高一数学计算题
高一上期末数学试卷计算题
1. 若等差数列{an}的公差d=2，且a1+a5=20，则a3的值为（）A. 8B. 10C. 12D. 142. 已知等比数列{an}的公比q=2，且a1+a4=48，则a2的值为（）A. 12B. 16C. 24D. 323. 若函数f(x)=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为(1,3)，则a、b、c的取值范围是（）A. a>0，b>0，c>0B. a>0，b<0，c>0C. a>0，b>0，c<0D. a>0，b<0，c<04. 已知函数f(x)=x^3-3x，则f(x)的对称中心为（）A. (0,0)B. (1,0)C. (-1,0)D. (3,0)5. 若函数f(x)=ax^2+bx+c的图象经过点(1,2)，则a、b、c的取值范围是（）A. a>0，b>0，c>0B. a>0，b<0，c>0C. a>0，b>0，c<0D. a>0，b<0，c<06. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象开口向下，且顶点坐标为(2,3)，则a、b、c的取值范围是（）A. a>0，b>0，c>0B. a>0，b<0，c>0C. a>0，b>0，c<0D. a>0，b<0，c<07. 若函数f(x)=ax^2+bx+c的图象经过点(-1,2)，则a、b、c的取值范围是（）A. a>0，b>0，c>0B. a>0，b<0，c>0C. a>0，b>0，c<0D. a>0，b<0，c<08. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为(-1,2)，则a、b、c的取值范围是（）A. a>0，b>0，c>0B. a>0，b<0，c>0C. a>0，b>0，c<0D. a>0，b<0，c<09. 若函数f(x)=ax^2+bx+c的图象经过点(0,1)，则a、b、c的取值范围是（）A. a>0，b>0，c>0B. a>0，b<0，c>0C. a>0，b>0，c<0D. a>0，b<0，c<010. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象开口向下，且顶点坐标为(0,1)，则a、b、c的取值范围是（）A. a>0，b>0，c>0B. a>0，b<0，c>0C. a>0，b>0，c<0D. a>0，b<0，c<0二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 若等差数列{an}的公差d=3，且a1+a5=30，则a3的值为______。
高一数学指数与指数幂的计算题及答案解析
(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函 数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得 函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分 别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递 增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。 (7)函数总是通过(0，1)这点。 (8)显然指数函数无界。 奇偶性
高一数学立体几何计算题(理科)含解析
理科立体几何计算题一．解答题（共30小题）1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．2．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．3．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．4．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．5．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．7．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．8．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．9．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．10．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA=1，AD=2．（1）求平面BPC的法向量；（2）求二面角B﹣PC﹣A的正切值．11．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=，AA1=2，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（1）证明：CD⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．12．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．13．如图，平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，∠ABC=60°，PA⊥AD，E，F分别为BC，PE的中点，AF⊥平面PED．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求直线BF与平面AFD所成角的正弦值．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．15．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2．（1）求证：AB⊥PC；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．16．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AM；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PD=AD，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD．（1）求证AC⊥PB；（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值．18．如图所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，且侧面ABB1A1垂直于底面．（1）判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论；（2）求四棱锥B﹣ACC1A1的体积．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．20．如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA ⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（1）求证：BD⊥平面ADE；（2）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值．21．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=CD，∠ABC=60°，BC=AF=2AD=4DE=4．（Ⅰ）请在图中作出平面α，使得DE⊂α，且BF∥α，并说明理由；（Ⅱ）求直线EF与平面BCE所成角的正弦值．22．如图，在四棱锥中S﹣ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=，SE⊥AD．（1）证明：平面SBE⊥平面SEC（2）若SE=1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．23．如图，在四棱锥A﹣BCED中，AD⊥底面BCED，BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE．（1）若F是AD的中点，求证：EF∥平面ABC；（2）若AD=DE，求BE与平面ACE所成角的正弦值．24．在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E﹣BD﹣A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且．（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．25．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，B1C ⊥AC1．（Ⅰ）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）若D是CC1中点，∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角，求直线AC1与平面ABC所成角的余弦值．26．等腰三角形ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P的位置，使P﹣AE﹣C为120°，设点P在面ABE上的射影为H．（1）证明：点H为EB的中点；（2））若，求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．27．圆O上两点C，D在直径AB的两侧（如图甲），沿直径AB将圆O折起形成一个二面角（如图乙），若∠DOB的平分线交弧于点G，交弦BD于点E，F为线段BC的中点．