高中数学总结导数知识梳理
(完整版)高中数学导数知识点归纳总结
§14. 导 数 知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .于是)]()()([lim )(lim )(lim 000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为xx x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆xy ，故x yx ∆∆→∆0lim不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-4. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x fx x cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①0)(φx f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)(φx f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)(πx f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 2'11)(arcsin xx -=1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= 2'11)(arccos xx --=II. x x 1)(ln '=e x x a a log 1)(log '= 11)(arctan 2'+=x x x x e e =')( a a a x x ln )('= 11)cot (2'+-=x x arcIII. 求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得x x x x x y y x y y xx x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''.导数知识点总结复习经典例题剖析 考点一：求导公式。
高三导数公式总结知识点
高三导数公式总结知识点一、导数定义与符号表示导数是函数在某一点处的切线斜率，表示为f'(x)，也可表示为dy/dx或df(x)/dx。
二、导数的基本性质1. 可导性：若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处连续。
2. 导数的唯一性：函数f(x)在点x=a处的导数唯一。
3. 常数导数：若f(x)为常数，则f'(x)=0。
4. 乘法常数：若k为常数，则(kf(x))'=kf'(x)。
5. 和差函数：若f(x)和g(x)在点x=a处可导，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
6. 乘法函数：若f(x)和g(x)在点x=a处可导，则(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
7. 商函数：若f(x)和g(x)在点x=a处可导且g'(a)≠0，则(f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g^2(x)。
三、常用导数公式1. 常数函数：(k)'=0，其中k为常数。
2. 幂函数：(x^n)'=nx^(n-1)，其中n为整数。
3. 指数函数：(a^x)'=a^x*ln(a)，其中a为正实数且a≠1。
4. 对数函数：(log_a(x))'=1/(xln(a))，其中a为正实数且a≠1。
5. 三角函数：- (sin(x))'=cos(x)- (cos(x))'=-sin(x)- (tan(x))'=sec^2(x)- (cot(x))'=-csc^2(x)- (sec(x))'=sec(x)tan(x)- (csc(x))'=-csc(x)cot(x)6. 反三角函数：- (arcsin(x))'=1/√(1-x^2)，其中-1≤x≤1。
导数知识点总结大全高中
导数知识点总结大全高中一、导数的基本概念1. 函数的变化率函数在定义域内的某一点上的变化率就是导数。
函数在某一点的导数描述了函数在这一点附近的变化趋势，是函数曲线的切线斜率。
当函数在某一点的导数为正时，表示函数在这一点附近是增加的；当函数在某一点的导数为负时，表示函数在这一点附近是减小的；当函数在某一点的导数为零时，表示函数在这一点附近有极值。
2. 导数的几何意义函数在某一点的导数是该函数曲线在这一点的切线斜率，即切线的倾斜程度。
当导数为正时，表示切线斜率为正，曲线是逐渐上升的；当导数为负时，表示切线斜率为负，曲线是逐渐下降的；当导数为零时，表示切线水平，曲线在该点可能有极值。
3. 导函数如果函数f(x)在x处可导，则在这一点导函数f'(x)给出了函数在这一点的变化率。
导函数是原函数f(x)关于自变量x的导数函数，通常使用f'(x)来表示。
4. 导数的符号函数f(x)在某一点的导数为正时，表示函数在这一点附近是增加的；函数f(x)在某一点的导数为负时，表示函数在这一点附近是减小的；函数f(x)在某一点的导数为零时，表示函数在这一点附近有极值。
二、导数的定义1. 函数可导如果函数f(x)在某一点x处的导数存在，那么称函数f(x)在这一点可导。
函数在某一点可导的条件是函数在这一点存在切线。
2. 函数导数的极限定义函数f(x)在x处的导数被定义为：f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h其中，lim表示极限，h→0表示当h趋近于0时的极限，f(x+h) - f(x)表示函数在x+h处和x处的高度差，h为x的增量。
3. 导数的等价形式导数的等价形式有有限增量与自变量增量之比求极限、差商公式等形式。
三、导数的性质1. 可导函数的和、差的导数如果函数f(x)和g(x)在x处可导，则它们的和f(x)+g(x)和差f(x)-g(x)在x处也可导，且导数为f'(x)+g'(x)和f'(x)-g'(x)。
高中数学导数归纳总结
高中数学导数归纳总结导数是高中数学中一个重要的概念，用于研究函数的变化率。
