排列组合复习ppt解析
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大学排列组合ppt课件
排列与组合的综合实例解析
总结词
通过综合实例，理解排列与组合在实际 问题中的应用。
VS
详细描述
通过一个复杂的问题，如安排一场活动或 者组织一次旅行，综合运用排列和组合的 知识来解决实际问题，并强调排列与组合 在解决实际问题中的重要性和关联性。
05
排列组合的解题技巧
解题思路分析
明确问题要求
01
首先需要清楚题目是关于排列还是组合的问题，排列需要考虑
04
排列组合的实例解析
排列实例解析
总结词
通过具体实例，深入理解排列的概念和计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如学生选课、物品的排列等，解释排列的概念，并介绍排列的计算公式，以及如何应用 这些公式解决实际问题。
组合实例解析
总结词
通过具体实例，深入理解组合的概念和计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如彩票中奖概率、选举代表等，解释组合的概念，并介绍组合的计算公式， 以及如何应用这些公式解决实际问题。
少？
答案解析
答案1
从5个人中选3个人参加会议共有 $C_{5}^{3} = 10$种不同的选法。
答案3
大于2000的三位数，首位数字可以为 2，3或4，共有$A_{3}^{1} times A_{4}^{2} = 36$种。
答案2
将4把椅子排好，共有$A_{5}^{3} = 60$种坐法。
答案4
不同的分法种数为$A_{5}^{4} = 120$种。
常见错误解析与避免方法
混淆排列与组合
遗漏情况
排列和组合是不同的概念，需要明确 题目要求，正确使用公式。
在解题过程中，需要注意不要遗漏某 些情况，例如在排列时需要考虑元素 的顺序，在组合时需要考虑元素的取 法。
排列组合ppt课件
排列的分类与计算方法
01
02
03
排列的定义
排列是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行排序。
排列的分类
根据取出的元素是否重复 ，排列可分为重复排列和 不重复排列。
排列的计算方法
排列的计算公式为 nPr=n!/(n-r)!，其中n为 总元素个数，r为要取出的 元素个数。
组合的分类与计算方法
后再合并答案。
利用对称性
在某些问题中，可以利用对称性 来简化计算，例如在计算圆周率 时可以利用对称性来减少计算量
。
学会推理和猜测
在某些问题中，需要学会推理和 猜测，尝试不同的方法和思路，
以寻找正确的答案。
解题注意事项与易错点
注意细节
在解题过程中要注意细节，例如元素的重复、遗漏等问题，避免 出现错误。
组合的定义
组合是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行组合，不考虑排序。
组合的分类
根据取出的元素是否重复 ，组合可分为重复组合和 不重复组合。
组合的计算方法
组合的计算公式为 nCr=n!/(r!(n-r)!)，其中n 为总元素个数，r为要取出 的元素个数。
排列组合的复杂应用
排列与组合的应用
另一个应用是解决组合问题，例如，在从n个不同元素中 选出m个元素的所有组合的问题中，可以使用排列组合的 方法来解决。
排列组合在物理中的应用
排列组合在物理中也有着广泛的应用，其中最常见的是在量子力学和统计物理中 。例如，在量子力学中，波函数的对称性和反对称性可以通过排列组合来描述。
在统计物理中，分子和原子的分布和运动可以通过排列组合来描述。例如，在理 想气体中，分子的分布和运动可以通过组合数学的方法来描述。
排列组合讲解ppt课件
知识铺垫
首先来了解下什么是两种计数原理?两种计数原理其实就是加法原理和乘法原 理，那么什么时候用加法?什么时候用乘法呢?标准就是判断你所要用的这种方 法能否独立完成一件事，如果可以那就用加法，如果不能那就用乘法。例如： 小王想要从甲到乙地，如果坐火车有3列车可选，如果做汽车有5班车可选，问 小王从甲到乙一共有多少种到达的方式?答案很显然是3+5=8，为什么用加法 呢?因为要完成的从甲地到乙地，首先3列火车可以独立完成，5班汽车也可独 立完成，每一种方式都能够独立完成这件事情则用加法。如果题目改成：小王 从甲到乙地，有3列火车可以从甲到丙地，有5班汽车可以从丙地到乙地，问小 王从甲到乙地一共有多少种方法?答案却为3×5=15，此时为什么用乘法了呢? 因为仅仅3列火车不能够独立完成小王从甲到乙地这件事情，要想完成还需要 从丙地中转后到乙地，所以分步完成用乘法。
例题展示
如果掌握了排列组合的题型特征和解题方法，你会发现这种题型还是 很好掌握的，希望同学们日后多多加强此类题型的练习，做到举一反 三。
谢谢
知识铺垫
为了方便各位更加深刻的理解和把握好两种计数原理，我们要从两道经典例题入手， 一起来看例题展示
例题展示
