南昌中考数学压轴题大集合
江西省南昌育华校2024届中考数学押题试卷含解析
江西省南昌育华校2024届中考数学押题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最远的是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．12．如图，圆弧形拱桥的跨径12AB =米，拱高4CD =米，则拱桥的半径为（ ）米A ．6.5B ．9C ．13D ．153．小明和小亮按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列说法中正确的是（ ）A ．小明不是胜就是输，所以小明胜的概率为12B ．小明胜的概率是13，所以输的概率是23C ．两人出相同手势的概率为12D ．小明胜的概率和小亮胜的概率一样4．如图，C ，B 是线段AD 上的两点，若AB CD =，2BC AC =，则AC 与CD 的关系为（ ）A ．2CD AC =B ．3CD AC = C ．4CD AC = D ．不能确定5．如图，已知边长为2的正三角形ABC 顶点A 的坐标为（0，6），BC 的中点D 在y 轴上，且在点A 下方，点E 是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE 的最小值为（ ）A ．3B ．4﹣3C ．4D ．6﹣236．函数y ＝ax 2与y ＝﹣ax +b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．下列实数中是无理数的是（ ）A ．227B ．πC 9D ．13- 8．若55+55+55+55+55＝25n ，则n 的值为（ ）A ．10B ．6C ．5D ．39．下列计算正确的是( )A ．a 2•a 3＝a 6B ．(a 2)3＝a 6C ．a 2+a 2＝a 3D ．a 6÷a 2＝a 3 10．射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人射击10次，平均环数均为8.7环，方差分别为 2s 0.51=甲，2s 0.62=乙，2s 0.48=丙，2s 0.45=丁，则四人中成绩最稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．有一个正六面体，六个面上分别写有1～6这6个整数，投掷这个正六面体一次，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率是____．12．一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m ，然后，原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)．被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为13．计算52a a ÷的结果等于_____________.14．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB=6cm ，则AC= cm ．15．如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是____．16．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是12，腰AB 的垂直平分线EF 分别交AB ，AC 于点E 、F ，若点D 为底边BC 的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的周长的最小值为_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校结全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．18．（8分）先化简代数式211a a a a a +⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再从﹣1，0，3中选择一个合适的a 的值代入求值． 19．（8分）某中学为了提高学生的消防意识，举行了消防知识竞赛，所有参赛学生分别设有一、二、三等奖和纪念奖，获奖情况已绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所经信息解答下列问题：（1）这次知识竞赛共有多少名学生？（2）“二等奖”对应的扇形圆心角度数，并将条形统计图补充完整；（3）小华参加了此次的知识竞赛，请你帮他求出获得“一等奖或二等奖”的概率．20．（8分）小明和小亮为下周日计划了三项活动，分别是看电影（记为A ）、去郊游（记为B ）、去图书馆（记为C ）．他们各自在这三项活动中任选一个，每项活动被选中的可能性相同．（1）小明选择去郊游的概率为多少；（2）请用树状图或列表法求小明和小亮的选择结果相同的概率．21．（8分）某汽车厂计划半年内每月生产汽车20辆，由于另有任务，每月上班人数不一定相等，实每月生产量与计划量相比情况如下表（增加为正，减少为负）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？半年内总生产量是多少？比计划多了还是少了，增加或减少多少？22．（10分）如图，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD ⊥AC 于点D ．过点A 作⊙O 的切线与OD 的延长线交于点P ，PC 、AB 的延长线交于点F ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若∠ABC ＝60°，AB ＝10，求线段CF 的长．23．（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC 5=tan B 12=，半径为2的⊙C 分别交AC ，BC 于点D 、E ，得到DE 弧．（1）求证：AB 为⊙C 的切线．（2）求图中阴影部分的面积．24．先化简，再求值：x23x1x1x1-⎛⎫÷+-⎪--⎝⎭，其中x＝3－1．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、A【解题分析】由于要求四个数的点中距离原点最远的点，所以求这四个点对应的实数绝对值即可求解．【题目详解】∵|-1|=1，|-1|=1，∴|-1|＞|-1|=1＞0，∴四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最远的是-1．故选A．【题目点拨】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，也利用了数形结合的思想．2、A【解题分析】试题分析：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解．得AD=6设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2=36+（r﹣4）2，解得r=6.5考点：垂径定理的应用．3、D【解题分析】利用概率公式，一一判断即可解决问题. 【题目详解】A、错误．小明还有可能是平；B、错误、小明胜的概率是13，所以输的概率是也是13；C、错误．两人出相同手势的概率为13；D、正确．小明胜的概率和小亮胜的概率一样，概率都是13；故选D．【题目点拨】本题考查列表法、树状图等知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4、B【解题分析】由AB=CD，可得AC=BD，又BC=2AC，所以BC=2BD，所以CD=3AC.【题目详解】∵AB=CD，∴AC+BC=BC+BD，即AC=BD，又∵BC=2AC，∴BC=2BD，∴CD=3BD=3AC.故选B．【题目点拨】本题考查了线段长短的比较，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．5、B【解题分析】分析：首先得到当点E旋转至y轴上时DE最小，然后分别求得AD、OE′的长，最后求得DE′的长即可．详解：如图，当点E旋转至y轴上时DE最小；∵△ABC 是等边三角形，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC∵AB=BC=2∴AD=AB•sin ∠3∵正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，∴OE=OE′=2∵点A 的坐标为（0，6）∴OA=6∴DE′=OA -AD-OE′=43故选B ．点睛：本题考查了正多边形的计算及等边三角形的性质，解题的关键是从图形中整理出直角三角形．6、B【解题分析】A 选项中，由图可知：在2y ax =，0a >；在y ax b =-+，0a ->，∴0a <，所以A 错误；B 选项中，由图可知：在2y ax =，0a >；在y ax b =-+，0a -<，∴0a >，所以B 正确；C 选项中，由图可知：在2y ax =，0a <；在y ax b =-+，0a -<，∴0a >，所以C 错误；D 选项中，由图可知：在2y ax =，0a <；在y ax b =-+，0a -<，∴0a >，所以D 错误．故选B ．点睛：在函数2y ax =与y ax b =-+中，相同的系数是“a ”，因此只需根据“抛物线”的开口方向和“直线”的变化趋势确定出两个解析式中“a ”的符号，看两者的符号是否一致即可判断它们在同一坐标系中的图象情况，而这与“b”的取值无关.7、B【解题分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【题目详解】A 、227是分数，属于有理数； B 、π是无理数；C ，是整数，属于有理数；D 、-13是分数，属于有理数； 故选B ．【题目点拨】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．8、D【解题分析】直接利用提取公因式法以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．【题目详解】解：∵55+55+55+55+55=25n ，∴55×5=52n ，则56=52n ，解得：n =1．故选D ．【题目点拨】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．9、B【解题分析】试题解析：A.235,a a a ⋅=故错误. B.正确.C.不是同类项，不能合并，故错误.D.624.a a a ÷=故选B.点睛：同底数幂相乘，底数不变,指数相加.同底数幂相除，底数不变,指数相减.10、D【解题分析】根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得答案．【题目详解】∵0.45＜0.51＜0.62，∴丁成绩最稳定，故选D．【题目点拨】此题主要考查了方差，关键是掌握方差越小，稳定性越大．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、【解题分析】∵投掷这个正六面体一次，向上的一面有6种情况，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的有2、3、4、6共4种情况，∴其概率是=．【题目点拨】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．12、7 2°或144°【解题分析】∵五次操作后，发现赛车回到出发点，∴正好走了一个正五边形，因为原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)，那么朝左和朝右就是两个不同的结论所以∴角α=（5-2）•180°÷5=108°,则180°-108°=72°或者角α=（5-2）•180°÷5=108°，180°-72°÷2=144°13、a3【解题分析】试题解析：x5÷x2=x3.考点：同底数幂的除法.14、1．【解题分析】试题分析：如图，∵矩形的对边平行，∴∠1=∠ACB，∵∠1=∠ABC，∴∠ABC=∠ACB，∴AC=AB，∵AB=1cm，∴AC=1cm．考点：1轴对称；2矩形的性质；3等腰三角形.15、1【解题分析】设正多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可．【题目详解】解：设正多边形的边数为n，由题意得，()2180nn-︒=144°，解得n=1．故答案为1．【题目点拨】本题考查了多边形的内角与外角，熟记公式并准确列出方程是解题的关键．16、2【解题分析】连接AD交EF与点M′，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知AM＝MB，则BM+DM＝AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．【题目详解】解：连接AD交EF与点M′，连结AM．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝12BC•AD＝12×4×AD＝12，解得AD＝1，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM．∴BM+MD＝MD+AM．∴当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值，最小值1．∴△BDM的周长的最小值为DB+AD＝2+1＝2．【题目点拨】本题考查三角形的周长最值问题，结合等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及中点的相关属性进行分析.三、解答题（共8题，共72分）17、解：（1）该校班级个数为4÷20%=20（个），只有2名留守儿童的班级个数为：20﹣（2+3+4+5+4）=2（个），该校平均每班留守儿童的人数为：=4（名），补图如下：（2）由（1）得只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生．设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，有树状图可知，共有12中等可能的情况，其中来自一个班的共有4种情况，则所选两名留守儿童来自同一个班级的概率为：=．【解题分析】（1）首先求出班级数，然后根据条形统计图求出只有2名留守儿童的班级数，再求出总的留守儿童数，最后求出每班平均留守儿童数；（2）利用树状图确定可能种数和来自同一班的种数，然后就能算出来自同一个班级的概率.18、11 aa+-,1【解题分析】先通分得到22211a a aa a⎛⎫⎛⎫++-÷⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据平方差公式和完全平方公式得到2(1)(1)(1)aa a aa+⨯+-，化简后代入a＝3，计算即可得到答案. 【题目详解】原式＝22211a a aa a⎛⎫⎛⎫++-÷⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2(1)(1)(1)aa a aa+⨯+-＝11aa+-，当a＝3时（a≠﹣1，0），原式＝1．【题目点拨】本题考查代数式的化简、平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握代数式的化简、平方差公式和完全平方公式.19、(1)200；（2）72°,作图见解析；（3）3 10.【解题分析】(1)用一等奖的人数除以所占的百分比求出总人数;(2)用总人数乘以二等奖的人数所占的百分比求出二等奖的人数，补全统计图，再用360°乘以二等奖的人数所占的百分比即可求出“二等奖”对应的扇形圆心角度数;(3)用获得一等奖和二等奖的人数除以总人数即可得出答案.【题目详解】解：（1）这次知识竞赛共有学生2010%=200（名）；（2）二等奖的人数是：200×（1﹣10%﹣24%﹣46%）=40（人），补图如下：“二等奖”对应的扇形圆心角度数是：360°×40200=72°；（3）小华获得“一等奖或二等奖”的概率是：2040200=310．【题目点拨】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图，利用统计图获取信息是解本题的关键.20、（1）；（2）.【解题分析】（1）利用概率公式直接计算即可；（2）首先根据题意列表，然后求得所有等可能的结果与小明和小亮选择结果相同的情况，再利用概率公式即可求得答案【题目详解】（1）∵小明分别是从看电影（记为A）、去郊游（记为B）、去图书馆（记为C）的一个景点去游玩，∴小明选择去郊游的概率=；（2）列表得：A B CA （A，A）（B，A）（C，A）B （A，B）（B，B）（C，B）C （A，C）（B，C）（C，C）由列表可知两人选择的方案共有9种等可能的结果，其中选择同种方案有3种，所以小明和小亮的选择结果相同的概率==．【题目点拨】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21、（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产9辆；（2）半年内总生产量是121辆．比计划多了1辆.【解题分析】（1）由表格可知，四月生产最多为：20+4=24；六月最少为：20-5=15，两者相减即可求解；（2）把每月的生产量加起来即可，然后与计划相比较.【题目详解】（1）+4－（－5）=9（辆）答：生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产9辆.（2）20×6+［+3+(－2)+(－1)+(+4)+(+2)+(－5)］=120+(+1)=121（辆），因为121＞120 121-120=1（辆）答：半年内总生产量是121辆．比计划多了1辆.【题目点拨】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，此题主要考查有理数的加减运算法则．22、（1）证明见解析（2）13【解题分析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB=60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF=90°，结合半径OC=1可得答案．【题目详解】（1）连接OC．∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC．在△OAP和△OCP中，∵OA OCPA PCOP OP=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP．∵PA是半⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∴∠OCP=90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线．（2）∵OB=OC，∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°．∵AB=10，∴OC=1．由（1）知∠OCF=90°，∴CF=OC•tan∠COB3【题目点拨】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．23、 (1)证明见解析；(2)1-π.【解题分析】（1）解直角三角形求出BC ，根据勾股定理求出AB ，根据三角形面积公式求出CF ，根据切线的判定得出即可； （2）分别求出△ACB 的面积和扇形DCE 的面积，即可得出答案．【题目详解】（1）过C 作CF ⊥AB 于F ．∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC 5=，tan B 12AC BC ==，∴BC ＝25，由勾股定理得：AB 22AC BC =+=1． ∵△ACB 的面积S 1122AB CF AC BC =⨯⨯=⨯⨯，∴CF 5255⨯==2，∴CF 为⊙C 的半径． ∵CF ⊥AB ，∴AB 为⊙C 的切线；（2）图中阴影部分的面积＝S △ACB ﹣S 扇形DCE 219025252360π⨯==1﹣π． 【题目点拨】本题考查了勾股定理，扇形的面积，解直角三角形，切线的性质和判定等知识点，能求出CF 的长是解答此题的关键． 24、解：原式=1x 2+3 【解题分析】试题分析：先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简．然后代x 的值，进行二次根式化简． 解：原式=()()2x 2x 4x 2x 11x 1x 1x 1x 2x 2x 2----÷=⋅=---+-+． 当x 31时，原式333223===-+.。
