--三阶幻方
三阶幻方
三阶幻方一般的，三阶幻方就是指把九个不同的数字填入3×3的九个方格中，使每行每列每条对角线上三个数的和都相等，这个相等的和就叫做幻和。
下面我们以1~9这九个数字为例，介绍三种填写三阶幻方的方法。
方法一：口诀法一填首行正中央，依次斜上莫要忘，上出下填右出左，若是重了填下方。
注意：“一填首行正中央”，指的是，这九个数中按照从小到大的顺序，第一个数要填在第一行的正中间一个方格中，“依次斜上莫要忘”，指的是后面一个数字填在前一个数的右上方，在填写的过程中，“上出下填右出左”即如果向上超出幻方，就填在这一列的最下方，如果向右超出幻方，就填在这一行的最左边一个方格中，“若是重了填下方”，若是发现要填的方格已经有数字占住了，那么，就填在前一个数字的正下方，对于数字“7”它正好位于行和列的交叉位置，我们当作重复对待，填在前一个数字“6”的正下方。
方法二：四角定位法九数从小排到大，中间数字中间填，四角填上偶数项，余下四数再补全。
注意：（1）四角上的偶数项，是指这九个数的第二、四、六、八个数，而不是指偶数；（2）四角上的偶数项，可以按“Z”字行排列，也可以按照“N”字行排列；（3）当四个角上的数都填好后，对角线上的三个数的和已经知道了，就可以根据这个和，求出其余的四个数。
方法三：“添耳朵”法九数斜排，上下对易，左右互换。
注意：“九数斜排”的时候，要么都按照从下向上的顺序依次填写，要么都按照从上向下的顺序依次填写，如果打乱顺序，结果可能就错了。
小结：（1）事实上，大部分填写三阶幻方的九个不同的自然数，都是等差数列；（2）三阶幻方不止有一种填写方法，当我们将上面填写好的三阶幻方，经过顺时针或逆时针旋转的时候，就能得到新的填写形式；（3）以上介绍的三种填写三阶幻方的方法，其中后面两种，只适合三阶幻方，而第一种方法，适合三阶、五阶、七阶……等所有奇数阶幻方。
三阶幻方的讲解
三阶幻方的讲解在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，通常这样的图形叫做三阶幻方。
如果是在4×4（四行四列）的方格中进行填数，就要不重不漏地在4×4方格中填上16个连续的自然数，并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个自然数之和均相等，这样填出的图形就叫做四阶幻方。
幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶、四阶，还有五阶，六阶，……，直到任意阶。
一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n×n个连续的自然数（注意，这n×n个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占1格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上的n个自然数的和都相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。
这里我们主要学习三阶幻方。
例1用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
分析与解先求幻和再添数！雪帆提示：先求总和，看看有几个幻和，常把中间数填入中间先用a，b，c，…，i分别填入图1的九个空格内，以代表应填的数，如图2。
（1）审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。
同时我们可以看到图2中e是一个很关键的数，因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a，c，g，i，它们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。
如果e以及四个角上的数被确定之后，其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3=45÷3=15（3）选择解题突破口突破口显然是e，在图2中，因为a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）=15+15＋15＋15=60，也就是：（a＋b+c+d＋e＋f+g＋h＋i）＋3×e=60。
三阶幻方
三阶幻方__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________能够根据三阶幻方的规律补充三阶幻方中的空格幻方起源于中国，传说在大禹治水时有神龟在洛水出现，背上有图，称为洛书．宋代学者朱熹在所著的《周易本义》卷首画出如下的洛书图，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。
三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等．三阶幻方是一种特殊的数阵图。
【例1】将1~9这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方．分析：l+2+…+8+9=45所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是15(= 45÷3)．从l到9中，三个不同的数相加等于15，只可能是9+5+1，9+4+2，8+6+1, 8+5+2，8+4+3，7+6+2，7+5+3, 6+5+4这八个式子．其中只有5出现四次，因此5一定在中心，在式子中出现三次的只有8、6、4、2这四个数，因此这四个数应当在四个角上．从而将三阶幻方完成，如图所示除了上图所示的答案外，如果8、6、4、2在四个角上的位置排得不同，9、7、3、1的位置也相应有所不同，那么还可以得到其他形式的三阶幻方．我们把这些只是形式不同而实质相同的结果看作是一个解，只要写出其中一个作为答案就可以了．【例2】.将1，3，5，7，…，1 7填入3×3的方格中，使它们成为一个三阶幻方．分析：将图9-2 中的1，2，3，…，9分别用l，3，5，…，17代替，得到下图．