在学习导数的过程中，我们需要掌握一系列的规则和技巧，以便正确地求导。
本文将对高中数学中导数的相关知识进行归纳总结。
一、导数的定义导数的定义是函数f(x)在点x=a处的导数，表示函数在该点的瞬时变化率。
具体地，导数可以用极限的形式表示：若函数f(x)在点x=a处可导，则它的导数f'(a)等于函数f(x)在点x=a处的极限，即f'(a) =lim(x→a) [f(x)-f(a)] / (x-a)。
二、导数的求法1. 基本函数的导数常用基本函数的导数公式如下：- 常数函数的导数为0，即d(c)/dx = 0。
- 幂函数的导数为其指数乘以常数，即d(x^n)/dx = n*x^(n-1)。
- 指数函数的导数等于其自身乘以ln(e)（即1），即d(e^x)/dx = e^x。
- 对数函数的导数等于其自变量的倒数，即d(ln(x))/dx = 1/x。
- 三角函数的导数公式如下：* 正弦函数的导数为余弦函数，即d(sin(x))/dx = cos(x)。
* 余弦函数的导数为负的正弦函数，即d(cos(x))/dx = -sin(x)。
* 正切函数的导数为其倒数的平方，即d(tan(x))/dx = 1/cos^2(x)。
2. 导数的四则运算法则- 和差法则：若函数f(x)和g(x)在某点可导，则其和（差）的导数等于函数f(x)和g(x)的导数之和（之差），即(d[f(x)+g(x)]/dx = d[f(x)]/dx+ d[g(x)]/dx）。
- 积法则：若函数f(x)和g(x)在某点可导，则其积的导数等于函数f(x)在该点的导数与g(x)在该点的函数值之积加上函数f(x)在该点的函数值与g(x)在该点的导数之积，即(d[f(x)g(x)]/dx = f'(x)g(x) + f(x)g'(x))。
- 商法则：若函数f(x)和g(x)在某点可导且g(x)不等于0，则其商的导数等于函数f(x)在该点的导数与g(x)在该点的函数值之积减去函数f(x)在该点的函数值与g(x)在该点的导数之积，再除以g(x)在该点的函数值的平方，即(d[f(x)/g(x)]/dx = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/g(x)^2）。
高中数学导数知识点总结
高中数学导数知识点总结一、导数的定义1. 导数的几何意义在直角坐标系中，函数的导数表示了函数曲线在某一点的切线的斜率。
也就是说，导数描述了函数在某一点处的变化率。
如果函数在某一点的导数为正，那么函数在这一点的曲线是朝上凸的；如果函数在某一点的导数为负，那么函数在这一点的曲线是朝下凸的；如果函数在某一点的导数为零，那么函数在这一点的曲线可能是一个最大值、最小值或者拐点。
2. 导数的代数定义设函数y=f(x)，在点x0处可导。
如果当自变量x的增量为Δx时，函数值的增量Δy与自变量的增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限存在，那么就称函数y=f(x)在点x0处可导。
这个极限就是函数在点x0处的导数，通常用f'(x0)或者df(x0)/dx来表示。
二、导数的性质1. 可导性与连续性在区间上连续的函数必定在该区间上有定义且连续的导数。
不过反之不成立。
2. 导数的四则运算法则设函数y=f(x)和y=g(x)都在x处可导，则：（1）常数函数的导数\[ (k)' = 0 \]（2）乘积的导数\[ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \]（3）商的导数\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \]（4）复合函数的导数\[ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]3. 链式法则设函数y=f(u)和u=g(x)都在某点可导，则复合函数y=f(g(x))在该点可导，且有\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]4. 高阶导数如果函数f的导数也可导，则函数f有二阶导数，记作f''；同理，f(n)表示函数f的n阶导数。
导数知识点归纳总结
导数知识点归纳总结一、导数的定义1. 导数的几何意义导数描述了函数在某一点的切线斜率，即函数曲线在该点的瞬时变化率。
在几何上，导数可以理解为函数曲线在某一点的切线斜率，它表示了函数在该点的瞬时变化情况。
2. 导数的代数定义设函数y=f(x)，在x=a处可导的充分必要条件是改点的柯西收敛序列极限为相同的值。
这个值就是在点a处的导数。
它是一个数值，常常用f'(a)表示。
3. 导数的表示导数通常用f'(x)、dy/dx或y'表示。
4. 导数的图形意义导数的图形意义是函数在某点处的导数等于该点处的切线的斜率，即在该点函数的线性增长率。
二、导数的性质1. 导数存在性函数在某点可导的充分必要条件是函数在该点连续，连续函数一定可以导。
2. 导数的基本性质导数满足加法性、乘法性、常数法则、幂法则、反函数法则、复合函数法则、分段函数法则等性质。
三、求导法则1. 基本函数的导数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的导数。
2. 导数的四则运算导数的四则运算包括两个导数相加、导数与常数相乘、导数的乘积法则、导数的商法则。
3. 高阶导数函数的二阶导数为对其一阶导数进行求导，即f''(x)=(f'(x))'，依次类推，得到高阶导数。
四、导数的应用1. 导数在最值问题中的应用y=f(x)在[a,b]上可导，且在[a,b]的端点不可导，则y=f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，它们一般在驻点或者在区间的端点。
2. 导数在凹凸性与拐点判别中的应用y=f(x)的凹凸性和拐点以及弯曲率的研究，主要利用f''(x)的正负性和零点。
3. 导数在函数图形的创作中的应用利用导数的计算公式，可以绘制函数的图形，描绘函数的特点，掌握图形的整体特征。
4. 导数在微分中的应用微分可以看作函数的变化量，它与导数之间有着密切的联系。
微分和导数的关系可以帮助我们求解函数的变化率、近似值、极限值等问题。
高中数学导数知识点归纳总结