江西省南昌市中考数学压轴题总复习含答案解析
2021年江西省南昌市中考数学压轴题总复习中考数学压轴题是想获得高分甚至满分必须攻破的考题，得分率低，需要引起重视。
从近10年中考压轴题分析可得中考压轴题主要考查知识点为二次函数，圆，多边形，相似，锐角三角形等。
预计2021年中考数学压轴题依然主要考查这些知识点。
1．将抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．（1）直接写出抛物线C1，C2的解析式；（2）如图（1），点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；（3）如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y=−4k x与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．2．如图，直线y=−12x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y=−14x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M 的坐标；（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy中，过点N（6，﹣1）的两条直线l1，l2，与x轴正半轴分别交于M、B两点，与y轴分别交于点D、A两点，已知D点坐标为（0，1），A在y轴负半轴，以AN为直径画⊙P，与y轴的另一个交点为F．（1）求M点坐标；（2）如图1，若⊙P经过点M．①判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；②求弦AF的长；（3）如图2，若⊙P与直线l1的另一个交点E在线段DM上，求√10NE+AF的值．4．如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB ﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．。
专练15(二次函数类压轴题)中考数学考点必杀500题(江西专用)(解析版)
2021中考考点必杀500题专练15（二次函数类压轴题）（30道）1．（2021·江西赣州市·九年级一模）规定：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，与该抛物线关于点M（m，n）（m ＞0，n≥0）成中心对称的抛物线为y′，我们称抛物线y′为抛物线y的发散抛物线，点M称为发散中心．已知抛物线y0＝mx2＋4x＋3经过点（﹣1，0），顶点为A，抛物线y1与该抛物线关于点（1，0）成中心对称．（1）m＝，点A的坐标是，抛物线y1的解析式是．（2）对于抛物线y0＝mx2＋4x＋3，如图，现分别以y1的顶点A1为发散中心，得抛物线y2；再以抛物线y2的顶点A2为发散中心，得抛物线y3，…，以此类推．①求抛物线y0＝mx2＋4x＋3以A1为发散中心得到的抛物线y2的解析式；②求发散抛物线y4的发散中心A3的坐标；③若发散抛物线y n的顶点A n的坐标为（3×2n﹣2，2n﹣1），请直接写出A n A n﹣1的长度（用含n的式子表示）．【答案】（1）1，（﹣2，﹣1），y1＝﹣x＋8x﹣15；（2）①y2＝﹣x2＋20x﹣97；②A3（22，7）；③2n﹣．【分析】（1）把点（﹣1，0）代入y0＝mx2＋4x＋3即可求得m＝1，然后把解析式化成顶点式，即可求得A的坐标，进而根据中心对称的性质得到A1，即可判断抛物线y1的解析式；（2）①先求得A2的坐标，即可根据中心对称的性质求得抛物线y2的解析式；②根据中心对称的性质求得A3的坐标；③根据勾股定理求得AAn，则由直线对称的性质得到AnAn﹣1＝AAn，即可求得结果．【详解】解：（1）∵抛物线y0＝mx2＋4x＋3经过点（﹣1，0），∴m﹣4＋3＝0，∴m ＝1，∴y 0＝x 2＋4x ＋3，∵y 0＝x 2＋4x ＋3＝（x ＋2）2﹣1，∴顶点A 的坐标是（﹣2，﹣1），∵抛物线y 1与抛物线y 0关于点（1，0）成中心对称，∴抛物线y 1的顶点A 1为（4，1），∴y 1＝﹣（x ﹣4）2＋1，即y 1＝﹣x ＋8x ﹣15，故答案为：1，（﹣2，﹣1），y 1＝﹣x ＋8x ﹣15；（2）①∵A （﹣2，﹣1），A 1（4，1），抛物线y 2与抛物线y 0关于点A 1成中心对称，∴A 2（10，3），∴y 2＝﹣（x ﹣10）2＋3＝﹣x 2＋20x ﹣97；②设A 3（a ，b ），则2102a -+=，12b -+＝3，解得：a ＝22，b ＝7，∴A 3（22，7）；③∵A （﹣2，﹣1），An 的坐标为（3×2n ﹣2，2n ﹣1），∴AAn ＝2，∴AnAn ﹣1＝12AAn ＝2n ﹣．【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法、抛物线的性质，新定义的理解，点的对称坐标的求法等知识，综合性较强，理解新定义并熟练掌握抛物线的性质是解题关键．2．（2021·江西九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)=-+≠L y ax ax c a 与x 轴交于点O ，B ，点(3,3)A 在抛物线L 上．（1）求点B 的坐标与抛物线L 的解析式；（2）将抛物线L 沿直线y x =-作n 次平移（n 为正整数），平移后抛物线分别记作1L ，2L ，…，n L ，顶点分别为1M ，2M ，…，n M ，顶点横坐标分别为2，3，…，1n +，与y 轴的交点分别为1P ，2P ，…，n P ；①在1L ，2L ，…，n L 中，是否存在一条抛物线，使得点A 恰好落在这条抛物线上？若存在，求出所有满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由；②若3n ≥，过点n M 作y 轴的平行线交2-n L 于点Q ，若由1n P -，n P ，n M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求n 的值；（3）如图2，E 是抛物线L 上的一动点，且保持在第四象限，直线AE 关于直线OA 的对称直线交抛物线于点F ，点E ，F 到直线x 1=-的距离分别为1d ，2d ，当点P 在抛物线上运动时，12d d ⋅的值是否发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，请说明理由．【答案】（1）()2,0B 抛物线：22y x x=-（2）①n L ：21230y x x =-+②3n =（3）不变化，12=1d d ⋅【分析】(1)把()()3,3,0,0A O 两点带入抛物线即可求出解析式，B 点坐标；(2)①根据平移规律设出n L ：()22y x n x n n =----（）再带入()3,3A 即可算出来②根据平移规律设出1n L -，2-n L ，n L 求出n M 坐标，进而求出Q 点坐标，再根据1n n n M Q P p -=即可求出n ；（3）不变化，12=1d d ⋅，设E(11,x y )，由对称性可知F 11,y x ()，进而可以求出直线L AF 联立L AF 与抛物线解得F ，从而1d 和2d 都用11,x y 带数式子表示出来，即可求出定值【详解】(1)抛物线22y ax ax c =-+过点()()3,3,0,0A O 带入得0396ca a =⎧⎨=-⎩解得1a c =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式：22y x x=-当y=0时，220x x -=，解得x 1=0,x 2=2()20B ∴,(2)①∵抛物线L 沿直线y x =-作n 次平移（n 为正整数）∴设n L ：()22y x n x n n =----（）若过()3,3A ,则有()23323n n n =----（），解得n 1=0(舍去),n 2=5∴n L ：21230y x x =-+②根据平移可得()222:2232n L y x n x n n -=--+-+，()22:22n L y x n x n n =-+++∴n M （n+1,-n-1）当1x n =+时，25n y n-=-()1,5Q n n ∴+-()516n M Q n n ∴=----=由平移可得2211:2n n L y x nx n n --=-+-()()2210,,0,n n P n n P n n -∴-+12n n P P n-∴=若由1n P -，n P ，n M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形则126n n n M Q P p n -===解得3n =（3）不变化，12=1d d ⋅设E(11,x y )，则11=1d x +由对称性可知F 11,y x ()，()3,3A 设直线L AF :y kx b=+{1133x y k b k b =+=+解得1111339333x k y x b y -=--=--⎧⎪⎨⎪⎩∴L AF :1111393333x x y x y y --=+---联立111123933332x x y x y y y x x --=+---=-⎧⎪⎨⎪⎩解得F 12111,12x y ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭()21112111111111111d x x d d x x ∴=+-=++∴=+⋅=+【点睛】本题是二次函数综合题，考察了二次函数图像平移，平行四边形等知识点，善于用用代数式设抛物线，用代数式表示点是解题关键3．（2021·江西九年级二模）如图，已知抛物线21:()(0,0,0)C y a x m n a m n =-+>>>，与y 轴交于点A ，它的顶点为B ．作抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C ，与y 轴交于点C ，它的顶点为D ．我们把2C 称为1C 的对偶抛物线．若,,,A B C D 中任意三点都不在同一直线上，则称四边形ABCD 为抛物线1C 的对偶四边形，直线CD 为抛物线1C的对偶直线．（1）求证：对偶四边形ABCD 是平行四边形．（2）已知抛物线21:(1)1C y x =-+，求该抛物线的对偶直线CD 的解析式．（3）若抛物线1C 的对偶直线是25y x =--，且对偶四边形的面积为10，求抛物线1C 的对偶抛物线2C 的解析式．【答案】（1）见解析；（2）直线CD 的解析式为：2y x =--；（3）抛物线1C 的对偶抛物线2C 的解析式为：22(1)3y x =-+-．【分析】（1）根据题意，利用勾股定理分别解出AB CD AD BC 、、、的长，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可解题；（2）由抛物线21:(1)1C y x =-+，分别解出(0,2),(1,1)A B ，(0,2),(1,1)C D ---，利用待定系数法即可求得直线CD 的解析式；（3）过点B 作BE AC ⊥，垂足为点E ，根据中心对称的性质，解得10AC =，求得对偶四边形的面积，进而得到D 点的横坐标为1-，点D 在直线CD 上，再代入二次函数的解析式即可解题．【详解】解：（1）1C 关于原点对称的曲线为2C A ∴点关于原点对称的是点C ，B 点关于原点对称的是点D ，令20,nx y am ==+22(0,),(0,),(,),(,)A am n C am nB m n D m n ∴+----AB ==C D ==AD ==BC ==,AB CD AD BC∴==∴对偶四边形ABCD 是平行四边形；（2） 抛物线21:(1)1C y x =-+，此时(0,2),(1,1)A B设直线CD 的解析式为：2y kx =-，代入点(1,1)D --得，1k =-，∴直线CD 的解析式为：2y x =--；（3）过点B 作BE AC ⊥，垂足为点E ，当0,5x y ==-，(0,5)C ∴-A 点与C 点关于原点对称，(0,5)A ∴10AC ∴=∴对偶四边形的面积为10，152ABC S AC BE ∴=⋅= 1BE ∴=B ∴点的横坐标为1，即D 点的横坐标为1-，点D 在直线CD 上，∴顶点(1,3)D --，顶点()1,3B 抛物线21:(1)3C y a x =-+，将(0,5)A 代入得，2(01)35a -+=2a ∴=抛物线21:2(1)3C y x =-+，∴抛物线1C 的对偶抛物线2C 的解析式为：22(1)3y x =-+-．【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及勾股定理、平行四边形的判定是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．4．（2021·江西九年级一模）如图，已知抛物线C 1：y 1＝x 2＋2x ＋a ＋1的顶点为A ，与y 轴交于点B ，将抛物线C 1平移后得到抛物线C 2：y 2＝（x ﹣a ）2＋2a ＋1，抛物线C 2的顶点为D ，两抛物线交于点C ．（1）若a ＝1，求点C 的坐标．（2）随着a 值的变化，试判断点A ，B ，D 是否始终在同一直线上，并说明理由．（3）当2AB ＝BD 时，试求a 的值．【答案】（1）11324⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（2）A ，B ，D 始终在同一直线上，理由见解析；（3）-2或2．【分析】（1）令y1=y2，并把a=1代入，即可得到关于x的方程，解出x后代入C1解析式即可得到y1，进而得到C 点坐标；（2）由题意可以得到A、B坐标，并得到直线AB的解析式，然后把D点坐标代入直线AB的解析式即可得知A，B，D是否始终在同一直线上；（3）分两种情况讨论．【详解】解：（1）若a=1，令y1=y2，即x2＋2x＋a＋1=（x﹣a）2＋2a＋1，∴x2＋2x＋1＋1=（x﹣1）2＋2＋1，∴x2＋2x＋1＋1=x2-2x＋1＋2＋1，即4x=2，∴x=1 2，将12x=代入y1＝x2＋2x＋2中得：1134y=，∴C点坐标为（11324，）；（2）点A，B，D始终在同一直线上，理由如下：由题意可得点A坐标为（-1，a），点B坐标为（0，a+1），∴直线AB的解析式为y=x+a+1，∵D是抛物线y2的顶点，∴D点坐标为（a，2a+1），∵当x=a时，y=x+a+1=2a+1，∴点D在直线AB上，∴A、B、D始终在同一直线上；（3）①如图，当A为BD中点时，满足2A B=BD，此时可得01 2a+=-，即a=-2；②如图，当B在线段AD上，存在2AB=BD，分别过A、D两点作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N，可得AM∥DN，∴12AM ABDN BD==，即112a=，解得a=2，综上所述，a的值为-2或2．【点睛】本题考查抛物线平移的综合应用，熟练掌握抛物线的图象与性质、一次函数的图象与性质、中点坐标公式及平行线分线段成比例定理是解题关键．5．（2021·江西）如图，已知二次函数L ：y ＝22x n﹣4x ﹣2，其中n 为正整数，它与y 轴相交于点C ．（1）求二次函数L 的最小值（用含n 的代数式表示）．（2）将二次函数L 向左平移（3n ﹣4）个单位得到二次函数L 1①若二次函数L 与二次函数L 1关于y 轴对称，求n 的值；②二次函数L 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式．（3）在二次函数y ＝22x n﹣4x ﹣2中，当n 依次取1，2，3，…，n 时，抛物线依次交直线y ＝﹣2于点A 1，A 2，A 3，…，A n ，顶点依次为B 1，B 2，B 3，…，B n ．①连接CB n ﹣1，B n ﹣1A n ﹣1，CB n ，B n A n ，求证：△CA n ﹣1B n ﹣1∽△CA n B n ；②求11CA B S ∆：22CA B S ∆：33CA B S ∆：…：B CAn n S ∆的值．【答案】（1）22n --；（2）①n ＝4；②y ＝x ﹣6；（3）①证明见解析；②22221:2:3,,n ．