【精品】2015年福建省厦门二中高一上学期期中数学试卷

2014-2015学年福建省厦门二中高一（上）期中数学试卷一、选择题：共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）化（）的结果是（）A．3 B．5 C．D．2．（5分）函数y=log2x的反函数是（）A．y=x2 B．y=2C．y=2x D．y=x3．（5分）若f（x）=，则f（1）的值为（）A．8 B．C．2 D．4．（5分）关于幂函数y=x下列说法正确在是（）A．偶函数且在定义域内是增函数B．非奇非偶函数且在定义域内是减函数C．奇函数且在定义域内是增函数D．非奇非偶函数且在定义域内是增函数5．（5分）函数f（x）=2x+x的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）6．（5分）下列各组函数中为同一函数的是（）A．y=（）2与y= B．y=|x|与y=C．f（x）=•与g（x）= D．y=x与y=a7．（5分）下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7B．log0.50.4＞log0..50.6C．0.75﹣0.1＜0.750.1D．lg1.6＞lg1.48．（5分）函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x＞0时f（x）=﹣x+1，则当x ＜0时，f（x）的表达式为（）A．f（x）=﹣x+1 B．f（x）=﹣x﹣1 C．f（x）=x+1 D．f（x）=x﹣1 9．（5分）如图所示是函数y=f（x）的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（）A．函数f（x）的定义域为[﹣4，4）B．函数f（x）的值域为[0，5]C．此函数在定义域中不单调D．对于任意的y∈[0，+∞），都有唯一的自变量x与之对应10．（5分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.511．（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x2﹣1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有（）A．10个B．9个 C．8个 D．4个12．（5分）若函数f（x）=（k﹣1）a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）已知集合A={﹣1，2，3，5}，B={2，4，5}，则A∪B=．14．（4分）已知集合A={x|mx=1}=ϕ，则m的值为．15．（4分）函数y=log a（a﹣a x），（a＞1）的值域为．16．（4分）阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x，符号[x]表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，[x]就是x，当x不是整数时，[x]是点x左侧的笫一个整数点，这个函数叫做“取整函数”也叫高斯（Gauss）函数．如[﹣2]=﹣2，[﹣ 1.5]=﹣2，[2.5]=2．则[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．（12分）（Ⅰ）求值：﹣（）0+0.25×（）﹣4；（Ⅱ）已知5a=3，5b=4．求a，b．并用a，b表示log2512．18．（12分）已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|x＞2}．（Ⅰ）分别求A∩B，（∁R B）∪A；（Ⅱ）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值集合．19．（12分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，（1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．20．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并加以证明；（Ⅱ）判断函数在其定义域上的单调性，并加以证明；（Ⅲ）若不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0恒成立，求m的取值范围．21．（13分）某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x 的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？22．（12分）在探究函数f（x）=x3+，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）的最值中，（Ⅰ）先探究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上的最值，列表如下：观察表中y值随x值变化的趋势，知x=时，f（x）有最小值为；（Ⅱ）再依次探究函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）上以及区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的最值情况（是否有最值？是最大值或最小值？），请写出你的探究结论，不必证明；（Ⅲ）设g（x）=3x2+，若g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求k 的取值范围．2014-2015学年福建省厦门二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）化（）的结果是（）A．3 B．5 C．D．【解答】解：原式==．故选：D．2．（5分）函数y=log2x的反函数是（）A．y=x2 B．y=2C．y=2x D．y=x【解答】解：由y=log2x得，x=2y，所以函数y=log2x的反函数是y=2x，故选：C．3．（5分）若f（x）=，则f（1）的值为（）A．8 B．C．2 D．【解答】解：∵f（x）=，∵1＜2，∴f（1）=f（1+2）=f（3）=2﹣3=，故选：B．4．（5分）关于幂函数y=x下列说法正确在是（）A．偶函数且在定义域内是增函数B．非奇非偶函数且在定义域内是减函数C．奇函数且在定义域内是增函数D．非奇非偶函数且在定义域内是增函数【解答】解：幂函数y=（x≥0），定义域不关于原点对称，不是偶函数，A错误；在定义域内是增函数，∴B错误；是非奇非偶的函数，∴C错误；是非奇非偶函数且在定义域内是增函数，∴D正确．