数列在日常经济生活中的应用
数列教学在生活中的应用分析
数列在生活中的应用及其分析数列教学在生活中的应用分析是一个重要且复杂的话题，它涉及到数学、科学、社会等多个领域。
本文将分析数列教学在生活中的应用，从而探讨如何更好地利用数列教学来提高生活质量。
首先，本文将探讨数列教学在数学学习中的应用，以及它对学生的学习和思维能力的影响。
其次，本文将讨论数列教学在科学领域中的应用，以及它对科学研究的影响。
最后，本文将讨论数列教学在社会中的应用，以及它对社会发展的影响。
通过对数列教学在生活中的应用分析，本文将提出一系列有效的建议，以更好地提升生活质量。
本文旨在分析数列教学在生活中的应用，以及它对生活质量的影响。
首先，本文将探讨数列教学在数学学习中的应用，以及它对学生学习和思维能力的影响；其次，本文将讨论数列教学在科学领域中的应用，以及它对科学研究的影响；最后，本文将讨论数列教学在社会中的应用，以及它对社会发展的影响。
通过对数列教学在生活中的应用分析，本文将提出一系列有效的建议，以更好地提升生活质量。
本文的研究结果将为未来数列教学的开发和实施提供重要的参考。
一、数列在生活中的应用数列在生活中的应用无处不在，从日常的购物清单到精密的科学计算，数列都发挥着重要的作用。
首先，数列可以用来描述空间中的结构变化，例如，在建筑设计中，数列用来表示屋顶的高度、门窗的尺寸，以及墙体的角度，这些细节构成了建筑的整体美感。
此外，数列也可以用来描述艺术作品的结构，例如，著名的“蒙娜丽莎”画作中，细节的比例也是用数列来表示的，这样才能完美地表现出画中人物的美感。
其次，数列也可以用来描述物理变化，例如，在物理实验中，通过测量物体的位置、时间和加速度，可以构成一组数列，从而描述物体的运动轨迹。
此外，数列也可以用来描述自然界中的变化，例如，通过观测一段时间内的温度变化，可以构成一组数列，从而对气候变化有一定的参考。
最后，数列也可以用来描述经济变化，例如，通过观测一段时间内的物价变化，可以构成一组数列，从而分析经济变化的趋势，从而更好地应对经济变化。
浅析等差、等比数列在生活中的应用
浅析等差、等比数列在生活中的应用【摘要】等差、等比数列是高中课程中一个重要的知识点，日常生活中我们常常接触到这两个数列，本文主要从数列的实际应用出发，特别是在结合职业学校的专业课、校园生活的应用、经济中的应用、体验数列美四个角度进行阐述，从而激发学生学习数列的兴趣，提高等比数列的应用能力，探索生活中的数列美。
【关键词】等差数列；等比数列；生活化；实际应用；专业结合职业高中的学生基本都是中考的“失败者”，特别是对于数学知识的学习，他们的基础不扎实，没有系统的数学知识结构，不仅仅体现在数学运算中无法正确应用公式进行常规计算，在日常生活中也缺乏发现数学美的“眼睛”，更谈不上实际应用。
学生在初中的数学应用还停留在加减乘除法，与现实生活基本脱节，没有数学建模的意识。
灵活应用等差、等比数列的公式解决一些实际问题是本文的一个探讨思路，使学生能做到“学以致用”，体验成功感，同时提高学习数学的兴趣。
一、数列与专业课相结合计算机专业班级的学生有一门课程是IT产品营销，其中有一节重点讲解了如何配置一台计算机。
结合学生做的配机单，做一个等比数列的应用。
既能使学生意识到专业课的重要性，也能让学生明确生活中数学远处不在。
例题1：计算机成本每3个月都不断变化，若现在配一台计算机的价格是8000元，每3个月计算机价格下降5%，求1年后配置一台一样的计算机的价格是多少钱？分析：这是一个等比数列的问题，而且是一个递减的等比数列。
从题目中我们不难找到，，一年后的价格可以看成这个等比数列的第5项，转化成求的问题上。
通过这个实例告诉学生，显然这是等比数列的简单应用，只要找出首项和公比，则可以求出等比数列中的任何一项。
同时可以告诫他们不要过多追求高配置、高消费的电子产品，因为电子产品的更新日新月异，一天一个价格，作为一名职业学校的学生，只有理性消费才会消费。
在给旅游专业的学生讲解数列的应用中，结合他们导游所用的图形，引出一个中国古代大型塔群宁夏一百零八塔来体验数列的应用。
§4.数列在日常经济生活中的应用
数列在日常经济生活中的应用一．学习目标1.了解数列在“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等经济活动中的应用．2. 能够在具体的问题情境中，发现并建立等差数列或等比数列这两种数学模型，解决一些实际问题.3.通过具体的问题情境，进一步学会将实际问题变成数学问题,并能利用其解决具体问题.重点:分析“零存整取”“定期转存”及“分期付款”分别是哪种数列的模型．难点：将实际问题转化为数学问题，即数学的建模过程.二．问题导学温故知新:等差数列及等比数列定义、通项公式和前n项和公式,问题: 同学们，你们经历过存款吗？你们知道储蓄有哪些业务种类？存款有利息吗？带着问题我们来了解这部分内容.导学问题.1常见储蓄及利息的计算方法（1）银行存款计息方式有两种：单利和复利，它们分别以________和_______为数学模型（2）单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息。
以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，则有_________________（3）复利：把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是_____________（1）零存整取储蓄每期初存入金额A，连存n次，每期利率为p，税率为q，则到第n期末时，应得到全部利息为： ________________（2）定期自动转存模型银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务，第二年的本金就是第一年的本利和.（3）分期付款问题贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款款额为： _______________________.三.合作探究探究一:等差数列模型(单利问题)例1. 用分期付款方式购买价格为25万元的住房一套,若购买时先付5万元,以后买年付2万元加上欠款利息.签订住房合同后一年付款一次,再过一年有付款一次,直到还完后为止,商定年利率为10%,则第五年该付多少元?购房款全部还清后实际共付多少元?探究二:等比数列模型(复利问题)例2、从社会效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51。
数列在日常生活中的应用
