华中科技大学-微积分-极限习题课及标准答案
大学物理(华中科技版)第11章习题解答
第11章习题答案11-1 无限长直线电流的磁感应强度公式为B ＝μ0I2πa ，当场点无限接近于导线时(即a →0)，磁感应强度B →∞，这个结论正确吗？如何解释？ 答：结论不正确。
公式aIB πμ20=只对理想线电流适用，忽略了导线粗细，当a →0， 导线的尺寸不能忽略，电流就不能称为线电流，此公式不适用。
11-2 如图所示，过一个圆形电流I 附近的P 点，作一个同心共面圆形环路L ，由于电流分布的轴对称，L 上各点的B 大小相等，应用安培环路定理，可得∮L B ·d l ＝0，是否可由此得出结论，L 上各点的B 均为零？为什么？ 答：L 上各点的B 不为零. 由安培环路定理∑⎰=⋅ii I l d B 0μ得 0=⋅⎰l d B，说明圆形环路L 内的电流代数和为零，并不是说圆形环路L 上B 一定为零。
10-3 设题10-3图中两导线中的电流均为8A ，对图示的三条闭合曲线a ,b ,c ，分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和．并讨论：(1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B的大小是否相等? (2)在闭合曲线c 上各点的B是否为零?为什么? 解： ⎰μ=⋅al B 08d⎰μ=⋅bal B 08d⎰=⋅cl B 0d(1)在各条闭合曲线上，各点B的大小不相等．(2)在闭合曲线C 上各点B 不为零．只是B的环路积分为零而非每点0=B ．11-4 把一根柔软的螺旋形弹簧挂起来，使它的下端和盛在杯里的水银刚好接触，形成串联电路，再把它们接到直流电源上通以电流，如图所示，问弹簧会发生什么现象？怎样解释？习题11-2图答：弹簧会作机械振动。
当弹簧通电后，弹簧内的线圈电流可看成是同向平行的，而同向平行电流会互相吸引，因此弹簧被压缩，下端会离开水银而电流被断开，磁力消失，而弹簧会伸长，于是电源又接通，弹簧通电以后又被压缩……，这样不断重复，弹簧不停振动11-5 如图所示为两根垂直于xy 平面放置的导线俯视图，它们各载有大小为I 但方向相反的电流.求：(1)x 轴上任意一点的磁感应强度；(2)x 为何值时，B 值最大，并给出最大值B max .解：(1) 利用安培环路定理可求得1导线在P 点产生的磁感强度的大小为：rIB π=201μ2/1220)(12x dI +⋅π=μ2导线在P 点产生的磁感强度的大小为： r IB π=202μ2/1220)(12x d I+⋅π=μ1B 、2B的方向如图所示．P 点总场θθcos cos 2121B B B B B x x x +=+= 021=+=y y y B B B )()(220x dId x B +π=μ，i x dId x B)()(220+π=μ(2) 当0d )(d =xx B ，0d )(d 22=<xx B 时，B (x )最大．由此可得：x = 0处，B 有最大值．11-6 如图所示被折成钝角的长直载流导线中，通有电流I ＝20 A ，θ＝120°，a ＝2.0 mm ，求A 点的磁感应强度. 解：载流直导线的磁场)sin (sin 4120ββπμ-=dIBA 点的磁感应强度)))90sin(90(sin sin 40000θθπμ--+=a IB习题10-6图y习题10-7图dPr B 1B 2xy 12oxddθ θ)5.01(2/3100.2201037+⨯⨯⨯=--B =1.73⨯10-3T方向垂直纸面向外。
微积分习题讲解与答案
习题8.11。
指出下列微分方程的阶数,并指出哪些方程是线性微分方程： (1)02)(2=+'-'xy y y y x (2) 02=+'-y y x y x (3）0)(sin 42=+''+'''y x y y x (4)θθ2sin d d =+p p解 (1) 1阶 非线性 (2） 1阶 线性 （3) 3阶 线性 (4) 1阶 线性2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 （1) xxy x y y x sin ,cos ==+' （2） 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- （C 为任意常数） （3) xCe y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数） （4) x xe C eC y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数)（5） C y xy x y x y y x =+--='-22,2)2( (C 为任意常数) (6) )ln(,02)(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''- 解 (1) 是，左=x x xx x x x xcos sin sin cos 2=+-=右(2) 是，左=x x C x x Cx x 2)12(1)1(222=-++---=右（3） 是,左=02=+-xxxCe Ce Ce =右 （4） 是,左=0)())(()(2121212121221121222211=++++-+x x x x x xe C e C e C e C eC e C λλλλλλλλλλλλλλ =右(5） 是，左==-=---y x yx yx y x 222)2(右（6） 是，左=x xy yx xy y y x xy y x x xy xy xy xy x xy ---+-+----2)()(22)(22332=0)())(2()()(222222232=---+-+---x xy x xy y y x xy xy x xy xy xy xy = 右3.求下列微分方程的解（1） 2d d =x y； （2) x xy cos d d 22=； （3） 0d )1(d )1(=--+y y x y (4) yx xy y )1()1(22++=' 解 (1)C x y x y +==⎰⎰2,d 2d（2) 1sin ,d cos d C x y x x x y +='=''⎰⎰211cos ,d )(sin d Cx C x y x C x x y ++-=+='⎰⎰(3）⎰⎰=+-x y y yd d 11⎰⎰=+++-x y y y d d 12)1(解得⎰⎰⎰=++-x y yy d d 12d 即 C x y y +=++-|1|ln 2(4）⎰⎰+=+dx x xdy y y )1(122解得 2122)1ln()1ln(C x y ++=+整理得 22211C x y =++4。
