2017高考数列与不等式
17年高考真题—理科数学4：数列与不等式
2017高考真题分类汇编：数列与不等式1．【2017天津 2】设变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ） （A ）23 （B ）1 （C ）32（D ）32．【2017课标III 3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）（A ）1盏 （B ）3盏 （C ）5盏 （D ）9盏3．【2017课标I 4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）84．【2017山东 4】已知,x y 满足约束条件3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）（A ）0 （B ）2 （C ）5 （D ）65．【2017北京 4】若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩， 则2x y +的最大值为（ ）（A ）1（B ）3 （C ）5 （D ）96．【2017浙江 4】若,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是（ ）（A ）[]0,6（B ）[]0,4 （C ）[)6,+∞ （D ）[)4,+∞7．【2017课标II 5】设,x y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）（A ）15- （B ）9- （C ）1 （D ）98．【2017浙江 6】已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“4652S S S +>”的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 9．【2017山东 7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（ ） （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+（C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2ab a b a b +<+< 10．【2017天津 8】已知函数()()()23121x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） （A ）47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （B ）4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C）2⎡⎤-⎣⎦ （D）3916⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．【2017课标III 9】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0。
17年高考真题—文科数学4：数列与不等式
2017高考真题分类汇编：数列与不等式1．【2017山东 3】已知,x y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）（A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）32．【2017北京 4】若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩， 则2x y +的最大值为（ ）（A ）1（B ）3 （C ）5 （D ）93．【2017浙江 4】若,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是（ ）（A ）[]0,6（B ）[]0,4 （C ）[)6,+∞ （D ）[)4,+∞4．【2017课标III 5】设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是（ ）（A ）[]3,0- （B ）[]3,2- （C ）[]0,2 （D ）[]0,35．【2017浙江 6】已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“4652S S S +>”的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6．【2017课标I 7】设,x y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）37．【2017课标II 7】设,x y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）（A ）15- （B ）9- （C ）1 （D ）98．【2017江苏 9】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a =_________。
9．【2017江苏 10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x 的值是_________。
专题04数列与不等式2017年高考数学(理)试题分项版解析
【2017课标1，理4】记nS为等差数列{}na的前n项和．若4524a a+=，648S=，则{}na的公差为A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】试题分析：设公差为d，45111342724a a a d a d a d+=+++=+=，611656615482S a d a d⨯=+=+=，联立112724,61548a da d+=⎧⎨+=⎩解得4d=，故选C.秒杀解析：因为166346()3()482a aS a a+==+=，即3416a a+=，则4534()()24168a a a a+-+=-=，即5328a a d-==，解得4d=，故选C.【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}na为等差数列，若m n p q+=+，则m n p qa a a a+=+.2.【2017课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】【考点】等比数列的应用；等比数列的求和公式【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论。
3.【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么 该款软件的激活码是A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A【考点】等差数列、等比数列的求和.【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.4.【2017浙江，6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：由d d a d a S S S =+-+=-+)105(22110211564，可知当0>d ，则02564>-+S S S ，即5642S S S >+，反之，02564>⇒>+d S S S ，所以为充要条件，选C ．【考点】 等差数列、充分必要性【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若q p ⇒，则p 是q 的充分条件，若q p ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0>d ”⇔“02564>-+S S S ”，故为充要条件．5.【2017课标II ，理5】设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【答案】A 【解析】【考点】 应用线性规划求最值【名师点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大。
2017年高考理科数学-数列专题讲义(含解析)
1、按照一定顺序排列着的一列数成为数列，数列中每一个数叫做这个数列的项； 2、如果数列 {an } 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫 做这个数列的通项公式； 注意：1）并不是所有数列都有通项公式，如果一个数列仅仅给出前面有限的几项，那么得 到的通项公式或者递推公式并不是唯一的，只要符合这几项的公式都可以；2）有的数列的 通项公式在形式上并不唯一；3）当不易直接发现规律时，可以拆分成若干部分的和差积商 或充分挖掘题目条件求解； 3、如果已知数列的第一项或（前 n 项） ，且任意一项与它的前一项（或前 n 项）间的关系可 以用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式； 4、数列可以看做定义域为 N （或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的 一列函数值，它的图像是一群孤立的点； 5、数列的表示方法有：列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关 系表示） ； 真题回顾----1 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为 1，第二位同学首次 报出的数也为 1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数 为 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报 到第 100 个数时，甲同学拍手的总次数为________.