【分析】(1)用顶点坐标公式即可求最小值；(2)①求出二次函数L 与二次函数L 1的顶点，二次函数L 与二次函数L 1关于y 轴对称，列方程可求n ；②二次函数L 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 与n 有关，消去n 即可得到y 与x 的函数关系；(3)①画出图形，用抛物线对称性可以得到△CA n ﹣1B n ﹣1∽△CA n B n 均为等腰三角形，从而可证；②用n 表示n n CA B S ∆即可得到答案．【详解】解：（1）∵二次函数L ：2242y x x n=--，其中n 为正整数，∴顶点为224(2)(4)4(,)2224n n n⨯⨯---⨯⨯，化简得(,22)n n --，∴二次函数的最小值是22n --；（2）∵二次函数L ：2242y x x n=--的顶点为(,22)n n --，∴二次函数L 向左平移（3n ﹣4）个单位得到二次函数L 1，2222(34)22(24)22y x n n n x n n n n=-+---=+---，∴抛物线L 1的顶点坐标为(42,22)n n ---，①∵二次函数L 与二次函数L 1关于y 轴对称，∴顶点也关于y 轴对称，即(,22)n n --与(42,22)n n ---关于y 轴对称，∴(42)0n n +-=，解得n ＝4，②∵抛物线L 1的顶点坐标为(42,22)n n ---，∴顶点横坐标42x n =-，顶点纵坐标22y n =--，即4222x n y n =-⎧⎨=--⎩，∴顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在的函数关系为：6y x =-，（3）①∵二次函数L ：2242y x x n=--的顶点为(,22)n n --，∴顶点横坐标x n =，顶点纵坐标22y n =--，∴顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在的函数关系是22y n =--，即抛物线L ：2242y x x n =--，其中n 为正整数的顶点都在直线22y n =--上，如图所示：∴系列抛物线中的顶点B 1，B 2，B 3，…，B n 都在同一直线22y x =--上，∴∠A n ﹣1CB n ﹣1＝∠A n CB n ，根据抛物线的对称性可知：B n ﹣1C ＝A n ﹣1B n ﹣1，B n C ＝A n B n ，∴∠A n ﹣1CB n ﹣1＝∠B n ﹣1A n ﹣1C ，∠B n A n C ＝∠A n CB n ，∴∠B n ﹣1A n ﹣1C ＝∠B n A n C ，∴△CA n ﹣1B n ﹣1∽△CA n B n ．②过B n 作B n D n ⊥直线y ＝﹣2于D n ，如图所示：∵二次函数L ：2242y x x n=--的顶点为(,22)n n --，∴B n (,22)n n --，∴B n D n ＝(2)(22)n ----＝2n ，由22422y x x n y ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩可得1102x y =⎧⎨=-⎩或2222x n y =⎧⎨=-⎩，∴A n （2n ，﹣2），∴A n C ＝2n ，∴n n A B C S ∆＝12A n C •B n D n ＝2n 2，112233:::...:n nCA B CA B CA B CA B S S S S ∆∆∆∆2222(21):(22):(23):...:(2)n =⨯⨯⨯⨯22221:2:3:...:n =．【点睛】本题考查二次函数综合知识，解题的关键是画出图形，求出相关点坐标从而表示线段、面积等．6．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，OAC ∆绕点O 顺时针旋转90︒得到ONB ∆，3OB OC ==，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B ，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①点D 是抛物线的顶点，试判定BND ∆的形状，并加以证明；（3）如图②在第一象限的抛物线上，是否存在点M ，使2MBN AOC S S ∆∆=？若存在，请求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）BND ∆是等腰直角三角形，理由见解析；（3）存在点720,39M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使 2MBN AOC S S ∆∆=【分析】（1）由3OB OC ==，可得出点B 、C 的坐标，然后将点B 、C 的坐标代入二次函数进行求解即可；（2）过点D 作DG y ⊥轴于点G ，根据2223(1)4y x x x =-++=--+与x 轴相交于A 、B 两点，顶点为D ，即可求出A 、D 的坐标，然后可证明NOB DGN ∆≅∆，从而得出90ONB GND ∠+∠=︒，即可判断；（3）连接OM ，设点M 的坐标为()2,23M m m m -++，根据MBN MON MOB NOB S S S S ∆∆∆∆∴=+-即可求解；【详解】解：（1）3OB OC == ，(30)B ∴，，(03)C ，，抛物线2y x bx c =-++经过B 、C 两点，3093c b c =⎧∴⎨=-++⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++；（2）BND ∆是等腰直角三角形，理由如下：过点D 作DG y ⊥轴于点G ，2223(1)4y x x x =-++=--+ 与x 轴相交于A 、B 两点，顶点为D ，(14)A -∴，，(14)D ，，1ON OA DG ∴===，3OB GN ==，90NOB DGN ∠=∠=︒ ，NOB DGN ∴∆≅∆，90ONB OBN ∠+∠=︒，OBN GND ∴∠=∠，BN ND =，90ONB GND ∴∠+∠=︒，90DNB ∴∠=︒，BND ∴∆是等腰直角三角形，（3）连接OM ，设点M 的坐标为()223M m m m -++，，3OB OC ==，1OA ON ==，()223M m m m -++，，MBN MON MOB NOBS S S S ∆∆∆∆∴=+-()211132313222m m m =+⨯-++-⨯⨯237322m m =-++131322AOC S ∆=⨯⨯= ，237332222m m ∴-++=⨯，解得：173m =，20m =（不合题意舍去）72039M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，，即存在点72039M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，使2MBN AOC S S ∆∆=（方法有很多的，比如过点M 作//MH y 轴交BN 于H 等等，正确的请按步骤给分）【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数与几何图形的结合、以及求面积的问题，正确掌握知识点是解题的关键；7．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，已知抛物线1C 与x 轴交于(4,0),(1,0)A B -两点，与y 轴交于点(0,2)C ．将抛物线1C 向右平移(0)m m >个单位得到抛物线22C C ，与x 轴交于D ，E 两点（点D 在点E 的左侧），与抛物线1C 在第一象限交于点M ．（1）求抛物线1C 的解析式，并求出其对称轴；（2）①当1m =时，直接写出抛物线2C 的解析式；②直接写出用含m 的代数式表示点M 的坐标；（3）连接DM AM ，．在抛物线1C 平移的过程中，是否存在ADM △是等边三角形的情况？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++，其中对称轴是直线32x =；（2）①21522=-+y x x ；②点M 的坐标为2325,28m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（3）存在，5m =-．【分析】（1）直接利用待定系数法即可求得抛物线解析式，继而根据解析式即可求得抛物线的对称轴；（2）①利用抛物线平移规律即可求得C 2解析式；②利用抛物线平移规律即可求得M 的横坐标，进而代入C 1抛物线解析式即可；（3）过点M 做MN AD ⊥于点N ，分别表示出点D 、M 、N 、A 的坐标，根据两点间的坐标公式可得DN 、MN ，根据等边三角形的性质列方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）设抛物线1C 的解析式为()20y ax bx c a =++≠．则164002a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩抛物线1C 的解析式为213222y x x =-++，其中对称轴是直线32x =（2）①由（1）知：抛物线1C 的解析式为213222y x x =-++，即21325228y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当1m =时，根据抛物线平移规律可得：抛物线2C 解析式为：22132515122822y x x x ⎛⎫=---+=-+ ⎪⎝⎭②根据抛物线平移规律可得，抛物线1C 向右平移(0)m m >个单位得到抛物线解析式为：213225228m y x +⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，其对称轴为：322mx +=∴交点M 横坐标为：3233332222222m m m +⎛⎫- ⎪+⎝⎭+=+=将其代入1C 抛物线解析式可得：2258m y -=∴点M 的坐标为2325,28m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（3）存在m 值使ADM △是等边三角形．理由如下：过点M 做MN AD ⊥于点N∵()()()232531,0,,,,0,4,004282m m m D m M N A m ⎛⎫+-+⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()35122m m DN m +-=--=2258m MN -=若ADM △是等边三角形，则30DMN ∠=︒，∴3MN DN =即2255382m m --=解得4355m m =-=，（不合题意，舍去），∴当435m =-时，ADM △是等边三角形．【点睛】本题考查二次函数的有关知识，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质、待定系数法求解析式、抛物线平移规律、等边三角形的性质．8．（2021·江西上饶市·九年级期末）已知抛物线2y x 2x 3=-++和抛物线2233n n n y x x n =--（n 为正整数）．（1）抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴的交点______，顶点坐标______；（2）当1n =时，请解答下列问题．①直接写出n y 与x 轴的交点______，顶点坐标______，请写出抛物线y ，n y 的一条相同的图象性质______；②当直线12y x m =+与y ，n y 相交共有4个交点时，求m 的取值范围．（3）若直线y k =（0k <）与抛物线2y x 2x 3=-++，抛物线2233n n n y x x n =--（n 为正整数）共有4个交点，从左至右依次标记为点A ，点B ，点C ，点D ，当AB BC CD ==时，求出k ，n 之间满足的关系式．【答案】（1）(1,0)-，(3,0)；(1,4)；（2）①(1,0)-，(3,0)；41,3⎛⎫-⎪⎝⎭；对称轴为直线1x =（或与x 轴交点为(1,0)-，(3,0)）；②97574816m -<<，且32m ≠-，12m ≠；（3）32270n k nk ++=．【分析】（1）根据()()()22233114y x x x x x =-++=--+=--+，可以求得该抛物线与x 轴的交点和该抛物线的顶点坐标，本题得以解决；（2）①将n ＝1，代入y n 得()()()22112141113133333y x x x x x =--=--=-+，据此可以求得该抛物线与x 轴的交点和该抛物线的顶点坐标，然后根据（1）中的结果，写出抛物线y ，y n 的一条相同的图象性质即可；②求出直线12y x m =+与y 相交只有1个交点时m 的值，直线12y x m =+与n y 相交只有1个交点时m 的值，12y x m =+过点(1,0)-时m 的值，12y x m =+过点(3,0)时m 的值，根据函数图象，从而可以得到当直线y ＝12x ＋m 与y ，y n 相交共有4个交点时，m 的取值范围；（3）根据一元二次方程根与系数的关系求出()2221212124164AD x x x x x x k =-=+-=-，()22234343412416k BC x x x x x x n=-=+-=+，根据AB BC CD ==可得229AD BC =，进而可以求出k ，n 之间满足的关系式．【详解】解：（1）∵抛物线()()()22233114y x x x x x =-++=--+=--+，∴当y ＝0时，x 1＝3，x 2＝−1，该抛物线的顶点坐标为（1，4），∴抛物线y ＝−x 2＋2x ＋3与x 轴的交点为（3，0），（−1，0），故答案为：（−1，0），（3，0）；（1，4）；（2）①当n ＝1时，抛物线()()()22112141113133333y x x x x x =--=--=-+，∴当y 1＝0时，x 3＝3，x 4＝−1，该抛物线的顶点坐标为（1，43-），∴该抛物线与x 轴的交点为（3，0），（−1，0），抛物线y ，y n 的一条相同的图象性质是对称轴都是x ＝1（或与x 轴的交点都是（−1，0），（3，0））；②当直线12y x m =+与y 相交只有1个交点时，由21223y x m y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩，得23302x x m -+-=，则2234(3)024b a m c ⎛⎫---= ⎪⎭∆⎝=-=，∴5716m =，当直线12y x m =+与n y 相交只有1个交点时，由21212133y x m y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得227(66)0x x m --+=，则()()224742660b ac m ∆=-=--⨯⨯--=，∴9748m =-，∴97574816m -<<.把(1,0)-，代入12y x m =+，得12m =；把(3,0)，代入12y x m =+，得32m =-，∴97574816m -<<，且32m ≠-，12m ≠；（3）由223y k y x x =⎧⎨=-++⎩，得2230x x k -+-=，∴()2221212124164AD x x x x x x k =-=+-=-，由2233y k n n y x x n =⎧⎪⎨=--⎪⎩，得22(33)0nx nx n k --+=，∴()22234343412416k BC x x x x x x n=-=+-=+，∵AB BC CD ==，∴229AD BC =∴12164916k k n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，化简得：32270n k nk ++=．【点睛】本题是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，做出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．9．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图1，抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．[图2、图3为解答备用图]（1）k=，点A的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线y=x2﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线y=x2﹣2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．【答案】（1）﹣3，（﹣1，0），（3，0）；（2）9；（3）存在点D（32，154），使四边形ABDC的面积最大为758．（4）在抛物线上存在点Q1（﹣2，5）、Q2（1，﹣4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．【分析】（1）把C（0，﹣3）代入抛物线解析式可得k值，令y=0，可得A，B两点的横坐标；（2）过M点作x轴的垂线，把四边形ABMC分割成两个直角三角形和一个直角梯形，求它们的面积和；（3）设D（m，m2﹣2m﹣3），连接OD，把四边形ABDC的面积分成△AOC，△DOC，△DOB的面积和，求表达式的最大值；（4）有两种可能：B为直角顶点、C为直角顶点，要充分认识△OBC的特殊性，是等腰直角三角形，可以通过解直角三角形求出相关线段的长度．【详解】解：（1）把C（0，﹣3）代入抛物线解析式y=x2﹣2x+k中得k=﹣3∴y=x2﹣2x﹣3，令y=0，即x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．∴A（﹣1，0），B（3，0）．（2）∵y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点为M （1，﹣4），连接OM ．则△AOC 的面积=32，△MOC 的面积=32，△MOB 的面积=6，∴四边形ABMC 的面积=△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9．说明：也可过点M 作抛物线的对称轴，将四边形ABMC 的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．（3）如图（2），设D （m ，m 2﹣2m ﹣3），连接OD ．则0＜m ＜3，m 2﹣2m ﹣3＜0且△AOC 的面积=32，△DOC 的面积=32m ，△DOB 的面积=﹣32（m 2﹣2m ﹣3），∴四边形ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积=﹣32m 2+92m+6=﹣32（m ﹣32）2+758．