【例题1】小王外出游玩，准备选择一家宾馆进行入住，现在有7家经济型宾馆，5家 舒适型宾馆，3家豪华型宾馆可供小王选择，那么小王共有多少种不同的选择方式? A.12B.15C.18D.24 【答案】B 【中公解析】根据题目的描述可知，此题是在解决小王选择一家宾馆进行入住有多 少种不同的选择方式的事情。且小王可以选择3种类型的宾馆，如果只选择其中一种 类型的宾馆，比如选择豪华型宾馆能完成我们需要解决的事情，每一类选法都可完 成这件事情，故需分类。共有7+5+3=15种，答案为B。 【例题2】南阳中学有语文教师8名、数学教师7名、英语教师5名和体育教师2名。 现要从以上四科教师中各选出1名教师去参加培训，问共有几种不同的选法?
排列组合问题17种方法ppt课件
C
6 9
一
二
三
四
五
六
七
班
班
班
班
班
班
班
30
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C m 1 n 1
31
练习题
1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 有多少装法？
C4 9
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解 的组数
A
5 5
A A A
2 4
1 4
5 5
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
前排
后排
20
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并 且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______
346
21
重排问题求幂策略
把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有 种分法.
7
把第二名实习生分配
到车间也有7种分法，
依此类推,由分步计
7 6 数原理共有 种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 种
一个盒子装1个 （6）每个盒子至少1个
25
练习题 一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 参加,则不同的选法有________ 种 192
排列与组合ppt课件
数。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
排列组合的ppt课件免费
题目2：从7个不同元素 中取出4个元素的组合数 ，其中某特定元素可以 不被取出。
答案1：$A_{7}^{4} A_{6}^{3} = 7 times 6 times 5 times 4 - 6 times 5 times 4 = 336$
答案2：$C_{7}^{4} C_{6}^{3} = frac{7 times 6 times 5 times 4}{4 times 3 times 2 times 1} - frac{6 times 5 times 4}{3 times 2 times 1} = 28$
排列组合问题的变种与拓展
排列组合问题的变种
如“带限制的不同元素的排列组合” 、“重复元素的排列组合”等，需要 进一步拓展学生的思路。
拓展方法
通过变种问题的解析，引导学生深入 思考排列组合问题，并掌握其变化规 律，为解决更复杂的问题打下基础。
04
CATALOGUE
排列组合的数学原理
排列组合的数学原理简介
数学教育的核心
排列组合是数学教育中的 重要内容，对于培养学生 的数学素养和解决问题的 能力具有重要意义。
解决排列组合问题的方法与技能
乘法原理
加法原理
乘法原理是解决排列组合问题的基础，通 过将各个独立事件的产生概率相乘，可以 计算出复合事件的产生概率。
加法原理用于计算具有互斥性的事件的概 率，通过将各个互斥事件的产生概率相加 ，可以得到总的产生概率。
解析方法
通过实例演示和讲授，帮助学生理解排列组合的基本概念和计算方法，同时引导 学生思考如何解决实际问题。
实际问题的排列组合解决方案
实际问题的排列组合
如“安排会议”、“排定演出节目单”、“安排生产计划” 等，需要结合具体情境进行分析。
排列组合复习课 ppt课件
等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的 项。
ppt课件
30
变式引申：
1、(x y)7的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
2含、x若的项(x等3 于x12()n
展开式中的第6项的系数最大，则不 )
A.210 B.120 C.461 D.416
mnmncmn????10??ncmmmnnmaca??mnnmncc????11????????mnmnmnccc从n个丌同元素中取出m个元素按一定的顺序排成一列从n个丌同元素中取出m个元素把它并成一组所有排列的的个数所有组合的个数11mmnnana???先选后排只选丌排
排列组合、二项式定理 复习课
名称 定义
种数 符号 计算 公式 关系
性质
排列
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有排列的的个数
所有组合的个数
Anm
C
m n
Anm
Anm
n(n 1) (n m 1)
n! (n m)!
