27173概率论与数理统计第4章练习题
概率论与数理统计第四章习题及答案
概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）.解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξP =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]查二项分布表1－=.因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛04××=.P (X =1)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14××=, P (X =2)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛24××=.P (X =3)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34××=, P (X =4)= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛44××=. 从而E (X )=np =4×=习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+j j X P jjj ,说明X的数学期望不存在.解： 由于1111133322(1)((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数112j j ∞=∑发散，故级数11133(1)((1))j jj j j P X j j∞++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X-2 0 2 k p求)53(),(),(22+X E X E X E .解 E (X )=(-2)+0+2=由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E (X 2)=(-2)2+02+22=E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[322+5]=如利用数学期望的性质，则有E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=4.135)(3)53(,8.23.04.0)(,2.03.023.004.02)(222222)2(=+=+=⨯+⨯=-=⨯+⨯+⨯-=-X E X E X E X E习题4-4 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,0,0,)(x x e x f x 求XeY X Y 2)2(;2)1(-==的数学期望.解22)(2)0(2)(2)2()()(00=-=+-=+⋅===∞-∞+-∞-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xx e dx e xe dx xe dx x dx x xf X E Y E I3131)()()(0303022=-==⋅==∞-∞+-∞+---⎰⎰xx x x X edx e dx e e e E Y E II 习题4-5 设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=其它,0,10,12),(2x y y y x f求)(),(),(),(22Y X E XY E Y E X E +.解 各数学期望均可按照⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y x g Y X g E ),(),()],([计算。
概率论与数理统计第四章习题解
7.若连续型随机变量ξ的分布密度是：
⎧ax2 + bx + c , (0 < x < 1)
f (x) = ⎨ ⎩
0
， , (x ≤ 0, x ≥ 1)
已知 E(ξ ) ＝1/2， D(ξ ) =3/20,求系数 a 、 b 、 c .
解：应用密度函数的性质有：
∫1
(ax 2
+
bx
+
c)dx
=
(a
x3
解：(1). E(ξ ) ＝－2×0.4＋0×0.3＋2×0.3＝-0.2 .
(2). E(ξ 2 ) = 4 × 0.4 + 0 × 0.3 + 4 × 0.3 = 2.8，
则： E(3ξ 2 + 5) ＝ 3E(ξ 2 ) + 5 = 3 × 2.8 + 5 = 13.4 . (3).由(1),(2)解：
D(ξ ) = E(ξ 2 ) − E 2 (ξ ) = 2.8 − (−0.2)2 = 2.76 .
11.设随机变量
(ξ
,η)
具有概率密度：
f
( x,
y)
=
⎧1 ⎩⎨0
(| y |< x,0 < x < 1) (其它)
，试求：
-5-
E(ξ ) ， E(η) .
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 解：
E(ξ )
=
解：由连续型随机变量数学期望的定义式：