它就是所求的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的和都是27将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．【例3】如果1、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？分析：总和是1+4+7+…+25=(1+25)×9÷2=117由于三行的和相等，所以每一行的和是117÷3=39．每一列、每一条对角线的和也是39两条对角线、第二列的总和是39×3，它也是第一行加第三行再加中央那个数的3倍，所以中央的那个数是(39×3-39×2)÷3=13一般地，三阶幻方中央的数，等于行（列）和除以3．行（列）和等于中央的数乘以3．【例4】下图是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方性质填出其他的数．分析：由例3，每一行（每一列、每条对角线）的和是中央那个数的3倍，因此，现在每一行的和是15×3=45这样，就可以得出第三行第一个数是45 -6 –28=l1．第三行第三个数是45 -6 -15=24第三行第二个数是45 -11- 24 =10．同样，可得其他的数．最后得出三阶幻方如图所示．【例5】已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．分析: 每一行、每一列、每条对角线的乘积都是3×6×12第一行的第一个数是3×6×12÷12÷1=18，第一列的第二个数是3×6×12÷18÷3 = 4．第二列的第三个数是3×6×12÷1÷6 = 36．第三列的第二个数是3×6×12÷4÷6=9．第三列的第三个数是3×6×12÷18÷6=2于是，得出下图【例6】已知下图是一个三阶幻方，每一行、每一列、每条对角线的和都等于2 037．求画有“？”的格子填的数是多少．分析:根据例3，中央的那个数是2 037÷3 = 679．第一行第二个数是2 037 - 679 –894=464第一行第三个数是？=2 037 - 447 - 464=1126．所以要填的数是l1261.用0到8这几个数构造个三阶幻方．2.将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．3.如果2、6、10、11、15、19、20、21、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？4.下图是一个三阶幻方，请填出其他的数．5.已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．1．用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方.2．用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方3．在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和都等于30．4．在空个格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和都等于30．5．用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和都是60．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________1．下图是一个三阶幻方．求“？”是多少．2．从1~13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等．这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？3．填好第7题的图4．在下图中，每个方格填一个数，使得每行、每列、每条对角线上的4个数都是1、3、5、7．带“☆”号的两个方格中的数的和是多少？5．将八个不同的数填入下图的空格中，使8个数的总和等于36．如果总和为37、38、39，你还能填吗？6．在3×3的正方形中，每个方格填一个自然数，使每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，并且其中有一个数是10．7．完成下图，使每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．。
三阶幻方的方法和其中的数字规律
三阶幻方的方法和其中的数字规律嘿，朋友们！今天咱来聊聊三阶幻方。
三阶幻方啊，就像是一个神秘的数字魔法阵。
你看哈，三阶幻方就是把九个数字填进一个3×3 的方格中，让每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等。
这听起来是不是挺神奇的？先来说说填三阶幻方的方法。
咱可以先把中间的数字确定下来，一般来说，中间这个数字就像是整个幻方的核心呐！那怎么确定呢？可以找这九个数字的中间数呀。
然后呢，再根据其他数字和中间数字的关系慢慢填。
这就好像是搭积木，一块一块地往上放，可有意思啦！再讲讲其中的数字规律。
你想想，九个数字在那方格中，怎么就能那么巧妙地达成那种神奇的平衡呢？这其中的规律可多着呢！每行、每列、对角线上的数字相互关联，就像一群小伙伴手牵手，谁也不能掉队。
比如说，相对的两个数字之和可能会相等，或者每行数字的间隔可能有某种规律。
咱举个例子哈，比如有这么一组数字1、2、3、4、5、6、7、8、9。
咱把 5 放在中间，然后试着填其他数字。
哎呀，你会发现，随着数字的填入，它们之间的关系越来越清晰，就像一幅神秘的画卷慢慢展开。
这感觉，就像在探索一个未知的宝藏一样刺激！三阶幻方可不只是个数学游戏哦，它在很多地方都有用呢！比如在一些谜题中，或者在设计图案的时候。
它就像是一把神奇的钥匙，可以打开很多奇妙的大门。
你说这三阶幻方是不是特别神奇？它就像一个小小的数字宇宙，充满了奥秘和惊喜。
