排列组合典型例题(课堂PPT)
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高中数学排列组合-平均分组分配问题优选课堂.ppt
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
我们规定：Cn0 1.
简定易辅理导 1:
C C m
nm
n
n
1
c c c 性质2 m m m1
n1
n
n
证明:
Cmn
Cm1 n
n!
n!
m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]!
n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n!
所以分组后要除以Amm，即m!，其中m表示组数。
简易辅导
5
点拨提高
一、均分无分配对象的问题
例1：12本不同的书 （1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？
(1)
C
142C
84C
4 4
A
3 3
12! 8! 1 5775
4!·8! 4!·4! 3!
解:（2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个， 然后，问题转化为7个优秀指标分给三个班，
每班至少一个.由（1）可知共有 C62 种15分法
注：第一小题也可以先给每个班一个指标，
然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两
个班、三个班、四个班进行分类，共有
C61
3C62
3C63
C 4
简易6辅导
126
种分法. 18
C
2 4
C
2 2
=90
简易辅导
7
三、部分均分有分配对象的问题
例3 12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E五 个人有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
解：均分的五组看成是五个元素在五个位置上 作排列
排列组合经典例题总结ppt课件
邻, 共有多少种不同的排法.
解：要可求先将某甲几乙个两元元素素必捆须绑排成整在体一并起看的成问题,
一个复合元素，同时丙丁也看成一个
可以复用合捆元绑素法，来再解与决其问它元题素.即进将行排需列要，相
邻的同元时素对合相并邻为元一素个内元部进素行,再自与排。其它元 素一起作排列甲,同乙时要丙注丁意合并元素内
取出的4点不共面情形复杂，故采用间接 法。取出的4点共面有三类：
（1）过四面体的一个面有4C64 种；
（2）过四面体的一条棱上的三个点和对棱
的中点的平面有6种；
（3）过四面体的四条棱的中点且与另两条棱平
行的平面有3种；
故取4个不共面的点有
C4 10
-
(4C64 + 6 + 3) = 141
练习8
以一个正方体的顶点为顶点，能 组成多少个不同的四面体？
班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成
将n个在一相９排同个。的空相元档邻素中名分选额６成之个间m份位形（置成n插９，个个m隔空为板隙正，。 整数）可,把每名份额至分少成一７份个，元对素应,可地分以给用７m-个
11块个隔空班共板隙级有， 中，__插 ，每__入 所一_C_有n种_96个_分插__元板_法种素方数分排法为法成对。一应Cn一m排--11种的分n-法
解： ( CA52C22 32 ).A33 90
分配问题
练习2：
隔板法
（1）7个相同的小球，任意放入4个不 同的盒子中，共有多少种不同的方法？
解：相当于将7个小球用3块隔板分成4份
解：小球数 隔板数 7 3 10 共有不同方法数C130
分配问题
隔板法
练习（2： 2）7个相同的小球，任意放入4个 不同的盒子中，每个盒子至少有1个 小球的不同放法有多少种？
解：要可求先将某甲几乙个两元元素素必捆须绑排成整在体一并起看的成问题,
一个复合元素，同时丙丁也看成一个
可以复用合捆元绑素法，来再解与决其问它元题素.即进将行排需列要，相
邻的同元时素对合相并邻为元一素个内元部进素行,再自与排。其它元 素一起作排列甲,同乙时要丙注丁意合并元素内
取出的4点不共面情形复杂，故采用间接 法。取出的4点共面有三类：
（1）过四面体的一个面有4C64 种；
（2）过四面体的一条棱上的三个点和对棱
的中点的平面有6种；
（3）过四面体的四条棱的中点且与另两条棱平
行的平面有3种；
故取4个不共面的点有
C4 10
-
(4C64 + 6 + 3) = 141
练习8
以一个正方体的顶点为顶点，能 组成多少个不同的四面体？
班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成
将n个在一相９排同个。的空相元档邻素中名分选额６成之个间m份位形（置成n插９，个个m隔空为板隙正，。 整数）可,把每名份额至分少成一７份个，元对素应,可地分以给用７m-个
11块个隔空班共板隙级有， 中，__插 ，每__入 所一_C_有n种_96个_分插__元板_法种素方数分排法为法成对。一应Cn一m排--11种的分n-法
解： ( CA52C22 32 ).A33 90
分配问题
练习2：
隔板法
（1）7个相同的小球，任意放入4个不 同的盒子中，共有多少种不同的方法？
解：相当于将7个小球用3块隔板分成4份
解：小球数 隔板数 7 3 10 共有不同方法数C130
分配问题
隔板法
练习（2： 2）7个相同的小球，任意放入4个 不同的盒子中，每个盒子至少有1个 小球的不同放法有多少种？
高中数学排列与组合 PPT课件 图文
例2 求证:
(1 )C m n 1 C m n 1 C m n 1 C m n 1 1 ;
(2 )C m n 1 C m n 1 2 C m n C m n 2 1 .