数列在日常生活中的应用储蓄与人们的日常生活密切相关，它对支援国家建设、安排好个人与家庭生活具有积极意义。
数列的知识在解决活期储蓄、分期存款及分期付款等问题时，充分体现了数列在生活中的广泛应用。
一、关于数列的理论数列是按一定的次序排成的一列数，数列中的每一个数都叫做数列的项。
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就是等差数列。
德国著名数学家高斯在十岁时就已经用等差数列的思想解答了1+2+3+…+99+100=5050这个问题。
假设等差数列的首项为a1，第n项为an，那么数列前n项的和为Sn=n(a1+an)/2或者Sn=na1+n(n－1)d/2（其中d是等差数列的公差）。
二、数列在日常生活中的应用我们的生活离不开储蓄，计算储蓄所得利息的基本公式是：利息=本金×存期×利率。
根据国家的规定，个人取得储蓄存款利息应依法纳税，计算公式为：应纳税额=利息全额×税率。
其中的税率为20%。
1、差数列在分期存款中的应用分期存款是分期存入后一次取出的一种储蓄方式。
一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在孩子每年生日那天到银行储蓄5000元一年定期，若年利率为0.2%保持不变，当孩子十八岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，那么取回的钱的总数是多少？第一期存款利息：a1=5000×0.2%×18；第二期存款利息：a2=5000×0.2%×17；……第十七期存款利息：a17=5000×0.2%×2；第十八期存款利息：a18=5000×0.2%×1。
于是，应该得的全部利息就是上面各期利息的和，因为a1至a18构成一个等差数列，所以把各期利息加起来就是：S18=a1+a2+……+a17+a18。
根据等差数列前n项和的公式Sn=n(a1+an)/2可知：S18=18×（5000×0.2%×18+5000×0.2%×1）×1/2=1710（元）。
《数列在日常经济生活中的应用》
100×12 + 0.5×12×13×0.165%×100
= 1212.87（元 ） 答：他可取出1212.87元。
一般地,设每月月初存入银行金额A,连存 n 次,每月的利率 都是 p , 那么到第 n 个月月末
本金共有：
各月的利息是
___ 差 数 列
期 次
1 2 …
0.36% 则日利率： 0.001% 360
计息公式：利息=本金×存期×日利率
整存整取定期储蓄
这是指一次存入本金,完成约定存期后一次取出本金 及其利息的一种储蓄。中国邮政银行在近期内规定的这 种储蓄的年利率如下.
存
期
1年
2.25
2年
2.79
3年
3.33
5年
3.6
年利率(%)
计息公式：利息=本金×存期×年利率
整存整取 年利率
分期储蓄
这是指一种分期存入相同金额一次取出的 储蓄方式（即零存整取的储蓄）。现在的 分期储蓄通常指按月存入相同金额。
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例1、某人从一月起，每月第一天存入银行 100元，到12月最后一天取出全部本金及其利 息。已知月利率是0.165%，他可取得多少钱? 解：实际取出 ：
数 列 在日常经济生活中的应用
储 蓄 问 题
计息公式：利息=本金×存期×利率
月利率=年利率/12 日利率=年利率/360
本 利 和= 本 金 + 利 息
活期储蓄
这是指存期不定,可以随时存取的一种储蓄。计息时, 按日利率算存期为天数（一年按360天，一个月按30天 计算）。 若活期年利率：0.36 %
数学必修5导学案：1-4 数列在日常经济生活中的应用
§4数列在日常经济生活中的应用知能目标解读1.理解常见储蓄如零存整取、定期自动转存、分期付款及利息的计算方法，能够抽象出所对应的数列模型，并能用数列知识求解相关问题.2.能够将现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率等实际问题，抽象出数列模型，将实际问题解决.重点难点点拨重点：用数列知识解决日常经济生活中的实际问题.难点：将现实生活中的问题抽象出数列模型，使问题得以解决.学习方法指导1.零存整取模型银行有一种叫做零存整取的业务，即每月定时存入一笔数目相同的资金，这叫做零存；到约定日期，可以取出全部的本利和，这叫做整取.规定每次存入的钱按单利计算，单利的计算是指仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息.其计算公式为：利息=本金×利率×存期.如果用符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金和利息和(以下简称本利和)，则有S=P(1+nr).2.定期自动转存模型（1）银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某月存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和，即定期自动转存按复利计算.（2）何谓复利？所谓复利，就是把上期的本利和作为下一期的本金，在计算时，每一期的本金的数额是不同的，复利的计算公式为S=P(1+r) n.一般地，一年期满后，借贷者(银行)收到的款额v1=v0(1+a)，其中v0为初始贷款额，a为每年的利率；假若一年期满后，银行又把v1贷出，利率不变，银行在下一年期满后可收取的款额为v2=v1(1+a)=v0(1+a) 2;…依次类推，若v0贷出t年，利率每年为a，这批款额到期后就会增到v t=v0(1+a)t.我们指出这里的利息是按每年一次重复计算的，称为年复利.3.分期付款模型分期付款是数列知识的一个重要的实际应用，在现实生活中是几乎涉及到每个人的问题，要在平时的学习中及时发现问题，学会用数学的方法去分析，解决问题，关于分期付款应注意以下问题：(1)分期付款分若干次付款，每次付款的款额相同，各次付款的时间间隔相同；(2)分期付款中双方的每月(年)利息均按复利计算，即上月(年)的利息要计入下月（年）的本金；(3)分期付款中规定：各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和，这在市场经济中是相对公平的.(4)分期付款总额要大于一次性付款总额，二者的差额与多少次付款有关，分期付款的次数（大于或等于2）越多，差额越大，即付款总额越多.注意：目前银行规定有两种付款方式：(1)等额本息还款法；(2)等额本金还款法.