∴存在点D （32，154-），使四边形ABDC 的面积最大为758．（4）有两种情况：如图（3），过点B 作BQ 1⊥BC ，交抛物线于点Q 1、交y 轴于点E ，连接Q 1C ．∵∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3．∴点E 的坐标为（0，3）．∴直线BE 的解析式为y=﹣x+3．由2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩解得：1125x y =-⎧⎨=⎩2230x y =⎧⎨=⎩∴点Q 1的坐标为（﹣2，5）．如图（4），过点C 作CF ⊥CB ，交抛物线于点Q 2、交x 轴于点F ，连接BQ 2．∵∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3．∴点F 的坐标为（﹣3，0）．∴直线CF 的解析式为y=﹣x ﹣3．由2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩解得：1103x y =⎧⎨=-⎩2214x y =⎧⎨=-⎩∴点Q 2的坐标为（1，﹣4）．综上，在抛物线上存在点Q 1（﹣2，5）、Q 2（1，﹣4），使△BCQ 1、△BCQ 2是以BC 为直角边的直角三角形．说明：如图（4），点Q 2即抛物线顶点M ，直接证明△BCM为直角三角形同样可以．考点：二次函数综合题．10．（2021·江西赣州市·九年级期末）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy 中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．如下图，抛物线F 2都是抛物线F 1的过顶抛物线，设F 1的顶点为A ，F 2的对称轴分别交F 1、F 2于点D 、B ，点C 是点A 关于直线BD的对称点．（1）如图1，如果抛物线y=x 2的过顶抛物线为y=ax 2+bx ，C （2，0），那么①a=，b=．②如果顺次连接A 、B 、C 、D 四点，那么四边形ABCD 为（）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形（2）如图2，抛物线y=ax 2+c 的过顶抛物线为F 2，B （2，c －1）．求四边形ABCD 的面积．（3）如果抛物线2127333y x x =-+的过顶抛物线是F 2，四边形ABCD的面积为B 的坐标．【答案】（1）①a=1，b=2；②D ；（2）4；（3）（1+1），（11）．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；根据自变量的值，可得相应的函数值，根据四边形对角线的关系，可得答案；（2）根据对称性，可得AC 的长，根据顶点式解析式，可得F 2根据待定系数法，可得41a c c +-=，根据四边形的面积公式，可得答案；（3）分类讨论：B 在A 的右侧，B 在A 的左侧，AC=BD =2，可得答案．【详解】解：（1）①由A 、C 点关于对称轴对称，得对称轴1x =将C 点坐标代入解析式，及对称轴公式，得12420b a a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得：12a b =⎧⎨=-⎩故答案为：1,2a b ==-．②当1x =时，2y x =，()11B ，；221y x x =-=-，()11D -，；四边形ABCD 的对角线相等互相平分，且互相垂直，∴四边形ABCD 时正方形故选D ．（2）∵B （2，c －1），∴AC =2×2=4．∵当x =0，y =c ，∴A （0，c ）．∵F 1：y=ax 2+c ，B （2，c －1）．∴设F 2：y=a （x －2）2+c －1．∵点A （0，c ）在F 2上，∴4a +c －1=c ，∴14a =．当2x =时，24y ax c a c =+=+，()24B a c +，∴BD =（4a +c ）－（c －1）=2．∴S 四边形ABCD =4．（3）如图所示：()221271123333y x x x =-+=-+设F 2的解析式()21123y x a b =--++，()()211,2,31,2,1,23B a b C b a D a a ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭B 点在A 点的右侧时，11132AC a =+-=212223BD a b =+--=解得：3a =1b =-，()113,1B +B 在点A 的左侧时，()11132AC a =-+=212223BD a b =+--=解得：3a =-1b =-，()213,1B -综上所述，()113,1B +，()213,1B ．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，利用待定系数法求函数解析式，又利用了正方形的判定，分类讨论是解题的关键，以防遗漏．11．（2021·江西九年级一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线1y =与抛物线24y x =相交于A ，B 两点（点B 在第一象限），点C 在AB 的延长线上，且BC n AB =⋅（n 为正整数）．过点B ，C 的抛物线L ，其顶点M 在x 轴上．（1）求AB 的长；（2）①当1n =时，抛物线L 的函数表达式为______；②当2n =时，求抛物线L 的函数表达式；（3）如图2，抛物线2:n n n E y a x b x c =++，经过B 、C 两点，顶点为P ，且O 、B 、P 三点在同一直线上，①求n a 与n 的关系式；②当n k =时，设四边形PAMC 的面积k S ，当n t =时，设四边形PAMC 的面积t S （k ，t 为正整数，16k ≤≤，16t ≤≤），若4k t S S =，请直接写出k t a a ⋅值．【答案】(1)1，(2)①()2241484y x x x =-=-+，②2239324y x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，(3)163或85【分析】（1）把y=1代入，求出A 、B 两点坐标即可；（2）①把1n =代入，求出B 、C 、M 坐标即可；②把2n =代入，求出B 、C 、M 坐标即可；（3）①类似于（2）求出求出B 、C 、P 坐标，代入解析式可求；②根据4k t S S =，求出k 和t 的关系，确定它们的值，再根据①中结论求解即可．【详解】解：（1）对于24y x =，当y=1时，有214x =，解得：1=2x 或1-2，∴A (1-2，1)，B (12，1)，∴AB =11-(-)=122，故答案为：1；（2）①当n=1时，BC =AB =1，则C(32，1)，抛物线对称轴为：13()2122+÷=,由M 为抛物线顶点，∴M(1，0)，设抛物线解析式为：()21y a x =-，把B(12，1)代入得，114a =，∴a =4，∴抛物线L 的函数表达式为：()2241484y x x x =-=-+；故答案为:()2241484y x x x =-=-+②当n=2时，BC =2AB =2，则C(52，1)，同理，M(32，0)，设232y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭过点B ，则有1a =，∴抛物线L 的函数表达式为：2239324y x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭；（3）①如图，可知BC nAB n ==，则21,12n C +⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵O 、B 、P 三点共线，直线OB 解析式为：2y x=∴1,12n P n +⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴122n nbn a +=-，将点B(12，1)，1,12n P n +⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入抛物线得：211142(1)1142122n n n n n n n na b c n n a b c n b n a ⎧++=⎪⎪++⎪++=+⎨⎪+⎪=-⎪⎩即4n a n =-；②当n=k 时，AC=k+1，21(1)22k k S AC PM +=⨯⨯=，当n=t 时，AC =t+1，21(1)22t t S AC PM +=⨯⨯=，又∵4k t S S =，∴22(1)4(1)22k t ++=，解得，21k t =+，∵k ，t 为正整数，16k ≤≤，16t ≤≤，当t =1时，k =3，4416313k t a a --⋅=⨯=，当t=2时，k =5，448525k t a a --⋅=⨯=，【点睛】本题考查了二次函数的综合，解题关键是熟练运用二次函数的知识，准确进行计算．12．（2021·江西九年级其他模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y ＝ax 2+bx +c 与x 轴相交于A 、B 两点，顶点为D （0，4），AB ＝，设点F （m ，0）是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C '．（1）求抛物线C 的函数表达式；（2）若抛物线C '与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点．①抛物线C '的解析式为（用含m 的关系式表示）；②求m 的取值范围；（3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C '上的对应点为P '，设M 是C 上的动点，N 是C '上的动点，试探究四边形PMP 'N 能否成为正方形，若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣12x 2+4；（2）①y ＝12（x ﹣2m ）2﹣4；②2＜m ＜；（3）能，m ＝﹣3或6．【分析】（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （﹣，0），再设抛物线的解析式为y ＝ax 2+4，把A （，0）代入可得a ＝﹣12即可解答；（2）①由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），可得出抛物线C ′的解析式为y ＝12（x ﹣2m ）2﹣4；②联立两抛物线的解析式，消去y 得到x 2﹣2mx +2m 2﹣8＝0，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则得到关于m 的不等式组，解不等式组即可解决问题；（3）情形1，四边形PMP ′N 能成为正方形．作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，推出PF ＝FM ，∠PFM ＝90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE ＝FH ＝2，EF ＝HM ＝2﹣m ，可得M （m +2，m ﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），利用待定系数法即可解决问题．【详解】解：（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （﹣，0），设抛物线的解析式为y ＝ax 2+4，把A （﹣，0）代入可得a ＝﹣12，∴抛物线C 的函数表达式为y ＝﹣12x 2+4．（2）①∵将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C '，∴抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），∴抛物线C ′的解析式为y ＝12（x ﹣2m ）2﹣4，故答案为：y ＝12（x ﹣2m ）2﹣4．②由221421(2)42y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得到x 2﹣2mx +2m 2﹣8＝0，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有222(2)4(28)020280m m m m ⎧-->⎪>⎨⎪->⎩，解得2＜m ＜，∴满足条件的m 的取值范围为2＜m ＜．（3）结论：四边形PMP ′N 能成为正方形．理由：情形1，如图，作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，∴PF＝FM，∠PFM＝90°，∴∠FPE＝∠MFH，∴△PFE≌△FMH（AAS），∴PE＝FH＝2，EF＝HM＝2﹣m，∴M（m+2，m﹣2），∵点M在y＝﹣12x2+4上，∴m﹣2＝﹣12（m+2）2+4，解得m17﹣3或﹣17﹣3（舍弃），∴m17﹣3时，四边形PMP′N是正方形．情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），把M（m﹣2，2﹣m）代入y＝﹣12x2+4中，2﹣m＝﹣12（m﹣2）2+4，解得m ＝6或0（舍弃），∴m ＝6时，四边形PMP ′N 是正方形．综上，四边形PMP ′N 能成为正方形，m ＝﹣3或6．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，灵活运用所学知识和利用参数构建方程解决问题成为解答本题的关键．13．（2021·江西九年级月考）如图，已知二次函数L ：2242y x x n=--，其中n 为正整数，它与y 轴相交于点C ．（1）求二次函数L 的最小值（用含n 的代数式表示）．（2）将二次函数L 向左平移()34n -个单位得到二次函数1L ．①若二次函数L 与二次函数1L 关于y 轴对称，求n 的值；②二次函数1L 顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式．（3）在二次函数2242y x x n=--中，当n 依次取1，2，3，…，n 时，抛物线依次交直线2y =-于点1A ，2A ，3A ，…，n A ，顶点依次为1B ，2B ，3B ，…，n B ．①连接1n CB -，11n n B A --，n CB ，n n B A ，求证：11n n n n CA B CA B --∆∆∽；②求112233::::n n C B C B C B C B S S S S ∆∆∆∆ 的值．【答案】（1）二次函数的最小值是22n --；（2）①4n =；②6y x =-；（3）①见解析；②22221:2:3::n【分析】（1）把二次函数写成顶点式即可；（2）①根据两个解析式的顶点关于y 轴对称的坐标变化，列方程即可；②抛物线1L 的顶点坐标之间的关系，确定解析式即可；（3）①根据两个等腰三角形的底角对应相等可证相似，或三角函数证角相等也可；②可以求出三角形面积的规律，分别表示三角形面积，再比即可；或利用相似三角形的性质求面积比．【详解】解：（1）二次函数2224n y x x =--化为顶点式为：()2222y x nx n =--()2222][y x n n n =---()2222y x n n n =---，所以，二次函数的最小值是22n --．（2）∵()22422222y n nx x x n n =--=---，∴抛物线L ：242y x x =--的顶点坐标为()22n n --,，∴平移后的抛物线1L ：()()222342224222y n x n n x x n x n=-+---=+---，∴抛物线1L 的顶点坐标为()42,22n n ---．①若二次函数L 与二次函数1L 关于y 轴对称，则420n n -+=，解得4n =．②∵抛物线1L 的顶点坐标为()42,22n n ---，∴42x n =-，∴226y n x =--=-，∴6y x =-．（3）①∵系列抛物线中的顶点1B ，2B ，3B ，…，n B 都在同一直线22y x =--上，∴11n n n n A CB A CB --∠=∠．方法一：根据抛物线的对称性可知11n n CA B --∆和n n CA B ∆都是等腰三角形，∴1111n n n n A CB B A C ----∠=∠，n n n n B A C A CB ∠=∠，∴11n n n n B A C B A C --∠=∠，∴11n n n n CA B CA B --∆∆∽．方法二：过点n B 作n B F ⊥直线2y =-于点F ，过点1n B -作1n B E -⊥直线2y =-于点E ，∵tan 22n n A C n B n ==∠，()11212n 1ta n n n A C n B --=--==∠，∴11tan tan n n n n B A C B A C --∠=∠，∴11n n n n B A C B A C --∠=∠，∴11n n n n CA B CA B --∆∆∽．②方法一：∵212222n n CA B S n n n ∆=⨯⨯=，∴()()()()11223322222222::::21:22:23::21:2:3::n n CA B CA B CA B CA B S S S n n S ∆∆∆∆=⨯⨯⨯⨯= ．方法二：∵系列抛物线中的n n CA B ∆都相似，∴112233::::n n CA B CA B CA B CA B S S S S ∆∆∆∆ 等于相似比的平方．∵这些三角形的相似比恰好等于123::nCA CA CA CA ::2:4:6::2n= 1:2:3::n = ，∴1122332222::::1:2:3::n n CA B CA B CA B CA B S n S S S ∆∆∆∆= ．【点睛】本题考查了二次函数和相似三角形的综合，解题关键是熟练运用二次函数的性质和相似三角形的判定与性质进行计算．14．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，二次函数23y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为B （4，0），另一个交点为A ，且与y 轴相交于C 点．（1）求m 的值及C 点坐标；（2）P 为抛物线上一点，它关于直线BC 的对称点为Q ．①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；②点P 的横坐标为t （0＜t ＜4），当t 为何值时，四边形PBQC 的面积最大，请说明理由．【答案】（1）m=4；C （0，4）；（2）①P （P （；②当t=2时，S 四边形PBQC 最大=16；理由见解析．【分析】（1）把B （4，0）代入可求解析式，再用解析式C 点坐标；（2）根据菱形对角线互相垂直平分，求直线PQ 解析式，与抛物线解析式联立方程组即可；（3）过点P 作y 轴的平行线l 交BC 于点D ，交x 轴于点E ；过点C 作l 的垂线交l 于点F ，设点P （t ，-t 2+3t+4），表示出S △PCB 的面积，再乘以2，得到S 四边形PBQC 的函数解析式，根据解析式求最大值．【详解】（1）将B （4，0）代入y=-x 2+3x+m ，解得m=4，∴二次函数解析式为y=-x 2+3x+4，令x=0，得y=4，∴C（0，4）（2）①如图，∵点P在抛物线上，∴设P（a，-a2+3a+4），当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，∵B（4，0），C（0，4）∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，∴a=-a2+3a+4，∴1a=±∴P（）或P（）②如图，设点P（t，-t2+3t+4），过点P作y轴的平行线l交BC于点D，交x轴于点E；过点C作l的垂线交l于点F，∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为y=-x+4，∵点D在直线BC上，∴D（t，-t+4），∵PD=-t2+3t+4-（-t+4）=-t2+4t，BE+CF=4，∴S四边形PBQC =2S△PCB=2（S△PCD+S△PBD）=112()22PD CF PD BE⨯⨯+⨯⨯24416PD CF PD BE PD t t =⨯+⨯==-+∵0<t<4，∴当t=2时，S四边形PBQC最大=16【点睛】。