咱可得好好研究研究，说不定能发现更多有趣的东西呢！所以啊，别小看了这小小的三阶幻方，它里面蕴含的智慧和乐趣可多着呢！大家都快来试试吧，感受一下数字魔法的魅力！。
三阶幻方的解题技巧
三阶幻方的解题技巧三阶幻方的解题技巧1. 了解三阶幻方的基本概念和性质•三阶幻方是一个3x3的方阵，其中填充了1到9的数字，使得每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等。
•幻方的和等于15，即每行、每列和对角线上的数字之和都为15。
2. 掌握构造幻方的基本方法先将幻方的核心数字填入方阵中•幻方的核心数字是5，将其填入方阵的正中央。
•由于幻方的和为15，剩余的数字之和为10，因此将剩下的数字5个分散填入方阵的四个角和四个边中。
使用交叉填充法填充剩余数字•从幻方的核心数字开始，按照交叉填充的方式，填充剩余的数字。
•在填充时，优先选择未被填充的位置，按照特定的顺序分别填入剩余的数字，确保满足幻方的条件。
3. 借助数学规律优化解题过程交叉填充法的数学规律•在使用交叉填充法时，填入的每个数字都满足一个特定的数学规律。
•可以观察到，相邻的两个数字之和等于15。
例如，1和9、2和8、3和7等，它们的和都等于15。
•基于这个数学规律，可以在填入数字时，选择与已填数字的补数填入，使得每个新增的数字与已填数字的和都等于15。
对角线和行列和的对称性•幻方具有对角线和行列和的对称性，即对角线上的数字之和等于行或列上数字之和。
•可以利用这个对称性来简化解题过程。
确定方阵中的某些数字后，可以根据对称性推算出其他位置应填入的数字，进一步减少尝试的次数。
4. 通过举例练习提高解题能力•通过练习解题，掌握上述技巧的应用方法，提高解题效率和准确性。
•可以尝试解题网站或应用程序提供的三阶幻方题目，不断练习并思考解题过程中的技巧和方法。
5. 总结•三阶幻方的解题涉及到基本概念、构造方法和数学规律等多个方面的知识。
•理解这些知识并加以应用，可以有效地解题，并提高解题的效率和准确性。
注意：文章中的数字仅为示范用途，实际解题过程需要根据具体情况进行调整和计算。
三阶幻方
简单的三阶幻方1、什么是幻方？幻方起源于中国. 传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如右图. 人们称之为洛书.如果将龟背上的数字翻译出来，如下图.观察，你发现了什么？观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15. 像这样，将九个不同的自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方. 三阶幻方是一种特殊的数阵图.上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字，简称中心数. 罗伯法构造三阶幻方游戏：把1~9这9个数字按照要求填入下面的九宫格中？（1）把1~9依次按照从右上到左下的斜行顺序填入9个空白格中；（2）把最上面的“1”调到粗线框中第三行中间，最小面的“9”调到粗线框中第一行的中间。
最左边的“3”调到粗线框中第列的中间，最右边的“7”调到粗线框中第一列的中间。
（3）把粗线框中最后的结果填入右边的九宫格中算一算，九宫格中各行、各列及斜行的数字和，你有什么发现？三阶幻方的规律：1、幻和：各行、各列及斜行的和都是15，我们称它为幻和；幻和= 九个数之和 ÷3；2、中心数：幻和是中心数字的3倍；中间数=幻和÷3=(3+7)÷2=(1+9)÷2=(2+8)÷2=(6+4)÷23、左上角、右上角、左下角、右下角的四个数字依次是第2、第4、第6、第8个数字672159834四个角上的数字2=(3＋1)÷2，8=(9＋7)÷2；6=(3＋9)÷2；4=(1＋7)÷22、小试牛刀你能用上面的方法把2、4、6、8、10、12、、14、16、18这九个数字填入右面的九宫格中，使它构成三阶幻方吗？例1在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
（1（2巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21。
三阶幻方公式简易口诀
三阶幻方公式简易口诀三阶幻方是指由1到9的九个数字组成的一个3x3的方阵，使得方阵中的每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
下面是一个简单的口诀来求解三阶幻方的公式：首先，我们需要把9个数字按照一定的规律填入到3x3的方阵中。
设置一个3x3的方阵如下：abcdefghi第一步：选取任意一个数字填入中间的位置，比如选取数字5，填入方阵的中心位置e：abcd5fghi第二步：根据魔方的特性，可以得出以下规律：1.真正的幻方中心位置的值将会是(n^2+1)/2，对于三阶幻方来说，中心位置的值为(3^2+1)/2=52.方阵的每个角的位置必须是n的倍数，对于三阶幻方来说，四个角的值即为1、3、7、9根据以上两个规律，我们可以进行以下步骤填充幻方：第三步：将数字1填入到方阵的上一个位置g（此处的上指的是在方阵中“上方”相对于中心位置e的方向）：abc15fghi第四步：根据规律2，将数字9填入到方阵的下一个位置f（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc159ghi第五步：根据规律2，将数字3填入到方阵的下一个位置h（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc159g3i第六步：根据规律2，将数字7填入到方阵的下一个位置d（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc15973i第七步：根据规律1，将数字8填入到方阵的下一个位置b（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：a8c15973i第八步：根据规律1，将数字4填入到方阵的下一个位置f（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：a8c159734最终得到了一个三阶幻方。
