′ > 0，
函数ℎ 的图像是“上升”的，函数ℎ 在 0, 内单调递增
当 ∈ , 时，ℎ′ < 0，
函数ℎ 的图像是“下降”的，函数ℎ 在 , 内单调递减
ℎ()
追问1
我们看到，函数ℎ 的单调性与ℎ′ 的正负有内在联系。
对于高台跳水问题是否有以下结论？
当1 < < 4时，′() > 0；
当 > 4或 < 1时，′() < 0；
当 = 4或 = 1时， ′ = 0；
试画出函数()图象的大致形状。
y
解答
在区间 (1, 4) 内, f (x)>0,
o 1
4
x
y
则在这区间内函数是增函数;
在区间 (-∞, 1)与(4, +∞) 内,f (x)<0,
A
B
D
）
C
D
02
函数 = ()的图像是下列四个图像之一，其导函数 = ′ 图
象如下右图所示，则该函数图象可能是（
B
）
例4、函数 = ()的图象如下右图所示，则 ′ < 0的
解集是（ B ）
学 习 目 标
01
通过具体函数的图象，发现函数的单调性与导数
的正负之间的关系，体会数形结合思想；（直观
想象）
02
能根据函数导数的正负判断函数的单调性，并会
求函数的单调区间，体会算法思想（数学运算）
单调性是函数的重要性质，它不仅反映了函数变化的趋势，还是研究函数极值与
最大(小)值的基础性问题。虽然可以通过函数图象的升降观察函数的单调性，但
当 ∈ 0, 时，ℎ′ > 0，
函数ℎ 的图像是“上升”的，函数ℎ 在 0, 内单调递增
当 ∈ , 时，ℎ′ < 0，
函数ℎ 的图像是“下降”的，函数ℎ 在 , 内单调递减
ℎ()
追问1
我们看到，函数ℎ 的单调性与ℎ′ 的正负有内在联系。
对于高台跳水问题是否有以下结论？
当1 < < 4时，′() > 0；
当 > 4或 < 1时，′() < 0；
当 = 4或 = 1时， ′ = 0；
试画出函数()图象的大致形状。
y
解答
在区间 (1, 4) 内, f (x)>0,
o 1
4
x
y
则在这区间内函数是增函数;
在区间 (-∞, 1)与(4, +∞) 内,f (x)<0,
A
B
D
）
C
D
02
函数 = ()的图像是下列四个图像之一，其导函数 = ′ 图
象如下右图所示，则该函数图象可能是（
B
）
例4、函数 = ()的图象如下右图所示，则 ′ < 0的
解集是（ B ）
教学课件：第一课时-函数的单调性
几何解释
在函数图像上，任意两点$x_1 <
x_2$，如果函数值$f(x_1)
<
f(x_2)$，则该函数图像在区间$I$
上呈上升趋势。
单调减函数
定义
如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减。
几何解释
在函数图像上，任意两点$x_1 < x_2$，如果函数值$f(x_1) > f(x_2)$，则该函 数图像在区间$I$上呈下降趋势。
图像法
通过观察函数的图像来判断函数的单调性。如果图像在某区间内呈上升趋势，则函数在该 区间内单调递增；如果图像在某区间内呈下降趋势，则函数在该区间内单调递减。
03 函数的单调性性质
单调函数的连续性
总结词
单调函数在其定义域内是连续的，即 函数图像在定义域内没有间断点。
详细描述
单调函数在其定义域内的每一点都是 连续的，这意味着函数值在定义域内 不会突然跳跃或中断。单调函数的图 像是一条连续的曲线。
单调函数的可导性
总结词
单调函数在其定义域内是可导的，即函数图像在定义域内没 有拐点。
详细描述
单调函数在其定义域内的每一点都是可导的，这意味着函数 值的变化率是恒定的。单调函数的导数要么恒大于等于零， 要么恒小于等于零。
单调函数的极值
总结词
单调函数在其定义域内没有极值点，即函数在单调区间内没有局部最大值或局部 最小值。
详细描述
由于单调函数的图像是一条连续的上升或下降曲线，因此在单调区间内，函数值 要么单调递增，要么单调递减，没有局部最大值或局部最小值。极值点只出现在 函数的拐点或定义域的边界上。