2015年安徽中考数学解三角形专题
2015届安徽中考数学总复习课件：第33讲 锐角三角函数和解直角三角形
要点梳理 5．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的 应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中 包括了一些概念，一定要根据题意明白其中的含义才 能正确解题． (1)铅垂线：重力线方向的直线；
要点梳理
(2)水平线：与铅垂线垂直的直线 ，一般情况下 ，地平面 上的两点确定的直线我们认为是水平线；
(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角；
(4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角；
(5)坡角：坡面与水平面的夹角；
要点梳理
(6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡 比)，一般情况下，我们用 h 表示坡的铅直高度，用 l 表 h 示坡的水平宽度，用 i 表示坡度，即 i＝ l ＝tanα，显然， 坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；
3． (2014· 毕节)如图是以△ABC 的边 AB 为直径的半圆 O， 点 C 恰好在半圆上， 过 C 作 CD⊥AB 交 AB 于 D.已知 cos 3 ∠ACD＝5，BC＝4，则 AC 的长为( D ) A．1 20 B. 3 C．3 16 D. 3
4．(2014· 丽水 )如图 ，河坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1∶ 3(坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比)，
sin(90°－?)＝__cosα__； cos(90°－?)＝__sinα__．
函数的增减性：(0°＜?＜90°)
(1)sinα，tanα的值都随 ?__增大而增大__；
(2)cosα随 ?__增大而减小__．
要点梳理
4．解直角三角形的概念、方法及应用： 解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素 ，求出所有未
三角函数值)转化为旧知识(求直角三角形的边长)，因
此不可避免地用到勾股定理．若原题没有图形，可以
安徽中考数学大题题型汇总之解直角三角形
安徽中考数学大题题型汇总之解直角三角形(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--安徽中考数学大题题型汇总之解直角三角形1．[2019年江苏省盐城市东台市第四联盟中考数学模拟试卷]从一幢建筑大楼的两个观察点A，B观察地面的花坛（点C），测得俯角分别为15°和60°，如图，直线AB与地面垂直，AB＝50米，试求出点B到点C的距离．（结果保留根号）2．[2019合肥市庐江县一模]如图是某款篮球架的示意图，支架AC与底座BC 所成的∠ACB＝65°，支架AB⊥BC，篮球支架HE∥BC，且篮板DF⊥HE于点E，已知底座BC＝1米，AH＝米，HF＝米，HE＝1米．（1）求∠FHE的度数；（2）已知该款篮球架符合国际篮联规定的篮板下沿D距地面米的规定，求DE的长度．（参考数据：sin65°≈，cos65°≈，tan65°≈，≈）3．[2019上海市徐汇区中考数学一模]如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA＝71°．（参考数据：sin71°≈，cos71°≈，tan71°≈）（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少（结果精确到1cm）4．（2019·安徽省安庆市一模）近年来，全民运动在加强，除了室外的篮球场，也出现了室内的篮球机，如图是篮球机的侧面图．已知BF∥B1F1，A1D⊥B 1F1，CB1⊥B1F1，EE1⊥B1F1，在E处测得点D的仰角为53°，在A处测得篮筐C的仰角为37°，BB1＝EE1＝80cm，B1E1＝203cm，A1D＝236cm，求篮框C距地面B1F1的高度．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）5．图1是无障碍通道，图2是其截面示意图，已知坡角∠BAC=30°，斜坡AB=4m，∠ACB=90°．现要对坡面进行改造，使改造后的坡角∠BDC=26．5°，需要把水平宽度AC增加多少m（结果精确到0．1）73，sin26．5°≈0．45，cos26．5°≈0．90，tan26．5°≈0．50）6．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）7．如图是小花在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA表示小花身1高米，当她从点A跑动B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离D．长度保持不变，求风筝原来的高度C18．如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°．图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直．（1）若屏幕上下宽BC=20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长；（2）若肩膀到水平地面的距离DG=100cm，上臂DE=30cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH=72cm．请判断此时β是否符合科学要求的100°？（参考数据：sin69°≈1415，cos21°≈1415，tan20°≈411，tan43°≈1415，所有结果精确到个位）9.如图所示，我国两艘海监船，在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船.此时，船在船的正南方向5海里处，船测得渔船在其南偏东方向，船测得渔船在其南偏东方向.已知船的航速为30海里/小时，船的航速为25海里/小时，问船至少要等待多长时间才能得到救援（ 参考数据：，，）10．数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE 在高55m 的小山EC 上，在A 处测得塑像底部E 的仰角为34°，再沿AC 方向前进21m 到达B 处，测得塑像顶部D 的仰角为60°，求炎帝塑像DE 的高度．（精确到1m ．参考数据：sin34°≈，cos34°=，tan3411．（2019•江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B –A –O 表示固定支架，AO 垂直水平桌面OE 于点O ，点B 为旋转点，BC 可转动，A B C B A A C 45︒B C 53︒A B C 4sin 535︒≈3cos535︒≈4tan 533︒≈ 1.41≈当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm．（结果精确到）．（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE．①填空：∠BAO=__________．②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．（参考数据：sin70°≈，cos20°≈，°≈，°≈）12．（2019•新疆）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处．（1）求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离（结果保留根号）；（2）若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，并说明理由．。
中考数学复习指导：双等腰直角三角形问题前解法分析
中考数学复习指导：双等腰直角三角形问题前解法分析双等腰直角三角形问题前解法分析一个等腰直角三角形绕另一等腰直角三角形旋转，形成以双等腰直角三角形为背景的数学问题，在近年各地中考试卷中大量出现.本文拟通过对不同类型的双等腰直角三角形问题的剖析，找到某些共性，以达到帮助大家提高解题题能力的目的.一、共直角顶点的两个等腰直角三角形例1.如图1,已知ACB ?和ECD ?都是等腰直角三角形，90,ACB ECD D ∠=∠=°为AB 边上一点.(1)求证: ACE BCD ;(2)求证: 2222CD AD DB =+.分析当两等腰直角三角形绕着公共的直角顶点进行旋转时，必会出现全等三角形，此题第(1)问运用“通性”直接证明全等.第(2)问借助第(1)问的结论，利用等腰直角三角形两锐角互余，以及勾股定理，证明等式成立.注意到等腰三角形中的两腰相等，则旋转使两腰重合往往是解题中常用的途径之一.例2.如图2，在四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AB CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连结,,,AG BG CG DG ，且AGD BGC ∠=∠.(1)求证: AD BC =;(2)求证: AGD EGF ??:;(3)如图3，若,AD BC 所在直线互相垂直，求AD EF的值.分析初看此题是一组对边相等的四边形问题，可仔细分析条件可以发现，DGC ?和AGB ?均为等腰三角形，当四边形ABCD 中AD BC ⊥时，两等腰三角形即变为等腰直角三角形，题中三个问题层次分明，逐级递进.第(1)问利用垂直平分线性质直接证全等;第(2)问利用顶用相等的两等腰三角形相似得到对应边成比例，再借用夹角相等证相似;第(3)问通过对四边形中相等的一组对边特殊化，形成两等腰直角三角形，把两条线段的比转化为等腰直角三角形中斜边与直角边的比.虽然通过中点，转化的方法较多(相似、中位线、中位倍长构全等)，但本质上均需要构造等腰直角三角形.二、共底角顶点的两个等腰直角三角形例3.如图4, ,A B 分别在射线,OM ON 上，且MON ∠为钝角，现以线段,OA OB 为斜边向MON ∠外侧作等腰直角三角形，分别是,OAP OBQ ??，点,,C D E 分别是,,OA OB AB 的中点.(1)求证: PCE EDQ ;(2)延长,PC QD 交于点R .①如图5，若150MON ∠=°，求证:ABR ?为等边三角形;②如图6，若ARB PEQ ??:，求MON ∠的大小和AB PQ的值.分析本题中两等腰直角三角形OAP ?与OBQ ?中的一底角顶点O 重合，通过OAP ?绕点O 旋转来设计相关问题.第(1)问利用三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线结合平行四边形性质证明全等(边角边).第(2)①问从对称的角度，通过添加辅助线(连结OC )过度，利用线段中垂线证线段相等;第(2)②问，需要对(2)①问逆向思考，通过证PE EQ ⊥这一中间环节，得出PEQ ?与ARB ?为等腰直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质与等腰直角三角形三边关系求出两线段的比值.