安徽省蚌埠市第二中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题附答案

蚌埠二中2018-2019学年第二学期期中考试高二数学试题（理科）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是 A ．1 B ．i C ．－1 D ．i -2.利用反证法证明“若220x y +=，则0=x 且0=y ”时，下列假设正确的是 A ．0≠x 且0≠y B ．0=x 且0≠y C ．0≠x 或0≠y D ．0=x 或0=y3.若43n n C C =，则)!3(!3!-n n 的值为A ．1B ．7C ．20D ．35 4. ()()5212x x +- 展开式中，含2x 项的系数为A ． 30B ．70C ．90D ．－150 5.下面四个命题：其中正确的有①a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个复数不能比较大小；③若1z ，2z ∈C ，且22120z z +=，则120z z ==；④两个共轭虚数的差为纯虚数． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6.在直角坐标平面内，由曲线1xy =，y x =，3x =和x 轴所围成的封闭图形的面积为 A ．1ln 32+ B ．4ln3- C.1ln3+ D ．2ln3- 7.已知()72941444332210=-++-+-nn n nn n n n C C C C C ，则n n n nC C C +++ 21的值等于 A ．64 B ．32 C. 63D ．318.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为A ．232B ．252 C. 472 D ．484 9.设三次函数()f x 的导函数为'()f x ，函数'()y xf x =的图象的一部分如图所示，则A.f (x )的极大值为(3)f ，极小值为(3)f -B. f (x )的极大值为(3)f -，极小值为(3)fC. f (x )的极大值为(3)f -，极小值为(3)fD. f (x )的极大值为(3)f ，极小值为(3)f -10. 在平面直角坐标系xoy 中，满足122≤+y x ，0≥x ，0≥y 的点()y x P ,的集合对应的平面图形的面积为4π；类似的，在空间直角坐标系oxyz 中，满足1222≤++z y x ,0≥x ，0≥y ， 0≥z 的点()z y x P ,,的集合对应的空间几何体的体积为 A .π8 B. π6 C. π4 D. π311. 函数()13+-=x x x yA.极大值为()52=f ，极小值为()10=fB.极大值为()52=f ，极小值为()13=fC.极大值为()52=f ，极小值为()()130==f fD.极大值为()52=f ，极小值为()13=f ，()31-=-f12.设函数()x f 在R 上存在导函数()x f '，对于任意的实数x ，都()()22x x f x f =-+，当0<x 时，()x x f 2<'，若()()121++-≤+a a f a f ，则实数a 的最小值为 A ． 21-B ． 1-C ． 23- D ．2- 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若函数()ln f x x a x =+不是单调函数，则实数a 的取值范围是 ． 14.将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不相同，则共有________种不同的放法. 15.设Z a ∈且130<<a ，若a +201753能被13整数，则=a ．16.如图所示的数阵中，第20行第2个数字是 ．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （10分）已知复数Z 满足23Z i Z i -=++（其中i 为虚数单位） （Ⅰ）求Z ； （Ⅱ）若2a iZ+为纯虚数，求实数a 的值。

18. （12分）已知函数3()3911f x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）求曲线()y f x =的单调区间及在[]1,1-上的最大值．19. （12分）已知nax x ⎛ ⎝（a ∈R ，*n ∈N ）展开式的前三项的二项式系数之和为16，所有项的系数之和为1. （Ⅰ）求n 和a 的值；（Ⅱ）展开式中是否存在常数项？若有，求出常数项；若没有，请说明理由； （Ⅲ）求展开式中二项式系数最大的项.20. （12分）由四个不同的数字1，2，4，x 组成无重复数字的三位数.（最后的结果用数字表达） （Ⅰ）若5=x ,其中能被5整除的共有多少个？（Ⅱ）若9=x ，其中能被3整除的共有多少个？（Ⅲ）若0=x ，其中的偶数共有多少个？（Ⅳ）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x ．21. （12分）已知()()()()20121111nnn x a a x a x a x +=+-+-++-，（其中*n N ∈）.（Ⅰ）求0a 及12n n s a a a =+++；（Ⅱ）试比较n s 与()2222n n n -⋅+的大小，并用数学归纳法给出证明过程.22. （12分）已知函数()()()2112xf x x e ax a R =--∈. （Ⅰ）讨论函数()x f 的单调性；（Ⅱ）当函数()x f 有两个零点，求实数a 的取值范围.试卷答案1.C2.C3.D4.B5.A6.A7.C8.C9.D 10.B 11.B 12.A 13.(),0-∞ 14.18 15.12 16.17. (1) 34z i ∴=+ (2) 83a ∴=-18. (1)；(2)单调递增区间为和,单调递减区间为,最大值为17.19.（1）由题意，01216n n n C C C ++=，即()11162n n n -++=. 解得5n =，或6n =-（舍去），所以5n =.