故选：D．5．（5分）函数f（x）=2x+x的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【解答】解：当x=0时，f（0）=20+0=1＞0，当x=﹣1时，f（﹣1）=＜0，由于f（0）•f（﹣1）＜0，且f（x）的图象在[﹣1，0]上连续，根据零点存在性定理，f（x）在（﹣1，0）上必有零点，故选：B．6．（5分）下列各组函数中为同一函数的是（）A．y=（）2与y= B．y=|x|与y=C．f（x）=•与g（x）= D．y=x与y=a【解答】解：对于A，y=（）2=x（x≥0），与y==|x|（x∈R）的对应关系不同，定义域也不同，不是同一函数；对于B，y=|x|x∈R，与y==|x|（x∈R）的对应关系相同，定义域也相同，是同一函数；对于C，f（x）=•=（x≥1），与g（x）=（x≥1或x≤﹣1）的定义域也不同，不是同一函数；对于D，y=x（x∈R），与y==x（x＞0）的定义域也不同，不是同一函数．故选：B．7．（5分）下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7B．log0.50.4＞log0..50.6C．0.75﹣0.1＜0.750.1D．lg1.6＞lg1.4【解答】解：A、∵y=3x，在R上为增函数，∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7，故A正确；B、∵y=log0.5x，在x＞0上为减函数，∵0.4＜0.6，∴log0..50.4＞log0..50.6，故B 正确；C、∵y=0.75x，在R上为减函数，∵﹣0.1＜0.1，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，故C错误；D、∵y=lgx，在x＞0上为增函数，∵1.6＞1.4，∴lg1.6＞lg1.4，故D正确；故选：C．8．（5分）函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x＞0时f（x）=﹣x+1，则当x ＜0时，f（x）的表达式为（）A．f（x）=﹣x+1 B．f（x）=﹣x﹣1 C．f（x）=x+1 D．f（x）=x﹣1【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，∵函数f（x）是定义域为R的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=﹣（﹣x）+1=x+1；故选：C．9．（5分）如图所示是函数y=f（x）的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（）A．函数f（x）的定义域为[﹣4，4）B．函数f（x）的值域为[0，5]C．此函数在定义域中不单调D．对于任意的y∈[0，+∞），都有唯一的自变量x与之对应【解答】解：由已知条件以及函数的图象可知，函数的定义域为[﹣4，0]∪[1，4），所以A不正确；函数的值域为：[0，+∞），所以B不正确；函数在[﹣4，0]，[1，4）是增函数，这个定义域上不是增函数，所以C正确．由函数的图象，可知D不正确；故选：C．10．（5分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【解答】解：由图中参考数据可得f（1.43750）＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到0.1，所以近似根为1.4故选：C．11．（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x2﹣1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有（）A．10个B．9个 C．8个 D．4个【解答】解：由已知中“孪生函数”的定义：一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，当函数解析式为y=2x2﹣1，值域为{1，7}时，函数的定义域可能为：{﹣2，﹣1}，{﹣2，1}，{2，﹣1}，{2，1}，{﹣2，﹣1，1}，{﹣2，﹣1，2}，{﹣1，1，2}，{﹣2，1，2}，{﹣2，﹣1，1，2}，共9个故选：B．12．（5分）若函数f（x）=（k﹣1）a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=（k﹣1）a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上是奇函数，∴f（0）=0∴k=2，又∵f（x）=a x﹣a﹣x为减函数，所以1＞a＞0，所以g（x）=log a（x+2）定义域为x＞﹣2，且递减，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）已知集合A={﹣1，2，3，5}，B={2，4，5}，则A∪B={﹣1，2，3，4，5} ．【解答】解：∵A={﹣1，2，3，5}，B={2，4，5}，则A∪B={﹣1，2，3，5}∪{2，4，5}={﹣1，2，3，4，5}．故答案为：{﹣1，2，3，4，5}．14．（4分）已知集合A={x|mx=1}=ϕ，则m的值为0．【解答】解：根据题意，集合A={x|mx=1}=ϕ，即方程mx=1无解，分析可得，m=0时，mx=1无解，故m的值为0；故答案为0．15．（4分）函数y=log a（a﹣a x），（a＞1）的值域为（﹣∞，1）．【解答】解：要使函数有意义，则a﹣a x＞0，即a x＜a，设t=a﹣a x，解得x＜1，即函数的定义域为（﹣∞，1），此时函数t=a﹣a x，为减函数，而y=log a t为增函数，根据复合函数单调性之间的性质可知此时函数y=log a（a﹣a x）单调递减，故函数的减区间为（﹣∞，1），x→﹣∞时，t→a，y→1，x→1时，t→0，y→﹣∞，∴函数y=的值域是（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．16．（4分）阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x，符号[x]表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，[x]就是x，当x不是整数时，[x]是点x左侧的笫一个整数点，这个函数叫做“取整函数”也叫高斯（Gauss）函数．如[﹣2]=﹣2，[﹣ 1.5]=﹣2，[2.5]=2．则[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为﹣1．