Ann n!
0! 1
C
m n
C
m n
n(n 1) (n m 1)
分析:由加法原理可知 C61 C62 C66 63
由乘法原理可知 2×2×2×2×2×2-1=63
ppt课件
4
基 础 练习
（1）5名同学报名参加4项活动（每人限报
4 1项），共有 5 种不同的报名方法
（2）5名同学争夺4项竞赛冠军，冠
5 军获得者共有 4 种可能
ppt课件
5
二、排列和组合的区别和联系：
ppt课件
30
变式引申：
1、(x y)7的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
2含、x若的项(x等3 于x12()n
展开式中的第6项的系数最大，则不 )
A.210 B.120 C.461 D.416
mnmncmn????10??ncmmmnnmaca??mnnmncc????11????????mnmnmnccc从n个丌同元素中取出m个元素按一定的顺序排成一列从n个丌同元素中取出m个元素把它并成一组所有排列的的个数所有组合的个数11mmnnana???先选后排只选丌排
排列组合、二项式定理 复习课
名称 定义
种数 符号 计算 公式 关系
性质
排列
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有排列的的个数
所有组合的个数
Anm
C
m n
Anm
Anm
n(n 1) (n m 1)
n! (n m)!
Ann n!
0! 1
C
m n
C
m n
n(n 1) (n m 1)
分析:由加法原理可知 C61 C62 C66 63
由乘法原理可知 2×2×2×2×2×2-1=63
ppt课件
4
基 础 练习
（1）5名同学报名参加4项活动（每人限报
4 1项），共有 5 种不同的报名方法
（2）5名同学争夺4项竞赛冠军，冠
5 军获得者共有 4 种可能
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5
二、排列和组合的区别和联系：
排列组合复习课解排列组合问题的常用技巧课件
交通安排
在城市中选择最佳的交通 路径，涉及排列组合中的 排列问题。
彩票中奖
计算彩票中奖的概率，涉 及排列组合中的组合问题。
排列组合在计算机科学中的应用
算法设计
计算机程序设计中，算法 的复杂度分析涉及排列组 合中的计算。
数据结构
在数据结构中，对数据的 排列和组合涉及排列组合 中的相关知识。
加密算法
密码的生成和破解，涉及 排列组合中的排列和组合 问题。
2023
REPORTING
排列组合复习课：解 排列组合问题的常用 技巧
• 排列组合基本概念 • 排列组合问题的常用解题技巧 • 排列组合问题中的计数原理 • 排列组合问题中的实际应用 • 排列组合问题的模拟试题与解析
2023
PART 01
排列组合基本概念
REPORTING
排列的定义与计算公式
排列的定义
反面思考法
总结词
在解决排列组合问题时，有时候从正面思考比较困难，可以采用反面思考法来解决问题。
详细描述
反面思考法是一种常用的解题技巧，它主要用于解决从正面思考比较困难的问题。具体来说，反面思考法是通过 考虑问题的反面情况来解决问题。这种方法特别适用于涉及对立事件或不可能事件的问题，它可以简化计算过程 并提高准确性。
分步乘法计数原理
要点一
总结词
分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基本方法之一， 其核心思想是将问题按照不同的步骤分为若干个小的步骤， 然后分别计算每个步骤的数量，最后将各个步骤的数量相 乘得到总数量。
要点二
详细描述
分步乘法计数原理的步骤是首先确定问题的不同步骤，然 后对每一步进行计数，最后将各个步骤的计数结果相乘。 这个原理在排列组合问题中广泛应用，例如在解决排列问 题、组合问题以及概率问题时非常有效。
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前排,丁在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以
把椅子排成一排. 先在前4个位置排甲乙两 个特殊元素有_A_42__种,再排后4个位置上的
特上殊任元意素排有列_有_A__41__A__55种_种,其,则余共的有5人_A_42_在A_41_5A_个55__位_种置.