∫ ∫ ∫ +∞
1500
E(ξ ) = xf (x)dx =
1
x 2dx − 3000 x(x − 3000) dx
−∞
0 15002
1500 15002
概率论与数理统计第四章补充习题
第四章补充习题一、 填空题1、 设随机变量X 则Y X 和的相关系数XY ρ= ，=),(2222Y X Cov Y X 的协方差和 。
2、设随机变量Y X 和的数学期望分别为22和-，方差分别为41和，而相关系数为5.0-，则根据切比雪夫不等式{}≤≥+6Y X P 。
3、设随机变量Y X 与相互独立且均服从正态分布2(0,)N ， 则)(Y X E -= ，=-)(Y X D 。
4、随机变量ξ服从指数分布，参数λ= 时，72)(2=ξE 。
5、设随机变量Y X ,，2)(-=X E ，4)(=Y E ，4)(=X D ，9)(=Y D ，5.0-=XY ρ， =-+-)323(22Y XY X E 。
6、设随机变量Y X 与的相关系数9.0=XY ρ，若4.0-=X Z ，则=YZ ρ 。
7、设Y X ,同分布，密度函数均为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它若0102)(2tx xtx f ，使t Y X C E 1))2((=+， 则=C 。
8、设随机变量X 的数学期望和方差均为0，则{}=≠0X P 。
9、将一枚均匀硬币连掷3次，用X 表示正面出现的总次数，Y 表示第一次掷得的正面数， 则=)(XY E ，=),(Y X Cov ，=XY ρ 。
二、选择题1、设随机变量Y X 和独立同分布，记 Y X V Y X U +=-=,，则随机变量V U 与必然（ ） （A ）不独立， (B) 独立， (C) 相关系数不为零， (D) 相关系数为零。
2、将一枚硬币掷n 次，以Y X 和分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则Y X 和的相关系数等于（ ）。
（A ）1- (B) 0 (C)21(D) 1。
3、设随机变量Y X 和相互独立且分别服从正态分布(0, 1)N 和(1, 1)N ，则（ ）。
(A) {}210=≤+Y X P , (B) {}211=≤+Y X P , (C) {}210=≤-Y X P , (D) {}211=≤-Y X P 。
概率论与数理统计第4章例题
则=)(X E DA. 0.96B. 0.3C. 1.4D. 2.6 2.的概率密度为设随机变量X ⎩⎨⎧≤≤=其它102)(x xx f ,=)(X E 则 C2.A 1.B 32.C3.D3.设随机变量X ，其概率密度为 ()1101010x x f x xx +-≤≤⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其它，求()E X . 解()()()()011011E Xx fx dx x x dx x x dx +∞-∞-==++-⎰⎰⎰=04. 设连续型随机变量X 的分布函数为30,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求()E X解()23010x x f x ⎧≤≤=⎨⎩其它()13334E X x dx ==⎰5.设随机变量X 的分布列为（1） 试计算常数a ； （2）求随机变量()21-=X Y 的期望. 解、（1）由14126131=++++a a，得121=a（2）随机变量Y 的所有可能取值4,1,41,0，Y的分布律为所以()=Y E 2441方差部分1.方差的计算公式为C A.22)(EX EXDX -= B. 22)(EX EX DX -= C. 2)(EX EX DX -=D. EX EX DX -=22.某牌号手表日走时误差()()X E X ,D X ，求.解 010*******=⨯+⨯+⨯-=...)()(X E2010********222....)()(=⨯+⨯+⨯-=X E 20.)(=x D3. 设随机变量)(~x f X =⎩⎨⎧≤≤其它102x Ax ，求： )(),(X D X E . 解⎰==101,12A Axdx 32210=⋅=⎰xdx x EX2121022=⋅=⎰xdx x EX181)(22=-=EX EX DX4. 设随机变量)(~x f X =⎩⎨⎧≤≤其它20x kx ，求： )(),(X D X E .解2/1,12⎰==k kxdx342120=⋅=⎰xdx x EX2212022=⋅=⎰xdx x EX9/2)(22=-=EX EXDX5.设随机变量X f(x)x x ≤≤⎧=⎨⎩201的概率密度为0其它， 求E(X)，D(X). 解()E X x dx =⎰1202= 32 ()E X x dx ==⎰123122, D (X )=1186.设随机变量X 的概率密度为,,020,121)(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-=其它x x x f求),(X E 数学期望)(X D 方差. 解:,32)21()(22=+-=⎰dx x x X E ,32)21()(20332=+-=⎰dx x x X E 92)()()(22=-=X E X E X D7.