等额本金还款法的特点是：每期还款额递减，利息总支出比等额款法少，等额本金还款法还可以按月还款和按季还款，由于银行结息贯例的要求，一般采用按季还款方式. 4.本节的规律方法(1)银行存款中的单利是等差数列模型，本息和公式为S=P (1+nr ). (2)银行存款中的复利是等比数列模型，本利和公式为S=P (1+r ) n .(3)产值模型：原来产值的基础数为N ，平均增长率为P ，对于时间x 的总产值为y=N (1+P ) x .(4)分期付款模型：a 为贷款总额，r 为年利率，b 为等额还款数，则b =1)1()1(-++nn r ar r . 5.数列模型在实际问题中的应用数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，在人口数量的研究中也要研究增长率问题，金融问题更要涉及利率问题等. 6.建立数学模型的过程解决该类题的关键是建立一个数列模型{a n }，利用该数列的通项公式或递推公式或前n 项和公式求解问题. 基本步骤如下表所示：知能自主梳理1.(1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息，其公式为利息=.若以P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本金和利息和（以下简称本利和），则有.（2）复利：把上期末的本利和作为下一期的，在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是.2.（1）数列知识有着广泛的应用，特别是等差数列和等比数列.例如银行中的利息计算，计算单利时用 数列，计算复利时用数列，分期付款要综合运用、数列的知识.（2）解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目，认真审题，将实际问题转化为 ；②挖掘题目的条件，分析该数列是数列，还是数列，分清所求的是的问题，还是问题.③检验结果，写出答案.［答案］ 1.（1）不再计算利息 本金×利率×存期 S=P (1+nr ) (2)本金 S=P (1+r ) n 2.(1)等差 等比 等差 等比 （2）①数列模型 ②等差 等比 项 求和思路方法技巧命题方向 单利计算问题［例1］ 有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同的金额，这是零存；到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取.它的本利和公式如下： 本利和=每期存入金额×［存期+21存期×(存期+1)×利率］. (1)试解释这个本利公式.(2)若每月初存入100元，月利率5.1‟，到第12月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额，月利率是5.1‟，希望到第12个月底取得本利和2000元，那么每月应存入多少金额？［分析］ 存款储蓄是单利计息，若存入金额为A ，月利率为P ，则n 个月后的利息是nAP . ［解析］ (1)设每期存入金额A ，每期利率P ，存入期数为n ，则各期利息之和为 AP +2AP +3AP +…+nAP =21n (n +1)AP . 连同本金，就得：本利和=nA +21n (n +1)AP =A ［n +21n (n +1)P ］. (2)当A =100,P =5.1‟,n =12时， 本利和=100×（12+21×12×13×5.1‟）=1239.78(元). (3)将(1)中公式变形得 A =p n n n )1(21++本利和=‰1.513122122000⨯⨯⨯+≈161.32(元).即每月应存入161.32元.［说明］ 单利的计算问题，是等差数列模型的应用.变式应用1 王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‟. (1)欲在3年后一次支取本息合计2万元，王先生每月大约存入多少元？(2)若“教育储蓄”存款总额不超过2万元，零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？（精确到1元）［解析］ （1）设王先生每月存入A 元，则有A (1+2.7‟)+A (1+2×2.7‟)+…+A (1+36×2.7‟)=20000,利用等差数列前n 项和公式， 得A （36+36×2.7‟+23536⨯×2.7‟）=20000, 解得A ≈529元.（2）由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，所以3年期教育储蓄每月至多存入3620000≈555（元），这样，3年后的本息和为：555(1+2.7‰)+555(1+2×2.7‰)+…+555(1+36×2.7‰)=555（36+36×2.7‟+23536⨯×2.7‟） ≈20978（元）.命题方向 复利计算问题［例2］ 某人参加工作后，计划参加养老保险.若第一年年末存入p 元，第二年年末存入2p 元，…，第n 年年末存入np 元，年利率为k .问第n +1年年初他可一次性获得养老金（按复利计算本利和）多少元？ ［分析］ 分期存款，应利用“本利和本金×(1+利率)”分段计算.第1年年末存入的p 元，到第n +1年年初，逐年获得的本利和构成公比为1+k 的等比数列，即第一年的本利和为p (1+k ) n-1；同理，第2年年末存入2p 元，…第n 年年末存入np 元的本利和依次为2p (1+k ) n-2,…,np .［解析］ 设此人第n +1年年初一次性获得养老金为S n 元，则S n =p (1+k ) n-1+2p (1+k ) n-2+…+(n -1)p (1+k ) 1+np,①把等式两边同时乘以1+k ,得(1+k )S n =p (1+k ) n +2p (1+k ) n-1+…+(n -1)p (1+k ) 2+np (1+k ).②②-①，得kS n =p (1+k ) n+p (1+k ) n-1+…+p (1+k )-np =kk k p n ］［1)1()1(-++-np .所以S n =211)1()1(kk n k p n ］［-+-++. 故第n +1年年初他可一次性获得养老金为211)1()1(kk n k p n -+-++［元. ［说明］ “复利计算”就是“利息生利息”，也就是在存款过程中，到约定期时，将上次存款的本利和全部转为下一次的本金.求所有n 次的本利和，就转化为求等比数列的前n 项和.复利计算是银行常用于定期自动转存业务的方法，在这里也是等比数列在实际问题中的具体应用，体现了数学的应用价值，更是学生对知识的应用能力的体现.