天津市大学物理竞赛试题答案及评分标准
2011年天津市大学生物理竞赛试卷解析
������������ −
������������
=
273 116
+ −
21 21
=
3.09
单位时间需往外抽送的热量为单位时间通过墙壁传入室内的热量，即
������������ = 0.2 × (116 − 21) = 19 kW
因此卡诺热机的功率（即单位时间所做的功）为
������
=
������������ ������
（2）以电流表读数������、内阻������������、伏特表读数������、内阻������������这四个作为已知条件，写出内接法和
外接法测量电阻值������′与实际电阻������的绝对误差、相对误差的数学表达式；（3）当待测电阻������较
大或较小时，分别采用哪种电路图（内接法和外接法）更合适。
ℎ
������ℎ
������������������������������ = ������ 2π → ������ = ������������������ = 2π������������
������
=
ℎ ������
=
2���������� ������
即，第������圆轨道的周长是该轨道上运动电子的德布罗意波波长������的������倍。
d(������0
+
������)
=
������0+������
∫
������0
(������
−
2������0
+
������02 ������
)
d������
=
1 2
[(������0
天津市大学生物理竞赛(B类)培训习题-力学部分
质量，其质量的增长率正比于它的瞬时质量和瞬
时速度的乘积： dm kmv
dt
式中为常量。试证明雨滴的速率实际上最后成为
常量，并给出终极速率的表达式。忽略空气的阻
力。
解：由变质量的运动方程：
(m dm)(v dv) mv mgdt
dm dv v m mg dt dt dm km v dt dv 2 km v m m g dt dv g kv2 dt
• (4)列方程，求解。
16
• 第三类是功能关系式的应用具体的解题步骤为：
• (1)选择所研究的质点系。 • (2)确定所研究的过程以及过程的始末状态。
• (3) 根据过程中外力的功和非保守内力的功代数和所服从的 条件确定所用的功能关系式。
• (4)列方程，求解。
• 第四类是角动量分量守恒定律的应用具体的求解方法是： (1) 、（2）同上。
6、刚体的转动惯量 7、刚体的角动量
J mk rk2
J r 2 dm
10
L r p r mv Lz J
8、力矩的功 9、功率
dW Md
W Md
1
2
dW d p M M dt dt
11
二、基本规律 basic law
8
9、质心（质量中心）：在研究质点系统问题中，与质点系统
质量分布有关的一个代表点，它的位置在平均意义上代表着 质量分布中心。 xC mi xi / M mr M r
dri mi m v drC dt i i vC 质心的速度： dt M M dvi m i mi ai dvC dt 质心的加速度： aC dt M M
2015大学物理竞赛答案详解
2015年“拓普杯”天津市大学生物理竞赛参考答案及评分标准一、解：卫星轨道长轴：公里875523846371r 1=+= 短轴：公里68104396371r 1=+= 其椭圆面积：21r r S π=由开普勒第二定律可知，卫星单位时间扫过的面积为：mL dt dS 2=上式中，L 为卫星轨道角动量，而卫星运动周期T ：Lr mr m L r r dt dS S T 212122//ππ===由角动量守恒得，远、近地点角动量有2211r mv r mv L ==代入上式求远地点和近地点的速度分别为：公里36.660112681014.32221=⨯⨯⨯==T r v π 公里8.1860112875514.32212=⨯⨯⨯==T r v π 二解：设氢气质量为m1气球的容积为V ，球囊德质量为m2。
