高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》真题汇编及答案

新数学高考《数列》专题解析

一、选择题

1．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则10

6

S S 等于（ ） A ．-3 B ．5

C ．-31

D ．33

【答案】D 【解析】 【分析】

先由题设条件结合等比数列的前n 项和公式，求得公比q ，再利用等比数列的前n 项和公

式，即可求解10

6

S S 的值，得到答案.

【详解】

由题意，等比数列{}n a 中32S =，618S =，

可得313366316(1)1121(1)1118

1a q S q q a q S q q q ---====--+-，解得2q =， 所以1011051055

16

(1)11133(1)11a q S q q q a q S q q

---===+=---. 故选：D . 【点睛】

本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.

2．已知等差数列{}n a 中，若311,a a 是方程2210x x --=的两根，单调递减数列

{}()*n b n N ∈通项公式为27n b n a n λ=+.则实数λ的取值范围是（ ）

A ．(),3-∞-

B ．1,3??-∞- ???

C ．1,3??-+∞ ???

D ．()3,-+∞

【答案】B 【解析】 【分析】

先求出71a =，再根据{}n b 是递减数列，得到1

21

n λ<-+对*n N ∈恒成立，即得解. 【详解】

∵311,a a 是方程220x x --=的两根，∴3112a a +=.

∵{}n a 是等差数列，∴311722a a a +==，∴71a =，

∴2

n b n n λ=+，又∵{}n b 是递减数列，

∴10n n b b +-<对*n N ∈恒成立， 则()()()2

2

110n n n

n λλ+++-+<，∴()2110n λ++<，

∴1

21

n λ<-

+对*n N ∈恒成立， ∴13

λ<-.

故选：B. 【点睛】

本题主要考查等差中项的应用，考查数列的单调性和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．已知数列{}n a 为等比数列，前n 项和为n S ，且12a =，1n n b a =+，若数列{}n b 也是等比数列，则n S =（ ） A ．2n B ．31n - C ．2n D ．31n -

【答案】C 【解析】 【分析】

设等比数列{}n a 的公比为q ，写出,n n a b .由数列{}n b 是等比数列，得2

213b b b =，求出q ，

即求n S . 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，1

12,2n n a a q -=∴=Q ，

121n n b q -∴=+，

13b ∴=，221b q =+，2321b q =+，

{}n b Q 也是等比数列， 2

2

13b b b ∴=，即()()

2

221321q q +=+

解得1q =，2,2n n a S n ∴=∴=. 故选：C . 【点睛】

本题考查等比数列的性质，属于基础题.

4．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ） A ．1.5尺

B ．2.5尺

C ．3.5尺

D ．4.5尺

【解析】 【分析】

结合题意将其转化为数列问题,并利用等差数列通项公式和前n 项和公式列方程组,求出首项和公差,由此能求出结果. 【详解】

解:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,

∴()()1119

13631.598

985.52a a d a d S a d ?++++=?

??=+=??

, 解得113.5a =,1d =-,

∴小满日影长为1113.510(1) 3.5a =+?-=（尺）. 故选C . 【点睛】

本题考查等差数列的前n 项和公式,以及等差数列通项公式的运算等基础知识,掌握各公式并能熟练运用公式求解,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.

5．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132 B ．299

C ．68

D ．99

【答案】B 【解析】 【分析】

由12n n n a a a ++++为定值，可得3n n a a +=，则{}n a 是以3为周期的数列，求出123,,a a a ，即求100S . 【详解】

对任意的n ∈+N ，均有12n n n a a a ++++为定值，

()()123120n n n n n n a a a a a a +++++∴++-++=，

故3n n a a +=，

{}n a ∴是以3为周期的数列，

故17298392,4,3a a a a a a ======，

()()()100123979899100123133S a a a a a a a a a a a ∴=+++++++=+++L

()332432299=+++=.

【点睛】

本题考查周期数列求和，属于中档题.

6．等差数列的首项为1

25

，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．8,75??

+∞

???

C ．83,7525??

???

D ．83,7525??

???