复利计算问题不但应用于银行储蓄业务中，在其他经济领域也有应用. 变式应用2 某家庭打算在2017年的年底花40万元购一套商品房，为此，计划从2011年年初开始，每年年初存入一笔购房专用款，使这笔款到2017年年底连本带利共有40万元.如果每年的存款数额相同，依年利率2.50％并按复利计算，问每年年初应该存入多少钱？（不考虑利息税） ［解析］ 设每年年初应存入x 万元，那么2011～2017年年底本利和依次为： a 1=1.025x , a 2=(1.025+1.0252)x , a 3=(1.025+1.0252+1.0253)x , …a 7=(1.025+1.0252+…+1.0257)x .若这笔款到2017年年底连本带利共有40万元，则有a 7=(1.025+1.0252+…+1.0257)x =40, 运用等比数列的前n 项和公式，化简得x =)025.11(025.1)025.11(407-⨯-⨯≈5.171(万元)，所以每年年初大约应存入5.171万元. 命题方向 数列在分期付款中的应用［例3］ 小陆计划年初向银行贷款10万元用于买房，他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从贷后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4%，且年利息均按复利计算，问每年应还多少元？（计算结果精确到1元）［分析］ 本题属于分期付款模型，如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值与还款的价值总额应该相等，则可以考虑把所有的款项都转化为同一时间来计算.10万元在10年后（即贷款全部付清时）的价值为105(1+4%)10元.［解析］ 设每年还款x 元，则第1次偿还x 元，在贷款全部付清时的价值为x (1+4%)9;第2次偿还的x 元，在贷款全部付清时的价值为x (1+4%)8;第10次偿还的x 元，在贷款全部付清时的价值为x 元，于是有105(1+4%)10=x (1+4%)9+x (1+4%)8+x (1+4%)7+…+x . 由等比数列求和公式，得105×1.0410=104.1104.110--·x ,1.0410=(1+0.04) 10≈1.4802.∴x ≈4802.004.04802.1105⨯⨯≈12330.答：每年约应还12330元.［说明］ 解决分期付款问题的数学方法是等比数列求和，用到的等量关系即分期所付的款连同到最后一次所付款时的利息之和，等于商品售价与从购物到最后一次付款时的利息之和.变式应用3 某工厂为提高产品质量，扩大生产需要大量资金，其中征地需40万元，建新厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及干部工作培训需15万元，流动资金需40万元，该厂现有资金125万元，厂内干部30人，工人180人，干部每人投资4000元，工人每人投资1000元（不记利息仅在每年年底利润中分红），尚缺少资金，准备今年年底向银行贷款，按年利率9%的复利计算，若从明年年底开始分5年等额分期付款，还清贷款及全部利息，问该厂每年还款多少万元？（精确到0.1万元）［解析］ 因扩大生产急需的资金共有40+100+60+15+40=255（万元）.已知筹集到资金为125+0.4×30+0.1×180=155(万元)，资金缺口为255-155=100（万元）.设每次向银行还款x 万元，则贷款100万元，五年一共还清本金和利息共计100（1+9%）5万元.第一次还款到第五年年底的本利和为x (1+9%)4万元；第二次还款到第五年年底的本利和为x (1+9%)3万元；第三次还款到第五年年底的本利和为x (1+9%)2万元；第四次还款到第五年年底的本利和为x (1+9%)万元；第五次还款（无利息）为x 万元.由题意得x+x (1+9%)+x (1+9%)2+x (1+9%)3+x (1+9%)4=100×(1+9%)5.即109.1)19.10(5--x =100×1.095,所以x ≈25.7.故该厂每年还款25.7万元.探索延拓创新命题方向 数列在日常生活中其他方面的应用［例4］ 甲、乙两人连续6年对某农村养鸡业的规模进行调查，提供了两条不同信息，如图所示.甲调查表明：由第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡. 乙调查表明：由第1年30个养鸡场减少到第6年10个养鸡场.请您根据提供的信息回答： （1）第2年养鸡场的个数及全村出产鸡的总只数；（2）到第6年这个村养鸡业的规模比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由.（3）哪一年的规模最大？请说明理由.［分析］ 审清题意，弄清图甲表示每个养鸡场平均出产鸡的只数（单位：万只），图乙表示该村所拥有的养鸡场的个数（单位：个）.［解析］ （1）由图可知：第2年养鸡场的个数是26个，每个养鸡场平均出产1.2万只鸡，那么全村出产鸡的总只数是S 2=26×1.2=31.2(万只).(2)第1年总共出产鸡的只数是S 1=30×1=30(万只)；第6年总共出产鸡的只数是S 6=2×10=20(万只)，由此得出S 6<S 1,这说明规模缩小了.(3)由图可知：每年平均每个养鸡场出产的鸡的只数所满足的数列为a n =1+(n -1)×0.2=0.2n +0.8(1≤n ≤6).每年的养鸡场的个数所满足的数列为b n =30-4(n -1)=-4n +34(1≤n ≤6). 第n 年出产的鸡的只数满足的数列为S n =a n b n =52 (-2n 2+9n +68)=- 54（n -49）+4125(1≤n ≤6). 因为n ∈N +,故当n =2时，S n 最大，即第2年规模最大.［说明］ 依此图像建立等差数列模型，问题就能得到解决.每年的总出产量则要与二次函数联系，n 为正整数不能忽略，利用数列与函数的关系解决，是本类问题的特色.名师辨误做答［例5］ 某工厂去年的产值为138万元，预计今后五年的每年比上一年产值增长10%，从今年起计算，第5年这个工厂的产值是多少元？（精确到万元）［误解］ 依题意，该工厂每年的产值组成一个等比数列{a n }. 其中a 1=138,q =1+10%=1.1,n =5. ∴a 5=a 1q 4=138×1.14≈202(万元).［辨析］ 138万元是去年的产值，从今年算起，则a 1=138×1.1，由于首项弄错而造成错误. ［正解］ 依题意，该工厂每年的产值组成一个等比数列{a n }.