硕士研究生高等流体力学考题及答案

重庆大学动力工程学院2008年级硕士研究生1班
《高等流体力学》考题答案
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1. （10分）试证明：
()()()0a b c b c a c a b ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 解：原式
[]0
)
()()()
(m in =-+-+--=---=++=jk in jn ik ij kn in kj ki jn kn ji k j i mkn ijm mjn kim jkm k j i kmn
ijm j i k jmn kim i k j imn jkm k j i c b a c b a b a c a c b c b a δδδδδδδδδδδδεεεεεεεεεεεε
2. （20分）流体在弯曲的变截面细管中流动，设A 为细管的横截面积，在A 截面上流动参数均匀分布，试证明对该细管连续方程可写为：
0)(=∂∂+∂∂Au s t A ρρ 式中u 是沿管轴线的速度，δs 是沿流动方向的微元弧长。

证明：取ds 长的细管如图，取两端面A 1 、A 2 及侧面∑所围之体积为控制体。

引用积分形式的连续方程
⎰⎰=⋅+∂∂A ndA u d t 0ρτρτ
对于上述控制体有
τρτd t ⎰∂∂≈Ads t ∂∂ρ
⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅∑A A A ndA u ndA u ndA u ndA u 12
ρρρρ =ds s
Au Au Au ∂∂≈-)()()(12ρρρ 代入连续方程得
3. （25分）试利用边界层简化方法将不可压缩平壁边界层的耗散函数ij ij s s μ2=Φ简化为
2
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=Φy u μ 其中，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=i j j i ij x u x u s 21
解：在不可压缩平壁边界层流动中不为零的应变率张量分量是
x
u s ∂∂=11，)(212112x v y u s s ∂∂+∂∂==，y v s ∂∂=22 由于U u ~，L x ~，δ~y ，
y v x u ∂∂∂∂~ ⇒ δv L U ~ ⇒ L U v δ~，于是应变率张量各分量的量级可估计如下，
L
U L U x u δδ=∂∂~ δ
U y u ~∂∂ 2)(~L
U L L U x v δδδ=∂∂ L
U y v δδ~∂∂ 显然y u ∂∂量级最大，其余各量中的最大者与y u ∂∂的比值为L δ，均可忽略，于是
222)(])(41)(41[22y
u y u y u s s ij ij ∂∂=∂∂+∂∂==Φμμμ
4. （25分）设某边界层外边界的势流速度分布为3/1kx U =，设)(23ηνψf x k m =，3/132x y k νη=
，试证明边界层方程可转换为常微分方程：
02
1)(212''"'=+-+f ff f 证明：由于3
1kx U =有3231-=kx dx dU ，312
3-=x k dx dU U ，则边界层方程 22y
u dx dU U y u v x u u ∂∂+=∂∂+∂∂ν 可改写为
333122223y
x k y x y x y ∂∂+=∂∂∂∂-∂∂∂∂∂-ψνψψψψ 由3132x y k νη=，)(23ηνψf x k m =可得 )3
(23'1mf f x k x m +-=∂∂-ηνψ '31f kx y
m -=∂∂ψ )])3
1(31[('''342f m f kx y x m -+-=∂∂∂-ηψ ''322232f x k k y m -=∂∂ν
ψ '''12
3332f x k y
m -=∂∂νψ 将以上各式代入边界层方程并加以整理，得
f f x mk f f x k f x k m f f x k m m m m ''3522'''3522
2'3522'''35223
)()31(31ηηη-----+-+- ='''1212
3
23f x k x k m --+ 上式左侧第一项和第三项相互抵消，2k 也可以从整个方程中约去，则微分方程简化为
03
1)()31(3212'352'''352'''1=+-++----x f x m f f mx f x m m m 为了得到相似解，x 变量不应在方程中出现，即x 的指数必须为零，
313521-=-
=-m m ⇒ 3
2=m 将其代入微分方程即得，
021)(212''''''=+-+f ff f
5. （20分）试根据不可压缩流动的N-S 方程，导出其紊流流动下的时均流动的雷诺方程。