2014年高考文科数学(上海)模拟试卷

2014年全国普通高等学校招生统一考试（上海）

数学模拟试卷（文史类）

考生注意：

1.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.

2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 已知,2παπ??

∈

???

，4sin 5α=，则tan α= ．

2. 已知集合{}1,A m =-，{}|1B x x =>，若A

B ≠?，则实数m 的取值范围

是 ．

3.

设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若911a =，119a =，则19S 等于 ．

4. 若()()2i i a ++是纯虚数（

i 是虚数单位），则实数a 的值

为 ．

5. 抛物线2

4y x =的焦点到双曲线2

214

x y -=的渐近线的距离是 ．

6. 已知向量2a =，1b =，1a b ?=，则向量a 与a b -的夹角为 ．

7. 执行右图的程序框图，如果输入6i =，则输出的S 值

为 ． 8. 不等式

101

1

ax x <+对任意R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围

是 ． 9. 若n a 是()

()*

2,2,n

x n n x +∈≥∈N R 展开式中2

x

项的系数，

则2323

222lim n n n a a a →∞??++???+= ??? ． 10. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为

2

3

π的扇形，则此圆锥的体积为 ．

11. 设,x y ∈R ，若不等式组320,220,10x y x y ax y -+≥??

--≤??-+≥?

所表示的平面区域是一个锐角三角形，则

实数a 的取值范围是 ．

12. 从1,2,,9???这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数()2

f x ax bx c =++的系

数，则使得

()

12

f ∈Z 的概率为 ． 13. 已知点F 为椭圆:C 2

212

x y +=的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为()4,3，则PQ PF +取最大值时，点P 的坐标为 ．

14. 已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O ?直线l ，实数x 满足关系式

220x OA xOB OC ++=，有下列命题：

① 20OB OC OA -?≥； ② 2

0OB OC OA -?<；

③ x 的值有且只有一个； ④ x 的值有两个； ⑤ 点B 是线段AC 的中点．

则正确的命题是 ．（写出所有正确命题的编号）

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B 铅笔涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．

（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 16. 下列函数中，既是偶函数，又在区间()1,2内是增函数的为 （A ）2log y x = （B ）cos 2y x =

（C ）222

x x y --=

（D ）22log 2x

y x -=+ 17. 已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一

定能推出m β⊥的是

A ）αβ⊥且m α?≠

（B ）αβ⊥且m ∥α

（C ）m ∥n 且n β⊥ （D ）m n ⊥且α∥β

18. 对于函数()f x ，若存在区间[],A m n =，使得(){}

,y y f x x A A =∈=，则称函数

()f x 为“可等域函数”

，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”． 下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 （A ）()sin 2

f x x π??

=

???

（B ）()221f x x =- （C ）()21x

f x =+ （D ）()()2lo

g 22f x x =-

三、解答题（本大题共5题，满分74分）每题均需写出详细的解答过程．

19. （本题满分12分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分．

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ， 且1

cos

22

A C +=． （1）若3a =

，b =c 的值；

（2）若(

))

sin sin f A A A A =-，求()f A 的取值范围．

20. （本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．

如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，

//AB CD ，AD DC ⊥，2AD =，4AB =，90ADF ∠=．

（1）求异面直线BE 和CD 所成角的大小； （2）求几何体EF ABCD -的体积．

A

21. （本题满分14分） 本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．

为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：

250900y x x =-+，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国

家补贴10万元．

（1）当[]10,15x ∈时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润； 如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？ （2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

22. （本题满分16分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，

第（3）小题满分6分．

已知各项为正数的数列{}n a 中，11a =，对任意的*

k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等

比数列，公比为k q ；22122,,k k k a a a ++成等差数列，公差为k d ，且12d =． （1）求2a 的值； （2）设1

1

k k b q =

-，证明：数列{}k b 为等差数列； （3）求数列{}k d 的前k 项和k D ．

23. （本题满分18分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，

第（3）小题满分8分．

如图，圆O

与直线20x +=相切于点P ，与x 正半轴交于点A

，与直线

y 在第一象限的交点为B . 点C 为圆O 上任一点，且满足OC xOA yOB =+，

动点(),D x y 的轨迹记为曲线Γ． （1）求圆O 的方程及曲线Γ的轨迹方程；

（2）若直线y x =和y x =-分别交曲线Γ于点A 、C 和B 、D ，求四边形ABCD 的周长；

（3）已知曲线Γ为椭圆，写出椭圆Γ的对称轴、顶点坐标、范围和焦点坐标．