同济高数(上册)公式大全
同济高数上册公式大全
v1.0 可编辑可修改第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式 公式11sin lim0=→xxx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）)()(limx F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(limx F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(limx F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；)()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（3）)()(limx F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f x x f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
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高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：函数 角A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinα ctgαtgα 90°+α cosα -sinα-ctgα -tgα180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°+α -sinα-cosα tgαctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
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导数公式:(tgxY = sec 2 x (ctgx\ = -cscr x (secx)/ = secx・tgx (cscx)' = -cscx-ctgx (a x y = a x \na (log “)‘ = -^一 xina(arcsinx)' = ‘ 「，VI-x 2(arccosL¥)'=——.Vl-x 2(^W=T __基本积分表^ 三角函数的有理式积分：j tgxdx = - ln|cosx| + C J ctgxdx = In |s in x| + C jsec xdx = ln|sec x + tg^ + C J c scxdx = ln|cscx- ctgx\ + C \^-^- = -arctg-+C j 。
+JT a a JJ f -a『仝亠4+cJcr -x* 2a a-x f . JA =arcsin^ + C J 7777 G f —— = [sec 2xdx = tgx + C Jcos* x 」f = fcsc 2 xdx = -ctgx+ C J sin ~ x 」 J secx • tgxdx = secx + CJcscx ・c7gM: = -cscx + C [a x dx=— + C J In a ^shxdx = chx + C J chxdx = shx + C jj :" 2 = b(x +±(r ) + CZ/?-2n_2j y/x 2 +a 2dx = — ylx 2 +a 2 + 牛ln(x + y/x 2 +a 2) + C2 2f ^jx 2 -a 2dx = - Jx 2 -a 2 -— J 2 2 j >la 2 -x 2clx = ?-Ju 2 -x 2+ 牛arcsin — + C高等数学公式x-a x + a In *2 "2 I n = J sin" xdx =J cos" xdx =111 X + J + C2・ 2u1一"2sin x = ----- , cosx 二 ----- ?1 + w 21 + w 2双曲正^.thx = — =e ~e chx e x +e r arshx = ln(x + Jx' +1)archx = ±ln(x + y/x 2 一 1) arthx = —In2三角函数公式: •诱导公式：、^数 角卜、sin costgctg ・a・ sina cosa-tga-ctga90°-a cosa sina ctga tga 90°+a cosa ・ sina -ctga -tga 180°-a sina ・ cosa -tga -ctga 180°+a ・ sina ・ cosa tga ctga 270°-a -cosa ・ sina ctga tga 270°+a -cosa sina -ctga-tga 360°-a -sina cosa・tga -ctga 360°+a sina cosa tgactga•倍角公式:dx =2du 1 +w 2一些初等函数: 双曲正弦:曲¥ =X . -x双曲余弦乂加=__—2两个重要极限：v sinx ‘lini ------ = 1lim (1 + 丄)x =e = 2.718281828459045... x X•和差角公式:sin(a±0) = sinacos0 土 cosasin 0 cos((z±/7) = cosacos/7 + sin<zsin 0 fg(a±0) =tga 土 tg 。
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高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dxCshx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx xtgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：·诱导公式：函数角A sincos tg ctg -α-sinαcosα-tgα-ctgα90°-αcosαsinαctgαtgα90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα180°+α-sinα-cosαtgαctgα270°-α-cosα-sinαctgαtgα270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.211(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg ·正弦定理：·余弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgxarctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ 中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高等数学(同济第七版)(上册)-知识点
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第二章 导数与微分 一．基本概念
1．可微和可导等价，都可以推出连续，但是连续不能推出可微和可导。
∈[ a,b] ，有公式
，
, 称为拉格朗日余项 上面展开式称为以0(x) 为中心的n 阶泰勒公式。当 x0 =0 时，也称为n阶麦克劳林
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公式。 常用公式( 前8个)
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五．导数的应用
一．基本知识 设函数f ( x) 在 x0 处可导，且 x0 为f ( x) 的一个极值点，则 f '(x0) 0 。 我们称x 满足 f '(x0) 0 的 x0 称为 f (x) 的驻点，可导函数的极值点一定是驻点， 反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。
二．求导公式
三．常见求导
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1. 复合函数运算法则 2. 由参数方程确定函数的运算法则
设x =( t) ，y =(t) 确定函数y = y( x) ，其中'(t),'(t) 存在，且'(t) ≠ 0，则 dy '(t)
dx '(t) 3. 反函数求导法则 设y = f ( x) 的反函数x = g( y) ，两者皆可导，且f ′( x) ≠ 0 则 g'( y) 1 1 ( f '(x) 0)
2. 第二充分条件
f (x) 在 x0 处二阶可导，且 f (x0) 0 ，f (x0 ) 0 ，则①若 f (x0 ) 0 ， 则 x0 为极大值点；②若 f (x0 ) 0 ，则 x0 为极小值点.