【答案】D 【解析】 【分析】

根据题意可知101a >，91a ≤，把1a 的值代入列不等式解得即可. 【详解】

由题意，设数列{}n a 的公差为d ，首项11

25a =，则10911a a >??≤?，

即1019

19181a a d a a d =+>??=+≤?，解得

83

7525d <≤. 故选：D. 【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，要熟练记忆等差数列的通项公式．

7．设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且S n 为数列{b n }的前n 项和.若a 2＝1，a 10＝16且a 6＝b 6，则S 11＝（ ） A ．20 B ．30 C ．44 D ．88

【答案】C 【解析】 【分析】

设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16列式求得q 2，进一步求出a 6，可得b 6，再由等差数列的前n 项和公式求解S 11. 【详解】

设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16，

得810

2

16a q a =

=，得q 2＝2. ∴4

624a a q ==，即a 6＝b 6＝4，

又S n 为等差数列{b n }的前n 项和，

∴()111116

1111442

b b S b

+?=

==.

故选：C. 【点睛】

本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n 项和的求法，是中档题.

8．已知数列}{

n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ?=，且4a 与72a 的等差中项为5

4

，则5S =（ ）． A ．35 B ．33

C ．31

D ．29

【答案】C 【解析】

试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，则2

231112a a a q a q a =?=，所以42a =，

又3

474452224a a a a q +=+=?，解得11,162

q a ==，所以

55

151

16(1())

(1)2311112

a q S q --==

=--，故选C ． 考点：等比数列的通项公式及性质．

9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线

的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r

，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O

点，则S 2010等于（ ） A ．1005 B ．1006

C ．2010

D ．2012

【答案】A 【解析】 【分析】

根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r

，及三点A ，

B ，

C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值. 【详解】

由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；

由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，

所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1，

∴S 2010()

12010201020101

10052

2

a a +?=

=

=. 故选：A. 【点睛】

本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.

10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若150S >，160S <，则n S 取最大值时n 的值为（ ） A ．6 B ．7

C ．8

D ．13

【答案】C 【解析】 【分析】

根据题意推导出数列{}n a 为单调递减数列，且当8n ≤时，0n a >，当9n ≥时，0n a <，由此可得出结果. 【详解】

()115158151502a a S a +=

=>Q ，()

()116168916802

a a S a a +==+<，80a ∴>，

90a <，

所以，等差数列{}n a 的公差980d a a =-<，则数列{}n a 为单调递减数列. 当8n ≤时，0n a >，当9n ≥时，0n a <， 因此，当8n =时，n S 取最大值. 故选：C. 【点睛】

本题考查利用等差数列前n 项和的最值求对应的n 的值，主要分析出数列的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

11．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 为（ ） A ．3∶4 B ．4∶3 C ．1∶2 D ．2∶1

【答案】A 【解析】 【分析】

根据在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得1012

S x =，153

4

S x =

，从而得到155:S S 的值． 【详解】

解：在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得101

2

S x =， 1051122S S x x x ∴-=

-=-，151014S S x ∴-=，15113

244

S x x x ∴=+=， 故155

334:4

x

S S x ==， 故选：A ． 【点睛】

本题考查等比数列的性质，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，成公比为k q 的等比数列，属于中档题.

12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，33

4

S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]

1,0- B ．11,2

??-???

?

C ．1,12??????

D ．[]

0,1

【答案】B 【解析】 【分析】

先求得等比数列的首项和公比，得到n S ，分析数列的单调性得到n S 的最值，从而列不等式求解即可. 【详解】

由1220,a a += 33

4S =，得11211,,1232n

n a q S ????==-=--?? ???????

，

当1n =时，n S 取最大值1，当2n =时，n S 取最小值

12

， 所以12

21

a a ?

≤

???+≥?，112a -≤≤，故选B. 【点睛】

本题主要考查了等比数列的单调性，结合首项和公比即可判断，属于中档题.

13．在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，则17S 的值是（ ） A ．41 B ．51

C ．61

D ．68

【答案】B 【解析】 【分析】

由韦达定理得3156a a +=，由等差数列的性质得117315a a a a +=+，再根据等差数列的前n 项和公式求17S . 【详解】

在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，

3156a a ∴+=.

()()117315171717176

51222

a a a a S ++?∴=

===. 故选：B . 【点睛】

本题考查等差数列的性质和前n 项和公式，属于基础题.

14．在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在912

129

,,,S S S a a a ?中最大的是（ ）

A ．1

1

S a

B ．88S a

C ．55S a

D ．99

S a

【答案】C 【解析】 【分析】

由题意知5600a a ＞，＜ ．由此可知

5691212569

00...0,0,...0S S S S S

a a a a a ，，，>>><<，所以在912

129...S S S a a a ，，，中最大的是55

S a ． 【详解】 由于191109510569()10()

9050222

a a a a S a S a a ++=

===+＞，（）＜ ， 所以可得5600a a ＞，＜．

这样56912

12569

00...0,0,...0S S S S S a a a a a ，，，>>><<， 而125125S S S a a a ??＜＜＜，＞＞＞>0， ，

所以在912

129...S S S a a a ，，，中最大的是55

S a ． 故选C ． 【点睛】

本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属中档题.