气球的总重量：g 6m g m g m 121== 气球的浮力：g m ρρρρρf 1121122g m Vg === 2分 由气球状态方程：RT M MpV mol=2分 求得密度：RTpM V M ρmol == 2分氢气密度： RTM p ρmol 111=空气密度：RTM p ρmol 222=由于氢气压力为大气压力的1.8倍，即21 1.8P p =，29M 2,M 2mol 1mol ==，可得 068P P 112221.M M ρρmol mol==代入求浮力：g m .g m ρρf 1112068==依牛顿第二定律：a m g m f 2166=-三、解：（1）最终温度为 221T T + 3分（2）移去热源时，棒内温度分布 x LT T )x (121T T -+= 2分x 到x+dx 段温度改变dT ，熵变TdT Adx ρC dS ⋅=⋅==T dT Cdm T dQ⎰⎰+=2021T T )x (T LTdT Adx ρC 1 2 3分又由于x L T T )x (121T T -+=，微分：dx LT T )x (12dT -=)x (dT T 12T 2dx -=代入上式： )x (dT T )x (T T T lnALρC S L12021T 22-⋅+=⎰dT TT T lnT AL ρC TT⋅+-=⎰2T 2112 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰⎰dT T ln dT T T ln T AL ρC T T T T 2T 2112()2111143316606866s /m .m gm g m .m g m f a =-=-=∴()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--=212T T 211212T T T T ln T T T ln T T AL ρC()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+--=1211222112122T T T T T ln T T ln T T T ln T T AL ρC⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=1211221222T 2T T 11T T T ln T T T ln T AL ρC 2分四、解：设柱形电容器充电后带电量为q ，单位长度带电量Lqλ=。
2013天津市大学生物理竞赛答案
2013年天津市大学物理竞赛答案一、解：已知R=3m ，s m v s m a m R t /0,/3,302===，质点做圆周运动（1）由dtdva t = （1分）得)/(33030s m t dt dt a v v t t =+=+=⎰⎰ （1而)/(33)3(2222s m t t R v a n === （1分） 质点做圆周运动，当其总加速度a 恰好与半径成45n t a a =即233t = （2分） 得s t 1= （负值舍去） （1分） 或者 2/1s rad R a =⇒=ββτ （2分） 22/1s r a d R a n =⇒=ωω （1分） n t a a = （2分） s t 1==βω（1分） （2）在1s 内，质点所经过的路程为：221t a tdt a vdt S t ttt ===⎰⎰（1分） m S 5.11321=⨯⨯=（1分） 在1s 内，质点所经过的角位移为：R SR S =⨯=∆ππθ22 （1分） rad 5.035.1==∆θ （1分） 或者222121t Ra t t ==∆βθ （1分） rad 5.013321=⨯⨯=∆θ （1分） a二、解：设球体积为V ，空气压强P 0RT MPV P P H μ==08.12（或nkT P =） （2分）000222M P M P V RTM P H H H μμμ=⇒= 222226.3292928.18.1000000H H H H M M M M M P M P =⇒=⨯⇒=μμ （3分） a M a M M g M M F F H H H 2226)()(=+=+-=球球浮合 （2分） g M gV F 00==ρ浮 （2分）g a 34.0= （1分）三、 解：设电容器内球带电量为Q ，外球带电量为-Q由高斯定理可知204rQ E r επε=（2分）⎰-=⋅=210124)(R R r RR R Q r d E V επε（2分）122104R R R R V Q C r -==επε（1分）代入数据r rrC