设相互独立的随机变量X 和Y ，方差分别为4和2，则)(Y X D +=BA ．2 B. 6 C. 1 D. 128.两个相互独立的随机变量X 和Y,D(X)=4,D(Y)=2，则D(3X+2Y)=DA ．8 B. 16 C. 28 D. 449.=+==)2(,3)(,6)(,Y X D Y D X D Y X 则独立与设随机变量 C9.A 15.B 27.C 21.D10.设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差各为4和2,则3X-2Y 的方差为DA. 8B. 16C. 28D. 44 11.=+==)34(,100)5(,4)2(2X D X E X E 则已知____________. 256, 12.=+==)13(,8)4(,20)2(2X D X E X E 求设__________________54常见分布1.某电话交换台在时间[0，t]内接到的电话呼唤次数服从参数为5的泊松分布， 则在[0，t]内接到的平均呼唤次数为 A A. 5 B. 25 C. 0.2 D. 0.252.设随机变量X 服从泊松分布()P λ，则()D X =BA. 2λB.λC.12λD.1λ3.设随机变量X 服从泊松分布(3)P ，则()D X =BA. 6B. 3C. 1D. 134.设随机变量X 服从参数为λ 的泊松分布，则(12)D X +=B A ．2λ B ．4λ C ．12λ+ D ．14λ+5.设随机变量X ～(,)B n p ，且().,().,E X D X ==04032则,n p 的值为A A. n ,p .==202 B. n ,p .==401 C. n ,p .==40001 D. n ,p .==200026.设随机变量X ～(,)B n p ，且().,().,E X D X ==24144则,n p 的值为A A. n ,p .==604 B. n ,p .==406 C. n ,p .==803 D. n ,p .==4067．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，试验成功的次数为X ，(1)求D(X). (2)p 为多大时，D(X)最大.解 (1)() D X 100p (1-p)X =服从二项分布，(2)()()()122211100120022p dD X d D Xp p p dpdp==-==<=时方差最大8.设X 是一个随机变量，其概率密度为()1,;0,.a x b f x b a⎧≤≤⎪=-⎨⎪ ⎩其他则()E X =2b a +9.=-)34(),9,3(~,]6,2[Y X E N Y X 则上的均匀分布服从区间设随机变量7,11.=+)32(,]2,0[Y X E Y X 则上的均匀分布均服从区间与设随机变量__512.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分为单位）服从参数为1/5 指数分布，则顾客等待服务的平均时间 DA. 0.25B. 25C. 0.2 D . 513.设23),(~-=X Z e X λ，则=)(Z E 231--λ14.已知随机变量X 的数学期望为E(X)，标准差为σ(X)>0，设随机变量()()X X E X X *σ-=，则E(*X )=__________ 015.设随机变量X ～N(-1，5)，Y ～N(1，2)，且X 与Y 相互独立，则D(X ＋Y)＝ D A. 2 B. 5 C. 3 D. 716.设X 服从正态分布，其密度函数为()()21x f x--=，则()D X =______1/217.设随机变量X ～()2,1σN ，若EX 2=1，则σ=CA. 1B. 2C. 0D. 318.设随机变量()~0,1X N ，则()2E X =___________ 1 19.已知连续随机变量X 的概率密度为()()2112x x ϕ--=，则D （X ）为AA ．1 B. 2 C. 0.5 D. 0.2520.设随机变量X ～N(-1，4)，Y ～N(2，6)，且X 与Y 相互独立，则D(X ＋Y)＝ A A.10 B. 4 C. 6 D. 021.设随机变量(1,2),(0,3)X N Y N ～～，,X Y 相互独立，则X Y + ～CA. (),N 111B. (),N 11C. (),N 15D. (),N 111 22.设随机变量X ～()2,1σN ，若()2X E =2，则σ=__________ 123. 设()22,2~N X ，12--=X Y ，则 Y 服从的分布为AA. )16,5(-NB. )15,5(-NC. )16,4(-ND. )15,4(-N24.设随机变量(0,2),(1,3)X N Y N ～～，,X Y 相互独立，则2X Y + ～CA. (),N 15B. (),N 11C. (),N 111D. (),N 111 25.=-)34(),9,3(~,]6,2[Y X E N Y X 则上的均匀分布服从区间设随机变量726.设~(5,9)X N ， 则 =)(X D _______ 9 27.