=
若项数为奇数，设共有 2n-1 项，则：1） S奇 S偶 = an = a中 ；2） 真题回顾----10 在等差数列 【答案】74
n ； n 1
{an }
中，
a3 a7 37
，则
a2 a4 a6 a8
__________
真题回顾----11 如果等差数列 an 中， a3 a4 a5 12 ，那么 a1 a2 ... a7 （ （A）14 【答案】C （B）21 （C）28 ） （D）35
2017高考数学数列与不等式考题汇编详细解析.doc
2017高考数学数列与不等式考题汇编详细
解析
数列一章的【学习目标】如下：
1．系统掌握数列的有关概念和公式；
2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n项和公式，并运用这些知识解决问题；
3．了解数列的通项公式an与前n项和公式Sn的关系，能通过前n项和公式Sn求出数列的通项公式an;
4．掌握常见的几种数列求和方法.
不等式一章的【学习目标】如下：
1.能正确的记忆和灵活运用不等式的性质；
2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式组，提高数学建模能力；
3.掌握一元二次方程，二次函数，一元二次不等式，这三个“二次”的联系，会解一元二次不等式；
4.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；
5.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件.。
专题04 数列与不等式-2017年高考数学(文)试题分项版解析(原卷版)
1.【2017课标1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．32.【2017课标II ，文7】设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值是A.15-B.9-C.1 D 93.【2017课标3，文5】设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是（ ）A ．[–3,0]B ．[–3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]4.【2017北京，文4】若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为（A ）1（B ）3 （C ）5 （D ）95.【2017山东，文3】已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.36.【2017浙江，4】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)∞+D ．[4，)∞+7.【2017浙江，6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ .9.【2017江苏，9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ . 10.【2017天津，文13】若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 . 11.【2017山东，文】若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞ 过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . 12.【2017课标1，文17】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．13.【2017课标II ，文17】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=(1)若335a b += ，求{}n b 的通项公式；（2）若321T =，求3S .14.【2017课标3，文17】设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-= .（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和. 15.【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 16.【2017天津，文16】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ，学&科网y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.（I ）用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？17.【2017天津，文18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N .18.【2017北京，文15】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++ ．19.【2017江苏，19】 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”.（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列.。
2017年高考真题分类汇编(理数)专题4数列与不等式(解析版)
2017年高考真题分类汇编（理数）：专题4 数列与不等式一、单选题（共13题；共25分）1、（2017·天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A、B、1 C、D、32、（2017•北京卷）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A、1B、3C、5D、93、（2017•新课标Ⅰ卷）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A、1B、2C、4D、84、（2017•山东）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A、a+ ＜＜log2（a+b））B、＜log2（a+b）＜a+C、a+ ＜log2（a+b）＜D、log2（a+b））＜a+ ＜5、（2017•山东）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A、0B、2C、5D、66、（2017•浙江）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件7、（2017•浙江）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[0，6]B、[0，4]C、[6，+∞）D、[4，+∞）8、（2017•新课标Ⅰ卷）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为________．9、（2017•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A、﹣15B、﹣9C、1D、910、（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A、1盏B、3盏C、5盏D、9盏11、（2017•新课标Ⅲ）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A、﹣24B、﹣3C、3D、812、（2017·天津）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R 上恒成立，则a的取值范围是（）A、[﹣，2]B、[﹣，]C、[﹣2 ，2]D、[﹣2 ，]13、（2017•新课标Ⅰ卷）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A、440B、330C、220D、110二、填空题（共7题；共7分）14、（2017•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为________15、（2017•新课标Ⅲ）设等比数列{a n}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=________16、（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=________．17、（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3= ，S6= ，则a8=________．