华中科技大学精品课程—微积分(下)
一. 平面及其方程 二. 直线及其方程
一. 平面方程
1.平面的点法式方程
已知M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , 矢量n , n A, B, C O
n称为平面的法矢量
z
n
M0
π
M
y
求平面的方程
o
x
解: 设平面上的任一点为 M ( x , y , z )
例 2 求过点(1,1,1) ， 且垂直于平面 x y z 7 和
3 x 2 y 12 z 5 0 的平面方程.
解
n1 {1,1, 1}, n2 {3, 2,12} 取法矢量 n n1 n2 {10, 15, 5},
所求平面方程为
(1) D 0, 平面 Ax+By+Cz=0 通过坐标原点；
( 2) A 0, n 0, B, C x轴， D 0, 平面通过
轴； x D 0, 平面平行于 x 轴；
类似地可讨论 B 0, C 0 情形. 平面平行于 ( 3) B C 0, n A,0,0 yoz平面， yoz平面. 类似地可讨论 A = B = 0, A = C = 0 情况.
C 2 2 2 A B C
Pr jn P1 P0 P1 P0 n0
A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C ( z0 z1 ) 2 2 2 2 2 2 A B C A B C A2 B 2 C 2
Ax0 By0 Cz0 ( Ax1 By1 Cz1 ) , 2 2 2 A B C
知平面方程为 x , y , z 的三元一次方程. 命题2. 任何x , y , z 的三元一次方程:
极限基础练习题及答案
极限基础练习题及答案极限是微积分中非常重要的一个概念，它在解决许多高阶数学和物理问题时起到了至关重要的作用。
针对极限的练习题有助于我们巩固和扩展对此概念的理解。
下面将为大家提供一些常见的极限基础练习题及答案。
1. 求极限(a) lim(x→0) sin(x)/x(b) lim(x→∞) (2x^2 + 3x)/(x^2 - 5x)解答：(a) 对于极限lim(x→0) sin(x)/x，我们可以利用泰勒展开式展开sin(x)，得到sin(x)=x-1/6x^3+O(x^5)，其中O(x^5)表示x^5阶无穷小。
将此结果代入极限式中，可以得到lim(x→0) sin(x)/x = lim(x→0) (x-1/6x^3+O(x^5))/x = lim(x→0) (1-1/6x^2+O(x^4)) = 1。
因此，该极限等于1。
(b) 对于极限lim(x→∞) (2x^2 + 3x)/(x^2 - 5x)，我们可以将分子和分母都除以x^2，并取x趋近于无穷大，得到lim(x→∞) (2 + 3/x)/(1 - 5/x) = (2 + 0)/(1 - 0) = 2/1 = 2。
因此，该极限等于2。
2. 求极限(a) lim(x→∞) (e^x + 2)/(e^x - 3)解答：对于极限lim(x→∞) (e^x + 2)/(e^x - 3)，我们可以将分子和分母同时除以e^x，并取x趋近于无穷大，得到lim(x→∞) (1 + 2/e^x)/(1 - 3/e^x)= (1 + 0)/(1 - 0) = 1。
因此，该极限等于1。
3. 求极限(a) lim(x→0) (sqrt(1 + 3x) - 1)/x(b) lim(x→∞) (3x^2 + 2x - 1)/(2x^2 - 5)解答：(a) 对于极限lim(x→0) (sqrt(1 + 3x) - 1)/x，我们可以将分子有理化，得到lim(x→0) ((sqrt(1 + 3x) - 1)(sqrt(1 + 3x) + 1))/(x(sqrt(1 + 3x) + 1))。
函数极限习题及答案
函数极限习题及答案函数极限习题及答案函数极限是微积分中一个重要的概念，它在数学的各个领域中都有广泛的应用。
通过研究函数在某一点的极限，我们可以了解函数在该点附近的变化规律，进而推导出一些重要的结论。
本文将通过几个习题来讨论函数极限的相关概念和计算方法，并给出详细的解答。
1. 求函数f(x) = 2x + 3在x = 1处的极限。
解答：要求函数在某一点的极限，可以直接将该点的值代入函数进行计算。
将x = 1代入函数f(x) = 2x + 3中，得到f(1) = 2(1) + 3 = 5。
因此，函数f(x)在x = 1处的极限为5。
2. 求函数g(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)在x = 1处的极限。
解答：当直接代入x = 1时，函数g(x)的分母为0，无法计算。
此时，我们可以通过化简来求解。
将函数g(x)的分子进行因式分解，得到g(x) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1)。
分子的(x - 1)与分母的(x - 1)相约，得到g(x) = x + 1。
再将x = 1代入该函数，得到g(1) = 1 + 1 = 2。
因此，函数g(x)在x = 1处的极限为2。
3. 求函数h(x) = sin(x)/x在x = 0处的极限。
