排列组合总复习
排列组合总复习
1.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不
区分站的位置，则不同的站法总数是。
2.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都
有，则不同的组队方案共有种。
3.从5名同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求
星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法有种。
4.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员、体育委员，其中甲、
乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种。
5.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2
个，则该外商不同的投资方案有种。
6.有3辆不同的公交车，3名司机，6名售票员，每辆车配备一名司机，2名售票员，则
所有的工作安排方法数有。
7.某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个
班，不同的安排方法共有种。
8.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。
若每天安排3人，则不同
的安排方法共有种。
9.安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班1天，其中甲、乙两人都不安
排在5月1日和2日。
不同的安排方法共有。
10.亚运会组委会要从小张、小赵、小罗、小王、小李5名志愿者中选派四人分别从事翻译、
导游、礼仪、司机四项不同的工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有。
11.某学校开设10门选修课，其中3门是技能类课程，2门是理论类课程。
学校规定每位
学生应选修4门，且技能类课程与理论类课程每类至多选修1门，则不同的选修方法总数是。
12.某班星期二的课表有6节课，其中上午4节课，下午2节课，要排语文、数学、英语、
信息技术、体育、地理各1节，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排法种数共有。
13.从7人中选出5人排成一横行，其中甲、乙两人必须选出且甲必须排在乙的左边，则不
同的排法种数是。
14.2位教师与5位学生排成一排，要求2位教师相邻但不排在两端，不同的排法共
有。
15.从7名演讲选手中抽取5人参加演讲比赛（每人演讲一场），若甲、乙两人一定被选中，
且甲的出场顺序排在乙的前面（不一定相邻），则他们的出场顺序有。
16.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加
一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有。
17.用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域区分开，若相邻的区域不能涂同一种
颜色，则不同的涂法共有。
18.现在要给四棱锥P-ABCD的五个面上涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选
择的颜色只有4中，则不同的涂色方案种数有。
19.如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里
种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为。
20.有一个不规则的六面体盒子，现要用红、黄、蓝三种颜色刷盒子的六个面，其中一种颜
色刷3个面，一种颜色刷2个面，一种颜色刷1个面，则刷这个六面体盒子的刷法有。
21.用数字1、2、3、4、5可以组成没有重复数字且比20 000大的五位偶数的个数为。
22.用数字0、1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的
数字之和为偶数的四位数共有个。
23.由0、1、2、3、4、5这些数字所组成的没有重复数字的三位数中，能被3整除的数共
有。
24.在1、2、3、4、5这5个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的
共有。
25.某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的
调整方案的种数有。
26.将A、B、C、D、E排成一列，要求A、B、C在排列中的顺序为“A、B、C”或“C、
B、A”（可以不相邻），这样的排列数有。
排列组合练习题(全集)
排列组合复习题型总结一、特殊对象问题：优先进行处理1.有5人排成一列，其中甲不在第一的位置，有多少种排法？2.有5人排成一列，其中甲不能在第一，乙不能在最后，有多少种排法？二、名额分配问题：名额插挡板法3.有10个三好学生的名额分给3个班，要求每班至少有一个名额，怎么分？4.有7个三好学生的名额，分给3个班，怎么分？三、分组分配问题：分配等于先分组，再把组分配出去5.有6本不同的书，平均分给甲乙丙三人，有多少种分法？6.有6本不同的书，平均分为三组，有多少种分法？7.有6本不同的书，分甲1本，乙2本，丙3本，有多少种分法？8.有6本不同的书，分三组，一组1本，一组2本，一组3本，有多少分法？9.有6本不同的书，分给三个人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种分法？10.有9本不同分成三组，一组5本，另外两组各2本，有多少种分法？11.有9本不同的书，分给甲乙均2本，丙5本，有多少种分法？12.有9本不同的书，分给两人各2本，另一人5本，有多少种分法？四、相邻问题：捆绑法13.8人排成一列，甲乙丙三人必须相邻，有多少种排法？14.8人排成一列，甲乙两人必须相邻，且都不和丙相邻，有多少种排法？15.一排8个座位，3人坐，5个空座位相邻，有多少种坐法？16.一排8个座位，3人坐，其中恰有4个空座位相邻，有多少种坐法？五、不相邻问题：插空法17.某人射击训练，8枪命中3枪，恰好没有任何2枪连续命中，有多少情况？18.8人排成一列，甲乙丙三人不可相邻，有多少种排法？19.8盏灯关掉3盏，不许关掉相邻的，也不许关掉两端，多少种方法？20.某人射击训练，8枪命中3枪，恰好2枪连续命中，有多少种情况？六、成双成对问题：先按双取出，再从各双分别取出一只，自然不成双21.从6双不同鞋子中取出4只，要求都不许成双，有多少种方法？22.从6双不同鞋子中取出4只，要求恰好有一双，有多少种方法？七、可（不可）重复使用的对象：问题中有两组对象，解决问题时要以不可重复使用的对象作为分步的标准（住店、投信、映射、冠亚军等）23.5人住3家店，有多少种住法？24.若有4项冠军在3个人中产生，没有并列冠军，问有多少种不同的夺冠可能性。