值得注意的是，此题与例2图形相近，解法相近，考查的核心知识点相近.例4.已知两个共顶点的等腰三角形Rt ABC ?和Rt CEF ?,90ABC CEF ∠=∠=°，连结,AF M 是AF 的中点，连结,MB ME .(1)如图7，当CB 与CE 在同一直线上时，求证: //MB CF ;(2)如图7，若,2CB a CE a ==，求BM ,ME 的长;(3)如图8，当45BCE ∠=°时，求证: BM ME =.分析两个共底角顶点的双等腰直角三角形中，当两腰在一条直线上时，另两腰必平行.第(1)问利用这个性质结合M 点为中点直接证全等;(2)问在(1)问的基础上，证明BEM ?为等腰直角三角形;第(3)问研究在CEF ?绕点C 旋转45°时，BME ?的形状问题.图形形状发生了改变，但结论不变，方法不变，仍可借助中点构造等腰直角三角形，利用中位线性质进行转化证明.三、一直角顶点和一底角顶点重合的两个等腰直角三角形例5.如图9，在Rt ABC ?中，90,BAC AB AD ∠=°=，点D 是AC 的中点，将一块等腰直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与,A D 重合，连结,BE EC .试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想.分析等腰直角ADE ?的底角顶点A 与等腰直角ABD ?的直角顶点A 重合，借助BAE EDC 证明BEC ?为等腰直角三角形.相当于共直角顶点等腰三角形ADE ?与BEC ?旋转问题的逆问题.例6 如图10 , ABC ?和ACD ?是两个等腰直角三角形，90ACB ADC ∠=∠=°，延长DA 至点E ，使AE AD =，连结,,EB EC BD .(1)求证: BDA BEA ;(2)若BC =BE 的长.分析本题中一等腰直角三角形的直角边与另一等腰直角三角形的斜边重合，此种情况下一等腰直角三角形的斜边必与另一等腰直角三角形一直角边垂直.第(1)问即在此基础上通过“三线合一”构造等腰三角形;第(2)问是根据等腰直角三角形的边角特征，借助勾股定理求线段长.四、一直角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例7如图11，在等腰直角ABC ?中，90,ACB CO AB ∠=°⊥于点O ，点,D E 分别在边,AC BC 上，且AD CE =,连结DE 交CO 于点P ，给出以上结论:①DOE ?是等腰直角三角形;②CDE COE ∠=∠;③1AC =，则四边形CEOD 的面积为14; ④22222AD BE OP DP PE +?=?. 其中所有正确结论正确的序号是 .分析本题表面上看，是一个等腰直角三角形通过作出斜边上的高探究相关结论的问题，实质上是等腰直角DOE ?的直角顶点O 在等腰直角ABC ?斜边中点O 处的结论探究问题.对于选项④利用“四点共圆”，并借助“共角共边的母子”相似三角形，能起到事半攻倍的效果，五、一底角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例8 如图12，等腰直角三角形ABC ?和ODE ?，点O 为BC 中点，90,BAC ODE OD ∠=∠=°交BA 于,M OE 交AC 于N ，试求,,BM NM NA 的关系，并说明理由.分析 DOE ?绕等腰直角ABC ?的底边中点O 旋转，在图12~图14三种情况中，对应的线段和差关系分别是,BM MN NA MN BM NA =+=+.此时DOE ?为等腰直角三角形并不是必备条件，本质上45MON ∠=°才是这一模型的必备条件，其基本的解题途径是，构造共直角顶点的两个等腰直角三角形，通过截长补短解决线段的和差问题.等腰直角三角形底边中点具有独特的性质，以双等腰直角三角形为背景的几何图形，常常具有中点(隐含中点)这一条件，并且图形中常常包含全等三角形，发现其中的全等三角形往往是解题的突破口，而基本的辅助线便是借助中点构造新的等腰直角三角形.。
中考数学相似三角形分类专练 证明相似三角形中的对应线段成比例重难点专练(解析版)
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴相似比可能是 ，也可能是 ，C不一定成立；
∵∠A=∠D，即∠A与∠D是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC与EF是对应比，
∴相似比为 ，∴D一定成立，
故选D．
【考点知悉】
本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的．
17．如图，点D、E分别在 的边AB、AC上，且 ，若DE=3，BC=6，AC=8，则 _______．
18．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=_____．
19．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝__．
∴这个三角形的边长扩大到原来的4倍,
故选B.
【考点知悉】
本题考查了相似三角形的相似比和周长比之间的关系,属于简单题,熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.
10．D
【思路点拨】
根据①直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项,进行判断即可.
30．如图， ， ， ， ，则 ________．
31．如图，△ABC中，DE∥BC, ,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为______
三、解答题
32．已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB＝20，cos∠AOC＝ .设OP＝x，△CPF的面积为y.
∴ ，
中考数学专题练习解直角三角形50题
解直角三角形50题一、选择题：1.如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底端G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为( )A.20米B.10 米C.15 米D.5 米2.若一个三角形三个内角度数的比为1:2:3,那么这个三角形最小角的正切值为（）A. B. C. D.3.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧AmB上的一点，则cos∠APB的值是（）A.45°B.1C.D.无法确定4.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A.sinA的值越大，梯子越陡B.cosA的值越大，梯子越陡C.tanA的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与∠A的函数值无关5.当锐角α>30°时，则cosα的值是（）A.大于B.小于C.大于D.小于6.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,那么sinA+cosB的值为（）A.1B.C.D.7.如图,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A.2mB.2mC.(2﹣2)mD.(2﹣2)m8.如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )A.10海里B.(10－10)海里C.10海里D.(10－10)海里9.在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=（）A. B. C. D.10.一座楼梯的示意图如图,BC是铅垂线,CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要（）A.米2B.米2C.（4+）米2D.（4+4tanθ）米211.已知∠A为锐角，且sinA≤0.5，则（）Ａ.0°≤A≤60° B.60°≤A ＜90° C.0°＜A ≤30° D.30°≤A≤90°12.如图,已知∠α的一边在x轴上,另一边经过点A（2,4）,顶点为（﹣1,0）,则sinα的值是（）A.0.4B.C.0.6D.0.813.如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（）A.22.48B.41.68C.43.16D.55.6314.2sin60°的值等于（）A.1B.C.D.15.在Rt△ABC中，∠ABC=90°、tanA=，则sinA的值为（）A. B. C. D.16.已知tanα=，则锐角α的取值范围是（）A.0°＜α＜30°B.30°＜α＜45°C.45°＜α＜60°D.60°＜α＜90°17.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端O点30米的B处，测得树顶4的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( )A.米B.30sinα米C.30tanα米D.30cosα米18.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=4,则sinA的值为（）A. B. C. D.19.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（）A.kmB.kmC.kmD.km20.如图，要焊接一个等腰三角形钢架,钢架的底角为35°,高CD长为3米,则斜梁AC长为（）米．A. B. C.3sin35°D.二、填空题：21.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，则sin= ．22.如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为 m（结果保留根号）23.如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为米．（保留根号）24.如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里（结果保留根号）．25.如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）．26.如图，李明在一块平地上测山高，现在B出测得山顶A的仰角为30°，然后再向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为60°，那么山高AD为米．27.如图,△ABC中,DE是BC的垂直平分线,DE交AC于点E,连接BE,若BE=5,BC=6,则sinC= ．28.某同学沿坡比为1：的斜坡前进了90米，那么他上升的高度是米．29.如图，为测量某物体AB的高度，在在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为米.30.同角三角函数的基本关系为：(sinα)2+(cosα)2=1, =tanα.利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知tanα=2,则= ．31.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan ∠OBC为32.