其中a 1=138×1.1, ∴a 5=a 1q 4=138×1.1×1.14 =138×1.15≈222(万元).课堂巩固训练一、选择题1.预测人口的变化趋势有多种方法.“直接推算法”使用的公式是p n =p 0(1+k ) n (k >-1)，其中p n 为预测期人口数，p 0为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数.如果在某一时期有-1<k <0，那么在这期间人口数（ ） A.呈上升趋势B.呈下降趋势C.摆动变化D.不变［答案］ B ［解析］ ∵-1<k <0， ∴0<k +1<1，p n >0,又∵n n p p 1+=100)1()1(-++n n k p k p =1+k <1， ∴p n+1<p n .即数列{p n }为递减数列.2.某同学在电脑上设置一个游戏，他让一弹性球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和为（ ） A.199.8mB.299.6mC.166.9mD.266.9m［答案］ B［解析］ 由题意知，弹球第1次着地时经过的路程是100m ，从这时到弹球第2次着地时共经过了2×2100m ，从这时到弹球第3次着地时共经过2×22100m,……,到第10次时应为2×92100m. ∴S 10=100+2×2100+2×22100+…+2×92100＝100+100（1+21+…+821）＝100+2112111009--⨯）（≈100+199.6＝299.6（m ）.3.某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p %，q %，则这两年的平均增长率是（ ） A.2％％q p + B.p %·q %C.%)%)(1(1q p ++D.1%)%)(1(1 -++q p［答案］ D［解析］ 设该工厂最初的产值为1，经过两年的平均增长率为r ，则(1+p %)(1+q %)=(1+r ) 2. 于是r =%)1%)(1(q p ++-1. 二、填空题4.某工厂2011年的月产值按等差数列增长，第一季度总产值为20万元，上半年总产值为60万元，则2011年全年总产值为元.［答案］ 2003a 1+2)13(3-⨯d =20 ［解析］ 由题意，得 ，6a 1+2)16(6-⨯d =60 a 1=940 解得 .d =920 所以S 12=12×940+2)112(12-⨯×920=200.5.(2011·湖北理，13)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.［答案］6667 ［解析］ 本题考查等差数列通项公式、前n 项和公式的基本运算. 设此等差数列为{a n }，公差为d ,a 1+a 2+a 3+a 4=3, 4a 1+6d =3, a 1=2213, 则 ∴ 解得a 7+a 8+a 9=4, 3a 1+21d =4, d =667， ∴a 5=a 1+4d =2213+4×667=6667. 课后强化作业一、选择题1.某沿海渔村，近几年不断挖掘经济收入来源，除了渔业收入外，还增加了海滨休闲度假服务业的开发，使本村经济有了较快发展，2008年全村财政收入95 933万元，比上年增长7.3%，如果在今后的几年内全村财政收入都按此年增长率增长，那么到2012年末全村财政收入大约为（ ） A.115 000万元B.120 000万元C.127 000万元D.135 000万元［答案］ C［解析］ 2012年末全村的财政收入为95 933×(1+0.073) 4≈127 000(万元).故选C.2.某人从2011年1月份开始，每月初存入银行100元，月利率是2.8‟（每月按复利计算），到12月底取出本利和应是（ ） A.1223.4元B.1224.4元C.1222.1元D.1225.0元［答案］ C［解析］ 一月份开始存入银行，到12月底本利和是a 1=100(1+2.8‟) 12; 二月份开始存入银行，到12月底本利和是a 2=100(1+2.8‟) 11; …；12月份开始存入银行，到12月底本利和是a 12=100(1+2.8‟). 则数列{a n }构成等比数列，S 12=1)8.21(1)8.21()8.21(10011212-+-++--‟］‟［‟ =‟‟］‟［8.2)8.21(1)8.21(10012+-+≈1222.1(元).3.农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其他收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6％的年增长率增长，其他收入每年增加160元.根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（ ） A.4200元~4400元 B.4400元～4600元 C.4600元～4800元D.4800元～5000元［答案］ B［解析］ 将2003年记作第1年，该地区农民人均收入第n 年为a n ，则a 1=3150,a 2==1800×（1+6％）+1350+160，…，a n =1800×（1+6％）n-1+1350+（n -1）×160. 2008年该地区农民人均收入为a 6=1800×（1+6％）6-1+1350+（6-1）×160≈4558.81.故选B.4.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n （万件）近似地满足S n =90n·(21n-n 2-5)(n =1,2,…，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ ） A.5月、6月 B.6月、7月 C.7月、8月D.8月、9月［答案］ C［解析］ 设第n 个月份的需求量超过1.5万件.则 S n -S n-1=90n (21n-n 2-5)- 901-n ［21(n -1)-(n -1) 2-5］＞1.5,化简整理，得n 2-15n +54＜0,即6＜n ＜9.∴应选C.5.通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半.已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温27℃时，该元件的电子数目接近（ ） A.860个B.1730个C.3072个D.3900个［答案］ C［解析］ 由题设知，该元件的电子数目变化为等比数列，且a 1=3,q =2,由27-(-34)=61,661=1061,可得，a 11=3·210=3072，故选C.6.