(完整)高中数学排列组合专题复习
高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类1办法中有m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的方法，那么2完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步1有m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么完成这件事共2有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
完整)高中数学排列组合专题复习
完整)高中数学排列组合专题复习本文介绍了解决排列组合问题的方法和策略。
首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
文章提供了分类计数原理和分步计数原理两种常用的解题方法，并指出了它们的区别。
在解决排列组合综合性问题时，需要确定分多少步及多少类，以及每一步或每一类是排列问题还是组合问题，元素总数是多少及取出多少个元素。
文章还介绍了一些常用的解题策略，如特殊元素和特殊位置优先策略。
最后，文章以一个例子展示了如何使用分步计数原理解决一个排列组合问题。
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。
如果以元素分析为主，需要先安排特殊元素，再处理其他元素；如果以位置分析为主，需要先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。
如果有多个约束条件，往往需要同时考虑这些条件。
练题：有7种不同的花种要排成一列的花盆里，要求两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里。
问有多少种不同的排法？相邻元素捆绑策略是解决要求某几个元素必须排在一起的问题的方法。
可以将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其他元素一起进行排列，同时要注意合并元素内部也必须排列。
练题：某人射击8枪，命中4枪，其中有恰好3枪连在一起的情况有20种不同的排列方式。
不相邻问题插空策略是先把没有位置要求的元素进行排队，再把不相邻元素插入中间和两侧的方法。
练题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，后来又增加了两个新节目。
如果将这两个新节目插入原节目单中，且这两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30.定序问题倍缩空位插入策略是对于某几个元素顺序一定的排列问题，先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。
另一种方法是设想有空位，让其他元素先坐下，再让这几个元素坐下。
练题：7个人排队，其中甲乙丙三人的顺序一定，共有多少不同的排法？可以使用倍缩法、空位法或插入法来解决。
高考数学总复习------排列组合与概率统计
【重点知识回顾】1.排列与组合⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关⑵排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.⑶排列与组合的主要公式高考数学总复习排列组合与概率统计①排列数公式: mAn n! n(n1) (n m)!—...2)21—+(nm 1) (mW n)A n=n !=n(n —1)(n②组合数公式: mCn n!_n(nm!(n m)! m 1) - (n (m 1)③组合数性质:+ *③G2C n42.二项式定理⑴二项式定理C1C n n m(m< n).+ :+ ■ 11G32n1②C n。
m 1) (m< n).2+G11+ + •・・*C C n n2n(a+b)n=C0a n+Ca n Tb+?+C a0-r b r+?+ C n n b n，其中各项系数就是组合数G r，展开式共有n+1项，第r+1项是T r+1=Ga n⑵二项展开式的通项公式r b r.二项展开式的第r+1项Tr+1=C r a n"r b r(r=Q,1, ?叫n）做二项展开式的通项公式。
⑶二项式系数的性质①在二项式展开式中, 端与首末两“等距离”的两个二项式系数相等，r n r (r=Q,1,2即G=G ,?,n)②若n是偶数，则中间项1项）的二项公式系数最大，其值为n；若C n2数,n是奇则中间两项（第n2 1项和第3项）的二项式系数相等，并且最大，其值为G2n1 n12 =C 2.③所有二项式系数和等于n—02 13 1即G+G+?=C+G+?=23. 概率(1)事件与基本事件：随机事件在条件下，可能发生也可能不发生的事件T ：| S事件不可能事件：在条件下，一定不会发生的事件%. VS确定事件必然事件：在条件下，一定会发生的事件S基本事件：试验中不能再分的最简单“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一的个基试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形本事件；任意两个基本事件都是互斥的；式来表示.(2)频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值.频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小.随机事件而变化.