（Ⅰ）证明：平面OGF∥平面CAD；（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为直二面角，且AB=2，∠CAB=45°，∠DAB=60°，求直线FG与平面BCD所成角的正弦值．28．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面BCP，CD∥平面ABP，AB=BC=CP=BP=2CD=2．（Ⅰ）证明：平面BAP⊥平面DAP；（Ⅱ）点M为线段AB（含端点）上一点，设直线MP与平面DCP所成角为α，求sinα的取值范围．29．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，且AB∥CD，AB⊥平面PAD，E 是PB中点，CD=PD=AD=AB．（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAB；（Ⅱ）若CE=，AB=4，求直线CE与平面PDC所成角的大小．30．如图，多面体ABCDE中，AB⊥面ACD，DE⊥面ACD；三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1（1）求直线AE和面CDE所成角的正切值；（2）求多面体ABCDE的体积；（3）判断直线CB和AE能否垂直，证明你的结论．理科立体几何计算题参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2017•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得，故．所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得．所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．2．（2017•浙江）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，∵E为PD的中点，∴EF∥PA，在四边形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F为中点，∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP，∵EC⊂平面EFC，∴EC∥平面PAB．解：（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，∵PA=PD，∴PF⊥AD，推导出四边形BCDF为矩形，∴BF⊥AD，∴AD⊥平面PBF，又AD∥BC，∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB，设DC=CB=1，则AD=PC=2，∴PB=，BF=PF=1，∴MF=，又BC⊥平面PBF，∴BC⊥MF，∴MF⊥平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，∵MF=，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，∴E到平面PBC的距离为，在，由余弦定理得CE=，设直线CE与平面PBC所成角为θ，则sinθ==．3．（2017•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF AD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=，∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，作NQ⊥AB于Q，连接MQ，所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ==，二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：=．4．（2017•江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为，由，得，取x=，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．5．（2017•新课标Ⅲ）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．∴DO=AC．∴DO2+BO2=AB2=BD2．∴∠BOD=90°．∴OB⊥OD．又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．（2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为h D，h E．则=．∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，∴===1．∴点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E．=（﹣1，0，1），=，=（﹣2，0，0）．设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，取=．同理可得：平面ACE的法向量为=（0，1，）．∴cos===﹣．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．6．（2017•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，则，即M为PB的中点；（2）解：取AD中点G，∵PA=PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，），，．设平面PBD的一个法向量为，则由，得，取z=，得．取平面PAD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；（3）解：，平面PAD的一个法向量为．∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞|=||=| |=．7．（2017•山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°．解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣1，，0），故，，．设为平面AEG的一个法向量，由，得，取z1=2，得；设为平面ACG的一个法向量，由，可得，取z 2=﹣2，得．∴cos＜＞=．∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．8．（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．9．（2017•天津）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E （0，2，2），则，，设平面MEN的一个法向量为，由，得，取z=2，得．由图可得平面CME的一个法向量为．∴cos＜＞=．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为，则正弦值为；（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），，．∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为，∴|cos＜＞|=||=||=．解得：t=或t=．∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为或．10．（2017•吴江区三模）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA=1，AD=2．（1）求平面BPC的法向量；（2）求二面角B﹣PC﹣A的正切值．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD．∵PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，∴PC⊥BD．又PA∩PC=P，∴BD⊥平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC．又底面ABCD为矩形，∴ABCD为正方形．建立如图所示的空间直角坐标系．A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．=（0，2，0），=（﹣2，0，1），设平面BPC的法向量为=（x，y，z），∴，∴，取=（1，0，2．）．∴平面BPC的一个法向量为=（1，0，2．）．（2）平面PAC的法向量为：=（﹣2，2，0）．设二面角B﹣PC﹣A=θ，由图可知：θ为锐角．则cos===﹣．∴cosθ=．∴sinθ=．∴tanθ==3．即二面角B﹣PC﹣A的正切值为3．11．（2017•虎林市模拟）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=，AA1=2，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（1）证明：CD⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）由题意可知，在Rt△ABD中，tan∠ABD==，在Rt△ABB1中，tan∠AB1B==．又因为0＜∠ABD，∠AB1B，所以∠ABD=∠AB1B，所以∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1=，所以AB1⊥BD．又CO⊥侧面ABB1A1，且AB1⊂侧面ABB1A1，∴AB1⊥CO．