设()22,2~N X ，121-=X Y ，则 Y服从的分布为 CA. )2,1(NB. )4,2(NC. )1,0(ND. )2,0(N 28.=+)32(,]2,0[Y X E Y X 则上的均匀分布均服从区间与设随机变量_____.529.设随机变量Y X ,相互独立,)1,0(~),2,1(~N Y N X求随机变量Y X Z -=概率密度函数. 解、由题意， 服从正态分布Y X Z -=,3)()(;1)()(=-==-=Y X D Z D Y X E Z E 又6)1(261)(--=z ez f Z π的概率密度函数所以30.设随机变量Y X ,相互独立,)1,0(~),1,0(~N Y N X求随机变量Y X Z +=概率密度函数. 解: 由题意， 服从正态分布Y X Z +=2)()(,0)()(=+==+=Y X D Z D Y X E Z E 又4221)(zez f Z -=π的概率密度函数所以。
概率论与数理统计第四章.试题
第四章历年试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（ ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5 B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4D.E （X ）=2，D （X ）=22.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N （1，4），Y ~N （0，1），令Z=X -Y ，则D （Z ）=（ ）A.1B.3C.5D.63.已知D （X ）=4，D （Y ）=25，Cov （X ，Y ）=4，则ρXY =（）A.0.004B.0.04C.0.4D.44．设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（ ） A ．D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ．D （X+C ）=D （X ）+C C ．D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ）D ．D （X-C ）=D （X ）5．设随机变量X的分布函数为F(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<;4,1;4212;2,0x x ，xx则E （X ）=（ ）A ．31B ．21C ．23D ．36．设随机变量X 与Y 相互独立，且X~B （36，61），Y~B （12，31），则D （X-Y+1）=（ ）A ．34B ．37C ．323D ．3267．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则下列各项中正确的是（ ）A ．E （X ）=0.5，D （X ）=0.25B ．E （X ）=2，D （X ）=2C ．E （X ）=0.5，D （X ）=0.5 D ．E （X ）=2，D （X ）=4 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，Y~B （8，31），且X ，Y 相互独立，则D （X-3Y -4）=（ ） A ．-13 B ．15C ．19D ．239．已知D （X ）=1，D （Y ）=25，ρXY =0.4，则D （X-Y ）=（ ）A ．6B ．22C ．30D ．4610.设X~B （10，31），则E （X ）=（ ）A.31 B.1 C.310D. 1011.设X~N （1，23），则下列选项中，不成立．．．的是（ ） A.E （X ）=1 B.D （X ）=3 C.P （X=1）=0D.P （X<1）=0.512．设E (X ),E (Y ),D (X ),D (Y )及Cov(X,Y )均存在，则D (X-Y )=（ ） A ．D (X )+D (Y )B ．D (X )-D (Y )C ．D (X )+D (Y )-2Cov(X,Y )D ．D (X )-D (Y )+2Cov(X,Y )13．设随机变量X ～B （10，21），Y ～N （2，10），又E （XY ）=14，则X 与Y 的相关系数=XY ρ（ ）A ．-0.8B ．-0.16C ．0.16D ．0.814．已知随机变量X 的分布律为，且E (X )=1，则常数x =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．815．已知随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的期望为（ ）A ．-21 B ．0 C ．21D ．216．设随机变量X 和Y 相互独立，且)4,3(~N X ，)9,2(~N Y ，则~3Y X Z -=（ ） A ．)21,7(N B ．)27,7(N C ．)45,7(N D ．)45,11(N17.设X~B(10, 31), 则=)X (E )X (D （ ）A.31 B.32 C.1D.31018.已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--.;0x e 1x2其它则X 的均值和方差分别为（ ）A.E(X)=2, D(X)=4B.E(X)=4, D(x)=2C.E(X)=41,D(X)=21D.E(X)=21, D(X)=41二、填空题（本大题共15小题，每空2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
