(完整版)三阶幻方1
三阶幻方
三阶幻方
幻方：一般地说，在n×n的方格里，既不重复也不遗漏地填上n²个连续的自然数，每个数占一格，并使每行、每列及两条对角线上n个自然数的和都相等，这样排成的数表称为n阶幻方。
这个相等的和叫幻和。
在（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在
方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
（一）思路指导
1、幻和=中间数×3
2、与中间数对应的上下、左右、或对角线的两个数字的和=中间数×2
3、角上的数字=对角相邻的两数字和÷2
4、幻和= 九个数之和÷3
（二）例题
（三）习题
1. 用1～9这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。
2. 用3～11这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。
3. 在图3的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30。
4、请完成下面的三阶幻方：
5、把4～12九个数填入方格中，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
6、使下图每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等，且等于45。
7、用1～9这9个数字补全图中的幻方，并求出幻和。
三阶幻方的讲解
三阶幻方的讲解在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，通常这样的图形叫做三阶幻方。
如果是在4×4（四行四列）的方格中进行填数，就要不重不漏地在4×4方格中填上16个连续的自然数，并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个自然数之和均相等，这样填出的图形就叫做四阶幻方。
幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶、四阶，还有五阶，六阶，……，直到任意阶。
一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n×n个连续的自然数（注意，这n×n个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占1格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上的n个自然数的和都相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。
这里我们主要学习三阶幻方。
例1用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
分析与解先求幻和再添数！雪帆提示：先求总和，看看有几个幻和，常把中间数填入中间先用a，b，c，…，i分别填入图1的九个空格内，以代表应填的数，如图2。
（1）审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。
同时我们可以看到图2中e是一个很关键的数，因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a，c，g，i，它们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。
如果e以及四个角上的数被确定之后，其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3=45÷3=15（3）选择解题突破口突破口显然是e，在图2中，因为a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）=15+15＋15＋15=60，也就是：（a＋b+c+d＋e＋f+g＋h＋i）＋3×e=60。
三阶幻方
三阶幻方__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________能够根据三阶幻方的规律补充三阶幻方中的空格幻方起源于中国，传说在大禹治水时有神龟在洛水出现，背上有图，称为洛书．宋代学者朱熹在所著的《周易本义》卷首画出如下的洛书图，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。
三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等．三阶幻方是一种特殊的数阵图。
【例1】将1~9这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方．分析：l+2+…+8+9=45所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是15(= 45÷3)．从l到9中，三个不同的数相加等于15，只可能是9+5+1，9+4+2，8+6+1, 8+5+2，8+4+3，7+6+2，7+5+3, 6+5+4这八个式子．其中只有5出现四次，因此5一定在中心，在式子中出现三次的只有8、6、4、2这四个数，因此这四个数应当在四个角上．从而将三阶幻方完成，如图所示除了上图所示的答案外，如果8、6、4、2在四个角上的位置排得不同，9、7、3、1的位置也相应有所不同，那么还可以得到其他形式的三阶幻方．我们把这些只是形式不同而实质相同的结果看作是一个解，只要写出其中一个作为答案就可以了．【例2】.将1，3，5，7，…，1 7填入3×3的方格中，使它们成为一个三阶幻方．分析：将图9-2 中的1，2，3，…，9分别用l，3，5，…，17代替，得到下图．它就是所求的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的和都是27将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．【例3】如果1、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？分析：总和是1+4+7+…+25=(1+25)×9÷2=117由于三行的和相等，所以每一行的和是117÷3=39．