3.2.1一元二次不等式及其解法比赛课件
结合图像知不等式 x 2 5 x 0 的解集
是 {x | 0 x 5}
推广：
ax2 bx c 0 那么对于一般的不等式
或 ax2 bx c 0(a 0)又怎样去寻求解集呢？
一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c (a>0)的图象 △>0
问：一次上网在多长时间以内能够保证选择 电信比选择网通所需费用少？
新课导入
分析：假设一次上网x小时， 则电信公司的收取费用为1.5x 根据题意知，网通公司收费1.7 ，1.6，1.5 ，1.4，……
∵1.7，1.6，1.5，1.4，…… 是以1.7为首项，以-0.1为公差的等差数列 ∴网通公司的收取费用为 1.7 x
R Φ
{x|x1< x <x2 }
Φ
例题讲解
x 例 1.解下列关于 一元二次不等式
（1）x x 6 0
2
( 2) 4 x 4 x 1 0
2
(3) x 2 x 3 0
2
解一元二次不等式的步骤：
• 1.化标准：将不等式化成标准形式（右边为 0、最高次的系数为正）； • 2.计算判别式的值： • 3.求根：若判别式的值为正或零，则求出相 应方程的两根； • 4.写解集：注意结果要写成集合或者区间的 形式
△=0
y x2 x x O x1 有两相等实根 b x1=x2= 2a {x|x≠
b } 2a
△<0
y
y x1 O
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
O 没有实根
x
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
高中数学必修5
一元二次不等式及其解法
共两课时 （第一课时）
宁县三中 ——杜立平
新课导入
两个网络服务公司（Internet Serice Provider）的资费标准： 电信：每小时收费1.5元 网通：用户上网的第一小时内收费1.7元，第二 小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用 户一次上网时间超过17小时，按17小时计算） <不妨设该同学一次上网不超过17小时>
x (35 x ) 如果能够保证选择电信公司比选择网通公司所需费用少，则1.5 x 20
整理得
x( x 1) x(35 x) (0.1) 2 20
x 2 5x 0
这是什么？
新知讲解
一元二次不等式
像 x 5x 0 这样只含一个 未知数，并且未知数最高次数 为2的不等式。
课堂练习：P80练习题1题（1）（3）（5）
求解一 元二次不等 式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程 序框图:
b x 2a
△≥0
x< x1或x> x2
例题讲解
) 例2.求函数 f ( x) 2 x 2 x 3 log 3 (3 2 x x 2的定义 域.
解：要使得函数有意义，则
3 x 1或x 2 即： 1 x 3
2 x 2 x 3 0 3 2x x2 0
，
， 也即 1 x 3
故函数 f (x) 的定义域是 [1,3) 。
课堂小结
这节课我们学习了一元二次不等式的解法，同学们下去 可以多注意以下两点
2
探究新知
思考：
那么一元二次不等式 x 5 x 0 怎样 去求解呢？
2
探究新知
y
我们来考察与其所对的二次 y x 2 5x 的关系： 函数
（1）当 x （2）当 x
0 0
或
x 5 时，y 0 x 5 时，y 0
时，y
O
5
x
或
（3）当 0
x5
0
下结论：
• 1、三个二次的关系，注意结合图像； • 2、将一元二次不等式化为标第1、2题
是 {x | 0 x 5}
推广：
ax2 bx c 0 那么对于一般的不等式
或 ax2 bx c 0(a 0)又怎样去寻求解集呢？
一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c (a>0)的图象 △>0
问：一次上网在多长时间以内能够保证选择 电信比选择网通所需费用少？
新课导入
分析：假设一次上网x小时， 则电信公司的收取费用为1.5x 根据题意知，网通公司收费1.7 ，1.6，1.5 ，1.4，……
∵1.7，1.6，1.5，1.4，…… 是以1.7为首项，以-0.1为公差的等差数列 ∴网通公司的收取费用为 1.7 x
R Φ
{x|x1< x <x2 }
Φ
例题讲解
x 例 1.解下列关于 一元二次不等式
（1）x x 6 0
2
( 2) 4 x 4 x 1 0
2
(3) x 2 x 3 0
2
解一元二次不等式的步骤：
• 1.化标准：将不等式化成标准形式（右边为 0、最高次的系数为正）； • 2.计算判别式的值： • 3.求根：若判别式的值为正或零，则求出相 应方程的两根； • 4.写解集：注意结果要写成集合或者区间的 形式
△=0
y x2 x x O x1 有两相等实根 b x1=x2= 2a {x|x≠
b } 2a
△<0
y
y x1 O
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
O 没有实根
x
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
高中数学必修5
一元二次不等式及其解法
共两课时 （第一课时）
宁县三中 ——杜立平
新课导入
两个网络服务公司（Internet Serice Provider）的资费标准： 电信：每小时收费1.5元 网通：用户上网的第一小时内收费1.7元，第二 小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用 户一次上网时间超过17小时，按17小时计算） <不妨设该同学一次上网不超过17小时>
x (35 x ) 如果能够保证选择电信公司比选择网通公司所需费用少，则1.5 x 20
整理得
x( x 1) x(35 x) (0.1) 2 20
x 2 5x 0
这是什么？
新知讲解
一元二次不等式
像 x 5x 0 这样只含一个 未知数，并且未知数最高次数 为2的不等式。
课堂练习：P80练习题1题（1）（3）（5）
求解一 元二次不等 式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程 序框图:
b x 2a
△≥0
x< x1或x> x2
例题讲解
) 例2.求函数 f ( x) 2 x 2 x 3 log 3 (3 2 x x 2的定义 域.