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结前排为一排考虑后,再排分段研究.
九.小集团问题先整体局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之 间,这样的五位数有多少个？
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队
共有_A_2_2 _种排法，再排小集团内部共有
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排 12个座位，现安排2人就座规定前排 中间的3个座位不能坐，并且这2人 不左右相邻，那么不同排法的种数 是___3_46__
练习题
一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人
参加,则不同的选法有__1__9_2___ 种
42
三.环排问题线排策略 3、 5人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成
圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 此位置把圆形展成直线其余4人共有__A_44_ 种排法。
一(nC般-1地)B!,种n个排A不法同. 元A 素B作圆C 形排D 列E,共有A
D
E
四.排列组合混合问题先选后排策略
号数，问不同的放法有多少种? C53
(3)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的 盒子中，每盒可空，问不同的放法有多少种?
C135
七.正难则反总体淘汰策略
7. 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数， 使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很 困难,可用总体淘汰法。 这十个数字中有5
C
5 42
C359
8.自然数120有多少个正约数？
解：120＝23×3×5 分三步完成： 第一步：取20，21，22，23有4种; 第二步：取30，31有2种； 第三步：取50，51有2种. 由分步乘法计数原理，共有4×2×2＝16种. 所以自然数120有16个约数.
9.某城市的街区由12个全等的矩形区组成
个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的
取为偶法数有的__C取__53法,只共含有有_C_151_个C_52+偶__C数__53的_ 取法有_C__51C__52 ,和 再淘汰和小于10的偶数共_____9______ 有些符排合列条组件合的问取题法,共正有面_直_C_接_51C_考52_+_C虑__53比_-_较9复杂,
有10个运动员名额，在分给8个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成
一排。相邻名额之间形成９个空隙。
Hale Waihona Puke 在９个空档中选7个位置插个隔板，
可把名额分成8份，对应地分给8个
班级，每一种插板方法对应一种分法
将n个相共同有的___元__素_C_分_97_成__种m份分（法n。，m为正整数）,
4、从1～9这九个数中取出三个偶数四个奇数。
（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？C43C54 A77
（2）上述七位数中，三个偶数排一起的有多少个？
C43C54 A55 A33
（3）上述七位数中，三个偶数排一起，四个奇数排
一起的有多少个？ C43C54 A33 A44 A22
（4）上述七位数中，任意两个偶数都不相邻的有多
（而0它，1的，反3）面，往（0往，比1，较5）简，捷（0,，可1，以7先），求（出0，它3的，5）， （（反01面，，23,，，再44从） ），。整（体0，中2，淘6汰），. （1，2，3），（1，2，5），
练习题
我们班里有42位同学,从中任抽5人,正、
副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
一、不相邻问题插空法
1、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省
用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，
但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，
可以熄灭的方法共有（ ） A
（A）C
3 8
种（B）A83
种
（C）C
3 9
种
（D）C131 种
二、元素交叉问题
2、现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作， 有4名能胜任德语翻译工作（其中1名青年两项工作 都能胜任）。现要从中挑选5名青年承担一项任务， 其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作， 则有多少种不同的选法？
生和护士.
(C13 C62) (C12 C24) 1 540
11.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？(9)
12. 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
C5 10
四.多排问题直排策略 例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在
每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n
个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数
为
C m1 n1
六.元素相同问题“隔板法”
6． (1)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不
同放法有多少种? C131
(2)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的 盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于其编
少个？ A54C43 A53
五.平均分组问题除法策略
5.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内, 每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共
有C__52种方法.再把5个元素(包含一个复合
元素)装入4个不同的盒内有_A__44__种方法.
根据分步计数原理装球的方法共有C__52_A_44_
其中实线表示马路，从A走到B的最短路
径有多少种？
C
3 7
35
B
A
10.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体 检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法 共有多少种?