如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处．使斜边CD∥AB，则∠a的余弦值为__________．33.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点.△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosC= ．34. (1)如图1，如果ɑ，β都为锐角，且tanɑ=，tanβ=，则ɑ+β= ；(2)如果ɑ，β都为锐角，当tanɑ=5，tanβ=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角ɑ，画出∠MON，使得∠MON=ɑ-β.此时ɑ-β= 度.35.如图，直线l与⊙相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线于B、C两点；若⊙的半径R=5，BD=12，则∠ACB的正切值为．36.在△ABC中，∠C=90°，若BC=5，AB=13，则sinA= ．37.如图所示的半圆中，AD是直径，且AD=3，AC=2，则sinB的值是．38.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠DAB=60°,AE分别交BC、BD于点E、F,CE=2,连接CF.以下结论：(1)△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为12.其中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．39.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD 翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为．40.如图,等腰△ABC中,AB=AC，tan∠B=，BC=30,D为BC中点,射线DE⊥AC.将△ABC绕点C顺时针旋转（点A的对应点为A′,点B的对应点为B′）,射线A′B′分别交射线DA、DE于M、N.当DM=DN时,DM长为．三、解答题：41.如图,△ABC中,AD⊥BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD=，求sinC的值．42.如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°,求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）43.先化解,再求值:，已知，.44.如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小刘在与BC相距24m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，小刘的观测点与地面的距离EF为1.6m．（1）求建筑物BC的高度；（2）求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）45.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知踏板CD长为1．6m，CD与地面DE 的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0．8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）46.在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．47.如图,小明家小区空地上有两颗笔直的树CD、EF．一天，他在A处测得树顶D的仰角∠DAC=30°，在B处测得树顶F的仰角∠FBE=45°，线段BF恰好经过树顶D．已知A、B两处的距离为2米，两棵树之间的距离CE=3米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度．（≈1.7，≈1.4，结果保留一位小数）48.如图，某居民小区有一栋居民楼，在该楼的前面32米处要再盖一栋30米的新楼，现需了解新楼对采光的影响，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为37°时，求新楼的影子在居民楼上有多高？（参考数值：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）49.如图，在东西方向的海岸线l有一长为2km的码头AB，在码头的西端A的正西29km处有一观测站P，某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于P的南偏西30°，且与P相距30km 的C处；经过1小时40分钟，又测得该轮船位于P的南偏东60°，且与P相距10的D 处．（1）求该轮船航行的速度；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么该轮船能否正好行至码头AB靠岸？请说明理由．50.在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．（2）若α为锐角，tanα=，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由参考答案1.A2.C3.C4.A5.D6.A7.B8.D9.D10.D11.C12.D13.B14.C15.A16.B17.C18.C19.B20.D21.答案为：0.5．22.答案为：（5+5）．23.答案为：10．24.答案为：。
中考数学复习《解直角三角形的应用解答题》专题提升训练
数学中考复习《解直角三角形的应用解答题》专题提升训练1．如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM，已知CD ＝45m．求楼间距MN（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）2．图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长AB ＝115mm，支撑板长CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动．（1）当∠CDE＝60°时，①求点C到直线DE的距离；（计算结果保留根号）②若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在DE上，则CD旋转的角度为．（直接写出结果）（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2．sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）3．美丽的徒骇河穿城而过，成为市民休闲娱乐的风景带．某数学兴趣小组在一次课外活动中，测量徒骇河某段河的宽CD．如图所示，小组成员选取的点A，B是桥上的两点，点A，E，C在河岸的同一直线上，且AB⊥AC．若，AE间的距离80米，在B点处测得BD与平行于AC的直线间的夹角为30°，在点E处测得ED与直线AC之间的夹角为60°，求这段河的宽度CD．（结果保留根号）4．我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m．海面与地面AD 平行且相距1.2m，即DH＝1.2m．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°．求点O到岸边DH的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）5．如图1，将一个直角三角形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩台底下，可以使木桩向上运动．如果楔子底面的倾斜角∠ABC为10°，其高度AC为1.8厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），如图2，留在外面的楔子长度HC为3厘米．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）（1）求BH的长．（2）木桩上升了多少厘米？6．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行．设筒车为⊙O，⊙O与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有AD2＝BD•CD，连接AB，AC．（1）求证：AD为⊙O的切线；（2）筒车的半径为3m，AC＝BC，∠C＝30°．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到0.1m，参考值：≈1.4，≈1.7）．7．如图，一扇窗户垂直打开，即打开到OM⊥OP的状态，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转45°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测出此时∠ODB为30°，BO的长为20cm．求滑动支架AC的长．（精确到1cm，≈1.41，≈1.73）．8．如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的宽度；（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）9．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对学生测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直，量得胳膊MN＝30cm，MB＝44cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为26.1cm（即MP的长度），∠ABM ＝113.6°．（1）求枪身BA的长度；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，学生与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与学生额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，）10．动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）11．某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．（1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度；（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度．（参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）12．小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）13．