C επεεπεεπε02001086.03.001.0015.0015.001.05.24==-⨯⨯= （2分）两个电介质串联，总电容为rC C C C C επε02121067.0=+=（1分）20max max 4rQ E r επε=20max max 4r E Q r επε=（2分）V E C Q V rr 5020max max max107.2067.0015.04⨯===επεεπε（2分）四、 解：（1）村庄a费马原理：光从空间的一点到另一点是沿着光程为极值的路径传播的 （2分）如图所示，假想有一束光从a 点出发，经椭圆上某点c 反射到达b 点，则光线的实际路径acb 取的即为极小值。
11年第二届拓普杯天津市普通高等院校《大学物理》竞赛
2011年第二届拓普杯天津市普通高等院校《大学物理》竞赛试题一、如图是长为L 质量为m 的均质细杆处于水平静止状态。
它的一端在光滑的轴上，细杆可绕轴自由转动，另一端用轻绳（不计质量）悬挂于天花板，轻绳垂直于水平面。
问：（1）在剪断轻绳这一瞬间，细杆质心加速度a 、细杆绕其质心转动角加速度β、轴的支撑力N 各是多少？（2）当细杆转动到竖直位置转动角速度ω、质心速度v ？ 解法：（1）设轴的支撑力为N ，则： 平动方程：ma N mg =- （1） 1分转动方程：βI Lmg =2（2） 1分 由231mL I=， β2L a = 代入（2）得 1分 g a43= 1分代入（1）式得： mg ma mg N41=-=细杆绕轴转动的角加速度：L g a 232==β 1分 刚体的运动可看作：质心的平动和绕质心的转动的复合运动。
细杆转动平动如图所示，故绕质心的转动角加速度 Lg 23=='ββ 1分 (2) 竖直位角速度为ω，由机械守恒2223121212ωω⎪⎭⎫ ⎝⎛==mL I L mgL g 3=ω 3分 质心速度： gL L v c3212==ω 1分 解法2L g dt d 23==ωβ θωωθθωωβd d dt d d d dt d L g =⋅===23 2分⎰⎰=ωπωωθ02023d d L g L g 3=ω 1分 质心速度： gL L v c3212==ω 1分二、如图所示，高为a 、底半径为b 的非绝热正圆锥容器，内装一种化学纯气体。
容器置于气压为P 0温度为T 0的大气中。
开始时，锥顶开口与大气相通，内部气体压强为P 0，但温度分布为T = T 0 + x ，此时将开口闭合，最终达到平衡时容器内气压P 是多少？ 解：利用初始条件求容器内气体总分子数N 由理想气体压强公式：0P nkT =（2分） （若写成PV C T =或00PV PV T T =也给2分） 分子数密度：000()()P P n x kT k T x ==+ （2分） x —x+dx 内的分子数为：2200()()P b dN n x y dx x dx k T x a ππ⎛⎫== ⎪+⎝⎭（2分）积分求总分子数：2000()aP b N x dx k T x a π⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰22000200aP b T x T dx ka T x π⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎰ 222000020ln 2P b T a a aT T ka T π⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭（2分） 将开口闭合，最终达到平衡时，温度与大气相同为T 0，压强为P ，而分子数密度均匀。
2013年天津市大学生物理竞赛试题
解：（1）
c
i
i
法线
村庄b
村庄a 湖
费马原理：光从空间的一点到另一点是沿着光程为极值的 路径传播的 （2分） 如图所示，假想有一束光从a点出发，经椭圆上某点c反射到 达b点，则光线的实际路径acb取的即为极小值。由反射定 律，ac与c点法线的夹角i等于bc与法线的夹角i’，若以反射 点c作为发电站位置则输电线acb最短。 （3分）
p0Vm R 8.31J /(mol.K ) pV M RT RT T0 m