( 2)
Cm1 n
Cm1 n
2Cmn
(1) (Cmn C1 mnC1 mn )Cmn(1CmnCmnC11 mn 1)
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac
你发现a了dc cda dca 什么b?cd cbd dbc
bdc cdb dcb
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
A 求3可 分 两 步 考 虑 ：
求4P
3 4
可分两步考虑：
C 第 一 步 ，3（ 4 ） 个 ； 4
A 第 二 步 ，3（ 6 ） 个 ； 3
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个 元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合．
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
概念理解
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么? 思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
的组合数 C
m n
．
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数A
m n
．
根据分步计数原理，得到： AnmCnmAm m
因此：C n mA A m n m mnn 1 n2 m !nm 1
这里m、nN，*且 mn，这个公式叫做组合
数公式．
概念讲解 从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
排列组合ppt课件
(1)从三个口袋里任取一个小球有多少中不同 的取法?
(2)从三个口袋里各取一个小球有多少中不同 的取法?
例2.判断下列问题是排列问题,还是组合问题?
(1)从某小组10 (2)从某小组10
个人中选一名正 个人中,选两名
组长和一名副组 代表参加年级的
长共有多少种不 学生代表会 .共
同的选法?
有多少种不同的
练习一
6名同学排成一排,其中甲乙两人必须排在一
起的不同排法有( c )种.
(A) 720 (B) 360 (C) 240 (D) 120
例4.a,b,c,d,e,f共6人站成一行, (1)a站在排头,有多少种站法？ (2)a不站在排头也不站在排尾,有多少种站法？ (3)a 站在排头b不站在排尾,有多少种站法？
(2)弄清问题的限制条件确定特殊元素特 殊位置,考虑
(3)平面内有10个点,无任 (4)平面内有10个点,无任
何3点共线,由这些点可连 何3点共线,由这些点可连
射线多少条?
直线多少条?
例3.有a,b,c,d,e,f,g,h8个不同的元素排成 一列,
(1)其中a,b必须排在一起,有多少种排法?
(2)其中a,b不能排在一起,有多少种排法?
(3)其中a,b,c3个元素要排在一起,另外e,f不 能排在一起,有多少种排法?
ab c
a eb
f
e
ab
a
b
c ba
f
点评:一般地,要求某些元素必须排在一起的 排列问题,通常称为相邻问题,解这类题的基本 方法是:先将要求连排的特殊元素看作与其余 一般元素等同的一个元素,然后再考虑特殊元 素的内部排列.我们称为“捆绑法”或“合一 法”.
要求某些元素中任何两个不能排列在一 起的排列问题,通常称为不相邻问题.解这类问 题的基本方法是:先将一般元素按要求排列, 然后将要求间隔排的特殊元素插入可“占取” 的空格中通常称这种方法为“插入法”.
(2)从三个口袋里各取一个小球有多少中不同 的取法?
例2.判断下列问题是排列问题,还是组合问题?
(1)从某小组10 (2)从某小组10
个人中选一名正 个人中,选两名
组长和一名副组 代表参加年级的
长共有多少种不 学生代表会 .共
同的选法?
有多少种不同的
练习一
6名同学排成一排,其中甲乙两人必须排在一
起的不同排法有( c )种.
(A) 720 (B) 360 (C) 240 (D) 120
例4.a,b,c,d,e,f共6人站成一行, (1)a站在排头,有多少种站法？ (2)a不站在排头也不站在排尾,有多少种站法？ (3)a 站在排头b不站在排尾,有多少种站法？
(2)弄清问题的限制条件确定特殊元素特 殊位置,考虑
(3)平面内有10个点,无任 (4)平面内有10个点,无任
何3点共线,由这些点可连 何3点共线,由这些点可连
射线多少条?