18、（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．19、（2017•北京卷）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则=________．20、（2017·天津）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．三、解答题（共5题；共30分）21、（2017•山东）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（12分）（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1（x n+1，n+1）得到折线P1 P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成的区域的面积T n．22、（2017·天津）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．23、（2017•浙江）已知数列{x n}满足：x1=1，x n=x n+1+ln（1+x n+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，（Ⅰ）0＜x n+1＜x n；（Ⅱ）2x n+1﹣x n≤ ；（Ⅲ）≤x n≤ ．24、（2017•北京卷）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（13分）(1)若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．25、（2017•江苏）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．（Ⅰ）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．故选：D．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．2、【答案】D【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】解：x，y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3），目标函数的最大值为：3+2×3=9．故选：D．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．3、【答案】C【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和【解析】【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．4、【答案】B【考点】不等式比较大小【解析】【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b= ．则= ，= = ，log2（a+b）= = ∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+ ．故选：B．【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b= ．代入计算即可得出大小关系．5、【答案】C【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣x+ z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为z max=﹣3+2×4=5．故选：C．【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是由解得的点A的坐标，代入目标函数求出最大值．6、【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，等差数列的前n项和【解析】【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C【分析】根据等差数列的求和公式和S4+S6＞2S5，可以得到d＞0，根据充分必要条件的定义即可判断．7、【答案】A【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过坐标原点时，函数取得最小值，经过A时，目标函数取得最大值，由解得A（0，3），目标函数的直线为：0，最大值为：36目标函数的范围是[0，6]．故选：A．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．8、【答案】-5【考点】简单线性规划【解析】【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．9、【答案】A【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A（﹣6，﹣3），则z=2x+y 的最小值是：﹣15．故选：A．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．10、【答案】B【考点】等比数列的前n项和【解析】【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381= =127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值．11、【答案】A【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列【解析】【解答】解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴，∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0，解得d=﹣2，∴{a n}前6项的和为= =﹣24．故选：A．【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{a n}前6项的和．12、【答案】A【考点】函数恒成立问题，分段函数的应用【解析】【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤ +a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+ x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+ x﹣3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最小值，则﹣≤a≤ ①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，即为﹣（x+ ）≤ +a≤x+ ，即有﹣（x+ ）≤a≤ + ，由y=﹣（x+ ）≤﹣2 =﹣2 （当且仅当x= ＞1）取得最大值﹣2 ；由y= x+ ≥2 =2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2 ≤a≤2②由①②可得，﹣≤a≤2．故选：A．【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+ x﹣3≤a≤x2﹣x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x＞1时，同样可得﹣（x+ ）≤a≤ + ，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围．13、【答案】A【考点】数列的求和【解析】【解答】解：设该数列为{a n}，设b n= +…+ =2n﹣1，（n∈N+），则= a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n ﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，… ，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n= ，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n= ﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=2，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=17，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选A．