的概率是一个常数(，不随具体的实验次数的变化(3)互斥事件与对立事件:事件定义集合角度理解关系事件A与B不可能同时事件A与B对立，则A 互斥事件两事件交集为空对立事件两事件互补发生，且必有一个发生(4)古典概型与几何概型：一是对立事件古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型—几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积)成比例.两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个.(5)古典概型与几何概型的概率计算公式：古典概型的概率计算公式: 几何概型的概率计算公式: 两种概型概率的求法都是A包含的基本事件的个数P(A)基本事件的总数构成事件A的区域长度(面积或体积)P(A)J J r-试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)“求比例”，但具体公式中的分子、分母不同.(6)概率基本性质与公式①事件A的概率P(A)的范围为：0 w P(A) < 1.②互斥事件A与B的概率加法公式：P(A B)P(A) P(B).发生事件A与B不可能同时与B必为互斥事件；事件A与B互斥，但不③对立事件A与B的概率加法公式：P(A) P(B) 1.(7)如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k n—k的概率是p n k(i —p)(k) = C n p .实际上，它就是二项式的展开式的第k+1 [(1 —p)+p](8)独立重复试验与二项分布① .一般地，在相同条件下重复做的 n 次试验称为n 次独立重复试验.注意这里强调了三点：(1)相同条件；(2)多次重复；(3)各次之间相互独立；② .二项分布的概念：一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为X ,在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生k 次的概率为 P Xk _ LCP k 0 p ),(k _ 01, ,, n )n .此时称随机变量 X 服从二项分布，记作X ~B(n , p)，并称p 为成功概率.4、统计(1) 三种抽样方法① 简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法.抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回.我们在抽样调查中用的是不放回抽取.简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限.从总体中逐个进行抽取，使抽样便于 在实践中操作.它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性.每一次抽样时，每个个体等可能的 被抽到，保证了抽样方法的公平性.实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解.随机数表法：要理解好随机数表，即 表中每个位置上等可能出现 0, 1, 2, ?, 9这十个数字的数表.随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可 能性.② 系统抽样系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况.系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段 中进行抽样时，采用的是简单随机抽样.系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号； 第二步，将总体 的编号分段，要确定分段间隔 k ，当N (N 为总体中的个体数,n k 一“；当N 不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数 这时k —T 第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号 n 抽取样本.通常是将|加上间隔k 得到第2个编号(I k)，将(I k)加上k ，得到第3个编号(I 2k),这样继续下去，直到获取整个样本.③ 分层抽样为了使抽样更好地反映总体情况， 将总体中各个个 每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样.分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比; n 为样本容量)是整数时,N 能被n 整除,I ，再按事先确定的规则 当总体由明显差别的几部分组成时， 体按某种特征分成若干个互不重叠的部分,第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步, 将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本.(2 )用样本估计总体样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率, 应样本的频率分我们常常使用频率分布直方图来表示相布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确.xy X i y ii1 X i i 1 第二步：计算回归系数的£ a , b ,公式为 X i y i 1 nn i n( i1Xi 1X i )( i n X i )2 1 y i ) 1 决定组距与组数-分组-列频率分布表-画频率分布直方图.② 茎叶图刻画数据有两个优 一是所有的信息都可以从图中得占： 至U ；八、、• 亠J ’录和表示，但数据位数较多时不够方便.③ 平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波 动程1 n(X i x) ----------------------- .有时也用标准差的平方 方差来代替标准差，nil两者实质上是一样的.(3)两个变量之间的关系变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定 随机性的相关关系.在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可 以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解. 