中考初三数学整合压轴题100题附答案
中考初三数学整合压轴题100题附答案一、中考压轴题1．用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，求代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值．【分析】本题主要是利用韦达定理来计算．已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，有四个等式可供使用：m+n＝2﹣p①，mn＝1②，m2+（p﹣2）m+1＝0③，n2+（p﹣2）n+1＝0④．通过变形方法，合理地选择解题方法．【解答】解：∵m、n是x2+（p﹣2）x+1＝0的根，∴m+n＝2﹣p，mn＝1．方法一：m2+（p﹣2）m+1＝0，n2+（p﹣2）n+1＝0．即m2+pm+1＝2m，n2+pn+1＝2n．原式＝2m×2n＝4mn＝4．方法二：（m2+mp+1）（n2+np+1）＝（m2+mp）（n2+np）+m2+mp+n2+np+1＝m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1＝1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1＝2+p2+m2+n2+2（m+n）p＝2+p2+m2+n2+2（2﹣p）p＝2+p2+m2+n2+4p﹣2p2＝2+（m+n）2﹣2mn+4p﹣2p2+p2＝2+（2﹣p）2﹣2+4p﹣2p2+p2＝4﹣4p+p2+4p﹣p2＝4．【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值．注意把所求的代数式转化成m+n＝2﹣p，mn＝1的形式，正确对所求式子进行变形是解题的关键．2．已知：y关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．【分析】（1）分两种情况讨论，当k＝1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k 的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．【解答】解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0．△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1，函数图象与x轴两个交点，∴k＜2，且k≠1．由题意得（k﹣1）x12+（k+2）＝2kx1①，将①代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2中得：2k（x1+x2）＝4x1x2．又∵x1+x2＝，x1x2＝，∴2k•＝4•．解得：k1＝﹣1，k2＝2（不合题意，舍去）．∴所求k值为﹣1．②如图，∵k1＝﹣1，y＝﹣2x2+2x+1＝﹣2（x﹣）2+．且﹣1≤x≤1．由图象知：当x＝﹣1时，y最小＝﹣3；当x＝时，y最大＝．∴y的最大值为，最小值为﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键．3．如图①，有四张编号为1、2、3、4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）所求概率为；（2）方法①（树状图法）共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，∴贴法正确的概率为，方法②（列表法）1 2 3 4第一次抽取第二次抽取1（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，∴贴法正确的概率为．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．4．如图，反比例函数的图象经过点A（4，b），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB 的面积为2．（1）求k和b的值；（2）若一次函数y＝ax﹣3的图象经过点A，求这个一次函数的解析式．【分析】（1）由△AOB的面积为2，根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知k的值，得出反比例函数的解析式，然后把x＝4代入，即可求出b的值；（2）把点A的坐标代入y＝ax﹣3，即可求出这个一次函数的解析式．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，A（4，b），∴OB×AB＝2，×4×b＝2，∴AB＝b＝1，∴A（4，1），∴k＝xy＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，即k＝4，b＝1．（2）∵A（4，1）在一次函数y＝ax﹣3的图象上，∴1＝4a﹣3，∴a＝1．∴这个一次函数的解析式为y＝x﹣3．【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．5．我国年人均用纸量约为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．（1）若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？（2）我市从2000年初开始实施天然林保护工程，大力倡导废纸回收再生，如今成效显著，森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩．假设我市年用纸量的20%可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变，请你按全市总人口约为1000万计算：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的百分之几？（精确到1%）【分析】（1）因为每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸，用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树，所以有40000×10÷1000×18÷80，计算出即可求出答案；（2）森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩，可先求出森林面积年均增长率，进而求出2005到2006年新增加的森林面积，而因回收废纸所能保护的最大森林面积＝1000×10000×28×20%÷1000×18÷50，然后进行简单的计算即可求出答案．【解答】解：（1）4×104×10÷1000×18÷80＝90（亩）．答：若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使90亩森林免遭砍伐．（2）设我市森林面积年平均增长率为x，依题意列方程得50（1+x）2＝60.5，解得x1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），1000×104×28×20%÷1000×18÷50＝20160，20160÷（605000×10%）≈33%．答：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的33%．【点评】本题以保护环境为主题，考查了增长率问题，阅读理解题意，并从题目中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能力；解答时需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．6．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则6000（1﹣x）2＝4860，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），故平均每次下调的百分率为10%；（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720（元）；方案②可优惠：80×100＝8000（元）．故选择方案①更优惠．【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．7．如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点Q，且tan∠AOQ＝．（1）求k的值；（2）连接OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形．【分析】（1）由一次函数解析式确定A点坐标，进而确定C，Q的坐标，将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值．（2）由（1）可分别确定QC＝CP，AC＝OC，且QP垂直平分AO，故可证明四边形APOQ是菱形．【解答】（1）解：∵y＝﹣x﹣2令y＝0，得x＝﹣4，即A（﹣4，0）由P为AB的中点，PC⊥x轴可知C点坐标为（﹣2，0）又∵tan∠AOQ＝可知QC＝1∴Q点坐标为（﹣2，1）将Q点坐标代入反比例函数得：1＝，∴可得k＝﹣2；（2）证明：由（1）可知QC＝PC＝1，AC＝CO＝2，且A0⊥PQ∴四边形APOQ是菱形．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，又结合了几何图形进行考查，属于综合性比较强的题目，有一定难度．8．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）．①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．【分析】（1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式；（2）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w＝销售总收入﹣经营总成本＝w A+w B﹣3×20；②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数量；（3）本问是方案设计问题，总投入为132万元，这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本．共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．【解答】解：（1）①当2≤x＜8时，如图，设直线AB解析式为：y＝kx+b，将A（2，12）、B（8，6）代入得：，解得，∴y＝﹣x+14；②当x≥8时，y＝6．所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：y＝；（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x2+7x+48；当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（5x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x+48．∴w关于x的函数关系式为：w＝．②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48＝30，解得x1＝9，x2＝﹣2，均不合题意；当x≥8时，﹣x+48＝30，解得x＝18．∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，∴3m+x+[12+3（m﹣x）]＝132，化简得：x＝3m﹣60．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x2+7x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝﹣x2+8x+48＝﹣（x﹣4）2+64∴当x＝4时，有最大毛利润64万元，此时m＝，m﹣x＝；②当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝48∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．【点评】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．9．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88，当x＝100时，v＝﹣×100+88＝48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120．∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当0≤x≤20时y＝80x，∴k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝20时，y最大＝1600；当20≤x≤220时y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，y最大＝4840．∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．【点评】本题考查了车流量＝车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．10．⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明理由．（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．【分析】（1）作⊙O2的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α，再利用解直角三角形的知识求解；（2）连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′＝∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′＝∠E，∠EAP′＝90°，从而证明∠AP′E+∠C′＝90°，则CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【解答】解：（1）连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．∵CE是直径，∴∠CDE＝90°．∴CD＝CE•sin E＝2R sinα；（2）CD与PO1的位置关系是互相垂直．理由如下：连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，∴∠ABP′＝∠C′．∵P′E是直径，∴∠EAP′＝90°，∴∠AP′E+∠E＝90°．又∠ABP′＝∠E，∴∠AP′E+∠C′＝90°，即CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．11．如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC 并延长PC交y轴于点D（0，3）．（1）求证：△POD≌△ABO；（2）若直线l：y＝kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式．【分析】（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，可求得∠APB＝∠DPO＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，即可得△P AB是等边三角形，可得AB＝OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO；（2）易求得∠PDO＝30°，由OP＝OD•tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式．【解答】（1）证明：连接PB，∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，∴∠APB＝∠DPO＝×180°＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，∵P A＝PB，∴△P AB是等边三角形，∴AB＝P A，∠BAO＝60°，∴AB＝OP，∠BAO＝∠OPD，在△POD和△ABO中，∴△POD≌△ABO（ASA）；（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO＝∠AOB，∵∠AOB＝∠APB＝×60°＝30°，∴∠PDO＝30°，∴OP＝OD•tan30°＝3×＝，∴点P的坐标为：（﹣，0）∴，解得：，∴直线l的解析式为：y＝x+3．