利用以上口诀和规律，我们可以通过简单的步骤来构造三阶幻方。
通过这个口诀，我们可以快速而准确地创建出一个三阶幻方，仅需一些简单的数字填充操作。
优质课【部优】《灵敏巧慧的数学--三阶幻方》教学设计精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版《灵敏巧慧的数学---三阶幻方》教案新建五中夏拾友一、教材分析：本课题学习是在”有理数及其运算“”的基础上，通过阅读与欣赏引导学生数形结合上感受幻方的均衡对称美；借助有理数的运算探索规律揭示三阶幻方的本质特征；以探寻神奇的幻方为载体，在活动过程中提高学生对蕴含在客观现实事物中的规律性结论进行感受、发现、分析、拓展的能力。
强调数学知识的关联性、整体性和综合应用性。
二、目标分析1．知识与技能（1）体验有理数混合运算、探索规律与几种简单的三阶幻方本质特征的内在联系；（2）借助洛书、杨辉幻方等史料，让学生感受祖国文化的博大精深，增强民族自豪感，激发他们将民族瑰宝进一步发扬光大的信心和决心;（3）引导学生从图形上感受幻方的均衡对称美；设计开放性问题引导学生独立思考、大胆质疑、交流合作;（4）以探寻神奇的幻方为载体提高学生对蕴含在客观现实事物中的规律性结论进行感受、发现、分析、拓展的能力。
2．过程与方法（1）通过材料，对三阶幻方中所蕴含的规律进行分析、抽象。
（2）教师起到适当引导的作用，并对学生的回答给予肯定与鼓励。
（3）课件演示，辅助教学。
采用学为主导，以学生为主体。
3．情感态度与价值观（1）经历本节课的阅读与欣赏，养成主动探索、求知的学习态度，激发学生对数学的好奇心和求知欲,培养学生的合作精神。
（2）通过这节课让学生感受数学的好玩、欣赏的优美、体会数学家治学的严谨，初步感知数学中的真、善、美。
三、教学思路：通过阅读欣赏河图、洛书的典故，了解九宫格（三阶幻方）的由来，感受祖国文化的博大精深通过鉴赏杨辉对三阶幻方规律的总结，让学生感知并寻找数学中的乐趣，激发他们的好奇心和求知欲通过学生的小组合作，完成提出的问题，让学生感受成功的快乐。
通过欣赏三阶幻方的诗，感受数学也是具有诗歌的内在气质的。
四、教学过程一、阅读欣赏：幻方起源相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一图，作为礼物献给他，这就是“河图”，伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
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1
第六讲 三阶幻方
三阶幻方就是将九个自然数填在
3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列
以及每一条对角线上的三个数的和都相等。
三阶幻方是一种特殊的数阵图。
1、将1~9这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方。
随堂练习
用0到8这9个数构成一个三阶幻方。
2、将1、
3、5、7、…、17填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方。
随堂练习
将2、4、6、8…18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方。
3、如果1、
4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成的三阶幻方，那么
2
每一行、每一列、每一条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？ 随堂练习
如果2、6、10、11、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每一条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？
4、右图是一个三阶幻方，已知3个数， 请根据幻方的性质填出其他的数。
随堂练习
右图是一个三阶幻方，已知3个数， 请根据幻方的性质填出其他的数。
5、右图已知每一行、每一列、每条对角线上 3个数的乘积都相等，请填出其他的数。
6 28 15
15 4
23
1 12
6
3
随堂练习
右图已知每一行、每一列、每条对角线上
3个数的乘积都相等，请填出其他的数。
4 10 25
2
6、已知右图是一个三阶幻方，每一行、每一列、每条对角线的和都等于2037，求画有“？”的格子填的数是多少，并写出其他格子中的数。
447 ？
894
读一读：幻方起源于中国，传说在大禹治水时有神龟在洛水出现，背上有图，称
3
4
为洛书.
课后练习
1、用3、6、9、1
2、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方. 2、用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方.
3、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和都等于30.
4、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和都等于30.
5、下图是一个三阶幻方，求“？”是多少.
第（3）题 第（4）题 第（5）题
6、用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和都是60.
7、从1~13这13个数中选出12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，使每一竖列的3个数的和也相等.这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？并完成下图。
5 8
14 7
？
19
13
8、将8个不同的数填入下图的空格中，使8个数的总和等于36.如果总和为37、38、39，你还能填吗？
5。