概率论与数理统计第四章自测题
概率论与数理统计第四章自测题《概率论与数理统计》第四单元自测题时间：120分钟，卷面分值：100分一、填空题：（每空2分，共12分）得分1．设随机变量X与Y，方差D(X)=4，D(Y)=9，相关系数XY=，则D(3X-2Y)= 。
2．已知随机变量X~N(0, 2)(>0)，Y在区间[0,3]σ上服从均匀分布，如果D(X-Y)=2，则X与Y的相关系数XY= 。
3．二维随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X与Y的相关系数XY=-1/2，则当a= 时，随机变量aX+Y与Y相互独立。
4．设随机变量X~N(0, 4)，Y服从指数分布，其概率密度函数为1210 ()200xe xf xx->=?≤，，，，如果Cov(X, Y)=-1，Z=X-aY，Cov(X, Z)=Cov(Y, Z)，则a= ，此时X与Z的相关系数为XZ= 。
5．设随机变量X在区间(-1, 2)上服从均匀分布，随机变量-100010XY XX>==<，，，，，，则方差D(Y)= 。
6．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计P{X-24}。
二、单选题：（每题2分，共12分）得分1．随机变量X, Y和X+Y的方差满足D(X+Y)=D(X)+D(Y)，该条件是X与Y( )。
(A)不相关的充分条件，但不是必要条件；(B)不相关的必要条件，但不是充分条件；(C)独立的必要条件，但不是充分条件；(D)独立的充分必要条件。
2．若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。
(A) X与Y一定相互独立； (B) X与Y一定不相关；(C) D(XY)=D(X)D(Y)； (D) D(X-Y)=D(X)-D(Y)。
3．设随机变量X与Y独立同分布，记随机变量U=X+Y，V=X-Y，且协方差Cov存在，则U和V必然( )。
(A) 不相关；(B) 相互独立；(C) 不独立；(D) 无法判断。
概率论与数理统计第四章习题参考答案
=
⎡ E⎢
1
⎢⎣ n −1
n i =1
(Xi
−
⎤ X )2 ⎥
⎥⎦
=
1 n −1
⎡ E⎢
⎢⎣
n i =1
X
2 i
−
nX
2⎤ ⎥ ⎥⎦
=
1 n −1
⎡n ⎢ ⎢⎣ i=1
E
(
X
2 i
)
−
nE( X
2⎤ )⎥ ⎥⎦
∑[ ] [ ] =
1 n −1
⎧ ⎨ ⎩
n i =1
D(X i ) + E 2 (X i )
X −µ 3/2
<
⎫ 1.96⎬
=
0.95
⎭
故，正态总体均值 µ 的 95%的置信区间为 (X − 2.94, X + 2.94)
代入样本值得正态总体均值 µ 的 95%的置信区间为（-2.565，3.315）。
（2）当σ 未知时，由 T = X − µ ~ t(n − 1) 即T = X − µ ~ t(3) ，所以
n
−a n
=0 =0
无解。由此不能求得
a,
b
的极大似然估计量。
⎩ ∂b
b−a
解：X
的概率密度为
f
(x)
=
⎪⎧ ⎨b
1 −
a
,
a
≤
x
≤
b
，
⎪⎩ 0, 其它
似然函数为 L(a, b) = 1 , θ1 ≤ xi ≤ θ 2 ,i = 1,2,L, n ， (b − a)n
对于给定的样本值 (x1 , x2 ,L, xn )
−
n
D(
概率论与数理统计 第四章
【分析】
E(X )
=
1
，
D( X
)
=
1 2
，所以
1
=
1 2
，解得
=
4。
( ) ( ) 4、设离散型随机变量 X 的分布律为 P
X = 2k
=2 3k
,
k = 1, 2,
，则 E X
========。
( ) ( ) 【分析】 E
X
+
= xk p xk
k =1
=
+
2k
k =1
2 3k
=
2
+ k =1
2 3
k
= 2 2 3 = 4 1−2 3
5、设 X、Y 是两个相互独立且均服从正态分布 N (0, 1 ) 的随机变量，则随机变量 X − Y 2
的数学期望 E( X − Y ) = = = = = = = = = 。
【分析】因为 X、Y 是两个相互独立且均服从正态分布 N (0, 1 ) ， 2
3、设随机变量 X
的概率密度为
(
x)
=
ax2
+
bx
+
c,
0,
0 x 1，已知 EX 其他
= 0.5，
DX = 0.15 ，则关于系数 a，b，c 的正确选项为（= A= = ） A、 a=12，b= −12，c=3 = = = = = = = = B、 a=12，b=12，c=3 = = = C、 a=-12，b=12，c=3= = = = = = = = = D、 a=-12，b= −12，c=3
k =0
k=0 k !