如图①是大家熟悉的柜式空调，关闭时叶片竖直向下．如图②，当启动时，出风口叶片会同步开始逆时针旋转到最大旋转角90°时返回，旋转速度是每秒10°，同时空调风从叶片口直线吹出．AB由5个叶片组成的出风口，经过测量，A点、B点距地面高度分别是170cm、145cm在空调正前方100cm处站着一个高70cm的小朋友（线段EF表示）．（1）从启动开始，多长时间小朋友头顶E处感受到空调风；（2）若叶片从闭合旋转到最大角度的过程中，小朋友的头顶E处有多长时间感受到空调风；（3）当选择上下扫风模式时，叶片会旋转到最大角度后原速返回．从启动到第一次返回起始位的过程中，该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了多长时间．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．14．第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）15．一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B，C，D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∠BDE＝75°，其中一段支撑杆CD＝84cm，另一段支撑杆DE＝70cm．（1）求BD的长．（2）求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？（结果均取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.732）16．图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（结果保留小数点后一位）（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）17．如图①是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图②所示，已知晾衣臂OA＝OB＝120cm，支撑脚OC＝OD＝120cm，展开角∠COD＝60°，晾衣臂支架PQ＝MN＝80cm，且OP＝OM＝40cm．（1）当晾衣臂OA与支撑脚OD垂直时，求点A距离地面的高度；（2）当晾衣臂OB从水平状态绕点O旋转到OB'（D、O、B'在同一条直线上）时，点N 也随之旋转到OB'上的点N'处，求点N在晾衣臂OB上滑动的距离．18．如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要有可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏．图2是其结构示意图，摄像机长AB＝20cm，点O是摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示屏的上沿CD与AB平行，CD＝15cm，AB与CD连接杆OE⊥AB，OE＝10cm，CE＝2ED，点C到地面的距离为60cm．若AB与水平地面所成的角的度数为35°．（1）求显示屏所在部分的宽度；（2）求镜头A到地面的距离．（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700，结果保留一位小数）19．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点，现测得AB＝BE＝ED＝CD＝20cm，经多次调试发现当点B，E都在CD的垂直平分线上时（如图3所示）放置最平稳．（1）求放置最平稳时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；（2）当A点到水平桌面（CD所在直线）的距离为42cm﹣43cm时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将∠ABE调节到105°，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）20．为测量水城河两岸的宽度，某数学研究小组设计了三种不同的方案，他们在河岸边A 处测得河对岸的同学B恰好在正北方向，测量方案及数据如下表：．（1）哪一种方案无法计算出河两岸的宽度；（2）请选择其中一种方案计算出河两岸的宽度（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.73）参考答案1．解：如图，过点C、D分别作CE⊥PN，DF⊥PN，垂足分别为E、F，则，PN＝90m，MB＝DF＝CE，DM＝FN，CD＝EF＝45m，设MN＝xm，在Rt△PDF中，∠PDF＝55.7°，DF＝MN＝xm，∴PF＝tan55.7°•DF≈1.47x（m），在Rt△PCE中，∠PCE＝30°，CE＝xm，∴PE＝tan30°•CE≈0.58x（m），∵EF＝PF﹣PE，即CD＝PF﹣PE，∴1.47x﹣0.58x＝45，解得x≈50.56（m），即MN＝50.56m．2．解：（1）①如图，过点C作CF⊥DE于F，过点C、A分别作DE的平行线和垂线相交于点G，在Rt△CDF中，∠CDF＝60°，CD＝70mm，∴CF＝CD•sin60°＝70×＝35（mm），即点C到直线DE的距离为35mm；②当∠DCB＝70°时，∵CG∥DE，∴∠GCD＝∠CDF＝60°，又∵∠DCB＝70°，∴∠ACG＝180°﹣70°﹣60°＝50°，在Rt△ACG中，AC＝AC﹣BC＝115﹣35＝80（mm），∠ACG＝50°∴AG＝AC•sin50°≈80×0.8＝64（mm），∴点A到直线DE的距离为AG+CF＝64+35≈124（mm）；（2）把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在DE上，旋转后的图形如图③所示，在Rt△B′C′D中，B′C′＝35mm，C′D＝CD＝70mm，∴tan∠C′DB′＝＝0.5，又∵tan26.6°≈0.5，∴∠C′DB′＝26.6°，∴∠CDC′＝60°﹣26.6°＝33.4°，故答案为：33.4°．3．解：如图，过点B作BF⊥CD于F，则AB＝CF，AC＝BF，∵，AE＝80米，∴AB＝20米＝CF，在Rt△BDF中，∠DBF＝30°，设DF＝x，则BF＝x＝AC，∴EC＝AC﹣AE＝（x﹣80）米，在Rt△CDE中，∠DEC＝60°，CD＝（20+x）米，EC＝（x﹣80）米，∵tan60°＝，∴＝，解得，x＝40+10，经检验，x＝40+10是原方程的根，∴DF＝（40+10）米，∴CD＝CF+DF＝（40+30）米，答：这段河的宽度CD的长为（40+30）米．4．解：（1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于E，垂足为E，则AE⊥BF，由cos∠BAE＝，∴cos22°＝，∴，即AE＝4.5m，∴DE＝AE﹣AD＝4.5﹣0.4＝4.1（m），由sin∠BAE＝，∴，∴，即BE＝1.8m，∴BF＝BE+EF＝1.8+1.2＝3（m），又，∴，即CF＝4m，∴CH＝CF+HF＝CF+DE＝4+4.1＝8.1（m），即点O到岸边DH的距离为8.1m；（2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，垂足为M，由cos∠BAM＝，∴，∴，即AM＝2.88m，∴DM＝AM﹣AD＝2.88﹣0.4＝2.48（m），由sin∠BAM＝，∴，∴，即BM＝3.84m，∴BN＝BM+MN＝3.84+1.2＝5.04（m），∴＝（m），∴OH＝ON+HN＝ON+DM＝4.58（m），即点O到岸边的距离为4.58m．5．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝，则BC＝≈＝10（厘米），∴BH＝BC﹣HC＝7（厘米）；（2）在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝，则PH＝BH•tan∠ABC≈7×0.18≈1.26（厘米），答：木桩上升了大约1.26厘米．6．（1）证明：连接AO，并延长交⊙O于G，连接BG，∴∠ACB＝∠AGB，∵AG是直径，∴∠ABG＝90°，∴∠BAG+∠AGB＝90°，∵AD2＝BD•CD，∴，∵∠ADB＝∠CDA，∴△DAB∽△DCA，∴∠DAB＝∠ACB，∴∠DAB＝∠AGB，∴∠DAB+∠BAG＝90°，∴AD⊥AO，∵OA是半径，∴AD为⊙O的切线；（2）解：当水面到GH时，作OM⊥GH于M，∵CA＝CB，∠C＝30°，∴∠ABC＝75°，∵AG是直径，∴∠ABG＝90°，∴∠CBG＝15°，∵BC∥GH，∴∠BGH＝∠CBG＝15°，∴∠AGM＝45°，∴OM＝OG＝，∴筒车在水面下的最大深度为3﹣≈0.9（m）．7．解：由题意可知：∠BOE＝45°，BO＝20cm，BE⊥OD，∴BE＝OE＝BO•sin45°＝10（cm），在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，∴sin∠BDE＝，∴BD＝20cm，∵BD＝AC，∴AC＝20≈28（cm），答滑动支架AC的长约为28cm．8．解：（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，∵CD＝60米，∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝30+30，经检验：x＝30+30是原方程的根，∴AE＝（30+30）米，∴河的宽度为（30+30）米；（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，∵∠BCD＝120°，∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），∴古树A、B之间的距离为20米．9．解：（1）过点B作BH⊥MQ，垂足为H，则BA＝HP，AB∥MQ，∵∠ABM＝113.6°，∴∠BMH＝180°﹣∠ABM＝66.4°，在Rt△BMH中，∠BMH＝66.4°，BM＝44cm，∴MH＝BM•cos66.4°≈44×0.4＝17.6（cm），∵MP＝26.1cm，∴BA＝HP＝MP﹣MH＝26.1﹣＝8.5（cm），∴枪身BA的长度约为8.5cm；（2）此时枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内，理由：延长QM交FG于点K，则KQ＝50cm，∠NKM＝90°，∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMK＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝45°，在Rt△MNK中，MN＝30cm，∴KM＝MN•cos45°＝30×＝15（cm），∵KQ＝50cm，∴PQ＝KQ﹣KM﹣MP＝50﹣15﹣26.1≈2.7（cm），∵测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm，∴此时枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内．10．解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，∴AC＝AB+BC＝104cm，在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，∴AE＝AC•sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．