解：要使得函数有意义，则
3 x 1或x 2 即： 1 x 3
2 x 2 x 3 0 3 2x x2 0
，
， 也即 1 x 3
故函数 f (x) 的定义域是 [1,3) 。
课堂小结
这节课我们学习了一元二次不等式的解法，同学们下去 可以多注意以下两点
2
探究新知
思考：
那么一元二次不等式 x 5 x 0 怎样 去求解呢？
2
探究新知
y
我们来考察与其所对的二次 y x 2 5x 的关系： 函数
（1）当 x （2）当 x
0 0
或
x 5 时，y 0 x 5 时，y 0
时，y
O
5
x
或
（3）当 0
x5
0
下结论：
• 1、三个二次的关系，注意结合图像； • 2、将一元二次不等式化为标第1、2题
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3.2.1《一元二次不等式的解法》课件(北师大版必修5)
(2)原不等式可化为 2x2－x＋6>0， ∵方程 2x2－x＋6＝0 的判别式 Δ＝(－1)2－4×2×6<0， ∴函数 y＝2x2－x＋6 的图像开口向上，与 x 轴无交点． ∴观察图像可得，不等式的解集为 R. (3)因为 4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2>0，
1 xx≠－ 所以原不等式的解集为 2 .
2
4．一元一次不等式：ax＞b，当a＞0时，解集 是 ；
b xx＜ a
b xx＞ a
当a＜0时，解集是 解集是 ； R 当a＝0，b≤0时，解集是
；当a＝0，b＞0时，
∅
.
1．一元二次不等式 一个 二次 一般地，含有 未知数，且未知数的最高 次数为 的不等式，叫做一元二次不等式． 使某个一元二次不等式 叫这 成立的x的值 个一元二次不等式的解． 一元二次不等式的 组成的集合，叫做 所有解 这个一元二次不等式的解集．
1．已知二次函数f(x)的两个零点分别为x1、x2 则f(x)＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ． 2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 当Δ<0时，没有 实数根；当Δ＝0时，有 两个相等 b 实数根x＝ ；当Δ>0时，有 －b± b －4ac 实 －2a 两个不等 2a 数根x＝ . {－1,3} 3．若y＝x2－2x－3，则当x∈ 时，y (－∞，－1)∪(3，＋∞) (－1,3) ＝0；当x∈ 时，y>0；当x∈ 时，y<0.