又BD与CO交于点O，所以AB1⊥平面CBD．又因为BC⊂平面CBD，所以BC⊥AB1．（6分）解：（2）如图所示，以O为原点，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，，0），D（，0，0）．又因为=2，所以C1（，，）．所以=（﹣，，0），=（0，，），=（，，）．设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则由，得令y=，则z=﹣，x=1，=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量．设直线C1D与平面ABC所成的角为α，则sin α==．故直线C1D与平面ABC所成角的正弦值为．（12分）12．（2017•广西一模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点，连接OC，OA1，∵CA=CB，AB=A1A，∠BAA1=60°∴OC⊥AB，OA1⊥AB，∵OC∩OA1=O，∴AB⊥平面OCA1，∵CA1⊂平面OCA1，∴AB⊥A1C；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），==（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞=﹣，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．13．（2017•徐水县模拟）如图，平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，∠ABC=60°，PA⊥AD，E，F分别为BC，PE的中点，AF⊥平面PED．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求直线BF与平面AFD所成角的正弦值．【解答】解：（1）连接AE，∵AF⊥平面PED，ED⊂平面PED，∴AF⊥ED，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，∠ABC=60°，∴AE=2，，∴AE2+ED2=AD2，∴AE⊥ED，又∵AF∩AE=A，AF⊂平面PAE，PA⊂平面PAE，∴ED⊥平面PAE，∵PA⊂平面PAE，∴ED⊥PA，又PA⊥AD，AD∩ED=D，AE⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD．（2）以E为坐标原点，以EA，ED为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，2，0），，，∵AF⊥平面PED，所以AF⊥PE，又F为PE中点，∴PA=AE=2，∴P（0，2，2），F（0，1，1），∴，，，设平面AFD的法向量为，由，得，，令x=1，得．设直线BF与平面AFD所成的角为θ，则：，即直线BF与平面AFD所成角的正弦值为．14．（2017•葫芦岛模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．【解答】（Ⅰ）证明：∵在平行四边形ABCD中，∠BCD=135°，∴∠ABC=45°，∵AB=AC，∴AB⊥AC．∵E，F分别为BC，AD的中点，∴EF∥AB，∴EF⊥AC．∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，∴PA⊥底面ABCD．又EF⊂底面ABCD，∴PA⊥EF．又∵PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴EF⊥平面PAC．（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，∴AP，AB，AC两两垂直，以A为原点，分别以AB，AC，AP为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，0），E（1，1，0），∴=（2，0，﹣2），=（﹣2，2，﹣2），，=（1，1，﹣2）．设=λ（0≤λ≤1），则=（﹣2λ，2λ，﹣2λ），∴==（1+2λ，1﹣2λ，2λ﹣2），显然平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1）．设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，即令x=1，得=（1，1，1）．∴cos＜，＞==，cos＜＞==．∵直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，∴||=||，即，解得，或（舍）．∴．15．（2017•腾冲县校级一模）如图，在四棱锥中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD ∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2．（1）求证：AB⊥PC；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是直角梯形，AD=CD=2，BC=4，∴AC=4，AB===4，∴△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，∴AB⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴AB⊥PC．（2）假设存在符合条件的点M，过点M作MN⊥AD于N，则MN∥PA，∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC．过点M作MG⊥AC于G，连接NG，则AC⊥平面MNG，∴AC⊥NG，即∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角．若∠MGN=45°，则NG=MN，又AN=NG=MN，∴MN=1，即M是线段PD的中点．∴存在点M使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°．=S△ABC•MN==，在三棱锥M﹣ABC中，V M﹣ABC=，设点B到平面MAC的距离是h，则V B﹣MAC===2，∵MG=MN=，∴S△MAC∴=，解得h=2．在△ABN中，AB=4，AN=，∠BAN=135°，∴BN==，∴BM==3，∴BM与平面MAC所成角的正弦值为=．16．（2017•五模拟）如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD 是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AM；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点O，连接OB，OM．∵△BCD是等边三角形，∴OB⊥CD．∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，∴OM⊥CD．∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM⊂平面CMD，∴OM⊥平面BCD．又∵AB⊥平面BCD，∴OM∥AB．∴O，M，A，B四点共面．∵OB∩OM=O，OB⊂平面OMAB，OM⊂平面OMAB，∴CD⊥平面OMAB．∵AM⊂平面OMAB，∴CD⊥AM．（Ⅱ）作MN⊥AB，垂足为N，则MN=OB．∵△BCD是等边三角形，BC=2，∴，CD=2．在Rt△ANM中，．∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，∴．∴AB=AN+NB=AN+OM=2．以点O为坐标原点，以OC，BO，OM为坐标轴轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则M（0，0，1），，D（﹣1，0，0），．∴，，．设平面BDM的法向量为=（x，y，z），由n•，n•，∴，令y=1，得=．设直线AM与平面BDM所成角为θ，则==．∴直线AM与平面BDM所成角的正弦值为．17．（2017•香坊区校级二模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PD=AD，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD．（1）求证AC⊥PB；（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，∵BD∩PD=D，∴AC⊥面PDB，∵PB⊂面PDB∴AC⊥PB．（2）解：设PD=AD=1，设A到平面PBC的距离为h，==则由题意PA=PB=PC=，S△ABC在等腰△PBC中，可求S==△PBC=V P﹣ABC，=，h=∴V A﹣PBC∴sinθ===18．（2017•徐汇区校级模拟）如图所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，且侧面ABB1A1垂直于底面．（1）判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论；（2）求四棱锥B﹣ACC1A1的体积．【解答】解：（1）B1C⊥C1A证明如下：在平面BA1内，过B1作B1D⊥AB于D，∵侧面BA1⊥平面ABC，∴B1D⊥平面ABC，∠B1BA是BB1与平面ABC所成的角，∴∠B1BA=π﹣=，连接BC1，∵BB1CC1是菱形，∴BC1⊥B1C，CD⊥平面A1B，B1D⊥AB，∴B1C⊥AB，∴B1C⊥平面ABC1，∴B1C⊥C1A．（2）解：由题意及图，答：四棱锥B﹣ACC1A1的体积为219．（2017•焦作二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．