一个卷筒纸，其内圆直径为4cm ，外圆直径为12cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π=3.14，则这个卷筒纸的长度为（精确到个位）（ ） A.14mB.15mC.16mD.17m［答案］ B［解析］ 纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l =πd 1+πd 2+…+πd 60=60π·2124+=480×3.14=1507.2(cm)≈15m ，故选B. 7.现存入银行8万元，年利率为2.50％，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是 万元. A.8×1.0253B.8×1.0254C.8×1.0255D.8×1.0256［答案］ C［解析］ 定期自动转存属于复利计算问题，5年末的本利和为8×（1＋2.50％）5＝8×1.0255.8.某房屋开发商出售一套50万元的住宅，可以首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后共10次付清，也可以一次付清（此后一年定期存款税后利率设为2%，按复利计算）并优惠x %，为鼓励购房者一次付款，问优惠率应不低于多少？（x 取整数，计算过程中参考以下数据：1.029=1.19,1.0210=1.2, 1.0211=1.24）（ ） A.15%B.16%C.17%D.18%［答案］ B［解析］ 由题意，知50(1-x %)(1+2%)9≤5(1.029+1.028+…+1.02+1).整理，得1-x %≤02.002.110102.1910⨯⨯-=19.11=0.8403,∴x %≥15.97%,∴一次付款的优惠率应不低于16%. 二、填空题9.据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b ,2007年产生的垃圾量为a 吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为吨，2012年的垃圾量为吨.［答案］ a (1+b ) a (1+b ) 5［解析］ 2007年产生的垃圾量为a 吨，下一年的垃圾量在2007年的垃圾量的基础之上增长了ab 吨，所以下一年的垃圾量为a (1+b )吨；2012年是从2007年起再过5年，所以2012年的垃圾量是a (1+b ) 5吨. 10.某彩电价格在去年6月份降价10%之后经10,11,12三个月连续三次回升到6月份降价前的水平,则这三次价格平均回升率是 .［答案］3910-1 ［解析］ 设6月份降价前的价格为a ,三次价格平均回升率为x ,则a ×90%×(1+x ) 3=a , ∴1+x =3910,x =3910-1. 11.某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停1次，可只使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S,为使S 最小，电梯应当停在层.［答案］ 14［解析］ 设停在第x 层，则S =［1+2+…+(20-x )］×2+［1+2+…+(x -2)］=28532xx -+421,∴x =685时取最小值，而x ∈{2,3,…,20}, ∴x =14时取最小值.12.某工厂生产总值的月平均增比率为p ,则年平均增长率为.［答案］ (1+p ) 12-1［解析］ 设年平均增长率为x ,原来总产值为a ,由题意得a (1+x )=a (1+p ) 12, ∴x =(1+p ) 12-1. 三、解答题13.某城市2002年底人口为500万，人均居住面积为6平方米，如果该城市每年人口平均增长率为1%,每年平均新增住房面积为30万平方米，到2012年底该城市人均住房面积是多少平方米？增加了还是减少了？说明了什么问题？（精确到0.01平方米）［解析］ 设2002年，2003年，…，2012年住房面积总数成等差数列{a n }，人口数组成等比数列｛b n ｝， 则2002年：a 1=500×6=3000(万平方米)，b 1=500(万).2003年：a 2=a 1+d =3000+30=3030(万平方米)，b 2=b 1×q =500×(1+1%)=505（万）. …2012年:a 11=a 1+10d =3000+10×30=3300(万平方米)，b 11=b 1×q 10=500×(1+1%)10=500×1.0110≈552(万). 所以人均住房面积是5523300≈5.98(平方米). 答：该城市人均住房面积约5.98平方米，人均住房面积反而减少了，说明计划生育的重要性.14.某林场2008年底森林木材储存量为330万立方米，若树林以每年25%的增长率生长，计划从2009年起，每年冬天要砍伐的木材量为x 万立方米，为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标，每年砍伐的木材量x 的最大值是多少？（lg 2≈0.3)［解析］ 设从2008年起的每年年底木材储存量组成的数列为{a n }，则a1=330a n+1=a n (1+25%)-x =45 a n -x 则a n+1-4x =45 (a n -4x ), 即x a x a n n 441--+=45. ∴{a n -4x }是以330-4x 为首项，公比为45的等比数列，即a n =(330-4x )(45)n-1+4x . ∴a 21=(330-4x )(45)20+4x . 令a 21≥4a 1，即(330-4x )(45)20+4x ≥4×330. 由lg 2≈0.3，可求得(45)20=100，代入上式整理得396x ≤31 680, 解得x ≤80(万立方米）.答：每年砍伐量最大为80万立方米.15.某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元.今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500（1+n 21）万元（n 为正整数）.（1）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（需扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？