11．解：（1）∵每级台阶高度都是0.25米，∴BH＝3×0.25＝0.75（米），∴点B与点C离地面的高度差BH的长度为0.75米；（2）连接BC，由题意得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAB＝∠CBH＝66°，在Rt△CBH中，BH＝0.75米，∴BC＝≈＝1.875（米），∴扶手AD的长度约为1.875米．512．解：连接MC，过点M作HM⊥NM，由题意得：∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，∴∠CMN＝180°﹣∠MNB＝180°﹣118°＝62°，∴∠CMH＝∠HMN﹣∠CMN＝28°，∴∠DMC＝2∠CMH＝56°，在Rt△CMD中，CD＝CM•tan56°≈8×1.48≈11.8（米），∴能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8米．13．解：（1）如图，连接AE，过点E作EM⊥AC于M，由题意可知，CF＝100cm＝ME，AC＝170cm，BC＝145cm，EF＝70cm＝MC，∴AM＝170﹣70＝100（cm），在Rt△AEM中，AM＝100cm，ME＝100cm，∴∠MAE＝∠AEM＝45°，∴从启动开始，到小朋友头顶E处感受到空调风所用的时间为45÷10＝4.5（s），答：从启动开始，4.5s小朋友头顶E处感受到空调风；（2）如图，连接BE，则BM＝145﹣70＝75（cm），在Rt△BEM中，∵tan∠BEM＝＝0.75，∴∠BEM＝37°，∴∠MBE＝90°﹣37°＝53°∴小朋友的头顶E处感受到空调风的时长为﹣＝0.8（s），答：小朋友的头顶E处有0.8s的时间感受到空调风；（3）如图，当BE绕着点B旋转到BE′时，所用时间为＝3.7（s），所以该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了时长为0.8+3.7×2＝8.2（s），答：该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了8.2s．14．解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH﹣EM+EN．根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40（米），∵HG∥BC，∴∠EGM＝∠ECB＝36°，在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50，∴AH＝AF•sin∠AFH≈50×0.64＝32（米），在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，则FM＝（7﹣m）米，∴EM＝MG•tan∠EGM＝MG•tan36°≈0.73m，EM＝FM•tan∠EFM＝FM•tan25°≈0.47（7﹣m），∴0.73m＝0.47（7﹣m），解得m≈2.7（米），∴EM≈0.47（7﹣m）＝2.021（米），∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）．∴此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米．15．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∴BC＝AB＝16cm，∴BD＝BC+CD＝16+84＝100（cm）．（2）作DM⊥BA于点M，DN⊥EF于点N，在Rt△DBM中，sin∠DBM＝，即＝，∴DM＝50，∵∠F＝∠M＝∠DNF＝90°，∴四边形NFMD为矩形，∴NF＝DM＝50，DN∥FM，∴∠NDB＝∠DBM＝60°，∵∠BDE＝75°，∴∠EDN＝∠BDE﹣∠NDB＝15°，∴在Rt△DEN中，sin∠EDN＝，即sin15°＝，∴EN＝70sin15°，∴EF＝EN+NF＝50+70sin15°≈105（cm）．16．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CDG＝∠A，∵∠FEC＝∠A，∴∠FEC＝∠CDG，∴EF∥DG，∵FG∥CD，∴四边形DEFG为平行四边形；（2）解：如图，过点G作GP⊥AB于P，∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝6.2，∵AD＝1.6，∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，Rt△APG中，sin A＝，∴＝0.96，∴PG＝7.8×0.96＝7.488≈7.5．答：雕塑的高为7.5m．17．解：（1）过点O作OE⊥CD，垂足为E，过点A作AG⊥CD，垂足为G，过点O作OF ⊥AG，垂足为F，则OE＝FG，∠FOE＝90°，∵OC＝OD＝120cm，∠COD60°，∴∠DOE＝∠COD＝30°，∴OE＝OD•cos30°＝120×＝60（cm），∴FG＝OE＝60cm，∵OA⊥OD，∴∠AOD＝90°，∴∠AOD﹣∠DOF＝∠EOF﹣∠DOF，∴∠AOF＝∠DOE＝30°，在Rt△AOF中，OA＝120cm，∴AF＝OA＝60（cm），∴AG＝AF+FG＝（60+60）cm，∴点A距离地面的高度为（60+60）cm；（2）过点M作MK⊥OB，垂足为K，过点M作ML⊥OD，垂足为L，∵OC＝OD＝120cm，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD＝60°，∵OB∥CD，∴∠BOC＝∠OCD＝60°，在Rt△MKO中，OM＝40cm，∴KO＝OM•cos60°＝40×＝20（cm），MK＝OM•sin60°＝40×＝20（cm），在Rt△MNK中，MN＝80cm，∴NK＝＝＝20（cm），∵OB＝120cm，∴BN＝OB﹣OK﹣NK＝120﹣20﹣20＝（100﹣20）cm，在Rt△OML中，∠COD＝60°，∴ML＝OM•sin60°＝40×＝20（cm），OL＝OM•cos60°＝40×＝20（cm），在Rt△MN′L中，MN′＝MN＝80cm，∴N′L＝＝＝20（cm），∴ON′＝N′L﹣OL＝（20﹣20）cm，∵OB′＝OB＝120cm，∴B′N′＝OB′﹣ON′＝（140﹣20）cm，∴B′N′﹣BN＝140﹣20﹣（100﹣20）＝40（cm），∴点N在晾衣臂OB上滑动的距离为40cm．18．解：（1）过点C作CM⊥DF，垂足为F，∵CD∥AB，AB与水平地面所成的角的度数为35°，∴CD与水平地面所成的角的度数为35°，∴∠DCM＝35°，在Rt△DCM中，DC＝15cm，∴CM＝DC•cos35°≈15×0.819≈12.3（cm），∴显示屏所在部分的宽度约为12.3cm；（2）连接AC，过点A作AH⊥CM，交MC的延长线于点H，∵CE＝2ED，DC＝15cm，∴CE＝CD＝10（cm），∵O为AB的中点，∴OA＝AB＝10（cm），∴OA＝CE＝10cm，∵OA∥CE，∴四边形ACEO是平行四边形，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∴四边形ACEO是矩形，∴∠ACE＝90°，AC＝OE＝10cm，∵∠DCM＝53°，∴∠ACH＝180°﹣∠ACE﹣∠DCM＝55°，∴∠HAC＝90°﹣∠ACH＝35°，在Rt△AHC中，AH＝AC•cos35°≈10×0.819＝8.19（cm），∵点C到地面的距离为60cm，∴镜头A到地面的距离＝8.19+60≈68.2（cm），∴镜头A到地面的距离约为68.2cm．19．解：（1）延长BE交DC于点F，由题意得：EF⊥CD，FD＝CD＝CD＝10cm，在Rt△DEF中，DE＝20cm，∴cos D＝＝＝，∴∠D＝60°，∴灯座DC与灯杆DE的夹角为60°；（2）过点A作AM⊥DC，交DC的延长线于点M，过点B作BG⊥AM，垂足为G，则GM＝BF，∠GBF＝90°，在Rt△DEF中，DE＝20cm，DF＝10cm，∴EF＝＝＝10（cm），则GM＝BF＝BE+EF＝（20+10）cm，∵∠ABE＝105°，∴∠ABG＝∠ABF﹣∠GBF＝15°，在Rt△ABG中，AB＝20cm，∴AG＝AB⋅sin15°≈20×0.26＝5.2（cm），∴AM＝AG+GM＝20+10+5.2≈42.5（cm），∴A点到水平桌面（CD所在直线）的距离约为42.5cm，∴此时光线最佳．20．解：（1）第一个小组的数据无法计算河宽，理由如下：∵第一小组给出的数据为BD的长，△ABC和△CDE无法建立联系，无法得到△ABC的任何一边长度，∴第二小组的数据无法计算河宽；（2）第二个小组的解法：∵∠ACB＝∠ADB+∠CBD，∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，∴∠ADB＝∠CBD＝30°，∴BC＝CD＝11.8m，∴AB＝BC•sin60°＝11.8×≈10.2（m）．第三个小组的解法：设AB＝xm，则AC＝，AD＝，∴+＝23.5，解得x≈10.2．答：河宽约10.2m．。
【精编版】中考数学专题训练——解直角三角形
中考专题训练——解直角三角形1．如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），且∠ABC＝90°，∠A ＝30°，求点A的坐标．2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，BD是AC边中线，DG平分∠BDC，且BG⊥DG于点G，交BC于点F．（1）求∠ABD的正弦值；（2）求BG的长．3．如图，△ABC中，AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，且与外角∠ACD的平分线CE交于点E．（1）求sin A的值；（2）求EF的长．4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则：（1）求证：DE∥AB；（2）若cos B＝，求证：CE＝2AD．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tan B＝（1）求AC和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．6．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC 的延长线于点D．（1）求∠D的正弦值；（2）求点C到直线DE的距离．7．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．（1）求BE的长；（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．8．如图，tan B＝且DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，DA＝3，DC＝7．（1）求cos B，sin B的值；（2）连接BD，求BD的长．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．（1）求∠EBD的正弦值；（2）求AD的长．