【解答】证明：（I）取AB的中点D，连结CD，DF，DE．∵AC=BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB．∵侧面ABB1A1是边长为2的正方形，AE=，A1F=．∴A1E=，EF==，DE==，DF==，∴EF2+DE2=DF2，∴DE⊥EF，又CE⊥EF，CE∩DE=E，CE⊂平面CDE，DE⊂平面CDE，∴EF⊥平面CDE，又CD⊂平面CDE，∴CD⊥EF，又CD⊥AB，AB⊂平面ABB1A1，EF⊂平面ABB1A1，AB，EF为相交直线，∴CD⊥平面ABB1A1，又CD⊂ABC，∴平面ABB1A1⊥平面ABC．（II）∵平面ABB1A1⊥平面ABC，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC．∵CA⊥CB，AB=2，∴AC=BC=．以C为原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），E（，0，），F（，，2）．∴=（﹣，0，2），=（，0，），=（，，2）．设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=4，得=（﹣，﹣9，4）．∴=10，||=6，||=．∴sin＜＞==．∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为．20．（2017•秦州区校级模拟）如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（1）求证：BD⊥平面ADE；（2）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值．【解答】解：（1）∵EA=ED=2，EA⊥ED，∴AD=2．∵BC=CD=2，BC⊥CD，∴BD=2又AB=4，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面ADE．（2）取AD的中点F，连接EF，则EF⊥平面ABCD，EF=．过D点作直线Oz∥EF，则Oz⊥平面ABCD．以D为坐标原点，以DA，DB，Dz为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，∴D（0，0，0），C（﹣，，0），B（0，2，0），E（，0，），∴=（，﹣2，），=（，0，），=（﹣，，0）．设平面CDE的一个法向量为=（x，y，z），则，∴，设x=1得=（1，1，﹣1）．∴cos＜＞===﹣．∴直线BE和平面CDE所成角的正弦值为．21．（2017•泉州一模）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=CD，∠ABC=60°，BC=AF=2AD=4DE=4．（Ⅰ）请在图中作出平面α，使得DE⊂α，且BF∥α，并说明理由；（Ⅱ）求直线EF与平面BCE所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取BC的中点G，连接EG，DG，则平面EDG为所求．∵AD=2，BG=2，AD∥BC，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG，∵AB⊄平面EDG，DG⊂平面EDG，∴AB∥平面EDG．同理AF∥平面EDG，∵AB∩AF=A，∴平面ABF∥平面EDG，∵FB⊂平面ABF，∴BF∥平面EDG；（Ⅱ）以点A为坐标原点，AD为y轴，AF为z轴，过A垂直于AD的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，则F（0，0，4），E（0，2，1），B（，﹣1，0），C（，3，0），∴=（0，﹣2，3），=（0，4，0），=（﹣，3，1），设平面BCE的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，3），则直线EF与平面BCE所成角的正弦值==．22．（2017•乃东县校级三模）如图，在四棱锥中S﹣ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=，SE⊥AD．（1）证明：平面SBE⊥平面SEC（2）若SE=1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SE⊂平面SAD，SE⊥AD，∴SE⊥平面ABCD，…（2分）∵BE⊂平面ABCD，∴SE⊥BE．∵CD=3AB=3，AE=ED=，∴∠AEB=30°，∠CED=60°．所以∠BEC=90°即BE⊥CE．…（4分）结合SE∩CE=E得BE⊥平面SEC，∵BE⊂平面SBE，∴平面SBE⊥平面SEC．…（6分）（2）由（1）知，直线ES，EB，EC两两垂直．如图，以EB为x轴，以EC为y轴，以ES为z轴，建立空间直角坐标系．则，∴．设平面SBC的法向量为，则解得一个法向量，…（9分）设直线CE与平面SBC所成角为θ，又，则．所以直线CE与平面SBC所成角的正弦值．…（12分）23．（2017•邯郸二模）如图，在四棱锥A﹣BCED中，AD⊥底面BCED，BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE．（1）若F是AD的中点，求证：EF∥平面ABC；（2）若AD=DE，求BE与平面ACE所成角的正弦值．【解答】证明：（1）取DB中点G，连结EG、FG．∵F是AD的中点，∴FG∥AB．∵BD=2CE，∴BG=CE．∵∠DBC=∠BCE∴E、G到直线BC的距离相等，则BG∥CB，∵EG∩FG=G∴面EGF∥平面ABC，则EF∥平面ABC．解：（2）以点D为原点，建立如图所示的直角坐标系D﹣xyz，设EC=1，则DB=2，取BC中点C，则EG∥BC，∴BC=3，∵AD=DE，则A（0，0，），E（0，，0），B（2，0，0），C（，，0）．，．设平面ACE的法向量，=x+y=0令y=1，则，|cos|=．∴BE与平面ACE所成角的正弦值为：24．（2017•湘潭三模）在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E﹣BD﹣A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且．（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取OD的中点R，连接PR，QR，则DE∥RQ，由题知，又，故AB：AP=4：1=DB：DR，因此AD∥PR，因为PR，RQ⊄平面ADE，且AD，DE⊂平面ADE，故PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，又PR∩RQ=R，故平面PQR∥平面ADE，从而PQ∥平面ADE．…6分（Ⅱ）解：由题EA=ED=5，，设点O到平面ADE的距离为d，则由等体积法可得，故，因此．…12分．25．（2017•城厢区校级模拟）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，B1C⊥AC1．（Ⅰ）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）若D是CC1中点，∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角，求直线AC1与平面ABC所成角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接BC1，因为BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，又B1C⊥AC1，AC1∩BC1=C1，所以B1C⊥面ABC1．故B1C⊥AB．因为AB⊥BB1，且BB1∩BC1，所以AB⊥面BB1C1C．而AB⊂平面ABB1A1，所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）因为∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角，所以BD⊥CC1，又D是CC1中点，所以BD=BC1，所以△C1BC为等边三角形．如图所示，分别以BA，BB1，BD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB=2，则A（2，0，0），，，）．设是平面ABC的一个法向量，则，即，取z=1得．所以=，所以直线AC1与平面ABC所成的余弦值为．26．（2017•湖北模拟）等腰三角形ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P的位置，使P﹣AE﹣C为120°，设点P在面ABE上的射影为H．（1）证明：点H为EB的中点；（2））若，求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．【解答】（1）证明：依题意，AE⊥BC，则AE⊥EB，AE⊥EP，EB∩EP=E．∴AE⊥面EPB．故∠CEP为二面角C﹣AE﹣P的平面角，则点P在面ABE上的射影H在EB上．由∠CEP=120°得∠PEB=60°．…（3分）∴EH=EP=．∴H为EB的中点．…（6分）（2）解：过H作HM⊥AB于M，连PM，过H作HN⊥PM于N，连BN，则有三垂线定理得AB⊥面PHM．即面PHM⊥面PAB，∴HN⊥面PAB．故HB在面PAB上的射影为NB．∴∠HBN为直线BE与面ABP所成的角．…（9分）依题意，BE=BC=2，BH=BE=1．在△HMB中，HM=，在△EPB中，PH=，∴在Rt△PHM中，HN=．∴sin∠HBN=．…（12分）27．（2017•山东二模）圆O上两点C，D在直径AB的两侧（如图甲），沿直径AB将圆O折起形成一个二面角（如图乙），若∠DOB的平分线交弧于点G，交弦BD于点E，F为线段BC的中点．