分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估 计求出回归直线方程.通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，① 用样本频率分布估计总体频率分布时， 频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步 骤.通常要对给定一组数据进行列表、作图处理.作 画样本频率分布直方图的步骤： 求全距T二是茎叶图便于记 度，其计算公式为s 形成散点图.然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系： 如果这些点大那么就说这两个变量之间具有线性相关关 系，致分布在通过散点图中心的一条直线附近, 条直线叫做回归直线，量大，因此同学们要学会应用科学计算器.(4)求回归直线方程的步骤：其对应的方程叫做回归直线方程. £ 在本节要经常与数据打交道， 计算 第一步：先把数据制成表，从表中计算 屮出、-'■ 2；n(ad be)2(其中n构造随机变量K2ab ed)(a b)(e d)(a e)b d)得到K 2的观察值k 常与以下几个临界值加以比较:如果 k 2.706，就有9000的把握因为两分类变量0的把握因为两分类变 如果 k 3.841 就有95° 量0的把握因为两分类变如果 k 6.635就有990一量 如果低于k 2.706，就认为没有充分的证据说明变量【典型例题】考点一：排列组合【方法解读】1、解排列组合题的基本思路：① 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步② 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；③ 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是 “正难则反”；2、解排列组合题的基本方法：① 优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；② 排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
排列组合专题复习
《排列组合专题复习》【 复 习 巩 固】 【1】分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：N m 1 m 2 m n 种不同的方法．【2】分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：N m 1m 2 m n 种不同的方法．【3】分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事.分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．【 0 1 特 殊 元 素 和 特 殊 位 置 优 先 策略 】 【例1】由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.【答案】288【解析】由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有C 31，然后排首位共有3 C 41. CCA 41 31 43 288 C 14 A 34 C 13 最后排其它位置共有A 4 ，由分步计数原理得【练习】7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？【答案】【 0 2 ★ 相 邻 元 素 ★捆 绑 策 略 】 【例2】7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.【答案】480【解析】可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有AAA 55 2222 480种不同的排法.要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题. 即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.【练习】某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 【答案】20【 ★ 0 3 ★ 不 相 邻 问 题 ★插 空 策 略 ★ 】【例3】一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？【答案】A 55A 64【解析】分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有 A 55种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种A 64 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有A 55A 64种. 乙 甲 丁 丙【练习】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30【答案】30【★04★定序问题★倍缩空位插入策略★】【例4】7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？【答案】A77/ A33或A74【解析】(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：.(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A74 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有A74 种方法.【思考】可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有____________________.方法.【答案】排法？【答案】C105【★05★重排问题求幂策略★】【例5】把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法.【答案】76【解析】完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有76 种不同的排法.【练习1】某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为____________________.