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高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgxarctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
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高等数学常用公式导数公式:基本积分表: 三角函数有理式积分:secx 一 tgxdx - secx + C狂厅R2nJIn - J sin" xdx =J cos" xdx - 0 0______ = 2 _______________________________\y/x +a dx = — y lx +a + gln(x + y/x +孑)+ C2 2(tgxY = sec 2 x (ctgx\ = ~cscr x (secx)'二 secx • fgx (cscx)' = ~cscx~ ctgx (ay = a " \na (bgaX)'二-/——xin(arcs i nx)"二(arccosL¥ )"= ——，Vl-x 2 (arctgxY =" --------- (arcctgxy 二 -----------z;1 +尸tgxdx - - In 1cos+2sec xdx = tgx + Cctgxdx 二 I n | s i n x | COS x J 心川 c sc 2 xdx = ~ctgx + Cjsec,vJx 二 In |sec x ++c scxdx 二 In |CSCX-ctgx\ + C r dx 1 x 「------- --- -arctg~+C Jo + a ac sex ■ ctgxdx - — c sex + C [a dx — + CJ I n ashxdx = chx + Cx~a厂一J~ 2a a~xf dx. x. ----------- =arc sin ——+ CJ. /7T7 achxdx = shx +cL 「二 ln(x + 11x ±a) + 0f ylx-a dx = -ylx2~a2 -一 1 n x + J_ 日 ~ + J 2 2arcsi iw + CJ 2 2,2u 1 — ” 2sin x ----- ----- c osx 二 ------- ？1 + w2 1 + w 2两个重要极限:v s i nx ,I i n i ----- 二 1 xT)工双曲余弦：C/LX 二 ________ 双曲正切：〃 …chx e +earshx = \n(x + y/x +1) archx - ± I n (x + y/x - 1)f 1, 1+x arthx =——I n 一一2 l-x三角函数公式: •诱导公式：「数角A\s i nCOS喏Ctg-a -si i ia cosa - tga 一 ctga90° -a cosa sinactga tga 900+a cosa 一 s i na- ctga - tga 180° -a sma-cosa-tga - ctga 180° +a -s i i i a -cosatga ctga 270° -a 一 cosa-s i na ctga tga 270° +a -cosa sina - ctga - tga 360° -a -si i ia cosa -tga - ctga 360° +asmacosatgactga'和差化积公式:一些初等函数: I im (1 +1)n 二 c 二 2. 718281828459045...s i n (a±/7)二 s i nacos/ ctg(a±f!)二tgg 箜空拼/? + sin<zs in 止+t 観第gtgfl + \ctgP±ctgas i n a + s i n p - 2s i ns i n cr~s \v\ J3 - 2coscosa + cos/3 -2cosa. c • a 十 TI . s in -------------------a+ b .. a~p -------- s i n -------- z za+6 a-p ------ cos • • • •一a~p cosa-cosp 二 z cos (a±/7) 槌(a±fl)直线：K 二0;定积分的近似计算：矩形法：j 刊《勺，（%+>• i +…+）•倍角公式:sin 2a - 2s i necosacos2a = 2cos- a~l = 1 ~2s i rT a 二 cos-(z-sin- a sin 3a - 3s i n6Z~4s in, ctga-\2ctga2iga_屋cos3a 二 4cos a~3cosccig2a -ig2a -1 a・半角公式:os6Z sin ——y ——a |I + cos<z 2 2-a , iI-cosa I-cosa sin a 7 2 \ 1+cosa sina 1 + cosa. 日丄十cosaC^FvF-dbsasinaf 正弦定理：急=焉=短二2R•余弦定理： c =a +b 2 ~2abcosC cosa sina1-cosa•反三角函数性质:arcs i nx = --arccosx 2 高阶导数公式一莱布尼兹（Le ibniz ）公式:7t arctgx =—arcct^x中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：/⑸一/（〃）二:⑹Si ）/ （ 〃 ）——/ （ 〃丿 f ■ （4柯西中值定理:尸® _尸3）二戸晅当F （x ）二MH,,柯西中值定理就般格朗日中值定理V ：曲率：弧微分公式：ds 二J1 +）八dx,其中）/二rga平均曲率&从M 点到IT 点，切线斜率的倾角变化量；As ： As弧长。