每一列、每一条对角线的和也是39两条对角线、第二列的总和是39×3，它也是第一行加第三行再加中央那个数的3倍，所以中央的那个数是(39×3-39×2)÷3=13一般地，三阶幻方中央的数，等于行（列）和除以3．行（列）和等于中央的数乘以3．【例4】下图是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方性质填出其他的数．分析：由例3，每一行（每一列、每条对角线）的和是中央那个数的3倍，因此，现在每一行的和是15×3=45这样，就可以得出第三行第一个数是45 -6 –28=l1．第三行第三个数是45 -6 -15=24第三行第二个数是45 -11- 24 =10．同样，可得其他的数．最后得出三阶幻方如图所示．【例5】已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．分析: 每一行、每一列、每条对角线的乘积都是3×6×12第一行的第一个数是3×6×12÷12÷1=18，第一列的第二个数是3×6×12÷18÷3 = 4．第二列的第三个数是3×6×12÷1÷6 = 36．第三列的第二个数是3×6×12÷4÷6=9．第三列的第三个数是3×6×12÷18÷6=2于是，得出下图【例6】已知下图是一个三阶幻方，每一行、每一列、每条对角线的和都等于2 037．求画有“？”的格子填的数是多少．分析:根据例3，中央的那个数是2 037÷3 = 679．第一行第二个数是2 037 - 679 –894=464第一行第三个数是？=2 037 - 447 - 464=1126．所以要填的数是l1261.用0到8这几个数构造个三阶幻方．2.将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．3.如果2、6、10、11、15、19、20、21、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？4.下图是一个三阶幻方，请填出其他的数．5.已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．1．用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方.2．用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方3．在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和都等于30．4．在空个格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和都等于30．5．用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和都是60．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________1．下图是一个三阶幻方．求“？”是多少．2．从1~13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等．这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？3．填好第7题的图4．在下图中，每个方格填一个数，使得每行、每列、每条对角线上的4个数都是1、3、5、7．带“☆”号的两个方格中的数的和是多少？5．将八个不同的数填入下图的空格中，使8个数的总和等于36．如果总和为37、38、39，你还能填吗？6．在3×3的正方形中，每个方格填一个自然数，使每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，并且其中有一个数是10．7．完成下图，使每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．。
三阶幻方的公式
三阶幻方的公式三阶幻方，又称“独一无二”，是人类最强大的数学游戏之一。
它被认为是世界上第一个数学游戏，因为它蕴含着各种解题技巧和深奥的数学原理。
三阶幻方的原理在欧洲最早由泰勒斯在1600年代提出，但他的原理不完整，所以无法用来解决此问题。
直到19世纪，在各个国家的探索和研究下，终于有了完整的解题公式。
三阶幻方的公式是其基本原理，也是整个游戏中最重要的部分。
三阶幻方用其特有的解题方法来求解，它是一种制定一定原则，通过利用计数、算法、图论等数学原理来求解问题的方法。
其关键在于要求填入每一个“盒子”中的数字符合一定的原则。
首先，每个盒子中应填入1至9的数字，每一行、每一列和每一个斜角方向的数字总和都必须相等，并且每个盒子中填入的数字都不能重复。
止匕外，还必须符合排布顺序的要求，即必须在上一个盒子中填入的数字按照设定的规则排列，以确保每一行、每一列和每一个斜角方向的数字总和相等。
有了公式,三阶幻方的游戏就变得容易多了，因为可以根据公式,快速算出每个盒子填入的数字，从而完成游戏。
公式可以分成几种方法，最典型的是“分解法”。
该法要求将一个三阶的幻方分解为三个二阶的幻方，然后分别求出每一个二阶的幻方的解。
止匕外，还有“重组法”、“树形法”、“枚举法”等，它们分别从不同的角度来研究三阶幻方，都有其独特的优势。
不同的方法会有不同的步骤，但它们的最终目的都是一致的：给定一系列数字，需要按照一定的规则来填入每个盒子，以得出图形最终结果。
数学家们的研究伴随着三阶幻方的公式的不断发展，使我们对其解题原理有了更深刻的理解。
从古代中国到当今的西方社会，三阶幻方都被人们所推崇，三阶幻方的公式成为研究者共同推展的一部分，也是我们认识数学原理的重要途径。
三阶幻方被称为“独一无二”，其本质就是要求结果独一无二，因此一定要认真按照一定的原则来完成每一个步骤，以确保游戏结果是唯一的。
三阶幻方的公式和原理，既可以用来解决数学问题，也可以用来训练人们的逻辑、思维能力。
03012三阶幻方(一)
三阶幻方同学们：在33⨯（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在44⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44⨯方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