直线多少条?
例3.有a,b,c,d,e,f,g,h8个不同的元素排成 一列,
(1)其中a,b必须排在一起,有多少种排法?
(2)其中a,b不能排在一起,有多少种排法?
(3)其中a,b,c3个元素要排在一起,另外e,f不 能排在一起,有多少种排法?
ab c
a eb
f
e
ab
a
b
c ba
f
点评:一般地,要求某些元素必须排在一起的 排列问题,通常称为相邻问题,解这类题的基本 方法是:先将要求连排的特殊元素看作与其余 一般元素等同的一个元素,然后再考虑特殊元 素的内部排列.我们称为“捆绑法”或“合一 法”.
要求某些元素中任何两个不能排列在一 起的排列问题,通常称为不相邻问题.解这类问 题的基本方法是:先将一般元素按要求排列, 然后将要求间隔排的特殊元素插入可“占取” 的空格中通常称这种方法为“插入法”.
( 人教A版)排列与组合(习题课)课件 (共22张PPT)
(2)五位数中含有数字 0. 第 1 步，选出 5 个数字，共有 C35·C14种选法.5 分 第 2 步，排顺序又可分为两小类： ①末位排 0，有 A11·A44种排列方法；6 分 ②末位不排 0.这时末位数有 C11种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有 A13种排 法，其余 3 个数字有 A33种排法． ∴N2＝C35·C14(A11·A44＋A13·A33).8 分 ∴符合条件的偶数的个数为 N＝N1＋N2＝C35C24A12A44＋C35C14(A11A44＋A13A33)＝4 560)解决这类问题的关键是分清其为分组问题还是分配问题． (2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有 n 组均匀，最后必须除以 n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (3)分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
探究三 排列组合的综合应用 [典例 3] 有 6 名男医生、4 名女医生，从中选 3 名男医生、2 名女医生到 5 个不同的 地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区 A，则共有多少种不同的分派方案？ [解析] 分两类： 第 1 类，甲被选中，共有 C25C24C14A44种分派方案； 第 2 类，甲不被选中，共有 C35C24A55种分派方案． 根据分类加法计数原理，共有 C25C24C14A44＋C35C24A55＝5 760＋7 200＝12 960 种分派方案.
2．有 9 本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，在下列条件下，各有多少种不 同的分法？ (1)甲得 4 本，乙得 3 本，丙得 2 本； (2)一人得 4 本，一人得 3 本，一人得 2 本． 解析：(1)甲得 4 本，乙得 3 本，丙得 2 本，这件事分三步完成． 第一步：从 9 本不同的书中，任取 4 本分给甲，有 C49种方法； 第二步：从余下的 5 本书中，任取 3 本分给乙，有 C35种方法； 第三步：把剩下的 2 本书给丙，有 C22种方法． 根据分步乘法计数原理，共有不同的分法 C49C35C22＝1 260(种)，即甲得 4 本，乙得 3 本，丙得 2 本的分法共有 1 260 种．
17种排列组合方法ppt课件
甲乙 丙丁
由分步计数原理可得共有 A55A22 A22 =480
种不同的排法
6
五.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞 蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
个有元A素55 中种间，包第含二首步尾将两4舞个蹈空插位入共第有一种步排A好64 的不6
练习：从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和 2个女同学，分别担任五项不同的工作，一共有多少 种不同的分配方法？
5
四.相邻元素捆绑策略 例2.7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共 有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元 素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进 行排列，同时对相邻元素内部进行自排.
个空隙中插入3个不亮的灯有__C__35 _种.
12
十二.元素相同问题隔板策略 例10.有10个三好学生名额，在分给7个班，每班至 少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相 邻名额之间形成９个空隙. 在９个空档中选６个 位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给 ７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有
同的方法.由分步计数原理,节目的不同顺序
共有
A A55
4 6
种
相 独 独独相
7
六.固定顺序问题用除法策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少不 同的排法?