概率论与数理统计-第四与五章练习答案
《概率论与数理统计》第四、五章练习学院 班级、学号 姓名 成绩一、单项选择题（每题 2 分，共 16 分） 说明：请将答案直接填入下表中！1 234 56781.A C D X Y D D CCX C Yn 次，以 与 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 和 的将一枚硬币重复扔掷有关系数等于(A)1(B) 01 (D)1(C)2.设随机变量 X 和 Y 的方差存在且不等于 2DY 是 X 和Y0，则 D (XY) DX(A)不有关的充分条件，但不是必需条件(B)独立的充分条件，但不是必需条件(C)不有关的充分必需条件 EXDX(D)独立的充分必需条件3.X是一个随机变量，， (,0 为常数 )，则对随意常数c ，必有设2(A) E( Xc)2 EX 2c 2(B) E( Xc) 2 E( X )2 (C)E( X c)2E( X )2(D) E( Xc)2E( X) 24.设随机变量 X 和 Y 独立同散布，方差存在且不为零，记UXY ，V XY ，则随机变量 U 与V 必定(A)不独立(B)独立(C)有关系数不为零(D)有关系数为零5.假定随机变量 X ~ N (0 ,1) ， Y ~ N (1,4) ，且有关系数 XY1 ，则 (A) P{ Y 2X 1} 1 (B) P{ Y2 X 1} 1 (C) P{ Y2X1} 1(D) P{ Y 2 X1}16.设随机变量 X 和 Y 都听从正态散布，且它们不有关，则(A) X 与 Y 必定独立 (B) ( X ,Y) 听从二维正态散布(C) X 与 Y 未必独立(D) XY 听从一维正态散布27. 设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n (n 1)独立同散布，且其方差为0，令随机变量Y1 n X i，则n i 1(A) D( X 1Y)n 22(B) D(X 1Y )n 1 2nn22(C)Cov( X 1,Y )(D) Cov( X 1 ,Y)n8.设 X 1, X 2 , , X n , 为独立同散布的随机变量序列，且均听从参数为 (1) 的指数分布，记 (x) 为标准正态散布的散布函数，则DnnX inX i n(A) lim Pi 1nx( x)(B) lim Pi1nx(x)nnnnX inX i(C) lim Pi 1nx(x)(D) lim Pi1nx(x)nn二、填空题（每题 2 分，共 14 分）1. X的听从参数为的指数散布，则 P{ XDX }e 1设随机变量1 X 0 2.设随机变量 X 听从二项在区间[ 1, 2] 上听从均匀散布， 随机变量 Y0 X 0，则方1X差 DY891 e 13.设随机变量 X 听从参数为 1 的泊松散布，则P{ X EX 2}p ，进行 100 次独立重复试验，当p24.设一次试验的成功率为时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为1， 525.设随机变量 X 1 , X 2 , X 3 互相独立，此中 X 1 在[ 0,6] 上听从均匀散布， X 2 听从正态散布N (0,22) ， X 3 听从参数为3 的泊松散布，记 YX 1 2X 23X 3，则 DY466.设随机变量 X 和 Y 的有关系数为，EXEY 0，EX 2 EY 22，则 E(X Y)267.设随机变量 X 和 Y 的数学希望分别为 2 和 2，方差分别为 1 和 4，而有关系数为0.5 ，则依据切比雪夫不等式P{| XY | 6}112三、解答题（每题 7 分，共 49 分）1. 设 随 机 变 量 X 服 从 区 间 [ a, b] 上 的 均 匀 分 布 ， EX 2， DX3，求条件概率P{ X0|X 2} 【答】 a1, b5；232.设连续型随机变量X 的概率密度为 f X ( x) 3x20 x1，试求：0 其余（ 1）随机变量 X 的散布函数 F X (x) ；（ 2）数学希望 EX 与方差 DX ；x 0【解】（ 1） F X (x)x 30 x 11x1（2） EX3；EX23，DX EX2(EX)2345803.假定一设施开机后无故障工作的时间X 听从指数散布，均匀无故障工作的时间（ EX ） 为 5 小时，设施准时开机， 出现故障时自动关机， 而在无故障的状况下工作 2 小时便关机。
概率论与数理统计第四章测试题