• 阿伏伽德罗定律: – 在气体压强趋于0的情况下,相同温度和相同 压强的1mol任何气体的体积都是一样的, – 在标准状态(T0=273.15K,p0=1atm)下, 1mol气 体Vm=22.414升 – 质量为M.摩尔质量为m,则摩尔数为M/m.在任 何温度T,压强p,体积V下,有:
科里奥利力（Coriolis force）有些地方也称作哥 里奥利力，简称为科氏力，是对旋转体系中进行直 线运动的质点由于惯性相对于旋转体系产生的直线 运动的偏移的一种描述。科里奥利力来自于物体运 动所具有的惯性。
旋转体系中质点的直线运动科里奥利力是以牛顿 力学为基础的。1835年，法国气象学家科里奥利 提出，为了描述旋转体系的运动，需要在运动方 程中引入一个假想的力，这就是科里奥利力。引 入科里奥利力之后，人们可以像处理惯性系中的 运动方程一样简单地处理旋转体系中的运动方程， 大大简化了旋系的处理方式。由于人类生活的地 球本身就是一个巨大的旋转体系，因而科里奥利 力很快在流体运动领域取得了成功的应用。 2016/4/4
大学生物理知识拓展
刘淑静
liushujing@ 生物医科工程学院1 楼 物理教研室 1、分析历届大学生物理竞赛试题 2、分析得分点，讲解在竞赛中如何最有效的发挥 自己的实力 3、按力学、热学、电磁学、光学、振动和波动、 相对论、量子力学顺序对知识重点进行归纳复习 4、讲解每一部分的典型例题 5、 最后一节课随堂测试（6道大题）
2012年天津市大学生物理竞赛试卷解析
（������ = ������������,������⁄������������,������，������为位移）；（3）推导振动周期������ = 2π√������������⁄(������������������2)；（4）写出如何用计 时器测算小球振动周期值；（5）将（4）代入（3）写出气体热容比������的表达式。 解：（1）示意图形如下
∆������ = ������(5) − ������(0) = 7 − 12 = −5 m
已知 B 球的瞬时速度为������������ = ������̇ = 4 − 2������，可知当������∗ = 2 s时，B 球开始转向运动。故路程为 ∆������ = |������(5) − ������(2)| + |������(0) − ������(2)| = 9 + 4 = 13 m
为大于 0 的系数）。求：（1）电荷分布区域内电场强度������的大小和方向；（2）两平面之间的
电势差。
解：（1）无限大平面电荷产生的电场为
������ ������ = 2������0
故位于������处的场强为
������
=
������
∫
0
������������������������ 2������0
当圆柱 A 和 B（C）分离时，圆柱 B（C）的速度达到极大值，故
0
=
d(���������2���) d(sin ������)
=
4������������(√3
大学物理竞赛题库 答案
一、二、三、四、五、六、答案： 5cm ；0.19π七、解：准静态过程T Q S /d d =，等温过程T V p T Q S /d /d d ==由RT pV =得V RT p /=，代入上式得V V R S /d d =21ln/d 2/11R V V R S V V ==∆⎰ 76.5-= J/K八、解: 由卡诺循环效率可得热机放出的热量1312T T Q Q = 卡诺热机输出的功1131)1(Q T TQ W -==η，由热力学第一定律可得致冷机向暖气系统放出的热量W Q Q +'='21卡诺致冷机是逆向的卡诺循环,同样有3212T TQ Q '='，由此解得 )1(1323132331T T T T Q T T T WT Q --=-='暖气系统总共所得热量112332112)()(Q T T T T T T Q Q Q --='+= 71027.6⨯= J九、解：(1) 设电荷的平均体密度为ρ，取圆柱形高斯面如图(1)(侧面垂直底面，底面∆S 平行地面)上下底面处的场强分别为E 1和E 2，则通过高斯面的电场强度通量为：⎰⎰E ²S d ＝E 2∆S -E 1∆S ＝(E 2-E 1) ∆S 高斯面S 包围的电荷为∑q i ＝h ∆S ρ ，由高斯定理(E 2－E 1) ∆S ＝h ∆S ρ /ε 0 可得() E E h1201-=ερ＝4.43³10-13 C/m 3(2) 设地面面电荷密度为σ．