（Ⅰ）证明：平面OGF∥平面CAD；（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为直二面角，且AB=2，∠CAB=45°，∠DAB=60°，求直线FG与平面BCD所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵OF为△ABC的一条中位线∴OF∥AC，又OF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴OF∥平面ACD．又∵OG为∠DOB的平分线，∴OG⊥BD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，∴OG∥AD，又OG⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴OG∥平面ACD，又∵OG，OF为平面OGF内的两条相交直线，∴平面OGF∥平面CAD（Ⅱ）∵O为AB的中点，∴CO⊥AB，∵平面CAB⊥平面DAB，平面CAB∩平面DAB=AB，OC⊂平面ABC，∴CO⊥平面DAB，又Rt△DAB中，AB=2，∠DAB=60°，∴AD=1，又OG∥AD，OG=1，OA=1，∴四边形ADGO为菱形，∠AOG=120°，设DG中点为M，则∠AOM=90°，即OM⊥OB，∴直线OM，OB，OC两两垂直，以O为原点，以OM，OB，OC为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．则B（0，1，0），C（0，0，1），D（，，G（，，F（0，，）．∴=（，，=（0，﹣1，1），=（，﹣，0）．设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1，=（，1，1）．∴=1，||=1，=．∴=．∴直线FG与平面BCD所成角的正弦值为．28．（2017•上饶县模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面BCP，CD∥平面ABP，AB=BC=CP=BP=2CD=2．（Ⅰ）证明：平面BAP⊥平面DAP；（Ⅱ）点M为线段AB（含端点）上一点，设直线MP与平面DCP所成角为α，求sinα的取值范围．【解答】证明：（I）取PA的中点E，PB的中点O，连接DE，OE，OC．∵OE是△PAB的中位线，∴OE，∵CD∥平面PAB，CD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAB=AB，∴CD∥AB，又CD=，∴OE OE，∴四边形CDEO是平行四边形，∴DE∥OC．∵AB⊥平面PBC，OC⊂平面PBC，∴AB⊥OC，∵BC=PC，∴OC⊥PB，又PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PB=B，∴OC⊥平面PAB，又OC∥DE，∴DE⊥平面PAB，∵DE⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB．（II）∵OE∥AB，AB⊥平面PBC，∴OE⊥平面PBC．以O为原点，以OC，OB，OE为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则P（0，﹣1，0），C（，0，0），D（，0，1），设M（0，1，a）（0≤a≤2），则=（0，2，a），=（0，0，1），=（，1，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=1得=（1，﹣，0）．∴cos＜＞==．∴sinα=．∴当a=0时，sinα取得最大值，当a=2时，sinα取得最小值．∴sinα的取值范围是[，]．。
高一数学指数运算及指数函数试题(有答案)
高一数学指数运算及指数函数试题一．选择题x x=22．若非零实数a、b、c满足，则的值等于（B）∴设=3．已知，则a等于（）解：因为4．若a＞1，b＞1，p=，则a p等于（）p=b．6．若lgx﹣lgy=2a，则=（C）lg lg=lg﹣lg=lg﹣lglg（=7．已知函数，若实数a，b满足f（a）+f（b﹣2）=0，则a+b=x+8．=（）×+1=9．设，则=（）解：∵∴（（）10．，则实数a的取值区间应为（C）=log11．若lgx﹣lgy=a，则=（A）解：12．设，则（）13．已知a，b，c均为正数，且都不等于1，若实数x，y，z满足，满足=log14．化简a2•••的结果是（C）••x y xy2x x2x x2解可得，18．若关于x的方程=3﹣2a有解，则a的范围是（A）≤a＜≥＜a＜≤≤，二．填空题19．，则m=10．+=log20．已知x+y=12，xy=9，且x＜y，则=．=x+y+2=12+6=18，故答案为：21．化简：=（或或）．．故答案为：（或或22．=1．23．函数在区间[﹣1，2]上的值域是[，8]．=；=[，[24．函数的值域为（0，8]．25．函数（﹣3≤x≤1）的值域是[3﹣9，39]，单调递增区间是（﹣2，+∞）．．y=三．解答题26．计算：（1）；（2）．）27．（1）若，求的值；（2）化简（a＞0，b＞0）．=3=．．28．已知函数f （x ）=4x﹣2x+1+3． （1）当f （x ）=11时，求x 的值；（2）当x ∈[﹣2，1]时，求f （x ）的最大值和最小值．29．已知函数||22)(x x x f -=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围。
（1）当0<x 时，0)(=x f ；当0≥x 时，x x x f 212)(-=. 由条件可知 2212=-x x ，即 012222=-⋅-x x ， 解得 212±=x . 02>x ，()21log 2+=∴x . （2）当]2,1[∈t 时，021*******≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t t m ， 即 ()()121242--≥-t t m . 0122>-t ， ∴ ()122+-≥t m . ()]5,17[21],2,1[2--∈+-∴∈t t ，故m 的取值范围是),5[∞+-.30．如果函数)1,0(122≠>-+=a a a ay x x 在区间[—1，1]上的最大值是14，求a 的值。
高一数学题目及答案100道计算题必修一
高一数学题目及答案100道计算题必修一题目1：求下列各组数的最大公因数和最小公倍数：18，24。
解：18 = 2 x 3^224 = 2^3 x 3最大公因数 = 2 x 3 = 6最小公倍数 = 2^3 x 3^2 = 72题目2：计算：(2 + √3)(2 - √3)。
解：(2 + √3)(2 - √3) = 2^2 - √3^2 = 4 - 3 = 1题目3：化简：√75。
解：√75 = √(3 x 5^2) = 5√3题目4：求解下列方程：2x + 5 = 7。
解：2x + 5 = 72x = 7 - 52x = 2x = 1题目5：计算：√(-16)。
解：√(-16) = 4i题目6：求解下列方程组：3x + 2y = 74x - y = 5解：通过消元法可得：首先将第二个式子乘以2，得到：8x - 2y = 10相加得到：11x = 17解得：x = 17/11带入第一个方程得到：3 * (17/11) + 2y = 7解得：y = 5/11题目7：计算：sin^2(30°) + cos^2(30°)。
解：sin^2(30°) + cos^2(30°) = (1/2)^2 + (√3/2)^2 = 1/4 + 3/4 = 1题目8：若三角形的两条边长分别为5cm和12cm，夹角为30°，求第三边的长。
解：根据余弦定理，第三边长为√(5^2 + 12^2 - 2 * 5 * 12 * cos(30°)) = 5√3 cm题目9：计算：log(1000) - log(10)。
解：log(1000) - log(10) = log(1000/10) = log(100) = 2题目10：求下列数列的通项公式：1, 3, 5, 7, 9, …解：通项公式为a_n = 2n - 1(后续内容省略，继续提供计算题目和答案)。
数学题高一试题及答案
数学题高一试题及答案一、选择题1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。
A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的前三项分别为a1 = 1，d = 2，求a3的值。
A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A3. 函数y = x^3 - 3x^2 + 2x + 1的极值点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C二、填空题4. 计算复数(1 + 2i)(3 - 4i)的结果为______。
答案：11 - 10i5. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 6x + 8y - 24 = 0，求该圆的半径。
答案：5三、解答题6. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求证f(x)在x = 2处取得极小值。
证明：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x。
令f'(x) = 0，解得x = 0 或x = 2。
验证f''(x) = 6x - 6，代入x = 2，得到f''(2) = 6 > 0，因此f(x)在x = 2处取得极小值。
7. 解不等式：x^2 - 4x + 4 > 0。
解：将不等式转化为(x - 2)^2 > 0，由于平方项总是非负的，所以不等式成立当x ≠ 2。
因此，解集为{x|x ≠ 2}。