因为所有项的系数之和为1，所以()511a -=，解得2a =.（2）因为52nax x x x ⎛⎛= ⎝⎝，()5152kk k k T C x x -+⎛= ⎝()3552512kk k k C x--=-. 令3502k -=，解得103k =∉N ，所以展开式中不存在常数项. （3）由展开式中二项式系数的性质，知展开式中中间两项的二项式系数最大，二项式系数最大的两项为：()2252532351280T C xx --=-⋅=； ()915335322451240T C xx --=-⋅=-.20.解：（1）若x=5，则四个数字为1，2，4，5； 又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A 32=6种情况，即能被5整除的三位数共有6个； （2）若x=9，则四个数字为1，2，4，9；又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9， 取出的三个数字为1、2、9时，有A 33=6种情况， 取出的三个数字为2、4、9时，有A 33=6种情况， 则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数；（3）若x=0，则四个数字为1，2，4，0；又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A 32=6种情况，当末位是2或4时，有A 21×A 21×A 21=8种情况，此时三位偶数一共有6+8=14个，（4）若x=0，可以组成C 31×C 31×C 21=3×3×2=18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次， 则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18=126，不合题意，故x=0不成立；当x≠0时，可以组成无重复三位数共有C 41×C 31×C 21=4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字，则每个数字用了=18次，则有252=18×（1+2+4+x ），解可得x=7．21.（1）取x=1，则a 0=2n ； 取x=2，则a 0+a 1+a 2+a 3++a n =3n ，∴S n =a 1+a 2+a 3++a n =3n -2n； （2）要比较S n 与（n-2）2n+2n 2的大小， 即比较：3n与（n-1）2n+2n 2的大小，当n=1时，3n＞（n-1）2n+2n 2； 当n=2，3时，3n＜（n-1）2n+2n 2； 当n=4，5时，3n＞（n-1）2n+2n 2猜想：当n ≥4时，3n＞（n-1）2n+2n 2， 下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n=4时结论成立，假设当n=k ，（k ≥4）时结论成立，即3k＞（k-1）2k+2k 2，两边同乘以3得：3k+1＞3 [（k-1）2k+2k 2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k-3）2k+4k 2-4k-2] 而（k-3）2k+4k 2-4k-2=（k-3）2k+4（k 2-k-2）+6=（k-3）2k+4（k-2）（k+1）+6＞0 ∴3k+1＞（（k+1）-1）2k+1+2（k+1）2即n=k+1时结论也成立，∴当n ≥4时，3n＞（n-1）2n+2n 2成立．22.（1）解：由题意得()()'x f x x e a =-①当0a ≤时，令()'0fx >，则0x >；令()'0f x <，则0x <，∴()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增； ②当0a >时，令()'0fx =，则0x =或ln x a =，（ⅰ）当01a <<时，令()'0fx >，则ln x a <或0x >；令()'0f x <，则ln 0a x <<，∴()f x 在(),ln a -∞和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减； （ⅱ）当1a =时，()()'10x f x x e =-≥，∴()f x 在R 上单调递增；（ⅲ）当1a >时，令()'0f x >，则0x <或ln x a >；令()'0f x <，则0ln x a <<， ∴()f x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减；（2）由（1）得当01a <<时，()f x 在(),ln a -∞和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，∴()f x 在ln x a =处取得极大值()ln f a ， ∵()()()2211ln ln 1ln ln 11022f a a a a a a a ⎡⎤=--=--+<⎣⎦，∴此时不符合题意；当1a =时，()f x 在R 上单调递增，∴此时不符合题意；当1a >时，()f x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减； ∴()f x 的0x =处取得极大值()0f ，∵()010f =-<，∴此时不符合题意； 当0a ≤时，()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， ∵()010f =-<，()1102f a =-≥，∴()f x 在()0,+∞上有一个零点， （ⅰ）当0a <时，令(){}0min ln ,13x a =--，当0x x <时， ∵()()()()22211111220222xf x x e ax a x ax a x x =-->---=-+->， ∴()f x 在(),0-∞上有一个零点，∴此时符合题意； （ⅱ）当0a =时，当0x <时，()()10xf x x e =-<，∴()f x 在(),0-∞上没有零点，此时不符合题意； 综上所述，实数a 的取值范围为(),0-∞.。