【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．此题综合性较强，难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．12．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．【分析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．【解答】解：（1）当BD＝AC＝4时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形．∵P是优弧BAC的中点，∴＝．∴PB＝PC．又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．∴P A＝PD，即△P AD是以AD为底边的等腰三角形．（2）过点P作PE⊥AD于E，由（1）可知，当BD＝4时，PD＝P A，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，则AE＝AD＝1．∵∠PCB＝∠P AD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴cos∠P AD＝cos∠PCB＝，∴P A＝．【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．13．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？【分析】（1）连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；（3）根据已知得出∠B＝∠EO1C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO1C＝∠E，得出CO1∥ED，即可求出．【解答】（1）证明：连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C＝90°即CO1⊥AD，∵AO1＝DO1∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵四边形AEDB内接于⊙O1，∴∠E+∠ABD＝180°，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠ABC＝∠E，又∵＝，∴∠ABC＝∠AO1C，∴∠E＝∠AO1C，∴CO1∥ED，又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，∴O1C⊥AD，（3）（2）中的结论仍然成立．证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵∠B+∠AO1C＝180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，∴∠B＝∠EO1C，又∵∠E＝∠B，∴∠EO1C＝∠E，∴CO1∥ED，又ED⊥AD，∴CO1⊥AD．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．14．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．点D为圆上一点，且＝，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．（1）判断OB和BP的数量关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．【分析】（1）首先连接OC，由PC切⊙O于点C，可得∠OCP＝90°，又由∠BAC＝30°，即可求得∠COP＝60°，∠P＝30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，证得OB＝BP；（2）由（1）可得OB＝OP，即可求得AP的长，又由＝，即可得∠CAD＝∠BAC＝30°，继而求得∠E＝90°，继而在Rt△AEP中求得答案．【解答】解：（1）OB＝BP．理由：连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP＝90°，∵OA＝OC，∠OAC＝30°，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴∠COP＝60°，∴∠P＝30°，在Rt△OCP中，OC＝OP＝OB＝BP；（2）由（1）得OB＝OP，∵⊙O的半径是2，∴AP＝3OB＝3×2＝6，∵＝，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝60°，∵∠P＝30°，∴∠E＝90°，在Rt△AEP中，AE＝AP＝×6＝3．【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．15．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于40；②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；（2）不合理，举例进行说明．【解答】解：（1）①∵内角为70°，∴与它相邻内角的度数为110°．∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．合理定义方法不唯一．如定义为，越接近1，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．16．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．【分析】（1）将三角形的各顶点，向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接；（2）将三角形的各顶点，绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得△A2B2C2；（3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线；（4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心．【解答】解：如下图所示：（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴．（4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）．【点评】本题综合考查了图形的变换，在图形的变换中，关键是找到图形的对应点．17．图（1）是一个10×10格点正方形组成的网格．△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面的两个问题：（1）在图（1）中画出与△ABC相似的格点△A1B1C1和△A2B2C2，且△A1B1C1与△ABC的相似比是2，△A2B2C2与△ABC的相似比是；（2）在图（2）中用与△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2全等的格点三角形（每个三角形至少使用一次），拼出一个你熟悉的图案，并为你设计的图案配一句贴切的解说词．【分析】（1）△A1B1C1与△ABC的相似比是2，则让△ABC的各边都扩大2倍就可．△A2B2C2与△ABC的相似比是；△ABC的直角边是2，所以△A2B2C2与的直角边是即一个对角线的长度．斜边为2．依此画图即可；（2）拼图有审美意义即可，答案不唯一．【解答】解：【点评】本题主要考查了相似图形的画法，做这类题时根据的是相似图形的性质，即相似比相等．对应角相等．18．如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，（1）求的长；（2）若，直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，∠DMN＝60°，将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1≤d≤4，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．【分析】（1）连接OE、OF，利用相切证明四边形AFOE是正方形，再根据弧长公式求弧长；（2）先求出直线M1N1与圆相切时d的值，结合1≤d≤4，划分d的范围，分类讨论．【解答】解：（1）连接OE、OF，∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，∴∠A＝90°，∠OEA＝∠OF A＝90°∴四边形AFOE是正方形∴∠EOF＝90°，OE＝AE＝∴的长＝＝π．（2）如图，将直线MN沿射线DA方向平移，当其与⊙O相切时，记为M1N1，切点为R，交AD于M1，交BC于N1，连接OM1、OR，∵M1N1∥MN∴∠DM1N1＝∠DMN＝60°∴∠EM1N1＝120°∵MA、M1N1切⊙O于点E、R∴∠EM1O＝∠EM1N1＝60°在Rt△EM1O中，EM1＝＝＝1∴DM1＝AD﹣AE﹣EM1＝+5﹣﹣1＝4．过点D作DK⊥M1N1于K在Rt△DM1K中DK＝DM1×sin∠DM1K＝4×sin∠60°＝2即d＝2，∴当d＝2时，直线MN与⊙O相切，当1≤d＜2时，直线MN与⊙O相离，当直线MN平移到过圆心O时，记为M2N2，点D到M2N2的距离d＝DK+OR＝2+＝3＞4，∴当2＜d≤4时，MN直线与⊙O相交．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．19．如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；（2）如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．【分析】（1）可通过连接AD，AD就是等腰三角形ABC底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出∠CAD＝∠BAD，根据圆周角定理即可得出∠DEB＝∠DBE，便可证得DE＝DB．（2）本题中由于BE⊥AC，那么BE就是三角形ABC中AC边上的高，可用面积的不同表示方法得出AC•BE＝CB•AD．进而求出BE的长．【解答】解：（1）DE＝BD证明：连接AD，则AD⊥BC，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD（等腰三角形三线合一），∴＝，∴DE＝BD；（2）∵AB＝5，BD＝BC＝3，∴AD＝4，∵AB＝AC＝5，∴S△ABC＝•AC•BE＝•CB•AD，∴BE＝4.8．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的运用，用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等是解题的关键．20．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x＝288．解这个方程，得x1＝﹣12（不合题意，舍去），x2＝12所以温室的长为2×12+3+1＝28（m），宽为12+1+1＝14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，然后由题意得，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得，即，然后利用比例的性质，即可求得答案．【解答】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：设温室的宽为xm，则长为2xm．则矩形蔬菜种植区域的宽为（x﹣1﹣1）m，长为（2x﹣3﹣1）m．∵，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，即，即2AB﹣2（b+d）＝2AB﹣（a+c），∴a+c＝2（b+d），即．【点评】此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．21．二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分如图所示，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．。
江西省历年中考数学真题压轴题集锦
江西省历年中考数学真题压轴题集锦1．(2019)（12分）特例感知（1）如图1，对于抛物线y1＝﹣x2﹣x+1，y2＝﹣x2﹣2x+1，y3＝﹣x2﹣3x+1，下列结论正确的序号是；①抛物线y1，y2，y3都经过点C（0，1）；②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移个单位得到；③抛物线y1，y2，y3与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．形成概念（2）把满足y n＝﹣x2﹣nx+1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．知识应用在（2）中，如图2．①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，P n，用含n的代数式表示顶点P n的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…，∁n，其横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．③在②中，直线y＝1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，…，A n，连接∁n A n，C n﹣1A n﹣1，判断∁n A n，C n﹣1A n﹣1是否平行？并说明理由．2. (2018)小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验(1)已知抛物线经过点(-1,0),则= ，顶点坐标为，该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线的表达式是 .抽象感悟我们定义：对于抛物线,以轴上的点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线 ,则我们又称抛物线为抛物线的“衍生抛物线”，点为“衍生中心”.(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求的取值范围.问题解决(3) 已知抛物线①若抛物线的衍生抛物线为,两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求的值及衍生中心的坐标；②若抛物线关于点的衍生抛物线为 ,其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…(为正整数).求的长(用含的式子表示).3．(2017)我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为4．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．4. (2016)．（12分）设抛物线的解析式为y=ax2，过点B1（1，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A1（1，2）；过点B2（，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A2；…；过点B n（（）n﹣1，0）（n为正整数）作x轴的垂线，交抛物线于点A n，连接A n B n，得Rt△A n B n B n+1．+1（1）求a的值；（2）直接写出线段A n B n，B n B n+1的长（用含n的式子表示）；（3）在系列Rt△A n B n B n+1中，探究下列问题：①当n为何值时，Rt△A n B n B n+1是等腰直角三角形？②设1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），问：是否存在Rt△A k B k B k+1与Rt△A m B m B m+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由．5 .(2015)．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．特例探索(1)如图1，当∠ABE＝45°，c＝a＝，b＝；如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝，b＝；图3图2图1CA B A归纳证明(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；拓展应用(3)如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝AB＝3．求AF的长．EA6． (2014) 如图1，抛物线2(0)yax bx c a 的顶点为M ，直线y=m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若三角形AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A 、B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高。
2021年江西省南昌市中考数学压轴题总复习(附答案解析)
2021年江西省南昌市中考数学压轴题总复习中考数学压轴题是想获得高分甚至满分必须攻破的考题，得分率低，需要引起重视。
从近10年中考压轴题分析可得中考压轴题主要考查知识点为二次函数，圆，多边形，相似，锐角三角形等。
预计2021年中考数学压轴题依然主要考查这些知识点。
1．将抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C1，C2的解析式；