四、计算题8. 计算定积分∫(0到1) (2x + 3) dx。
解：首先求被积函数(2x + 3)的原函数F(x) = x^2 + 3x。
计算定积分，得到F(1) - F(0) = (1^2 + 3*1) - (0^2 + 3*0) = 4。
答案：49. 已知函数f(x) = √x，求f(x)在区间[1, 4]上的平均变化率。
解：平均变化率定义为(f(b) - f(a)) / (b - a)，代入f(x) = √x，得到平均变化率= (√4 - √1) / (4 - 1) = (2 - 1) / 3 = 1/3。
高一数学平面向量计算题
高一数学必修四-平面向量计算题2.1 平面向量的实际背景及基本概念1.下列各量中不是向量的是 【 】A .浮力B .风速C .位移D .密度2.下列说法中错误．．的是【 】A .零向量是没有方向的B .零向量的长度为0C .零向量与任一向量平行D .零向量的方向是任意的3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是【 】A .一条线段B .一段圆弧C .圆上一群孤立点D .一个单位圆4.下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a ≠b ，则|a |≠|b |. 其中正确命题的个数是 【 】A ．1B ．2C ．3D ．45．下列命题中，正确的是【 】A . 若a b =，则a b =B . 若a b =，则//a bC . 若a b >，则a b >D . 若1a =，则1a =6.在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则【 】A . AB 与AC 共线 B . DE 与CB 共线C . 与相等D . 与相等7.已知非零向量a ∥b ，若非零向量c ∥a ，则c 与b 必定 .8.已知a 、b 是两非零向量，且a 与b 不共线，若非零向量c 与a 共线，则c 与b 必定 . 9.已知|AB |=1，| AC |=2，若∠BAC =60°，则|BC |= . 10.在四边形ABCD 中， =，且||=||，则四边形ABCD是 .2.2.1 向量的加法运算及其几何意义1．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是【 】A ．00a b =B ．001a b ⋅= C ．00||||2a b += D ．00||2a b += 2.在平行四边形中ABCD ，,AB AD ==a b ，则用a 、b 表示AC 的是【 】A ．a ＋aB ．b +bC ．0D ．a ＋b3.若a +b +c =0，则a 、b 、c 【 】A .一定可以构成一个三角形；B .一定不可能构成一个三角形；C .都是非零向量时能构成一个三角形；D .都是非零向量时也可能无法构成一个三角形4.一船从某河的一岸驶向另一岸船速为1v ，水速为2v ，已知船可垂直到达对岸则 【 】A <B >C ≤D ≥5.若非零向量，a b 满足+=a b b ，则【 】Ａ.2>2+a a b Ｂ.22<+a a b Ｃ.2>+2b a b Ｄ.22<+b a b6.一艘船从A 点出发以m/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为4km/h ，求水流的速度7.一艘船距对岸，以/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速8.一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为4km/h ，方向与水流间的夹角是60 ，求1v 和v9.一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1.在△ABC 中， =a ， =b ，则等于【 】A .a +bB .-a +(-b )C .a -bD .b -a 2.下列等式:①a +0=a ②b +a =a +b ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b 正确的个数是 【 】A .2B .3C .4D .5 3.下列等式中一定能成立的是【 】A . AB +AC =BC B . AB -AC =BC C .AB +AC =CBD .-=4.化简-++的结果等于【 】A .B .C .D .5.如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空:a +b = ，b +c = ，c -d = ，a +b +c -d = .6.一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h ，则河水的流速的大小为 .7.若a 、b 共线且|a +b |＜|a -b |成立，则a 与b 的关系为 .8.在正六边形ABCDEF 中， =m ， =n ，则= .9.已知a 、b 是非零向量，则|a -b |=|a |+|b |时，应满足条件 .10.在五边形ABCDE 中，设=a ， =b ， =c ， =d ，用a 、b 、c 、d 表示.2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1．下列命题中正确的是【 】A ．OA OB AB -= B ．0AB BA +=C ．00AB ⋅=D ．AB BC CD AD ++=2．下列命题正确的是【 】A ．单位向量都相等B ．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量C ．||||b a b a -=+，则0a b ⋅=D ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=3. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列 关系一定成立是【 】A . 0=λB . 02=eC .1e ∥2eD .1e ∥2e 或0=λ4.对于向量,,a b c 和实数λ ，下列命题中真命题是 【 】A .若0 =⋅b a ，则0a =或0b =B .若0a λ=，则0λ=或0a =C .若22a b =，则a b =或a b =- D .若 c a b a ⋅=⋅，则b c =5.下列命题中，正确的命题是【 】A .a b a +≥且.a b b +≥B .a b a +≥或.a b b +≥C .若,a b c >>则c b b a +>+D .若a 与 b 不平行，则a b a b +>+6.已知ABCD 是平行四边形，O 为平面上任意一点，设,,,OA a OB b OC c OD d ====，则有【 】A .0 =+++d c b aB .0 =-+-d c b aC .0 =--+d c b aD .0 =+--d c b a7.向量a 与 b 都不是零向量，则下列说法中不正确的是【 】A .向量a 与 b 同向，则向量a + b 与a 的方向相同B .向量a 与 b 同向，则向量a + b 与b 的方向相同C .向量a 与 b 反向，且,b a >则向量a + b 与a 同向D .向量a 与 b 反向，且,b a <则向量a + b 与a 同向8.若a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则有【 】A .a ∥b 且a 、b 方向相同B .a =bC .a =－bD .以上都不对9.在四边形ABCD 中，－－等于【 】 A . B . C . D .2.3.1 平面向量基本定理1.若ABCD 是正方形，E 是DC 边的中点，且,AB a AD b ==，则BE 等于【 】A .12b a +B .12b a -C .12a b +D . 12a b - 2. 若O 为平行四边形ABCD 的中心， = 4e 1， = 6e 2，则3e 2－2e 1等于 【 】A .AOB .BOC .COD .3. 已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 及平面内一点P ，满足0PA PB PC ++=，若实数λ满AB AC AP λ+=，则λ的值为【 】A .2B .32C .3D .64. 在ABC △中，AB =c ，AC =b .若点D 满足2BD DC =，则AD =【 】 A .2133+b c B .5233-c b C .2133-b c D .1233+b c5. 如右图在平行四边形ABCD 中，=，=，NC AN 3=， M 为BC 的中点，则= 【 】A .a b 2141- B .2141- C .)(41- D .)(41- 6.如右图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点， D E 与A F 相交于点H ， 设AH b BC a AB 则,,==等于_____.7.已知D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为______ 8.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或AF AE AC μλ+=，其中λ，μR ，则λ+μ= _________. 9．在 ABCD 中，设对角线=a ，BD =b 试用a ，b 表示AB ，10．设1e ， 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e ， CB =1e +32e ， CD =21e -2e ， 若三点A ， B ， D 共线，求k 的值C B E C ADH F2.3.2—2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算1. 若(2,4)AB =，(1,3)AC =， 则BC = 【 】A .(1，1)B .(－1，－1)C .