解析：
3.已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为 a＝－3， (1,2)，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的 即 ， b＝2 解集．
高中数学 一元二次不等式及解法 PPT课件 图文
y<0
O x1
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 b
x1=x2= 2 a
{x|x<x1,或 x>x2}
b {x|x≠ 2 a }
{x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
y>0
x O 没有实根
R Φ
函数 、方程、不等式的关系
a<0时如何求解呢？
自主练习
1．下列是关于x的一元二次不等式化为(x＋2a)(x－a)＜0 对应的一元二次方程的根为x1＝a，x2＝－2a， (1)当a＞－2a，即a＞0时，－2a＜x＜a， (2)当a＝－2a，即a = 0时，原不等式化为x^2＜0，无解, (3)当a＜－2a, 即a＜0时, a＜x＜－2a. 综上所述，原不等式的解集为： 当a＞0时，{x|－2a＜x＜a} 当a＝0时， ∅ 当a＜0时，{x|a＜x＜－2a}
A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 解析：不等式的解集是(－∞，－3)∪(2，＋∞)，故
选C. 答案： C
课堂 讲 义
求解一元二次不等式
例一 求下列一元二次不等式的解集:
(1)－x2＋5x＜－6
解：原不等式可化为 x2－5x－6>0
集。
变式训练
求下列不等式的解集:
(1)－2x2＋3x＋2 ≤ 0；
{ x|x2或 x 2 }
y x1 O x2 x
变式训练
(2)4x2＋4x＋1>0
{x
|x
1} 2
y
O x1
x
变式训练
3.2一元二次不等式及其解法课件人教新课标
(a>0)的根 x1, x2 (x1<x2)
x1=x2=
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} {x|x≠
}
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
这张表是我们今后求解一元 二次不等式的主要工具，必须熟练 掌握，其关键是抓住相应的二次函 数的图像。
且函数y＝x2＋x－2的图象开口向上， 所以不等式x2＋x－2＜0的解集为(－2,1)．
全优50页基础夯实
3．设集合M＝{x|0≤x<2}，集合N＝{x|x2－2x－3<0}，
集合M∩N等于( B )
全优50页基础夯实
A．{x|0≤x<1}
B．{x|0≤x<2}
C．{x|0≤x≤1}
D．{x|0≤x≤2}
即0<x<1.
1．解下列不等式： (1)x(3－x)≤x(x＋2)－1；(2)x2－2x＋3>0.
【解析】(1)原不等式可化为2x2－x－1≥0， ∴(2x＋1)(x－1)≥0.
| 故原不等式的解集为 x x≤－12或 x≥1 .
(2)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0， 故原不等式的解集是R.
想一想，当x取何值时，y 的值大于零？ （或小于零？）
y
y
Om x
nO
x
当x m时y 0
当x m时y 0
当x n时y 0
当x n时y 0
一元一次方程、一元一次不等式与一次 函数的关系:
高考一元二次不等式及其解法 课件(共51张PPT)
(4)根据对应二次函数的图象,写出不等
式的解集.
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
例1
解下列不等式：
(1)2x2＋4x＋3>0; (2)－3x2－2x＋8≥0;
(3)12x2－ax>a2(a∈R).
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
【思路分析】
首先将二次项系数转化
为正数,再看二次三项式能否因式分解, 若能,则可得方程的两根,大于号取两边, 小于号取中间;若不能,则再看“Δ”,利
法二比较简单.
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
【解】
(1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立,
若 m＝0,显然－1<0; 若 m≠0,
m<0 则 ⇒－4<m<0. 2 Δ＝m ＋4m<0
所以－4<m≤0.
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
(2)要使 f(x)<－m＋5 在[1,3]上恒成立,就是 12 3 要使 m(x－ ) ＋ m－6<0 在 x∈[1,3]上恒 2 4 成立. 有以下两种方法： 12 3 法一：令 g(x)＝m(x－ ) ＋ m－6,x∈[1,3]. 2 4 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g(x)max＝g(3)＝7m－6<0, 6 6 所以 m< ,则 0<m< ; 7 7
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
－∞，－1 ∪(1,＋∞). ∴不等式的解集为 2
－∞，－1 ∪(1,＋∞) 答案： 2
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
5.已知(ax－1)(x－1)>0的解集是{x|x<1 或x>2},则实数a的值为________.
3.2《一元二次不等式及其解法》PPT课件
2
二次函数、二次方程、与二次不等式的关系
函数
f ( x) x 5 x
方程
x 5x 0
2
不等式
x 5x 0
2
y
方程的解
不等式的解集
y>0 y>0
O
x1 0, x2 5
x x 0或x 5
x2 5 x 0
不等式的解集
x 0 x 5
5
y<0
总结
【典型例题】
例4. 解不等式：
2 x 2 5 x 6 x2 x6
1 2
1 2
二、简单的一元二次含参不等式
常见含参不等式题型： 1).讨论参数，解含参不等式； 2).已知含参不等式解集，求参数的范围。
• 常见可利用的入手知识点： 1、一元二次不等式的解集端点与相应方程根的关系 （结合韦达定理）。 2、一元二次不等式与对应函数的图象关系。
【解析】 2)≤0，
(1)原不等式等价于(x－1)(x＋1)(x－2)(x＋
如下图所示的阴影区域：
∴原不等式的解集是 x|－2≤x≤－1或1≤x≤2 .