【答案】42【练习2】某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法.【答案】78【★06★环排问题★线排策略★】【例6】8人围桌而坐,共有多少种坐法?【答案】7！【解析】围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A44 并从此位置把圆形展成【答案】120【★07★多排问题★直排策略★】【例7】8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法.【答案】A24A14A55【解析】8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有A24 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有A14 种,其余的5人在5个位置上任意排列有A55种,则共有A24A14A55种.前排后排一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.【练习】有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是____________________.【答案】346【★08★排列组合混合问题★先选后排策略★】【例8】有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.【答案】C52A44【解析】第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C52种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有A44 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C52A44解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?【练习】一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有____________________种.【答案】192【★09★小集团问题★先整体后局部策略★】【例9】用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？【答案】A22A22A22【解析】把1,5,2,4当作一个小集团与３排队共有A22 种排法，再排小集团内部共有A22A22种排法，由分步计数原理共有A22A22A22 种排法.【练习1】计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为____________________.直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！HFDCAA B C D E ABEGHGF【练习】6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？一般地,n个不同元素作圆形排列,共有n(-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1mnAn15243【答案】A22A55A44【练习2】5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种.【答案】A22A55A55【★10★元素相同问题★隔板策略★】【例10】有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？【答案】C96【解析】因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
排列组合专题复习及经典例题详解
排列组合专题复习及经典例题详解研究目标：掌握排列、组合问题的解题策略。
重点：1.特殊元素优先安排的策略；2.合理分类与准确分步的策略；3.排列、组合混合问题先选后排的策略；4.正难则反、等价转化的策略；5.相邻问题捆绑处理的策略；6.不相邻问题插空处理的策略。
难点：综合运用解题策略解决问题。
研究过程：1.知识梳理1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类型办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。
+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有N=m1×m2×。
×mn种不同的方法。
特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。
3.排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，m<n时叫做选排列，m=n时叫做全排列。
4.排列数：从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pn表示。
5.排列数公式：Pn=n(n-1)(n-2)。
(n-m+1)=m!/(n-m)。
其中m≤n，n、m∈N+。
特别提醒：规定0!=1.6.组合：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合。
7.组合数：从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号Cn表示。
排列组合复习