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别分别即可求得N的值．二、填空题14、【答案】﹣1【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】解：由z=3x﹣4y，得y= x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y= x﹣，通过平移可知当直线y= x﹣，经过点B（1，1）时，直线y= x﹣在y轴上的截距最大，此时z取得最小值，将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合平移过程，求目标函数z=3x﹣4y的最小值．15、【答案】-8【考点】等比数列的通项公式【解析】【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解得a1=1，q=﹣2．则a4=（﹣2）3=﹣8．故答案为：﹣8．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，可得：a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解方程组即可得出．16、【答案】【考点】等差数列的前n项和，数列的求和【解析】【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n= ，= ，则=2[1﹣+ +…+ ]=2（1﹣）= ．故答案为：．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．17、【答案】32【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和【解析】【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3= ，S6= ，∴= ，= ，解得a1= ，q=2．则a8= =32．故答案为：32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3= ，S6= ，可得= ，= ，联立解出即可得出．18、【答案】30【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x≥4×2× =240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x，利用基本不等式的性质即可得出．19、【答案】1【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】【解答】解：等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2；8=﹣q3，解得q=﹣2，∴b2=2．可得=1．故答案为：1．【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．20、【答案】4【考点】基本不等式【解析】【解答】解：a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+ ≥2 =4，当且仅当，即，即a= ，b= 或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【分析】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．三、解答题21、【答案】解：（I）设数列{x n}的公比为q，则q＞0，由题意得，两式相比得：，解得q=2或q=﹣（舍），∴x1=1，∴x n=2n﹣1．（II）过P1，P2，P3，…，P n向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Q n，即梯形P n P n+1Q n+1Q n的面积为b n，则b n= =（2n+1）×2n﹣2，∴T n=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①∴2T n=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②①﹣②得：﹣T n= +（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1= + ﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣+（1﹣2n）×2n﹣1．∴T n= ．【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和【解析】【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．22、【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．（Ⅱ）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1= 4n，有a2n b2n﹣1=（3n﹣1）4n，故T n=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4T n=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1= =﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得T n= ．所以，数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．【考点】数列的求和，数列递推式，等差数列与等比数列的综合【解析】【分析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．23、【答案】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：x n＞0，当n=1时，x1=1＞0，成立，假设当n=k时成立，则x k＞0，那么n=k+1时，若x k+1＜0，则0＜x k=x k+1+ln（1+x k+1）＜0，矛盾，故x n+1＞0，因此x n＞0，（n∈N*）∴x n=x n+1+ln（1+x n+1）＞x n+1，因此0＜x n+1＜x n（n∈N*），（Ⅱ）由x n=x n+1+ln（1+x n+1）得x n x n+1﹣4x n+1+2x n=x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1），记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0∴f′（x）= +ln（1+x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）=0，因此x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1）≥0，故2x n+1﹣x n≤ ；（Ⅲ）∵x n=x n+1+ln（1+x n+1）≤x n+1+x n+1=2x n+1，∴x n≥ ，由≥2x n+1﹣x n得﹣≥2（﹣）＞0，∴﹣≥2（﹣）≥…≥2n﹣1（﹣）=2n﹣2，∴x n≤ ，综上所述≤x n≤ ．【考点】利用导数研究函数的单调性，数列的函数特性，数列递推式，数列与不等式的综合，数学归纳法【解析】【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，（Ⅲ）由≥2x n+1﹣x n得﹣≥2（﹣）＞0，继续放缩即可证明24、【答案】（1）解：a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n+1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d1＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，此时c n+1﹣c n=d2﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时= =﹣a n+ ，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+ ，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+ 对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[ +1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[ +1]+B＞A• +B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[ ]+1，当n≥m时，≥An+B+ ≥Am+B+C＞A• +B+C ≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．