由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于地面，取高斯面如图(2) 由高斯定理⎰⎰E ²S d =∑i1qε可得-E ∆S =S ∆σε01σ =－ε 0 E ＝－8.9³10-10 C/m 3十、解：设圆柱形电容器单位长度上带有电荷为λ，则电容器两极板之间的场强分布为)2/(r E ελπ=设电容器内外两极板半径分别为r 0，R ，则极板间电压为⎰⎰⋅π==R rRr r r r E U d 2d ελ 0ln 2r Rελπ=电介质中场强最大处在内柱面上，当这里场强达到E 0时电容器击穿，这时应有002E r ελπ=00lnr R E r U = 适当选择r 0的值，可使U 有极大值，即令0)/ln(/d d 0000=-=E r R E r U ，得e R r /0=显然有22d d r U < 0，故当e R r /0=时电容器可承受最高的电压e RE U /0max = = 147 kV十一、 解：如答图，设在C 区域中的任一点A 到两圆心的距离分别为r 1、r 2，r 1、r 2与两圆心连线的夹角分别为θ 1、θ2．假定C 中也流有与导线中的电流密度相同的一正一反正好抵消的电流，并令导线中的电流密度为J ，则两导线在A 点分别产生的磁感强度为：101210122r Jr r J B μμ=ππ= 202220222r Jr r J B μμ=ππ=总磁感强度21B B B+=。
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20XX 年“拓普杯”天津市大学生物理竞赛参考答案及评分标准一、请写出国际单位制中七个基本物理量单位的名称和量纲。
答：长度（m ）2分 质量（kg ）2分 时间（s ）2分 电流（A ）1分 热力学温度（K ）1分 发光强度（cd ）1分 物质的量（mol ）1分二、一列静止长度为600米的超快速火车通过一个封闭式的火车站，据站长讲车站全长为450米，火车通过时正好装进车站，即站长观察到火车后端刚好在进口处的同时其前端刚好在出口处。
求: （1）火车的速率是多少？ (2) 对火车上的乘务员来说，他观测到的车站长度是多少？解：（1）2021V L L C=- 4分220714L V C L =-=2分（2）221V L L C'=- 2分337.5m = 2分三、航天英雄乘坐的神州六号舱容积为9.0立方米，在标准状态下，求：（1）舱内空气的质量是多少？（2）舱内氮气的分压是多少？（3）在正常照度下，人眼瞳孔直径为 3.0mm ，在可见光中眼最敏感的波长λ=550nm 。
若晴好白天飞船位于长城正上方350公里处，设长城宽度5.0米，航天英雄能直接看清长城吗？（按质量百分比计，氮气76﹪，氧气23﹪，氩气1﹪，其它气体可略，它们的分子量分别为28， 32， 40）解：标准状态，气化P 0=1atm,气温为0 0c ，空气平均mol 质量3109.28-⨯=μ千克/摩尔。
1. 内质量： 330V 910M 28.91011.6V 22.4μ-⨯=∙=⨯⨯=（千克） 3分2. 由气体状态方程可得：RT MV μ=0P 2分RT M V P 222NN N μ=1分0.78442828.90.76MM P P 222N N 0N =⨯=∙=∴μμ()atm 0.78440.7844P P 0N 2==∴ 1分 3. 依瑞利判据知人眼的最小分辨角为51.222.210radDϕλδ-==⨯ 2分可分辨最小间距：77102.23500005y =⨯⨯=∙=-ϕδδL (米) 1分 看不到长城！四、将质量相同、温度分别为T 1、T 2 的两杯水在等压下绝热地混合，试问：（1）此系统达到最后状态，计算此过程的熵变。
（2）分析判断熵是增加、减少、还是未变？要有推算过程并对结论说明理由。
（设水的摩尔等压热容量为C p ，每杯水的量为ν摩尔） 解：（1）两杯水在等压下绝热的混合，可视为不可逆过程，为了求出两杯水的熵变，可以设想这样一个可逆过程，令两杯水经可逆等压过程，温度分别为T 1和T 2变为2T 21+T .设摩尔等压热容量为P C ，每杯水为νmol 。