(2)原不等式等价于(x＋1)2(x＋2)(x－3)≥0，如图所示的 阴影区域：
∴不等式的解集是 x|x≤－2或x≥3或x＝－1 .
-2<a<2
a 2, 2
对一切
x R恒成立
不等式的恒成立问题 含参数的不等式恒成立问题的一般处理思路是： • 1、带参函数分析：将不等式化为f(x)>0（或<0） 的形式，然后构造函数f(x)，求函数的最小值 （或最大值），再令fmin(x)>0（或fmax(x)<0）
二次函数、二次方程、与二次不等式的关系
函数
f ( x) x 5 x
方程
x 5x 0
2
不等式
x 5x 0
2
y
方程的解
不等式的解集
y>0 y>0
O
x1 0, x2 5
x x 0或x 5
x2 5 x 0
不等式的解集
x 0 x 5
5
y<0
总结
【典型例题】
例4. 解不等式：
2 x 2 5 x 6 x2 x6
1 2
1 2
二、简单的一元二次含参不等式
常见含参不等式题型： 1).讨论参数，解含参不等式； 2).已知含参不等式解集，求参数的范围。
• 常见可利用的入手知识点： 1、一元二次不等式的解集端点与相应方程根的关系 （结合韦达定理）。 2、一元二次不等式与对应函数的图象关系。
【解析】 2)≤0，
(1)原不等式等价于(x－1)(x＋1)(x－2)(x＋
如下图所示的阴影区域：
∴原不等式的解集是 x|－2≤x≤－1或1≤x≤2 .
(2)原不等式等价于(x＋1)2(x＋2)(x－3)≥0，如图所示的 阴影区域：
∴不等式的解集是 x|x≤－2或x≥3或x＝－1 .
-2<a<2
a 2, 2
对一切
x R恒成立
不等式的恒成立问题 含参数的不等式恒成立问题的一般处理思路是： • 1、带参函数分析：将不等式化为f(x)>0（或<0） 的形式，然后构造函数f(x)，求函数的最小值 （或最大值），再令fmin(x)>0（或fmax(x)<0）
高中数学《一元二次不等式及其解法习题课》课件
(1)求矩形 ABCD 的面积 S 关于 x 的函数解析式；
(2)要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米，则
AB 的长度应在什么范围内？
30
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
解
(1)根据题意，得△NDC
与△NAM
相似，所以DC＝ AM
ND，即 x ＝20－AD，解得 NA 30 20
∵x∈[－2,2]，x－212＋34max＝7，
∴x2－6x＋1min＝67，∴m<67.
25
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
拓展提升
有关不等式恒成立问题的等价转化方式
(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是全体实数(或恒成立)
的条件是当 a＝0 时，b＝0，c>0；
23
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
(2)将 f(x)<－m＋5 变换成关于 m 的不等式：m(x2－x＋ 1)－6<0.则命题等价于：m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1) －6<0 恒成立．
∵x2－x＋1>0，∴g(m)在[－2,2]上单调递增． ∴只要 g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0，即 x2－x－2<0， ∴－1<x<2.∴x 的取值范围为－1<x<2.