【考点】数列的应用，等差关系的确定【解析】【分析】（1.）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；（2.）由b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+ 对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．25、【答案】解：（Ⅰ）证明：设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，则a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n+2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，②由①可知：a n﹣3+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1，③a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1，整理得：2a n=a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}是等差数列．【考点】等差数列的通项公式，数列的应用，等差关系的确定，等差数列的性质【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知根据等差数列的性质，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n﹣3+a n+3）+（a n+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{a n}是“P（3）数列”；﹣2（Ⅱ）由“P（k）数列”的定义，则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，变形整理即可求得2a n=a n﹣1+a n+1，即可证明数列{a n}是等差数列．。
第03天 数列与不等式回顾基础篇-2017年高考数学自由复习系列江苏版 含解析 精品
1．等差数列及其性质(1)等差数列的判定：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1 (n ≥2)． (2)等差数列的性质①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n n －2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的二次函数且常数项为0.②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列．③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p .④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列． 2．等比数列及其性质(1)等比数列的判定：a n ＋1a n ＝q (q 为常数，q ≠0)或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)．(2)等比数列的性质当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p . 3．求数列通项的常见类型及方法(1)已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳、猜想法．(2)如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义，可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式．(3)若已知数列的递推公式为a n ＋1＝a n ＋f (n )，可采用累加法． (4)数列的递推公式为a n ＋1＝a n ·f (n )，则采用累乘法． (5)已知S n 与a n 的关系，利用关系式a n ＝⎩⎨⎧S 1 n ＝，S n －S n －1n ，求a n .(6)构造转化法：转化为等差或等比数列求通项公式．问题3] 已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.4．数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；(2)分组求和法；(3)倒序相加法；(4)错位相减法；(5)裂项法如：1n n ＋＝1n－1n＋1；1n n＋k＝1k⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋k.(6)并项法数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．5．如何解含参数的一元二次不等式解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小，也是分大于、等于、小于三种情况．在解一元二次不等式时，一定要画出二次函数的图象，注意数形结合．6．处理二次不等式恒成立的常用方法(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法，当x的取值为全体实数时，一般应用此法．(2)从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化最小值大于零．(3)能分离变量的，尽量把参变量和变量分离出来．(4)数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形．7．利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”．常用技巧：(1)对不能出现定值的式子进行适当配凑．(2)对已知条件的最值可代入(常数代换法)或消元．(3)当题中等号条件不成立，可考虑从函数的单调性入手求最值．8．解决线性规划问题有三步(1)画：画出可行域(有图象)．(2)变：将目标函数变形，从中抽象出截距或斜率或距离．(3)代：将合适的点代到原来目标函数中求最值．利用线性规划思想能解决的几类值域(最值)问题：(1)截距型：如求z ＝y －x 的取值范围． (2)条件含参数型：①已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y ＋k ≥0，且z ＝y －x 的最小值是－4，则实数k ＝－2，②已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y ＋k ≥0，且存在无数组(x ，y )使得z ＝y ＋ax取得最小值，则实数a ＝12.(3)斜率型：如求y ＋bx ＋a的取值范围． (4)距离型(圆半径平方型R 2)：如求(x －a )2＋(x －b )2的取值范围．热点一：等差数列【典例】【2017南通三模】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若公差2d =，510a =，则10S 的值是 ▲ ．【答案】110【解析】511148102a a d a a =+=+=⇒= ，所以10111010920901102S a d =+⨯⨯⨯=+=【考点定位】等差数列的性质、等差数列的前n 项和【题型概述】等差数列是高考的必考内容，可以填空题单独出现，也可在解答题中与函数、不等式结合进行考查，处理时可回归基本量构造方程组，有时也要考虑与一元一次函数和一元二次函数相结合，体现出数列的函数特征.【跟踪练习1】在等差数列}{n a 中，首项31=a ，公差2=d ，若某学生对其连续10项求和，在遗漏一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 . 【答案】200考点：等差数列的前项和.【跟踪练习2】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1+a 7=﹣9，S 9=﹣．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＞﹣．【解析】（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，∵a 1+a 7=﹣9，S 9=﹣，∴，解得，∴=﹣．考点：数列的求和；等差数列的性质． 热点二：等比数列【典例】【2017苏锡常镇三模】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比3q =，34533S S +=，则3a = ▲ ． 