排列组合复习基础方法回顾例1、特殊元素先排列：（1）六个人从左至右排成一列，最左端只能安排甲或者乙，最右端不能排甲，有多少种排法？（2）用0,1,2,3,4组成一个无重复的五位偶数有多少个？（3）A,B,C,D,E中出四个人完成a,b,c,d,四项工作，每项工作只能安排一个人，每人只能完成一项工作，其中A,B只会做a,b两项工作，其余人可以完成所有工作，有多少种安排任务的方式？（4）有5张卡片，正反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，现从中取出三张排成一列，可以摆出多少三位数?例2、相邻元素排列—捆绑法（1）一排有9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐一起，有多少种坐法？（2）8个车位，5辆不同的汽车，车全停在一起，有多少种停车方法？空位全在一起，有多少种停车方法？例3、不相邻元素排列—插空法（1）某班迎新晚会原计划安排5个节目，开演前又临时增加两个节目，如果将两个新节目插入到原来节目单中，有多少种出演方式？若两个新节目不相邻，有多少种出演方式？（2）4个男生，3个女生站成一排，有且只有两个女生相邻，有多少种排列方式？例4、逆向思维-正难则反（1）某中学中秋晚会由6个节目组成，演出顺序要求如下：节目甲必须在乙前面，节目丙不能排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案有多少种？（2）某单位安排7位员工在10月1日至10月7日值班，每天安排1人，每人安排1天，每位员工中的甲、乙被安排在相邻的两天值班，丙不在10月1日值班，丁不在10月7日值班，则不同的安排方案共有多少种？（3）用0,1,2,3,4组成无重复的五位数，其中1,2相邻的偶数有多少个？（4）某次联欢会要安排3个歌舞节目，2个小品节目，一个相声节目，同节目不相邻的排法有多少个？例5、定序问题、相同于素排列问题（1）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成之后才能进行，工程丙必须在工程乙完成之后才能进行，工程丁必须在工程丙完成之后立即进行，共有多少种方案？（2）三位数中，123叫做严格递增数，530叫做严格递减数，严格单调的三位数有多少个？（3）7人身高不同，排成一排，中间最高，两侧依次降低，有多少种排列方法？（4）把good写错有多少种？把error写错有多少种方法？（5）用0,1,1,2,3可以组成多少个无重复的5位数？例6、挡板法（1）9个相同的苹果分给5个人，每人至少一个，有多少种分法？（2）12个相同的苹果分给3个人，每人至少3个的分配方法有多少种？（3）9个用动员名额分配给1班，2班，3班，要求每个班所得名额不少于自己的班级序号，有多少种分法？例7、分组问题（先分组，再分配；平均分组问题）（1）把9个人分配到3个单位，有多少种分法？①甲单位2人，乙单位3人，丙单位4人②1个单位2人，一个单位3人，一个单位4人③每个单位3人④两个单位各两人，一个单位5人（2）①9本书分成1,3,5三堆，然后放到3个不同的书架上，有多少种方法？②9本书平均分成3堆，然后放到3个不同的书架上，有多少种方法？③9本书分成2,2,5三堆，然后放到3个不同的书架上，有多少种方法？（3）哈尔滨冰雪节期间，5名游客到三个不同的景点游览，每个景点至少有一个，至多两个人，有多少种不同的游览方法？（4）把A,B,C,D四本不同的书分给三位同学，每人至少一本，每本书必须有人分到，A,B不能分给同一个人，有多少种不同的分法？（5）A类课程有3门，B类课程有两门，从中选3门，至少一个A，一个B，有多少种选法？期末考试：1.高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种2.将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少一名，则不同分法的种数为()A．18B．24C．36D．723.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那没有相邻的两个人站起来的概率为()A．516B．1132C．1532D．124若3位老师和3 个学生随机站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的概率为()A．120B．110C．15D．255.某校将5名插班生分配到3个班级，每班至少分一个人，则不同的分配方法有多少种？模拟题目：1.从某校4个班级的学生中选出7名学生参加志愿服务，若每个班级至少一个代表，则有多少中选法？2.将4个大小相同、颜色不同的小球全部放入编号为1和2的两个盒子，使得放入盒子里的球数不小于盒子编号，则不同的放球方法有多少个？3.某公司安排甲、乙、丙、丁4人去上海、北京、深圳出差，每人仅去一个地方，每个地方都要有人去，若甲不去北京，则不同的安排方法有多少种？4.从2名女生，4名男生中选3人参加科技比赛，且至少有一个女生参加，则不同的选择方法有多少种。
排列组合综合复习
1.排列与组合的联系与区别:
2．排列问题的基本类型: （1）特殊元素优先法 （2）元素的相邻问题——捆绑法
（3）元素的不相邻问题——插空法
（4）元素的定序问题——留空法 （5） 数字问题 3．组合问题的基本类型 （1）指标的分配问题——隔板法 （2）分组问题（分堆问题） （2）人员的分配问题——先分堆后到位法 （平均分配也可填空法）
的方法有多少？ 144
4． 6个男生安排到大、中、小三个房间，其中大房间可住4人，中房 间可住3人，小房间可住2人，不同的安排方法有多少？ 410
四：小结：
1．排列问题的基本类型: （1）特殊元素优先法 （2）元素的相邻问题——捆绑法 （3）元素的不相邻问题——插空法 （4）元素的定序问题——留空法（用除法） 2．组合问题的基本类型 （1）分组问题——当有n组元素数量相同时，应除以 n! （2）指标的分配问题——档板法
（3）人员的分配问题——先分堆后到位法
3．排列组合综合问题解题方法: (1) 先选后排法: (2) 先分堆后到位法 (3)分类时通常按某一元素(或某些元素)的所有可能 的情况分类，做到不重、不漏．
三．课堂练习：
基础练习： 1．3位同学同上一列有10节车厢的火车，每人上哪一节车厢是随机 的，则恰有2位同学上了同一节车厢的种数有多少？ 270
2．从6个运动员选出4人参加4×100M的接力赛，其中甲乙两人都不 能跑第一棒，则不同的参赛方法有多少？ 240
3．四个不同的球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒子
二．典型例题:
例1: 7名师生站成一排照相留念,其中教师1人,男生4人, 女生2人,在下列情况中各有多少种不同的排法?
1．老师站中间的排法?
排列组合复习
C7 C5 C3 C2 A3 12600 排列与组合混合问题:一般先选再排
能力提升:
例3.九张卡片分别写着数字0，1，2…，8从中取出 三张排成一排组成一个三位数，如果写着6的卡片 还能当9用，问共可以组成多少个三位数？
合理分类和准确分步
解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行
分类，分类标准明确，不重不漏；按事情的发生的 连续过程分步，做到分步层次清楚.