a bc def g hi图1 图2分析：我们先用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。
看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。
同时可以看到图（2）中，e 是一个中间数，也是关键数。
因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a 、c 、g 、i 它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。
如果e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：幻和=++++++++÷()1234567893=÷=45315（3）选择突破口，显然是e ，看图2。
因为：a e i b e h c e g d e f ++=++=++=++=15 所以：()()()()a e i b e h c e g d e f +++++++++++ =+++=1515151560也就是：()a b c d e f g h i e +++++++++⨯=360 又因为：a b c d e f g h i ++++++++=45 所以45360+⨯=e 36045⨯=-ee =5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。
三阶幻方
简单的三阶幻方1、什么是幻方？幻方起源于中国. 传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如右图. 人们称之为洛书.如果将龟背上的数字翻译出来，如下图.观察，你发现了什么？观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15. 像这样，将九个不同的自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方. 三阶幻方是一种特殊的数阵图.上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字，简称中心数. 罗伯法构造三阶幻方游戏：把1~9这9个数字按照要求填入下面的九宫格中？（1）把1~9依次按照从右上到左下的斜行顺序填入9个空白格中；（2）把最上面的“1”调到粗线框中第三行中间，最小面的“9”调到粗线框中第一行的中间。
最左边的“3”调到粗线框中第列的中间，最右边的“7”调到粗线框中第一列的中间。
（3）把粗线框中最后的结果填入右边的九宫格中算一算，九宫格中各行、各列及斜行的数字和，你有什么发现？三阶幻方的规律：1、幻和：各行、各列及斜行的和都是15，我们称它为幻和；幻和= 九个数之和 ÷3；2、中心数：幻和是中心数字的3倍；中间数=幻和÷3=(3+7)÷2=(1+9)÷2=(2+8)÷2=(6+4)÷23、左上角、右上角、左下角、右下角的四个数字依次是第2、第4、第6、第8个数字672159834四个角上的数字2=(3＋1)÷2，8=(9＋7)÷2；6=(3＋9)÷2；4=(1＋7)÷22、小试牛刀你能用上面的方法把2、4、6、8、10、12、、14、16、18这九个数字填入右面的九宫格中，使它构成三阶幻方吗？例1在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
（1（2巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21。
三阶幻方知识点总结
三阶幻方知识点总结
以下是一份关于“三阶幻方知识点总结”的文稿：
前言
嘿，朋友！你可知道三阶幻方有多神奇吗？就好像一个神秘的魔法盒子，里面藏着好多奇妙的秘密等待我们去发现呢！今天就让我们一起揭开三阶幻方的神秘面纱吧！
正文
三阶幻方，简单来说，就是把 9 个数字填到一个3×3 的格子里，让每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
就像搭积木一样，得把这些数字巧妙地组合起来。
比如说，1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数字，你得
把它们摆得恰到好处才行呢！
那怎么才能摆好呢？这就得讲究技巧啦！中心位置很关键呀，就好比是球队的核心球员一样重要。
一般中心位置填的数字得好好斟酌。
而且，幻方中相对的两个数字之和通常也是相等的哦，你说神奇不神奇！比如，左上角和右下角的数字拿出来一加，嘿，和右上角和左下角的数字之和一样呢！
想想看，这就像是一个精巧的拼图游戏，每个数字都有它自己的位置，找对了位置，整个图案就完整了。
我们来举个例子感受一下吧。
喏，看这个三阶幻方，每行每列和对角线的和都是 15 呀，是不是超级酷？
结尾
哎呀呀，三阶幻方是不是特别有趣啊！它就像一个充满惊喜的小宝藏，越挖越有料！大家快去试试，看看自己能不能也创造出神奇的三阶幻方吧！。
(精选课件)三阶幻方
1
洛书
2
综合与实践
根据北周甄鸶注《数 术记遗》： 九宫者，二四为肩， 六八为足，左三右七， 戴九履一，五居中央。
3
神奇的幻方
4 92 3 57 8 16
4
规律1： 幻和=中间数×3
三
492
阶
幻
35 7
方
816
5
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三
492
17
探寻神奇的幻方
492 357 816
三阶幻方
四海三山八洞天， 九牛五虎一起眠， 二女七星和六国， 周围十五月团圆。
18
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了 系统的研究。他称这种图为“纵横图”，他提 出了一个构造三阶幻方的秘诀： [九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出， 戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足]
19
杨辉法
20
（瑛姑）双手捧头，苦苦思索，过了一会，忽然抬起头来， 脸有喜色，道：“你的算法自然精我百倍，可是我问你： 将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相 加都是十五，如何排法？”黄蓉心想：“我爹爹经营桃花 岛，五行生克之变，何等精奥？这九宫之法是桃花岛阵图 的根基，岂有不知之理？”当下低声诵道：“九宫之义， 法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一， 五居中央。”边说边画，在沙上画了一个九宫之图。那女 子面如死灰。