1除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题,可 先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后 用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则 共有不同排法种数是： A77
A22
15
练习：某兴趣小组有9个人，现有3项不同的活动可以让
由分步计数原理可得共有 A55A22 A22 =480
种不同的排法
6
五.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞 蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
个有元A素55 中种间，包第含二首步尾将两4舞个蹈空插位入共第有一种步排A好64 的不6
练习：从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和 2个女同学，分别担任五项不同的工作，一共有多少 种不同的分配方法？
5
四.相邻元素捆绑策略 例2.7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共 有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元 素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进 行排列，同时对相邻元素内部进行自排.
个空隙中插入3个不亮的灯有__C__35 _种.
12
十二.元素相同问题隔板策略 例10.有10个三好学生名额，在分给7个班，每班至 少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相 邻名额之间形成９个空隙. 在９个空档中选６个 位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给 ７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有
同的方法.由分步计数原理,节目的不同顺序
共有
A A55
4 6
种
相 独 独独相
7
六.固定顺序问题用除法策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少不 同的排法?
1除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题,可 先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后 用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则 共有不同排法种数是： A77
A22
15
练习：某兴趣小组有9个人，现有3项不同的活动可以让
排列组合典型例题ppt课件
再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A55种方法，最后将 甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有 A14A55A22＝960 种方法．
可编辑课件PPT
7
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有： 方法一：(排除法)A77－A66·A22＝3 600 种． 方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A55种方法， 此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分 别插入这六个位置(空)有 A26种方法，所以一共有 A55A26＝3 600 种方法．
种不同的方法，故共有 120×2＝240 种方法．
【答案】 B
21
可编辑课件PPT
4．从乒乓球运动员男 5 名、女 6 名中组织一场混合双打比赛，不同的组合
方法有( )种．
A．C25C26
B．C52A26
C．C52A22C26A22
D．A52A26
【解析】 分两步进行：第一步：选出两名男选手，有 C25种方法；第 2 步，
【答案】 C
20
可编辑课件PPT
3．(2015·青岛高二检测)将标号为 1,2，…，10 的 10 个球放入标号为 1,2，…，
10 的 10 个盒子里，每个盒内放一个球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不
一致的放入方法种数为( )
A．120
B．240
C．360
D．720
【解析】 先选出 3 个球有 C310＝120 种方法，不妨设为 1,2,3 号球，则 1,2,3 号盒中能放的球为 2,3,1 或 3,1,2 两种．这 3 个号码放入标号不一致的盒子中有 2
(2)分两类：第 1 类，6 个小球分 3,1,1,1 放入盒中；第 2 类，6 个小球分 2,2,1,1 放入盒中，共有 C36·C14·A33＋C26·C42·A24＝1 500(种)不同放法．
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7
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有： 方法一：(排除法)A77－A66·A22＝3 600 种． 方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A55种方法， 此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分 别插入这六个位置(空)有 A26种方法，所以一共有 A55A26＝3 600 种方法．
种不同的方法，故共有 120×2＝240 种方法．
【答案】 B
21
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4．从乒乓球运动员男 5 名、女 6 名中组织一场混合双打比赛，不同的组合
方法有( )种．
A．C25C26
B．C52A26
C．C52A22C26A22
D．A52A26
【解析】 分两步进行：第一步：选出两名男选手，有 C25种方法；第 2 步，
【答案】 C
20
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3．(2015·青岛高二检测)将标号为 1,2，…，10 的 10 个球放入标号为 1,2，…，
10 的 10 个盒子里，每个盒内放一个球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不
一致的放入方法种数为( )
A．120
B．240
C．360
D．720
【解析】 先选出 3 个球有 C310＝120 种方法，不妨设为 1,2,3 号球，则 1,2,3 号盒中能放的球为 2,3,1 或 3,1,2 两种．这 3 个号码放入标号不一致的盒子中有 2
(2)分两类：第 1 类，6 个小球分 3,1,1,1 放入盒中；第 2 类，6 个小球分 2,2,1,1 放入盒中，共有 C36·C14·A33＋C26·C42·A24＝1 500(种)不同放法．
排列组合(平均法)PPT
2020/4/4
11
• 例7 设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A为定 义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有 多少个？
• 分析：由于集合A为定义域，B为值域，即集合A、B中 的每个元素都有“归宿”，而集合B的每个元素接受集 合A中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是 分组后分配的问题。先考虑分组，集合A中4个元素分 为三组，各组的元素数目分别为1、1、2，则共有 (种) 分组方法。再考虑分配，即排列，再乘以 ，所以共有 =36(个)不同的函数。