【解答】解：由题意可得：[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]=﹣2+（﹣2）+（﹣1）+0+1+1+2=﹣1故答案为﹣1；三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．（12分）（Ⅰ）求值：﹣（）0+0.25×（）﹣4；（Ⅱ）已知5a=3，5b=4．求a，b．并用a，b表示log2512．【解答】解：（I）原式=×=﹣5+2=﹣3．（II）∵5a=3，5b=4，∴a=log53，b=log54．∴log2512==．18．（12分）已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|x＞2}．（Ⅰ）分别求A∩B，（∁R B）∪A；（Ⅱ）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值集合．【解答】解：（1）∵A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}…（1分）∴A∩B={x|2＜x≤3}…（1分）（C R B）∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}…（2分）（2）当a≤1时，C=∅，此时C⊆A…（1分）当a＞1时，C⊆A，则1＜a≤3…（1分）综上所述，a的取值范围是（﹣∞，3]…（1分）19．（12分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，（1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．【解答】解：（1）当a=﹣1时，函数表达式是f（x）=x2﹣2x+2，∴函数图象的对称轴为x=1，在区间（﹣5，1）上函数为减函数，在区间（1，5）上函数为增函数．∴函数的最小值为[f（x）]min=f（1）=1，函数的最大值为f（5）和f（﹣5）中较大的值，比较得[f（x）]max=f（﹣5）=37综上所述，得[f（x）]max=37，[f（x）] min=1（6分）（2）∵二次函数f（x）图象关于直线x=﹣a对称，开口向上∴函数y=f（x）的单调减区间是（﹣∞，﹣a]，单调增区间是[﹣a，+∞），由此可得当[﹣5，5]⊆（﹣∞，﹣a]时，即﹣a≥5时，f（x）在[﹣5，5]上单调减，解之得a≤﹣5．即当a≤﹣5时y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．（6分）20．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并加以证明；（Ⅱ）判断函数在其定义域上的单调性，并加以证明；（Ⅲ）若不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）为奇函数，∵f（﹣x）===﹣=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数；（Ⅱ）设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣==，∵x1＜x2，∴，则f（x1）﹣f（x2）=＜0，即f（x1）＜f（x2），即函数在其定义域上的单调递增；（Ⅲ）若不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0恒成立，则等价为f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2），∵f（x）为奇函数且为增函数，∴不等式等价为f（1﹣m）＜f（m2﹣1），即1﹣m＜m2﹣1，则m2+m﹣2＞0，解得m＞1或m＜﹣2，即m的取值范围是{m|m＞1或m＜﹣2}．21．（13分）某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x 的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？【解答】解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元．由题意设f（x）=k 1x，．由图知，∴又g（4）=1.6，∴．从而，（8分）（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．（0≤x≤10）令，则=当t=2时，，此时x=10﹣4=6（15分）答：当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为2.8万元．（16分）22．（12分）在探究函数f（x）=x3+，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）的最值中，（Ⅰ）先探究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上的最值，列表如下：观察表中y值随x值变化的趋势，知x=1时，f（x）有最小值为4；（Ⅱ）再依次探究函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）上以及区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的最值情况（是否有最值？是最大值或最小值？），请写出你的探究结论，不必证明；（Ⅲ）设g（x）=3x2+，若g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求k 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）x=1时，f（x）有最小值是4；（Ⅱ）探究函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）上的最值，列表如下：综合上表，在区间（﹣∞，0）上，x=﹣1时，取得最大值﹣4，在区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上，函数无最值，（Ⅲ）令2x=t，由x∈[﹣1，1]得t∈[，2]，则g（2x）﹣k•2x≥0换元得g（t）﹣kt≥0，即k≤==3t+，再令=x ，由t ∈[，2]得x ∈[，2]，换元得k ≤x 3+， 即求解k ≤x 3+，对于x ∈[，2]恒成立，由（Ⅰ）可知f （x ）=x 3+在区间（0，+∞）上，x=1时，f （x ）有最小值是4， 则x ∈[，2]时，x 3+≥4， 则k ≤4．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。