这
个 8 17 5
幻 方
11
95 1 2 76
13 11 9 7 5 15
12
68 18
12 14 4
84 10
16 2 12
13
17 12 15
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下图是一个三阶幻方。求“？”是多少
1?7 19
13
•在下面两幅图的每个空格中，填入7个自然数， •使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和等于21．
8 2 11 10 7 4 3 12 6
8 3 10
97 5
4 11 6
三阶质数幻方
下面介绍一个关于质数幻方的故事：有一次某 国的一个宫廷数学家领到了他一年的工资—— 1350 个银元后，一时来了灵感，竟然将这些银元 分成九堆，各堆银元的个数恰好组成一个很特别 的三阶幻方。他高兴地将得到的幻方给国王看了， 国王看后很是欣赏，但是他为其中没有一个数是 质数而深表遗憾（国王是一个对质数情有独钟的 人）。数学家胸有成竹地说：“如果您再给我九 个银元，我在每一堆中加一个，就能得到一个由 九个质数组成的三阶幻方。”
奇阶幻方的解法
我国数学家杨辉的《续古摘奇算经》对于3阶幻方
的构造方法是：“九子斜排，上下对易，左右相更，四 维挺进。”，具体操作如下图：
其结果为：“戴九履一，左七右三，二四为肩，六 八为足。”
1 42 753 86
9
9 42 357 86
1
492 753 816
类似的原理可以构造5阶、 7阶、9阶等奇数阶幻方。 下图给出了5阶幻方的构
10 3 8 57 9 6 11 4
三阶幻方的性质
规律1： 幻和=中间数×3
三
492
阶
幻
35 7
方
816
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三
492
阶 幻
35 7
方
816
规律3：角上的数字=对角相邻 的两数字和的一半
三
492
阶
幻
3 57
方
8 16
练习1：
17 4 12 6 11 16 10 18 5
8阶幻方超过10亿种
分类
按照幻方阶数的奇偶性， 幻方可以分为奇数阶幻方 与偶数阶幻方
偶阶幻方
• 四阶幻方
16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1
• 六阶幻方
10 1 34 33 5 28 29 23 22 11 18 8 30 12 17 24 21 7 2 26 19 14 15 35 31 13 16 25 20 6 9 36 3 4 32 27
造过程。
1
6
2
11 7
3
16 12 8
4
21 17 13 9
5
22 18 14 10
23 19 15
24 20
25
25子斜排
25
24 20
11 7
3
4
12 8
16
5
17 13 9
21
10 18 14 22
23 19 15
6
2
1
上下对易，左右相更
25
24 20
11 24 7 20 3
4 4 12 25 8 16 16
练习2：
15 3 12
7 10 13
8 17 5
例题2：
补 15
全
பைடு நூலகம்
7
这
个8
幻
方
3 12 10 13 17 5
95 1 2 76
13 11 9 7 5 15
68 18
12 14 4
84 10
16 2 12
17 12 15
9 19 5
25 5 0 35 10 15
17 13 11 5 19 8
5
17 5 13 21 9
21
10 10 18 1 14 22 22
23 6 19 2 15
6
2
1
四维挺进
11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15
Merzirac法生成奇阶幻方(阶梯法）
在第一行居中的方格内放1，依次向右上 方填入2、3、4…，如果右上方已有数字， 则向下移一格继续填写。
816 357 492
幻方
幻方
幻方：一般地， 把n2个不同数字 依次填入由n×n 个小方格构成的 正方形中。
这样的一个图叫 做一个（n阶）幻 方。
幻方的定义
使得横行、直 纵列以及两对 角线数字之和 都相等。
各直线上各 数字之和叫 幻和。
幻方的历史
相传在公元前23世纪大 禹治水的时候，在黄河支 流洛水中，浮现出一个大 乌龟， 人们将乌甲上背有 9种花点的图案图案中的花 点数了一下
1
1
3
4
2
16
35 7
4
2
1
2
1
35
4
2
816 357 42
1 3
2
16
35
4
2
816 357 492
1.用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数 作一个三阶幻方
24 3 18 9 15 21 12 27 6
1.请你将3~11这9个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等。
25 11 21 23 2 17
•在图1所示的和方格表中填入合适的数,使得每行、 •每列以及每条对角线上的三个数的和相等。
•那么标有“☆”的方格内应填入的数是____8___.
3
☆6 4
7
在空格中填数，使每一行，每一列、每条对角线的和 都等于30.
13 5 12 9 10 11 8 15 7
用9个连续自然数组成三阶幻方， 使每一行、每一列、 每条对角线的和都是60
竟惊奇地发现9种花点数正巧 是1—9这9个数，各数位置的排 列也相当奇妙，后来人们就称 这个图案为洛书
我国汉朝的一本叫 《数术记遗》的书把 这样的图形叫“九宫 图”，宋朝数学家杨 辉把类似“九宫图” 的图形叫“纵横图”， 国外数学家把它叫做 “幻方”。
816 357 492
幻方有多少
3阶幻方只有1种 4阶幻方方有880种 5 阶 幻 方 有 275305224 种 （ 约 两 亿七千五百万） 7阶幻方有363916800种（约三亿 六千四百万）
奇阶幻方
• 三阶幻方
• 特点：横的3行、纵的3列以及两对角线上各自的数 字之和都为15。
816
357 492
• 五阶幻方
特点：横的5行、 纵的5列以及两对 角线上各自的数 字之和都为65。
17 23 1 8 15 22 5 7 14 16 4 6 13 20 21 10 12 19 25 3 11 18 24 2 9