Ａ３３＝６，所以分法是 ９０／６=15(种)。
• (2)先分组，方法是Ｃ６１＊Ｃ５２＊Ｃ３３＝６０ ，那么还要不要除以Ａ３３？ 我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有 =60(种) 分法。
• (3)分组方法是Ｃ６４＊Ｃ２１＊Ｃ１１=30(种)
•
其中有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两
2020/4/4
8
• 例4 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人， 每人至少一本，有多少都有“归
宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考
虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分
为三组呢？有三类分法(1)每组两本(2)分别为
一本、二本、三本(3)两组各一本，另一组四
本。所以根据加法原理，分组法C 62CA是4233C 22 + C16C52C33
+C
64C
12C
1 1
A
2 2
A33
=90(种)。再考虑排列，即再乘以 。
所以一共有540种不同的分法。
2020/4/4
9
• 例6 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需 1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法 有多少种？
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23
【解】 (1)1 名女生，4 名男生，故共有 C51·C48＝350(种)． (2)将两名队长作为一类，其他 11 人作为一类，故共有 C22·C311＝165(种)． (3)方法一：至少有 1 名队长含有两类：只有 1 名队长；2 名队长，故共有选 法 C12·C411＋C22·C131＝825(种)． 方法二：采用间接法共有 C513－C511＝825(种)． (4)至多有 2 名女生含有三类：有 2 名女生；只有 1 名女生；没有女生． 故选法共有 C25·C38＋C15·C84＋C85＝966(种)． (5)分类：第 1 类，女队长当选：C142种；第 2 类，女队长不当选：C14·C37＋C24·C72 ＋C34·C17＋C44种．故选法共有 C412＋C41·C37＋C24·C27＋C43·C17＋C44＝790(种)．
24
9．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？ (1)6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子； (2)6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； (3)6 个相同的小球放入 4 个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．
25
【解】 (1)每个小球都有 4 种方法，根据分步计数原理共有 46＝4 096 种不 同放法．
(2)分两类：第 1 类，6 个小球分 3,1,1,1 放入盒中；第 2 类，6 个小球分 2,2,1,1 放入盒中，共有 C36·C14·A33＋C26·C42·A24＝1 500(种)不同放法．
(3)法一 按 3,1,1,1 放入有 C41种方法，按 2,2,1,1，放入有 C42种方法，共有 C14＋C24＝10(种)不同放法．
【解析】 若用三种颜色，有 C15A43种染法，若用四种颜色，有 5·A44种染法， 则不同的染色方法有 C15A43＋5·A44＝240(种)．
【答案】 240
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方法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素．
若丙站在排头或排尾有 2A55种方法，所以丙不能站在排头 和排尾的排法有(A66－2A55)·A22＝960 种方法．
方法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可 以从其余的四个位置选择共有 A14种方法．
电视机各 1 台，则不同的取法共有( )
A．140 种
B．84 种
C．70 种
D．35 种
【解析】 可分两类：第一类甲型 1 台、乙型 2 台，有 C14·C25＝4×10＝40(种) 取法，第二类甲型 2 台、乙型 1 台，有 C24·C15＝6×5＝30(种)取法，共有 70 种不 同的取法．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【答案】 C
C．1,3,5
D．3,5
【解析】 依题意，有 x2－x＝5x－5 或 x2－x＋5x－5＝16.解得 x＝1 或 x＝5；x ＝－7 或 x＝3，经检验知，只有 x＝1 或 x＝3 符合题意．
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5．C03＋C14＋C25＋…＋C1281的值等于________． 【解析】 原式＝C04＋C14＋C25＋…＋C1281＝C15＋C52＋…＋C1281＝C1271＋C1281＝C1282 ＝C422＝7 315. 【答案】 7 315
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【讲评】 涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊元素的排 法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素或其他位置(这种方法称为 元素分析法或位置分析法)．
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题型三 组合应用题
例3 某市工商局对35件商品进行抽样调查，已知其中有15件假 货．现从35件商品中选取3件．
(1)其中某一件假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一件假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2件假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2件假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2件假货在内，不同的取法有多少种？
再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A55种方法，最后将 甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有 A14A55A22＝960 种方法．
7
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有： 方法一：(排除法)A77－A66·A22＝3 600 种． 方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A55种方法， 此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分 别插入这六个位置(空)有 A26种方法，所以一共有 A55A26＝3 600 种方法．