p p dQ C ndT=则:p p dQ C dT ν= （3分） 总的熵变应等于两杯水熵变之和：对第一杯水熵变：121211T 221211S ln2T T T P P T T C dTT T dQC TTT νν+++∆===⎰⎰ （1分） 对第二杯水熵变：121222T 221222ln2T T T P P T T C dTT T dQS C TTT νν+++∆===⎰⎰（1分） 总熵变为：()212121212P 1212S S C ln ln ln 224P T T T T T T S C T T TT νν+⎛⎫++∆=∆+∆=+= ⎪⎝⎭（1分） （2）.由：22121212T 2S ln 4P T TT C TT ν++∆=212221212T ,T T T T T >+∴≠2212121212P 1212T 222S ln C ln 044P T TT TT TT C TT TT νν+++∴∆=>= （2分）即0>∆S 。
此过程熵增加。
（2分）水在等压绝热的混合过程，系统变化时自发宏观过程，总是向熵增加的方向进行。
五、在两正交偏振片M 、N 之间，放置一厚度为0.5mm 的石英晶片（n e 主 =1.5534，n o =1.5443），其光轴Z 与M 、N 之间夹角均为450，垂直入射到M 的自然光的波长为0.5μm ，设所有元件对光没有散射和吸收，问：(1) 在偏振片N 后能看见多少条等厚干涉条纹？(2) 如果所放置的石英晶片为如图所示的劈尖形状（其劈背厚度a=0.5mm ，光轴不变），则在偏振片N 后A 处（对应于劈尖最顶端处）观测到的光强度为多少？解：.M 的投射光为线偏光，设光强为m I ，它振动的方向与晶轴夹角45。
，故晶体出射光强：m m e I I I 2145cos 2==。
m m o I I I 2145sin 2==。
此时o ，e 光（在劈背）光程差： 2()o e dn n πδλ=-主o ，e 光出射后的光强： m e eN I I I 4145cos 2==。
m o oNI I I 4145cos 2==。
eN I 与oN I 又有附加光程π，在N 后看劈背出来eN I ，oN I 的相位差：（2k+1）π （k=0，1，2，3….） 暗纹2()o e dn n πδπλ=-+=主 （5分）2k π （k=0，1，2，3….） 明纹若是明纹：3610.5101()(1.5534 1.5443)9.620.5102e o dk n n ξλ--⨯=-+=-+=⨯（2分） 可看到10条条纹（2）在劈尖的最顶端A 处，其d=0mm 则：δπ= 为暗纹（2分） 则其光强0I =（1分）图 1→|a |← NMA六、空气折射率n约为1.0003。
用下列给定装置：一台迈克尔逊干涉仪；扩展钠光灯面光源（平均波长为λ）；两个完全相同的长度为L的玻璃管，侧面带有阀门都是打开的，其内为一个大气压的空气；一台高精度真空泵及真空管、阀等配件；若干个可升降光学支架。
设计一个可行方案，要求：（1）画出实验设计光路图；（2）简略写出主要操作步骤；（3）推算出空气折射率n的数学表达式。
解：实验设计图 (3)七、在光滑水平桌面上，有一长为L质量为m的匀质金属棒，绕一端在桌面上旋转，棒的另一端在半径为L的光滑金属圆环上滑动，接触良好。
旋转中心的一端与圆环之间连接一电阻R（不影响棒转动），若在垂直桌面加一均匀磁场B，当t=0，起始角θ=0处，金属棒获得初角速度为ω0。
求：（1）任意时刻t 金属棒的角速度ω ；（2）金属棒停下来时转过的角度θ=？（其它电阻、摩擦力不计）。
解：（1）某时刻大，棒的角速度为ω，此时，棒切割磁力线获得电动势：21B L2εω=，棒中电流：2B LIR2Rεω==2分棒中（r-r+dr）所受安培力为：：dF IBdr=，dr所受的磁力矩：Md IBrdr=；合力矩：24200124L L B LM dM IBrdr IBLRω====⎰⎰2分2241)31(0)43dM J J mLdtB L d dmLR dt dtωωωω===-<由力学转动方程：（转动惯量022222203B 40B 4B 4.........................................2t L t Rmd L dtRmd L dtRmeωωωωωωωω-∴=-=-∴=⎰⎰分量变量：积分:分223B 400222........................2dt4.........................................23L t Rmd d dt dtd eRm B Lθθωθωθωωθ-∞=⇒==∴=⎰⎰（）分分八、粒子在无限深方势阱 [-a/2，a/2] 内作一维运动的波函数为ax n A n πψcos=（n=1,2,3,……）。