C C A 解法一：先组队后分校（先分堆后分配） 2 2 3 540 64 3
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医
把椅子排成一排. 先在前4个位置排甲乙两 个特殊元素有_A_42__种,再排后4个位置上的
特上殊任元意素排有列_有_A__41__A__55种_种,其,则余共的有5人_A_42_在A_41_5A_个55__位_种置.
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结前排为一排考虑后,再排分段研究.
九.小集团问题先整体局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之 间,这样的五位数有多少个？
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队
共有_A_2_2 _种排法，再排小集团内部共有
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排 12个座位，现安排2人就座规定前排 中间的3个座位不能坐，并且这2人 不左右相邻，那么不同排法的种数 是___3_46__
练习题
一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人
参加,则不同的选法有__1__9_2___ 种
42
三.环排问题线排策略 3、 5人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成
圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 此位置把圆形展成直线其余4人共有__A_44_ 种排法。
一(nC般-1地)B!,种n个排A不法同. 元A 素B作圆C 形排D 列E,共有A
D
E
四.排列组合混合问题先选后排策略
号数，问不同的放法有多少种? C53
(3)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的 盒子中，每盒可空，问不同的放法有多少种?
C135
七.正难则反总体淘汰策略
7. 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数， 使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很 困难,可用总体淘汰法。 这十个数字中有5
C
5 42
C359
8.自然数120有多少个正约数？
解：120＝23×3×5 分三步完成： 第一步：取20，21，22，23有4种; 第二步：取30，31有2种； 第三步：取50，51有2种. 由分步乘法计数原理，共有4×2×2＝16种. 所以自然数120有16个约数.
9.某城市的街区由12个全等的矩形区组成
个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的
取为偶法数有的__C取__53法,只共含有有_C_151_个C_52+偶__C数__53的_ 取法有_C__51C__52 ,和 再淘汰和小于10的偶数共_____9______ 有些符排合列条组件合的问取题法,共正有面_直_C_接_51C_考52_+_C虑__53比_-_较9复杂,
有10个运动员名额，在分给8个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成
一排。相邻名额之间形成９个空隙。
Hale Waihona Puke 在９个空档中选7个位置插个隔板，
可把名额分成8份，对应地分给8个
班级，每一种插板方法对应一种分法
将n个相共同有的___元__素_C_分_97_成__种m份分（法n。，m为正整数）,
4、从1～9这九个数中取出三个偶数四个奇数。
（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？C43C54 A77
（2）上述七位数中，三个偶数排一起的有多少个？
C43C54 A55 A33
（3）上述七位数中，三个偶数排一起，四个奇数排
一起的有多少个？ C43C54 A33 A44 A22
（4）上述七位数中，任意两个偶数都不相邻的有多
（而0它，1的，反3）面，往（0往，比1，较5）简，捷（0,，可1，以7先），求（出0，它3的，5）， （（反01面，，23,，，再44从） ），。整（体0，中2，淘6汰），. （1，2，3），（1，2，5），
练习题
我们班里有42位同学,从中任抽5人,正、
副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
一、不相邻问题插空法
1、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省
用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，
但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，
可以熄灭的方法共有（ ） A
（A）C
3 8
种（B）A83
种
（C）C
3 9
种
（D）C131 种
二、元素交叉问题
2、现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作， 有4名能胜任德语翻译工作（其中1名青年两项工作 都能胜任）。现要从中挑选5名青年承担一项任务， 其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作， 则有多少种不同的选法？
生和护士.
(C13 C62) (C12 C24) 1 540
11.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？(9)
12. 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
C5 10
四.多排问题直排策略 例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在
每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n
个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数
为
C m1 n1
六.元素相同问题“隔板法”
6． (1)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不
同放法有多少种? C131
(2)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的 盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于其编
少个？ A54C43 A53
五.平均分组问题除法策略
5.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内, 每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共
有C__52种方法.再把5个元素(包含一个复合
元素)装入4个不同的盒内有_A__44__种方法.
根据分步计数原理装球的方法共有C__52_A_44_
其中实线表示马路，从A走到B的最短路
径有多少种？
C
3 7
35
B
A
10.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体 检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法 共有多少种?
C C A 解法一：先组队后分校（先分堆后分配） 2 2 3 540 64 3
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医