高中数学导数知识点归纳总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高中导数复习资料一、基本概念1. 导数的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。
()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())((''x Cf x Cf =(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
导数知识点总结大全
导数知识点总结大全一、基本概念1.1 导数的定义对于函数y = f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)，它定义为函数在该点的变化率。
导数可以用极限的概念来定义：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]其中，h表示自变量x的小变化量，当h趋近于0时，这个极限就表示了函数在点x处的导数。
导数也可以表示为函数的微分形式，即dy = f'(x)dx。
1.2 导数的几何意义导数有着重要的几何意义，它表示了函数在某一点上的切线斜率。
对于函数y = f(x)，在点(x, f(x))处的切线的斜率恰好等于函数在该点的导数f'(x)。
这意味着导数可以描述函数在某一点的变化速率和方向。
1.3 导数的物理意义在物理学中，导数也有着重要的物理意义。
对于物理量s关于时间t的函数s(t)，它的导数s'(t)表示了速度的变化率，即s'(t) = ds/dt。
类似地，速度关于时间的函数v(t)的导数v'(t)表示了加速度的变化率，即v'(t) = dv/dt。
因此，导数在描述物理过程中的变化率和速度方面也有着重要的应用。
1.4 导数的符号表示导数的符号表示通常有几种形式，常见的包括f'(x)、dy/dx、y'等。
它们都表示对函数y =f(x)的自变量x求导所得到的结果，即函数在某一点上的变化率或者斜率。
二、导数的性质2.1 导数存在性对于一个函数f(x)，它在某一点上的导数可能存在也可能不存在。
如果函数在某一点上导数存在，那么称该函数在该点上可导。
对于大多数常见的函数，它们在定义域内是可导的，例如多项式函数、三角函数、指数函数等。
但也存在一些特殊的函数，在某些点上导数可能不存在，例如绝对值函数在原点处的导数就不存在。
2.2 导数的连续性如果一个函数在某一点上导数存在，并且它在该点上是连续的，那么称该函数在该点上是可微的。
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若函数在区间（）上单调递减，则，反之等号不成立。比如：
a)函数，其中为实数，当时，的
单调性是______（答：增函数）；
b)设函数在上单调函数，则实数的取值范围______
（答：）；
c)已知函数为常数）在区间上单调递增，且方程
的根都在区间内，则的取值范围是____________（答：）；
在开区间（a,b）内的导函数，记作，
导函数也简称为导数。
3、求在处的导数的步骤：
（1）求函数的改变量；
（2）求平均变化率；
（3）取极限，得导数。
4、导数的几何意义：
函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切
线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率是，相应地切线的
方程是。
特别提醒：
（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某
n（n∈Q+），则f`（x）=nxn-1；
2．若f（x）=x
3．若f（x）=sinx，则f`（x）=cosx；
4．若f（x）=cosx，则f`（x）=-sinx；
x，则f`（x）=axlnx；
5．若f（x）=a
6．若f（x）=ex，则f`（x）=ex；
17．若f（x）=logax，则f`（x）=
；
xlna
点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲
线上也不一定只有一条；
（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只
有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是。
比如：
（1）P在曲线上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是
______（答：）；
在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。
不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时
候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数
学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而
中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其
端点值中的“最小值”。
（2）求函数在[]上的最大值与最小值的步骤：
（1）求函数在（）内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的
（答：①1；②或）。[1]
二、相关背景
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产
生了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下
面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理
论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”
ln(
ln(x+△x)-lnx
f(x)=lim△x=lim
△x→0△x→0
x+△x
x)
ln(
△x=lim
△x→0
△x
x+1)
△x
设
△x
=t
x
x→0,t→0
△x=tx
所以原式等于lim
t→0
1
x