解答：当直接代入x = 0时，函数h(x)的分母为0，无法计算。
此时，我们可以利用极限的性质来求解。
首先，我们可以观察到当x接近0时，sin(x)也接近0。
因此，我们可以猜测函数h(x)在x = 0处的极限为1。
为了证明这个猜测，我们可以利用泰勒级数展开来近似计算。
根据泰勒级数展开，sin(x)可以表示为x -x^3/3! + x^5/5! - ...。
将这个级数代入函数h(x)，得到h(x) = (x - x^3/3! +x^5/5! - ...)/x。
分子中的x与分母的x相约，得到h(x) = 1 - x^2/3! + x^4/5! -...。
当x接近0时，x^2、x^4等项的值都会趋近于0，因此，我们可以得到h(x)在x = 0处的极限为1。
微积分习题讲解与答案
习题8.11.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： (1)02)(2=+'-'xy y y y x (2) 02=+'-y y x y x (3)0)(sin 42=+''+'''y x y y x (4)θθ2sin d d =+p p解 (1) 1阶 非线性 (2) 1阶 线性 (3) 3阶 线性 (4) 1阶 线性2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) xxy x y y x sin ,cos ==+' (2) 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- (C 为任意常数) (3) xCe y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数) (4) x xe C eC y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数)(5) C y xy x y x y y x =+--='-22,2)2( (C 为任意常数) (6) )ln(,02)(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''- 解 (1) 是，左=x x xx x x x xcos sin sin cos 2=+-=右(2) 是，左=x x C x x Cx x 2)12(1)1(222=-++---=右(3) 是，左=02=+-xxxCe Ce Ce =右 (4) 是，左=0)())(()(2121212121221121222211=++++-+x x x x x xe C e C e C e C eC e C λλλλλλλλλλλλλλ =右(5) 是，左==-=---y x yx yx y x 222)2(右(6) 是，左=x xy yx xy y y x xy y x x xy xy xy xy x xy ---+-+----2)()(22)(22332=0)())(2()()(222222232=---+-+---x xy x xy y y x xy xy x xy xy xy xy = 右3.求下列微分方程的解(1) 2d d =x y; (2) x xy cos d d 22=;(3) 0d )1(d )1(=--+y y x y (4) yx x y y )1()1(22++=' 解 (1) C x y x y +==⎰⎰2,d 2d (2) 1sin ,d cos d C x y x x x y +='=''⎰⎰211cos ,d )(sin d Cx C x y x C x x y ++-=+='⎰⎰(3)⎰⎰=+-x y y y d d 11 ⎰⎰=+++-x y y y d d 12)1(解得 ⎰⎰⎰=++-x y y y d d 12d即 C x y y +=++-|1|ln 2(4)⎰⎰+=+dx x xdy y y )1(122解得 2122)1ln()1ln(C x y ++=+整理得 22211C xy =++ 4.已知曲线)(x f y =经过原点，并且它在点),(y x 处的切线的斜率等于22x ，试求这条曲线的方程。
【精品】华中科技大学微积分极限习题课及答案
例1 求极限 （1）nn 2cos 2cos2coslim 2θθθ∞→，解 0=θ时，极限为1；0≠θ时（n 充分大时，02sin≠nθ），原式θθθθsin 2sin2sin lim ==∞→nn n 。
（2）nn n n )111(lim 2++∞→ 解 先求1)11(lim )111ln(lim 22=+=++∞→∞→n n n n n n n n ，所以原式=e 另法 利用111111112-+<++<+n n n n （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅→x x x 1lim 0解 因为1111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x ，即有xx x 1111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<- 当0>x 时，111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅<-x x x ，由夹挤准则得11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+→x x x ， 同理11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-→x x x ，故原极限为1。
（4）x x x cos lim 0+→解 先求21)1(cos 1lim cos ln 1lim 00-=-=++→→x x x x x x ， 原极限为 2/1-e。