从 6 名女生中选出 2 名且与已选好的男生配对，有 A62种．故有 C52A26种．
【答案】 B
22
8．课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女生各指定 一名队长，现从中选 5 人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有 1 名女生当选； (2)两名队长当选； (3)至少有 1 名队长当选； (4)至多有 2 名女生当选； (5)既要有队长，又要有女生当选．
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1．已知圆上有 9 个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所
有线段在圆内的交点有( )
A．36 个
B．72 个
C．63 个
D．126 个
【解析】 此题可化归为圆上 9 个点可组成多少个四边形，所有四边形的对
角线交点个数即为所求，所以交点为 C49＝126 个． 【答案】 D
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2．从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少有甲型和乙型
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(3)从 20 件真货中选取 1 件，从 15 件假货中选取 2 件有 C120C215＝2 100 种．
∴恰有 2 件假货在内的不同的取法有 2 100 种． (4)选取 2 件假货有 C120C215种，选取 3 件假货有 C315种，共 有选取方式 C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555 种． ∴至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种． (5)选取 3 件的总数有 C335种，因此共有选取方式 C335－C315＝6 545－455＝6 090 种． ∴至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种．
8
(8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有： 先将其余四个同学排好有 A44种方法，此时他们留下五个 “空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有 A35种方法，所以一共有 A44A35＝1 440 种． (9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有： 7 位同学站成一排，共有 A77种不同的排法； 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有 A55A33＝720 种． 故共有 A77－A55A33＝4 320 种不同的排法．
4
(5)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与 其余的 5 个元素(同学)一起进行全排列有 A66种方法；再将甲、 乙两个同学“松绑”进行排列有 A22种方法，所以这样的排法 一共有 A66A22＝1 440 种．
5
(6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾 的排法有：
方法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可 以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾，有 A25 种方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有 A44种方法；最后将 甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A22种方法，所以这样的 排法一共有 A25A44A22＝960 种方法．
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3．(2015·青岛高二检测)将标号为 1,2，…，10 的 10 个球放入标号为 1,2，…，
10 的 10 个盒子里，每个盒内放一个球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不
一致的放入方法种数为( )
A．120
B．240
C．360
D．720
【解析】 先选出 3 个球有 C310＝120 种方法，不妨设为 1,2,3 号球，则 1,2,3 号盒中能放的球为 2,3,1 或 3,1,2 两种．这 3 个号码放入标号不一致的盒子中有 2
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(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法：先排甲、乙、丙之 外的 4 人，共有 A44种排法，产生 5 个“空”再将甲乙(视为一 个元素)与丙排入有 A25种，再将甲、乙全排，有 A22，∴共有 A22A44A25＝960 种．
(11)(消序法)共有A277种． 【答案】 (1)A77 (2)A66 (3)A25A55 (4)3 720 (5)1 440 (6)960 (7)3 600 (8)1 440 (9)4 320 (10)960 (11)12A77
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2．2C11 000067的值为( ) A．1 006 B．1 007 C．2 012 D．2 014 【解析】 利用组合数的性质得 2C11 000067＝2C11 007＝2 014. 【答案】 D
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4．满足方程 Cx2－x16＝C51x6－5的 x 值为( )
A．1,3,5，－7
B．1,3
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【解析】 (1)站成两排(前 3 后 4)，共有 A77种不同的排 法；
(2)其中甲站在中间的位置，共有 A66种不同的排法； (3)甲、乙只能站在两端的排法共有 A22A55种；
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(4)甲不排头、乙不排尾的排法共有： 方法一：甲站排尾；共有 A66种不同的排法； 甲不站排尾，共有 A15A15A55种不同的排法； 故共有 A66＋A15A15A55＝3 720 种不同的排法； 方法二：7 位同学站成一排，共有 A77种不同的排法； 甲排头，共有 A66种不同的排法； 乙排尾，共有 A66种不同的排法； 甲排头且乙排尾，共有 A55种不同的排法； 故共有 A77－2A66＋A55＝3 720 种不同的排法．
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(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ (9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？ (10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？ (11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？ 【思路】 本题是有关排列的一道综合题目，小题比较多，包括排 列中的各种方法和技巧，请同学们认真思考．