概率论与数理统计第四章测试题第4章 随机变量的数字特征一、选择题1．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y 的方差是 (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44 2．若随机变量X 和Y 的协方差(),0Cov X Y =，则以下结论正确的是（ ） (A)X与Y 相互独立 (B) D(X+Y)=DX+DY(C)D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY 3．设随机变量X和Y相互独立，且()()221122,,,X N Y N μσμσ::，则2Z X Y =+:（ ）(A) ()221212,2N μμσσ++ (B) ()221212,N μμσσ++ (C) ()2212122,4N μμσσ++ (D) ()2212122,4N μμσσ--4．设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y 与η=X-Y 不相关的充要条件为(A) EX=EY (B) E(X 2)- (EX)2= E(Y 2)- (EY)2(C) E(X 2)= E(Y 2) (D) E(X 2)+(EX)2=E(Y 2)+ (EY)25．设X 、Y 是两个相互独立的随机变量且都服从于()0,1N ，则()max ,Z X Y =的数学10．设随机变量X 和Y 独立同分布，具有方差2σ>0，则随机变量U=X+Y 和V=X-Y（A ）独立 (B) 不独立 （C ） 相关 (D) 不相关11．随机变量X 的方差存在，且E(X)=μ，则对于任意常数C ，必有 。
（A ）E(X-C)2=E(X 2)-C 2 （B ）E(X-C)2=E(X-μ)2（C ）E(X-C)2< E(X-μ)2（D ）E(X-C)2≥ E(X-μ)212．设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=31, 则P(1<X<3) =（ ）（A ）0 （B ）41 （C ）31 （D ）21二、填空题1．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，则()2E X =2．设一次试验成功的概率为p ，进行了100次独立重复试验，当p = 时，成功的次数的标准差的值最大，其最大值为3．设随机变量X 在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量100010X Y X X >⎧⎪= =⎨⎪- <⎩，则Y 的方差DY=4．()4D X =，()9D Y =，0.5XYρ=，则()D X Y -=，()D X Y +=5．设随机变量X 服从于参数为λ的泊松分布，且已知()()121E X X --=⎡⎤⎣⎦，则λ= 6．设(X,Y)的概率分布为：则),cov(22Y X＝ 。
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第四章 随机变量的数字特征
且E （X ）=1，则常
数
x =
21.已知随机变量X 的分布律为
则
20．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤=,,0;10,2)(其他x x x f 则E （|X |）=______.
7．设随机变量X 服从参数为2
1
的指数分布，则E （X ）=（ ） A.
4
1
B.
2
1 C.
2 D.4
29.假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X 盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。
问小店应组织多少货源，才能使平均收益最大?
29.设某型号电视机的使用寿命X 服从参数为1的指数分布（单位:万小时）. 求:（1）该型号电视机的使用寿命超过t （t >0）的概率; （2）该型号电视机的平均使用寿命.
求： (1)常数a ,b ; (2)X 的分布函数F (x )； (3)E (X ).
二、方差
127.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（ ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5 B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4
D.E （X ）=2，D （X ）=2
8.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N （1，4），Y ~N （0，1），令Z=X -Y ，则E （Z 2）=（ ） A.1 B.4 C.5
D.6
28．设随机变量X 的概率密度为
⎩
⎨
⎧≤≤-=.,x ,cx x f 其他；
）（0222 试求：（1）常数c ；（2）E （X ），D （X ）；（3）P {|X -E （X ）| < D （X ）}.