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝．D是AB边的中点，过点D 作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．（1）求线段CE的长；（2）求sin∠BDE的值．11．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．（1）求sin∠ABE的值；（2）求点E到直线BC的距离．12．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段DC的长；（2）tan∠ACB的值．13．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE：ED＝7：5，连接CE并延长交边AB 于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．（1）求tan∠DCE的值；（2）求的值．14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B ＝，求：（1）线段DC的长；（2）sin∠EDC的值．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．（1）求线段AE的长；（2）求∠ACE的余切值．16．如图，已知△ABC中，∠B＝45°，tan C＝，BC＝6．（1）求△ABC面积；（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求DE的长．17．如图1．点A、B在直线MN上（A在B的左侧），点P是直线MN上方一点．若∠P AN ＝x°，∠PBN＝y°，记（x，y）为P的双角坐标．例如，若△P AB是等边三角形，则点P的双角坐标为（60，120）．（1）如图2，若AB＝22cm，P＜26.6，58＞，求△P AB的面积；（参考数据：tan26.6°≈0.50，tan58°≈1.60．）（2）在图3中用直尺和圆规作出点P（x，y），其中y＝2x且y＝x+30．（保留作图痕迹）18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．（1）求CG的长；（2）求tan∠BAE的值．19．已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．（1）如图1，若AE＝DE，①求证：CD平分∠ACB；②求的值；（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．20．已知：△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点．（1）如图1，BH⊥AD于点H，若AD＝BD，求证：BC＝2AH．（2）如图2，∠BAC＝120°，点D在CB延长线上，点E在BC上且∠DAE＝120°，若AB＝6，DB＝2，求CE．（3）如图3，D在CB延长线上，E为AB上一点，且满足：∠BAD＝∠BCE，＝，若tan∠ABC＝，BD＝5，直接写出BC的长为．参考答案与试题解析1．如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），且∠ABC＝90°，∠A ＝30°，求点A的坐标．【分析】根据已知可得OB＝1，OC＝，在Rt△OBC中，利用勾股定理求出BC＝2，利用锐角三角函数的定义求出∠OBC＝60°，然后在Rt△BAC中，利用含30度角的直角三角形求出AC＝4，再利用平角定义求出∠1＝30°，从而可得AC∥x轴，即可解答．【解答】解：如图：∵点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），∴OB＝1，OC＝，在Rt△OBC中，BC＝＝＝2，∴cos∠OBC＝＝，∴∠OBC＝60°，∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2BC＝4，∵∠1＝180°﹣∠OBC﹣∠ABC＝30°，∴∠A＝∠1＝30°，∴AC∥x轴，∴点A的坐标为（4，）．2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，BD是AC边中线，DG平分∠BDC，且BG⊥DG于点G，交BC于点F．（1）求∠ABD的正弦值；（2）求BG的长．【分析】（1）过D点作DM⊥AB于M，则∠AMD＝90°，利用勾股定理可求解AB，BD 的长，通过解直角三角形可求解AM的长，再由勾股定理可求解DM的长，利用解直角三角形可求解；（2）过F作FN⊥BD于N，通过△DCF≌△DNF可得DN＝3，CF＝NF，BN＝2，再由勾股定理可求解CF，DF的长，证明△DCF∽△DGB列比例式可求解．【解答】解：（1）过D点作DM⊥AB于M，则∠AMD＝90°，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，∴AB＝，∵D是AC的中点，∴AD＝CD＝3，∴BD＝，∵∠C＝∠AMD＝90°，∴cos∠A＝，即，解得AM＝，∴DM＝，∴sin∠ABD＝；（2）过F作FN⊥BD于N，∵DG平分∠BDC，∠C＝90°，∴∠CDF＝∠BDF，∠C＝∠DNF＝90°，在△DCF和△DNF中，∴△DCF≌△DNF（AAS），∴DC＝DN＝3，CF＝NF，∴BN＝BD﹣DN＝5﹣3＝2，在Rt△BFN中，BN2+FN2＝BF2，即22+CF2＝（4﹣CF）2，解得CF＝，∴DF＝，∵BG⊥DG，∴∠C＝∠BGD＝90°，∴△DCF∽△DGB，∴，即，解得BG＝．3．如图，△ABC中，AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，且与外角∠ACD的平分线CE交于点E．（1）求sin A的值；（2）求EF的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和勾股定理先求出BF，再求出∠A的正弦；（2）过点E作EG⊥BD，在直角三角形ABF中先求出∠ABF的正弦，再利用角平分线的性质说明EF与EG、∠ABF与∠FBC的关系，利用直角三角形的边角间关系列方程求解得结论．【解答】解：（1）∵AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，∴∠ABF＝∠FBC，BF⊥AC，AF＝AC＝5．在Rt△ABF中，BF＝＝12．∴sin A＝＝．（2）过点E作EG⊥BD，垂足为G．∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EG⊥BD，∴EF＝EG．在Rt△ABF中，∵sin∠ABF＝＝，在Rt△EBG中，∵sin∠EBC＝sin∠ABF＝＝＝，∴13EF＝5×12+5EF．∴8EF＝60．∴EF＝．4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则：（1）求证：DE∥AB；（2）若cos B＝，求证：CE＝2AD．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质可得AD＝BD＝BC，从而可得∠B＝∠DAB，进而可得∠ADE＝∠BAD，即可解答；（2）过点E作EF⊥CD垂足为F，设DE与AC交于点G，根据直角三角形斜边上的中线性质可得AD＝CD＝BC，再利用（1）的结论可得∠BAC＝∠DGC＝90°，∠B＝∠EDC，从而可得DG是AC的垂直平分线，进而可得ED＝EC，然后利用等腰三角形的性质可证cos∠ECD＝＝＝，即可解答．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，∴AD＝BD＝BC，∴∠B＝∠DAB，∵∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠BAD，∴DE∥AB；（2）过点E作EF⊥CD，垂足为F，设DE与AC交于点G，∵∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∵DE∥AB，∴∠BAC＝∠DGC＝90°，∠B＝∠EDC，∴DG是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∵EA＝ED，∴ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∵EF⊥CD，∴CF＝CD，∴∠ECD＝∠B，∵cos B＝，∴cos∠ECD＝，在Rt△EFC中，cos∠ECD＝＝＝，∴CE＝2CD，∴CD＝2AD．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tan B＝（1）求AC和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．【分析】（1）由tan B＝＝设AC＝3x、BC＝4x，据此得DC＝4x﹣2，根据∠ADC＝45°得AC＝DC，即3x＝4x﹣2，解之得出x的值，继而可得答案；（2）作DE⊥AB，设DE＝3a、BE＝4a，根据DE2+BE2＝BD2可求得a的值，继而根据正弦函数的定义可得答案．【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，∵tan B＝＝，∴设AC＝3x、BC＝4x，∵BD＝2，∴DC＝BC﹣BD＝4x﹣2，∵∠ADC＝45°，∴AC＝DC，即4x﹣2＝3x，解得：x＝2，则AC＝6、BC＝8，∴AB＝＝10；（2）作DE⊥AB于点E，由tan B＝＝可设DE＝3a，则BE＝4a，∵DE2+BE2＝BD2，且BD＝2，∴（3a）2+（4a）2＝22，解得：a＝（负值舍去），∴DE＝3a＝，∵AD＝＝6，∴sin∠BAD＝＝．6．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC 的延长线于点D．（1）求∠D的正弦值；（2）求点C到直线DE的距离．【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H．由等腰三角形三线合一的性质得出BH＝BC ＝2．在△ABH中，根据正弦函数的定义得出sin∠BAH＝＝，根据三角形内角和定理求出∠BAH＝∠D＝90°﹣∠B，则sin∠D＝sin∠BAH＝；（2）过点C作CM⊥DE于点M．解直角△BED，求出BD＝＝9，则CD＝BD ﹣BC＝5．再解直角△MCD，求出CM＝，即点C到DE的距离为．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H．∵AB＝AC，BC＝4，∴BH＝BC＝2．∵在△ABH中，∠BHA＝90°，AB＝6，∴sin∠BAH＝＝＝，∵DE是AB的垂直平分线，∴∠BED＝90°，BE＝3，∴∠BED＝∠BHA，又∵∠B＝∠B，∴∠BAH＝∠D，∴sin∠D＝sin∠BAH＝，即∠D的正弦值为；（2）过点C作CM⊥DE于点M．∵在△BED中，∠BED＝90°，sin∠D＝，BE＝3，∴BD＝＝9，∴CD＝BD﹣BC＝9﹣4＝5．∵在△MCD中，∠CMD＝90°，sin∠D＝＝，∴CM＝CD＝，即点C到DE的距离为．7．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．（1）求BE的长；（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．