求：(1) 归一化常数A ；(2) 粒子的零点能；(3) 第一激发态，粒子在 [a/8，a/2] 间出现的几率； (4) 粒子运动的坐标不确定度()22x xx -=∆（x 为位移平均值，2x为位移平方的平均值），由不确定关系，估算在基态时相应的动量不确定度p ∆不小于多少？ 解：（1）由归一化条件：/22/21a n a dx ψ-=⎰1分得 /2/22222/2/221coscos 122a a a a n xn a a A xdx A dx A aππ--+==∙=⎰⎰ 2/A a ∴= 1分所以，归一化的波函数为：()2/cos1,2,3n n a x n aπψ==（2）零点能即基态能，这是1n =可由111ˆH E ψψ= 1分 即222211122(2/cos )22a x E m x a m aππψψ∂-==∂ 22212228h E m a ma π∴== 1分（3）第二激发态2n = 波函数为222/cosa x aπψ= 0.5分 2228a a dx ρψ∴=⎰ 1分 228231(2/cos)0.29684a a a x dx a ππ==-≈⎰ 0.5分 （4）基态下：/2/2221/2/2(2/cos)0a a a a x x dx x a x dx aπψ--===⎰⎰1分22/2/22222212/2/22cos 122a a a a a a x x dx x xdx a a πψπ--===-⎰⎰ 1分222211()122x x x x a π∴∆=-==- 由不确定关系：2x p ∆∙∆≥2226(6)p a ππ∴∆≥- p ∆不小于2226(6)a ππ- 1分九、有一不带自由电荷铁电体（去掉外电场仍然保持极化状态的电介质）长圆筒，其长度为L ，内外半径为a 、b ，极化强度矢量p=k r/r 2 (k 为常数，介质内部无极化电荷)，相对介电常数为εr 、相对磁导率为μr ，求：（1）圆筒内外的电场强度E 、电位移矢量D 分布；（2）若圆筒绕其中心轴以匀角速ω转动，圆筒内外的磁场强度H 、磁感应强度B 分布。
解：极化体电荷密度：'111()()0kD p r p r r r r r rρ∂∂=-∙=∙=∙=∂∂ 1分 极化面电荷：'a r ar ar akkp n p r raσ====∙=-∙=-=- 0.5分'b kbσ=0.5分 圆筒表面单位长度的极化电荷： ''212a a a k λπσπ=⨯⨯=- 1分''212b b b k λπσπ=⨯⨯= 0.5分由高斯定理求极化电荷产生附加场'E 分布：000()''()20()a r a k E a rb rr r b λπεε⎧<⎪⎪==-<<⎨⎪⎪>⎩ 1分 由于00E =，故0''E E E E =+=，故介质内外电场分布：00()'()0()r a kE E a r b r r b ε⎧<⎪⎪==-<<⎨⎪⎪>⎩ 0.5分 由0D E P ε=+，求D 分布，介质外0E =，0P =，故：000()()0()0()r a k k D a r b r r r b εε⎧<⎪⎪=-+=<<⎨⎪⎪>⎩ 1分 筒旋转，内外表面异号极化电荷形成流向相反的载流长直螺线管，单位长度圆筒面荷','a b λλ旋转形成电流密度：'222a a j k k ωωλπωππ=⋅=-⨯=- 1分 '222b b j k k ωωλπωππ=⋅=⨯= 1分 螺线管内部，H nI j ==，外部为0，磁场叠加：0,(),()0,()r a H k a r b r b ω<⎧⎪=<<⎨⎪>⎩1分由0B H μμ=，求得B 的分布：00,(),()0,()r r a B k a r b r b μμω<⎧⎪=<<⎨⎪>⎩1分十、质量为m 的质点A ，在一个光滑且足够大的水平桌面上运动，质点A 系一轻绳子，绳子穿过桌面上一光滑小孔O ， 另一端挂一质量也为m 的质点B 。