高考实例:
（05浙江高考）从集合{O,P,Q,R,S}与 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各取2个元素排成一排（字母和 数字均不能重复）.每排中字母O，Q和数字0至多只 能出现一个的不同排法种数是 .(用数字作答）
两个原理是基础 + 常用的解题策略
课堂小结 1、排列与组合的概念（区别与联系） 2、排列与组合问题的几种基本类型 3、解决排列与组合的一般过程
(1)审清题意 (2)确定分步还是分类 (3)确定每一类(步)是有序还是无序
排列与组合概念
排列:从n个不同的元素中任取m（m≤n)个元素，按一定 的顺序排成一列, 叫做从n个不同的元素中取出m个元素的 一个排列。 组合:从n个不同元素中任取m（m≤n）元素并成一组， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 相同点: 取出的元素都是不相同的 不同点: 取出的元素有没有顺序 有序与无序 无重复性
2 2 C3 C9 A 4 4 3 36 24 2592 2 4 C1 C A 3 9 4 3 36 24 2592 2 4 C1 C A 3 9 4 3 36 24 2592 2 1 C3 C9 A 4 4 3 9 24 648
高考数学总复习考点知识专题讲解8 排列与组合
高考数学总复习考点知识专题讲解专题8 排列与组合知识点一排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．知识点二排列相同的条件两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素完全相同．(2)元素的排列顺序也相同．【例1】判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互打电话．知识点三 排列数的定义从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示． 知识点四 排列数公式及全排列 1．排列数公式的两种形式(1)A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，其中m ，n ∈N *，并且m ≤n .(2)A m n ＝n ！(n －m )！. 2．全排列：把n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，全排列数为A n n ＝n ！(叫做n 的阶乘)．规定：0！＝1. 【例2】（2023•泰州期末）678910⨯⨯⨯⨯可以表示为()A ．410AB ．510AC ．410CD ．510C【例3】（2023•莱州市开学）已知18934x x A A -=，则x 等于() A ．6B ．13C ．6或13D ．12【例4】（2023•浑南区期末）12320222232022232022M A A A A =++++，20232023N A =，则M 与N 的大小关系是()A ．M N =B ．M N >C ．M N <D ．M N …知识点五“相邻”与“不相邻”问题相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法.【例5】3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)男、女各站在一起；(2)男生必须排在一起；(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．【例6】（2023•香坊区期末）加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能相邻，那么有()种加工方法．A．24B．32C．48D．64【例7】（2023•沈阳模拟）甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有() A．24种B．48种C．72种D．96种知识点六定序问题用除法对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．【例8】7人站成一排．(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法？知识点七特殊元素的“在”与“不在”问题分析法对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决．【例9】（2023•卧龙区月考）甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端、丙和丁相邻的不同排列方式有() A ．24种B ．36种C ．48种D ．144种【例10】（2023•宜宾月考）“四书”“五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为() A ．622622A A A B ．6262A A C ．622672A A A D ．622662A A A【例11】（2023•武强县期中）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数． （1）可组成多少个不同的四位数？ （2）可组成多少个不同的偶数？【例12】从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？同步训练（一）1．（2023•宿迁期末）下列各式中，不等于n ！的是()A ．n n AB ．1n n A -C ．1n n nA +D ．11n n nA --2．（2023•宿迁月考）(1998)(1999)(2021)(2022)(n n n n n N ----∈，2022)n >可表示为()A ．241998n A -B ．251998n A -C ．242022n A -D ．252022n A -3.（2023•河南模拟）从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lga lgb -的不同值的个数是()A ．6B ．8C ．12D ．164．（2023•揭阳期末）已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩．现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为()A．288B．144C．72D．365.（2023•海淀区校级期末）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有()种排法？A．72B．36C．24D．126.（20123•会宁县期中）用0，1，2，3，4五个数字：（1）可组成多少个五位数；（2）可组成多少个无重复数字的五位数；（3）可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；（4）可组成多少个无重复数字的五位奇数．7.三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？知识点八组合及组合数的定义1．组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．知识点九排列与组合的关系【例13】(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．【例14】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？知识点十组合数公式规定：C 0n ＝1.知识点十一 组合数的性质 性质1：C mn ＝C n －mn .性质2：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .【例15】（2023•朝阳区期末）已知2188m m C C -=，则m 等于() A ．1B ．3C ．1或3D ．1或4【例16】（2023•吉水县期末）计算33334562015C C C C ++++的值为()A ．42015CB ．32015C C ．420161C -D ．520151C -【例17】（2023•崂山区期末）对于伯努利数()n B n N ∈，有定义：001,(2)nk n n k k B B C B n ===∑…．则()A ．216B =B ．4130B =C ．6142B =D ．230n B +=【例18】（2023•沙坪坝区模拟）某项活动安排了4个节目，每位观众都有6张相同的票，活动结束后将票全部投给喜欢的节目，一位观众最喜欢节目A，准备给该节目至少投3张，剩下的票则随机投给其余的节目，但必须要A节目的得票数是最多的，则4个节目获得该观众的票数情况有()种A．150B．72C．20D．17【例19】（2023•东湖区期末）某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中A，B两人不能分在同一个社团，则不同的安排方案数是()A．56B．28C．24D．