(3，7)D .(-3，-7)2.下列各组向量中，不能作为平面内所有的向量的基底的一组是【 】Ａ.)5,0(),2,1(=-=b a Ｂ.)1,2(),2,1(==b aＣ.)4,3(),1,2(=-= Ｄ.)2,4(),1,2(-=-=3.已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b 【 】 Ａ.(21)--，Ｂ.(21)-， Ｃ.(10)-， Ｄ.(12)-， 4.若向量()3,2-=x a 与向量()2,1+=y b 相等，则 【 】A .x =1，y =3B .x =3，y =1C .x =1，y = -5D .x =5，y = -15.点B 的坐标为(1，2)，的坐标为(m ，n )，则点A 的坐标为 【 】A .()n m --2,1B .()2,1--n mC .()n m ++2,1D .()m n ++2,16.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =，则BD = 【 】A ．（－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）7.已知向量)3,1(=，)0,2(-=，则+=_____________________.8.已知向量()1,2-=a ，()3,1-=b ，则b a 32-的坐标是 .9.已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD =(2，5)，AB =(-2，3)，则CD 坐标为 ，DO 坐标为 ，CO 的坐标为 .10．已知OA =(x 1，y 1)，OB =(x 2，y 2)，线段AB 的中点为C ，则OC 的坐标为 .2.3.4 平面向量共线的坐标表示1. 已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝【 】A .(5,10)--B .(4,8)--C .(3,6)--D .(2,4)--2．已知向量()3,x a = ，()1,3-=b ， 且a 与b 共线，则x 等于【 】A . 1-B . 9C .9-D .13．已知()5,2-=a ，︱b ︱=︱a 2︱，若b 与a 反向，则b 等于【 】A .(-4，10)B .(4，-10)C .(-1 ， 25)D . (1， 25-) 4． 平行四边形ABCD 的三个顶点为A （-2，1）、B （-1，3）、C （3，4），则点D 的坐标是【 】A .（2，1）B .（2，2）C . （1，2）D .（2，3） 5．与向量()5,12=d 不．平行的向量是【 】 A .()5,12-- B .⎪⎭⎫ ⎝⎛135,1312 C .()5,12- D .()10,24 6.已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb (λ，μ∈R)， 那么A ，B ，C 三点时λ，μ满足的条件是 【 】A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝17.与向量)4,3(--=同方向的单位向量是_______.8.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ .9．已知A (-1，-2)，B (4，8)，C (5，x )，如果A ，B ，C 三点共线，则x 的值为 .10．已知向量()2,3=a ，()1,1-=b ，向量m 与b a 23-平行，︱m ︱=4137求向量m 的坐标.2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 1下列叙述不正确的是【 】A 向量的数量积满足交换律B 向量的数量积满足分配律C 向量的数量积满足结合律D a ·b 是一个实数 2已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于【 】 A 72 B -72 C 36 D 3. 已知向量a =1，b =2，b a ⋅=1，则向量a 与b 的夹角大小为【 】A .4πB .3π C .32π D .65π 4已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是 【 】A 60°B 30°C 135°D ４５°5.若平面四边形ABCD 满足0,()0,AB CD AB AD AC →→→→→→=∙=+-则该四边形一定是 【 】A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形6.若向量a →=(cos sin )αα，，b →=(cos sin )ββ，，则a →与b →一定满足 【 】A .a →与b →的夹角等于αβ-B .a b →⊥→C .a b →→//D .()()a b a b →+→⊥→-→7.下列式子中（其中的a 、b 、c 为平面向量），正确的是【 】A ．=-B ．a （b ·c ）= （a ·b ）cC ．()()(,)a a λμλμλμ=∈RD ．00=⋅AB 8设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝9已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .10已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______ 11已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角12设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m的夹角2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1. 已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b 【 】 A .垂直 B .不垂直也不平行 C .平行且同向 D .平行且反向2.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４b a ⋅＝【 】A .23B .57C .63D .833.已知a (1，2)，b (2，3)，c (-2，5)，则△a b c 为【 】A .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .不等边三角形4.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于【 】A .)54,53(或)53,54(B .)54,53(或)54,53(--C .)54,53(-或)53,54(-D .)54,53(-或)54,53(- 5.已知a =(2，3)，b =(-4，7)，则a 在b 方向上的投影为【 】A .13B .513C .565D .656.已知|a |=10，b =(1，2)且a ∥b ，则a 的坐标为 .7.已知a =(1，2)，b (1，1)，c =b -k a ，若c ⊥a ，则c ＝ .8.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .9.已知a (3，2)，b (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段a b 的中垂线上，则x = . 10.已知a (1，0)，b (3，1)，c (2，0)，且a =BC ，b =CA ，则a 与b 的夹角为 .11.已知a =(3，-1)，b =(1，2)，求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .。
高一数学向量题50道
高一数学向量题50道每题2分，满分：100分，考试时间：60分钟1.计算a=(3,4)a=(3,4)和b=(1,2)b=(1,2)的和a+b a+b。
2.计算u=(−1,3)u=(−1,3)和v=(2,−5)v=(2,−5)的差u−v u−v。
3.计算向量a=(2,1)a=(2,1)的模∣a∣∣a∣。
4.计算向量b=(3,4)b=(3,4)的单位向量。
5.求u=(1,2)u=(1,2)和v=(3,4)v=(3,4)的点积u⋅v u⋅v。
6.求向量a=(4,0)a=(4,0)和b=(0,3)b=(0,3)的叉积a×b a×b。
7.判断向量m=(2,3)m=(2,3)和n=(4,6)n=(4,6)是否共线。
8.求向量a=(2,−1)a=(2,−1)和b=(3,4)b=(3,4)的夹角余弦。
9.求向量c=(−1,2)c=(−1,2)和d=(5,6)d=(5,6)的模。
10.计算向量a=(3,−1)a=(3,−1)乘以标量k=2k=2的结果。
11.计算向量b=(4,−3)b=(4,−3)乘以标量k=−1k=−1的结果。
12.判断向量p=(2,2)p=(2,2)和q=(−1,−1)q=(−1,−1)之间的夹角。
13.求在平面直角坐标系中，点A(2,3)A(2,3)和点B(5,7)B(5,7)的位置向量AB AB。
14.求向量u=(1,−4)u=(1,−4)和v=(4,3)v=(4,3)的和。
15.计算向量a=(2,3)a=(2,3)和b=(3,4)b=(3,4)的内积。
16.证明向量m∥n m∥n当且仅当存在非零数k k使得m=kn m=kn。
17.求向量a=(1,2,3)a=(1,2,3)和b=(4,5,6)b=(4,5,6)的叉积。
18.求通过两点A(1,2)A(1,2)和B(4,6)B(4,6)的直线方程。
19.确认向量c=(2,4)c=(2,4)，d=(3,6)d=(3,6)是否线性相关。
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指数函数对数函数计算题
1、计算：lg 5·lg 8000＋.
