六年级奥数第四讲繁分数的计算
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(一)繁分数的计算
--------巧取倒数法
【知识要点】
一个分数的分子或分母还含有分数或四则混合运算的分数叫做繁分数.通常无法用运算定律和运算性质进行计算,因此繁分数的运算过程就是化简的过程,要分别对分子和分母逐步进行计算,其间需要扎实的基本功：概念清楚,运算迅速正确,而且还需要探索和掌握一些灵活的解题方法,化“繁”为“简”.
繁分数由分子部分、分母部分和分隔分子及分母的主分数线三部分构成.繁分数化简的目的是使分子部分及分母部分都不再含有分数.
连分数是一类特殊的繁分数,它的化简也用到繁分数化简的方法.
【典型例题】
例1计算
1
1
4
1
3
1
2
3
-
-
-
(1995年小学数学奥林匹克总决赛计算试题)
解析从下往上,依层化简
1251312
21;33;
3335/355
-==-=-=
1543112
44;.
43
12/5121243
12
-=-==
练习一
1.试计算
1
1
4
1
3
1
2
1
1
2
-
+
-
+
(1997年小学数学奥林匹克总决赛计算试题)
解析原式=
2.计算
1
1
1
1
2
1
3
1
4
5
+
+
+
+
(1998年小学数学奥林匹克总决赛计算试题)
解析原式=. 例2已知=
=
+
+
+
x
x
则
,
11
8
4
1
1
2
1
1
1
.(1999年小学数学奥林匹克决赛试题)
解析
181313
,11,;
111
1188
122
111
2
144
4
x x
x
=∴+=+=
+++
+++
+
进而我们有:
12
22,
13
4
x
+=+
+
12135
,,.
13424
4
x x
x
=+==
+
练习二
1.已知:=
=
+
+
+
x
x
则
,
25
18
4
1
1
2
1
1
1
.(2000年北大少年数学邀请赛第二试试题) 解析因为
2.已知167,
196
1
1
2
1
3
1
4
x
x
=
+
+
+
+
求的值.
解析
【课后精练及思考题】
计算
5
3
79
511
3649
+
+
-
(1996年小学数学奥林匹克总决赛计算试题)
解析.
(二)分数的简便计算
1 3x4 +
1
4x5
+
1
5x6
+
1
6x7
+
1
7x8
+
1
8x9
=
1 1x
2 +
1
2x3
+
1
3x4
+……+
1
2005X2006
+
1
2006
=
1 6 +
1
12
+
1
20
1
30
+
1
42
+
1
56
1
72
+
1
90
=
1＋21
20＋3
1
30
＋4
1
42
＋5
1
56
＋6
1
72
＋7
1
90
＋8
1
110
＋9
1
132
=
3 2 +
7
6
+
13
12
+
21
20
+
31
30
+
43
42
+
57
56
=
1＋
1
1+2
+
1
1+2+3
+
1
1+2+3+4
＋
1
1+2+3+4+5
+ …＋
1
1+2+3+4+5 (50)
=
1 1x3 +
1
3x5
+
1
5x7
+……+
1
97x99
=
2 3 +
2
15
+
2
35
+
2
63
+
2
99
+
2
143
= 3
2x5 +
3
5x8
+
3
8x11
+
3
11x14
+
3
14x17
=
4 1X
5 +
4
5X9
+
4
9X13
+
4
13X17
+
4
17X21
=
1 2 +
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
＋
1
64
=
5
6
-
7
12
+
9
20
-
11
30
+
13
42
=
1+
1
2
-
5
6
+
7
12
-
9
20
+
11
30
－
13
42
+
15
56
-
17
72
=
1
2
＋（
2
3
+
1
3
）＋（
3
4
+
2
4
+
1
4
）＋…＋（
39
40
+
38
40
＋…＋
2
40
+
1
40
）=
71
1
6
×
6
7
＋61
1
5
×
5
6
＋51
1
4
×
4
5
＋41
1
3
×
3
4
＋31
1
2
×
2
3
=
1
1
2
×1
1
3
×1
1
4
×1
1
5
×……×1
1
99
×1
1
100
=
（1＋
1
2
）×（1＋
1
4
）×（1＋
1
6
）×…×（1＋
1
20
）×（1－
1
3
）×（1－
1
5
）×…×（1—
1
19
）
×（1—
1
21
）=
（1＋
1
2
＋
1
3
+
1
4
）×（
1
2
＋
1
3
+
1
4
+
1
5
）－（1＋
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
）×（
1
2
＋
1
3
+
1
4
）=
(9-
16
39
×4)＋（8－
16
39
×5）＋……＋（4－
16
39
×9）=
1
55
+
2
55
+
3
55
＋…＋
9
55
+
10
55
+
11
155
+
12
155
13
55
＋……＋
19
155
+
20
155
=
2
51
+
4
51
+
6
51
＋……＋
50
51
－
1
51
-
3
51
-
5
51
－……－
49
51
=