（5）ex e x ex e x --→lim .解 原式=ex e e e x e e e x x e x ee x x e x --=---→→1lim lim ln ln)ln lim ln ln lim (ln limex ex e e x x e x x e e x e x x e e x e x e e x e--+--=--=→→→ee 2=（6）2303cos 2cos cos 1lim xx•x x x -→. 解 分子为)3cos ln 312cos ln 21cos exp(ln 1x x x ++- ~)3cos ln 312cos ln 21cos (ln x x x ++-,原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=→22203cos ln 312cos ln 21cos ln limx x x x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+--=→222013cos 3112cos 211cos lim x x x x x x x []332121=++=. 练习（1）)sin (tanlim nxn x n n n -∞→ （答案321x ）（2）xx e e xx ee x --→sin lim sin 0 （答案e ）（3）20cos 2cos cos 1lim xnxx x n x -→ （答案)1(41+n n ） （4）xx x x esin 1)(lim 2-→ （答案1-e ）（5）1311()1()1)(1(lim -→----n n x x x x x ）（答案!1n ） （6）)sin 1sin limx x x -++∞→（ （提示和差化积，极限为0） （7）设)1,1(0•a -∈，1,21211≥+=-n •a a n n ，求n n a a a 21lim ∞→。
微积分课后题答案习题详解
第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
极限练习题含答案
极限练习题含答案极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了当自变量趋近于某个值时，函数值的行为。
下面是一些极限练习题及其答案，供同学们学习和练习。
练习题1：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]答案1：根据洛必达法则或者直接使用三角函数的性质，我们可以知道：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]练习题2：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 - 3x + 2} \]答案2：分子和分母同时除以\( x^2 \)，得到：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} +\frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = 3 \]练习题3：求极限\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} \]答案3：这是e的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e \]练习题4：求极限\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \]答案4：这是一个无穷小量的倒数，当\( x \)趋近于1时，\( x - 1 \)趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \text{ 不存在} \]练习题5：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} \]答案5：分子分母同时除以\( \sin x \)，得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1 =\frac{2}{3} \]练习题6：求极限\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x \]答案6：使用洛必达法则或者直接利用三角函数的性质，我们可以得到：\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \]练习题7：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \]答案7：当\( x \)趋近于无穷大时，\( \sin x \)的值在-1和1之间波动，但相对于\( x \)来说，它趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \]练习题8：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \]答案8：这是e的导数的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]以上练习题和答案可以帮助同学们更好地理解和掌握极限的概念和求解方法。
华科微积分辅导书习题答案12
104习题12解答（编写：王德荣）1．选择题(1) 若级数∑∞=1n nu收敛于S ，则级数∑∞=++11)(n n nu u（ ）。
（A ）收敛于S 2 （B ）收敛于1S 2u + （C ）收敛于1S 2u - （D ）发散 解 选C, 因为∑∞=++11)(n n nu u的前项n 部分和为111112)(+==++-=+∑∑n nk k n k k k u u u u u ，当∞→n 时，0,11→→+=∑n nk k u S u ，故部分和收敛于1S 2u -。