（2）如图（1），点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；
（3）如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段
EF的中点；直线y=−4
k x与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直
线MN经过一个定点．
2．如图，直线y=−1
2x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y=−
1
4x
2+bx+c经过点A，
点C，且交x轴于另一点B．
（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M 的坐标；
（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．。
江西省南昌市,2020~2021年中考数学压轴题精选解析
江西省南昌市，2020~2021年中考数学压轴题精选解析江西省南昌市中考数学压轴题精选~~第1题~~(2020南昌.中考模拟) 已知点为抛物线上一动点，以为顶点，且经过原点的抛物线，记作“ ”，设其与轴另一交点为，点的横坐标为．（1）①当为直角三角形时，求的值.②当为等边三角形时，求此时“ ”的解析式.（2）若点的横坐标分别为1，2，3，…… （为正整数）时，抛物线“ ”，分别记作“ ”，“ ”…“ ”，设其与轴另一交点分别为，， … ，过，，，…，作轴的垂线，垂足分别为，，，…，．①求的坐标和的坐标；（用含的代数式表示）②当时，求的值；③是否存在这样的，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．~~第2题~~(2020南昌.中考模拟) 定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．（1）概念理解：在互补四边形中，与是一组对角，若则 ________（2）如图1，在中，点分别在边上，且求证：四边形是互补四边形．（3）探究发现：如图2，在等腰中，点分别在边上，四边形是互补四边形，求证：．（4）推广运用：如图3，在中，点分别在边上，四边形是互补四边形，若，求的值．~~第3题~~(2019南昌.中考模拟) 我们规定，以二次函数y=ax+bx+c的二次项系数a的2倍为一次项系数，一次项系数b为常数项构造的一次函数y=2ax+b叫做二次函数y=ax+bx+c的“子函数”，反过来，二次函数y=ax+bx+c叫做一次函数y=2ax+b的“母函数”．（1）若一次函数y=2x-4是二次函数y=ax+bx+c的“子函数”，且二次函数经过点（3，0），求此二次函数的解析式及顶点坐标．（2）若“子函数”y=x-6的“母函数”的最小值为1，求“母函数”的函数表达式．（3）已知二次函数y=-x-4x+8的“子函数”图象直线l与x轴、y轴交于C、D两点，动点P为二次函数y=-x-4x+8对称轴右侧上的动点，求△PCD的面积的最大值．~~第4题~~(2019南昌.中考模拟) 如图1，抛物线C：y＝x经过变换可得到抛物线C：y＝a x（x﹣b），C与x轴的正半轴交于点A，且其对称轴分别交抛物线C、C于点B、D．此时四边形OB A D恰为正方形：按上述类似方法，如图2，抛物线C：y＝a x（x﹣b）经过变换可得到抛物线C：y＝a x（x﹣b），C与x轴的正半轴交于点A，且其对称轴分别交抛物线C、C于点B、D．此时四边形OB A D也恰为正方形：按上述类似方法，如图3，可得到抛物线C：y＝a x（x﹣b）与正方形OB A D，请探究以下问题：（1）填空：a＝，b＝；（2）求出C与C的解析式；（3）按上述类似方法，可得到抛物线∁：y＝a x（x﹣b）与正方形OB A D（n≥1）①请用含n的代数式直接表示出∁的解析式；②当x取任意不为0的实数时，试比较y与y的函数值的大小关系，并说明理由．~~第5题~~(2015南昌.中考真卷) 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．（1）22222221111111111111112222221222222333 33331123n n n n n n nn20182019特例探索如图1，当∠ABE=45°，c=2时，a= ，b= ．如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a= ，b= ．（2）归纳证明222请你观察（1）中的计算结果，猜想a，b，c三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．（3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2，AB=3，求AF的长．Array江西省南昌市中考数学压轴题答案解析~~第1题~~答案：解析：答案：解析：~~第3题~~答案：解析：~~第4题~~答案：解析：答案：解析：。
南昌市中考数学 整式乘法与因式分解易错压轴解答题(含答案)
南昌市中考数学整式乘法与因式分解易错压轴解答题(含答案)一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；……根据这一规律计算：（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝________.（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝________. （2）22020+22019+22018+…+22+2+1.（3）32020﹣32019+32018﹣32017+…+32﹣3+1.2．好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是： ×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．（1）计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为________．（2）( x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为________．（3）若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；（4）若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020=________．3．[数学实验探索活动]实验材料现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片.实验目的：用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径.例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积，写出相应的等式有a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2.问题探索：（1）小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，那么需要两种正方形纸片________张，长方形纸片________张；（2）选取正方形、长方形硬纸片共8块，可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；（3）试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框3内.4．有一个边长为m+3的正方形，先将这个正方形两邻边长分别增加1和减少1，得到的长方形①的面积为S1.（1）试探究该正方形的面积S与S1的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由；（2）再将这个正方形两邻边长分别增加4和减少2，得到的长方形②的面积为S2.①试比较S1， S2的大小；②当m为正整数时，若某个图形的面积介于S1， S2之间（不包括S1， S2）且面积为整数，这样的整数值有且只有16个，求m的值.5．（1）若m2+n2=13，m+n=3，则mn=________ 。
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一、函数与几何综合的压轴题1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上；(2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程.(3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式.[解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ''''==又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC''+= ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2316EO DO DB AB ''=⨯=⨯=∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上图①图②方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得02x y =⎧⎨=-⎩∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上（2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3）E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-⎧⎪++=-⎨⎪=-⎩解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2（3）（本小题给出三种方法，供参考）由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。
同（1）可得：1E F E FAB DC''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '⇒=，∴13DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =11122223DC DB DC DF DC DB •-•=•=13DC DB •=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()1132322BD E F k k '=•=+⨯=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式.证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()2213992AE C ABCD S S AB CD BD k '∆==⨯+•=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式.2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标；（2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明；（3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若421hS S =，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式.[解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1，在Rt △AOM 中，AO ＝122=-OM AM ，∴点A 的坐标为A （0，1）（2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y ＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B （—1，0）， AB ＝2112222=+=+AO BO在△ABM 中，AB ＝2，AM ＝2，BM ＝2222224)2()2(BM AM AB ==+=+∴△ABM 是直角三角形，∠BAM ＝90° ∴直线AB 是⊙M 的切线（3）解法一：由⑵得∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝22， ∴BC ＝10)22()2(2222=+=+AC AB∵∠BAC ＝90° ∴△ABC 的外接圆的直径为BC ，∴πππ25)210()2(221=•=•=BC S而πππ2)222()2(222=•=•=AC S421h S S =Θ，5,4225=∴=h h 即 ππ设经过点B （—1，0）、M （1，0）的抛物线的解析式为：y ＝a （＋1）（x －1），（a≠0）即y ＝ax 2－a ，∴－a ＝±5，∴a ＝±5 ∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法二：（接上） 求得∴h ＝5由已知所求抛物线经过点B （—1，0）、M （1、0），则抛物线的对称轴是y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）∴抛物线的解析式为y ＝a （x －0）2±5又B （－1,0）、M （1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a ＝±5∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法三：（接上）求得∴h ＝5因为抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-===⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±=-=+-=++5055c 0b 5544002c b a a ab ac c b a c b a 或 ＝－ 解得∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5.3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P （1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A 、B 两点，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 过点A 、B ，且顶点C 在⊙P 上. (1)求⊙P 上劣弧⌒AB 的长； (2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点D ，使线段OC 与PD若不存在，请说明理由.[解] （1）如图，连结PB ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1, ∴∠MPB ＝60°，∴∠APB ＝120°⌒AB 的长＝342180120ππ=⋅⋅︒︒ （2）在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1,则MB ＝MA ＝3. 又OM=1，∴A （1－3，0），B （1＋3，0）， 由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线PM 上， 则C(1，－3).点A 、B 、C 在抛物线上，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+-+-=++++=c b a c b a c b a 3)31()31(0)31()31(022 解之得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==221c b a ∴抛物线解析式为222--=x x y（3）假设存在点D ，使OC 与PD 互相平分，则四边形OPCD 为平行四边形，且PC ∥OD.又PC ∥y 轴，∴点D 在y 轴上，∴OD ＝2，即D （0，－2）.又点D （0，－2）在抛物线222--=x x y 上，故存在点D （0，－2）， 使线段OC 与PD 互相平分.4.（2004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt △ABC 的直角顶点C （0在y 轴的正半轴上，A 、B 是x 轴上是两点，且OA ∶OB ＝3∶1，以OA 、OB 为直径的圆分别交AC 于点E ，交BC 于点F .直线EF 交OC 于点Q . （1）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）请猜想：直线EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.（3）在△AOC 中，设点M 是AC 边上的一个动点，过M 作MN ∥AB 交OC 于点N .试问：在x 轴上是否存在点P ，使得△PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P[解] (1)在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴△AOC ≌△COB .∴OC 2＝OA ·OB .∵OA ∶OB ＝3∶1,C∴23.OB OB =g∴OB ＝1.∴OA ＝3. ∴A (-3,0),B (1,0).设抛物线的解析式为2.y ax bx c =++则930,0,a b c a b c c ⎧-+=⎪++=⎨⎪=⎩解之，得a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴经过A 、B 、C三点的抛物线的解析式为23y x =-- (2)EF 与⊙O 1、⊙O 2都相切.证明：连结O 1E 、OE 、OF .∵∠ECF ＝∠AEO ＝∠BFO ＝90°, ∴四边形EOFC 为矩形. ∴QE ＝QO . ∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°， ∴EF 与⊙O 1相切. 