高等数学(同济第七版)(上册)_知识点总结
...高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比较f(x)设l imf(x)0,limg(x)0且llimg(x)（1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[g(x)]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x)2.常见的等价无穷小当x→0时sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arccosx~x，1-cosx~x^2/2，xe-1~x，ln(1x)~x，(1x)1~x二．求极限的方法1．两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.（夹逼定理）设g(x)≤f(x)≤h(x)若limg(x)A,limh(x)A，则l imf(x)A2．两个重要公式sinx公式11limx0x1/x公式2xelim(1)x03．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次xe 1x2x2!3x3!...nxn!no(x )sinxx3x3!5x5!... (n1)(2nx2n11)!2no(x1)WORD格式可编辑版...cosx12x2!4x4!... (2nxnox2n1)(2n!)ln(1x)x2x23x3... (nxnox n11)(n)(1x)1x (1)2!2x n ox n(1)...((n1))x...(n!)arctanxx3x35x5... (2n1xnox2n11)(2n11)5．洛必达法则定理1设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()0fxxx0 ，limF(x)0xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limxx0Fx)(f(x)f(x)存在（或为无穷大），则limlimxx0FFx(x)xx()这个定理说明：当f(x)limx0Fxx()存在时，f(x)limxx0Fx()也存在且等于f(x)limxx0F(x)；当f(x) limxx()0Fx 为无穷大时，f(x)limx()x0Fx也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（LHospital）法则.型未定式定理2设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()fxxx0 ，limF(x)xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limx)x0F(x存在（或为无穷大），则f(x)f(x)limlimxx0F(x)x x F(x)注：上述关于x时未定式型的洛必达法则，对于x时未定式型x同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“0”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“0”或“”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限WORD格式可编辑版...f(xx)f(x)00'基本公式()limfx0x0x(如果存在）3.利用定积分定义求极限基本格式1n1klimf()f(x)dxnnnk1（如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设x是函数y=f(x)的间断点。
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第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n nn nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-=)()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在） 7.利用定积分定义求极限)()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
如果f (x )在间断点0x 处的左、右极限都存在，则称0x 是f (x )的第一类间断点。
左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。
左右极限不存在为跳跃间断点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。
常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
四．闭区间上连续函数的性质在闭区间[a ,b ]上连续的函数f (x )，有以下几个基本性质。
这些性质以后都要用到。
定理1．（有界定理）如果函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，则f (x )必在[a ,b ]上有界。
定理2．（最大值和最小值定理）如果函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m 。