(2) 下列选项中正确的是（ ）。
（A ）若正项级数∑∞=1n n a 发散，则na n 1>（B ）若∑∞=1n na收敛，且n n b a ≥，则∑∞=1n nb也收敛（C ）若∑∞=12n na和∑∞=12n nb都收敛，则∑∞=+12)(n n nb a收敛（D ）若∑∞=1n nn ba 收敛，则∑∞=12n na与∑∞=12n nb都收敛解 选C, 因为)(2)(222n n n n b a b a +≤+，由级数的比较性与线性性即得。
另外A 有反例∑∞=121n n ，B 对正项级数才成立，D 有反例n b n a nn 1,1==。
(3)若+∞=∞→n n b lim ，则)11()1(111+∞=-+-∑n n n n b b （ ）。
（A ）一定发散 （B ）敛散性不定 （C ）必收敛于0 （D ）必收敛于11b 解 选D, 因为部分和为111111111)1(1)11()1(b b b b b n n k nk k k →-+=+-+-+=-∑。
(4)若级数∑∞=1n na，∑∞=1n nb都发散，则下列级数中一定发散的是（ ）。
（A ）∑∞=+1)(n n nb a（B ）∑∞=1n n n b a （C ）()∑∞=+1n n n b a （D ）)(212n n n b a +∑∞=解 选C, 若()∑∞=+1n n nb a收敛，则由比较法得∑∞=1n n a ，∑∞=1n n b 都收敛，与∑∞=1n n a ，∑∞=1n n b 都发散矛盾。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例1 求极限
（1）n n 2cos 2cos 2cos lim 2θθθ ∞→,
解
0=θ时，极限为1； 0≠θ时(n 充分大时，02sin
≠n θ），原式θθθθsin 2sin 2sin lim ==∞→n n n 。
（2)n n n n )111(lim 2++∞
→ 解 先求
1)11(lim )111ln(lim 22=+=++∞→∞→n
n n n n n n n ， 所以原式=e 另法 利用111111112-+<++<+
n n n n (3）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅→x x x 1lim 0 解 因为1111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x ,即有x
x x 1111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<- 当0>x 时，111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅<-x x x ，由夹挤准则得11lim 0=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅+→x x x ， 同理11lim 0=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⋅-→x x x ，故原极限为１。
(4）x x x cos lim 0+→ 解 先求2
1)1(cos 1lim cos ln 1lim 00-=-=++→→x x x x x x ， 原极限为 2/1-e 。
(5)e
x e x e
x e x --→lim . 解 原式=e
x e e e x e e e x x e x e e x x e x --=---→→1lim lim ln ln )ln lim ln ln lim (ln lim
e
x e x e e x x e x x e e x e x x e e x e x e e x e --+--=--=→→→ e e 2=
（6)2303cos 2cos cos 1lim x
x •x x x -→． 解 分子为)3cos ln 3
12cos ln 21cos exp(ln 1x x x ++- ~)3cos ln 3
12cos ln 21cos (ln x x x ++-, 原式⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-=→22203cos ln 312cos ln 21cos ln lim x x x x x x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-+--=→222013cos 3112cos 211cos lim x x x x x x x []33212
1=++=. 练习(１）)sin (tan lim n
x n x n n n -∞→ （答案321x ) （２)x
x e e x x e
e x --→sin lim sin 0 (答案e ） （3）20cos 2cos cos 1lim x nx x x n x -→ (答案)1(4
1+n n ） (4）x x x x e sin 10)(lim 2-→ (答案1
-e ) （5)1311()1()1)(1(lim -→----n n x x x x x ）
（答案!1n ) （6）)sin 1sin lim x x x -++∞
→（ (提示和差化积,极限为0） （７)设)1,1(0•a -∈，1,2
1211≥+=-n ••a a n n ,求n n a a a 21lim ∞→。
(提示：令()πθθ,0,cos 0∈=a ,则n n a 2cos θ
=。
)
例2 设R x ∈=α0，1,sin 1≥=-n x x n n ,求n n x ∞
→lim 解 考虑[]1,1sin 1-∈=αx ，分三个情形：
(1)若01=x ，极限为0．
（2）若01>x ，则112sin x x x <=，易得1,sin 11><=--n x x x n n n ，故数列单调递减。