【答案】3 【解析】341131531(1313),931333a a a a -+-=⇒===- 【考点定位】1．等比数列的求和；2．数列的求和；3．基本不等式．【题型概述】等比数列是高考的必考内容，可以填空题单独出现，也可在解答题中与函数、不等式结合进行考查，处理时可回归基本量构造方程组，有时也要考虑与指数函数相结合，体现出数列的函数特征.【跟踪练习1】【2017苏锡常镇三模】已知数列{}n a 满足21141,2n n n n a a a a a λμ+++==+,其中*N n ∈, ,μ为非零常数．（1）若3,8λμ==，求证：{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是公差不等于零的等差数列． ①求实数,λμ的值；②数列{}n a 的前n 项和n S 构成数列{}n S ，从{}n S 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列．试问：是否存在首项为1S 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由． 解：（1）当3,8λμ==时，21384(32)(2)3222n n n n n n n n a a a a a a a a +++++===+++，∴113(1)n n a a ++=+．……………………………………………………………………2分 又10n a +≠，不然110a +=，这与112a +=矛盾，…………………………………3分 ∴{}1n a +为2为首项，3为公比的等比数列，∴1123n n a -+=⋅，∴1231n n a -=⋅-． …………………………………………………4分设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数．1若三个奇数一个偶数，设121212,,,x y z S S S S ++是满足条件的四项，则2221(21)(21)42017x y z +++++=，∴2222()1007x x y y z ++++=，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去． ……11分2若一个奇数三个偶数，设1222,,,x y z S S S S 是满足条件的四项，则222214442017x y z +++=，∴222504x y z ++=． ……………………………12分 由504为偶数知，,,x y z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数． 1）若,,x y z 中一个偶数两个奇数，不妨设111221,21,x x y y z z ==+=+，则222111112()251x y y z z ++++=，这与251为奇数矛盾． ………………………13分 2）若,,x y z 均为偶数，不妨设1112,2,2x x y y z z ===，则222111126x y z ++=，继续奇偶分析知111,,x y z 中两奇数一个偶数，不妨设122x x =，1221y y =+，1221z z =+，则2222222231x y y z z ++++=． …14分 因为2222(1),(1)y y z z ++均为偶数，所以2x 为奇数，不妨设220y z 剟，当21x =时，22222230y y z z +++=，22214y y +…，检验得20y =，25z =，21x =， 当23x =时，22222222y y z z +++=，22210y y +…，检验得21y =，24z =，23x =， 当25x =时，2222226y y z z +++=，2222y y +…，检验得20y =，22z =，25x =， 即14844,,,S S S S 或者1122436,,,S S S S 或者142040,,,S S S S 满足条件，综上所述，{}14844,,,S S S S ，{}1122436,,,S S S S ，{}142040,,,S S S S 为全部满足条件的四元子列．…………………………………………………………………………………………16分 【跟踪练习2】数列{}n a 满足11a =,132n n n a a +=+．（1）求证数列{}2nn a +是等比数列；（2）证明：对一切正整数，有1211132n a a a +++<…．考点：等比数列定义的应用与求和. 热点三：数列求和【典例】【2017盐城三模】设数列{}n a 的首项11a =，且满足21212n n a a +-=与2211n n a a -=+，则20S = ▲ ．【答案】2056 【解析】102013192420131912()()2()10210205612S a a a a a a a a a -=+++++++=++++=⨯+=-【考点定位】数列求和【题型概述】数列求和可以是两种特殊数列求和，也可以是一般数列求和，它的常见方法很多比较灵活，用什么方法取决于通项公式的结构特征，常与不等式和函数相结合进行考查，是比较综合的，应引起广大考生的注意.【跟踪练习1】已知数()af x x =的图象过点(4,2)，令1(1)()n a f n f n =++，*n N ∈，记数列{}n a 的前项和为n S ，则2015S = . 【答案】12016-考点：1.幂函数；2.裂项相消求和．【跟踪练习2】已知递增等差数列{}n a 中的25,a a 是函数2()710f x x x =-+的两个零点．数列{}n b 满足，点(,)n n b S 在直线1y x =-+上，其中n S 是数列{}n b 的前项和．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【解析】（Ⅰ）因为2a ，5a 是函数2()710f x x x =-+的两个零点，则⎩⎨⎧=⋅=+1075252a a a a ，解得：⎩⎨⎧==5252a a 或⎩⎨⎧==2552a a ． 又等差数列}{n a 递增，则⎩⎨⎧==5252a a ，所以*,N n n a n ∈= ．因为点）（n n S b ,在直线1+-=x y 上，则1+-=n n b S ，当1=n 时，1111+-==b S b ，即211=b ．当2≥n 时， )1()1(11+--+-=-=--n n n n n b b S S b ，即121-=n n b b ．所以数列}{n b 为首项为21，公比为21的等比数列，即*,)21(N n b n n ∈=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：*,N n n a n ∈=且*,)21(N n b n n ∈=， 则*,)21(N n n b a c n n n n ∈⋅=⋅= ，所以nn n T )21()21(3)21(221132⋅++⋅+⋅+⋅= ①231111111()2()(1)()()22222n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅L ② ． ①-②得：1132)21)(2(1)21()21()21()21(2121+++-=⋅-++++=n n n n n n T ．所以*12(2)(),2n n T n n N =-+∈．或写 *22,2n n n T n N +=-∈．考点：等差、等比数列的通项公式；错位相减法求数列的和． 热点四：数列的综合应用【典例】【2017南通三模】已知{}n a 是公差为的等差数列，{}n b 是公比为的等比数列，1q ≠±，正整数组()E m p r =，，（m p r <<）．（1）若122331a b a b a b +=+=+，求的值；（2）若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且m p a b +=p r a b +=r m a b +，求的最大值；（3）若11()2n n b -=-，m m a b +=p p a b +=0r r a b +=，试写出满足条件的一个数组E 和对应的通项公式n a ．（注：本小问不必写出解答过程）（3）满足题意的数组(23)E m m m =++，，， 此时通项公式为1133()(1)288m n a n m -=---，*m ∈N ． 例如：(134)E =，，，31188n a n =-． …… 16分 【考点定位】新定义【题型概述】数列作为高中数学代数核心之一，在高考的后三题中常有出现，它常与函数、不等式相结合以高考压轴大戏的身份出现，对于特殊数列的基本量一定要烂熟于心，数列的函数特征要正确理解并加以运用，这往往是解题的重点和难点所在.【跟踪练习1】【2017盐城三模】已知数列{}n a ，{}n b 都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项视为一项），则得到一个新数列{}n c .