【分析】（1）在直角△BED中，利用∠B的余弦函数求出BE；（2）利用等腰直角三角形的性质先求出DE，再在直角△AED中利用∠DAB的正弦函数和勾股定理求出AD、AE，最后求出△ABD的面积．利用三角形中线的性质可得结论．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°．在Rt△BED中，∵cos∠ABC＝，∴BE＝cos45°•3＝•3＝3．（2）∵∠ABC＝45°，∠BED＝90°．∴∠EDB＝45°．∴BE＝DE＝3．∵sin∠DAB＝＝，∴AD＝5．∴AE＝＝4．∴AB＝AE+BE＝4+3＝7．∴S△ABD＝AB•DE＝．∵AD是BC边上的中线，∴S△ADC＝S△ABD＝．8．如图，tan B＝且DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，DA＝3，DC＝7．（1）求cos B，sin B的值；（2）连接BD，求BD的长．【分析】（1）延长CD，BA，它们相交于点E，得到直角三角形BCE，利用tan B＝，设CE＝4k，则BC＝3k，利用勾股定理求得BE；在Rt△BCE中，用正弦，余弦的定义，结论可求；（2）利用DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，得到∠ADE＝∠CBE，在Rt△ADE中求得线段DE，利用tan B＝，求得线段BC，在Rt△BCD中，用勾股定理，BD可求．【解答】解：（1）延长CD，BA，它们相交于点E，如图，∵DC⊥BC于点C，∴∠BCE＝90°．∵tan B＝，tan B＝，∴．设CE＝4k，则BC＝3k．∴BE＝．∴cos B＝．sin B＝．（2）如下图：∵DA⊥BA于点A，∴∠E+∠ADE＝90°．∵DC⊥BC于点C，∴∠E+∠CBE＝90°．∴∠ADE＝∠CBE．∴cos∠ADE＝cos∠CBE＝．∵cos∠ADE＝，∴．∵AD＝3，∴DE＝5．∴CE＝CD+DE＝5+7＝12．∵tan∠CBE＝，tan∠CBE＝，∴．∴BC＝9．∴BD＝．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．（1）求∠EBD的正弦值；（2）求AD的长．【分析】（1）通过已知条件推出∠EBD＝∠ABC，即可通过求∠ABC的正弦值求出∠EBD 的正弦值；（2）过点C作CF⊥AB于点F，利用cos∠CAF＝cos∠CAB求出AF的长，结合等腰三角形性质即可求出AD的长．【解答】解：（1）∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC＝∠EDB，又∵在Rt△EDB中，∠EDB+∠EBD＝90°，在Rt△ABC中，∠CAD+∠ABC＝90°，∴∠EBD＝∠ABC，∴sin∠EBD＝sin∠ABC＝；（2）过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：在Rt△ACB中，cos∠CAB＝＝sin∠ABC＝，∴在Rt△AFC中，cos∠CAF＝＝＝，∴AF＝1，又∵△CAD为等腰三角形，CF⊥AD，∴AD＝2AF＝2．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝．D是AB边的中点，过点D 作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．（1）求线段CE的长；（2）求sin∠BDE的值．【分析】（1）由勾股定理求出BC，再根据斜边上的中线求出AD，∠DCB＝∠B，由余弦定理求出CE；（2）作EF⊥AB交AB于F，在直角三角形中由勾股定理列出关于BF的关系式，从而求出∠BDE的正弦值．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝，∴＝，∴AB＝10，∴BC＝＝8，又∵D为AB中点，∴AD＝BD＝CD＝AB＝5，∴∠DCB＝∠B，∴cos∠DCB＝，cos∠B＝，∴，∴CE＝；（2）作EF⊥AB交AB于F，由（1）知CE＝，则BE＝8﹣＝，DE＝＝，设BF＝x，则DF＝BD﹣BF＝5﹣x，在Rt△DEF中，EF2＝DE2﹣DF2＝，在Rt△BEF中，EF2＝BE2﹣BF2＝，∴﹣（5﹣x）2＝﹣x2，解得x＝，∴EF2＝（）2﹣（）2＝，EF＝，∴sin∠BDE＝＝．11．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．（1）求sin∠ABE的值；（2）求点E到直线BC的距离．【分析】（1）过D作DF⊥AB于F，求出DF和BD即可得答案；（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，先求BE，再用相似三角形性质得到答案．【解答】解：（1）过D作DF⊥AB于F，如图：∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC＝＝2，sin∠BAC＝，∴∠BAC＝30°，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝，∴BD＝＝，Rt△ADF中，DF＝AD•sin∠BAC＝，Rt△BDF中，sin∠ABE＝＝；（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，如图：∵∠ADH＝∠BDC，∠BCD＝∠AHD＝90°，∴△BCD∽△AHD，∴，∵BC＝2，CD＝AD＝，BD＝，∴，解得AH＝，HD＝，∵∠AEB＝∠BAC＝30°，∴HE＝＝，∴BE＝BD+DH+HE＝，∵EG∥AC，∴∠BDC＝∠BEG，而∠CBD＝∠GBE，∴△CBD∽△GBE，∴，即，∴EG＝．方法二：过E作EG⊥BC于G，∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠DBA，∴△ABD∽△ABE，∴＝，即，∴BE＝，∵DC⊥BC，EG⊥BG，∴DC∥BG，∴，即＝，∴EG＝，∴点E到直线BC的距离为．12．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段DC的长；（2）tan∠ACB的值．【分析】（1）根据sin B＝，求得AB＝15，由勾股定理得BD＝9，从而计算出CD；（2）再利用三角函数，求出tan∠ACB的值即可．【解答】解：（1）∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵sin B＝，AD＝12，∴AB＝15，∴BD＝，∵BC＝14，∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，∴tan∠ACB＝＝．13．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE：ED＝7：5，连接CE并延长交边AB 于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．（1）求tan∠DCE的值；（2）求的值．【分析】（1）由三角函数定义求出CD＝5，由勾股定理得出AD＝12，AE：ED＝7：5，求出ED＝5，由三角函数定义即可得出答案；（2）过D作DG∥CF交AB于点G，求出BD＝BC﹣CD＝3，由平行线分线段成比例定理得，＝，得出AF＝FG，设BG＝3x，则AF＝FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB＝＝，∴CD＝5，由勾股定理得：AD＝＝12，∵AE：ED＝7：5，∴ED＝5，∴tan∠DCE＝＝1；（2）过D作DG∥CF交AB于点G，如图所示：∵BC＝8，CD＝5，∴BD＝BC﹣CD＝3，∵DG∥CF，∴，＝，∴AF＝FG，设BG＝3x，则FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x，∴＝．14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B ＝，求：（1）线段DC的长；（2）sin∠EDC的值．【分析】（1）在直角三角形ABD中，利用边角间关系和勾股定理先求出AB、BD，再求出CD的长；（2）在直角三角形ADC中，利用斜边的中线与斜边的关系，说明∠C与∠EDC的关系，求出∠C的正弦值即得结论．【解答】解：（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC．∴sin B＝＝．∵AD＝12，∴AB＝＝＝15．在Rt△ABD中，∵BD＝＝＝9，∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．（2）在Rt△ADC中，∵AD＝12，DC＝5，∴AC＝13．∵E是AC的中点，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠C．∴sin∠EDC＝sin∠C＝＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．（1）求线段AE的长；（2）求∠ACE的余切值．【分析】（1）根据锐角三角函数定义即可求出AE的长；（2）过点E作EH⊥AC于点H．根据等腰直角三角形的性质可得EH＝AH的值，再根据三角函数即可求出∠ACE的余切值．【解答】解：（1）∵BC＝4，BD＝3CD，∴BD＝3．∵AB＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°．∵DE⊥AB，∴在Rt△DEB中，．∴在Rt△ACB中，，∴（2）如图，过点E作EH⊥AC于点H．∴在Rt△AHE中，，AH＝AE•cos45°＝，∴，∴EH＝AH＝，∴在Rt△CHE中，cot∠ECH＝，即∠ACE的余切值是．16．如图，已知△ABC中，∠B＝45°，tan C＝，BC＝6．（1）求△ABC面积；（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求DE的长．【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据题意得到三角形ACH为等腰直角三角形，设AH＝BH＝x，根据tan C的值，表示出HC，由BC＝6求出x的值，确定出AH的长，即可求出三角形ABC面积；（2）由（1）得到AH与CH的长，利用勾股定理求出AC的长，进而确定出CD的长，根据tan C的值，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，∠B＝45°，设AH＝x，则BH＝x，在Rt△AHC中，tan C＝＝，∴HC＝2x，∵BC＝6，∴x+2x＝6，解得：x＝2，∴AH＝2，∴S△ABC＝•BC•AH＝6；（2）由（1）得AH＝2，CH＝4，在Rt△AHC中，AC＝＝2，∵DE垂直平分AC，∴CD＝AC＝，∵ED⊥AC，∴在Rt△EDC中，tan C＝＝，∴DE＝．17．如图1．点A、B在直线MN上（A在B的左侧），点P是直线MN上方一点．若∠P AN ＝x°，∠PBN＝y°，记（x，y）为P的双角坐标．例如，若△P AB是等边三角形，则点P的双角坐标为（60，120）．（1）如图2，若AB＝22cm，P＜26.6，58＞，求△P AB的面积；（参考数据：tan26.6°≈0.50，tan58°≈1.60．）（2）在图3中用直尺和圆规作出点P（x，y），其中y＝2x且y＝x+30．