1
·
t
·ln(1+t)
=lim
t→0
1
x
·ln(1+t）
1
1
t=
x
3.(lnex)′=
1
ex
·(ex)′=1
应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布
尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。
牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。
这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。
直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，
即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最
小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一
个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的
研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普
导数
一、导数的概念
1．导数的背景
（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
如一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在
时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）
2.导数的定义
如果函数在开区间（a,b）内可导，对于开区间（a,b）内的每一个，都对应着
一个导数，这样在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做
一个是求积问题(积分学的中心问题)。
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷
小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学
来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。
牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里
(ex)′=ex
x
4.(ax)′=(elna
)
′
=(exlna)
′
=exlna(xlna)′=ax·lna
5.试求f(x)=sinx的导函数f′(x)
f′(x)=lim
(
△x→0
sin(x+△x)+sinx
△x
)
sin(x+△x)=sin[(x+
△x
)+
2
△x
]
2
sinx=sin[(x+
△x
)-
2
△x
微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它
也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊
的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼
茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，
（2）直线是曲线的一条切线,则实数的值为_______（答：－3或
1）；
（3）已知函数（为常数）图像上处的切线与的
夹角为，则点的横坐标为_____（答：0或）；
（4）曲线在点处的切线方程是______________（答：）；
（5）已知函数，又导函数的图象与轴交于
。①求的值；②求过点的曲线的切线方程
勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家ㄈ牛顿和德国数学家莱布尼茨分
别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们
的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），
远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就
是当时莱布尼茨精心选用的。
微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用
微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。
前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，
n
们各自相等时才取等号）
∵f(n)=(1+
1
n
)n=(1+1
)(1+
n
111
)····(1·+··)·(1·+·)x1<
nnn
[
(1+
1
n)n+1
n+1
n+2
n+1
]n+1=(
)n+1=(1+
1
n+1
)n+1
结论lim
n→∞
(1+
1
)
n
=e
反过来lim(1+n)
n→0
1
n=e
2.试求f(x)=lnx的导数。
（2）函数的导数为__________（答：）；
（3）若对任意，，则是______（答：）
[1]
四、部分初等函数的导数公式推导
1.设f（n）=(1+
1
n
)
n
1
f（n+1）=(1+
n+1
)n+1=2.718⋯=e
辅助结论：a
1+a2+a3·····n·········a
n
≥√a1a2a3a4····n·（·他··们·全·大a于零当且仅当他
]
2
f′(x)=lim
(
△x→0
cos(x+
△x△x
)·sin
22
△x
2
)=cosx
(cosx)′=[sin(
π
-x)]
2
′
=cos(
ππ
-x)·(-x)
22
′
=-sinx
辅助结论：
五、多项式函数的单调性
1.多项式函数的导数与函数的单调性：
（1）若,则为增函数；若,则为减函数；若恒
成立,则为常数函数；若的符号不确定,则不是单调函数。
b)已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是
_____（答：或）；