定理3．（介值定理）如果函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，且其最大值和最小值分别为M 和m ，则对于介于m 和M 之间的任何实数c ，在[a ,b ]上至少存在一个ξ ，使得f (ξ ) = c推论：如果函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，且f (a )与f (b )异号，则在(a ,b )至少存在一个点ξ ，使得f (ξ ) = 0这个推论也称为零点定理第二章导数与微分一．基本概念1．可微和可导等价，都可以推出连续，但是连续不能推出可微和可导。
二．求导公式三．常见求导1.复合函数运算法则2.由参数方程确定函数的运算法则设x =φ(t )，y =)(t ϕ确定函数y = y (x )，其中)('),('t t ϕφ存在，且)('t φ≠ 0，则)(')('t t dx dy φϕ= 3.反函数求导法则设y = f (x )的反函数x = g (y )，两者皆可导，且f ′(x ) ≠ 0 则)0)('())(('1)('1)('≠==x f y g f x f y g 4.隐函数运算法则设y = y (x )是由方程F (x , y ) = 0所确定，求y ′的方法如下：把F (x , y ) = 0两边的各项对x 求导，把y 看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y ′ 的表达式（允许出现y 变量） 5.对数求导法则 （指数类型 如x x y sin =）先两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y ′。
对数求导法主要用于：①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数（注意定义域。
关于幂指函数y = [f (x )]g (x ) 常用的一种方法,y = )(ln )(x f x g e 这样就可以直接用复合函数运算法则进行。
6. 求n 阶导数（n ≥ 2，正整数）先求出 y ′, y ′′,…… ,总结出规律性，然后写出y (n )，最后用归纳法证明。
有一些常用的初等函数的n 阶导数公式 （1） x n x e y e y ==)(, （2） n x n x a a y a y )(ln ,)(== （3） x y sin =,)2sin()(πn x y n += （4） x y cos =,)2cos()(πn x y n +=(5)x y ln =,n n n x n y ----=)!1()1(1)(第三章 微分中值定理与导数应用一 .罗尔定理设函数 f (x )满足（1）在闭区间[a ,b ]上连续；（2）在开区间(a ,b )可导；（3） f (a ) = f (b ) 则存在ξ ∈(a ,b )，使得f ′(ξ ) = 0二． 拉格朗日中值定理设函数 f (x )满足（1）在闭区间[a ,b ]上连续；（2）在开区间(a ,b )可导；则存在ξ ∈(a ,b )，使得)(')()(ξf ab a f b f =--推论1．若f (x )在(a ,b )可导，且f ′(x ) ≡ 0，则f (x )在(a ,b )为常数。
推论2．若f (x ) ,g (x ) 在(a ,b ) 皆可导，且f ′(x ) ≡ g ′(x )，则在(a ,b )f (x ) = g (x )+ c ，其中c 为一个常数。
三 .柯西中值定理设函数f (x )和g (x )满足：（1）在闭区间[a ,b ]上皆连续；（2）在开区间(a ,b )皆可导；且g ′(x ) ≠ 0则存在ξ ∈(a ,b )使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =--)(b a <<ξ（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g (x ) = x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
）四.泰勒公式（① 估值 ② 求极限（麦克劳林））定理 1．（皮亚诺余项的n 阶泰勒公式） 设f (x )在0 x 处有n 阶导数，则有公式，称为皮亚诺余项定理2（拉格朗日余项的n 阶泰勒公式）设f (x)在包含0 x 的区间(a,b)有n +1阶导数，在[a,b]上有n阶连续导数，则对x∈[a,b]，有公式，,称为拉格朗日余项x=0 时，也称为n阶麦克劳上面展开式称为以0(x) 为中心的n 阶泰勒公式。
当林公式。
常用公式(前8个)五．导数的应用一．基本知识设函数f (x )在0x 处可导，且0x 为f (x )的一个极值点，则0)('0=x f 。
我们称x 满足0)('0=x f 的0x 称为)(x f 的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。
极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。
极值点判断方法 1. 第一充分条件 )(x f 在0x 的邻域可导，且0)(0='x f ，则①若当0x x <时,0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号，则0x 不是极值点. 2.第二充分条件)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点.3.泰勒公式判别法（用的比较少，可以自行百度）二.凹凸性与拐点 1．凹凸的定义设f (x )在区间I 上连续，若对任意不同的两点1 2 x , x ，恒有则称f (x)在I 上是凸（凹）的。