①式的解集为 x≤－2 或 0≤x≤3.由②式知 x≠3， ∴原不等式的解集为{x|x≤－2 或 0≤x<3}．
18
课前自主预习
课堂互动探究
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修5
＝1，b＝－2
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课件
2．高考对一元二次不等式解法的考查常有以下几个 命题角度：
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
一元二次不等式及其解法课件
特性
一元二次不等式的解集在实数轴上可以用一个开区间或并集形式表示，它的解也可以用图像 来表示。
性质
一元二次不等式的解集对加、乘、取反等运算具有相应的不等性质，并与二次函数的图像有 密切关系。
一元二次不等式的解法
方程法解一元二次不等式
将不等式转化成关于未知数的二 次方程，并通过求根公式计算求 解。
图像法解一元二次不等式
一元二次不等式及其解法 课件
欢迎来到一元二次不等式及其解法课件。本课程将为大家介绍一元二次不等 式的定义、特性以及解法，并提供疑难问题的解析与讨论。
一元二次不等式的定义和性质
定义
一元二次不等式是形如 ax^2+ bx + c < 0 (a > 0) 的不等式，其中 a、b、c 是实系数，x 是未知 数。
根据二次函数的图像来确定不等 式的解集，特别是在根与极值处 交叉的情况，可以通过分段来确 定解集。
直观法解一元二次不等式
常用于解决一元二次不等式的近 似解，因为不需要求解二次方程 或画出图像，只需要根据一些常 用不等关系，直观地确定不等式 解集的上下确界。
解一元二次不等式的注意事项
1 不等式的基本性质
一元二次不等式的应用举例
1
例一
已知 a + b + c = 1，证明 a^2 + b^2 + c^2 ≥
例二
2
1/3
求解 x/(x+1) < 2-x，其中 x≠-1
3
例三
求解方程根号析与讨论
题型难点分析
对于典型题目，分析其解法、注意事项和解答技巧， 还可以结合例题和考试真题来讲解。
答疑解惑小结
归纳、总结一些学生常犯的错误，提供对策和解决 方法，为学生答疑解惑。
一元二次不等式的解集在实数轴上可以用一个开区间或并集形式表示，它的解也可以用图像 来表示。
性质
一元二次不等式的解集对加、乘、取反等运算具有相应的不等性质，并与二次函数的图像有 密切关系。
一元二次不等式的解法
方程法解一元二次不等式
将不等式转化成关于未知数的二 次方程，并通过求根公式计算求 解。
图像法解一元二次不等式
一元二次不等式及其解法 课件
欢迎来到一元二次不等式及其解法课件。本课程将为大家介绍一元二次不等 式的定义、特性以及解法，并提供疑难问题的解析与讨论。
一元二次不等式的定义和性质
定义
一元二次不等式是形如 ax^2+ bx + c < 0 (a > 0) 的不等式，其中 a、b、c 是实系数，x 是未知 数。
根据二次函数的图像来确定不等 式的解集，特别是在根与极值处 交叉的情况，可以通过分段来确 定解集。
直观法解一元二次不等式
常用于解决一元二次不等式的近 似解，因为不需要求解二次方程 或画出图像，只需要根据一些常 用不等关系，直观地确定不等式 解集的上下确界。
解一元二次不等式的注意事项
1 不等式的基本性质
一元二次不等式的应用举例
1
例一
已知 a + b + c = 1，证明 a^2 + b^2 + c^2 ≥
例二
2
1/3
求解 x/(x+1) < 2-x，其中 x≠-1
3
例三
求解方程根号析与讨论
题型难点分析
对于典型题目，分析其解法、注意事项和解答技巧， 还可以结合例题和考试真题来讲解。
答疑解惑小结
归纳、总结一些学生常犯的错误，提供对策和解决 方法，为学生答疑解惑。
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.1.1一元二次不等式及其解集课件北师大版必修5
2
1 3
函数 y=3x +5x-2 的图像如图所示 , 与 x 轴有两个交点(-2,0)和
1 3
2
,0 .
1 3
观察图像可得,不等式的解集为 ������ ������ < -2 或������ > 方程-2x2+x+1=0 的解为 x1=− , ������2 = 1.
2.一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集如下表:
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ=0
Δ<0
两个相异实根 x1,x 2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
第1课时 一元二次不等式及其解集
1.了解一元二次不等式的定义. 2.能借助二次函数图像解一元二次不等式. 3.能求解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a≠0)的一元 二次不等式.
1.一元二次不等式 形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫 作一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一 元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这 个一元二次不等式的解集.
1 3
函数 y=3x +5x-2 的图像如图所示 , 与 x 轴有两个交点(-2,0)和
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,0 .
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观察图像可得,不等式的解集为 ������ ������ < -2 或������ > 方程-2x2+x+1=0 的解为 x1=− , ������2 = 1.
2.一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集如下表:
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ=0
Δ<0
两个相异实根 x1,x 2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
第1课时 一元二次不等式及其解集
1.了解一元二次不等式的定义. 2.能借助二次函数图像解一元二次不等式. 3.能求解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a≠0)的一元 二次不等式.
1.一元二次不等式 形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫 作一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一 元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这 个一元二次不等式的解集.