［解析］ （1）依题设，A n =（500-20）+（500-40）+…+（500-20n )=490n -10n 2;B n =500［(1+21)+(1+221)+…+(1+n 21)］-600=500n -n 2500-100.(2)B n -A n =(500n -n 2500-100)-(490n -10n 2) =10n 2+10n -n 2500-100=10［n (n +1)- n250-10］. 因为函数y=x (x +1)- x250-10在（0，+∞）上为增函数, 当1≤n ≤3时，n (n +1)-n 250-10≤12-850-10<0; 当n ≥4时，n (n +1)- n 250-10≥20-1650-10>0. ∴仅当n ≥4时，B n >A n .答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.16.银行按规定每经过一定时间结算存（贷）款的利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利.现在某企业进行技术改造，有两种方案.甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前年多获利5千元，两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？（计算数据精确到千元，1.110=2.594,1.310=13.786）［解析］ 方案甲：十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1+30%，前10项和为S 10=1+（1+30%）+（1+30%）2+…+（1+30%）9.所以S 10=13.113.110--≈42.62（万元）. 甲方案净获利42.62-25.94≈16.7（万元）.乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为21，前10项和为 T 10=1+(1+21)+(1+2×21)+…+(1+9×21) =2121110）（+=32.50（万元）, 而贷款本息总数为1.1+［1+(1+10%)+…+(1+10%)9］=1.1+11.111.110--≈17.04（万元）, 乙方案净获利32.50-17.04≈15.5万元.比较两方案可得甲方案获利较多.。
数列知识在日常生活中的应用例谈
数列知识在日常生活中的应用例谈数列知识有着广泛的应用，如生物种群数量变化，银行中的利息计算，人口增长，粮食增长、住房建设等等问题，都会用到高中的数列知识。
本文举例说明，有助于学生认识和理解数列知识。
例1：在植物组织培养过程中，某细胞在培养基中按照1个分裂为2个，2个分裂为4个，依次分裂下去进行增加，而且每15分钟分裂一次。
那么，1小时后，这种细胞会增加到多少个？解析：这是生物学上的一个比较常见的问题（细菌的分裂已是如此）。
应用数列知识我们很快就会求得。
显然，a1＝2，q＝2，n＝4，那么a4＝a1 ×qn-1＝2×23=16（个）例2：某房地产公司推出的售房有两套方案：一种是分期付款的方案，当年要求买房户首付3万元，然后从第二年起连续十年，每年付款8000元；另一种方案是一次性付款，优惠价为9万元，若一买房户有现金9万元可以用于购房，又考虑到另有一项投资年收益率为5%，他该采用哪种方案购房更合算？请说明理由．(参考数据1.059≈1.551，1.0510≈1.628)解析：如果分期付款，到第十一年付清后看其是否有结余，设首次付款后第n年的结余数为an，∵a1=(9－3)×(1＋0.5%)－0.8=6×1.05－0.8a2=(6×1.05－0.8)×1.05－0.8=6×1.052－0.8×(1＋1.05)……a10=6×1.0510－0.8(1＋1.05＋…＋1.059)=6×1.0510－0.8×=6×1.0510－16×(1.0510－1)=16－10×1.0510≈16－16.28=－0.28(万元)所以一次性付款合算．例3：假如某市2010年新建住房面积为4000平方米，其中，250平方米为中低价房，预计在今后若干年内该市每年新建住房面积平均不上一年增长8%，加50平方米，问到哪一年底该市历年新建的中低价房的累计面积将首次不少于4750平方米？解析：设中低价房的面积构成数列{ an},由题意可以知道，an 为等差数列，a1=250，d=50sn =250×n +[n(n-1)/2] ×50=25n2 +225n令25n2 +225n≥4750，解之得到：n≥10或者n≤-19（不符合题意，舍去）由此可知，要到2020年底该市历年新建的中低价房的累计面积将首次不少于4750平方米。
新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：数列在日常经济生活中的应用课件
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点] 要点一 三种常见的应用模型 (1)零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约 定日期，可以取出全部__本__利_和___，这是整取，规定每次存入的钱不计 复利(暂不考虑利息税)． (2)定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例 如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利 和，则银行按存款到期时的1年定期存款利率自动办理转存业务，第2 年的本金就是第1年的_本__利__和___． (3)分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数
[基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)银行储蓄中，本金与月利率均相同，存期1年，则使用复利计算 应大于使用单利计算所得的本利和．( √ ) (2)某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%，q%，则这
两年的平均增长率是 1 + p% 1 + q% －1.( √ )
3．某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成
本是( )
A．a(1＋q%)3
B．a(1－q%)3
C．
a 1−q%
3
D．
a 1+q%
3
答案：C
解析：设现在的成本为x元，则有x(1－q%)3＝a.