12知识点十二分组、分配问题(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．1 平均分组【例20】(1)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？(2)6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？2 不平均分组【例21】(1)6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，一份三本，有多少种方法？(2)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？3 分配问题【例22】6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？【例23】（2022秋•浑南区期末）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少一本的不同分法共有种．（用数字作答）【例24】（2022秋•浑南区期末）某市聘请6名农业专家安排到三个乡镇作指导，每个乡镇至少一人，则安排方案的种数是()A．495B．540C．630D．720【例25】（2023•云南模拟）中国空间站()ChinaSpaceStation的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15:37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设中国空间站要安排甲、乙等5名航天员进舱开展实验，其中“天和核心舱”安排2人，“问天实验舱”安排2人，“梦天实验舱”安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有()A．9种B．24种C．26种D．30种知识点十三相同元素分配问题之隔板法隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”，每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法，隔板法专门解决相同元素的分配问题．将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C m－1n－1种方法，可描述为(n－1)个空中插入(m －1)块板．【例26】6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．【例27】（2023•浦东新区期末）10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有种．【例28】（2023•海淀区期末）没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临．某街道疫情防控小组选派7名工作人员到A ，B ，C 三个小区进行调研活动，每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，则不同的安排方式共有() A ．1176B ．2352C ．1722D ．1302【例29】（2023•多选•玄武区期末）甲、乙、丙、丁、戊共5位志愿者被安排到A ，B ，C ，D 四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是() A ．不同的安排方法共有240种 B ．甲志愿者被安排到A 学校的概率是14C ．若A 学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种D ．在甲志愿者被安排到A 学校支教的前提下，A 学校有两名志愿者的概率是25【例30】（2023•多选•营口期末）某校的高一和高二年级各10个班级，从中选出五个班级参加活动，下列结论正确的是()A ．高二六班一定参加的选法有420C 种B ．高一年级恰有2个班级的选法有231010C C 种C ．高一年级最多有2个班级的选法为52012C 种D ．高一年级最多有2个班级的选法为231451*********C C C C C ++种【例31】（2023•福建模拟）近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A ，B 角色各1人，C 角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A ，B 角色不可同时为女生．则店主共有348种选择方式．【例32】（2023•和平区校级模拟）我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为1，2，3，⋯，1n +的1n +个球的口袋中取出m 个球(0m n <…，m ，)n N ∈，共有1m n C +种取法．在1m n C +种取法中，不取1号球有m n C 种取法；取1号球有1m n C -种取法．所以11m m m n n n C C C -++=．试运用此方法，写出如下等式的结果：323232323142241n n n n n C C C C C C C C ----+⋅+⋅++⋅+=．同步训练（二）8.(多选)下列问题是组合问题的有()A ．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B ．平面上有2 021个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段C ．集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }中含有三个元素的子集有多少个D ．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法9.（2023•宣城期中）关于排列组合数，下列结论错误的是() A ．m n m n n C C -=B ．11m m m n n n C C C -+=+C ．11m m n n A mA --=D ．11m m mn n n A mA A -++=10.（2023•多选•朝阳区期末）关于排列组合数，下列结论正确的是() A ．m n m n n C C -=B ．11m m m n n n C C C -+=+C ．11m m n n A mA --=D ．!()!mn n A n m =-11.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．12.将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中．(1)有多少种放法？(2)每盒至多1个球，有多少种放法？(3)恰好有1个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？13.(多选)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为()A．1 B．2 C．3 D．414.已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有的4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？15.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？16.空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为()A．205 B．110 C．204 D．20017．4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有______种．18．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答)19.（2023•长沙期末）6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同，不同的分配方案共有() A ．540种B ．360种C ．180种D ．120种20.（2023•多选•罗湖区期末）在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有()A ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有1237C C 种 B ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有1239C C 种 C ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有1221337373C C C C C ++种D ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有33107C C -种。