7．设随机变量X~N （1,22），Y~N （1，2），已知X 与Y 相互独立，则3X-2Y 的方差为（ ） A ．8
B ．16
C ．28
D ．44
20.设随机变量X 在区间[0，5]上服从均匀分布，则D （X ）=______________.
2E （X ）及D （X ）。
8.已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为( ) A.-2 B.0
C.
2
1
D.2 19.设X ～N(0，1)，Y=2X-3，则D(Y)=_______.
19．设随机变量X 服从二项分布⎪⎭⎫
⎝⎛31,3B ，则)(2X E =______.
28.设随机变量X 的概率密度为⎩
⎨⎧≤≤-=.,0;
22,)(其他x A x f
试求:（1）常数{}1)3();(),()2(:≤X P X D X E A .
8．已知随机变量X ～N (0，1)，则随机变量Y =2X +10的方差为( ) A ．1 B ．2 C ．4
D ．14
27．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-<≤-+=.,0,10,1,01,1)(其他x x x x x f 试求E (X )及D (X )．
5．设随机变量X 的概率密度为4
)3(2
e
2
π21)(+-
=
x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( )
A ．2,3-
B ．-3, 2
C ．2,
3
D ．3, 2
，
19．设X~N （0，1），Y~B （16，21
），且两随机变量相互独立，则D （2X+Y ）= ________________．
19．设随机变量X ~B ⎪⎭
⎫
⎝⎛31,18，Y 服从参数为3的泊松分布，且X 与Y 相互独立，则
D （X +Y ）=______.
8．设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N （0，9），Y ~N （0，1），令Z =X -2Y ，则D （Z ）=（ ） A.5 B.7 C.11 D.13
三、协方差和相关系数
9.已知D （X ）=4，D （Y ）=25，Cov （X ，Y ）=4，则ρXY =（ ）
A.0.004
B.0.04
C.0.4
D.4
20.设E （X ）=2，E （Y ）=3，E （XY ）=7，则Cov （2X ，Y ）=___________。
19．设X ，Y 为随机变量，D （X ）=25，D （Y ）=16，Cov （X ，Y ）=8，则相关系数 ρ
XY =______________.
28．设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布N （0，σ2），记U=αX+βY, V=αX-βY （α与β为不相等的常数）.求
（1）D （U ）和D （V ）；
（2）U 与V 的相关系数ρuv . 6.设E （X ），E （Y ），D （X ），D （Y ）及Cov （X ，Y ）均存在，则D （X -Y ）=（ ） A.D （X ）+D （Y ） B.D （X ）-D （Y ） C.D （X ）+D （Y ）-2Cov （X ，Y ） D.D （X ）-D （Y ）+2Cov （X ，Y ）
23.设X 1,X 2,Y 均为随机变量，已知Cov （X 1，Y ）=-1，Cov （X 2，Y ）=3，则Cov （X 1+2X 2，Y ）=____________.
7．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为
C. D （X +Y ）=D （X ）+D （Y ）
D.Cov （2X ,2Y ）=2Cov （X ,Y ）
18．设随机变量X 的期望2)(=X E ，方差4)(=X D ，随机变量Y 的期望4)(=Y E ，方差,10)(,9)(==XY E Y D 又，则X ，Y 的相关系数ρ=______.
20．设随机变量X ，Y 的期望方差为E (X )=0.5，E (Y )=-0.5，D (X )=D (Y )=0.75，E (XY )=0，则X ，Y 的相关系数ρ
XY =______．
29．设随机变量X ，Y 相互独立，X ～N (0，1)，Y ～N (0，4)，U=X +Y ，V=X -Y ， 求(1)E (XY )；(2)D (U )，D (V )；(3)Cov(U ，V )．
8．设X , Y 为随机变量, D (X )=4, D (Y )=16, Cov (X ,Y )=2, 则XY ρ=( ) A ．
32
1 B ．161 C ．8
1
D ．
4
1 29．设二维随机变量 (X , Y )的分布律为
求： (1) (X , Y )分别关于X , Y 的边缘分布律； (2)D (X ), D (Y ), Cov (X , Y ).。