同理：EF 理⊙O 2相切.(3)作MP ⊥OA 于P ，设MN ＝a ,由题意可得MP ＝MN ＝a . ∵MN ∥OA ,∴△CMN ∽△CAO .∴.MN CNAO CO =∴3a =解之，得a =此时，四边形OPMN 是正方形.∴MN OP ==∴(P考虑到四边形PMNO 此时为正方形，∴点P 在原点时仍可满足△PNN 是以MN 为一直角边的等腰直角三角形.故x 轴上存在点P 使得△PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形且3(,0)2P -或(0,0).P 5.（2004湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(415，823)，P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部(不在各边上)的—个动点，点D 在y 轴，抛物线y ＝ax 2+b x +1以P 为顶点．(1)说明点A 、C 、E 在一条条直线上；(2)能否判断抛物线y ＝ax 2+b x +1的开口方向?请说明理由；(3)设抛物线y ＝ax 2+b x +1与x 轴有交点F 、G(F 在G 的左侧)，△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点．这时能确定a 、b 的值吗?若能，请求出a 、b 的值；若不能，请确定a 、b 的取值范围． (本题图形仅供分析参考用)[解] （1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=21x 将点E 的坐标E(415，823)代入y=21x +1中，左边=823，右边=21×415+1=823， ∵左边=右边，∴点E 在直线y=21x +1上，即点A 、C 、E 在一条直线上.（2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 都在抛物线上，且P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下解法二：∵抛物线y=ax 2+b x +c的顶点P 的纵坐标为ab a 442—，且P 在矩形ABCD 内部，∴1＜a b a 442—＜3，由1＜1—a b 42得—ab 42＞0，∴a ＜0，∴抛物线的开口向下.由方程组 y=ax 2—6ax +1y=21x +1 得：ax 2—（6a +21）x =0 （3）连接GA 、FA ，∵S △GAO —S △FAO =3 ∴21GO ·AO —21FO ·AO=3 ∵OA=1，∴GO —FO=6. 设F （x 1,0）、G （x 2,0），则x 1、x 2为方程ax 2+b x +c=0的两个根，且x 1＜x 2，又∵a ＜0，∴x 1·x 2=a1＜0，∴x 1＜0＜x 2， ∴GO= x 2，FO= —x 1，∴x 2—（—x 1）=6， 即x 2+x 1=6，∵x 2+x 1= —a b ∴—ab=6， ∴b= —6a ,∴抛物线解析式为：y=ax 2—6ax +1, 其顶点P 的坐标为（3，1—9a ）, ∵顶点P 在矩形ABCD 内部， ∴1＜1—9a ＜3, ∴—92＜a ＜0.∴x =0或x =a a 216=6+a21. 当x =0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交 点，则有：0＜6+a 21≤415，解得：—92≤a ＜—121 综合得：—92＜a ＜—121 ∵b= —6a ，∴21＜b ＜346.（2004湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A 过点B 且与x 轴分别相交于点O 、C ，⊙A 被y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l 与⊙A 切于点O ，抛物线的顶点在直线l 上运动. （1）求⊙A 的半径；（2）若抛物线经过O 、C 两点，求抛物线的解析式；（3）过l 上一点P 的直线与⊙A 交于C 、E 两点，且PC ＝CE ，求点E 的坐标； （4）若抛物线与x 轴分别相交于C 、F 两点，其顶点P 的横坐标为m ，求△PEC 的面积关于m 的函数解析式.[解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO ＝90º再由AB ＝AO ＝r ，且OB ＝2，得r ＝ 2 (2)⊙A 的切线l 过原点，可设l 为y ＝kx任取l 上一点(b ，kb )，由l 与y 轴夹角为45º可得： b ＝－kb 或b ＝kb ，得k ＝－1或k ＝1， ∴直线l 的解析式为y ＝－x 或y ＝x又由r，易得C(2，0)或C(－2，0)由此可设抛物线解析式为y ＝ax (x －2)或y ＝ax (x ＋2) 再把顶点坐标代入l 的解析式中得a ＝1 ∴抛物线为y ＝x 2－2x 或y ＝x 2＋2x……6分(3)当l 的解析式为y ＝－x 时，由P 在l 上，可设P(m ，－m)(m ＞0) 过P 作PP′⊥x 轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP ＝2m 2，又由切割线定理可得：OP 2＝PC·PE,且PC ＝CE ，得PC ＝PE ＝m ＝PP′7分 ∴C 与P′为同一点，即PE ⊥x 轴于C ，∴m ＝－2，E(－2，2)…8分 同理，当l 的解析式为y ＝x 时，m ＝－2，E(－2，2)(4)若C(2，0)，此时l 为y ＝－x ，∵P 与点O 、点C 不重合，∴m≠0且m≠2， 当m ＜0时，FC ＝2(2－m)，高为|y p |即为－m ， ∴S ＝22(2)()22m m m m --=-同理当0＜m ＜2时，S ＝－m 2＋2m ；当m ＞2时，S ＝m 2－2m ；∴S ＝222(02)2(02)m m m m m m m ⎧-<>⎨-+<<⎩或 又若C(－2，0)， 此时l 为y ＝x ，同理可得；S ＝222(20)2(20)m m m m m m m ⎧+<->⎨---<<⎩或7.（2006江苏连云港）如图，直线4+=kx y 与函数)0,0(>>=m x xmy 的图像交于A 、B 两点，且与x 、y 轴分别交于C 、D 两点．（1）若COD ∆的面积是AOB ∆的面积的2倍，求k 与m 之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，是否存在k 和m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ．若存在，求出k 和m 的值；若不存在，请说明理由．[解]（1）设),(11y x A ，),(22y x B (其中2121,y y x x ><)，由AOB COD S S ∆∆=2，得)(2BOD AOD COD S S S ∆∆∆-= ∴21·OC ·2=OD (21·OD ·-1y 21·OD ·2y )，(21y OC =又4=OC ，∴8)(221=-y y ，即84)(21221=-+y y y y ， 由xmy =可得y m x =，代入4+=kx y 可得042=--km y y ①∴421=+y y ，km y y -=⋅21，∴8416=+km ，即mk 2-=． 又方程①的判别式08416>=+=∆km ，∴所求的函数关系式为mk 2-=)0(>m ． （2）假设存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P 则BP AP ⊥，过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M ∵MAP ∠与BPN ∠都与APM ∠互余，∴MAP ∠ BPN ∠=． ∴Rt MAP ∆∽Rt NPB ∆，∴NBMPPN AM =． ∴212122y x x y -=-，∴0)2)(2(2121=+--y y x x ， ∴0)2)(2(2121=+--y y y m y m ， 即0)(4)(222121212=+++-y y y y y y m m ②由（1）知421=+y y ，221=⋅y y ，代入②得01282=+-m m ，∴2=m 或6，又m k 2-=，∴⎩⎨⎧-==12k m 或⎪⎩⎪⎨⎧-==316k m ， ∴存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ，且⎩⎨⎧-==12k m 或⎪⎩⎪⎨⎧-==316k m ．8.（2004江苏镇江）已知抛物线2(5)5(0)y mx m x m =--->与x 轴交于两点1(,0)A x 、2(,0)B x 12()x x <，与y 轴交于点C ，且AB =6.（1）求抛物线和直线BC 的解析式.（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC . （3）若P e 过A 、B 、C 三点，求P e 的半径.（4）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，使MBN ∆被直线BC分成面积比为13:的两部分？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.[解]（1）由题意得：12122155,, 6.m x x x x x x m m--+=⋅=-= 221212520()436,36,m x x x x m m -⎛⎫+-=+= ⎪⎝⎭解得1251,.7m m ==-经检验m =1，∴抛物线的解析式为：24y x =+或：由2(5)50mx m x ---=得，1x =或5x m-=0,m Q >516, 1.m m-∴-=∴= ∴抛物线的解析式为24 5.y x x =+-由2450x x +-=得125, 1.x x =-=∴A （－5，0），B （1，0），C （0，－5）. 设直线BC 的解析式为,y kx b =+ 则5,5,0. 5.b b k b k =-=-⎧⎧∴⎨⎨+==⎩⎩∴直线BC 的解析式为5 5.y x =- (2)图象略.（3）法一：在Rt AOC D 中，5,45.OA OC OAC ==∴∠=︒Q90BPC ∴∠=︒.又BC ==∴P e 的半径2PB == 法二：由题意，圆心P 在AB 的中垂线上，即在抛物线245y x x =+-的对称轴直线2x =-上，设P （－2，－h ）（h ＞0），连结PB 、PC ，则222222(12),(5)2PB h PC h =++=-+，由22PB PC =，即2222(12)(5)2h h ++=-+，解得h =2.(2,2),P P ∴--∴e 的半径PB ==.法三：延长CP 交P e 于点F .CF Q 为P e 的直径，90.CAF COB ∴∠=∠=︒ 又,.ABC AFC ACF OCB ∠=∠∴D ~D,.CF AC AC BCCF BC OC OC⋅∴=∴=又AC ==5,CO BC ===∞5CF ∴==P ∴e（4）设MN 交直线BC 于点E ，点M 的坐标为2(,45),t t t +-则点E 的坐标为(,55).t t -若13,MEB ENB S S =D D ::则13.ME EN =::2434,45(55).3EN MN t t t ∴=∴+-=-::解得11t =（不合题意舍去），25,3t =540,.39M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭若31,MEB ENB S S =D D ::则31.ME EN =::214,454(55).EN MN t t t ∴=∴+-=-::解得31t =（不合题意舍去），415,t =()15,280.M ∴∴存在点M ，点M 的坐标为540,39⎛⎫⎪⎝⎭或（15，280）.9. 如图，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，其坐标分别为)03(，-A 、)01(，B ，直径CD ⊥x 轴于N ，直线CE 切⊙M 于点C ，直线FG 切⊙M 于点F ，交CE 于G ，已知点G 的横坐标为3.(1) 若抛物线m x x y +--=22经过A 、B 、D 三点，求m 的值及点D 的坐标. (2) 求直线DF 的解析式.(3) 是否存在过点G 的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.[解] (1) ∵抛物线过A 、B 两点，∴11)3(-=⨯-m ，m =3.∴抛物线为322+--=x x y .又抛物线过点D ，由圆的对称性知点D 为抛物线的顶点. ∴D 点坐标为)41(，-.(2) 由题意知：AB =4.∵CD ⊥x 轴，∴NA =NB =2. ∴ON =1. 由相交弦定理得：NA ·NB =ND ·NC ，（第9题图）∴NC ×4=2×2. ∴NC =1. ∴C 点坐标为)11(--，.设直线DF 交CE 于P ，连结CF ，则∠CFP =90°. ∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°. ∵GC 、GF 是切线， ∴GC =GF . ∴∠3=∠4. ∴∠1=∠2. ∴GF =GP . ∴GC =GP . 可得CP =8.∴P 点坐标为)17(-，设直线DF 的解析式为b kx y +=则⎩⎨⎧-=+=+-174b k b k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=82785b k∴直线DF 的解析式为：82785+-=x y(3) 假设存在过点G 的直线为11b x k y +=， 则1311-=+b k ，∴1311--=k b .由方程组⎩⎨⎧+--=--=3213211x x y k x k y 得034)2(112=--++k x k x 由题意得421=--k ，∴61-=k . 当61-=k 时，040<-=∆， ∴方程无实数根，方程组无实数解. ∴满足条件的直线不存在.10.（2004山西）已知二次函数212y x bx c =++的图象经过点A （－3，6），并与x 轴交于点B （－1，0）和点C ，顶点为P.（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象； （2）设D 为线段OC 上的一点，满足∠DPC ＝∠BAC ，求点D 的坐标； （3）在x 轴上是否存在一点M ，使以M 为圆心的圆与AC 、PC 所在的直线及y 轴都相切？如果存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.[解] （1）解：∵二次函数212y x bx c =++的图象过点A （－3，6），B （－1，0）得9362102b c b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得132b c =-⎧⎪⎨=-⎪⎩∴这个二次函数的解析式为：21322y x x =-- 由解析式可求P （1，－2），C （3，0） 画出二次函数的图像（2）解法一：易证：∠ACB ＝∠PCD ＝45°又已知：∠DPC ＝∠BAC ∴△DPC ∽△BAC ∴DC PCBC AC=易求4AC PC BC === ∴43DC = ∴45333OD =-= ∴5,03D ⎛⎫⎪⎝⎭解法二：过A 作AE ⊥x 轴，垂足为E.设抛物线的对称轴交x 轴于F. 亦可证△AEB ∽△PFD 、∴PE EBPF FD=. 易求：AE ＝6，EB ＝2，PF ＝2 ∴23FD = ∴25133OD =+= ∴5,03D ⎛⎫⎪⎝⎭（3）存在.（1°）过M 作MH ⊥AC ，MG ⊥PC 垂足分别为H 、G ，设AC 交y 轴于S ，CP 的延长线交y 轴于T∵△SCT 是等腰直角三角形，M 是△SCT 的内切圆圆心， ∴MG ＝MH ＝OM 又∵MC =且OM ＋MC ＝OC3,3OM OM +==得 ∴()3,0M（2°）在x 轴的负半轴上，存在一点M ′同理OM′＋OC ＝M′C ，OM OC ''+=得3OM '=∴M ′()3,0- 即在x 轴上存在满足条件的两个点.11.（2004浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A （－1，0），B （3，0）.（1）若抛物线过A ，B 两点，且与y 轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标；（2）如图，小敏发现所有过A ，B 两点的抛物线如果与y 轴负半轴交于点C ，M 为抛物线的顶点，那么△ACM 与△ACB 的面积比不变，请你求出这个比值； （3）若对称轴是AB 的中垂线l 的抛物线与x 轴交于点E ，F ，与y 轴交于点C ，过C 作CP ∥x 轴交l 于点P ，M 为此抛物线的顶点.若四边形PEMF 是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.[解] （1）322--=x x y ，顶点坐标为（1，－4）.（2）由题意，设y ＝a （x ＋1）（x －3），即y ＝ax 2－2ax －3a ，∴ A （－1，0），B （3，0），C （0，－3a ）， M （1，－4a ）， ∴ S △ACB ＝21×4×a 3-＝6a ， 而a ＞0， ∴ S △ACB ＝6A 、 作MD ⊥x 轴于D ，又S △ACM ＝S △ACO ＋S OCMD －S △AMD ＝21·1·3a ＋21（3a ＋4a ）－21·2·4a ＝a ， ∴ S △ACM ：S △ACB ＝1：6.（3）①当抛物线开口向上时，设y ＝a （x －1）2＋k ，即y ＝ax 2－2ax ＋a ＋k ， 有菱形可知k a +＝k ，a ＋k ＞0，k ＜0， ∴ k ＝2a-， ∴ y ＝ax 2－2ax ＋2a， ∴ 2=EF . 记l 与x 轴交点为D ，若∠PEM ＝60°，则∠FEM ＝30°，MD ＝DE·tan30°＝66， ∴ k ＝－66，a ＝36， ∴ 抛物线的解析式为666326312+-=x x y . 若∠PEM ＝120°，则∠FEM ＝60°，MD ＝DE·tan60°＝26， ∴ k ＝－26，a ＝6， ∴ 抛物线的解析式为266262+-=x x y . ②当抛物线开口向下时，同理可得666326312-+-=x x y ，266262-+-=x x y . 12.（2005北京）已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx k =-4的图象与x 轴交于点A ，抛物线y ax bx c =++2经过O 、A 两点。