∴x＝
a 1−q%
3.故选C.
4．李明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，那么10年 后共得本息和为__6_._2_46___万元．(精确到0.001)
解析：10年后的本息：a10＝5×(1＋0.022 5)10≈6.246(万元)．
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2
A6 A4 1 0.008 x [[[[ 5000 1 0.008 1.008 x 1.008 x x
6 4 2
由题意年底还清,所以 A12 0 解得:
x
5000 1.008
2 4
12 10
1 1.008 1.008 1.008
顾 说 客 在 明 从 ： 表 中 1选 择 ： 选 分 择 期 付 付 款 款 方 中 案 规 时 定 ， 每 需 期 要 所 知 付 道 款 几 额 相 种 同 方 。 案 中
探究：采用方案 2，每期应付款多少，总共应付款多少。
（法一）：各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的 利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利 息之和。
2 每 ： 期 每 应 月 付 利 款 息 多 按 少 复 ， 利 总 计 共 算 应 方案 分几次 每期所 付 款 与一次性 ， 付款方法 例如：月利率为 0.8%，款额 a元 付 类别 付清 付款额 总额 付款差额 是 款 指 购买后 4 个月第 1 次付款，再 过 1 个月就增值为 多 上 1 3次 过 4 个月第 2 次付款，再过 4 少 月 个月第 3 次付款。 a(1+0.008)=1.008a（元） 利 ， 息 购买后 2 个月第 1 次付款，再 这 要 2 再过1个月又增值为：（经过2个月） 6次 样 过 2 个月第 2 次付款，……购 计 才 买后 12 个月第 6 次付款。 2a（元） 入 便 购买后 1 1.008a(1+0.008)=1.008 个月第 1 次付款，过 下 于 3 12 次 1 个月第 2 次付款，……购买 月 比 …… 本 后 12 个月第 12 次付款。 较 na（元） 金 经过n个月就增值为: 1.008 注 规定月利率为 0.8%，每月利息按复利计算。 。 。
我的同学小华与我一样是 高一学生，由于学习需要，今 年春节，他准备花钱买一台 5000元左右的电脑，但他希望 不要向父母借钱，想自己独立 购买。并采用分期付款方式在 一年内将款全部付清，向我征 求意见。据了解，苏宁电器允 许采用分期付款方式进行购物， 在一年内将款全部付清，该店 提供了如下几种付款方案，以 供选择。
2 4 10
12
根据等比数列求和公式,得
5000 1.00812 x 11 1 算得 x880.8 元
12
x
50001.008 1.008 1
12 2
880.8
即每次所付款额为880.8元，因此6次所付款额共为:
[[ 880.8(元)
答:小华每次付款的金额为880.8元.
将所得结果填入表中，并探究方案 1和方案 3。
方案 类别 1 分几次 付清 付款方法 每期所 付 款 与一次性 付款额 总额 付款差额
2
3 注
购买后 4 个月第 1 次付款，再 3 次 过 4 个月第 2 次付款，再过 4 1775.8 5327 元 元 个月第 3 次付款。 购买后 2 个月第 1 次付款，再 6 次 过 2 个月第 2 次付款，……购 880.8 5285 元 元 买后 12 个月第 6 次付款。 购买后 1 个月第 1 次付款， 1 过 12 次 个月第 2 次付款，……购买后 438.6 5263 元 元 12 个月第 12 次付款。 规定月利率为 0.8%，每月利息按复利计算。
第二步： 货款全部付清时，各期所付款额的增值情
况如何？ （假定每期付款 x元） 第 6 期付款 x元后，款已全部还清，故这一期所付款没有 利息; 第 5 期付款 x元后，此款只有 2个月的利息, 到款全部付清 时连同利息之和为：1.008x(1+0.008) =1.0082x（元） 类似可以推得,笫 4. 3. 2. 1 期所付的款额到货款全部 付清时的本息和依次为:
880.86=5 285 （元） 它比一次性付款多付285元。
（法二：考虑小华每次还款后,还欠商场的金额）
设小华每期还款x元,第k个月末还款后的本利欠款数为Ak元, 则 2
A2 5000 1 0.008 x 2 A4 A2 1 0.008 x
4
2
[[[[ 5000 1 0.008 1.008 x x
第一步： 在商品购买后 1年货款全部付清时，其商品 售价增值到了多少？
由于月利率为0.008，在购买商品后1个月，
该商品售价增值为： 5000(1+0.008)=50001.008 （元） 又利息按复利计算，在商品购买后2个月，
商品售价增值为： 50001.008(1+1.008)=50001.0082（元） …… 于是，在商品购买后12个月（即货款全部付清时）， 商品售价增值为： 50001.00811(1+1.008)=50001.00812（元）
1.0084x 元 1.0086x 元
1.0088x 元
1.00810x 元
所以，6期总共所付的款额的本息之和为： x+1.0082x+ 1.0084x+ + 1.00810x
即：x(1+1.0082+ 1.0084+ + 1.00810)
于是：(1 1.008 1.008 1.008 ) 5000 1.008 x