（保留作图痕迹）【分析】（1）过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝90°，根据锐角三角函数即可求解；（2）如图3，用直尺和圆规作出点P＜x，y＞，其中y＝2x且y＝x+30．可得x＝30°，y＝60°即可．【解答】解：（1）过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝90°，在Rt△PBC中，∠PBC＝58°，∵tan58°＝，∴BC＝，在Rt△P AC中，∠P AC＝26.6°，∵tan26.6°＝，∴AC＝，∵AB＝AC﹣BC，∴﹣＝22，解得PC≈16（cm），∴S△P AB＝22×16＝176cm2；（2）如图3，点P即为所求．18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．（1）求CG的长；（2）求tan∠BAE的值．【分析】（1）根据在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，可以求得AB的长，然后根据点D为AB的中点，可以得到DC的长，再根据点G是△ABC中点的交点，可以得到CG＝CD，从而可以求得CG的长；（2）作EF⊥AB于点G，然后根据题意，可以求得EF和AF的长，从而可以得到tan∠BAE的值．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cos B＝，∴，∵D是斜边AB上的中点，∴，又∵点E是BC边上的中点，∴点G是△ABC的重心，∴；（2）∵点E是BC边上的中点，∴，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∵在Rt△BEF中，cos B＝，BF＝BE•cos B＝，∴，∵AF＝AB﹣BF＝18﹣4＝14，∴tan∠BAE＝．19．已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．（1）如图1，若AE＝DE，①求证：CD平分∠ACB；②求的值；（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．【分析】（1）①想办法证明∠ACD＝∠CAE＝22.5°即可解决问题．②如图1中，过点D作DT⊥BC于T．证明DA＝DT，BD＝DT即可解决问题．（2）如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．证明△ABE≌△CAT（AAS）可得结论．【解答】（1）①证明：∵AE＝DE，∴∠ADE＝∠DAE，∵∠CAD＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠ACD，∴EA＝EC，∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，∴∠ACD＝22.5°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，∴CD平分∠ACB．②解：如图1中，过点D作DT⊥BC于T．∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，∴DA＝DT，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝45°，∴BD＝DT＝AD，∴＝．（2）解：如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．∵AE⊥BE，CT⊥AT，∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，∴∠ABE＝∠CAT，∵AB＝AC，∴△ABE≌△CAT（AAS），∴AE＝CT，BE＝AT，∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，∴ET＝CT＝AE，∴BE＝2AE，∴tan∠ABE＝＝20．已知：△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点．（1）如图1，BH⊥AD于点H，若AD＝BD，求证：BC＝2AH．（2）如图2，∠BAC＝120°，点D在CB延长线上，点E在BC上且∠DAE＝120°，若AB＝6，DB＝2，求CE．（3）如图3，D在CB延长线上，E为AB上一点，且满足：∠BAD＝∠BCE，＝，若tan∠ABC＝，BD＝5，直接写出BC的长为．【分析】（1）先判断出∠ABD＝∠BAD，进而得出△ABN≌△BAH，即可得出BN＝AH，代换即可得出结论；（2）设出EF＝a，先利用勾股定理求出FC，证明△ABD∽△AFE，得出比例式求出CF 即可建立方程，求出a，利用勾股定理即可求出CE；（3）如图3，作辅助线，构建相似三角形，设AE＝2m，BE＝3m，则AB＝AC＝5m，证明△ABD∽△GCA，列比例式结合平行线分线段成比例定理可得结论．【解答】（1）证明：如图1，过点A作AN⊥BC于N，∵AB＝AC，∴BN＝BC，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD，在△ABN和△BAH中，，∴△ABN≌△BAH（AAS），∴BN＝AH，∴BC＝AH，∴BC＝2AH；（2）解：如图2，在AC上取一点F，使EF＝EC，连接EF，∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠DAB＝∠EAC，∵AB＝AC，∴∠ABE＝∠C＝∠CFE＝30°，∴∠ABD＝∠AFE＝150°，∴△ABD∽△AFE，∴，即，∴＝，设EF＝a，则AF＝a，∵EF＝CE＝a，∠C＝30°，∴CF＝a，∴6﹣a＝a，∴a＝，∴CE＝EF＝；（3）解：如图3，过点A作AP⊥BC于P，作AG∥CE交BC的延长线于G，设AE＝2m，BE＝3m，则AB＝AC＝5m，∵tan∠ABC＝＝，∴＝，∴BP＝CP＝4m，BC＝8m，∵∠BAD＝∠BCE＝∠G，∠ABD＝∠GCA＝150°，∴△ABD∽△GCA，∴，即＝，∴CG＝5m2，∵AG∥CE，∴，∴，∴m＝，∴BC＝8m＝．故答案为：．。
2015年中考数学试卷解析分类汇编(第1期)专题37_操作探究
精心整理操作探究一、选择题1.（2015?浙江宁波，第12题4分）如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形.若只知道原住房平面图长A.b，②③-①将a+将2c∴故选A.2.（2015?浙江省绍兴市，第10题，4分）挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走。
如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走A.②号棒B.⑦号棒C.⑧号棒D.⑩号棒 考点：规律型：图形的变化类．.分析：仔细观察图形，找到拿走后图形下面的游戏棒，从而确定正确的选项． 解答：解：仔细观察图形发现： 第1第2第3第4第5第6故选二.1.（中CD =_______________________________【答案】2或4+第16题【考点】剪纸问题；多边形内角和定理；轴对称的性质；菱形、矩形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；相似三角形的判定和性质；分类思想和方程思想的应用.【分析】∵四边形纸片ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠B =150°，∴∠C =30°. 如答图，根据题意对折、裁剪、铺平后可有两种情况H ，设∴设在Rt 易证BCD EHB ∆∆∽，∴CD BCHB EH =，即1CD =∴224CD +==+综上所述，CD =2或4+2.（2015?浙江省绍兴市，第13题，5分）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。
小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可。
如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是▲cm考点：等边三角形的判定与性质．.专题：应用题．∴△∴3.（t、t1等边三角型的边长为a≈2，等边三角形的周长为6；正方形的边长为b≈1.7，正方形的周长为1.7×4=6.8；圆的周长为3.14×2×1=6.28，∵6.8＞6.28＞6，∴t2＞t3＞t1．故答案为：t2＞t3＞t1．点评：本题考查了轨迹，利用相等的面积求出相应的周长是解题关键．4．（A与点出=2，则∴，∴=故=．故答案为：．点评：此题考查了翻折变换、勾股定理及矩形的性质，难度一般，解答本题的关键是判断出RT△AOE∽RT△ABC，利用相似三角形的性质得出OE的长．三.解答题1.（2015?浙江省台州市，第24题）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3求BN的长；（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且段（3D（4，△和△H 是2.（的顶点形所（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）（2）若点G的坐标为（0，－3），求该抛物线的解析式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A B O C D 1500m 45° 60° 2015年安徽中考数学解三角形专题
16．（2010•安徽）若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A 处沿直线方向开往对岸的B 处，AB 与河岸的夹角是60°，船的速度为5米
/秒，求船从A 到B 处约需时间几分．（参考数据：≈1.7）
19．（2011•安徽）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度．已知在离地面1500m 高度C 处的飞机上，测量人员测得正前方A 、B 两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB 的长(3≈1.73)．
19．（2012•安徽）如图，在△
ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB 的长．
19．（2013•安徽）某风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由45°减至30°，已知原台阶坡面AB 的长为5m （BC 所在地面为水平面）．
（1）改善后的台阶坡面会加长多少？
（2）改善后的台阶多占多长一段水平地面？（结果精确到0.1m ，参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈）
18．（8分）（2014•安徽）如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB 段与高速公路l1成30°角，长为20km ；BC 段与AB 、CD 段都垂直，长为10km ，CD 段长为30km ，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．
B C A 45º
45º 30º。