2、解方程：lg 2(x ＋10)－lg(x ＋10)3=4.
3、解方程：2.
4、解方程：9-x －2×31-x =27.
06.0lg 6
1lg )2
(lg 23++3log 1log 66-=x
5、解方程：=128.
6、解方程：5x+1=.
7、计算：·
8、计算：(1)lg 25+lg2·lg50;
(2)(log 43+log 83)(log 32+log 92).
x )81
(123-x 10log 5
log )5(lg )2(lg 2233++.
10
log 1
8
9求函数的定义域.
10、已知log 1227=a,求log 616.
11、已知f(x)=,g(x)=(a ＞0且a ≠1),确定x 的取值围,使得f(x)＞g(x).
121
log 8.0--=x x y 1322+-x x a
522-+x x a
12、已知函数f(x)=. (1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)＞0.
13、求关于x 的方程a x ＋1=－x 2＋2x ＋2a(a ＞0且a ≠1)的实数解的个数.
321121x x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-
14、求log 927的值.
15、设3a =4b =36,求＋的值.
16、解对数方程：log 2(x －1)+log 2x=1
17、解指数方程：4x +4-x －2x+2－2-x+2+6=0
a 2b
1
18、解指数方程：24x+1－17×4x +8=0
19、解指数方程：2
20、解指数方程：
22)223()223(
=-++-x x ±014332
14111=+⨯------x x
21、解指数方程：
22、解对数方程：log 2(x －1)=log 2(2x+1)
23、解对数方程：log 2(x 2－5x －2)=2
042342222=-⨯--+-+
x x x x
24、解对数方程：log
x+log4x+log2x=7
16
25、解对数方程：log
[1+log3(1+4log3x)]=1
2
26、解指数方程：6x－3×2x－2×3x+6=0
27、解对数方程：lg(2x－1)2－lg(x－3)2=2
28、解对数方程：lg(y－1)－lgy=lg(2y－2)－lg(y+2)
29、解对数方程：lg(x2+1)－2lg(x+3)+lg2=0
30、解对数方程：lg2x+3lgx－4=0
指数函数对数函数计算题部分答案2、解：原方程为lg2(x＋10)－3lg(x＋10)－4=0,
∴[lg(x＋10)－4][lg(x＋10)＋1]=0.
由lg(x ＋10)=4,得x ＋10=10000,∴x=9990.
由lg(x ＋10)=－1,得x ＋10=0.1,∴x=－9.9.
检验知： x=9990和－9.9都是原方程的解.
3、解：原方程为,∴x 2=2,解得x=或x=－.
经检验,x=是原方程的解, x=－不合题意,舍去. 4、解：原方程为－6×3-x －27=0,∴(3-x ＋3)(3-x －9)=0.
∵3-x ＋30,∴由3-x －9=0得3-x =32.故x=－2是原方程的解.
5、 解：原方程为=27,∴-3x=7，故x=－为原方程的解.
6、解：方程两边取常用对数,得：(x ＋1)lg5=(x 2－1)lg3,(x ＋1)[lg5－(x －1)lg3]=0. ∴x ＋1=0或lg5－(x －1)lg3=0.故原方程的解为x 1=－1或x 2=1＋. 8、 (1)1；(2) 9、 函数的定义域应满足：即
解得0＜x ≤且x ≠,即函数的定义域为{x|0＜x ≤且x ≠}. 10、 由已知，得a=log 1227==,∴log 32= 于是log 616===. 3
6log log 626=x 22222)3(x -≠x 32-3
75log 34
5⎪⎩⎪⎨⎧>≥-≠-,0,01log ,0128.0x x x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>≥≠,0,1log ,218.0x x x 5421542
112log 27log 332
log 2133+a a 23-6log 16log 332log 12log 43
3+a a +-3)3(4
11、 若a ＞1,则x ＜2或x ＞3;若0＜a ＜1,则2＜x ＜3 12、 (1)(－∞,0)∪(0,＋∞);(2)是偶函数;(3)略.
13、 2个
14、 设log 927=x,根据对数的定义有9x =27,即32x =33,∴2x=3,x=,即log 927=. 15、 对已知条件取以6为底的对数,得=log 63, =log 62, 于是＋=log 63＋log 62=log 66=1. 16、x=2
17、x=0
18、x=－或x= 19、x=±1
20、x=37
21、x= 22、x ∈φ
23、x=－1或x=6
24、x=16
25、x=
26、x=1
2323a 2b 1a 2b 12123233
27、x=或x= 28、y=2 29、x=－1或x=7 30、x=10或x=10－4
8291231。