（1）设数列{}n a 、{}n b 分别为等差、等比数列，若111a b ==，23a b =，65a b =，求20c ； （2）设{}n a 的首项为1，各项为正整数，3n n b =，若新数列{}n c 是等差数列，求数列{}n c的前项和n S ；（3）设1n n b q -=（是不小于2的正整数），11c b =，是否存在等差数列{}n a ，使得对任意的*n N ∈，在n b 与1n b +之间数列{}n a 的项数总是n b ？若存在，请给出一个满足题意的等差数列{}n a ；若不存在，请说明理由.所以0,d q >>，所以3d =，2q =，所以32n a n =-，12n n b -=. ...............2分因为11b a =，32b a =，56b a =，720b a >， 所以249c a ==. ...............4分（2）设等差数列{}n c 的公差为d ，又11a =，且3n n b =，所以11c =，所以1n c dn d =+-. 因为13b =是{}n c 中的项，所以设1n b c =，即(1)2d n -=. 当4n ≥时，解得211d n =<-，不满足各项为正整数； ...............6分当133b c ==时，1d =，此时n c n =，只需取n a n =，而等比数列{}n b 的项都是等差数列{}n a 中的项，所以1(1)2n S n n =+； ...............8分当123b c ==时，2d =，此时21n c n =-，只需取21n a n =-，由321nm =-，得312n m +=，3n 是奇数，31n + 是正偶数，m 有正整数解， 所以等比数列{}n b 的项都是等差数列{}n a 中的项，所以2n S n =. ...............10分综上所述，数列{}n c 的前项和1(1)2n S n n =+或2n S n =. ...............11分（3）存在等差数列{}n a ，只需首项1(1,)a q ∈，公差1d q =-. ...............13分下证n b 与1n b +之间数列{}n a 的项数为n b . 即证对任意正整数，都有1211211n n n b b b n b b b b a b a -++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+<⎧⎪⎨>⎪⎩， 即22211111n n n q q q n q q q b a b a --++++++++<⎧⎪⎨>⎪⎩成立. 由221221111(1)(1)10n n n n q q q b a q a q q q q a ---++++-=--+++-=-<， 212211111(11)(1)0n n n n n q q q b a q a q q q q q q a ---++++-=--++++--=->. 所以首项1(1,)a q ∈，公差1d q =-的等差数列{}n a 符合题意. ..............16分【跟踪练习2】已知数列{a n }，{b n }满足：a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝1(1)22n n +-⋅+（*n ∈N ）. （Ⅰ）若{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{a n }的前n 项和S n ； （Ⅱ）若{a n }是等差数列，且a n ≠0，问：{b n }是否是等比数列？若是，求{a n }和{b n }的通项公式；若不是，请说明理由．考点：等差数列与等比数列.。
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2017高考数列与不等式
1.【2017课标1，文7】设x，y满足约束条件
33,
1,
0,
x y
x y
y
+≤
⎧
⎪
-≥
⎨
⎪≥
⎩
则z=x+y的最大值为
A．0 B．1 C．2 D．3
2.【2017课标II，文7】设,x y满足约束条件
2+330
2330
30
x y
x y
y
-≤
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪+≥
⎩
,则2
z x y
=+的最小值是
A.15
- B.9- C.1 D 9
3.【2017课标3，文5】设x，y满足约束条件
3260
x y
x
y
+-≤
⎧
⎪
≥
⎨
⎪≥
⎩
，则z x y
=-的取值范围是（）
A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]
4.【2017北京，文4】若,x y满足
3,
2,
,
x
x y
y x
≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≤
⎩
错误！未找到引用源。
则2
x y
+的最大值为
（A）1（B）3 （C）5 （D）9
5.【2017山东，文3】已知x,y满足约束条件
250
30
2
x y
x
y
-+≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≤
⎩
,则z=x+2y的最大值是
A.-3
B.-1
C.1
D.3
6.【2017浙江，4】若x，y满足约束条件
30
20
x
x y
x y
≥
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪-≤
⎩
，则y
x
z2
+
=的取值范围是
A．[0，6] B．[0，4] C．[6，)∞
+D．[4，)∞
+
7.【2017浙江，6】已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费
用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ .
9.【2017江苏，9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344
S S ==,,则8a = ▲ .
10.【2017天津，文13】若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab
++的最小值为 . 11.【2017山东，文】若直线1(00)x y a b a b
+=＞，＞ 过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . 12.【2017课标1，文17】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．
13.【2017课标II ，文17】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=
(1)若335a b += ，求{}n b 的通项公式；
（2）若321T =，求3S .
14.【2017课标3，文17】设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-= .
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨
⎬+⎩⎭ 的前n 项和.
15.【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.
(I)求数列{a n }通项公式； (II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
16.【2017天津，文16】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
（I ）用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？
17.【2017天津，文18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，
2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.
（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N .
18.【2017北京，文15】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++ ．
19.【2017
江苏，19】 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”.
（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;
（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列.。