江苏省高等数学竞赛题(本科一级)
2008年江苏省高等数学竞赛题(本科一级)
一.填空题(每题5分,共40分)
1.a =,b =时,2lim arctan 2
x ax x x bx x p +=--2. a =,b =时()ln(1)1x
f x ax bx =-++在0x ?时关
于x 的无穷小的阶数最高。
3.2420
sin cos x xdx p =ò4.通过点()1,1,1-与直线,2,2x t y z t ===+的平面方程为
5.设222,x
z x y =-则(2,1)n n z
y ??=
6.设D 为,0,1y x x y ===围成区域,则
arctan D ydxdy=蝌7.设G 为222(0)x y x y +=?上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧,则
()()x x ye x dx e xy dy G ++-ò=
8.幂级数1
n n nx ¥
=?的和函数为,收敛域为。二.(8分)设数列{}n x 为1223,33,,33(1,2,)n n x x x x n +==-=-+=L L 证明:数列{}n x 收敛,并求其极限
三.(8分)设()f x 在[],a b 上具有连续的导数,求证
/
1
max ()()()b b a x b a a f x f x dx f x dx b a #?-蝌四.(8分)1)证明曲面:(cos )cos ,sin ,(cos )sin x b a y a z b a q j q q j S =+==+()02,02q p j p ##()0a b <<为旋转曲面
2)求旋转曲面S 所围成立体的体积
五.(10分)函数(,)u x y 具有连续的二阶偏导数,算子
A 定义为
(),u u A u x y x y
抖=+抖1)求(())A u A u -;2)利用结论1)以,y x y x
x h ==-为新的自变量改变方程22
2222220u u u
x xy y x x y y 抖?++=抖抖的形式
六.(8分)求2
6001lim sin()t t
x t dx xy dy
t +?蝌七.(9分)设222:1(0)x y z z S ++=?的外侧,连续函数
222(,)2()()()((,)2)z z z f x y x y x z e dydz y z e dzdx zf x y e dxdy S
=-+++++-
蝌求(,)
f x y 八.(9分)求2
3(3)
()(1)(13)x x f x x x -=--的关于x 的幂级数展开式