15．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3

214633

f x x x x =

-+-

的极值点，则2020a =（ ）

A ．1-

B ．1

C

D ．2

【答案】B 【解析】 【分析】

根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出140396a a =，再由等比数列的性质可得. 【详解】

解：依题意1a 、4039a 是函数()3

214633

f x x x x =

-+-的极值点，也就是()2860f x x x '=-+=的两个根

∴140396a a =

又{}n a

是正项等比数列，所以2020a =

∴20201a ==.

故选：B 【点睛】

本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.

16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12

n n n a S n

++=（*n ∈N ），则n S =（ ） A ．121n -+ B ．2n n ?

C ．31n -

D ．123n n -?

【答案】B 【解析】 【分析】

由题得12

2,1

n n a n a n ++=?+再利用累乘法求出1(1)2n n a n -=+?，即得n S . 【详解】 由题得111(1)(1),,,2121

n n n n

n n n na n a na n a S S a n n n n ++---=

∴=∴=-++++（2n ≥） 所以122,1

n n a n a n ++=?+（2n ≥） 由题得22166,32

a a a =∴

==，所以12

2,1n n a n a n ++=?

+（1n ≥）.

所以

324123134

51

2,2,2,2,234n n a a a a n a a a a n

-+=?=?=?=?L ， 所以11112,(1)22

n n n n a n a n a --+=?∴=+?. 所以(2)222

n n n n

S n n n =?+?=?+. 故选：B 【点睛】

本题主要考查数列通项的求法，考查数列前n 项和与n a 的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

17．根据下面的程序框图，输出的S 的值为（ ）

A ．1007

B ．1009

C ．0

D ．-1

【答案】A 【解析】 【分析】

按照程序框图模拟运行即可得解. 【详解】

1i =，1

112

x =

=--，0(1)1S =+-=-；2i =，111(1)2x =

=--， 11122

S =-+=-；3i =，1

2

112x ==-，

13222S =-+=；4i =，1112x ==--，

31

(1)22

S =

+-=，…， 由此可知，运行程序过程中，x 呈周期性变化，且周期为3，

所以输出112672110072S ??

=-++?-= ???

. 故选A 【点睛】

本题主要考查程序框图和数列的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

18．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题： ①公差0d < ②110S < ③120S >

④数列{}n S 中的最大项为11S ⑤67a a >

其中正确命题的个数是（ ） A ．2 B ．3

C ．4

D ．5

【答案】B 【解析】 【分析】

先由条件确定数列第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，最后11S ，12S 的符号由第六项和第七项的正负判定． 【详解】

Q 等差数列{}n a 中，6S 最大，且675S S S >>，

∴10a >，0d <，①正确； Q 675S S S >>，

∴60a >，70a <，67 0a a +>，∴160a d +<，150a d +>，6S 最大， ∴④不正确；1111115511(5)0S a d a d =+=+>，

12111267 126612()12()0S a d a a a a =+=+=+>， ∴③⑤正确，②错误.

故选：B ． 【点睛】

本题考查等差数列的前n 项和的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.

19．《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）

A ．

43

钱 B ．

73

钱 C ．83

钱

D ．

103

钱 【答案】C 【解析】 【分析】

依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ，由题意求得a ＝﹣6d ，结合a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝10求得a ＝2，则答案可求． 【详解】

解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ， 则由题意可知，a ﹣2d +a ﹣d ＝a +a +d +a +2d ，即a ＝﹣6d ， 又a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝10，∴a ＝2， 则a ﹣2d ＝a 48333

a a +==． 故选：C ． 【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，考查实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是基础的计算题．

20．已知数列11n a ??-?

???

是公比为1

3的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1

a 的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．(0,3)

C ．(0,2)

D ．(0,1)

【答案】D 【解析】 【分析】

先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围. 【详解】

由已知得

1

11

11113n n a a -????-=- ? ???

??，则

1

11

1111

3n n a a -=

????

-+ ?????

??.

因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，

所以10n n a a +>>，则1

1111

1111111133n n a a ->????????-+-+ ? ? ? ?????

????， 化简得11

111

0113a a ??<-<-

???，所以101a <<.

故选：D. 【点睛】

本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据1,n n a a 之间的大小关系分析问题.